学案3.3导数的应用
教学设计3：1.3.3导数的实际应用
1.3.3 导数的实际应用教学目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 知识链接知识点 生活中的最优化问题 1．最优化问题的概念在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题． 2．解决最优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )． (2)求导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(4)依据实际问题的意义给出答案． 题型探究类型一 平面几何中的最值问题例1 如图所示，在二次函数f (x )＝4x －x 2的图象与x 轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值．解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)， ∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2.∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2)＝16x －12x 2＋2x 3， ∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)， 令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数为单调增函数；当2－233<x <2时，y ′<0，函数为单调减函数，∴当x ＝2－233时，矩形面积取到最大值y max ＝3293.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． 跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．解 (1)由题干图知BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ， 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.所以当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.类型二 立体几何中的最值问题例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3 立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．解 (1)因为容器的体积为64π3 立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－4r 3.所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－4r 3＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2. 所以y ＝⎝⎛⎭⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4 ＝128πr＋8πr 2.又l ＝643r 2－4r3>0⇒0＜r <432，所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′>0，得2<r <432； 令y ′<0，得0<r <2.所以当r ＝2 米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l ＝83米．反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程． 跟踪训练2 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由PO 1＝2 m 知，O 1O ＝4PO 1＝8 m. 因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ， 则0<h <6，O 1O ＝4h m ．连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大． 类型三 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38，综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可知，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 费用(用材)最省问题例4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a 元/km 和5a 元/km ，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解 如图，由题意知，只有点C 位于线段AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省， 设点C 距点D 为x km ，则BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402，又设总的水管费用为y 元，依题意有y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50)． ∴y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x ＝30，在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30 km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20 (km)． ∴供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元. 达标检测1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8 【答案】A【解析】设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋1 024x ，∴S ′(x )＝2x －1 024x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．6千台 D ．3千台【答案】C【解析】构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 【答案】100π4＋π【解析】设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.所以在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 4．某厂生产某种产品x 件的总成本(单位：元)为C (x )＝1 200＋275x 3，且产品单价的平方与产品件数x 成反比，若生产100件这样的产品，单价为50元，则要使总利润最大，产量应 定为________件． 【答案】25【解析】设产品单价为a 元，因为产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k (k 为比例系数)．由题意知，k ＝250 000， 则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x .设总利润为y 元，则y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，则y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25， 当x ∈(0,25)时，y ′>0， 当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以当x ＝25时，y 取得最大值．故要使总利润最大，产量应定为25件．5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(单位：万元)与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 【答案】5【解析】依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x (k 1>0)，每月库存货物的运费y 2＝k 2x (k 2>0)，其中x 是仓库到车站的距离(单位：千米)， 于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45.令y ′＝0，得x ＝5(x ＝－5舍去)，此点即为最小值点． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.3
3.3.3 导数的实际应用1．会利用导数解决实际问题中的最优化问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．1．最优化问题在经济生活中，人们经常遇到最优化问题．例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的________或________，这些都是最优化问题．导数是解决这类问题的方法之一．【做一做1】下列问题不是最优化问题的是( )A．利润最大 B．用料最省C．求导数 D．用力最省2．求实际问题的最大(小)值的步骤(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，注明定义域．(2)求函数的导数f′(x)，解方程________，确定极值点．(3)比较函数在________和________处的函数值的大小，最大(小)者为实际问题的最大(小)值．实际问题中的变量是有范围的，即应考虑实际问题的意义，注明定义域．【做一做2】求实际问题的最值与求函数在闭区间上的最值的主要区别是________________．利用导数解决实际问题时应注意什么？剖析：(1)写出变量之间的函数关系y＝f(x)后一定要写出定义域．(2)求实际问题的最值，一定要从问题的实际意义去分析，不符合实际意义的极值点应舍去．(3)在实际问题中，一般地，f′(x)＝0在x的取值范围内仅有一个解，即函数y＝f(x)只有一个极值点，则该点处的值就是问题中所指的最值．题型实际问题中最值的求法【例1】某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为p 元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值．反思：根据课程标准的规定，有关函数最值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在一个区间内只有一个点使f′(x)＝0，且该函数在这点取得极大(小)值，那么不与区间端点的函数值比较，就可以知道这就是实际问题的最大(小)值．【例2】将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问怎样截能使正方形与圆的面积之和最小？分析：设其中一段长为x cm ，则另一段长为(100－x ) cm ，然后用x 表示出正方形与圆的面积之和S ，求出方程S ′＝0的根，该根即为所求．反思：在求最值时，往往需要建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高应为( ) A ．2033cm B ．100 cmC ．20 cmD ．203cm2某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2x，x ，则总利润最大时，每年生产的产品数量是( )A ．100单位B ．150单位C ．200单位D ．300单位3把长40 cm 的铁丝围成矩形，当长为__________ cm ，宽为__________ cm 时，矩形面积最大．4将长为52 cm 的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为__________．5某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x4x ＋32(x ∈N *)．(1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数__________； (2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为__________． 答案：基础知识·梳理1．最佳方案 最佳策略 【做一做1】C2．(2)f ′(x )＝0 (3)区间端点 极值点 【做一做2】求实际问题的最值需先建立数学模型，写出变量之间的函数关系y ＝f (x )，并写出定义域典型例题·领悟【例1】解：设利润为L (p )，由题意可得L (p )＝(p －20)·Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ＞0)，∴L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则L (30)＝23 000.∵0＜p ＜30时，L ′(p )＞0；p ＞30时，L ′(p )＜0，∴p ＝30时，L (p )取得极大值．根据实际问题的意义知，L (30)就是最大值，即零售价定为每件30元时，利润最大，最大利润为23 000元．【例2】解：设弯成圆的一段铁丝长为x cm ，则另一段长为(100－x ) cm ，记正方形与圆的面积之和为S cm 2，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.∴S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 42＝x 24π＋x 216－252x ＋625(0＜x ＜100)．又S ′＝x 2π＋x 8－252.令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.当0＜x ＜100π4＋π时，S ′＜0；当100π4＋π＜x ＜100时，S ′＞0.所以当x ＝100π4＋π时，S 取得极小值，也为最小值．故当弯成圆的铁丝长度为100π4＋π cm 时，正方形和圆的面积之和最小．随堂练习·巩固1．A 设圆锥的高为h cm ，则V (h )＝π3(400－h 2)h ，h ∈(0,20)．令V ′(h )＝π3(400－3h 2)＝0，得h ＝2033.2．D 当x ＞400时，利润f (x )＝80 000－20 000－100x ， ∴当x ＞400时，f (x )＜20 000. 当0≤x ≤400时，f (x )＝R (x )－20 000－100x ＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000.∴当x ＝300单位时，利润为最大． 3．10 104．78 cm 2设剪成的2段中其中一段为x cm ，则另一段为(52－x ) cm ，围成两个矩形的面积和为S cm 2.依题意知，S ＝x 6×2x6＋－x10×－x 10＝118x 2＋350(52－x )2，S ′＝19x －325(52－x )，令S ′＝0，解得x ＝27.则另一段为52－27＝25(cm)．此时S min ＝78 cm 2.5．(1)T ＝x －x 2x ＋8(2)16件 (1)由题意知，每日生产的次品数为px 件，正品数为(1－p )x 件，∴T ＝200(1－p )x －100px ＝200x －300px ＝200x －900x24x ＋32＝x －x 2x ＋8.(2)T ′＝－2xx ＋－x －x 2x ＋2＝－x ＋x －x ＋2.令T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)．当0＜x ＜16时，T ′＞0；当x ＞16时，T ′＜0.∴当x ＝16时，T 取得最大值，即当日产量定为16件时，获得最大盈利．。
精品2019学年高中数学第三章教学案新人教A版选修7
3.3 导数在研究函数中的应用第1课时 函数的单调性与导数[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 89～P 93的内容，回答下列问题． (1)观察教材P 89图3.3－1，回答下列问题：①函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间(0，a )上的单调性是什么？h ′(t )的符号是正还是负？ 提示：h (t )在_(0，a )上为增函数，h ′(t )>0．②函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间(a ，b )上的单调性是什么？h ′(t )的符号是正还是负？ 提示：h (t )在(a ，b )上为减函数，h ′(t )<0． (2)观察教材P 90图3.3－2.函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？提示：①在区间(－∞，＋∞)内，y ′(x )＝1>0，y (x )是增函数； ②在区间(－∞，0)内，y ′(x )＝2x <0，y (x )是减函数； 在区间(0，＋∞)内，y ′(x )＝2x >0，y (x )是增函数； ③在区间(－∞，＋∞)内，y ′(x )＝3x 2≥0，y (x )是增函数； ④在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y ′(x )＝－1x2<0，y (x )是减函数．(3)观察教材P 93图3.3－7，函数f (x )在(0，a )和(a ，＋∞)上都是单调递增的，但在(0，a )内的图象“陡峭”，在(a ，＋∞)内的图象“平缓”，试比较f (x )在(0，a )和(a ，＋∞)内导数的大小有什么关系？提示：在(0，a )上的导数值大于在(a ，＋∞)上的导数值．(4)观察函数f (x )＝1x，x ∈(0，＋∞)的图象，试比较图象在(0，1)和(1，＋∞)上的“陡峭”或“平缓”与f ′(x )在(0，1)和 (1，＋∞)内的大小有什么关系？提示：在(0，1)内图象“陡峭”，在(1，＋∞)内图象“平缓”，导函数f ′(x )在(0，1)内的绝对值大于在(1，＋∞)内的绝对值．2．归纳总结，核心必记(1)函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a ，b )内函数的单调性与导数有如下关系：一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：(1)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？提示：f(x)为常数函数，不具有单调性．(2)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(3)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2，1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1，3]．[课前反思](1)函数的单调性与其导数的正负有什么关系？；(2)函数图象的变化趋势与导数值的大小有什么关系？．讲一讲1．(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )(2)已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )[尝试解答] (1)由函数的图象可知：当x <0时，函数单调递增，导数始终为正；当x >0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数单调递增；在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．[答案] (1)D (2)D研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．练一练1．(1)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数的图象大致是( )解析：选D 因为函数f (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即f ′(x )<0.(2)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的递增区间是________．解析：由图象可知，f ′(x )>0的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)，故f (x )的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)． 答案：(－∞，0)，(2，＋∞)[思考1] 若函数f (x )为可导函数，且在区间(a ，b )上是单调递增(或递减)函数，则f ′(x )满足什么条件？ 名师指津：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)．[思考2] 若函数f (x )在(a ，b )上满足f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，则f (x )在(a ，b )上具备什么样的单调性？ 名师指津：若f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上为增函数；若f ′(x )<0，则f (x )在(a ，b )上为减函数． [思考3] 如何判断(证明)可导函数f (x )在(a ，b )上的单调性？ 名师指津：利用f ′(x )的符号，规律方法同[思考2]． 讲一讲2．求证：函数f (x )＝e x－x －1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数． [尝试解答] 由于f (x )＝e x －x －1， 所以f ′(x )＝e x－1，当x ∈(0，＋∞)时，e x＞1，即f ′(x )＝e x－1>0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，当x ∈(－∞，0)时，e x<1，即f ′(x )＝e x－1<0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．利用导数判断函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号； (3)得出结论． 练一练2．试证明：函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)上是单调递增函数．证明：由于f (x )＝ln x x，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx2.由于0<x <2， 所以ln x <ln 2<1， 故f ′(x )＝1－ln xx2>0， 即函数f (x )＝ln x x在区间(0，2)上是单调递增函数．[思考] f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集与函数f (x )的单调区间有什么关系？名师指津：f ′(x )>0的解集对应函数f (x )的单调递增区间；f ′(x )<0的解集对应函数f (x )的单调递减区间． 讲一讲3．(链接教材P 91－例2)求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x －x 3；(2)f (x )＝x 2－ln x . [尝试解答] (1)f ′(x )＝1－3x 2， 令1－3x 2>0，解得－33<x <33. 因此，函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3．3，33.令1－3x 2<0，解得x <－33或x >33. 因此，函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －1x＝（2x －1）（2x ＋1）x.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，22.利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域；(2)求f ′(x )，解不等式f ′(x )>0(或f ′(x )<0)； (3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间． 注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示． 练一练3．求函数f (x )＝exx －2的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x （x －2）－e x （x －2）2＝e x（x －3）（x －2）2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).讲一讲4．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.讨论f (x )的单调区间．[思路点拨] 由题意，可先求f ′(x )，然后根据a 的取值情况，讨论f ′(x )>0或f ′(x )<0的解集即可． [尝试解答] f ′(x )＝3x 2－a . (1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3. 当x >3a 3或x <－3a 3时，f ′(x )>0; 当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数． 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．练一练4．(1)本例中f (x )不变，若f (x )为单调递增函数，求实数a 的取值范围． 解：由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.即实数a的取值范围为(－∞，0]．(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．解：因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)恒成立，即a的取值范围为(－∞，3]．(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1，1)上为减函数，试求a的取值范围．解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1，1)恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求a的取值范围．解：由例题可知，f(x)的单调递减区间为(－3．a．3，3a3)，∴3a3＝1，即a＝3.(5)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1，1)上不单调，求a的取值范围．解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1，1)上不单调，∴0<3a3<1，即0<a<3.故a的取值范围为(0，3)．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是函数的单调性与其导数正负的关系、函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系．难点是与参数有关的函数单调性问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)函数与导函数图象间关系的应用，见讲1；(2)判断(证明)函数单调性的方法，见讲2；(3)利用导数求函数单调区间的方法，见讲3；(4)利用导数解决与参数有关的函数单调性问题，见讲4.3．在利用导数求函数的单调区间时，易忽视函数的定义域，这是本节课的易错点，如讲3(2)．课时达标训练（十六）[即时达标对点练]题组1 函数与导函数图象间的关系1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：选A 由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先减后增，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右是先减小后增大．2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2，5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1，2)和(4，5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]． 答案：(－1，2)和(4，5]题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间 4．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解析：选D f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝e x(x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x ，令y ′≤0，则可得0<x ≤1.6．证明函数f (x )＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 证明：∵f (x )＝sin xx，∴f ′(x )＝（sin x ）′x －sin x ·（x ）′x 2＝x cos x －sin x x2. 由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos x <0，sin x >0，x cos x －sin x <0.故f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．题组3 与参数有关的函数单调性问题7．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤13解析：选A f ′(x )＝3ax 2－1. ∵f (x )在R 上为减函数， ∴f ′(x )≤0在R 上恒成立． ∴a ≤0，经检验a ＝0符合题意．8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋a x，当a >0时，f ′(x )>0，函数f (x )只有单调递增区间为(0，＋∞)．当a <0时，由f ′(x )＝x ＋a x >0，得x >－a ；由f ′(x )＝x ＋a x<0，得0<x <－a ， 所以当a <0时，函数f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．[能力提升综合练]1．y ＝x ln x 在(0，5)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上减 解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴当0<x <1e时，ln x <－1，即y ′<0.∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上减．当1e <x <5时，ln x >－1，即y ′>0. ∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上增．2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )>0.因此，选项A 可能正确．同理，选项B 、C 也可能正确．对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C 1不相符．因此，选项D 不可能正确．4．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( ) A ．f (x )g (x )>f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )>f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) 解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f （x ）g （x ）在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ），又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b 有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，327．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．8．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1，4]上单调递减，所以x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立，令G (x )＝1x 2－2x，则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1. 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x16x＝（7x －4）（x －4）16x.因为x ∈[1，4]，所以h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，即h (x )在[1，4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.第2课时函数的极值与导数[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P93～P96的内容，回答下列问题．(1)观察教材P94图3.3－8，函数y＝h(t)在t＝a处的函数值与它附近的函数值的大小有什么关系？y＝h(t)在此处的导数值是多少？在这个点的附近，y＝h(t)的导数的符号有什么规律？提示：函数y＝h(t)在t＝a处的函数值比它附近的函数值都大，此处的导数为0，左侧h′(t)>0，右侧h′(t)<0．(2)观察教材P94图3.3－10和图3.3－11，函数y＝f(x)在a，b，c，d，e，f，g，h等点的函数值与这些点附近的函数值的大小有什么关系？y＝f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？提示：函数y＝f(x)在a，c，e，g的函数值比它附近的函数值都小，在b，d，f，h处的函数值比它附近的函数值都大；y＝f(x)在这些点的导数值都是0；在a，c，e，g点的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0；在b，d，f，h点的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．2．归纳总结，核心必记(1)极值点与极值①极小值点与极小值如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．②极大值点与极大值函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．③极值点与极值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(2)求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0时，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．[问题思考](1)函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，课本P 94图3.3－11中c 处的极小值大于f 处的极大值．(2)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有几个极小值点？提示：一个．x 1，x 2，x 3是极值点，其中x 2是极小值点．_x 1、x 3是极大值点．(3)已知x 0是函数f (x )定义域内的一点，当满足什么条件时，f (x 0)是f (x )的极大值？当满足什么条件时，f (x 0)是f (x )的极小值？提示：当f ′(x 0)＝0，且在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0时，f (x 0)是极大值；当f ′(x 0)＝0，且在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0时，f (x 0)是极小值．(4)导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定，如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．所以，当f ′(x 0)＝0时，要判断x ＝x 0是否为f (x )的极值点，还要看f ′(x )在x 0两侧的符号是否相反．(5)函数y ＝f (x )在给定区间(a ，b )内一定有极值点吗？提示：不一定，若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内是单调函数，就没有极值点．[课前反思](1)函数的极大值、极小值的定义是： ；(2)函数的极大值点、极小值点的定义是： ； (3)求函数y ＝f (x )的极值的方法是什么？．讲一讲1．(链接教材P 94－例4)求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 2e－x;(2)y ＝ln xx.[尝试解答] (1)函数的定义域为R .f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x. 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出，当x 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.(2)函数y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－ln x x 2.令y ′＝0，即1－ln xx2＝0，得x ＝e. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：由表可知，当x ＝e 时，函数有极大值e.求可导函数f (x )的极值的步骤为： (1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f ′(x )；(3)令f ′(x )＝0，求出全部的根x 0；(4)列表：方程的根x 0将整个定义域分成若干个区间，把x ，f ′(x )，f (x )在每个区间 内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x 0附近左正右负，则在x 0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值． 练一练1．求下列函数的极值： (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2. 解：(1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴x ＝－1是f (x )∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝－2（x －1）（x ＋1）（x 2＋1）2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可以看出：当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.讲一讲2．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [尝试解答] ∵y ＝f (x )在x ＝－1时有极值为0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.①当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，y ＝f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．②当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，f (x )在x ＝－1处取极小值且f (－1)＝0. ∴a ＝2，b ＝9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零和极值这两个条件来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否满足函数取得极值的条件．练一练2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a＝0， ①c 3a ＝－1，②又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，② 又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点．讲一讲3．求函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)的极值．[思路点拨] 分类讨论a 取不同值时，函数的单调性，进而求极值． [尝试解答] f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a . 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－a )＝2a a ＋b ， 极小值为f (a )＝－2a a ＋b .利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论． 练一练3．设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m >0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1.(2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m >0，所以1＋m >1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)，递增区间为(1－m ，1＋m )． 函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m ) ＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是函数极值的求法和已知函数的极值求参数．难点是含参数的函数的极值问题． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求函数的极值，见讲1； (2)已知函数的极值求参数，见讲2； (3)含参数的函数极值问题的求解，见讲3.3．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反，这是本节课的易错点．课时达标训练（十七） [即时达标对点练]题组1 求函数的极值1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．－1和2C ．－1D ．－3解析：选C f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f ′(x )<0，在区间(－1，2)上，f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值．2．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0；当－1<x <3时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2，2)，故无极小值． 3．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．其中正确的结论为________．解析：由图象知，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理，f (x )在(2，4)上为减函数，在(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数， 所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减， 所以x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③题组2 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1，3 C ．－1，3 D ．－1，－3 解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0，1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 题组3 含参数的函数的极值问题7．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值． 解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝3. 8．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内B ．二个零点，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0，＋∞)内C ．三个零点，分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1，(1，＋∞)内D ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0，1)，(1，＋∞)内 解析：选A 利用导数法易得函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13内递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1内递增，在(1，＋∞)内递减，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内．2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0，1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）<0，f ′（1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析：选D 取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，排除A.取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，排除C.故选D.5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或26.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的极大值为5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：由题图得依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝5，f ′（1）＝0，f ′（2）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0.解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 答案：2 －9 127．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R )的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，函数在x ＝0处有极大值，极大值为f (0)＝－a ； 在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （2）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．第3课时函数的最大(小)值与导数[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P96～P98的内容，回答下列问题．(1)观察教材P96图3.3－13，回答下列问题：①你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的极大值和极小值吗？提示：极大值有f(x2)，f(x4)，f(x6)；极小值有f(x1)，f(x3)，f(x5)．②你能找出函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值吗？提示：最大值为f(a)，最小值为f(x3)．(2)观察教材P97图3.3－14，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为f(b)，最小值为f(a)．(3)观察教材P97图3.3－15，函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值吗？分别是什么？提示：最大值为f(x3)，最小值为f(x4)．(4)通过以上观察，你认为函数f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是极值吗？提示：不一定，可能是区间端点对应的函数值．(5)怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值．2．归纳总结，核心必记(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)函数最值的求法求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[问题思考]在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．[课前反思](1)如何求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值？(2)函数f (x )的最大值和最小值与极值有什么区别与联系？讲一讲1．(链接教材P 97－例5)求下列各函数的最值． (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x(x <0)．[尝试解答] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x ＝1和x ＝－1是函数在[－3，3]上的两个极点， 且f (1)＝2，f (－1)＝－2. 又因为f (x )在区间端点处的取值为f (－3)＝0，f (3)＝－18.所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54x2.令f ′(x )＝0得x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值， 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得． ①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 练一练1．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， 因为f ′(x )在[－1，1]内恒大于0， 所以f (x )在[－1，1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )取最小值为－12，x ＝1时，f (x )取最大值为2.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.讲一讲2．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b 在区间[－1，1]上的最大值为1，最小值为－62，求该函数的解析式．[尝试解答] 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )＝0， 得x ＝0或x ＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：。
人教b版高中数学选修：第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用预习导学案含答案
3.3.3 导数的实际应用
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1．最优化问题
在经济生活中，人们经常遇到最优化问题．例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题．导数是解决这类问题的方法之一．2．解决优化问题的基本思路
思考利用导数解决生活中优化问题的一般步骤有哪些？
提示：(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)；
(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围；
(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值；
(4)下结论，回扣题目，给出完整的答案．
温馨提示求解应用问题的方法
解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言．要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．对于这类问题，我们往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．
运算不过关，就得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路．在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的新的途径和方法，并从中进行一番选择．。
《导数的应用》学案
(1)能根据导数定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(3)掌握常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算公式．学习过程：一 知识梳理：1．几种常见函数的导数: (1) C ′＝ (C 为常数)； (2)(x n )′＝ (n ∈Q *)；(3)(sinx)′＝ (4)(cosx)′＝ ；(5)(e x )′＝ ； (6)(a x )′＝ (a>0且a ≠1)；(7)(lnx)′＝ ； (8)(log a x)′＝ (a>0且a≠1)．2．导数运算法则:(1)[f(x)±g(x)]′＝ ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ ；(3)[f(x)g(x)]′＝ ． 注：（特别是商的求导法则，求导过程中符号易判断不清，导致错误．）3．运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导数的基本步骤：(1)分析函数y ＝f (x )的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果．二．问题探究：1.求下列函数的导数：(1)522123+--=x x x y x x y ln 2)2(2-= (3) x x y 23log += （4）xx y sin cos = (5) x x x y sin cos -= （6）x x y sin 4cos 3-=2．已知f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于 。
3．(教材习题改编)已知f(x)＝13－8x ＋x 2，且2)(0'=x f .则0x ＝________.4.已知函数x x y ln =，求这个函数的图像在点x=1处的切线方程。
5．已知点P 和点Q 是曲线322--=x x y 上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q的横坐标是4；求：①割线PQ 的斜率，②点P 处的切线方程。
3.3.3导数的实际应用
3.3.3导数的实际应⽤⾼⼆数学导学案（⽂倾）教学课题：3.3.3导数的实际应⽤课标要求：通过使利润最⼤、⽤料最省、效率最⾼等优化问题，体会导数在解决实际应⽤问题中的作⽤。
本节主要问题：1、如何利⽤导数解决实际应⽤问题？（1）细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最⼤值或最⼩值的变量y与⾃变量x把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式()=，再根据y f x实际问题确定函数的定义域；（2）求'()f x=，求出定义域内所有f x，解⽅程'()0的实根；（3）⽐较函数在各个根和端点处的函数值的⼤⼩，根据问题的实际意义确定函数的最⼤值或最⼩值。
⼀、典例剖析：例1、有⼀块边长为a正⽅形铁板，现从铁板的四个⾓各截去⼀个相同的⼩正⽅形，做成⼀个长⽅体形的⽆盖容器。
为使其容积最⼤，截下的⼩正⽅形边长应为多少？例2 矩形横梁的强度同它的断⾯的⾼的平⽅与宽的积成正⽐。
要将直径为d的圆⽊锯成强度最⼤的横梁，断⾯的宽度和⾼度应是多少？⼆、课本巩固练习：1、⽤长度为L的铁丝围成长⽅形，求围成的最⼤⾯积。
2、把长度为L的铁丝分成两段，各围成⼀个正⽅形，问怎样分法，才能使它们的⾯积之和最⼩。
3、等腰三⾓形的周长为2p,问这个等腰三⾓形围绕底边旋转⼀周所成的⼏何体体积最⼤时，各边长分别是多少？4、做⼀个容积为216ml的圆柱形封闭容器，⾼与底⾯直径为何值时，所⽤材料最省？5、⼀跳⽔运动员，离开跳板后，他达到的⾼度和时间的函数关系是8t 2h(t)=10-4.9t ，求该运动员达到的最⼤⾼度（距离单位：m,时间单位：s ）.6、⽤边长为60cm 的正⽅形的铁⽪做⼀个⽆盖⽔箱，先在四⾓分别截去相同的⼩正⽅形，然后把四边翻转90 再焊接⽽成。
问⽔箱底边应取多少，才能使⽔箱的容积最⼤？7、将长为72cm 的铁丝截成12段，搭成⼀个正四棱柱的模型，以此为⾻架做成⼀个容积最⼤的容器，问铁丝应怎样截法？8、⼀个质点在直线上运动，其任⼀时刻t的位置是2f(t)=3t-t。
“导数的应用”学案
“导数的应用”学案蒋德亮（山东省临沭县第二中学）一、学习目标1．会用导数求函数的单调区间或者判断函数的单调性． 2．会用导数求函数给定区间上的极值和最值．二、诊断补偿2.思考：利用导数可以解决哪些问题？三、问题解决应用一：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性思考：尝试应用：典例析与练:'()()'()()f x f x y f x y f x ==设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）.5223π(23)(2)ln(1)(3)(4)sin(2)3x y x y x y ey x --=+=+==+11．求下列函数的导数:（）；；；．()(,)f x a b 1.函数在区间内,'()0f x >⇒'()0f x <⇒()(,)f x a b 2、函数在区间内,()(,)f x a b ⇒在内单调递增()(,)f x a b ⇒在内单调递减提示：先求导函数，再求不等式'()0f x >或'()0f x <的解集．跟踪练习：应用二：用导数求函数给定区间上的极值和最值思考1：思考2：求函数f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤：典例析与练：3.()31(0),().f x x ax a f x =--≠例1已知函数求函数的单调区间cos sin .π3π3π5πA. (,) B. (π,2π) C. (,) D. (2π,3π)2222y x x x =-函数在下面哪个区间内是增函数( )()1,,,,,,,2()3()456y f x a b d e fghi y f x y f x ===如图，（）函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？（）在这些点的导数值是多少？（）在这些点附近，的导数的符号有什么规律？（）极小值是不是就是最小值？（）极大值是不是就是最大值？（）极小值一定比极大值小吗？提示：先求'()0f x =的解0x ，再判断0x 两侧的导函数的正负，确定极值，再求端点值，最后比较极值和端点值． 跟踪练习：()()()[]3239122,220,f x x x x a f x f x =-+++-2、已知函数，（）求的单调递减区间；（）若在区间上的最大值为求它在该区间上的最小值．四、能力提高3222()()1:310,3(),,()f x x ax bx c y f x x l x y x y f x a b c f x =++==-+===例．已知函数+,曲线在点处的切线为若时,有极值.（1）求的值；（2）求在[-3,1]上的最大值和最小值.()()y f x y f x '==1.如果函数的图象如图所以，那么导函数的图象可能是（ ）.1.()0,()y f x y f x ==函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）.A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.必要不充分条件2.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）.A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④322.(),1,4()3.2s t t bt ct d t s t d d =+++⎡⎤∈<⎢⎥⎣⎦4已知某质点的运动方程为下图是其运动轨迹的一部分，若时，恒成立，求的取值范围五、知识网络构建六、分层作业（一）基础作业3()3(0)62()f x x ax b a f x =-+>3.函数的极大值为，极小值为，则的减区间是（ ）.A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.(-2,-1)32()91(0)()12612()f x x ax x a y f x x y a f x =+--<=+=1．设函数，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求：（）的值；（）函数的单调区间.（二）能力作业0023()2ln ,1()1,,21[,2]()0.4()(0,)7.389,20.08)bf x ax x x f x x x x f x c c b a f x a e e =-+==-≤=+∞≈≈2.设函数（1）若在处取得极值求a,b 的值；在存在，使得不等式成立，求的最小值（2）当时，若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据① ②。
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用导学案无答案新人教B版
3.3.3导数的实际应用一、学习目标及学法指导（一）导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。
（二）要求最值，首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
二、预习案预习教材P99-P100页三、课中案例1. 如图，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的正方形，做成一个长方体形的无盖容器。
为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？xa踪练习1：某种圆柱形饮料罐的容积为V，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？例2. 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比。
要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？h dx跟踪练习2：在等腰梯形ABCD 中，设上底CD=40,腰AD=40,问AB 多长时，等腰梯形的面积最大？（提示：设角A=θ）例3：如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B 的距离是150km ，在岸边距点B300km 的点A 处有一军需品仓库。
有一批军需品要尽快送达海岛。
A 与B 之间有一铁路，现用海陆联运方式运送。
火车时速为50km ，船时速为30km ，试在岸边选一点C ，先将军需品用火车送到点C ，再用轮船从点C 运到海岛。
问点C 选在何处可使运输时间最短？四、课后案1.在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？2.将长为72cm 的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，问铁丝应怎样截法？3.一正方形内接于另一固定的正方形（顶点分别在四边上），问内接正方形的一边与固定正方形一边的夹角取什么值时，内接正方形的面积最小？4.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）。
学案2：3.3.3 导数的实际应用
3.3.3 导数的实际应用学习目标:解决一些综合问题 重点:实际问题的应用 难点: 实际问题的应用 教材助读:导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．合作探究 展示点评例1：工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为p ＝⎩⎨⎧16－x，0＜x ≤c ，23，x ＞c ，(c 为常数，且0＜c ＜6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元． (1)将日盈利额y (万元)表示为日产量x (万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)例2：经济学上规定，对于某经济函数y ＝f (x )，称xf ′(x )f (x )为该经济函数的弹性，它表示经济变量x 变动1%时，经济变量y 相应变动的百分比．现有一个企业生产一种商品，年产x 件的总成本为c ＋dx ，年需求量g (p )是价格p 的函数，即g (p )＝a －bp (a ，b ，c ，d ＞0)．求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性的绝对值为1时的价格；(3)若企业将价格定为p ＝a4b ，求此时需求对价格的弹性，并说明它的实际意义．例3：张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息．这时正好某商业银行推出一种年利率低于4.8%的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)，因此，他打算申请这种贷款在购房时付清房款．(1)若贷款的利率为x ，x ∈(0,0.048)，写出贷款量g (x )及他应支付的利息h (x )； (2)贷款利息为多少时，张明获利最大？当堂检测1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．3002．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8C ．43D ．833．某工厂需要建一个面积为512m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为( )A ．16m,16mB ．32m,16mC ．32m,8mD ．16m,8m4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.0486)，若使银行获得最大效益，则x 的取值为( )A ．0.0162B ．0.0324C ．0.0243D ．0.04865．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．6．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________元．7．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？8．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？参考答案：合作探究 展示点评例1：解：(1)当x ＞c 时，p ＝23，y ＝(1－23)·x ·3－23·x ·32＝0；当0＜x ≤c 时，p ＝16－x，∴y ＝(1－16－x )·x ·3－16－x ·x ·32＝3(9x －9x 2)2(6－x ).∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(9x －2x 2)2(6－x )，0＜x ≤c ，0，x ＞c ，(c 为常数，且0＜c ＜6). (2)由(1)知，当x ＞c 时，日盈利额为0. 当0＜x ≤c 时， ∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋9x －2x 2(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去)． ∴①当0＜c ＜3时，y ′＞0， ∴y 在区间(0，c ]上单调递增， ∴y 最大值＝f (c )＝3(9c －2c 2)2(6－c ).②当3≤c ＜6时，在(0,3)上，y ′＞0，在(3，c )上，y ′＜0， ∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减． ∴y 最大值＝f (3)＝92.综上，若0＜c ＜3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大； 若3≤c ＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.例2：解：(1)由题意可知此时年利润l ＝f (x )＝px －(c ＋dx )＝a －xb x －(c ＋dx )．f ′(x )＝－2b x ＋ab－d ，令f ′(x )＝0，得x ＝12(a －bd )．当x ＜12(a －bd )时，f ′(x )＞0；当x ＞12(a －bd )时，f ′(x )＜0，所以x ＝12(a －bd )为极大值点，即最大值点．故x ＝12(a －bd )时，l 取得最大值14b (a －bd )2－c .(2)g (p )＝a －bp ，则需求对价格的弹性为： p ·g ′(p )g (p )＝p ·(a －bp )′a －bp ＝－bp a －bp . 令|－bp a －bp|＝1，得p ＝a2b .(3)若p ＝a 4b ，则－bp a －bp＝－13.它表示价格定为p ＝a4b 时，价格上升1%时，需求量相应会减少0.333%.例3：解：(1)由题意可知贷款量g (x )＝kx 2，应支付利息h (x )＝x ·g (x )＝kx 3. (2)张明的获利为两种付款方式之间应付的利息差，设张明获利为y ，则 y ＝0.048·kx 2－kx 3， y ′＝k ·0.096x －3kx 2，令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝0.032. 当x ∈(0,0.032)时，y ′＞0， 当x ∈(0.032,0.048)时，y ′＜0.故当x ＝0.032时，y 在x ∈(0,0.048)内取得极大值，即最大值，故贷款利率为3.2%时，张明获利最大.当堂检测1．【答案】D【解析】由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0， 所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D ． 2．【答案】C【解析】V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝3x 2－x 33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )．令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.3．【答案】B【解析】如图所示，设场地一边长为x m ， 则另一边长为512xm.因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)． ∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴x ＝16必是最小值点． ∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16m ，长为32m 时，可使砌墙所用的材料最省． 4．【答案】B【解析】依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.0486kx 2， 其中x ∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y ＝0.0486kx 2－kx 3(0<x <0.0486)， 则y ′＝0.0972kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.0324或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.0324时，y ′>0； 当0.0324<x <0.0486时，y ′<0.所以当x ＝0.0324时，y 取得最大值，即 当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益． 5．【答案】4【解析】设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值．6．【答案】85【解析】设每件商品定价x 元，依题意可得利润为L ＝x (200－x )－30x ＝－x 2＋170x (0＜x ＜200)．L ′＝－2x ＋170，令－2x ＋170＝0，解得x ＝1702＝85.因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大． 7．解：设该厂生产x 件这种产品利润为L (x ) 则L (x )＝500x －2 500－C (x ) ＝500x －2 500－⎝⎛⎭⎫200x ＋136x 3 ＝300x －136x 3－2 500(x ∈N )令L ′(x )＝300－112x 2＝0，得x ＝60(件)又当0≤x <60时，L ′(x )>0 x >60时，L ′(x )<0所以x ＝60是L (x )的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝60时，L (x )＝9 500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．8．解：设水箱底边长为x cm ，则水箱高为h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝60x 2－x 32(0<x <120)(cm 3)． V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0得，x ＝0(舍)或x ＝80.当x 在(0,120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在x ＝80(x )的最大值． 将x ＝80代入V (x )，得最大容积 V ＝802×60－8032＝128 000(cm 3)． 答：水箱底边长取80cm 时，容积最大，最大容积为128 000cm 3.。
学案4：3.3.3 导数的实际应用
3.3.3 导数的实际应用一、学习目标1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，根据实际问题确定函数的定义域；2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去.难点：在实际问题中，有常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值.二、学习过程例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 20.8r 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？三、反思总结通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：四、当堂检测1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件C ．9万件D ．7万件2．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·⎝⎛⎭⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．353．把长60 cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大．4．做一个无盖的圆柱形水桶，若需其体积是27π，且用料最省，求此时圆柱的底面半径为多少？参考答案：二、学习过程例1． 解：设版心的高为x dm ，则版心的宽为128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++>. 求导数，得 '2512()2S x x=-. 令'2512()20S x x=-=，解得16(16x x ==-舍去）. 于是宽为128128816x ==. 当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小.答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小.例2．解：由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是 ()332240.20.80.8,0633r y f r r r r r πππ⎛⎫==⨯-=-<≤ ⎪⎝⎭令()20.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =（0r =舍去）当()0,2r ∈时，()0f r '<；当()2,6r ∈时，()0f r '>．当半径2r >时，()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径2r <时，()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大，利润越低．（1）半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为6cm 时，利润最大．四、当堂检测1．【解析】y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍)．当0＜x ＜9时y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0.故当x ＝9时函数有极大值，也是最大值．【答案】C2．【解析】V ′(x )＝⎝⎛⎭⎫30x 2－x 32′＝60x －32x 2，x ∈(0,60)．令V ′(x )＝0，得x ＝40. ∴当x ＝40，箱子的容积有最大值．【答案】B3．【解析】设长为x cm ，则宽为(30－x )cm ，所以面积S ＝x (30－x )＝－x 2＋30x ，由S ′＝－2x ＋30＝0，得x ＝15.【答案】15 154．解：设底面半径为r ，则高h ＝27r 2. ∴S ＝2πr ·h ＋πr 2＝2πr ·27r 2＋πr 2＝54πr＋πr 2 S ′＝2πr －54πr 2，令S ′＝0，得r ＝3. 经验证，当r ＝3时，S 最小．答：圆柱的底面半径为3时用料最省.。
3.3.3导数的实际应用
在开区间有两个极值点时，函数有无最值情况不定。
讨论函数（f x）=4x3
4x2
x在
0，1 2
的最值情况。
f '(x) 12x2 8x 1 (2x 1)(6x 1)
1
ห้องสมุดไป่ตู้
f (x)最大值
f( ) 6
没有最小值
小结
1、本节课你学到了哪些知识？
___比___较__,其__中__最__大__的__一__个___为__最__大__值__，__最__小__的__ ___一__个__最__小__值__.___
3、函数的最大值、最小值与函数的极大值 和极小值的区别与联系
(1).函数的最值是比较_整__个__定__义__域__内__的函数 值得出的,是整体概念；函数的极值是比较 _极__值__点__附__近__函数值得出的，是局部概念。
②将y = f(x)在各极值点的极值与f(a), f(b)比较，其中 最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。
18
小结
1、本节课你学到了哪些知识？
2、本节课你用到了哪些数学方法？ （1）数形结合的思想 （2）分类讨论的思想 （3）特殊到一般的思想
课后作业：
结合课本及所学知识，完成教学 提纲限时训练习题。
y
该函数没有最值。 y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
x ［a, b］
y
f(x)max=f(a), f(x)min=f(b)
y=f(x)
a x1 x2 x3 o x4 x5
x6 b x
自学互学3
观察下面两个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：
【小初高学习】高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课堂导学案
3.3.3 导数的实际应用课堂导学三点剖析 一、求最值【例1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p =24 200-51x 2,且生产x 吨的成本为R =50 000+200x 元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？ 解：每月生产x 吨时的利润为f (x )=(24 200-51 x 2)x -(50 000+200x )=-51x 3+24 000x -50 000(x ≥0). 由f ′(x )=-51x 2+24 000=0.解得x 1=200,x 2=-200(舍去).因f (x )在［0,+∞)内只有一个点x =200使f ′(x )=0,故它就是最大值点，且最大值为f (200)=-51(200)3+24 000×200-50 000=3 150 000.答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于0，求y ′=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】 已知某厂生产x 件产品的成本为c =25 000+200x +401x 2(元). (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解. 解析:(1)设平均成本为y 元，则.40100025)4020000025(),0(40200000254012000002522+-='++=>++=++=x x x y x x x x x x y 令y ′=0，得x 1=1 000,x 2=-1 000(舍去).当在x =1 000附近左侧时，y ′<0; 在x =1 000附近右侧时，y ′>0; 故当x =1 000时，y 取得极小值.由于函数只有一个点使y ′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.(2)利润函数为L =500x -(25 000+200x +402x )=300x -25 000-402x . ∴L ′=(300x -25 000-402x )′=300-20x . 令L ′=0，得x =6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0;当x 在6 000附近右侧时L ′<0，故当x =6 000时，L 取得极大值.由于函数只有一个使L ′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品. 三、导数在生活中的应用【例3】 如图所示，水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S ，水面的高为h ，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a ，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边BC =h ·(s in Φ)-1,设下底AB =x ，则上底CD =x +2h c o t Φ,又S =21(2x +2h c o t Φ)h=(x +h c o t Φ)h, ∴下底x =hS-h c o t Φ,∴横断面被水浸湿周长l =h S h h h h S h +ΦΦ-Φ=Φ-+Φsin cos sin 2)cot (sin 2(0<Φ<2π). ∴l ′Φ=.sin sin cos 222Φ+ΦΦ-hh 令l ′Φ=0,解得cos Φ=21,∴Φ=3π.根据实际问题的意义，当Φ=3π时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.(2)设水渠高为h ，水流横断面积为S ,则S =21(a +a +2a cos Φ)·h =21(2a +2a cos Φ)·as in Φ=a 2(1+cos Φ)·s in Φ(0<Φ<2π). ∴S ′=a 2［-s in 2Φ+(1+cos Φ)cos Φ］=a 2(2cos Φ-1)(cos Φ+1). 令S ′=0,得cos Φ=21或cos Φ=-1(舍)，故在(0,2π)内，当Φ=3π时，水流横断面积最大，最大值为S=a 2(1+cos3π)s in 3π=433a 2.各个击破 类题演练1已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v≤v 0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v =12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y 1,比例系数为k (k >0),则y 1=kv 2，当v =12时，y 1=720,∴720=k ·122,得k =5.设全程燃料费为y ,由题意y =y 1·,8000182002-=-v vv∴y ′=2222)8(000160001)8(0001)8(0002--=---v vv v v v v .令y ′=0,∴v =16.∴当v 0≥16时，v =16时全程燃料费最省；当v 0<16时，即v ∈(8,v 0)时y ′<0，即y 在(8，v 0］上为减函数， ∴当v =v 0时，y min =.8000102-v v综上，当v 0≥16时，v =16千米/时全程燃料费最省. 当v 0<16时，则v =v 0千米/时时全程燃料费最省.变式提升1求f (x )=16522++-x x x 在［-1,3］上的最大值和最小值.解：①求出所有导数为0的点，为此，解方程f ′(x )=0,即f ′(x )=0)1()12(5222=+--x x x即x 2-2x -1=0得x 1=1-2与x 2=1+2且x 1,x 2∈［-1,3］相应的函数值为：2257)21(,2257)21(-=++=-f f ②计算f (x )在区间端点上的值为：f (-1)=0,f (3)=0③通过比较可以发现，f (x )在点x 1=1-2处取得最大值;2257+在x 2=1+2处取得最小值2257-.类题演练2用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为x cm ，则水箱高为 h=60-2x(cm). 水箱容积V =V (x )=x 2h =60x 2-23x (0<x <120)(cm 3). V ′(x )=120x -23x 2. 令V ′(x )=0,得x =0(舍)或x =80.当x 在(0，120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在=80处，函数()取得极大值，并且这个极大值就是函数()的最大值. 将x =80代入V (x ),得最大容积V =802×60-2803=128 000 cm 3. 答：水箱底边长取80 cm 时，容积最大.其最大容积为128 000 cm 3.变式提升2铁路上AB 段的距离为100千米，工厂C 到铁路AB 的距离BC =40千米，今要在AB 之间设一转运站D .向工厂修一条公路，使从原料供应站A 运货到工厂C 所用费用最省.问D 点应设在何处？(已知每千米铁路与公路运费之比为3∶5)解：设D 与B 间距离为x 千米，则C 与D 间距离为2240x +千米.A 与D 间距离为(100-x )千米，设铁路与公路运费的比例为k ，则：y =k ［3(100-x )+52240x +］(0≤x ≤100),y ′=k ［-3+22405xx +］.令y ′=0，解得x =30.因此，当B 、D 距离30千米时，所用费用最省.类题演练3如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)？解：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数. 依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小. 根据题设，有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0) 得b =aa+-230(0<a <30), 于是y =,30)2(23022a a a k aa a k ab k -+=+-= ∵y ′=222)30()230)(2()30(a a a a k a a k --+-- =0时，a =6或a =-10(舍去).由于本题只有一个极值点，故当a =6时，b =3时为所求.变式提升3一报刊图文应占S cm 2，上，下边宽都是a cm ，左右边均为b cm ，若只注意节约用纸，问这报刊的长宽各为多少？分析：解有关实际问题的最大值、最小值时，要注意以下几点：①设出两个变量，依据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系.②确定函数关系式中自变量的定义区间.③求函数的最大值或最小值.④所得的结果要符合问题的实际意义. 解：要节约用纸，就是要求纸的利用率最高，而利用率K =纸的总面积图文所占面积,设图文所占面积的长为x ，则宽为xS，如下图所示：则)2)(2(a xSb x S K ++=)0(,)2)(2(>++=x S ax b x Sx,)2()2()(2222ax S b x ax bS S K ++-='令K′=0，即bS -ax 2=0, 解得x =abS ,在x =a bS 附近，K′由正到负，因此有极大值也是最大值，从而得报刊的长为a bS 2+2b ，宽为baS+2a 时，图文所占面积最大.。
《3.3.3导数的实际应用》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.3.3导数的实际应用》导学案【学习目标】1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用； 2．提高将实际问题转化为数学问题的能力.【自主学习】1.什么是优化问题？2．利用导数解决生活中的一些优化问题．导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大(小)值问题，一般应怎么做？，则问题转化为导数问题，解题中应该注意什么？3. 探究课本101页海报版面尺寸的如何设计？4. 探究课本102页饮料瓶大小如何对饮料公司利润的影响？5.探究课本103页磁盘的最大存量问题？6.解决优化问题的基本思路是什么？【自主检测】1．酒杯的现状为倒立的圆锥，杯深8cm ，上口宽6cm ，水以20s cm 3的流量倒入杯中，当水深为4cm 时，则水升高的瞬时速度是_________.【典型例题】例1．在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？【课堂检测】1.内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为( )A .R 2和32RB .55R 和455RC .45R 和75R D ．以上都不对2.已知某商品生产成本C 和产量Q 的函数关系为C =100+4Q ，单价P 与产量Q 的函数关系式为P =25-18Q ，求产量Q 为何值时，利润L 最大？ 3.在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C (x )，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R (x )，R (x )－C (x )称为利润函数，记为P (x ).(1)如果C (x )＝10005003.010236++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)(2)如果C (x )=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？。
学案5：3.3.3 导数的实际应用
3.3.3 导数的实际应用课标要求1．通过实例体会导数在解决实际问题中的作用．2．能利用导数解决实际问题．3．提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的意识．核心扫描利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重点)课前探究学习：1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤第一步：建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；第二步：求函数的导数f′(x)，令f′(x)＝0，求出极值点；第三步：比较函数在区间端点和极值点处的取值大小，确定其最大值或最小值．2．解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点处有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围.课堂讲练互动：题型一用料、费用最省问题例1：如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．变式1：一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？题型二面积、容积的最值问题例2：如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？规律方法(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．变式2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？题型三成本最省、利润最大问题例3：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？题后反思：正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式． ②与实际问题相联系．③必要时注意分类讨论思想的应用．变式3：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q .求产量q 为何值时，利润L 最大？方法技巧 转化与化归思想在生活优化问题中的应用生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用导数这一工具能够解决的一般数学问题．其解决问题的过程就体现了转化与化归的思想，基本思路如图：例4：某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数．如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？方法点评 用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤： (1)建立函数关系式y ＝f (x )；(2)求导函数y ′； (3)令y ′＝0，求出相应的x 0； (4)指出x ＝x 0处是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值.参考答案：例1：解：(1)设长为x m ，则宽为200x m.据题意⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0＜200x ≤16，解得252≤x ≤16，y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝⎛⎭⎫252≤x ≤16. (2)y ′＝800－259 200x 2＝0，解得x ＝18.当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数． 又∵252≤x ≤16，∴当x ＝16时，y min ＝45 000.∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45 000元． 变式1：解：设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元， 那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，于是有p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元， 那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v 小时，所以，行1海里的总费用为：q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20.∵当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′>0，∴当v ＝20时取得最小值，即速度为20海里/小时， 航行1海里所需费用总和最小．例2：解：设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ， 则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′＝18 000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360 000(x －20)2＋25.令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S (x )的最小值为S (140)． 当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．变式2：解 如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S ＝2πRh ＋2πR 2， 由V ＝πR 2h ，得h ＝VπR2，则S (R )＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2VR ＋2πR 2，令S ′(R )＝－2VR 2＋4πR ＝0，解得R ＝ 3V 2π，从而h ＝V πR 2＝Vπ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝ 34V π＝2 3V 2π，即h ＝2R .因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 所以，当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．例3：解：(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv ，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋bv 2·sv ＝s ⎝⎛⎭⎫a v＋bv ， ∴所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ] (2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数． y ′＝s ⎝⎛⎭⎫b －av 2＝0得v ＝ ab.但v ∈(0，c ]． ①若 ab≤c ，则当v ＝ ab时，全程运输成本y 最小； ②若ab>c ，则v ∈(0，c ]， 此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数． 所以当v ＝c 时，y 最小．综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当 ab≤c 时，行驶速度v ＝ a b； 当ab>c 时，行驶速度v ＝c .变式3：解：收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎫25－18q ＝25q －18q 2， 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84.所以产量为84时，利润L 最大．例4：解：(1)由题意，每年销售Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元． 销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，所以年利润y ＝(年收入)－(年成本)－(年广告费) ＝32(32a ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x ＝12·(32Q ＋3－x ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32×3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)，所以所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y ＝f (x )＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)可得f ′(x )＝(－2x ＋98)·2(x ＋1)－2(－x 2＋98x ＋35)4(x ＋1)2＝－x 2－2x ＋632(x ＋1)2令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －63＝0. 所以x ＝－9(舍去)或x ＝7. 又x ∈(0,7)时，f ′(x )>0；x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (7)＝42. 又因为在(0，＋∞)上只有一个极值点， 所以f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．。
学案2：3.3 导数的综合应用
3.3 导数的综合应用学习目标1.能利用导数研究函数的单调性、极值、最值等.2.能利用导数研究函数的一些综合性问题.知识梳理[复习导入]函数与导数是高中数学的核心内容,函数思想贯穿中学数学全过程.导数作为工具,提供了研究函数性质的一般性方法.作为“平台”,可以把函数、方程、不等式、圆锥曲线等有机地联系在一起,在能力立意的命题思想指导下,与导数相关的问题已成为高考数学命题的必考考点之一.函数与方程、不等式相结合是高考热点与难点.[重点知识]问题1:在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调.f'(x)>0(或<0)只是函数f(x)在该区间单调递增(或递减)的条件,可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(或递减)的充要条件是:对任意x∈(a,b),都有f'(x)≥0(或≤0)且f(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性,反过来确定函数解析式中的参数的值或范围”问题.问题2:设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点x,都有f(x)<f(x0),那么f(x0)是函数的一个,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0),那么f(x0)是函数的一个,记作y极小值=f(x0),极大值与极小值统称为.导数f'(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值点,如使f'(x)=0的点的左、右的导数值异号,则是极值点,其中左正右负点是极大值点,左负右正点是极小值点.极大值未必大于极小值.问题3:将函数y=f(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是,最小的一个是.基础学习1.已知e为自然对数的底数,则函数y=x e x的单调递增区间是().A.[-1,+∞)B.(-∞,-1]C.[1,+∞)D.(-∞,1]2.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,-1),则x0的值为().A.1B.1C.eD.10e3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点个.4.等比数列{a n}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),求函数f(x)在点(0,0)处的切线方程.重难点探究[探究一]已知函数的单调性求参数的取值范围问题若函数f(x)=x3-ax2+1在[0,2]内单调递减,求实数a的取值范围.[探究二]利用极值判断方程根的个数已知函数f(x)=x3-x2-x.(1)求f(x)的极值;(2)画出它的大致图像;(3)指出y=f(x)零点的个数.[探究三]对导数的综合考查已知函数f (x )=x 2+2a ln x.(1)若函数f (x )的图像在(2,f (2))处的切线斜率为1,求实数a 的值; (2)求函数f (x )的单调区间和极值;(3)若函数g (x )=2x +f (x )在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围.拓展应用 [应用一]若函数f (x )=13x 3-12ax 2+(a -1)x+1在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a 的取值范围.[应用二]已知函数f (x )=x 3-ax 2+bx+c (a ,b ,c ∈R).(1)若函数f (x )在x=-1和x=3处取得极值,试求a ,b 的值; (2)在(1)的条件下,f (x )与x 轴有3个交点,求c 的取值范围.[应用三]已知函数f (x )=ax -ln x ,x ∈(0,e],g (x )=lnx x,其中e 是自然常数,a ∈R .(1)当a=1时,求f (x )的极值,并证明f (x )>g (x )+12恒成立.(2)是否存在实数a ,使f (x )的最小值为3?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.智能检测1.函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )>0,f'(x )>0,则函数y=xf (x )( ).A .存在极大值B .存在极小值C .是增函数D .是减函数 2.函数y=x 3+3x 在(0,+∞)上的最小值为( ).A .4B .5C .3D .13.已知函数f (x )=a ln x+x 在区间[2,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是 .4.已知幂函数f (x )=x -m2+2m+3(m ∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式;(2)设函数g (x )=14f (x )+ax 3+92x 2-b (x ∈R),其中a ,b ∈R .若函数g (x )仅在x=0处有极值,求a 的取值范围.答案知识梳理问题1:递增 递减 充分 问题2:极大值 极小值 极值 问题3:最大值 最小值 基础学习1.A 令y'=e x (1+x )≥0,又e x >0,∴1+x ≥0,∴x ≥-1.故选A .2.B 依题意得,题中的切线方程是y -ln x 0=1x 0(x -x 0).又该切线经过点(0,-1),于是有-1-lnx 0=1x 0(-x 0),由此得ln x 0=0,x 0=1,选B .3.1 注意审题,题目给出的是导函数的图像.先由导函数取值的正负确定函数的单调性,然后列表可判断函数极小值点有1个.4.解:f'(x )=(x -a 1)(x -a 2)…(x -a 2012)+x ·(x -a 2)(x -a 3)…(x -a 2012)+x (x -a 1)(x -a 3)…(x -a 2012)+…+x (x -a 1)(x -a2)…(x -a 2 011),∴f'(0)=(-a 1)·(-a 2)…(-a 2012)=(a 1a 2012)1 006=22012, ∴切线方程为y=22012x. 重难点探究探究一:【解析】f'(x )=3x 2-2ax=x (3x -2a ),当a=0时,f'(x )≥0,故y=f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,与y=f (x )在[0,2]内单调递减不符,舍去; 当a<0时,由f'(x )≤0得23a ≤x ≤0,即f (x )的减区间为[23a ,0],与y=f (x )在[0,2]内单调递减不符,舍去;当a>0时,由f'(x )≤0得0≤x ≤23a ,即f (x )的减区间为[0,23a ],由y=f (x )在[0,2]内单调递减得23a ≥2,即a ≥3.综上,可知a 的取值范围是[3,+∞).【小结】已知f (x )在区间(a ,b )上的单调性,求参数范围的方法:(1)利用集合的包含关系处理:f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集; (2)利用不等式的恒成立处理:f (x )在(a ,b )上单调,则f'(x )≥0或f'(x )≤0在(a ,b )内恒成立,注意验证等号是否成立.探究二:【解析】(1)由已知得f'(x )=3x 2-2x -1,令f'(x )=0,解得x 1=-13,x 2=1.当x 变化时,f'(x )、f (x )的变化情况如下表:x (-∞,-13) -13 (-13,1) 1 (1,+∞) f'(x ) + 0 - 0 + f (x )↗极大值↘极小值↗所以f (x )的极大值是f (-13)=527,极小值是f (1)=-1.(2)当x →-∞时,f (x )→-∞; 当x →+∞时,f (x )→+∞. 令f (x )=0得x=0或1±√52,结合函数的单调性及极值可画出f (x )的大致图像,如图:(3)由图像可知函数f (x )图像与x 轴有3个交点, 即y=f (x )有3个零点.【小结】先求出函数的极值点和极值,从而把握函数在定义域上各个区间的单调性和在极值点处的函数值及x →∞时,f (x )的变化趋势,据此可画出函数的大致图像,根据图像,利用必修一中的零点定理,确定方程实数(函数零点)的个数,这是导数的一个重要应用.探究三:【解析】(1)f'(x )=2x+2a x =2x 2+2ax,由已知f'(2)=1,解得a=-3. (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞).①当a ≥0时,f'(x )>0,因此f (x )的单调递增区间为(0,+∞),这时函数无极值; ②当a<0时f'(x )=2(x+√-a )(x -√-a )x.当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下:x(0,√-a )√-a(√-a ,+∞)f'(x ) - 0 + f (x )↘极小值 ↗因此函数f (x )的单调递减区间是(0,√-a ),单调递增区间是(√-a ,+∞).当x=√-a 时,函数有极小值f (√-a )=-a+2a ln √-a . (3)由g (x )=2x+x 2+2a ln x 得g'(x )=-2x2+2x+2ax,因函数g (x )为[1,2]上的单调减函数,则g'(x )≤0在[1,2]上恒成立, 即-2x2+2x+2ax≤0在[1,2]上恒成立,即a ≤1x-x 2在[1,2]上恒成立.令h (x )=1x -x 2,则h'(x )=-1x 2-2x=-(1x 2+2x )<0在[1,2]上恒成立, 所以h (x )在[1,2]为减函数,故h (x )min =h (2)=-72,所以a ≤-72.易知当a=-72时也满足题意, 故实数a 的取值范围为a ≤-72.【小结】本题容易出现以下失误:①通过第(1)问的条件“函数f (x )的图像在(2,f (2))处的切线斜率为1”求出的a 值,有的同学错误地将其作为第(2)问的条件;②对于(2)得到的不等式不能正确地进行讨论;③对于(3)的恒成立问题,意识不到将其分离参数,致使处理起来比较繁琐. 拓展应用应用一:函数f (x )的导数f'(x )=x 2-ax+a -1. 令f'(x )=0,解得x=1或x=a -1.当a -1≤1,即a ≤2时,函数f (x )在(1,+∞)上为增函数,不合题意; 当a -1>1,即a>2时,函数f (x )在(-∞,1)上为增函数, 在(1,a -1)内为减函数,在(a -1,+∞)上为增函数. 依题意应当x ∈(1,4)时,f'(x )<0; 当x ∈(6,+∞)时,f'(x )>0. 所以4≤a -1≤6,即5≤a ≤7. 所以a 的取值范围是[5,7].应用二:(1)f'(x )=3x 2-2ax+b ,∵函数f (x )在x=-1和x=3处取得极值, ∴-1,3是方程3x 2-2ax+b=0的两根,∴{-1+3=23a ,-1×3=b 3,∴{a =3,b =-9.(2)由(1)知f (x )=x 3-3x 2-9x+c ,f'(x )=3x 2-6x -9,当x 变化时,f'(x )、f (x )的变化情况如下表:x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f'(x ) + 0-+ f (x )↗极大值 ↘ 极小值↗而f (-1)=c+5,f (3)=c -27,根据题意有c+5>0且c -27<0,∴c 的取值范围为-5<c<27. 应用三:(1)当a=1时,f (x )=x -ln x ,∴f'(x )=1-1x =x -1x .∴当0<x<1时,f'(x )<0,此时f (x )单调递减;当1<x ≤e 时,f'(x )>0,此时f (x )单调递增.∴f (x )的极小值为f (1)=1. ∴f (x )在(0,e]上的最小值为1.令h (x )=g (x )+12=lnx x+12,则h'(x )=1-lnx x 2,当0<x<e 时,h'(x )>0,则h (x )在(0,e]上单调递增,∴h (x )max =h (e)=1e +12<12+12=1=f (x )min . ∴f (x )>g (x )+12恒成立.(2)假设存在实数a ,使f (x )=ax -ln x (x ∈(0,e])有最小值3.∵f'(x )=a -1x =ax -1x.①当a ≤0时,f (x )在(0,e]上单调递减, ∴f (x )min =f (e)=a e -1=3, ∴a=4e (舍去),∴当a ≤0时,不存在实数a 使f (x )的最小值为3.②当0<1a <e,即a>1e 时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,e]上单调递增, ∴f (x )min =f (1a )=1+ln a=3,∴a=e 2,满足条件.③当1a ≥e,即0<a ≤1e 时,f (x )在(0,e]上单调递减,f (x )min =f (e)=a e -1=3,∴a=4e (舍去), ∴当1a ≥e 时,不存在实数a 使f (x )的最小值为3.综上,存在实数a=e 2,使得当x ∈(0,e]时,f (x )有最小值3. 智能检测1.C ∵y'=f (x )+xf'(x ),而函数f (x )的定义域为(0,+∞)且f (x )>0,f'(x )>0,∴y'>0在(0,+∞)上恒成立.因此y=xf (x )在(0,+∞)上是增函数.2.A y'=3x 2-3x2,令y'=0,即x 2-1x2=0,解得x=±1.由于x>0,所以x=1.在(0,+∞)上,由于只有一个极小值,所以它也是最小值,从而函数在(0,+∞)上的最小值为13+31=4.3.[-2,+∞) ∵f (x )=a ln x+x ,∴f'(x )=ax+1.又∵f (x )在[2,3]上单调递增,∴ax+1≥0在x ∈[2,3]上恒成立,∴a ≥(-x )max =-2,∴a ∈[-2,+∞).4.解:(1)∵f (x )在区间(0,+∞)上是单调增函数,∴-m 2+2m+3>0,即m 2-2m -3<0, ∴-1<m<3.又m ∈Z,∴m=0,1,2,而m=0,2时,f (x )=x 3不是偶函数,m=1时,f (x )=x 4是偶函数,∴f (x )=x 4.(2)g (x )=14x 4+ax 3+92x 2-b , g'(x )=x (x 2+3ax+9), 显然x=0不是方程x 2+3ax+9=0的根.为使g (x )仅在x=0处有极值,则有x 2+3ax+9≥0恒成立, 即有Δ=9a 2-36≤0,解不等式,得a ∈[-2,2]. 这时,g (0)=-b 是唯一极值,∴a ∈[-2,2].。
学案3：3.3.3 导数的实际应用
3.3.3 导数的实际应用学习目标:利用导数作为工具体会并研究导数在解决实际问题中的作用掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.重点:会求函数的单调区间，极值，最大值最小值.难点:导数综合问题的处理带课堂上与老师和同学探究解决.合作探究展示点评类型1：面积体积的最值问题例1：用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？例2：某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)当堂检测1．甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．()现有下列四种说法：①前四年该产品产量增长速度越来越快；②前四年该产品产量增长速度越来越慢；③第四年后该产品停止生产；④第四年后该产品年产量保持不变．其中说法正确的有()A．①④B．②④C．①③D．②③2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6 cm B．8 cmC．10 cm D．12 cm3．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.3V B.32VC.34V D．23V4．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为()A．16 m,16 m B．32 m,16 mC．32 m,8 m D．16 m,8 m5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大效益，则x的取值为() A．0.016 2 B．0.032 4C．0.024 3 D．0.048 66．某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：(1)建1 m新墙的费用为a元；(2)修1 m旧墙的费用为a4元；(3)拆去1 m旧墙，用可得的建材建1 m新墙的费用为a2元，经讨论有两种方案：①利用旧墙一段x m(0＜x＜14)为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较①，②两种方案哪个更好．参考答案：例1：解：设容器的高为x cm ，容器的容积为V (x )cm 3，则V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0＜x ＜24)． 所以V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320 ＝12(x 2－46x ＋360) ＝12(x －10)(x －36)．令V ′(x )＝0，得x ＝10或x ＝36(舍去)． 当0＜x ＜10时，V ′(x )＞0，即V (x )是增加的； 当10＜x ＜24时，V ′(x )＜0，即V (x )是减少的．因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值， 其最大值为V (10)＝19 600(cm 3)．因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3. 例2：解：依题意，有xy ＋12·x ·x2＝8，所以y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0＜x ＜42)，于是框架用料长度为 l ＝2x ＋2y ＋2(2x 2)＝(32＋2)x ＋16x. l ′＝32＋2－16x2. 令l ′＝0，即32＋2－16x 2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)．当0＜x ＜8－42时，l ′＜0；当8－42＜x ＜42时，l ′＞0， 所以当x ＝8－42时，l 取得最小值． 此时，x ＝8－42≈2.343 m ，y ≈2.828 m. 即当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省． 当堂检测1．【解析】由图象可知，②④是正确的． 【答案】B2．【解析】设截去小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3. 所以V ＝x (48－2x )2(0＜x ＜24)，V ′＝12(x －8)(x －24)．令V ′＝0， 则x ＝8∈(0,24)． 【答案】B3．【解析】设直棱柱的底面边长为a ，高为h ， 依题意34a 2·h ＝V ，∴ah ＝4V3a. 因此表面积S ＝3ah ＋2·34a 2＝43V a ＋32a 2. ∴S ′＝3a －43Va 2.令S ′＝0，则a ＝34V .易知当a ＝34V 时，表面积S 取得最小值． 【答案】C4．【解析】如图所示，设场地一边长为x m ， 则另一边长为512xm.因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点． ∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省．【答案】B5．【解析】依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0＜x ＜0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0＜x ＜0.032 4时，y ′＞0； 当0.032 4＜x ＜0.048 6时，y ′＜0. 所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即 当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．【答案】B6．解：方案①：修旧墙费用x ·a 4，拆旧墙造新墙费用为(14－x )·a2，其余新墙费用为(2x ＋2×126x －14)a ，∴总费用y ＝7a (x 4＋36x －1)(0＜x ＜14)，∵x 4＋36x≥2x 4·36x＝6， 当且仅当x 4＝36x ，即x ＝12时取等号，∴y min ＝35a .方案②：利用旧墙费用为14·a 4＝7a2(元)，建新墙费用为(2x ＋252x －14)a (元)，总费用为y ＝2a (x ＋126x )－212a (x ≥14)∵当x ≥14时，(x ＋126x )′＝1－126x 2＞0∴函数x ＋126x 在[14，＋∞)上递增∴当x ＝14时，y min ＝35.5a 故采用方案①更好些．。
《3.3.3导数的实际应用》教学案2
《3.3.3导数的实际应用》教学案教学目标1、会用导数解决生活中的实际问题；2、培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.教学重点、难点：教学重点：能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用．教学难点：实际问题转化为数学问题的能力．教学过程一. 主要知识点：1. 基本方法：(1)函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f(x)为这个区间内的减函数.(2)用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.(3)判别f(x0)是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.(4)求函数f(x)的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′(x). ②求方程f'(x)＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值.(5)利用导数求函数的最值步骤：(1)求在内的极值；(2)将的各极值与、比较得出函数在上的最值.2、基本思想：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．二.典型例题例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？思路一：设箱底边长为x cm，则箱高cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：答案：．评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例2、(2006年福建卷)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y(升)，关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为：例3、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设∠BCD＝Q，则BC＝，CD＝40cotθ，(0＜θ＜＝，∴AC＝50－40cotθ设总的水管费用为f(θ)，依题意，有f(θ)＝3a(50－40·cotθ)+5a·＝150a+40a·∴f′(θ)＝40a·令f′(θ)＝0，得cosθ＝根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数取得最小值，此时sinθ＝，∴cotθ＝，∴AC＝50－40cotθ＝20(km)，即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.三.回顾总结。
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✍ 自我测评 y极小值= 0 【8】函数 y=(x2-1)3+1 的极值是__________. y
o 1 解： y =6x(x2-1)2= 6x(x+1)2(x-1)2.
-1
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x
∴当 x=0 时, y有极小值, 且 y极小值= f(0) = 0.
✍ 自我测评
9.若函数 f ( x) x3 3x a 有 3 个不同的零点,则实数 a
2
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于是 f ′(x)＝3x －6x＝3x(x－2)．
2
由 f ′(x)>0 得 x>2 或 x<0， 故 f(x)的单调递增区间是(－∞, 0)和(2,＋∞)； 由 f ′(x)<0，得 0<x<2， 故 f(x)的单调递减区间是(0 , 2)．
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三、典型例题
2．已知函数 f ( x) x ln x. (1) 求函数 f ( x ) 在点 M (e, f (e)) 处的切线方程; (2)设 F ( x) ax (a 2) x f ( x) (a 0) , 讨论
(1)若f (x0)为极值, f (x0 )不一定存在. 函 数 f(x)|x|, 在 x=0 处 有 极 小 值 , 但 在 x=0处的导数不存在. y (2)若 f (x0)0, x0不一定为极值点.
O
y
x
对于函数 f(x)x3,在x=0处导数为0, 但 f(0)不是函数的极值. o (3)如果函数 f (x) 在x= x0 处可导, 且 f (x0)为极 值 , 则必有 f (x0 )0.
3 2
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解:(1)由函数 f(x)的图象过点(－1，－6)， 得 m－n＝－3. ① 3 2 由 f(x)＝x ＋mx ＋nx－2， 得 f ′(x)＝3x ＋2mx＋n，
2
则 g(x)＝f ′(x)＋6x＝3x ＋(2m＋6)x＋n. 而 g(x)的图象关于 y 轴对称， 2m＋6 所以－ ＝0， 2×3 所以 m＝－3, 代入①得 n＝0.
又f(1)=10, 故1+a+b+a2=10.
a4 a 3 ,或 . 由① , ②解得 b 11 b3
）
②
当a=-3, b=3时, f ( x) 3( x 1)2 ≥ 0, 此时 f(x) 在x=1处无极值,不合题意. 当a=4, b=-11时, f ( x) 3 x 2 8 x 11 (3 x 11)( x 1). 当 11 x 1, f ( x ) 0; 当x 1, f ( x ) 0. 3 此时x =1是极值点. 从而所求的解为a=4, b=-11.
因为函数y=x3-2ax+a在(0, 1)内有极小值,
a 0, 即0 a 3. 2a 2 3 1,
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7．已知函数 f ( x) x ax bx a 在 x 1 处取得极
3 2 2
值 10，则 a 的值为（
b (A) 4 或 1 (B) 1 (C) 4 (D) 不存在 11 11 解: f(x)=3x2+2ax+b=0 有一个根x=1,故 3+2a+b=0.①
生活中的优化问题举例
定积分的简单应用 主页
1.函数的单调性 ☞在(a, b)内可导函数f(x), f '(x)在(a, b) 任意子区 间内都不恒等于0. 增函数 f '(x) ≥0⇔f(x)为__________； 减函数 f '(x) ≤ 0⇔ f(x)为___________. ☞求可导函数f(x)的单调区间的步骤：
②当 t 0 时， x 变化时， ( x), ( x) 变化如下：
x
2t ( , ) 3
+
2t 3
0 极大
2t ( , 0) 3
-
0 0 极小
(0, )
+
x
x
由上表可知： ( x)极小值 (0) 0; ③当 t 0 时， x 变化时， ( x), ( x) 变化如下：
2
函数 F ( x) 的单调性．
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f (e) e,
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③当 a 2 ，即 1 1 时，
a
2
函数 F ( x) 在 (0, 1 ), ( 1 , ) 上单调递增， ( 1 , 1 ) 上单调递减． 在
a
a
a 2
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✍ 自我测评
题号
答案
1
C
2
C
3
A
4
A
5
D
6
A
7
C
8． 0
9． 2,2) (
x 1或x 3.
t 1， t 3， 故只需 或 t 1 1 t 1 3.
解得
函数 f ( x) 在 (0,1)，， ) 上为减函数， (1,3) 上为增函数． 在 (3
0 t 1或2 t 3.
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6( x a)( x 1).
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山东省临沂第一中学
Friday, August 16, 2013
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知识网络
平均变化率与瞬时变化率
导数的概念
平均速度与瞬时速度 导数的几何意义 基本初等函数导数公式
导数 导 数 及 其 应 用
定积分
导数的计算
导数的四则运算
复合函数求导
函数的单调性
导数的应用 定积分的概念
微积分基本定理
函数的极值与最值
f ( x) 0.
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12．已知函数 f ( x) x .记 ( x) f ( x)t 3 f ( x),(t R) ， 12．已知函数 f ( x) x3 .记 ( x) f ( x) f3 ( x),(t R) ，求 x ) 的极小值； (((x))的极小值； 12．已知函数 f ( x) x3 .记 ( x) f ( x) t 3 ( x),(t R) ，求 f x 的极小值； 3 ( x) 的极小值； ( x) 的极小值； f x x333， 解：由已知： (解：由已知： f f x x 3 ， x) 的极小值； x x ， 解：由已知： 解：由已知： f x x ， 2t 解：由已知： 3 x 2 x ， f 2 33 2 3 tx , x 3 x2 2tx 3 x ( x 2t t) . x 2 解：由已知：xf 3x , ， x 33 x 2 22tx 33 x ( x 2t)).. x x xx3 tx 22,x x 2 tx x( x 3 x tx x x 2tx , x 3x 2tx 3x( x2t 33 ) . 3 2 . x3 tx , x0 或3x 2tx . 3x( x t )3 x 2t 2 由x 0，得 x 3x 2 22t 3x( x 2 3 . ，得 x 0 或 x txt . ) 由x x 00 ，得x x 0 或 x 2 3 . 由 x x tx , 3 x 0 ，得 x 0 或 x 223 . 由 3t 3 由 x 0 ，得 x 0 或 x t t . 2 2 ①当 时， 0 或 3x ≥ 0 由 xtt 0 时， x x x2 0.， ①当 t 0，得 x x 3 2≥ 3 ， x 3x2 ≥ 0 ， ①当 0 时， 3 ①当 t 0 时， x 3x ≥ 0 ， t 0 时， x 3x2 ≥ 0 ， ①当 2 t( x)在 , x 为增函数，此时不存在极值； ( 0 在 为增函数，此时不存在极值； ①当 x)时，, 3x ≥ 0 ， ( x) 在 , 为增函数，此时不存在极值； ( x) 在 , 为增函数，此时不存在极值； ( x) 在 , 为增函数，此时不存在极值； ( x) tt 0 时， x变化时， ( x), ((x)) 变化如下： 0 时， x 为增函数，此时不存在极值； ( ②当 ②当 在 , x变化时， (x), (x )变化如下： ②当 t 0 时， 变化时， x), x 变化如下： ②当 t 0 时， x 变化时， ( x), ( x) 变化如下： 主页
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✍ 自我测评
0 t 1或2 t 3 不单调,则 t 的取值范围是________________________．
3 x2 4 x 3 0, 解： f ( x) x 4 令 x x
1 x2 4 x 3ln x 在 [t , t 1] 上 10. 已知函数 f ( x) 2
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二、基础练习
题号 答案
1 ALeabharlann 2 A3 B4 D
5 D
6 A
7 B
8． ≥ 1 m 3
9． 2 a 2
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二、典型例题
1．已知函数 f(x)＝x ＋mx ＋nx－2 的图象过 点 (－1，－6)，且函数 g(x)＝f ′(x)＋6x 的图象关 于 y 轴对称． (1)求 m、n 的值及函数 y＝f(x)的单调区间； (2)若 a>0,求函数 y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内 的极值．
(4)极值只能在函数不可导的点或导数为零 的点取到.
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x
5. 导数的应用： ①利用导数求切线：注意： ☞所给点是切点吗？ ☞所求的是“在”还是“过”该点的切线？ ②利用导数判断函数单调性： ☞若 f '(x)>0 ，则 f(x) 是增函数; ☞若f ‘ (x)<0 ，则 f(x) 是减函数; ③利用导数求极值： ☞求导数f '(x) ； ☞ 求方程f '(x)=0的根； ☞ 列表得极值. ④利用导数求最大值与最小值： ☞求极值；☞求区间端点值（如果有） ☞比较得最值.