1.1勾股定理作业1-4

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(2021年整理)第一章最新勾股定理习题及答案

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第一章勾股定理1．1 探索勾股定理第1课时探索勾股定理基础题知识点1认识勾股定理1．（郑州月考）直角三角形的两条直角边长分别为3,4，则斜边长是( D ）A．2 B．3 C．4 D．52．下列说法正确的是（ D )A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B．若a，b，c是Rt△ABC的三边,则a2＋b2＝c2C．若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a23．在Rt△ABC中,斜边长BC＝3，AB2＋AC2＋BC2的值为( A )A．18 B．9 C．6 D．无法计算4．(淮安中考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B都是格点,则线段AB的长度为( A )A．5B．6C．7D．255．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）若a＝6,c＝10，则b＝8；（2）若a＝5，b＝12，则c＝13；（3）若c＝25，b＝15，则a＝20。

知识点2勾股定理的简单应用6．如图,做一个宽80 cm，高60 cm的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条,则木条的长为（ B )A．90 cm B．100 cmC．105 cm D．110 cm7．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( D )8．如图,学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．9．已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长．解：如图,因为AD是BC的中线，所以BD＝错误!BC＝3，AD⊥BC.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝42＋32＝25.所以AB＝5,即腰长为5。

2020年《暑假衔接》北师大版八年级上册：1.1 探索勾股定理同步练习

2020年《暑假衔接》北师大版八年级上册1.1 探索勾股定理同步练习一．选择题（共10小题）1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A．B．C．D．2．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．3．下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CEB＝S△CDBC．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD5．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（）A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，且a：b＝4：3，则大正方形面积与小正方形面积之比为（）A．25：9B．25：1C．4：3D．16：97．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边的正方形的面积为（）A．9B．16C．25D．58．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且a＝7，b＝24，则c的长为（）A．26B．18C．25D．219．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）A．9B．6C．5D．410．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（）A．4B．6C．D．二．填空题（共6小题）11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为．14．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为．15．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、b、c的式子表示），．16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝．三．解答题（共4小题）17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．（1）求BC的长；（2）求△ABC的面积．19．如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）20．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：C．2．解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选：B．3．解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4．解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．可知ab+c2+ab＝（a+b）2，∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：D．5．解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：＝4（厘米），可得这个直角三角形的面积为：×3×4＝6（平方厘米）．故选：A．6．解：∵a：b＝4：3，∴大正方形面积与小正方形面积之比为（a2+b2）：（a﹣b）2＝b2：b2＝25：1．故选：B．7．解：由勾股定理得：AB＝＝5，所以以AB为边长的正方形的面积为52＝25．故选：C．8．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝7，b＝24，∴c2＝a2+b2∴c＝25．故选：C．9．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．故选：C．10．解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a+b＝8，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝2，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴ab＝32﹣，∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣8c+32﹣＝2，解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），故答案是：3．12．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，即（AB﹣2）2+82＝AB2，解得AB＝17．故答案为：17．13．解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2＝25，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和＝AC2+BC2＝25．故答案为：25．14．解：由图可知，（b﹣a）2＝5，4×ab＝42﹣5＝37，∴2ab＝37，（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．故答案为79．15．解：如图所示：①S＝c2+ab×2＝c2+ab，②S＝a2+b2+ab×2＝a2+b2+ab．故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．16．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则由勾股定理知，AC2+BC2＝AB2．S1＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝12.5π．故答案为：12.5π．三．解答题（共4小题）17．解：设AD＝x∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x＝，∴AD＝．18．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2，解得BC＝15；（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，∴AD2+122＝202，解得AD＝16，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．∴S△ABC＝AB•CD＝×25×12＝150．19．解解：（1）如图所示，是梯形；由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝（a+b）（a+b）．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即ab+ab+c2．两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．20．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，也利用表示为ab+c2+ab，∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，即a2+b2＝c2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，∴h＝，故答案为；（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴边长为a﹣2b，由此可画出的图形为：。

小学数学勾股定理 PPT+作业+答案

例题3
如图所示，有两个直角三角形，已知 AB 垂直于 BC，AC 垂直于 CD， AB=3 厘米，BC=4 厘米，CD=12 厘米，求 AD 的长。
练习3
如图所示，有两个直角三角形，已知 AB 垂直于 BC，AD 垂直于 AC，AB=5 厘米，BC=12 厘米，DC²=178 平方厘米，求 AD 的长。
练习1
如图所示，四个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形。已知小正方形的面积是 4平方厘米，长方形的宽是 3 厘米，求大正方形的面积。
小正方形边长：2cm 大正方形边长：2+3+3=8（cm）、大正方形面积：8×8=64（cm²）
例题2
下面的“赵爽弦图”是由四个完全一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。其中 AE=3cm，ED=4cm ，请问：（1）大正方形的面积是多少？（2）直角 △AED 的三条边长有什么关系？
【答案】连接两棵树的顶端
作业7
7、四个一样的长方形和一个小的正方形（如下图）拼成了一个大正方形，已知大正方形的边长是 6 米，一个长方形的面积是 8 平方米，小正方形的边长是多少？【答案】2 米【解析】小正方形的面积是： 6 ✖️6－4 ✖️ 8 = 4 （平方米），因此边长是 2 米。
作业8 8、下图是一幅“赵爽弦图”，已知每个直角三角形的两条直角边分别长 6 分米和 8 分米，那么大正方形的面积是多少？
例题1
如图所示，四个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形。已知大正方形的边长是10 米，小正方形的边长是 4 米，求每个长方形的面积。
边长为 10 米的正方形面积是:10 ×10=100（平方米）边长为 4 米的正方形面积是: 4 × 4=16（平方米）面积和是：100-16=84（平方米) 小长方形面积：84÷4=21（平方米）

关于“勾股定理”的60种证法

关于“勾股定理”的60种证法1.（面积法证明）1 证法1.1：证明：在直角三角形ABC 中，分别作以AB 、AC 、BC 为边的正方形ABED,正方形ACJI 和正方形BCHG ，连接线段IB 、CD 、AG 、CE 。

过点C 作DE 的垂线CK ，交DE 于点K ，交AB 于点L 。

90,,CAI BAD CAB CADCAB CAD AC AI AD AB ACD AIB∠=∠=∴∠=∠∠=∠==∴∆≅∆线段AI 平行于线段BJ ∴AIB ∆的面积等于AIC ∆ACD AIB ∆≅∆AIC ∴∆的面积等于ACD ∆ 线段AD 平行于线段CK∴矩形ADKL 的面积等于ACD ∆面积的两倍正方形ACJI 的面积等于AIC ∆的两倍，AIC ∆的面积等于ACD ∆ ∴矩形ADKL 的面积等于正方形ACJI 的面积同理，有：矩形BEKL 的面积等于正方形BCHG 的面积。

正方形ABED 的面积等于矩形ADKL 的面积加上矩形BEKL 的面积∴正方形ABED 的面积等于正方形ACJI 的面积与正方形BCHG 的面积之和即222AC BC AB +=.Remark ：此为欧几里得（Euclid,约公元前330年-公元前275年）在几何原本中的证明方法。

2 证法1.2:证明：在上图中，整个正方形的面积为2()a b +，又等于四个直角三角形的面积加上里面的小正方形的面积，等于22ab c +。

因此，22()2a b ab c +=+，此即：222a b c +=。

Remark :此证法据Bretschneider 和Hankel 的推测，为毕达哥拉斯（Pythagoras ，约公元前580～约前500）的证法。

3 证法1.3（总统证明法）如图，三角形ABC 与三角形BDE 完全相等，易证三角形ABE 为等腰直角三角形。

整个直角梯形ACDE 的面积为21()2a b +，又等于两个直角三角形的面积加上等腰直角三角形ABE 的面积，等于212ab c +，故2211()22a b ab c +=+。

1.1 第2课时验证勾股定理(教学设计——精品教案)

1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教学目标【知识与能力】1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.【情感态度价值观】培养学生大胆探索,不怕失败的精神.教学重难点【教学重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【教学难点】用拼图法验证勾股定理.课前准备【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.教学过程第一环节：引入新课导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).第二环节：新知构建1.勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 -5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c 的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.ab+c2两种方法.生:得出(a+b)2,4×12(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做”,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做”的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.2.勾股定理的简单应用思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.[知识拓展]利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a +b )(a +b ),又可以表示为12(2ab +c 2),所以可得12(a +b )(a +b )=12(2ab +c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.第三环节：课堂小结1.勾股定理的验证方法{测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题. 第四环节：检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a ,b ,c 的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选D .2.用四个边长均为a ,b ,c 的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是( )A.c 2=a 2+b 2B.c 2=a 2+2ab +b 2C .c 2=a 2-2ab +b 2D .c 2=(a +b )2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,里面ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.故选A.的小四边形也为正方形,边长为b-a,则有c2=123.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.ab+c2,即(a+b)2=4×解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×121ab+c2,化简得a2+b2=c2.2ab+c2a2+b2=c2答案:(a+b)24×124.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.2.课后作业【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是()A.SΔEDA =SΔCEBB.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDEC.S四边形CDAE =S四边形CDEBD.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC ,其中∠DAB =90°,求证a 2+b 2=c 2. 证明:连接DB ,过点D 作BC 边上的高DF ,则DF =EC =b-a. ∵S 四边形ADCB=S ΔACD+S ΔABC=12b 2+12ab , 又∵S 四边形ADCB=S ΔADB+S ΔDCB=12c 2+12a (b-a ),∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB =90°,连接BE.验证a 2+b 2=c 2.证明:连接 , ∵S 五边形ACBED= , 又∵S 五边形ACBED= ,∴ , ∴a 2+b 2=c 2.【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a 2+b 2=13,四个直角三角形的面积和是12ab ×4=13-1=12,即2ab =12,则(a-b )2=a 2-2ab +b 2=13-12=1.故选A.) 2.D(解析:由S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD,可知12ab +12c 2+12ab =12(a +b )2,∴c 2+2ab =a 2+2ab +b 2,整理得a 2+b 2=c 2,∴证明中用到的面积相等的关系是S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD.故选D .)3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c 2=4×12ab +(a-b )2=a 2+b 2. (2)如图所示. (3)∵2ab =(a +b )2-(a 2+b 2)=196-100=96,∴ab =48,∴S =12ab =12×48=24.4.440(解析:如图所示,延长AB 交KL 于P ,延长AC 交LM 于Q ,则ΔABC ≌ΔPFB ≌ΔQCG ,∴PB =AC =8,CQ =AB =6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP =8+6+8=22,DQ =6+8+6=20,∴矩形KLMJ 的面积=22×20=440.故答案为440.)5.D(解析:依题意有:a 2+b 2=大正方形的面积=13,2ab =四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab =6,则a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2=(a 2+b 2)2-2(ab )2=132-2×62=169-72=97.故选D .)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c 2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a 2+b 2,∵它们的面积都等于边长为a +b 的正方形的面积-4个直角边分别为a ,b 的直角三角形的面积和,∴a 2+b 2=c 2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接D'D ,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,Rt ΔDAB 和Rt ΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S ,则S =12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ,又S =S Rt ΔDBD'+2S Rt ΔABD =12c 2+2×12ab =12c 2+ab ,∴12(a 2+b 2)+ab =12c 2+ab ,因此a 2+b 2=c 2.8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,∴CG =NG ,CF =DG =NF =GK ,∴S 1=(CG +DG )2=CG 2+DG 2+2CG ·DG =GF 2+2CG ·DG ,S 2=GF 2,S 3=(NG-NF )2=NG 2+NF 2-2NG ·NF ,∴S 1+S 2+S 3=GF 2+2CG ·DG +GF 2+NG 2+NF 2-2NG ·NF =3GF 2=16,∴GF 2=163,∴S 2=163.故答案为163.)9.证明:连接BD ,过点B 作DE 边上的高BF ,则BF =b-a ,∵S 五边形ACBED=S ΔACB +S ΔABE+S ΔADE=12ab +12b 2+12ab ,又∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab +12c 2+12a (b-a ),∴12ab +12b 2+12ab =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.板书设计1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用. 教学反思成功之处在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回顾,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理”,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.不足之处在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散. 再教设计勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.备课资源古诗中的数学题请你先欣赏下面一首诗:平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前,花离原位两尺远; 能算诸君请解题,湖水如何知深浅?你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗? 〔解析〕要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如图所示.在Rt ΔBCD 中,由勾股定理建立方程求线段的长.解:如图所示,AD 表示莲花的高度,CD 是水的深度,CB 是莲花吹倒后离原位的距离.- 11 -设CD =x 尺,则AD =BD =(x +12)尺. 在Rt ΔBCD 中,∠BCD =90°,由勾股定理得BD 2=CD 2+BC 2,即(x +12)2=22+x 2.解得x =3.75.所以所求的湖水深度为3.75尺.[方法总结] 建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.。

勾股定理及两点间的距离公式

模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．例题解析【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【例8】如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．A BCD A BCM MNBC D【例9】如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．【例11】如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．APQMNABCD EF A BC DA B CDP2、逆定理：（1）如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2）在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例12】下列命题中是假命题的是（）A ．在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ．在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形【例13】（1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．【例14】（1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例15】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状．【例16】如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ．（1）若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2）若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例17】如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．ABCD A BCDE【例18】如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．3、距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1）当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -；（2）当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．【例19】已知点A （2，2）、B （5，1）．（1）求A 、B 两点间的距离；（2）在x 轴上找一点C ，使AC =BC ．例题解析模块三：两点间的距离公式ABCDEF知识精讲【例20】（1）已知A（x，3）、B（3，x+1）之间的距离为5，则x的值是_________；（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．【例21】（1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．【例22】已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使P A=PB．【例23】已知直角坐标平面内的点P（4，m），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．【例24】已知点A（2，3）B（4，5），在x轴上是否存在点P，使得PA PB的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例25】已知直角坐标平面内的点A（4，32）、B（6，3），在x轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形．【例26】已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（x，2-x），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．【习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A．2、4、8B．4、8、10C．6、8、10D．8、10、12随堂检测【习题2】已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】（1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积． A B CDABC DEF【习题6】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC 的面积．【习题7】若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长．【习题9】已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．AB D CABQP M【习题10】如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==o ，，是ABC ∆内一点，且 312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【习题11】若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【作业1】下列命题中，正确的有()个（1）腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2）有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等（3）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3课后作业ABCM【作业2】如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________．【作业4】已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________．【作业5】现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是 ____________．【作业7】已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D 两点的距离为_______. 5072A【作业8】知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=o o ，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30o 后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状.【作业10】阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状.解：Q 222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B )222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________；（2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.ABCDQPABCQP【作业11】如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标.。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 1.1.2验证勾股定理及其简单应用同步练习题(含答案,教师版)

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 1.1.2 验证勾股定理及其简单应用同步练习题一、选择题1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是(C)A B C D2．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5 m的木梯，准备把梯子架到2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为(A)A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m3．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(B)A．8米 B．10米 C．12米 D．14米4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(A)A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米5．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200 m，他在水中实际游了520 m，那么该河的宽度为(C)A．440 m B．460 m C．480 m D．500 m6．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片，使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为(D)A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题7．如图，从电线杆离地面12 m 处向地面拉一条长为13 m 的钢缆，则地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离为5_m ．8．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了48米，乙往南偏东45°方向走了36米，这时两人相距60米．9．已知在△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AH ＝8，则BC 的长是21或9． 10．已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为92．11．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道(上方是一个半圆)，则卡车的外形高必须低于4.1米．12．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是76．三、解答题13．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.试说明：BC2－AC2＝BD2＋AD2.解：在Rt△ABC中，BC2－AC2＝AB2，同理，在Rt△ABD中，BD2＋AD2＝AB2，所以BC2－AC2＝BD2＋AD2.14．如图是某宾馆的一段楼梯，楼梯高5 m，楼梯的最高点B与最低点A的距离是13 m，且楼梯宽度为2 m．若要给此段楼梯铺地毯，已知地毯单价为50元/m2，问铺完该楼梯表面至少需要多少钱？解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5 m，AB＝13 m，所以AC2＝AB2－BC2＝144.所以AC＝12 m.楼梯横向长度等价于AC 的长度，纵向长度等价于BC 的长度，所以地毯的长度为12＋5＝17(m)，地毯的面积为17×2＝34(m 2)．所以购买这种地毯至少需要50×34＝1 700(元)．15．如图，已知等腰三角形ABC 的底边BC ＝20 cm ，D 是腰AB 上一点，且CD ＝16 cm ，BD ＝12 cm.(1)求证：CD⊥AB；(2)求该三角形的腰的长度．解：(1)证明：在△BCD 中，因为BD 2＋CD 2＝122＋162＝400＝BC 2，所以△BCD 是直角三角形，其中∠BDC＝90°.所以CD⊥AB. (2)设AB ＝AC ＝x cm ，则AD ＝(x －12)cm. 因为CD⊥AB，所以在△ACD 中，AD 2＋CD 2＝AC 2，即(x －12)2＋162＝x 2，解得x ＝503.所以该三角形的腰的长度为503cm. 16．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：EF 2＝BE 2＋CF 2.证明：延长ED 到点G ，使DG ＝DE ，连接FG ，CG. 在△EDF 和△GDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝DF ，∠EDF ＝∠FDG＝90°，DE ＝DG ，所以△EDF≌△GDF(SAS)．所以EF ＝FG.因为D 为斜边BC 的中点，所以BD ＝DC. 在△BDE 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝DC ，∠BDE ＝∠CDG，DE ＝DG ，所以△BDE≌△CDG(SAS)．所以BE ＝CG ，∠B ＝∠BCG. 所以AB∥CG.所以∠GCA＝180°－∠A＝180°－90°＝90°. 在Rt △FCG 中，由勾股定理，得 FG 2＝CF 2＋CG 2＝CF 2＋BE 2，所以EF 2＝FG 2＝BE 2＋CF 2.17．如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA ＝CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE ＝AB ，连接DE 并延长交AB 于点F.(1)求证：DE⊥AB；(2)若已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，设EF ＝x ，则△ABD 的面积用代数式可表示为S △ABD＝12c(c ＋x)，你能借助本题提供的图形，证明勾股定理？试一试吧．解：(1)证明：因为AC⊥BD，所以BC 2＝AB 2－AC 2，EC 2＝DE 2－CD 2， ∠BAC ＋∠ABC＝180°－90°＝90°. 又因为DE ＝AB ，CA ＝CD ，所以BC 2＝EC 2，即BC ＝EC. 所以△ABC≌△DEC(SSS)．所以∠BAC＝∠EDC. 所以∠EDC＋∠ABC＝90°.所以∠DFB＝180°－(∠EDC＋∠ABC)＝90°，即DE⊥AB. (2)由题意，知S △ABD ＝S △BCE ＋S △ACD ＋S △ABE ＝12a 2＋12b 2＋12cx.因为S △ABD ＝12c(c ＋x)，所以12a 2＋12b 2 ＋12cx ＝12c(c ＋x)．所以a 2＋b 2＝c 2.。

勾股定理练习题及答案

勾股定理练习题及答案1. 直角三角形1.1 已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：c = √(a^2 + b^2)其中，a和b分别为两个直角边的长度。

代入已知值，可以得到：c = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm所以，斜边的长度为5cm。

1.2 已知直角三角形的斜边长度为10cm，其中一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。

解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2将已知值代入，可以得到：10^2 = 6^2 + b^2100 = 36 + b^2b^2 = 100 - 36b^2 = 64b = √64 = 8cm所以，另一条直角边的长度为8cm。

2. 直角三角形的应用2.1 一根长度为12cm的电话线在地面上拉出了一个直角三角形，其中一条直角边长为9cm，求另一条直角边和斜边的长度。

解答：根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为9cm，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 9^2 + b^2c^2 = 81 + b^2又已知三角形的斜边是长为12cm的电话线，所以可以得到另一个公式：c = 12将这两个公式结合，可以得到以下方程：81 + b^2 = 12^281 + b^2 = 144b^2 = 144 - 81b^2 = 63b = √63 ≈ 7.94cm所以，另一条直角边的长度约为7.94cm，斜边的长度为12cm。

2.2 一根高度为10m的电线杆倒在地面上形成了一个直角三角形，其中一条直角边长为8m，求另一条直角边和斜边的长度。

解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为8m，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 8^2 + b^2c^2 = 64 + b^2又已知三角形的斜边是高度为10m的电线杆，所以可以得到另一个公式：c = 10将这两个公式结合，可以得到以下方程：64 + b^2 = 10^264 + b^2 = 100b^2 = 100 - 64b^2 = 36b = √36 = 6m所以，另一条直角边的长度为6m，斜边的长度为10m。

第一章勾股定理同步练习

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理一、填空题1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90º。

① 若a ＝3，b ＝4，则c ＝________； ② 若a ＝40，b ＝9，则c ＝________；③ 若a ＝6，c ＝10，则b ＝_______； ④ 若c ＝25，b ＝15，则a ＝________。

2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AB ＝10。

① 若∠A ＝30º，则BC ＝______，AC ＝_______；② 若∠A ＝45º，则BC ＝______，AC ＝_______。

3．已知等边三角形ABC 的边长是6cm 。

求：（1）高AD 的长；（2）△ABC 的面积S △ABC 。

4．如图阴影部分正方形的面积是。

5．如图正方形ABGF 和正方形CDBE 的面积分别是100和36，则以AC 为直径的半圆的面积是。

6．在△ABC 中∠C=90°，①若a =24 ，c =30 则b= ； ②若a =12 ，b =5 则c= 。

7．由于风向改变，一帆船先向正西方航行80km ，然后向正南方航行150km ，此时它距离出发点 km 。

8．做一个直角三角形的模板，一直角边长5cm ，斜边长13cm ，做成这样的模板要平方厘米的纸板。

9．一轮船以16海里/时的速度离开A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_____________海里。

10．等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为____________。

11．若正方形的面积为18cm 2，则正方形对角线长为__________cm 。

12．在△ABC 中，∠C=90°，若AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =__________。

13．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面 (填”合格”或”不合格”)。

北师大版第一章各节练习题含答案

北师大版数学八年级上册同步练习1.1 探索勾股定理一．选择题（共12小题）1．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．102．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积（）A．6 B．12 C．24 D．243．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（）A．刘徽B．赵爽C．祖冲之D．秦九韶4．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论：（1）a2+b2=49，（2）b﹣a=2，（3）ab=，（4）a+b=中，正确结论的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．647．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）A．3 B．4 C．5 D．68．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A．13 B．13或C．13或15 D．159．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）A．B．C．D．10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（）A．S1=S2=S3 B．S1=S2＜S3C．S1=S3＜S2D．S2=S3＜S111．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）A．30 B．36 C．72 D．12512．如图，字母M所代表的正方形的面积是（）A．4 B．5 C．16 D．34二．填空题（共10小题）13．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则a+b的值是．14．如图．是用4个全等的直角三角形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是49，小正方形的面积为1，若用a、b表示直角三角形的两条直角边（a＞b），则（a+b）2=．15．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是．16．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1=，S2=．17．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式．18．公元3世纪，我国数学家赵爽用弦图证明了勾股定理，在前面的学习中，我们知道根据勾股定理可以用长为有理数的线段来作出长为，，的线段．若一个直角三角形的一条边长为，其他两边长均为有理数，则其它两边的长可以为，．19．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．20．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为．21．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长为cm2．22．如图，6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，D是BC的中点．则AC=；AD=．三．解答题（共4小题）23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a=S△ACD+S△ABC=b2+ab．∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）又∵S四边形ADCB∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．24．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，求小正方形的边长．25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．26．在△ABC中，AB=13，BC=14．（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD=5，则△ABC的面积为；（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C 作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH=x，AE=m，CF=n，请用含x的代数式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．北师大版数学八年级上册同步练习：1.1 探索勾股定理参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，解方程组即可求得a、b，求ab即可．【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，即a2+b2=9，a﹣b=1，解得a=，b=，则ab=4．解法2，4个三角形的面积和为9﹣1=8；每个三角形的面积为2；则ab=2；所以ab=4故选：A．2．【分析】根据飞镖状图案的周长求出AB+AC的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出OA的长，求出三角形AOB面积，即可确定出所求．【解答】解：根据题意得：4（AB+AC）=24，即AB+AC=6，OB=OC=3，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2=OA2+OB2，即（6﹣AC）2=32+（3+AC）2，解得：AC=1，∴OA=3+1=4，=×3×4=6，∴S△AOB则该飞镖状图案的面积为24，故选：C．3．【分析】根据“弦图”判断即可．【解答】解：用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽，故选：B．4．【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出a与b 的关系式，依次判断所给关系式即可．【解答】解：由题意可得小正方形的边长=2，大正方形的边长=7，故可得|b﹣a|=2，即（2）错误；a2+b2=斜边2=大正方形的面积=49，即（1）正确；小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得4+2ab=49，所以ab=，即（3）正确；根据（3）可得2ab=45，故可得（a+b）2=a2+b2+45=94，从而可得a+b=，即（4）正确．综上可得（1）（3）（4）正确，共3个．故选：B．5．【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为=5．故选：A．6．【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．7．【分析】OA1=1，OA2==，OA3==，找到OA n=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数．【解答】解：找到OA n=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，……，故正整数为=1，=2，=3，=4，=5．故选：C．8．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：当12是斜边时，第三边是=；当12是直角边时，第三边是=13．故选：B．9．【分析】根据所给出的图形求出AB、AC、BC的长以及∠BAC的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．【解答】解：根据图形可得：AB=AC==，BC==，∠BAC=90°，设△ABC中BC的高是x，则AC•AB=BC•x，×=•x，x=．故选：A．10．【分析】设直角三角形的三边分别为a、b、c，分别表示出三角形的面积比较即可．【解答】解：作ER⊥FA的延长线，垂足为R；作DH⊥NB的延长线，垂足为H；作NT垂直于DB的延长线，垂足为T．设△ABC的三边长分别为a、b、c，∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵∠EAR+∠RAB=90°，∠RAB+∠CAB=90°，∴∠EAR=∠CAB∵AE=AB，∠ARE=∠ACB，∴△AER≌△ABC，∴ER=BC=a，FA=b，∴S1=ab，S2=ab，同理可得HD=AR=AC，∴S1=S2=S3=ab．故选：A．11．【分析】作CE⊥AD，AF⊥CD，则根据面积法可以证明AD×EC=AF×CD，要求AF，求CE即可，根据AC=CD=5，AD=6可以求得CE，△ABC的面积为×BC×AF．【解答】解：作CE⊥AD，AF⊥CD，在△ACD中S=•AD•CE=•CD•AF，∵AC=CD，∴AE=DE=3，故CE==4，∴AF==，∴△ABC的面积为×（10+5）×=36，故选：B．12．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC2=AB2﹣BC2=16，则字母M所代表的正方形的面积=AC2=16，故选：C．二．填空题（共10小题）13．【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．所以a+b=5（舍去负值）．故答案是：5．14．【分析】利用大正方形的边长为7和勾股定理解答即可．【解答】解：利用勾股定理得a2+b2=49；利用小正方形的边长得到a﹣b=1，则（a﹣b）2=1，可得：2ab=48，所以（a+b）2=49+48=97，故答案为：9715．【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，则x2=4y2+52，∵△BCD的周长是30，∴x+2y+5=30则x=13，y=6．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）=4×19=76．故答案是：76．16．【分析】五边形的面积=边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b 的直角三角形的面积，或五边形的面积=边长为c的正方形面积+边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：如图所示：S1=c2+ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+ab×2=a2+b2+ab．故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．17．【分析】该图形的面积与3个直角三角形组成一个直角梯形，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式进行解答．【解答】解：依题意得：ab+c2+ab=（a+b）（a+b），整理，得c2=a2+b2．故答案是：c2=a2+b2．18．【分析】根据已知条件以及勾股定理解答即可．【解答】解：∵（）2=（3+）2﹣（3﹣）2，∴这个直角三角形的两边可以为，．故答案为，（答案不唯一）．19．=6，找出所有可【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，=AB•BC=6．∴AC==5，S△ABC沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB=AP=3时，如图1所示，S等腰△ABP=S△ABC=×6=3.6；②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，作△ABC的高BD，则BD===2.4，∴AD=DP==1.8，∴AP=2AD=3.6，=S△ABC=×6=4.32；∴S等腰△ABP④当CB=CP=4时，如图3所示，S等腰△BCP=S△ABC=×6=4.8．综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．故答案为3.6或4.32或4.8．20．【分析】根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD 乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．【解答】解：根据勾股定理得：AC==5，=×2×4=4，且S△ABC=AC•BD=×5BD，由网格得：S△ABC∴×5BD=4，解得：BD=．故答案为：21．【分析】设直角三角形的两直角边长分别为a、b，根据三角形的面积公式、勾股定理求出a+b，根据三角形周长公式计算．【解答】解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，则ab=6，即ab=12，由勾股定理得，a2+b2=25，则（a+b）2﹣2ab=25，解得，a+b=7，∴该直角三角形的周长=a+b+c=12，故答案为：12．22．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由题意得，BD=CD=，由勾股定理得，AC==2，AD==，故答案为：2；．三．解答题（共4小题）23．，【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED 两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），又∵S五边形ACBED∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．24．【分析】根据勾股定理即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b∴每一个直角三角形的面积为：ab∴4×ab+（a﹣b）2=13∴2ab+a2﹣2ab+b2=13∴a2+b2=13，∴a2+2ab+b2=21，∴ab=4∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=13﹣8=5∴a﹣b=25．【分析】（1）根据角平分线的性质得到CD=DE；（2）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理，得AB═10，∴△ADB的面积为S=AB•DE=×10×3=15．26．【分析】（1）先由勾股定理求得AD=12，然后利用三角形的面积公式求解即可；（2）依据S ABC=S ABH+S△BHC可知，然后将BH=x，AE=m，CF=n 代入整理即可．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，∴AD===12．∵BC=14，∴==84．故答案为：84．（2）∵S ABC=S ABH+S△BHC，∴．∴xm+xn=168．∴m+n=∵AD=12，DC=14﹣5=9，∴AC==15．∵m+n与x成反比，∴当BH⊥AC时，m+n有最大值．∴（m+n）BH=AC•BH．∴m+n=AC=15．∵m+n与x成反比，∴当BH值最大时，m+n有最小值．∴当点H与点C重合时m+n有最小值．∴m+n=，∴m+n=12．∴m+n的最大值为15，最小值为12．1.2 一定是直角三角形吗一．选择题（共10小题）1．下列各组数据是勾股数的是（）A．5，12，13 B．6，9，12 C．12，15，18 D．12，35，36 2．下列四组数据中是勾股数的有（）①5、7、8②、3③9、12、15④n2+1，n2﹣12n（n＞1）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3．下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．1，2，B．1，2，C．3，4，5 D．6，8，124．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A． B．C．D．5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，36．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2B．a：b：c=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=9：12：15 D．∠C=∠A﹣∠B7．下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（）A．a2﹣c2=b2B．（a﹣b）（a+b）+c2=0 C．∠A=∠B=∠C D．∠A=2∠B=2∠C8．给出下列几组数：①4，5，6；②8，15，16；③n2﹣1，2n，n2+1；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n＞0）．其中一定能组成直角三角形三边长的是（）A．①②B．③④C．①③④D．④9．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形ABC，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（）A．8 B．9 C．D．10二．填空题（共10小题）11．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．12．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE 交AB于点D，连接CD，则CD=．13．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：①；②．14．观察下列式子：当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a=，b=，c=．15．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．16．在△ABC中，a=3，b=7，c2=58，则S△ABC=．17．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．18．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于．19．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．20．若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC的形状为．三．解答题（共4小题）21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．22．如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．23．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有个．24．如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC的面积；（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由．一定是直角三角形吗参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、122+52=132 ，能构成直角三角形，故正确；B、62+92≠122，不能构成直角三角形，是整数，故错误；C、122+152≠182，不能构成直角三角形，是整数，故错误；D、122+352≠362，不能构成直角三角形，是正整数，故错误．故选：A．2．【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：①8，5，7 不是勾股数，因为72+52≠82；②，，3 不是勾股数，因为、不是整数；③9，12，15 是勾股数，因为92+122=152；④n2+1，n2﹣12n（n＞1）是勾股数，因为2n，n2﹣1，n2+1不一定是整数．故选：A．3．【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为12+22=（）2，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为12+（）2=22，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为62+82≠122，不能构成直角三角形，此选项正确．故选：D．4．【分析】过C作CD⊥AB于D，依据AB=6，AC=8，可得CD≤8，进而得到当CD 与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB=6，AC=8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大，∴BC==10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C．5．【分析】根据勾股定理的逆定理求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、1.52+22=2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；故选：A．6．【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A、由b2﹣a2=c2得b2=a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由∠A：∠B：∠C=9：12：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°，故不是直角三角形．D、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A﹣∠B解得∠A=90°，故是直角三角形；故选：C．7．【分析】判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．或证明三角形中一个角等于90°．【解答】解：A、符合勾股定理的逆定理，不符合题意；B、∵（a﹣b）（a+b）+c2=0，∴a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，不符合题意；C、∵∠A=∠B=∠C，∴∠A=∠B=∠C=60°，△ABC不是直角三角形，符合题意；D、∵∠A=2∠B=2∠C，∴∠A=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意．故选：C．8．【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．【解答】解：∵42+52≠62，即三角形不是直角三角形，∴①错误；∵82+152≠162，即三角形不是直角三角形，∴②错误；∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，即三角形是直角三角形，∴③正确；∵（m2﹣n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2，即三角形是直角三角形，∴④正确；故选：B．9．【分析】分别求A、B、C、D四个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定B、C、D中三角形为直角三角形，A为钝角三角形，即可解题．【解答】解：A、三角形各边长为、、，（）2+（）2＜（）2，故该三角形为钝角三角形；B、各边长2、4、2，22+42=（2）2，故该三角形为直角三角形；C、各边长、、，（）2+（）2=（）2，故该三角形为直角三角形；D、各边长、2、5，（）2+（2）2=（5）2，故该三角形为直角三角形．故选：A．10．【分析】根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出BC边上的高．【解答】解：∵AB=8，BC=10，AC=6，∴62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，=AB•AC=BC•AD，则由面积公式知，S△ABC∴AD=．故选：C．二．填空题（共10小题）11．【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．【解答】解：∵a+b=10，ab=18，c=8，∴（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，c2=64，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．12．【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，∴DE=3，∴AD=DC==5．故答案为：513．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：根据勾股数定义可得①3，4，5；②6，8，10，故答案为：3，4，5；6，8，10．14．【分析】由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1，满足勾股数．【解答】解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．15．【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．【解答】解：∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8=24．故答案为：24．16．【分析】由勾股定理的逆定理，先验证两小边的平方和等于最长边的平方，那么此三角形是直角三角形，再利用三角形面积公式求即可．【解答】解：∵a=3，b=7，∴a2+b2=58，又∵c2=58，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，=×3×7=10.5．∴S△ABC故答案是10.5．17．【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．【解答】解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．18．【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2=短边×短边÷2，就可以求出最长边的高．【解答】解：∵52+122=132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC=×5×12=×13h，解得：h=，故答案为．19．【分析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键．【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2=（x+1）2，解得x=60，则得第5组数是：11、60、61．故答案为：11、60、61．20．【分析】因为a，b，c为三边，根据（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，可找到这三边的数量关系．【解答】解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，∴a=b或a2+b2=c2．当只有a=b成立时，是等腰三角形．当只有第二个条件成立时：是直角三角形．当两个条件都成立时：是等腰直角三角形．三．解答题（共4小题）21．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【解答】解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．22．【分析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，则四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．【解答】解：连接BD．∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，∴根据勾股定理可得BD=3，又∵CD=5，BC=4，∴CD2=BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD=90°，=S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．∴S四边形ABCD23．【分析】（1）A所在的水平线与B所在的竖直线的交点就是满足条件的点；（2）根据勾股定理可求得AB=5，则到A的距离是5的点就是所求；（3）到A点的距离是5的格点有2个，同理到B距离是5的格点有2个，据此即可求解．【解答】解：（1）（2）如图所示：（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．故答案是：4．24．【分析】（1）运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出△ABC的面积；（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【解答】解：（1）△ABC的面积=4×4﹣1×2÷2﹣4×3÷2﹣2×4÷2=16﹣1﹣6﹣4=5．故△ABC的面积为5；（2）∵小方格边长为1，∴AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形．1.3勾股定理的应用一、选择题（共8小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（）A．π B．3πC．9πD．6π2．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米3．小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米．小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（）A．锐角弯B．钝角弯C．直角弯D．不能确定4．如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤155．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，46．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A．3m B．5m C．7m D．9m7．如图，带阴影的长方形面积是（）A．9 cm2B．24 cm2C．45 cm2D．51 cm28．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25 C．10+5 D．35二、填空题（共5小题）9．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______．10．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是______cm．（π取3）11．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC=______．12．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm、和10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是______cm．13．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走______cm．（杯子厚度忽略不计）。

八上数学第一、二章预习习题

第一章勾股定理1.1探索勾股定理（1）一、选择题1.如图字母B 所代表的正方形的面积是（）A.12B.13C.144D.1942.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是（）A.25B.12.5C.9D.8.53.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A.12米 B.13C.14米D.15米二、填空题4．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ：（1）如果8a =，15b =，则c =，三角形的周长为，面积为；（2）如果5a =，13c =，则三角形的周长为，面积为；（3）如果6b =，:4:5a c =，则a =，c =5.一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为；6．(教材P4习题T3变式)如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为；7．若一个直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，已知a 2＝25，b 2＝144，则c 2＝；三、解答题8．规范表达（严格按格式）：如图，已知∠A=90°，AC=5，AB=12，BE=3.求长方形的面积第1题第2题1.1探索勾股定理（2）一、选择题1.如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是（）A.8B.20C.336D.4642.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B 的距离为（）.A.80mmB.100mmC.90mmD.120mm.3.【关注数学文化】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b .若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为()A．9B．6C．4D．3二、填空题4.在△ABC 中，∠C=90°，（1）若86==b a ，，则=c ；（2）若,3024==c a ，则=b ；（3）若2524==c b ，，则=a .5.如果直角三角形的斜边与一直角边的长分别是13厘米和5厘米，那么这个直角三角形的面积是.6.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.三、解答题7.4个全等的直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边为c .现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．1.2一定是直角三角形吗一、选择题1.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是()A．b 2＝c 2－a 2B．a ∶b ∶c ＝3∶4∶5C．∠C＝∠A－∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶52.有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是()3.三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为（）A.6B.4.8C.2.4D.8二、填空题4.已知RT△ABC，︒=∠90C ，︒=∠30B ,则=∠A .5.某农舍大门是一个木制矩形栏栅，它高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，模板的长为.6.如图，在△ABC 中，AC=.三、解答题7.(教材P9例题变式)：如图，在四边形ABDC 中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，CD＝13，BD＝12，求这个四边形的面积．[规范表达（严格按格式）]8.如图，点A、D、B 在同一直线上，BC=15，CD=12，AC=13，AD=5.求AB 的长915b1024c1.3勾股定理的应用一、选择题1.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形（）A.是直角三角形B.是锐角三角形C.是钝角三角形D.不是直角三角形2.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为（）A.8B.13C.25D.643.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为（）A.8米B.10米C.12米D.14米4．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处作装饰，则这条丝线的最小长度是(D)A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm 二、填空题5．求图中直角三角形中未知的长度:b=__________,c=____________.6.已知三角形的三边长分别是m 2+1,2m,m 2-1（n 为正整数），则最大角等于_______度.三、解答题7.如图，长方体的高为3厘米，底面是正方形，边长为2厘米，现有一小虫从A 出发，沿长方体表面到达C 处，问小虫走的路程最短为多少厘米？8.如图，长方形ABCD 的边AD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于多少？第二章实数2.1认识无理数（1）一、选择题1．在等式x 2=3中，下列说法中正确的是（）A．x 可能是整数B.x 可能是分数C．x 可能是有理数D.x 不是有理数2．在中，），的个数逐渐加之间每两个，6.0107(7070070007.011371π不是有理数有（）个A.1个B.2个C.3个D.4个3．下列说法中，正确的有（）①无限小数都是有理数；②不循环小数不是有理数；③不是有理数的数都是无限小数；④0是有理数A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题4．已知2x =12，则x ______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）5．面积为5的正方形的边长______有理数；面积为9的正方形的边长______有理数．（填“是”或“不是”）三、解答题6.求出下图1-2中直角三角形未知边的长度；求x 的值.7.下列4×4的网格中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．1312x2.1认识无理数（2）一、选择题1．下列数中是无理数的是（）A.1．∙∙32 B.2π C.0 D.7222．在数0.222，2.525252…，π-3，31-，1.1351335…（相邻两个1之间3的个数逐次加1），其中无理数的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3．若方程x 2＝m 的解是有理数，则m 不能取下列四个数中的()A．1B．4 C.14 D.12二、填空题4．已知2x =8，则x ______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）5．面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数．（填“是”或“不是”）6．将下列各数按要求分类：－43，－∙∙24.1，π，3．1416，32，0，3.14，－0.2020020002……（相邻两个2之间0的个数逐次加1）有理数有________________________，无理数有__________________________．分数有_______________________，整数有__________________________．三、解答题7.如图，我们可以在网格图中以这样的方式画出面积为5的正方形，（1）请问它的边长是有理数吗?（2）你能用类似的方法画出面积为8和面积为13的正方形吗?一、选择题1．下列说法正确的是（）A．5是25的算术平方根B．16是4的算术平方根C．6-是2(6)-的算术平方根D．0没有算术平方根2．“1625的算术平方根是45”用式子表示为()A．±1625＝±45B.1625＝±45C.1625＝45D．±1625＝45）A．3B．3±D．二、填空题4．1.44的算术平方根为，13的算术平方根为，2(7)-的算术平方根为；=，=，=，=，2=，=，=，=6．若一个数的算术平方根是6，则这个数为；是的算术平方根三、解答题7.求下列各数的算术平方根:（1）6449（2）917（3）43-（4）|-25241|8.已知一直角三角形两边长分别为3和4，求第三边的长一、选择题1．2(11)-的平方根是（）A．121B．11C．11±D．不存在2．4的平方根是±2，用数学符号表示，正确的是()A.4＝2B．±4＝2C.4＝±2D．±4＝±23.如果24x =的值为（）A．2±B．2C．2-或不存在二、填空题4.3的算术平方根为，0.81的平方根为，25121的平方根为，17的平方根为，的平方根为，0的平方根为；6.1是的一个平方根，它的另一个平方根是；7.=，=；三、解答题8.求下列各式的值（1）（2）2)13(-（3）3649±（4）-9009．已知：一个正数的平方根是23a -和518a -，那么这个正数是多少？10．求下列各式中的x：(1)9x 2－25＝0；(2)4(2x－1)2＝36.2.3立方根一、选择题1.下列语句中不正确的是（）A．-1的立方根是-1 B.1的立方根是±1C．21是81的立方根 D.8的立方根是22.下列叙述正确的个数有（）1一个数立方根的符号与这个数的符号相同；2正数、负数、0都有立方根；3如果一个数的立方根是它本身，这个数一定是0；4两个互为相反数的数，开立方所得的结果仍然互为相反数；A.1个B.2个C．3个 D.4个3.下列各数互为相反数的是（）A．-2与2)2(-B．-2与38-C．|-2|与2D．22与2)2(-二、填空题4.立方根等于它本身的数为.5.若33)1(-x =1-x,则x 的值为；=，=，-=；－31－1927；三、解答题7.求满足下列各式中的未知数x :①310125x -=②33264x =8．已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4，求2a b +的平方根?2.4估算一、选择题1.1．下列整数中，与10最接近的整数是()A．3B．4C．5D．62.设n 为正整数，且n＜65＜n＋1，则n 的值为(D)A．5B．6C．7D．811．(河北中考)如图，在数轴上标注了四段范围，则表示8的点落在()A．段①B．段②C．段③D．段④二、填空题3.比较下列各组数的大小⑴73⑵5.32(3)10－2212.=；=；=；==；==；=-=；=5.的算术平方根=，的平方根=，的立方根=；三、解答题6.一个正数的平方根是21a -和2a -+，求a 的值和这个正数7.如图，已知一灯塔A 周围2000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O 处测得O，A 相距4000米．若使舰艇到达与灯塔最近处B,则还需航行3500米，问舰艇再向东航行有无触礁的危险？2.6实数一、选择题1.下列说法：①无理数是无限小数；②带根号的数一定是无理数；③任何实数都可以开立方；④有理数都是实数;其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的结论是()A．a＞b B．a>－b C．－a＞b D．－a＜b3.下列各式化简结果为无理数的是（）A．327-B．（2−1）0C．8D．()22-二、填空题4.410-的相反数为，绝对值为；5.把下列各数填入相应的集合内:－7,0.32,31,46,0,8,21,3216,－2π.①有理数集合:{…};②无理数集合:{…};③正实数集合:{…};④实数集合:{…}.三、解答题6.计算：(1)(3＋2)－2；(2)|3－2|＋|3－1|.7.在数轴上作出2的对应点.8.已知a 是整数部分，b 是小数部分，求2a b +的值一、选择题1.实数0.5的算术平方根等于（）A．2B．2C．22D．212.下列计算正确的是（）A.2·3＝6B.2＋3＝6 C.8＝32 D.4÷2＝23.下列运算中错误的有（）个①416=②4936=±76③332-=-④3)3(2=-⑤±332=A．4B．3C．2D．1二、填空题4.=，=，，=，；5.=，，=，=，；6.，，=三、解答题7.计算（1）（2）（3）（4）÷一、选择题1.9的算术平方根是（）A．3B．±3C．3D．±33.下列各式中，正确的是（）A．2)2(2-=-B ．9)3(2=-C ．393-=-D．39±=±二、填空题4.，=，=；5.-，三、解答题6.(1-+（5）⨯（6）2)313(-2.7二次根式（3）一、选择题1.估计10的值在（）A.1到2之问B.2到3之间C.3到4之问D.4刊5之问2.实数0.2的算术平方根等于（）A．5B．C．5D．15A．加号B．减号C．乘号D．除号二、填空题4.大于2且小于5的整数是；5.已知1-a +1++b a ＝0，则a b =；6.比较下列实数的大小①14012②215-5.0；三、解答题7.(1)()2-()(232-+(4。

1.1 探索勾股定理课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

拨
［答案］ B
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
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方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
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例如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
［解题思路］设 AC=b，BC=a，AB=c，易得 AB⊥DE，所
考
点

清以四边形 ACBE 的面积=S△ACB+S△ABE= AB·DG+ AB·EG=

单
解

2
读 AB·（DG+EG）= AB·DE= c ，四边形 ACBE 的面积
=S
梯形 ACFE
）b+
+S△EFB=
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［答案］解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
所以∠ADB=∠ADC=90°．
设 BD=x，则 CD=21-x，
在 Rt△ABD 中，AD2=102-x2，
在 Rt△ADC 中，AD2=172-（21-x）2，
解得 x=6，所以 AD2=102-62=64，
所以 AD=8，即 BC 边上的高为 8．
（1）已知∠C=90°，a=6，b=8，求 c；
（2）已知∠B=90°，a=15，b=25，求 c.
1.1 探索勾股定理
考
点
清

【初二】第三章勾股定理讲义

勾股定理1.1 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

1.2勾股定理的证明：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

1.4勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

【例1】下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为（）CABcb aDCGFE Hcb a cba ED CBA【例3】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例4】直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定【例5】三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5 C【例6】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例7】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______；（2）如果68a b ==，，则c =_______；（3）如果512a b ==，，则c =________；（4）如果1520a b ==，，则c =________.(5)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (6)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______；(7)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______．【例8】如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例9】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．【例10】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，EC 的长为．【例11】一个矩形的抽屉长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．【例12】如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？CBA“路”4m3m【例13】将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为（）【例14】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为（）【例15】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．(1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积； (3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ．2 勾股定理的逆定理【例1】分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)5、12、13；(3)8、15、17； (4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)【例2】下列线段不能组成直角三角形的是( )．A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．3,2,1===c b aC ．43,1,45===c b a D ．6,3,2===c b a【例3】已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（）A ．30B ．60C ．78D ．不能确定【例4】在ABC △中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．【例5】若ABC △中，()()2b a b a c -+=，则B ∠=____________；【例6】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC△是______三角形．【例7】下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169【例8】已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．A ．一定是等边三角B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角D ．形状无法确定【例9】若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______．【例10】 ABC △的两边a b ，分别为512，，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．【例11】如图，ABC △中，90C ∠=︒，330AC B =∠=︒，，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A ．B ．C ．D ．7【例12】如图，在△ABC 中，已知AB =AC =2a ，∠ABC =15°，CD 是腰AB 上的高，求CD 的长．DCBA【例13】如图所示，已知∠1=∠2，AD =BD =4，CE ⊥AD ，2CE =AC ，那么CD 的长是（）【例14】如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．【例15】如图，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，9435AC BC DB ===，，．（1）求CD AD ，的值；（2）判断ABC △的形状，并说明理由．【例16】已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【例17】如图所示，在四边形ABCD 中，已知：AB ：BC ：CD ：DA =2：2：3：1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．【例18】如图，已知CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =BE ，AE =BD ．（1）试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC =5，BD =12，求CE 的长．【例19】阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且PBCA21EBDCADCBAABDCD CBACDBE AA12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为5，这边上的中线长为，另两边之和为7，求这个三角形的面积．【例20】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．【例21】已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；BCDN AM MAND CB【例22】在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?． 1.等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．2.如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆CB A底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为3.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于．4. Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )．5.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，则CD 的长为．6.在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 7.如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A ．10B ．12C ．14D ．168.如图，在Rt ABC △中，已知，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且13BD =，则AC 的长是．9. 如图所示，在ABC △中，::3:4:5AB BC CA =，且周长为36，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ △的面积为（）2cm ．10. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．DCBAFECBDAE DBC AQCA。

八年级上数学校本作业参考答案

课时演练答案：第一章勾股定理§1.1探索勾股定理课时演练（1）一、选择题1、 C2、A3、B4、C二、填空题5、25或76、47、⑴5 ⑵2 ⑶8 ⑷128、6三、解答题9、⑴AD=4.8 ⑵BD=3.6 CD=6.410、40 11、P（0，3）或P（0，2）§1.1探索勾股定理课时演练（2）一、选择题1、 C2、B3、C二、填空题4、2415、146、3657、152 8、109、解：图中前3个三角形均为腰长为5的等腰三角形，第4个为腰长为的等腰三角形．10、15.6 11、略§1.2一定是直角三角形吗一、选择题1、 A2、A3、C二、填空题4、245、6.56、307、⑴10 ⑵ 90°8、解：（1）4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形如图所示：（2）图1：拼成的等腰三角形的周长为10+6+4+=20+4；图2：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12=32；图3：根据图示知， 64+x 2=（x+6）2，解得，x=，∴拼成的等腰三角形的周长为2×（+6）+10=；图4：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8=36．9、略 10、⑴ B ⑵等式两边同时除以22a b -时，没有讨论22a b -是否等于零，所以不能直接除 ⑶等腰三角形或直角三角形11、略§1.3直角三角形的应用一、选择题1、 A2、B3、C 二、填空题4、55、56h ≤≤6、257、2568、15π9、解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半BD=10，根据勾股定理即可求得其腰长AB===2，此时三角形的周长是20+4；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况．根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT△ADC中，AD==12，从而可得BD=32，进一步根据勾股定理求得其底边是BC===16，此时三角形的周长是40+16；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得AD==12，BD=AB﹣AD=8，在RT△CDB中，BC=是=8，此时三角形的周长是40+8；故本题答案为：20+4或40+16或40+8．三、解答题10、216 11、超速12、解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．13、10第一章勾股定理当堂检测一、选择题1、 B2、C3、C4、C5、A二、填空题6、57、248、489、25 102三、解答题11、⑴略 ⑵13 12、150° 参考答案：第二章实数2.1课时演练（1）1.C2.B3.D4.C5.存在不是6.47.68.不是不是不是9.略 10.（1）不是（2）1和2 （3）1.7 11.均不是理由略. 12.CD 2=11，均不是 13.（1）不是（2）r=2.2 14略. 课时演练（2）1.B2.D3.D4.B5.C6.C7.有限无限循环无限不循环；8.29.2 10.不是是 11.2.2 12.3 6 13.（1）不正确（2）正确 14.略 15.不是整数不是分数不是有理数 2.2课时演练（1）1.D2.D3.B4.D5.C6.C7.591 418.-a -a 9.0 10.4 -8 11.3 12.24= 1.1 13.7 14.40 0.023 3115.(1)4 (2)81 (3)23(4)10 16.(1)x =3 (2) x =3 17.8cm 18.b a 32-- 19.-1 20.7 21.11)2(+=++n n n 课时演练（2）1.D2.D3.C4.B5.C6.A7.B8.D9.112± 6; 10.9 2 6±11.3.0± 34-6 17± 12.-1 9 13.2-a 4或-2 14.35 15.3m 16.7.0± 12± 712± 31± 17.（1）419±=x （2）7-11或=x 18.4919.3± 20.乙正确2.3课时演练1.D2.A3.D4.A5.D6.B7.B8.C9.-5 451-m - 10.（1）6≥x （2）任意数 11. 2± 2 12.32- 13.1 14.0.24m 2 15.-343 16.（1） 17.（1）23- （2）43- （3）7 18.（1）100 （2）-3 （3）0.8 19.-7 20.7cm 2.4课时演练1.D2.A3.C4.D5.C6.B7.D8.C9.23-3-，（答案不唯一） 10.-1,0,1,2 11.6.9 12.11 5 13.14 14.（1）> （2）< （3）>15. （1）< （2）< 16.3.6m 17.7623)2(,73,5)1(--==b a 18.0.71 19.36 20.可以.2.5课时演练1.D2.D3.B4.D5.D6.B7.略8.3-2 3-29.6± 5-310. ① 11.实数 12.右 13. 2-2 14.3或5 15.略 16.略 17.6 18.（1）2S n n = （2）10 （3）455§2．7二次根式课时演练（1）一、选择题1.D2.C3.C4.A 二、填空题5. 2 126. 47.< >8.-8. 三、解答题9.（1）34；（2）2；（3）332；（4）6；（5）103；（6）1；（7）59；（8）72；（9）3522+；（10）322-.10.（1）当x =0.（2）当x ≤0，且x ≠-22xx +有意义.（3）无论x 都有意义.（4）当x ＜23.（5）当x ≥-2，且x ≠2时，2x -有意义.（6）当x ≥3有意义.（7）当x ≤12，且x ≠-1时，1x -有意义.（8）当a ≤2，且a ≠-121aa +有意义. 11．（1）原式=333343331633316=-=-⨯=-⨯（2）原式=11565365312=+=+=+⨯；（3）原式=2154254275311231-=-=-=⨯-⨯；（4）原式=6－3515525-=-+ 12.由数轴可知a ＜0，b ＞0，a -b ＜0，a b a b ---=-[()]a b a b ----=a b a b --+-=2b -. 13. 甲同学的做法是正确的，理由如下：111.5a a a a-=，且，即=5 1111,0,.a a a a a a a a--=∴＞∴＞∴- 乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了a 与1a的大小关系，导致错误. §2．7二次根式课时演练（2）一、选择题1.D2.A3.A4.C5.B6.C7.B 二、填空题8．308; 9．30;a ;y x 252;10 10.21,2311.（1）210；（2）22；（3）232 12.（1）315 （2）536+ （3）3916（4）y x 32+ 13.α=45°，所以∠A = 45°.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，所以∠ABC = 45°，所以AC =BC =h . 由勾股定理可知AC 2+BC 2=AB 2，即2h 2=(4.5×102)2.21810000.28h h =⨯===22所以（4.510）所以答：飞机此时的高度为（m ）. 14.解法17.a b==== 解法277.101010b a ===== 解法3.1010ab===§2．7二次根式课时演练（3）一、选择题1.A2.C3.D4.C 二、填空题5.,；6.2-+7.2；8.9.（1）4+；（2）17+（3）-；（4）14-（5（6）45-+；（7）；（8）2x ；（9）29-. 10.2a b c -+-11.（1）9,（2）12. 方法1是错误的，方法2是正确的.理由如下：因为题中已知条件并没有给出a ≠b 或隐含条件a ≠b ，即≠，而方法1中，在约==0，所以方法1是错误的.章节复习课时演练一、选择题1．B 2．B 3．B 4．B 5．A 二、填空题 6．5 7．16 8．41,－332 9．－62 10．9 11．－a －2 12.（1）>；（2）>.三、解答题13．（1）（2）-（3）2+；（4）2-+14．315．（1）1 （2）211－7 16. 略 17．（1）24551)6151(41=-验证略（2）)2(111)2111(1+++=+-+n n n n n n n 验证略第三章位置与坐标 §3.1确定位置课时演练一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．C二、填空题6．(3，7)，7排4号，4排7号 7．(D ，4)，(G ，1) 8．23三、解答题9．（1）B(2，1)，D(5，6)，E(1，4)；（2）略 10．（1）学校和公园；（2）商场在小明家的北偏西30°，学校在小明家的北偏东45°，公园和停车场都在小明家的楠偏东60°；公园和停车场的方位相同；（3）商场离小明家500米，停车场离小明家800米． 11．25海里/时§3.2平面直角坐标系课时演练1一、选择题1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D二、填空题7．第三象限，第四象限，第二象限，第三象限，x 轴负半轴，y 轴负半轴，x 轴正半轴，y 轴正半轴 8．5，12三、解答题9．（1）A （3,8），L （6,7），N （9,5），P （9,1），E （3,5）；（2）C ，F ，D 10．略 11．（5,2），（5，-2），（-5,2），（-5，-2） 12．15§3.2平面直角坐标系课时演练（2）一、选择题1．B 2．B 3．C 4．D二、填空题5．（0,1） 6．三 7．x 轴或y 轴上；第一象限或第三象限；第二象限或第四象限 8．3，2 9．（4,1） 10．<0，=0 11．一 12．三 13．b=d ；a=c 14．（13,6） 15．（45,13）三、解答题16．略； 17．（1）（0,9）；（2）m=4，n≠-3 18．（1）梯形0；（2）227；10139++§3.2平面直角坐标系课时演练（3）一、选择题1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B二、填空题7．(-4，-3) 8．(-3，4)，(-6，0)三、解答题9．略 10．（1）略；（2）(0，2)，(0，-2)，(-2，4)，(2，4)，(-2，-4)，(2，-4) 11．（1）A(0，3)，D(8，1)，E(7，3)，F(5，2)，G(3，5)；（2）（4，13）§3．3轴对称与坐标变化课时演练一、选择题1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B二、填空题7．(2，3) 8．(2，1) 9．（1）横轴或纵轴；（2）6 10．2.2三、解答题11．（1）32.5；（2）略；（3）(-4，1)；（4）向右平移一个单位长度，向下平移2个长度 12．（1）(2，3)，(6，3)，(2，0)；（2）略第三章位置与坐标章节复习一、选择题1．D 2．B 3．C 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．D 10．D二、填空题11．(-4，3) 12．y 轴 13．5 14．关于x 轴对称 15．南偏西48° 16．三 17．13 18．(-1，-3) 19．(1，0)或(2，0) 20．(4019，3)三、解答题21．A )24,24(；B )33,3(22．（1）略；（2）(0，1)，(-2，0)，(-4，2)，(-2，4) 23．略24．78 25．（1）略；（2）平行；（3）8 26．（1）5；（2）6；（3）等腰直角三角形参考答案§4.1函数一、选择题1．A 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A二、填空题7．变量之间关系；8．关系式法，表格法，图象法；9．x ，y ，对应， y ，x ；10．2a S =，x ，S ，x ；11．x y 100=；12．x y -=90， 900<<x ；13．26x x S -=，60<<x ．三、解答题14．（1）V=2t ；（2）7米/秒．15．(1) 138； (2) y ＝27x +3．16．（1）y=20-6x （x >0）；（2）500米=0.5千米；y =20-6×0.5=17（℃）；（3）-34=20-6x ，x =9．§4.2一次函数与正比例函数一、选择题1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D二、填空题7．①③④⑤, ④．8．,2-≠m 4=m ，69-=x y ．9．x y 2145-=． 10．3y x = 三、解答题11．（1）y =10x +30，是一次函数，但不是正例函数，因为不符合y =kx 的形式；（2）当x =8时，y =10×8+30=110．12．（1）等腰三角形的两个底角相等，由内角和定理可知：x +x +y =180，∴y =180-2x ，它是一次函数；（2）由y ＞0得：x ＜90，又x ＞0，故自变量取值范围为0＜x ＜90．13．112(024)2y x x =-+<<．§4.3一次函数的图象（1）一、选择题1．A 2．D 3．C 4．D 5．B 6．D二、填空题7．-1 8．1 9．< 10．b >d三、解答题11．略．12．43y x =- 13．以正比例函数43y x =-为例，当x =0时，代入43y x =-，得函数值y =0，那么点（0，0）一定在该函数图象上，也即正比例函数43y x =-图象一定过原点． 14．（1）当k >0时，由y kx =可得，当x >0时，y >0；当x <0时，y <0；也即图象上点的横纵坐标均同号，那么当k <0时，正比例函数y kx =图象过第一、三象限；（2）用同样的方法分析可得，当k <0时，正比例函数y kx =图象过第二、四象限．§4.3一次函数的图象（2）一、选择题1．D 2．A 3．A 4． B 5．C 6．A二、填空题7．（1）一、二、三；（2）一、三、四；（3）一、二、四；（4）二、三、四；（5）大；（6）小；8．)0,4(-，)2,0(- ，4；9．31-；10．3 11．13+=x y 12．49- 三、解答题13．画图略；答案不唯一，如：两函数图象是两条互相平行的直线．14．2y x =+．15．满足条件的C 的坐标7(9,0),(1,0),(4,0),(,0)8--共四个． §4.4一次函数的应用（1）一、选择题1．C ． 2．B ． 3．D ． 4．D ． 5．A ． 6．C ．二、填空题7．1；8．2,21==b k 9．5；10．42+-=x y 三、解答题11．（1）设y kx b =+．由图可知：当4x =时，10.5y =；当7x =时，15y =．把它们分别代入上式，得 10.54,157.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得 1.5k =， 4.5b =．∴ 一次函数的解析式是 1.5 4.5y x =+．(2)当4711x =+=时， 1.511 4.521y =⨯+=．即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm ．12．（1）2；（2）设y =kx +b ，把（0，30），（3，36）代入得：b =30，3k +b =36，解得：k =2，b =30 即y =2x +30；（3）由2x +30>49，得x >9.5，即至少放入10个小球时有水溢出．13．解：⑴交点P 所表示的实际意义是：经过2.5小时后，小东与小明在距离B 地7.5千米处相遇．⑵设b kx y +=1，又1y 经过点P （2.5，7.5），（4，0）∴⎩⎨⎧=+=+045.75.2b k b k ，解得⎩⎨⎧-==520k m ∴2051+-=x y 当0=x 时，201=y故AB 两地之间的距离为20千米．14．（1）当020x ≤≤时，y 与x 的函数表达式是2y x =；当20x >时，y 与x 的函数表达式是220 2.6(20)y x =⨯+-，即 2.612y x =-；（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，六月份的水费超过40元，所以把30y =代入2y x =中，得15x =；把34y =代入2y x =中，得17x =；把42.6y =代入2.612y x =-中，得21x =．所以15172153++=．答：小明家这个季度共用水253m ．15．（1）从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟．设小明步行的速度为x 米/分，则小明父亲骑车的速度为3x 米/分，依题意得：15x +45x =3600．解得：x =60．∴两人相遇处离体育馆的距离为60×15=900米．∴点B 的坐标为（15，900）．设直线AB 的函数关系式为s =kt +b （k ≠0）．由题意，直线AB 经过点a （0，3600）、b （15，900）得：3600,15900.b k b =⎧⎨+=⎩解之，得180,3600.k b =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的函数关系式为：．（2小明取票花费的时间为：15+5=20分钟．∵20<25，∴小明能在比赛开始前到达体育馆．§4.4一次函数的应用（2）一、选择题1．A 2．D 3．C ． 4．B ．5．C6．A二、填空题7．x y 3-=；8．x y 1.055-=，500；9． 2.5 10．16三、解答题11．（1）①当0≤x ≤6时，x y 100=；②当6＜x ≤14时，设b kx y +=，∵图象过（6，600），（14，0）两点，∴⎩⎨⎧=+=+.014,6006b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.1050,75b k ∴105075+-=x y ．∴⎩⎨⎧≤<+-≤≤=).146(105075)60(100x x x x y （2）当7=x 时，5251050775=+⨯-=y ， 757525==乙v （千米/小时）．12．解：由已知AP ＝OP ，点P 在线段OA 的垂直平分线PM 上．如图，当点P 在第一象限时，OM ＝2，OP ＝4．在Rt △OPM 中，PM=， ∴ P （2，． ∵ 点P 在y ＝－x ＋m 上，∴ m ＝2＋当点P 在第四象限时，根据对称性，P '（（2，－．∵ 点P'在y ＝－x ＋m 上，∴ m ＝2－m 的值为2＋2－13.20(1)54=， ∴每分钟进水5升（2）当4≤x ≤12时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b （k ≠0）∵函数图象过（4，20）、（12，30）两点∴ 420,1230.k b k b +=⎧⎨+=⎩ )124(15451545≤≤+=∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴x x y b k 所求函数关系式为（3）∵由第4分钟至第12分钟，既进水又出水，且第12分钟时，水池内有水30升.设每分钟出水m 升∴20+8·（5-m ）=30， 415=∴m ∵12分钟后只放水不进水， ∴再经过8分钟，水池中有水：0415830=⨯-．即第20分钟时，水池中无水．设12分钟后，y 与x 之间的函数关系式为y =px +q （p ≠0）∵（12，30）、（20，0）∴ 1230,200.p q p q +=⎧⎨+=⎩ 15,475.p q ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩∴1575(1220)4y x x =-+<≤ 14．解：（1）（）内填60；甲车从A 到B 的行驶速度：100千米/时（2）150660y x ∴=-+，自变量x 的取值范围是：4 4.4x ≤≤（3）设甲车返回行驶速度为v 千米/时，有0.4(60)60v ⨯+=，得90(/)v =千米时，A B 、两地的距离是：3100300⨯=（千米）§4.4一次函数的应用（3）一、选择题1．A 2．A 3．D4．B 5．C ．6．C二、填空题7．388．20．9．132y x =-+． 10．x y 9.0=三、解答题11．解：（1）15，154 （2）由图像可知，s 是t 的正比例函数设所求函数的解析式为kt s =（0≠k ）代入（45，4）得：k 454=, 解得：454=k ∴s 与t 的函数关系式t s 454=（450≤≤t ）（3）由图像可知，小聪在4530≤≤t 的时段内s 是t 的一次函数，设函数解析式为n mt s +=（0≠m ）代入（30，4），（45，0）得：⎩⎨⎧=+=+045430n m n m 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=12154n m∴12154+-=t s （4530≤≤t ）令t t 45412154=+-，解得4135=t 当4135=t 时，34135454=⨯=S 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．12．（1）判断点(1,2),(4,4)M N 是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点(,3)P a 在直线()y x b b =-+为常数上，求点,a b 的值.12．（1）122(12),442(44),⨯≠⨯+⨯=⨯+∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点.（2）由题意得，当0a >时，(3)23,a a +⨯=6a ∴=，点(,3)P a 在直线y x b =-+上，代入得9b =；当0a <时，(3)23a a -+⨯=-6a ∴=-，点(,3)P a 在直线y x b =-+上，代入得3b =-.6,96, 3.a b a b ∴===-=-或13．解：（1）900；（2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇．（3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为90075(km /h)12=；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4=，所以快车的速度为150km/h ．（4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)⨯=，所以点C 的坐标为(6450)，．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得225900.k b =⎧⎨=-⎩，所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-．自变量x 的取值范围是46x ≤≤．（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ．把4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =．此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ．第五章二元一次方程组§5.1认识二元一次方程组课时演练一、选择题：1．D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.B二．填空题8. 32- 9 . 6 10. 1，2 11. ⎩⎨⎧-=-=+15y x y x 12. 2,7 13. 265-=x 14. 1三．解答题15. ⎩⎨⎧==72y x ,⎩⎨⎧==44y x ,⎩⎨⎧==16y x 16.(1) 8座的汽车1辆，4座的汽车7辆；8座的汽车2辆，4座的汽车5辆；8座的汽车3辆，4座的汽车3辆。

第一章勾股定理 (5)

1.1、探索勾股定理（一）教学目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及水平。

重点、难点重点：理解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

难点：勾股定理的发现。

教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。

对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存有着两边相等和三边相等的特殊关系。

那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存有着特殊的关系，这就是我们这个节要研究的问题：勾股定理。

出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早理解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周期数学家）。

出示投影2。

（书中P2 图1一2）并回答：1、观察图1一2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。

正方形B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。

正方形C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。

2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。

3、图l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书。

A + B＝C ，接着提出图1一1中A、B、C的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3 图1一3，图1一4 )提问：1、图1一3中，A 、B、C之间有什么关系？2、图1 一4中，A 、B 、C 之间有什么关系？3、从图1一l 、1一2 、1一3 、l一4中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。

三、议一议1、图1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。

1.1探索勾股定理

理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有“百牛定理”之称。
公元1945年，人们惊奇地发现了一份古巴比伦人的数学手稿，据考证，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大致在公元前18世纪。手稿中难以令人置信地列出了15 组勾股数，如下表：
序号勾股数 1 119、120、169 2 3367、3456、
4825
3 4601、4800、 6649
4 12709、13500、 18541
5 65、72、97 6 319、360、481
7 2291、2700、
序号勾股数 9 481、600、769 10 4961、6480、
8161
11 45、60、75
12 1679、2400、 2929
13 161、240、289 14 1771、2700、
八年级数学（上册）
探索勾股定理
情境引入
俄国伟大的文学家列夫·托尔斯泰在他所著的《一个人需要很多土地吗？》中写了一个发人深思的故事：一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地，卖地的人提出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布。”
巴河姆觉得这个条件对自己有利，于是他付了1000卢布，太阳刚刚从地平线升起就在草原上大步向前走去，他走了足足 8俄里（1俄里＝1.0668千米）这时才朝左拐弯，接着又走了许久，才再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时，他发现天色不早，而自己离清晨出发点足足还有17俄里，于是他只得马上改变方向，径直朝出发点拼命跑去，最后巴河姆总算在日落前回到了出发点。
怎样寻找勾股数：
1、牢记几组常用的勾股数
2、利用公式来推导 X=m2-n2 y=2mn z=m2+n2
(m、n是任意两个正整数，且m＞n)
学生作品

几何第16讲_勾股定理(学生版)A4

一．勾股定理的概念勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形中的两条直角边的平方和等于斜边的平方．即若a 、b 为直角边，c 为斜边，则222a b c +=．二．勾股定理逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形．即△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，其中c 为最长边，若222a b c +=，则△ABC 是直角三角形，∠C 为直角．三．勾股数能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=，a 、b 、c 为正整数时，称a 、b 、c 为一组勾股数．（1）每组勾股数的相同整数倍也是勾股数．（2）3、4、5是勾股数，又是三个连续整数，并不是所有三个连续整数都是勾股数．（3）常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等．四．勾股定理的证明：重难点：勾股定理的实际应用．题模一：勾股定理与勾股数例1.1.1如图在直角三角形ABC 中,AB =6，BC =8，求AC =______________．几何第16讲_勾股定理A BCa b cDCB A ba a a a bbbc c c c DCBAb a aaa b b bcc ccDC BA aa b bc cAB C例1.1.2如图在直角三角形ABC中,AB=8，AC=17，求．BC=______________．AB C例1.1.3一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为_____________．例1.1.4如图一只小蚂蚁都在一个如图所示的长方体A点处，现在它要沿长方体表面爬向C 点，能不能帮这只小蚂蚁找到最短路线呢，最短路线的长度是多少？例 1.1.5三角形的三边长度之比为5:12:13，总长度为120厘米，那么三角形的面积为______平方厘米．（改自2014年6月22日考试真题）例1.1.6在一棵树的10米高处的B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算（如图）．如果两只猴子所进过的距离相等，请判断：这棵树高__________米．DBC A例1.1.7在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m）( )A．20m B．25m C．30m D．35m例1.1.8如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米）．例1.1.9如图，四边形ABCD 各边的边长均已标在图中，其中∠A =90°，求四边形ABCD 的面积．例1.1.10根据图中所给的条件，求梯形ABCD 的面积．例1.1.11如图，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD 的面积．例1.1.12如图所示，在边长为15厘米的正方形纸片从各顶点起4厘米处，沿着45°角剪下，中间形成一个小正方形，这个小正方形面积为__________（平方厘米）．103413121510ADCBEBA C D例1.1.13右图的图案由1个圆和2个大小相同的正方形组成（2个正方形的公共部分为正八边形）。