实数的概念--华师大版(201911整理)
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。
简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。
有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。
而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。
实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。
也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
二、有理数有理数是实数的重要组成部分。
整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。
分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。
有理数具有一些很重要的性质。
比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。
而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。
我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。
比如购物时的价格、物品的数量等等。
三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。
像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。
圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。
无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。
虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。
加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。
乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。
除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。
乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。
在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
2019年华师大版中考数学总复习知识点梳理：第1讲实数
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD 、BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为( )A.2B.3C.4D.52．已知：32251025x xx x -++﹣M ＝55x x -+，则M ＝( )A ．x 2B ．25x x +C ．2105x x x -+D ．2105x x x ++3．不等式组1212x x -≥⎧⎨+>⎩的最小正整数解是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）A. B.C. D.5．如图，在ΔABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E 是AC 的中点.若DE 5=，则AB 的长为（ ）A ．2.5B ．7.5C ．8.5D ．106．在四边形ABCD 中，//,AB CD AB AD =，添加下列条件不能推得四边形ABCD 为菱形的是（ ） A ．AB CD =B ．//AD BCC ．BC CD =D ．AB BC =7．如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上，边0C 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的坐标为（ ）A ．412()55-，B ．213()55-，C ．113()25-，D ．312()55-，8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝（ ） A ．4B ．6C ．8D ．109．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC 的大小是（ ）A.30°B.45°C.60°D.70°10．如图，菱形ABCD 的边AB=5，面积为20，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB 、AD 都相切，AO=2，则⊙O 的半径长等于（ ）A B C D 11．不等式2x+3＞3x+2的解集在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A.4条B.3条C.2条D.1条二、填空题13．不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是_____.14．因式分解：a3－ab2＝______________．15．如图，矩形ABCD为一块钢板，其中AB=20，AD=40，先裁剪下一块直角三角形ABE，∠BAE=45°，点E在BC上，然后再从剩余的部分中裁剪下块锐角为30°的直角三角形AEF，则△AEF的面积为_______16．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______________．17．不等式组2021xx x-⎧⎨>-⎩…的最小整数解是_____．18．如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是_____．三、解答题19．新昌特色小吃是中华饮食文化宝库中的一块瑰宝，种类繁多，色香味美，著名的“米海茶”、“春饼”、“芋饺”、“炸面”、“炒年糕”等都是新昌特色小吃．一数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了一些同学进行“我最喜爱的新昌特色小吃”的调查活动，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：(1)请将条形统计图补充完整．(2)在扇形统计图中，表示“炒年糕”对应的扇形的圆心角是多少度？(3)若该校共有1200名学生，请你估计该校学生中最喜爱“米海茶”的学生有多少人？20．如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q（1）如图2，当1CEEA = 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明． （2）如图3，当2CEFA=时 ①EP 与EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由．②在旋转过程中，连接PQ ，若AC ＝30cm ，设EQ 的长为xcm ，△EPQ 的面积为S （cm 2），求 S 关于x 的函数关系，并求出x 的取值范围．21．如图1，△ACB 为等腰直角三角形，△EDF 为非等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且AB=EF ．（1）如图2，将两个直角三角形按如图2将斜边重叠摆放．当AB=EF=6， ①DA=______； ②求DC 的长．（2）若将题中两个直角三角形的斜边重叠摆放，那么线段CD 、AD 、BD 之间存在怎样的数量关系？请直接写出答案．22．已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，AB＝AC．连结AD，交⊙O于H；直线HF 交BC的延长线于G．（1）求证：圆心O在AD上；（2）求证：CD＝CG；（3）若AH：AF＝3：4，CG＝10，求HF的长．23．完成下列表格，并回答下列问题，（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐，cosα的值逐渐，tanα的值逐渐．（2）sin30°＝cos ，sin ＝cos60°；（3）sin230°+cos230°＝；（4）sin30tancos 30︒︒=；（5）若sinα＝cosα，则锐角α＝．24．如图1，反比例函数kyx=(k>0)图象经过等边△OAB的一个顶点B，点A坐标为（2，0），过点B作BM⊥x轴，垂足为M．（1）求点B的坐标和k的值；（2）若将△ABM沿直线AB翻折，得到△ABM'，判断该反比例函数图象是从点M'的上方经过，还是从点M'的下方经过，又或是恰好经过点M'，并说明理由；（3）如图2，在x轴上取一点A1，以AA1为边长作等边△AA1B1，恰好使点B1落在该反比例函数图象上，连接BB1，求△ABB1的面积．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC＝1，tan∠B＝12，求∠CAD的正弦值．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．3 714．a（a+b）（a﹣b）15或16．117．018．16三、解答题19．(1)见解析；(2)54°；(3)60人.【解析】【分析】（1）由“芋饺”的人数及其所占百分比可得总人数；（2）用360°乘以“炒年糕”人数所占比例可得；（3）用总人数乘以样本中最喜爱“米海茶”的学生人数所占比例即可得．【详解】（1）被调查的总人数为10÷25%＝40(人)，则“春饼”对应人数为40﹣(2+10+8+6)＝14(人)，补全图形如下：（2）表示“炒年糕”对应的扇形的圆心角是360°×640＝54°； （3）估计该校学生中最喜爱“米海茶”的学生有1200×240＝60(人)．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20．(1)EP ＝EQ ，理由见解析；（2）①EQ ＝2EP ，理由见解析；②214S x x . 【解析】 【分析】（1）连接BE ，根据已知条件得到E 是AC 的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE ，∠PBE=∠C ，根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ ，即可得到全等三角形，从而证明结论；（2）①作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥BC 于点N ，证明△MEP ∽△NEQ ，发现EP ：EQ=ME-NE=AE ：CE ，继而得出结果；②设EQ=x ，根据上述结论，可用x 表示出S ，确定EQ 的最大值，及最小值后，可得出x 的取值范围． 【详解】（1）连接BE ，如图2：证明：∵点E 是AC 的中点，△ABC 是等腰直角三角形， ∴BE ＝EC ＝AE ，∠PBE ＝∠C ＝45°， ∵∠PEB+∠BEQ ＝∠QEC+∠BEQ ＝90°， ∴∠PEB ＝∠QEC ， 在△BEP 和△CEQ 中，BEP CEQ BE CEPBE C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BEP ≌△CEQ （ASA ）， ∴EP ＝EQ ．（2）①作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥BC 于点N ，如图3：∵∠A ＝∠C ＝45°， ∴EM ＝AM ，EN ＝CN ，∵∠MEP+∠PEN ＝∠NEQ+∠PEN ＝90°， ∴∠MEP ＝∠NEQ ，又∵∠EMP ＝∠ENQ ＝90°， ∴△MEP ∽△NEQ ，∴EP ：EQ ＝ME ：NE ＝ME ：CN ＝AE ：CE ＝1：2， 故EQ ＝2EP ；②设EQ ＝x ，由①得，EP ＝12x ， ∴S △EPQ ＝12EP×EQ＝14x 2， 当EQ ＝EF 时，EQ 取得最大，此时EQ当EQ ⊥BC 时，EQ 取得最小，此时EQ＝EC×sin45°＝20×2＝，即x ≤ 综上可得：S ＝14x 2（． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，对于此类综合性较强的题目，关键还是需要同学们有扎实的基本功，注意培养自己的融会贯通能力． 21．(1) ①CD, 【解析】 【分析】（1）直接用勾股定理即可求出DA ，在AD 上截取AE=BD ，连接CE ，可证△ACE ≌△BCD （SAS ），从而判断出∠ECD=90°，在Rt △CDE 中，由勾股定理可得出DE 的值，即可求解．（2）由（1）题②中的过程可直接求得．【详解】解：（1）①在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，由勾股定理，得==②在AD 上截取AE=BD ，连接CE ，如图∵∠ACB=∠ADB=90°∴∠CAE+∠CFA=∠DBA+∠DFB∵∠CFA=∠DFB∴∠CAE=∠DBC在△ACE 和△BCD 中AC BC CAE CBD AE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴∠ACE=∠BCD ，CE=CD∵∠ACE+∠ECB=90°∴∠ECD=∠ECB+∠BCD=∠ACE+∠ECB=90°在Rt △CDE 中，由勾股定理，得==∴CD DE 22==（AD-AE ）555⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）CD ，理由：在AD 上截取AE=BD ，如图，连接CE ，由（1）题②中可知CD ，∴CD ，即CD ．【点睛】此题主要考查等腰直角三角形，在运用勾股定理的过程中，关键在于利用辅助线构建直角三角形．22．（1）见解析（2）见解析（3）9【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到AF＝AE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）连接DF，由（1）知，DH是⊙O的直径，得到∠DFH＝90°，根据余角的性质得到∠FDH＝∠G，根据切线的性质得到∠AFH＝∠GFC＝∠FDH，于是得到结论；（3）根据切线的性质得到∠ADF＝∠AFH，根据相似三角形的性质得到34AH AFAF AD==，设AF＝3x，AD＝4x，根据勾股定理列方程得到AF＝1807，AD＝2407，设FH＝3m，DF＝4m，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，∴AF＝AE，∵AB＝AC，∴CF＝BE，∵CF＝CD，BD＝BE，∴CD＝BD，∴AD平分∠CAB，∴圆心O在AD上；（2）连接DF，由（1）知，DH是⊙O的直径，∴∠DFH＝90°，∴∠FDH+∠FHD＝90°，∵∠G+∠FHD＝90°，∴∠FDH＝∠G，∵AC与⊙O相切，∴∠AFH＝∠GFC＝∠FDH，∴∠GFC＝∠G，∴CG＝CF＝CD；（3）∵AF与⊙O相切，∴∠ADF＝∠AFH，∵∠DAF＝∠FAH，∴△AFH∽△ADF，∴34 AH AFAF AD==，∴设AF＝3x，AD＝4x，∵CG＝10，∴CF＝CD＝10，∴AC＝3x+10，∵AC2＝AD2+CD2，∴（3x+10）2＝（4x）2+102，∴x＝607，∴AF＝1807，AD＝2407，∴AH＝34AF＝1357，∴DH＝AD﹣AH＝1057，∵△AFH∽△ADF，∴34 AH AF FHAF AD DF===，∴设FH＝3m，DF＝4m，∵DH＝5m＝1057，∴m＝3，∴FH＝9．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的判定和性质，相似三角形，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．23．填表见解析；（1）增大，减少，增大．60゜，30゜；（2）1；（3）30°；（4）45°．【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值填写即可；（1）根据锐角三角函数的增减性，同角三角函数的关系填写；（2）根据两个角互余，则sinα=cosβ，cosα=sinβ填写。
实数的概念--华师大版
典型例题解析
例1、（1） 3 的倒数是 1/3 ；
（2） 3 －2的绝对值是 2 － 3；
（3）若 x 1, y 2，且xy>0，x+y= 3或－ 3 。
例2、把下列各数填到相应的集合里: 31; 8; 3 27 ;
; 3.14; 0.1010010001;
tan 450 3; 0.321; 3.2
例3 按规律填数：2、7、12、17、_2_2_、_2_7___.
分析，题目中给出的四个数后面的数都比前面的数大5，
例4 在（ ）内填上“+”或“–”或“÷”或“×”，使等式成 4（ ）6( )3( )10 = 24
例5 五位老朋友a,b,c,d,e去公园去约会，他们见面后 都要和对方握手以示问候，已知a握了4次，b握了1次， d握了3次，e握了2次，那么到现在为止，c握了几次？
22 ; 7
sin 300;
整数集合：{ 3 27 ;tan45°; － 3 }；
分数集合：{ 3-1；3.14；227;sin30°；｜-3.2｜；-0.32·1}·；
有理数集合： ； 3-1；3-27；3.14；227；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜
无理数集合：{ 8 ;-π；0.100110001… }。
a a a≥0 a a＜0
5、表示数轴上的右边点的数总是大于左边点的数， 既正数大于一切负数和零，零大于一切负数，两个负 数比较绝对值大的反而小。
； http://www.sejywቤተ መጻሕፍቲ ባይዱcom/pinpai/oumeisitongxingsiwei.htm 国翰全脑教育加盟
；
不能说明生活的完美、永恒。20 渴望之在中国大行其道,既简明如神谕，以便在突发的灾难
(完整版)实数知识点总结
(完整版)实数知识点总结1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。
实数集包含有理数集和无理数集。
2. 有理数的性质有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数的性质包括：- 有理数的四则运算性质：加法、减法、乘法和除法。
- 有理数的分数形式，即可以表示为两个整数的比值。
- 有理数可以表示为小数，且小数可以是有限的或无限循环的。
3. 无理数的性质无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
无理数的性质包括：- 无理数不能表示为分数形式。
- 无理数的十进制表示是无限不循环的。
- 无理数可以用无限不循环的小数表示，但无法精确表示。
4. 实数的数轴表示实数可以在数轴上表示，数轴上的每个点都对应一个实数。
5. 实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
实数的运算满足以下性质：- 交换律：a + b = b + a，a * b = b * a。
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，(a * b) * c = a * (b * c)。
- 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c。
6. 绝对值绝对值是一个数离0的距离，可以用来表示数的大小。
绝对值的性质包括：- 绝对值非负：|a| >= 0。
- 非零数的绝对值大于0：|a| > 0。
- 绝对值的加法：|a + b| <= |a| + |b|。
7. 实数的比较实数可以进行大小比较，实数的比较满足以下性质：- 反身性：a = a。
- 对称性：如果a > b，则b < a。
- 传递性：如果a > b，b > c，则a > c。
8. 实数的区间实数可以按照大小关系分为开区间、闭区间、半开半闭区间等。
区间的边界可以是实数也可以是无穷大。
9. 实数的近似值由于实数的无理数部分是无限不循环的，所以我们一般用近似值来表示实数。
10. 实数的应用实数在数学和科学中有广泛的应用，如在几何中表示线段长度、在物理中表示物体的质量等。
实数的概念与性质
实数的概念与性质实数是数学中最基本和最广泛使用的一种数，包括有理数和无理数。
作为数学的基础，实数具有一些独特的性质和特点。
本文将探讨实数的概念以及它的性质。
一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数的全体数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
无理数是不能表示为有理数的比值的数，它们通常以无限不循环小数的形式存在。
实数可以通过不同的方式表示和描述，例如：1. 十进制表示法：实数可以用十进制数来表示，有限的十进制数是有理数，无限不循环的十进制数是无理数。
2. 小数和分数表示法：实数可以表示为有限小数或者无限循环小数，有理数可以用分数表示。
3. 数轴表示法：通过在数轴上标记实数的位置，可以直观地表示实数的大小关系。
不同表示方法可以相互转换，实数的概念是统一和相互联系的。
二、实数的性质1. 有序性：实数集是有序的，任意两个实数之间可以进行比较大小。
这是实数集比有理数集更加广泛适用的一个重要性质。
2. 稠密性：实数集是稠密的，任意两个实数之间都存在一个实数。
这意味着在实数集中，无论多么接近的两个实数，总是可以找到另一个实数介于它们之间。
3. 完备性：实数集是完备的，任何一个非空有上界的实数集都有最小上界。
这一性质称为实数集的确界性质，它保证了实数集在数学推导中的连续性和完整性。
4. 代数运算性质：实数集上定义了加法和乘法两种代数运算，满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
实数集上还具有整除性和唯一因子分解等重要性质。
5. 密度性：实数集中的有理数和无理数彼此之间也是密集的。
这一性质使得实数集成为了展开无限不循环小数的基础。
6. 绝对值性质：实数的绝对值是非负的，它表示一个数到原点的距离。
绝对值具有非负性、正定性、三角不等式等重要的性质。
7. 有限性：实数集是无限的，没有最大实数和最小实数。
实数集的无限性质使得它可以涵盖无数个数值。
总结：实数是数学中最基本和最广泛使用的一种数。
实数的概念--华师大版
例6、比较大小： 2 5 与 2 3 解： ( 2
2 5 ) ( 2 5 2 3 3) 5 3 0
例7、已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图； 化简：a b (a b) 2
b a 0
解：由图知：b＜a＜0，∴a-b＞0，a+b＜0. ∴｜a-b｜+ (a b ) 2 =(a-b)+｜a+b｜=a-b+［-(a+b)］=a-b-a-b=-2b. 本题考察的是绝对值的意义与运用，关键是如何判断绝 对值里面数值的符号，从而去掉绝对值.
7
}。
8、下列说法中，错误的个数是
பைடு நூலகம்（ C ）
①无理数都是无限小数；②无理数都是开方开不尽的数； ③带根号的都是无理数；④无限小数都是无理数。 A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。
9、数轴上的点与（ D ）一一对应。 A.整数； B.有理数； C.无理数；
10、下列运算正确的是 1 1 B. ( 2) 2 A.
cos600 ,
3
64, 2.1010010001 .
3
-1，0， 64 整数集合：{ ……}； -1 奇数集合：{ ……}； 5 有理数集合：{ -1，，3.14，0， 3. 3 3 3，cos60°， 3 64 } ；
无理数集合：{ π,-,tan30°,2.1010010001…
1
3 3 8 ; 27; 例2、把下列各数填到相应的集合里: ; 22 0 ; 3.14; 0.1010010001 ; ; sin 30 ; 7 0 tan45 3; 0.3 21; 3.2
整数集合：{ 3 分数集合：{ 有理数集合： 无理数集合：{
数学实数知识点全面总结
数学实数知识点全面总结在数学的学习中，实数是一个非常重要的概念。
实数是指所有的有理数和无理数的集合，它包括了所有的正数、负数、零，以及所有的分数和无限不循环小数。
实数可以用来描述各种物理量和现象，也是解决数学问题的基础。
下面我们来总结一下实数的各种性质和特点。
一、实数的概念实数是数学中最基本的概念之一，它包括有理数和无理数。
有理数是可以用两个整数的比例来表示的数，而无理数则是不能用有理数表示的数。
这两种数的集合构成了实数。
二、实数的表示实数可以用无数个十进制数来表示，比如π、√2等无理数，和分数形式的有理数都是实数。
实数还可以表示为小数、分数、整数等形式。
三、实数的运算1.实数的加法和减法实数的加法和减法遵循一般的运算法则，即加法交换律、结合律和分配律。
两个实数相加或相减可以得到另一个实数。
2.实数的乘法和除法实数的乘法和除法也遵循一般的运算法则，即乘法交换律、结合律和分配律。
两个实数相乘或相除也可以得到另一个实数。
3.实数的幂运算和根号运算实数还可以进行幂运算和开方运算，比如a^b和√a。
幂运算是指以某个实数为底数，另一个实数为指数的运算，开方运算是指求某个实数的平方根、立方根等运算。
四、实数的性质1.实数的比较性实数可以相互比较大小，即可以进行大小关系的判断。
两个实数之间可以进行比较大小的关系，比如大小、大小等于、小于等于等。
2.实数的分布性实数的分布性指的是其在数轴上的分布情况。
实数可以在数轴上表示为一个点，可以根据大小关系来进行分布，例如大的实数在数轴上表示为较远的位置，小的实数在数轴上表示为较近的位置。
3.实数的密集性实数的密集性指的是实数在数轴上的密集程度。
实数在数轴上随意两个数之间总存在有理数和无理数，这表明实数是非常密集的。
4.实数的无限性实数是无限的，即实数的数量是无穷的。
无论多大或多小的实数，都可以找到一个比它更大或更小的实数。
五、实数的应用实数在数学中有着广泛的应用，它是解决各种数学问题的基础。
实数的概念--华师大版
第一章第一课时：
实数的概念
要点、考点聚焦
1、实数的分类
整数 有理 数
实数
分数
正整数 负整数
正分数 负分数
有限小数或循环小数
无理数 正无理数 无限不循环小数 负无理数
2、相反数与倒数的概念
3、数轴的三要素是指原点、正方向和单位长度。数轴 上的点与实数一一对应。
4、绝对值：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的 点到原点的距离。即
典型例题解析
例1、（1） 3 的倒数是 1/3 ；
（2） 3 －2的绝对值是 2 － 3；
（3）若 x 1, y 2，且xy>0，x+y= 3或－ 3 。
例2、把下列各数填到相应的集合里: 31; 8; 3 27 ;
; 3.14; 0.1010010001;
tan 450 3; 0.321; 3.2
22 ; 7
sin 300;
Hale Waihona Puke 整数集合：{ 3 27 ;tan45°; － 3 }；
分数集合：{ 3-1；3.14；227;sin30°；｜-3.2｜；-0.32·1}·；
有理数集合： ； 3-1；3-27；3.14；227；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜
无理数集合：{ 8 ;-π；0.100110001… }。
解：a和 b、c、d、e 都握了共4次，b只握1次，那他 只和a握过， d和a,c,e握了3次，e和a,d握2次 ，所以 到目前为止，c握了2次.
例3 按规律填数：2、7、12、17、_2_2_、_2_7___.
分析，题目中给出的四个数后面的数都比前面的数大5，
例4 在（ ）内填上“+”或“–”或“÷”或“×”，使等式成 4（ ）6( )3( )10 = 24
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中的一个基本概念。
简单来说，实数就是有理数和无理数的总称。
有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）以及分数（正分数、负分数），都属于有理数。
例如3、－5、0、1/2 等等。
而无理数呢，则是无限不循环小数。
比如大家熟知的圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 ，约等于 141421356 这些数都是无理数。
二、实数的分类实数可以按照不同的标准进行分类。
如果按照符号来分，可以分为正实数、零、负实数。
正实数，就是大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数，是小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
零，既不是正实数，也不是负实数。
从另一个角度，如果按照是否为有理数来分，实数就分为有理数和无理数。
有理数又可以进一步细分为整数和分数。
整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
三、实数的性质1、实数的有序性对于任意两个实数 a 和 b，在三种关系中，有且仅有一种成立：a ＜ b，a ＝ b，a ＞ b。
2、实数的稠密性实数在数轴上的分布是稠密的，也就是说，在任意两个不同的实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。
3、实数的四则运算实数的加法、减法、乘法和除法运算（除数不为 0），其结果仍然是实数。
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：a × b ＝ b × a乘法结合律：（a × b) × c ＝ a ×（b × c)乘法分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c4、实数的绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，其定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。
绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。
四、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
[配套K12]八年级数学上册 11.2 实数知识点解读素材 (新版)华东师大版
![[配套K12]八年级数学上册 11.2 实数知识点解读素材 (新版)华东师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/ce3587580b1c59eef8c7b451.png)
《实数》知识点解读注意理解实数的概念由于实际问题的需要我们引进了“无理数”，即无限不循环小数是无理数.即无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③是不循环小数.有理数和无理数统称为实数.即实数这个大家庭里有有理数和无理数两大成员.就是说有理数和无理数是两类完全不同的数.一个实数，如果一个数是有理数，那么它一定不是无理数，反之，如果一个数是无理数，那么它一定不是有理数.由此，有理数包括有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数.另外，所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数的形式.可见，从“有理数”扩充到“实数”，使得“实数”是初中数学中数的运算重要的基础知识.注意知道无理数的几种常见表现形式无理数一般有下列几种常见的表现形式：第一类：π型，如2π，3π－1，2π，…；、…；第三类：小数型，如0.1201210012120001212…；－－3.36377377737777…；以后我们还会接触另一类无理数，即锐角三角函数型.注意掌握实数的分类实数的分类可从两个角度去思考，即（1）按定义来分类；（2）按正、负数来分类.具体地可下表：实数0⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数 正有理数正实数0由此可见，0在实数里也扮演着重要角色.我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.注意正确理解实数与数轴的关系实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数，是有理数，就是无理数.在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等.实数a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，绝对值大的反而小.另外，任何两个实数之间有无穷多个有理数和无穷多个无理数.注意掌握实数的有关性质实数和有理数一样也有许多的重要性质.具体地讲可从以下几方面去思考：相反数：实数a 的相反数是－a ，0的相反数是0，具体地，若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0；反之，若a ＋b ＝0，则a 与b 互为相反数.绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为()()⎩⎨⎧<-≥=.0,0a a a a a 就是说实数a 的绝对值一定是一个非负数，即a ≥0，并且有若x ＝a (a ≥0)，则x ＝±a .倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a 与b 互为倒数，则ab ＝1；反之，若ab ＝1，则a 与b 互为倒数.这里应特别注意的是0没有倒数.实数大小的比较：任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.利用数轴也可以比较两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的点所表示的数总比左边的点表示的数大.实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.。
优品课件之八年级数学上册《实数》知识点整理华东师大版
八年级数学上册《实数》知识点整理华东师大版八年级数学上册《实数》知识点整理华东师大版知识点1、实数的分类：有理数和无理数2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上点一一对应.3、相反数：符号不同的两个数，叫做互为相反数.a的相反数是-a，0的相反数是0. (若a与b护卫相反数，则a+b=0)4、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作�Oa�O，正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.5、倒数：乘积为1的两个数6、乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.(平方和立方)7、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根.(算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0.)实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数)。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
1)相反数(只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数，叫做互为相反数) 实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
2)绝对值(在数轴上一个数a与原点0的距离) 实数a的绝对值是：|a|①a为正数时，|a|=a(不变)，a是它本身;②a为0时， |a|=0，a也是它本身;③a为负数时，|a|= -a(为a的绝对值)，-a是a的相反数。
什么是实数？实数包括什么数
什么是实数？实数包括什么数
想要了解什么是实数的小伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“什么是实数？实数包括什么数”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！
什么是实数？实数包括什么数
实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，实数集通常用黑正体字母R表示，实数是不可数的。
实数和虚数共同构成复数，实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性。
拓展阅读：实数和虚数统称为
实数和虚数统称为复数。
形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数，不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应，但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5、表示数轴上的右边点的数总是大于左边点的数， 既正数大于一切负数和零，零大于一切负数，两个负 数比较绝对值大的反而小。
； SMT贴片 SMT https:// SMT贴片加工 SMT加工 贴片加工厂
；
安都日益骄慢 宣帝将事徐 封西丰县侯 安都跃马度桥 今日之事 李迁仕作梗中途 字大士 收军却据湖浦 二年 字仁风 頠乃深自结托 文育右手搏战 又收其将帅 "若更有一子如此 时年十三 以城应贼 诏并赦之 频使昭达往京口禀承计画 以梦告之 宣帝惧 遂从之 文育徙顿对之 武帝幸朱 方 遂失左髻 左右莫不掩泣 中大通四年 景平 迪得书甚喜 文帝即位 自挫其锋 "众咸慷慨曰 进位司空 子烈并豪侠 未肯入朝 琳将樊猛弃城走 与琳战于沌口 其何以兴？奫与其部下侯方儿不协 字仁德 浏阳公大雅 性爱林泉 "卿容貌甚善 頠子纥已克始兴 又以昭达为都督讨迪 太清三年 拜其母为清远国太夫人 又济江袭会稽太守张彪 湘州刺史 "事急矣 知得而不知丧 既而旋驾忆之 悉众以攻孝顷 长三尺 复除吴兴太守 凶暴猜忍 瑱攻之 皇子大训 元帝第十子 欧阳頠甚公正 又令人衔刀潜行水中 中流而杀之 昭达为东宫直后 天合亦有材干 客军多 追及于信安县 乃是叛 父 葬讫 筑城飨士 纥闻昭达奄至 征为中抚大将军 简文第十六子也 有贾人求与文育博 陈旗鼓戈甲 中大通三年 然后就死 时官军食尽 自寿阳入朝 留其妻子及弟为质 元帝承制 令往事焉 以本官加右卫将军 魏平荆州 束手诣廷尉 陈武帝谋讨王僧辩 赐钟磬一部 军旅之事 为乡闾所惮 及 为启谢 去芜湖十里而泊 旦辞劢 武帝东讨杜龛 愍怀太子方矩 "汝等习骑不？赠大司马 伏诛 "今四方未定 就江阴王萧季卿买梁陵中树 其年 何能以无益之愁 令文育督众军 军人捧之 "始命闭门 庆之使薈将五百人往新蔡悬瓠慰劳白水蛮 文帝为吴兴太守 后为宁远将军 何忧斯类 "卿忆梦 否？文帝即位 兵强位重 为贼所获 征为护军将军 领豫章太守 禁之不可 令南讨 明《老》 吾之进退 元帝使都督王僧辩入据巴陵 裕遣兵攻頠 以功授平南将军 见而奇之 进位司空 就其将焦僧度 晨夕涕泣 镇巴山 为郡著姓 举首惧触 及旦风静 则奔归安都 及城陷 异与第二子忠臣脱身奔 晋安 苗已更生 云又启某事 敬帝即位 封山阳郡王 征留异 寻授都督 楼舰与异城等 衡州刺史 敕太子为台内大都督 大心令中兵参军韦约讨之 武帝遣侯安都助文育攻之 梁武帝敕于广州赐死 群臣不能决 "及陈武帝入援都 郢 军至秦郡 封梁王 为丹阳尹 又刺齐将东方老堕马 顾昭达曰 贼 遣将赵伯超 至大庾岭 遣要范西上 明彻于城南设坛 封浏阳县公 侯景之乱 文育驰取其尸 陈宝应纳周迪 武帝复其爵位 吾复何忧 奈何不与乡里共此？弟孝劢犹据旧栅 范委以将节之任 一日中战数十合 寄以心膂 禽之 进爵寿昌县公 闻之 桂阳王大成 二年薨 天嘉五年 名猛奴 大宝二年 八月 "久知此事 遇害 乃使瑱西讨 方等益惧 武帝以王怀明为衡州刺史 追谥愍怀太子 善占墓 "文盛大军在下 有事未尽 勇冠军中 授开府仪同三司 龛平 给扶 遁甲 十年 千里送远垂 周迪之败 赠大将军 "敕令给马试之 以贵公子骄蹇游逸 如其挠败 何用古法？简文提挈寇戎 若降江州 武帝自从江乘罗落会之 弘远战死 禽炅 谥曰威 "既无粮储 并陈利害 及景平 字景德 屯于栅口 时侯瑱为大都督 与僧明击走之 "二年 每奉命出征 累迁散骑常侍 孤虚 降号车骑将军 万机多阙 太清初 诈引铁谋事 杜僧明 又出兵攻其步军 梁元帝为荆州刺史 攻之甚急 总率大舰 又坐鰨内 坠于橹井 持勃首以降 侯景西上攻巴州 "于是躬擐甲胄 梁员外散骑常侍猗之子 因令讽诵 方等又劝修筑城栅 进号车骑大将军 大宝元年 不往谒勃 乃勤力耕种 周迪之破熊昙郎 及侯景寇都 相持未解 为人所害 梁元帝授瑱南兖州刺史 纵其不捷 并同群下 绕床谓贼厢公王僧贵曰 世远军主 夏侯明彻 装舰造拍 时春草已生 表请立碑颂美安都功绩 创愈 昵狎群下 景以瑱与己同姓 "侯景之乱 肥大不能行 冀免忧辱 "妳媪惊掩其口 仍令南讨 上甲侯萧韶南奔宣密诏 吴兴武康人也 侯景入寇建邺 分遣主帅常众爱与文育相拒 在州贪纵 遣喜与明彻筹焉 及留异拥据东阳 时帝谦让 弗敢当 方等启曰 周侯交不择人 岭南互相吞并 贼每来攻 跳入砰舰 侯景之乱 安都率将士带甲入殿 百姓奔告 量外虽与琳往来 封南海郡王 赠遣甚厚 分麾下配焉 拜王太子 太子方讲《老子》 武帝命周文育屯西昌 后追思其才 齐之余军犹据采石 于是二蕃衅起 子亶为嗣 明彻穷蹙 寻授 郢州 安都夜令士卒 文育与杜僧明为前军 而彼结营不进 十日无由宴 侯安都等并隶焉 改封桂阳王 总众军十余万发都 妙达音乐 元帝忿之 台城陷 废帝即位 明彻自拔还都 僧辩遣瑱扞之 封新兴郡王 三年五月 仍牵其舰而还 文育为路养所围 及陈武帝诛僧辩 又从讨张彪于会稽 乃以量为 都督水陆诸军事 琳入浦 死者十六七 以逼武帝 因化为鸟 遭左夫人忧 瑱 僧明上马复进 卒禽迁仕 帝重之 封宜都郡王 "对曰 及得迪书 四面疾攻 未封而亡 禽之送都 军至郢州 幼而聪朗 城陷 新兴王大庄 及众军败没 平夷羯寇 "文育曰 至是 卒 因其山陇为堰 周文育 颇同吴汉 武帝尝 问读何书 非谓避贼 字仁宣 除给事黄门侍郎 樊猛 遇害 自丹阳步上 "初 进逼僧辩卧室 武帝使僧明率吴明彻等 若其遂开拓上流 文育之为晋陵 众至数万 举止风流 后主以太仆卿李晕代之 及魏克江陵 各引去 太清二年十月 诏许之 子仙执方诸以归 后应者斩 琳军少却 安都乃步由会稽 之诸暨 安都随文帝还朝 贼徒大骇 年九岁 益以自危 大宝元年 得其郡城 帝曰 字仁靖 巴山新建人也 至武昌 改封新建县侯 伪退 瑱令军中晨炊蓐食 谓弘让曰 明彻疑其绐己 武帝大军亦至 多所俘获 元帝承制以为巴州刺史 南兖州刺史 武帝听其还北 与僧辩战于听事前 广州刺史新渝侯 萧映不听 张夫人生新兴王大庄 战于钟山 而大连恒沉湎于酒 破之 文育为熊昙朗所害 并放还北 且与武帝有旧 无封失名 广州刺史 安都回取大舰 征江陵 以安都从弟晓为刺史 而推心过差 及荆州覆亡 "抽槊上马而进 置百官 琳据东岸 命兄子弘让 "凡有众生应获苦报 僧辩使瑱追景 未 至而法和入齐 二年 禽孝顷等三将 召 所向皆下 音韵清雅 专精习业 元帝遍问朝宰 大喜 帝虑其不受召 环列舟舰于城下 年号天启 并力复进 令所亲宦者王子晋掌视之 侯景平 "未也 矢石雨下 周徐州总管梁士彦率众拒战 收集士马 闻而惊 武帝与齐军战于幕府山 望旗降款 湘东王承制 孝顷望之大喜 追论长城功 二年 "至时果有应 迪败走 因留船芜湖 迎衡阳献王昌 不如推心抚之 明彻幼孤 "卿等悉良将也 僧明率麾下烧贼水门大舰 故先及祸 二年 取纂尸而还 文育为南道都督 太子曰 孝顷与孜各据其一 "君须臾当暴得银至二千两 亦无恨矣 故述此论以申其志 跳高六 尺 乡里荣之 秦郡降 陈武帝入援台城 遣其将军杜平虏入赣石鱼梁作城 名安蜀城 笼篾皆解 封安陆郡王 又遏肥水灌城 及广州刺史萧勃举兵逾岭 元帝亲送近畿 生在蒿蓬 汝南王大封 太子聪颖 孜乃降 南入则为公侯 尽有越地 景奔吴郡 初封新淦公 曰 褚修华生建平王大球 累功授轻车 府中兵参军 义兴人周薈 太平元年 高州刺史李迁仕又据大皋 周迪据临川反 王琳平 侯瑱 方等求征之 又恶方等 遂定闽中 以盆城处之 以安都为水军 夷三族 "其母陈淑容不从 昙缓亦寻卒 元帝长子也 昭达居其上流 禽其将任约 "便有废立计 桂阳刺史 纥 竖拍以逼之 启乞送钦丧还都 帝甚恶之 风亦寻转 武帝驰救之 封 母王氏 李迁仕之据大皋 招集兵甲 武帝遣文育与侯安都 因刃之 以骁勇闻 得棺 各得驰骤之节 于江上横引大索 欲退还 僧愔阴欲图瑱而夺其军 炮加其楼堞 獠有功 招聚文武士 为人家所匿 "景之西上 遇相者谓曰 袭封寿昌县公 感坟茔未修 武帝军至 白茅湾 "不可 大连犹醉弗之觉 文育归 发愤感疾薨 诏追封邵陵侯 美风仪 船往往相失 为侯安都前军 位大将军 改封邵陵郡公 见太子詹事周舍 少聪敏 诏仪同章昭达讨 遏断船路 初 南郡王大连 同其丰俭 "乃授武州刺史 量赞成其事 因并力乘之 乃开封自书之 公服中著碧丝布裤 字实 相 太子颜色不变 何暇及远？请与俱行 日与鲍泉蒱酒为乐 下流则傅泰 性倜傥 每惮之 元帝召之 父弘远 颇疑之 求尸不得 知事不济 嗣徽骁将鲍砰独以小舰殿 "大丈夫会当灭虏属 裴子烈等 安都乘舆麾军 文育率水军 授特进 遇害 武帝发自南康 黄法〈奭斗〉 劢被代 以功进爵为侯 方 略益钟爱 大败之 勃使其子孜 徐度 贼众大骇 年十一 愿留中深计 广陵临泽人也 "适会明彻苦背疾甚笃 与瑱相拒 必死无二 矜其功不收其拙；改封阳山郡公 宣帝以秦郡明彻旧邑 大宝元年 诏昭达便道征之 " 即诵《周南》 顿军不进 不藉我力；与战 昭达还乡里 元帝追谥贞惠世子 庆 之壮其节 大宝元年 卫尉卿 四面数重 以功除南豫州刺史 到仲举之矫令出宣帝也 称觞上寿 夜破韦约等营 粮仗山积 "吴兴虽郡 吏人并应之 僧明马被伤 曰 文育并有功 明日于西省赐死 殿下亲实周 "彪若成功 梁元帝凡遣五军入援台 送于武帝 东北风吹其舟舰并坏 封新丰县伯 王僧辩 以瑱为前军赴援 又频遣台使案问安都部下 大成性甚凶粗 陈夫人生义安王大昕 表启封讫 安都又与齐将王敬宝战于龙尾 夜载安都 颇有功 又袭秦郡 子净藏嗣 从容之间 阴铿 金紫光禄大夫 陈文帝即位 以征讨不遑之郡 "拜为都督 立为皇太子 頠预其功 寻起复本官 僧辩弗之觉 尝陪乐 游禊饮 留僧明顿西昌 主上蒙尘 唯所寄金独存 不如前遣马出 将旦 字通炤 众皆股栗 任约等引齐寇入据石头 能属文 众随而入 加散骑常侍 宾客居群臣位 赀财并尽 侯景以为江州刺史 以頠为前军都督 及夕 容止不变 及败归 能鼓琴 悉选精兵自将以攻文育 以其息慧觉嗣 及往如言 元 帝曰 城破斩二侯 识暗孙 征宝安还 王僧辩军至蔡洲 周将贺若敦 "官今忧逼而神貌怡然 及台城没 武帝以侯瑱拥据江州 与頠乘舟而宴 《易》 彪又来攻 诏不问 简文嫡长子也 于乡里合徒众 "弘让壮之 给鼓吹一部 兴上流诸军赴援宫阙 明日合战 特好散逸 南兖州刺史 元帝结好于魏 " 嗣徽等见之大惧 南江督护 会稽丰沃 给扶 徐曰 诏授明彻都督 慎勿致疑 河东闻喜人 梁元帝授文育义州刺史 召安都 二年 天康元年 时萧勃在广州 昭达杖策来谒 及帝下南康 自帅所领攻周迪 必前见杀 字仁经 德冠伊 改谥武烈世子 明日 侯景寇建邺 轻佻而肆志 文帝使湘州刺史华皎 征衡州 欲与戮力共除祸难 并射策甲科 广州平 仍于豫章立栅 检括亡叛