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分部积分法 (2)优秀课件
(4)xd(lnx)x(lnx)dx x x dx xC.
问题 从以上分析中，发现了什么现象或规律？
2. 寻求积分 udv 与积分 vdu 之间的关系
d(uv) u d v vd u udv d ( u v ) vd u
udv d (u v ) v d u udvu v vdu
2 et sintdt etsintetcost C 1
et sintdt
1et (sint cost) C
2
.
ห้องสมุดไป่ตู้
(C
1 2
C1)
二、解读公式
分部积分公式 udvuvvdu
1. 公式名称的由来 分部积分 —— integration by parts.
2. 公式成立的条件
若函数u 和v 均 可微 ，则 udvuv vdu.
3. 公式蕴涵的思想 其中蕴涵了“正难则反”“化难为易”的 转化思想
4. 公式体现的“美” 它是一个十分简洁、对称、优美的不定积分模型.
x
分部积分公式 udvuvvdu
例2 求不定积分
t 2 e t d t . vu dx
分解析 t2tedt(dtt2et ) t2(ett(dtt2e)t)dt2dett(2tet t2et)dt
(t 2 ) 2t t2(e2tt)e 2t d, tt 22 的导导函数数有趋于简简化趋势；
一个积分难以求解，但是，将微分号“d ”前后
两个函数的位置交换之后的另一个积分却易于求解.
这种现象在积分问题中还大量存在. 如，
arctan xdx,sin(lnx)dx, ln2 xdx,tdsint,
一、探索公式
1. 引例
试求下列不定积分
问题 从以上分析中，发现了什么现象或规律？
2. 寻求积分 udv 与积分 vdu 之间的关系
d(uv) u d v vd u udv d ( u v ) vd u
udv d (u v ) v d u udvu v vdu
2 et sintdt etsintetcost C 1
et sintdt
1et (sint cost) C
2
.
ห้องสมุดไป่ตู้
(C
1 2
C1)
二、解读公式
分部积分公式 udvuvvdu
1. 公式名称的由来 分部积分 —— integration by parts.
2. 公式成立的条件
若函数u 和v 均 可微 ，则 udvuv vdu.
3. 公式蕴涵的思想 其中蕴涵了“正难则反”“化难为易”的 转化思想
4. 公式体现的“美” 它是一个十分简洁、对称、优美的不定积分模型.
x
分部积分公式 udvuvvdu
例2 求不定积分
t 2 e t d t . vu dx
分解析 t2tedt(dtt2et ) t2(ett(dtt2e)t)dt2dett(2tet t2et)dt
(t 2 ) 2t t2(e2tt)e 2t d, tt 22 的导导函数数有趋于简简化趋势；
一个积分难以求解，但是，将微分号“d ”前后
两个函数的位置交换之后的另一个积分却易于求解.
这种现象在积分问题中还大量存在. 如，
arctan xdx,sin(lnx)dx, ln2 xdx,tdsint,
一、探索公式
1. 引例
试求下列不定积分
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
《高等数学》PPT课件-第三章分部积分
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
二、定积分的定义
x arcsin x 1 x2 C
合理选择
u, v ，正确使用分部积分公式
u dv u v vdu
1. 使用原则 : v易求出, v d u 易积分
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后v ′
3. 题目类型 :
分部化简— 降幂法；转换法； 循环法.
【注意】 循环法两次分部选择的 u , v 函数类型不 变 , 解出积分后加 C .
四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积的负
a
值
A1 A2
A3 A4
b
a
f
(
x
)dx
A1 A2
A3 A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限 被 积 函 数
5-3定积分的换元法与分部法-精品文档
2
1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 ， 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ) ，故有
a
a
f (x)dx 2
a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) － f ( x ) ，故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2
例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续，证明：
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时， x ) d x 2 x ) d x . f( f(
f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证
b
1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 ， 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ) ，故有
a
a
f (x)dx 2
a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) － f ( x ) ，故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2
例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续，证明：
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时， x ) d x 2 x ) d x . f( f(
f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证
b
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
分部积分法2市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
1 (xeaxc eaxcdx)
a
这种类型一般是将指数函数先凑入微分号内.
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（二）
Pn (x) sin axdx 或 Pn (x) cos axdx (a 0)
其中 pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
Байду номын сангаас
如
经济数学
3. 分部积分公式应用
＊例3 解：
求不定积分 ex sin xdx
出现循环, 怎么办?
e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
或 e x dx 2 x e x d ( x )
2 x e x e x d ( x )
2e x ( x 1) C
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
＊训练题三 求不定积分 e2x cos xdx
e2x cos xdx e2xd (sin x)
e2x sin x 2 e2x sin xdx e2x sin x 2e2x cos x 4 e2x cos xdx e2x cos xdx e2x (sin x 2 cos x) C
则 xexdx xd (ex )
xex exdx
xex ex C
思索:
(1) x2exdx
(2) x2 sin xdx
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2
求下列不定积分 (1) x2exdx (2) x2 sin xdx
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
分部积分法-PPT精选文档
3
一、幂函数与指数函数之积
x e dx
n x
选
x v e
4
例1.求
解
xe dx
x
x
选取合适 的助手
x xde dx x (e ) xe dx
x
其中，ux ,ve
由分部积分公式,得
x
xe e dx
x
x
x x xe e C
5
2 x x 例2.求 e dx
选取合 适的助 手
sin x xcosxdx xd
u x ,v sin x
由分部积分公式,得
x sin x s inxdx
x sin x cos x C
8
例4 求 解
x sinxdx
2
选取合 适的助 手
2 2 2 x ( cos x ) dx x ( cos x ) x sin xdx d
x ln x x C
15
例8. arccos xdx
解.
x arccos x xdx arccos 1 x
同时用到分部积分法和换元法
x
2
dx
方法1，换元法 设
cos tdt xsin t, dx
t dx s in s in tdt cos tdt 2 cos 1 x t cos t C 1x2 C
13
四、单独的对数或反三角函数
log xdx
a
或者
xdx arctan
当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时,也用分部积分公式。
选
v 1
14
例7.
解.
分部积分法-有理函数积分法ppt课件
f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C ,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2 xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2
x
2e
x
2
ex2
C.
11
二、小结
合理选择 u, v ，正确使用分部积
分公式
uvdx uv uvdx
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
21
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
5
例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
23
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
分部积分法-PPT精选
第三章 一元函数积分学
(四)
三、分部积分法 (IntegrationbyParts)
如 何 求 xcosxdx？
设u, v都是x的可微函数, 由微分的运算法则知
d (uv) udv vdu udv d (uv) vdu
udv uv vdu
这 就 是 分 部 积 分 例5. 求积分 exsinxd.x
解 exsinxdxsinxdxe exsixn exd(sx i)n exsixn exco xsd ex xsixn co xsd x e e x sx i n ( e x cx o e s x d cx o ) s
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2.虽然一切连续函数的原函数都是存在的,
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如 :
ex2dx, sinx2dx, sin xxdx, ld nxx …
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
e x (sx ic n x o ) s e xsx in d 注意x 循环形式 exsinxdxe2x(sixncoxs)C.
总结：
对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需 要与第一次分部积分对应起来，即第二次 设u的函数应是第一次设u的同类函数，否 则，积分不了。
例3 求积分 xarctxadn.x
解 令 uarctxa, nxdxdx2 dv
xarctxadn xx22arcxt a2n x22d(arcx)tan x 22arcxtax 22 n 1 1x2dx
(四)
三、分部积分法 (IntegrationbyParts)
如 何 求 xcosxdx？
设u, v都是x的可微函数, 由微分的运算法则知
d (uv) udv vdu udv d (uv) vdu
udv uv vdu
这 就 是 分 部 积 分 例5. 求积分 exsinxd.x
解 exsinxdxsinxdxe exsixn exd(sx i)n exsixn exco xsd ex xsixn co xsd x e e x sx i n ( e x cx o e s x d cx o ) s
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2.虽然一切连续函数的原函数都是存在的,
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如 :
ex2dx, sinx2dx, sin xxdx, ld nxx …
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
e x (sx ic n x o ) s e xsx in d 注意x 循环形式 exsinxdxe2x(sixncoxs)C.
总结：
对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需 要与第一次分部积分对应起来，即第二次 设u的函数应是第一次设u的同类函数，否 则，积分不了。
例3 求积分 xarctxadn.x
解 令 uarctxa, nxdxdx2 dv
xarctxadn xx22arcxt a2n x22d(arcx)tan x 22arcxtax 22 n 1 1x2dx
(新版)高数PPT课件：分部积分法,有理函数积分法
1 x2 arctan x
1
x2
1
1 x2
dx
1 x2 arctan x 1 dx
1 x2 令 x tant
1
1 x2dx
1 sec2 tdt
1 tan2 t
sec tdt
ln(sec t tan t) C ln( x 1 x2 ) C
x
arctan 1 x2
x sin x cos x C.
例2 求積分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部積分法）u x, e xdx dv
x2e x 2( xe x e x ) C.
總結 若被積函數是冪函數和正(餘)弦函數 或冪函數和指數函數的乘積, 就考慮設冪函
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解後為
x
Mx 2
N px
q
;
真分式化為部分分式之和的待定係數法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
1
xx
x dx.
1e2 e3t,
dx 6 dt,
t
1
xx
x
dx
1
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
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f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
01xf(x)dx
1 2
f
(1)
1 1x2
20
f(x)dx
12012xsinx2dx1201sinx2dx2
1 cosx2 2
1 0
1(co1s1). 2
例5 证明定积分公式
In0 2sinn xd x 0 2co nxsdx
I n sn 1 i x c n x 0 2 o ( n s 1 ) 0 2 sn 2 i x c n 2 x d o
0
1si2nx
I n ( n 1 ) 0 2 sn i2 x n d ( x n 1 ) 0 2 sn i x d nx
( n 1 ) I n 2 ( n 1 ) I n In nn1In2 积分I n关于下标的递推公式 In2 nn23In4 , 直到下标减到0或1为止
I2 m 2 m 2 m 1 2 2 m m 2 3 6 5 4 3 1 2 I 0 ,
(m1,2, )
I 2 m 1 2 m 2 m 1 2 2 m m 1 2 7 6 5 4 3 2 I 1 ,
I0
2dx,
0
2
I102sin xdx1,
1 2f(2)1 4f(2x)1 0 51f(2)f(0) 2.24练习题一 Nhomakorabea填 空题：
1 、 设 n 为 正 奇 数 ， 则 2 sin n xdx _ _ _ __ _ _ __ _ _ ； 0
2 、 设 n 为 正 偶 数 ， 则 2 cos n xdx = _ _ __ _ _ __ _ __ ； 0
一、分部积分公式
设 函 数 u(x)、 v(x)在 区 间 a,b上 具 有 连 续
导 数 ， 则 有 a budvub a va bvd.u
定积分的分部积分公式
推导 uvuvuv, ab(uv)dxuvba,
ub a va bu vd xa bu vd,x
nnn11 nnn323 443 212,2,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 usinn1x, dv six nd, x
d u (n1 )sin 2 n xco xs d , v x co x , s
于是
I2 m 2 m 2 m 1 2 2 m m 2 3 6 5 4 3 1 2 2 , I2 m 1 2 m 2 m 1 2 2 m m 1 2 7 6 5 4 3 2 .
二、小结
定积分的分部积分公式
budvuvb
t
无 法 直 接 求 出 f(x)， 所 以 采 用 分 部 积 分 法
1
0
xf(x)dx
1201
f(x)d(x2)
1 2
x2
f
(x)
1 0
1201x2df(x)
1 2
f
(1)
1 1x2
20
f(x)dx
f(x)1x2stin td,t
1sitn
f(1)1 t dt0,
ln 2 3
1
1
1 dx
02x 1x
11 1 x 2 x
l3 n 2 ln 1x () ln 2( x )1 0
5ln2ln3. 3
x2sint
1
例4
设 f(x)1
t
d,t求 xf(x)dx. 0
解 因 为 sit没 n 有 初 等 形 式 的 原 函 数 ，
xdx 1 x2
12
1
1x2
2
0
31.
12 2
例2 计算 4
xdx .
0 1cos2x
解 1co 2x s2co 2x,s
4
xdx
0 1cos2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtanx
2
12xtanx04
budvuvb
b
vd.u
a
aa
1
例1 计算 2arcsixndx. 0
解 令 uarcsx,indvdx,
则 du dx , vx, 1 x2
1 2 0
arcsixndxxarcsxin012
1 2
0
1 26
1
1 2
20
1 d(1x2) 1x2
3 、
1
xe
x dx
______________；
0
e
4 、 1 x ln xdx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
1
5 、 0 x arctan xdx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
二、计算下列定积分：
1、esin(xln)dx； 1
2、1e lnxdx； e
3、 J(m) xsim nxd， （ xm为 自 然 数 ） 0
4、sin n1xcons(1)xd.x 0
三 、 已 知 f ( x ) t2 a x , 求 n 4 f ( x ) f ( x ) d .x 0
四 、 若 f(x ) 在 0 , 连 续 ， f( 0 ) 2 ,f( ) 1 ,
b
vd.u
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题
设 f(x )在 0 ,1 上 连 续 ， 且 f(0 )1，
f(2 )3 ， f(2 )5， 求 0 1x f(2x )d.x
思考题解答
01xf(2x)dx1201xdf(2x)
1 2xf(2x)1 01 20 1f(2x)dx
1 2
4
0
tanxdx
812lnsexc0 4
ln2. 84
或l
8
ncoxs04
例3
计算
1 0
l(n2(1x)x2)dx.
解
1
0
l(n2(1x)x2)dx
01ln1 ( x)d2 1x
ln2(1xx)10012 1xdln1(x)