高三数学下学期第四周周测试题 文

河北衡水中学2017届高三数学（文）周测一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|42}M x x =-<<，{|N x y ==，则M N =（ ）A ． (0,4)B ．[0,4)C ．(0,2)D ．[0,2)2.若复数12aii+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ． 2 B ．12 C ．12- D ．-23.已知在等差数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和5a 的等比中项，则7a =（ ） A ． 1 B ． 1或13 C ．13 D ． 1或154.过点(1,0)M 作斜率为1的直线l 交抛物线24y x =于,A B 两点，则||AB =（ ） A ．4 B ． 6 C. 8 D ．105.某公司有30名男职员和20名女职员，公司进行了一次全员参与的职业能力测试，现随机询问了该公司5名男职员和5名女职员在测试中的成绩（满分为30分），可知这5名男职员的测试成绩分别为16,24,18,22,20,5名女职员的测试成绩分别为18,23,23,18,23，则下列说法一定正确的是（ ） A ．这种抽样方法是分层抽样 B ．这种抽样方法是系统抽样C. 这5名男职员的测试成绩的方差大于这5名女职员的测试成绩的方差 D ．该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数6.设向量(1,0)a =，2(,b =，若()c a tb t R =+∈，则||c 的最小值为（ ）A ．1 C.2D ．127.已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为13，则该几何体的俯视图可以是（ ）A ．B ． C.D ．8.执行如图所示的程序框图，若输出的x 的值是8，则实数M 的最大值为（ ）A ．39B ．40 C. 41 D ．121 9.已知函数()2cos(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数图象关于y 轴对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值之和为（ ）A ．．-1 C. 0 D10.已知点P P 作球的两两垂直的三条弦,,PA PB PC ，若PA PB =，则PA PB PC ++的最大值为（ ）A B 1 C. 2 D ．311.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴端点分别为12,A A ，记双曲线的其中一个焦点为F ，一个虚轴端点为B ，若在线段BF 上（不含端点）有且仅有两个不同的点(1,2)i P i =，使得122i A P A π∠=，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A B C. D )+∞ 12.若关于x 的不等式64xme x x≥-在(0,)+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12(,2)e --∞ B ．12(,2]e --∞ C. 12(2,)e -+∞ D ．12[2,)e -+∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若4sin 5α=-，且α是第三象限角，则2sin 2cos αα-= ． 14.若,x y 满足约束条件12220y x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．15.已知首项11a =的数列{}n a 满足*121()n n a a n N +=+∈，则数列{1}n a n +-的前n 项和n T = ．16.若()f x 是定义在[0,)+∞上的函数，当[0,2]x ∈时，()sin()f x x π=，且当(2,)x ∈+∞时，1()(2)2f x f x =-，则方程()ln(1)f x x =-的实数根的个数为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 满足12a =，前n 项和为n S ，若*2(1)()n n S a n N =-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22212(log )(log )n n n b a a +=-，若n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n T ．18. 已知四棱锥P ABCD -如图所示，其中四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠=，三角形PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 为棱PC 上的点，且13PM PC =．（1）求证：PBC ∆是直角三角形；（2）若2CD =，求四棱锥M ABCD -的体积．19. 从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组，第一组[40,50)；第二组[50,60)；…；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在区间[80,90)内的学生人数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选取2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率．20. 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>与y 轴的正半轴相交于点M ，点12,F F 为椭圆的焦点，且12MF F ∆是边长为2的等边三角形，若直线:l y kx =+E 交于不同的两点,A B ．（1）直线,MA MB 的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （2）求ABM ∆的面积的最大值． 21. 设函数21()ln 2f x x ax k x =--，(,)a R k R ∈∈． （1）若1k =，且()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若0a =且k e ≥，求证：()f x 在区间上有且仅有一个零点． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为x m ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+．（1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；（2）若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为m 的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+，()a R ∈．（1）若1a =，解不等式()|3|2f x x x +-≤；（2）若不等式()|1|3f x x +-≥在R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 附加题：1．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且22sin 3cos()0A B C ++=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积S =a =sin sin B C +的值．2.已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为2，动直线y x m =+交椭圆M 于不同的两点,A B ，(1,1)T ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）试问：TAB ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．3.设函数()ln x f x e x =（e 是自然对数的底数）． （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）令2()1xe Q x ex=-，证明：当0x >时，()()f x Q x >恒成立．试卷答案一、选择题1-5: DABCC 6-10:CBBBA 11、12：AD 二、填空题13. 35 14. 4 15. 21422n n n +++- 16.3三、解答题17.（1）由条件可知，当2n ≥时，112()n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=， 又12a =，∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2n n a =．（2）由（1）可得22(1)21n b n n n =+-=+，则(21)2n n c n =+⨯， ∴23252(21)2n n T n =⨯+⨯+++⨯ ① ∴23123252(21)2n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ②①－②可得：23162(222)(21)2n n n T n +-=++++-+⨯114(12)62(21)212n n n -+-=+⨯-+⨯-1(21)22n n +=-+⨯-∴1(21)22n n T n +=-⨯+．18.（1）取AD 的中点O ，连接,,OP OC AC ，因为60ABC ∠=，四边形ABCD 为菱形，所以ACD ∆为正三角形， 所以OC AD ⊥，又三角形PAD 是等边三角形，所以OP AD ⊥， 又OPOC O =，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以AD PC ⊥．因为//BC AD ，故BC PC ⊥，即PBC ∆是直角三角形.（2）由题意知，菱形ABCD 的面积S =，PO =，故124333M ABCD V -=⨯=. 19.（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)内的频率为1(0.00520.0150.0200.045)100.1-⨯+++⨯=， 所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为400.14⨯=.（2）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选取2名，至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”，由（1）可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这4名学生分别为,,,a b c d ，成绩在区间[90,100]内的学生有0.00510402⨯⨯=（人），记这2名学生分别为,e f ， 则选取2名学生的所有可能结果为(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f c d c e , (,),(,),(,),(,)c f d e d f e f 共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(,),(,),(,),(,),(,)a e a f b e b f c e ， (,),(,),(,),(,)c f d e d f e f ，共9种，所以93()155P A ==． 20.（1）因为12MF F ∆是边长为2的等边三角形，所以22c =，b =，2a =，所以2,a b =，所以椭圆E ：22143x y +=，点M .将直线:l y kx =+E 的方程，整理得：22(34)360k x +++=，（*） 设1122(,),(,)A x y B x y ，则由（*）式可得222)4(34)3648(49)0k k ∆=-+⨯=->，所以33(,)(,)22k ∈-∞-+∞，12x x +=，1223634x x k =+， 所以直线,MA MB 的斜率之积121233MA MB y y k k--=22221212393613436364k k k k k +-+===+=+=所以直线,MA MB 的斜率之积是定值14. （2）记直线:l y kx =+y 轴的交点为N ，则211||||||2ABM ANM BNM S S S MN x x ∆∆∆=-=-=2434k ==+234k =+6122≤当且仅当24912k -=，即33(,)(,)222k =±∈-∞-+∞时等号成立. 所以ABM ∆的面积的最大值为2. 21.（1）∵21()ln 2f x x ax k x =--，∴'()kf x x a x=--， 若1k =，且()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，则'()0k f x x a x =--≥对任意的1x ≥恒成立，即1a x x≤-对任意的1x ≥恒成立， ∴min 1()0a x x≤-=，即实数a 的取值范围为(,0]-∞.（2）当0a =时，21()ln 2f x x k x =-，∴'()k f x x x =-=，由'()0f x <，得0x <'()0f x >，得x >∴()f x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增，当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且102f e e =-=，∴()f x 在区间上有且仅有一个零点，当k e >>()f x 在区间上单调递减，又1(1)02f =>，1022e kf e k -=-=<，∴()f x 在区间上有且仅有一个零点.综上，若0a =且k e ≥，则()f x 在区间上有且仅有一个零点.22.（1）由)4πρθ=+可得cossin sin )44ππρθθ=-，即4cos 4sin 0ρθθ-+=，所以24cos 4sin 0ρρθρθ-+=，转化为直角坐标方程为22440x y x y +-+=，即22(2)(2)8x y -++=，曲线C 对应的图形是以(2,2)C -为圆心，以. （2）l 的参数方程化为普通方程可得：0x y m --=，由条件可知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值不大于-所以0≤≤412m -≤≤， 即实数m 的取值范围是[4,12]-. 23.（1）依题意，|1||3|2x x x ++-≤，当1x <-时，原不等式化为132x x x --+-≤，解得12x ≥，故无解； 当13x -≤≤时，原不等式化为132x x x ++-≤，解得2x ≥，故23x ≤≤； 当3x >时，原不等式化为132x x x ++-≤，即20-≤恒成立. 综上所述，不等式()|3|2f x x x +-≤的解集为[2,)+∞. （2）()|1|3f x x +-≥|||1|3x a x ⇔++-≥恒成立， 由|||1||1|x a x a ++-≥+可知，只需|1|3a +≥即可，故2a ≥或4a ≤-，即实数a 的取值范围为{|24}a a a ≥≤-或. 附加题：1.（1）由22sin 3cos()0A B C ++=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=， 解得：1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）. 因为0A π<<，所以3A π=.（2）由11sin 22S bc A bc ====，得20bc =. 由余弦定理，得22222cos ()321a b c bc A b c bc =+-=+-=， 所以9b c +=.由正弦定理，得：sin sin sin sin sin ()9b c A B C A A b c a a a +=+=⨯+==.2.由基本不等式得：22(3)2TABm m S ∆-+≤=当且仅当((0,3)2m =±时取等号，所以TAB ∆面积的最大值为2.故TAB ∆的面积存在最大值，且当m =时，TAB ∆的面积取得最大值2.3．（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()ln xxe f x e x x =+， 所以(1)0f =，'(1)f e =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)y e x =-.（2）当0x >时，()()f x Q x >恒成立，等价于当0x >时，2ln x x x x e e>-恒成立. 设函数()ln g x x x =，则'()1ln g x x =+， 所以，当1(0,)x e ∈时，'()0g x <；当1(,)x e∈+∞时，'()0g x >. 故()g x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增， 从而()g x 在(0,)+∞上的最小值为11()g e e=-. 设函数2()x x h x e e =-，则'1()x x h x e -=， 所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >；当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <. 故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞上的最大值为1(1)h e =-. 因为min max 1()()(1)()g x g h h x e ===，所以当0x >时，()()g x h x >，所以当0x >时，()()f x Q x >恒成立.。