甘肃省泾川一中高三数学第二次模拟考试理科试卷

甘肃省泾川一中2009届高三第二次模拟考试理科数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案必须填写在答题卡上。

1.设集合
{}1,0,1-=P ，集合{}3,2,1,0=Q ，定义
P ※
Q ={}Q P y Q P x y x ∈∈;),(，则P ※Q 中元素的个数是（ ）
A 4个
B 7个
C 10个
D 12个
2.设函数ax x x f m +=)(的导数为12)('+=x x f ，则数列)()(1*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧N n n f 的前项n
和是（ ）
A 1-n n
B n n 1+
C 1+n n
D 1
2
++n n
3.不等式
02
112
≤---x x 的解集为（ ） A {}1- B []1,1- C (]1,1- D [)1,1-
4.设函数x a x f a x log )(1+=-（10≠>a a 且），在[]2,1上的最大值与最小值之和为
a ，则a 的值为（ ）
A 4
B 41
C 2
D 2
1
5.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）
6.在实数等比数列{}n a 中，3462=+a a ，6453=∙a a ，则4a 的值为（ ） A ± 8 B -8 C 8 D ±16
7.设函数n x x f +-=2)1()(，[]*∈-∈N n x ,3,1的最小值为n a ，最大值为n b ，设
n n n n b a b c -=2，则数列{}n c 是（ ）
A 常数列
B 公比不为1的等比数列
C 公差不为0的等差数列
D 既非等差数列也非等比数列
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知)(x f 的定义域是),(+∞-∞，且)(x f 是奇函数；若当0<x 时，x x f )2
1
()(=，
设)(x f 的反函数为)(1
x f
-，那么)8()0(11-+--f f 的值为（ ）
A 2
B - 3
C 3
D - 2 9.在等差数列{}n a 中，若它的前n 项和n s 有最大值，且10
11
a a 1-<，那么当n s 是最小正数时，n 的值为
A 1
B 18
C 19
D 20
10.已知命题04:2=+-ax x P 有实根，命题:q 二次函数422++=ax x y 在[)+∞,3上是增函数，若p 或q 是真命题，而p 且q 是假命题，则a 的取值范围是（ ） A (][)+∞--,44,12 B [][)+∞--,44,12 C ()()4,412,--∞- D [)+∞-,12
11.若数列{}n a 满足2
1
2n n
a p a +=（p 为正常数，n *∈N ）
，则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
12.如图是一个正整数组成的数表，表中下一行数的个数是其上一行中的个数的2倍，则表中第8行的第5个数是（ ）
A 168
B 132
C 133
D 260
班级： 姓名：
注意：考生务必将选择题答案填写在下栏
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上．
13.定义在上的函数具有下列性质①对于任意).()(,33x f x f R x =∈ ②
)()(2121x f x f x x ≠≠时，，则=-++)1()1()0(f f f
14．如果数列{}n a 对于任意+∈N q p ,，有q p q p a a a +=+，若21=a ，则n a ＝
15.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当[]1,0∈x 时，
11)(-+=x x f ，则)4
5
(f 的值为
16．在等比数列}{n a 中，若,4
1
,1631354321==
++++a a a a a a 则5
43211
1111a a a a a +
+++=__________________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17.(10分)已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比相等，且都等于
)1,0(≠>d d d ，若5533115,3,b a b a b a ===，求n a 和.n b
18.（本小题共12分）
数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不
为1的等比数列． （I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式．
19.（12分）设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2
x ＋2a ln x （x >0）.
（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.
20．（本小题满分12分） 设函数32
3()(1)1,32
a f x x x a x a =
-+++其中为实数。

（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（Ⅱ）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

21.. （本小题满分12分）已知函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f +=
).1(求函数)(x g 的解析式；
).2(解不等式|;1|)()(--≥x x f x g
).3(若1)()()(+-=x f x g x h λ在]1,1[-上是增函数，求实数λ的取值范围．
22．（12分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，且*(3)23()n n m S ma m n N -+=+∈。

其中m 为实常数，3m ≠-且0m ≠。

（1）求证：{}n a 是等比数列；
（2）若数列{}n a 的公比满足()q f m =且*1113
,()(,2)2
n n b a b f b n N n -==
∈≥，求{}n b 的通项公式；
（3）若1m =时，设*12323()n n T a a a na n N =++++∈，是否存在最大的正整数
k ，使得对任意*n N ∈均有8
n k
T >成立，若存在求出k 的值，若不存在请说明理
由。

参考答案
一． 选择题1.C2.C3.D4.D5A6C7C8C9C10C11B12.B
二． 填空题13.0 14.n 2 15.2
71- 16.31
三． 解答题
17. 17.(10分)
18．（共12分）
解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．
当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于
21a a c -=， 322a a c -=，
1(1)n n a a n c --=-，
所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=++
+-=
． 又12a =，2c =，故2
2(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，． 当1n =时，上式也成立，
19.（12分）（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22
()10x F x x x x
-'=-=>，， 列表如下：
)
故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．
（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．
于是由上表知，对一切(0)x ∈+，
∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，
∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即2
1ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．
20.（12分）解: (1)'2()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 '(1)0f =
即 310,1a a a -++==∴ (2) 方法一
由题设知：2
2
3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2
2(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立
设 2
2
()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数
()a R ∈
所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥
即 2
20x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{
|20x x -≤≤
方法二
由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立
于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22
202x x
x +≤+ 20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤
21.解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则
000
0,,2
.0,2
x x
x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨
+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上
∴()2
2
2
22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故………3分
(Ⅱ)由()()2
1210g x f x x x x ≥----≤， 可得
当1x ≥时，2
210x x -+≤，此时不等式无解
当1x <时，2
210x x +-≤，解得112
x -≤≤
因此，原不等式的解集为11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
………7分
（Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+
①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数， 1λ∴=-
②11.1x λ
λλ
-≠-=
+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ
λλλ-<-≤-<-+当时,解得
ⅱ）111,10.1λ
λλλ
->-≥--<≤+当时,解得
0.λ≤综上， ………12分
22.（12分）解：（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23n n m S ma m ++-+=+，两
式相减，得1(3)2(3)n n m a ma m ++=≠-，∴123
n n a m
a m +=
+，∵m 是常数，且3m ≠-，0m ≠，故
23
m
m +为不为0的常数，∴{}n a 是等比数列。

（2）由*1121,(),3m b a q f m n N m ====∈+，且2n ≥时，1
11233()223
n n n n b b f b b ---==⋅+，得
111111333n n n n n n b b b b b b ---+=⇒
-=，∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，13为公差的等差数列，
∴
112
133
n n n b -+=+=
，故32n b n =+。

（3）由已知1
2
1
1
1112()3()()
222
n n T n -=+++⋯+，∴231
1111
2()3()()2
2222n n T n =
+++⋯+ 相减得：23111()111111121()()()()()1222222212
n
n n n n T n n --=++++⋯+-=
--，∴12
42
n n n T -+=-，
法一：11321
(4)(4)0222n n n n n n n n T T +-+++-=---=>，n T 递增，∴
min 103()412n T T ==-=，8n k T >对n N *∈均成立，∴min ()1,8
n k
T <=∴，又k N *∈，
∴k 最大值为7。

法二：导数法。