广东省12大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编17：坐标系与参数方程 Word版含答案]

合集下载

2013年广东省高考数学试卷(理科)附送答案

2013年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}2．（5分）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4） B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）4．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2 C．D．35．（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4 B．C．D．66．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．8．（5分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）不等式x2+x﹣2＜0的解集为．10．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=．13．（5分）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定条不同的直线．14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为．15．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）．17．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．（14分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．2013年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．【解答】解：分析可得，M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，故选D．2．（5分）（2013•广东）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．【解答】解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2，故选C．3．（5分）（2013•广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4） B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．4．（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E（X）=（）A．B．2 C．D．3【分析】利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）==．故选A．5．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4 B．C．D．6【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．【解答】解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为V==．故选B．6．（5分）（2013•广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n 异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．7．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程为．故选B．8．（5分）（2013•广东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案．【解答】解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D 均错误；只有B成立，故选B．直接法：根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x ＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立；z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后有四种情况成立，第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．故选B．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）（2013•广东）不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．10．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k 的值．【解答】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为7．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，S=4+4﹣1=7；当i=5时，退出循环，输出S=7；故答案为：7．12．（5分）（2013•广东）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=20．【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20．13．（5分）（2013•广东）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定6条不同的直线．【分析】先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可，从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案．【解答】解：画出不等式表示的平面区域，如图．作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．故答案为：6．14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．【解答】解：由（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于的圆．C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即或，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．…（10分）故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）．15．（2013•广东）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．【分析】利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出．【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．∴△CED∽△ACB．∴，又CD=BC，∴．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2013•广东）已知函数f（x）=cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）．【分析】（1）把x=﹣直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）因为，所以所以，所以=17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．【分析】（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；（2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．【解答】解：（1）样本均值为；（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以，即恰有1名优秀工人的概率为．18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=．（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．【分析】（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O ⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．【解答】（1）证明：连接OD，OE．因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3．在△COD中，，同理得．因为，．所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2．所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O．所以A′O⊥平面BCDE．（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F因为A′O⊥平面BCDE．根据三垂线定理，有A′F⊥CD．所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中，．在Rt△A′OF中，=．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一个法向量．设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z），．所以，令x=1，则y=﹣1，．所以是平面A′CD的一个法向量设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为19．（14分）（2013•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．【分析】（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，解得a2=4（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n=（n+1）a n+n（n+1），即，+1当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=．当n=1，2时，也成立．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值．【解答】解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）e x﹣x2，f'（x）=e x+（x﹣1）e x﹣2x=x（e x﹣2）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：0（0，ln2）ln2（ln2，+∞）x（﹣∞，0）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）（2）f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2，x∈[0，k]，．f'（x）=xe x﹣2kx=x（e x﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）令φ（k）=k﹣ln（2k），，所以φ（k ）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k ）＜＜k．即0＜ln（2k）＜k所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，ln（2k））ln（2k）（ln（2k），k）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗f（0）=﹣1，f（k）﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3+1=（k﹣1）e k﹣（k3﹣1）=（k﹣1）e k﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[e k﹣（k2+k+1）]∵，∴k﹣1≤0．对任意的，y=e k的图象恒在y=k2+k+1下方，所以e k﹣（k2+k+1）≤0所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e k﹣k3．。

广东省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编16 坐标

广东省13大市2013届高三上期末考数学理试题分类汇编坐标系与参数方程1、（惠州市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，则△AOB （其中O 为极点）的面积为．【解析】A 、B 的极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，则12ABC S OA OBsin AOB =∠=V g134326sin π⨯⨯⨯=（其中O 为极点）．答案3． 2、（江门市2013届高三上学期期末）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是．答案：23、（广州市2013届高三上学期期末）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .4、（东莞市2013届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，圆以C 的参数方程是cos 1sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C 的极坐标是．答案：)6,2(π5、（佛山市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为．答案：2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos sin 1ρθθ+=）6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，则曲线C 上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为。

答案：37、（湛江市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线sin ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为＿＿＿＿8、（肇庆市2013届高三上学期期末）在极坐标系(),ρθ（0,02πρθ>≤<）中，曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____解析：4π⎫⎪⎭两式相除得tan 12sin44ππθθρ=⇒=⇒==4π⎫⎪⎭ 9、（珠海市2013届高三上学期期末）在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212, (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 . 答案：4 10、（汕头市2013届高三上学期期末）直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线21x t y t=--⎧⎨=-⎩（t 为参数）截圆22cos ρρθ+－3＝0的弦长为＿＿＿＿答案：411、（增城市2013届高三上学期期末）曲线⎩⎨⎧+==1t y tx （t 为参数且0>t ）与曲线⎩⎨⎧+==12cos cos θθy x （θ为参数）的交点坐标是．答案：（1,2）。

2013年高三理科数学二模试题(惠州有答案)

2013年高三理科数学二模试题(惠州有答案)骞夸笢鐪佹儬宸炲競2013悊绉戯級2013.4 85鍒嗭紝婊″垎40€椤规槸绗﹀悎棰樼洰瑕佹眰鐨勶紟1鐨勫畾涔夊煙涓洪泦鍚圡锛岄泦鍚圢锛?锛屽垯锛?锛夛紟A锛?B锛嶯C锛?D锛嶮2銆佸凡鐭ユき鍦鍊嶏紝鍒欐き鍦嗙殑绂诲績鐜囩瓑浜庯紙锛夛紟A锛?B锛?C锛?D锛?3猴級锛岄偅涔堣緭鍑虹殑锛?锛夛紟锛★紟2450 2500 锛ｏ紟2550 锛わ紟2652 4銆佽嫢鏇茬嚎鐨勪竴鏉″垏绾?涓庣洿绾?鍨傜洿锛屽垯鍒囩嚎鐨勬柟绋嬩负锛?锛夛紟A銆?銆€B銆?C銆?D銆?5銆佹柟绋?鏈夊疄鏍圭殑姒傜巼涓猴紙锛夛紟A銆?B銆?C銆?D銆?6銆佸凡鐭?锛夛紟A銆佽嫢鈭?锛屽垯銆€B 銆佽嫢鈭?锛屽垯鈭?C銆佽嫢锛屽垯鈭?銆€D銆佽嫢锛屽垯7銆佷竴寮犳?鈥濆浘妗堬紝?銆?锛屽壀鍘婚儴鍒嗙殑闈㈢Н涓?锛?鑻?锛屽垯鐨勫浘璞℃槸锛?锛夛紟8銆佸皢鍑芥暟鐨勫浘璞″厛鍚戝乏骞崇Щ锛岀劧鍚庡皢鎵€寰楀浘璞′笂鎵€鏈夌偣鐨勬í鍧愭爣鍙樹负鍘熸潵鐨?鍊嶏紙绾靛潗鏍囦笉鍙橈級锛屽垯鎵?锛夛紟A锛?B锛?C锛?D 锛??10鍒嗭級浜屻€佸～绌洪ч??3锝?5锛屼笁棰樺叏绛旂殑锛屽彧璁＄畻鍓嶄袱棰樺緱鍒嗭紟姣忓皬棰?鍒嗭紝婊″垎30鍒嗭紟9銆佸凡鐭ュ悜閲?锛?锛岃嫢锛屽垯瀹炴暟鐨勫€肩瓑浜?锛?10銆佸凡鐭?锛屽垯= 锛?11銆??锛?12銆佸嚱鏁?鐢变笅琛ㄥ畾涔夛細鑻?锛?锛?锛屽垯锛?13銆?鍧愭爣绯讳笌鍙傛暟鏂圭▼閫夊仛棰?鏇茬嚎锛?涓婄殑鐐瑰埌鏇茬嚎锛?锛?14銆?涓嶇瓑寮忛€?宸茬煡瀹炴暟婊¤冻锛屽垯鐨勬渶澶у€间负锛?15銆?鍑犱?濡傚浘锛屽钩琛屽洓杈瑰舰锛岃嫢鐨勯潰?cm , 鍒??cm 锛?涓夈€佽Вч??0鍒嗭紟瑙ｇ瓟椤诲啓鍑烘?16?2?鐨勫墠椤瑰拰涓?, 宸茬煡锛?锛?锛堚厾锛夋眰棣栭」鍜屽叕姣?鐨勫€硷紱锛堚叀锛夎嫢锛屾眰鐨勫€硷紟17?2鍒嗭級璁惧嚱鏁?锛?锛堚厾锛夋眰鍑芥暟鐨勬渶?锛堚叀锛夊綋鏃讹紝鐨勬渶澶у€间负2锛屾眰鐨勫€硷紝骞舵眰鍑??18樻弧鍒?4у皬鐩稿悓鐨?4粦鐞冿紟锛堚厾锛夐噰鍙栨斁鍥炴娊鏍锋柟寮忥紝浠庝腑鎽稿嚭涓や釜鐞冿紝?锛堚叀锛夐噰鍙栦笉鏀惧洖鎶芥牱屾柟宸? 锛?19?4鍒嗭級濡傚浘锛屽凡鐭ュ洓妫遍敟鐨?搴曢潰鏄骞抽潰, 锛?鐐?涓?鐨勪腑鐐癸紟锛堚厾锛夋眰璇侊細骞抽潰锛?锛堚叀锛夋眰浜岄潰瑙?20?4鍒嗭級缁欏畾鍦哖: 鍙婃姏鐗?绾縎: ,杩囧渾蹇?浣滅洿绾?,姝ょ洿绾夸笌涓婅堪涓ゆ洸绾??璁颁负,濡傛灉绾?娈??姹傜洿绾?鐨勬柟绋? 21?4欢鐨勫嚱鏁?鏋勬垚鐨勯泦鍚堬細鈥溾憼鏂圭▼鏈夊疄鏁版牴锛涒憽鍑芥暟鐨?婊¤冻鈥濓紟?礌锛屽苟璇存槑鐞嗙敱锛?鍏锋湁涓嬮潰鐨勬€ц川锛氳嫢鐨勫畾涔夊煙涓篋锛屽垯瀵逛簬浠绘剰[m锛宯] D锛岄兘瀛樺湪[m锛宯]锛屼娇寰楃瓑寮?鎴愮珛鈥濓紝璇曠敤杩欎竴鎬ц川璇佹槑锛氭柟绋?鍙??鐨勫疄鏁版牴锛屾眰璇侊細瀵逛簬瀹氫箟鍩熶腑浠绘剰鐨?锛屽綋锛屼笖鏃讹紝锛?骞夸笢鐪佹儬宸炲競2013冪瓟妗?007.11 涓€銆侀€夋嫨棰橈細棰樺彿1銆佽В鏋愶細锛孨锛?锛?鍗?锛庣瓟妗堬細锛?2銆佽В锛屽張锛??锛?3銆佽В鏋愶細绋嬪簭鐨勮繍琛岀粨鏋滄槸锛庣瓟妗堬細锛?4銆佽В鏋愶細涓庣洿绾?鍨傜洿鐨勫垏绾?鐨勬枩鐜囧繀涓?锛岃€?锛屾墍浠ワ紝鍒囩偣涓?锛庡垏绾夸负锛屽嵆锛岀瓟妗堬細锛?5銆佽В鏋愶細鐢变竴鍏冧簩娆℃柟绋嬫湁瀹炴牴鐨勬潯浠?锛岃€?锛岀敱鍑犱綍姒傜巼寰楁锛庣瓟妗堬細锛?6銆佽В鏋愶細濡傛灉涓ゆ??姝ｇ‘锛?锛屾墍浠?锛?7銆佽В鏋愶?锛岀瓟妗堬細锛?8銆佽В鏋愶細鐨勫浘璞″厛鍚戝乏骞崇Щ锛屾í鍧愭爣鍙樹负鍘熸潵鐨?鍊?锛庣瓟妗堬細锛??棰樺彿9銆佽В鏋愶細鑻?锛屽垯锛岃В寰?锛?10銆佽В?锛?11銆佽В鏋愶細12銆佽В鏋愶細浠?锛屽垯锛屼护锛屽垯锛?浠?锛屽垯锛屼护锛屽垯锛?浠?锛屽垯锛屼护锛屽垯锛?鈥︼紝鎵€浠?锛?13銆佽В鏋愶細锛?锛涘垯鍦嗗績鍧愭爣涓?锛?锛?蹇冨埌鐩寸嚎鐨勮窛绂讳负锛?14銆佽В鏋愶細鐢辨煰瑗夸笉绛夊紡锛岀瓟妗堬細锛?15銆佽В鏋愶細鏄剧劧涓?涓虹浉浼间笁瑙掑舰锛屽張锛屾墍浠??cm 锛?涓夈€佽Вч??0鍒嗭紟瑙ｇ瓟椤诲啓鍑烘?16銆佽В: (鈪? , 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?鈭?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?瑙ｅ緱锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?(鈪?鐢?,寰楋細, 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?8鍒?鈭?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?10鍒?鈭?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?12鍒?17銆佽В锛氾紙1锛?鈥?2鍒?鍒?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?涓斿綋鏃??鍗?涓?愬紑鍖洪棿涓嶆墸鍒嗭級锛庘€︹€︹€?鍒?锛?锛夊綋鏃?锛屽綋锛屽嵆鏃?锛?鎵€浠?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?涓?酱锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?18銆佽В锛?锛堚厾锛夎В娉曚竴锛氣€滄湁鏀惧洖鎽镐袱娆★紝棰滆壊涓嶅悓鈥濇寚鈥滃厛鐧藉啀榛戔€濇垨鈥滃厛榛戝啀鐧解€濓紝蹭笉鍚屸€濅负浜嬩欢锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈭碘€绉嶅彲鑳斤紝鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈭?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?瑙ｆ硶浜岋細鈥滄湁鏀惧洖鎽稿彇?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈭粹€滄湁鏀惧洖鎽镐袱娆★紝棰滆壊涓嶅悓鈥濈殑姒傜巼涓?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛屼緷棰樻剰寰楋細锛?锛?锛庘€︹€︹€︹€?0鍒?鈭?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?19銆?鈪?璇佹槑:杩炵粨锛?涓?浜や簬鐐?锛岃繛缁?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?? 鈭?鏄?鐨勪腑鐐? 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鐐?涓?鐨勪腑鐐? 鈭?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?骞抽潰骞抽潰, 鈭?骞抽潰. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?(鈪?瑙ｆ硶涓€: 骞抽潰, 骞抽潰,鈭?. 锛屸埓. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?7鍒?? 鈭?. 锛?鈭?骞抽潰. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?浣?锛屽瀭瓒充负锛岃繛鎺?锛屽垯, 鎵€浠?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?10鍒?,鈭?锛?. 鍦≧t鈻?涓? = 锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?12鍒?鈭?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?13鍒?鈭翠簩闈. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?14鍒?瑙ｆ硶浜岋細濡傚浘锛屼互鐐?鐨勫瀭鐩村钩鍒嗙嚎鎵€鍦ㄧ洿绾夸负杞达紝鎵€鍦ㄧ洿绾夸负杞达紝鎵€鍦ㄧ洿绾夸负杞达紝寤?锛屸€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍒?锛?, 锛?鈭?锛?鈥︹€︹€︹€︹€?鍒?璁惧钩闈??, 鐢?锛屽緱锛?浠?锛屽垯锛屸埓. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?骞抽潰, 骞抽潰, 鈭?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?8鍒?锛屸埓. ?鈭?. 锛屸埓骞抽潰.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?9鍒?鈭??, 锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?10鍒?鈭?锛?鈭?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?12鍒?鈭?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?13鍒?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?14鍒?20銆佽В:鍦?鐨勬柟绋嬩负,鍒欏叾鐩村緞闀?,鍦嗗績涓?,璁?鐨勬柟绋嬩负,鍗?,浠ｅ叆鎶涚墿绾挎柟绋嬪緱: ,璁?锛?鏈?, 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍒?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鏁?鈥?鍒?, 鈥︹€︹€︹€?7鍒?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?8鍒?? , 鈥︹€︹€︹€︹€?10鍒?鎵€浠?锛屽嵆, 锛屸€︹€︹€︹€︹€?12鍒?鍗筹細鏂圭▼涓?鎴?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?21銆佽В锛?锛?锛夊洜涓?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鎵€浠?锛屾弧瓒虫潯浠?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍙堝洜涓哄綋鏃讹紝锛屾墍浠ユ柟绋?鏈夊疄鏁版牴锛?鎵€浠ュ嚱鏁?冪礌锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛?锛夊亣璁炬柟绋?瀛樺湪涓や釜瀹炴暟鏍?锛夛紝鍒?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?涓嶅Θ璁?浣垮緱绛夊紡鎴愮珛锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍥犱负锛屾墍浠?锛屼笌宸茬煡鐭涚浘锛?鎵€浠ユ柟绋?︹€︹€︹€︹€︹€?0鍒?锛?锛屽洜涓?鎵€浠?锛屾墍浠?锛?鍙堝洜涓?锛屾墍浠ュ嚱鏁?涓哄噺鍑芥暟锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?1鍒?鎵€浠?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?鎵€浠?锛屽嵆锛?鈥︹€︹€︹€?3鍒?鎵€浠?锛?鈥?4鍒?。

2013届广东13大市区二模分类汇编2：函数及其应用(含答案)

分类汇编2：函数及其应用一、选择题 1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版））在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点,则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数:① ()sin 2f x x =; ②3()g x x = ③1()();3xh x = ④()ln x x φ=,其中是一阶整点函数的是（） A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④ D ．④ 第二部分非选择题(共110分) 【答案】C 2 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题）函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB,点A 坐标为(1,2),点B 坐标为(3,0).定义函数()()(1)g x f x x =⋅-.则函数g (x )最大值为y xoA321B（）A ．0B ．2C ．1D ．4 【答案】C 3 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题）函数()26ln f x x x =-+的零点一定位于下列哪个区间（）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．()3,4D ．()4,5【答案】B 4 ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）在实数集R 中定义一种运算“⊕”,具有性质:①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕;②对任意,0a R a a ∈⊕=;③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-.函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为（）A ．4B ．3C ．22D ．1(一)必做题(9~13题) 【答案】B5 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）552log 10log 0.25+=.0A .1B .2C .4D【答案】C6 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=,若()12f =,则()99f =（）A ．13B ．2C ．213 D ．132【答案】D 7 ．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）定义运算22b a b a -=⊕,()2b a b a -=⊗,则()222)(-⊗⊕=x xx f 为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．常函数D ．非奇非偶函数【答案】A 8 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）函数21()log f x x x =-的零点所在区间为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,3【答案】C 9 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(log )(2x x x x f x ,若21)(=a f ,则实数a 的值为（）A ．-1或2B ．2C ．-1D ．1或2-【答案】A10．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知函数2()2f x x x =-,()2g x ax =+(a>0),若1[1,2]x ∀∈-,2[1,2]x ∃∈-,使得f(x 1)=g(x 2),则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,]2B ． 1[,3]2C ．(0,3]D ．[3,)+∞【答案】D 11．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）若(9,a)在函数2log y x =的图象上,则有关函数()x x f x a a -=+性质的描述,正确提（）A ．它是定义域为R 的奇函数B ．它在定义域R 上有4个单调区间C ．它的值域为(0,+∞)D ．函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称【答案】D 12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的偶函数是（）A ．y=cosxB ．y=x 3C ．y 212log x =D ．y=x x e e -+【答案】D13．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意x R ∈,都有f(x+4)=f(x),若f(-1)=2,则f(2013)等于（） A ．2012 B ．2 C ．2013 D ．-2 【答案】D 14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知)(x f 是奇函数,当0x >时,2()log f x x =,则1()2f -= （）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】B15．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题）设)(x f 是定义在R上的周期为2的偶函数,当] 1 , 0 [∈x 时,22)(x x x f -=,则)(x f 在区间] 2013 , 0 [内零点的个数为（）A ．2013B ．2014C ．3020D ．3024【答案】C16．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）定义域为R 的函数f (x )= ⎩⎨⎧lg |x －2|，x ≠ 2 1 ，x =2,若关于x 的方程f 2(x )+bf (x )+c =0恰有5个不同的实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5,则f (x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)等于（）A ．lg 2B ．2lg 2C ．3lg 2D ．4lg 2【答案】解:因方程方程0)()(2=++c x bf x f 恰有5个不同的实数解,故x =2应是其中的一个根,又f (2)=1,故1+b +c =0⇒c =-(b +1),于是有,)1()()(2=+-+b x bf x f ⇒[ f (x )-1][ f (x )+(1+b )]=0 ⇒[lg|x -2|-1][lg|x -2|+(1+b )]=0⇒四个根为-8,12,2101,210111+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++bb⇒12345()f x x x x x ++++=f (10)=3lg 2,选 C ．17．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知函数()()()22,20,f x x x g x ax a =-=+>对任意的[]11,2x ∈-都存在[]01,2x ∈-,使得()()10,g x f x =则实数a 的取值范围是.A 10,2⎛⎤⎥⎝⎦.B 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C [)3,+∞ .D (]0,3 【答案】A18．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）下列函数中,既是奇函数又是增函数的是.A 3y x =- .B cos y x = .C y x x = .D x y e =【答案】C19．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）已知函数()2030xx x f x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．9B ．19C ．9-D ．19-【答案】B 分析:22211log log 2244f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭,()2112349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知e是自然对数的底数,函数()f x =e 2xx +-的零点为a ,函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ,则下列不等式中成立的是（）A ．()()()1f a f f b <<B ．()()()1f a f b f <<C ．()()()1f f a f b <<D ．()()()1f b f f a <<【答案】A21．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）对于函数()y f x =,如果存在区间[,]m n ,同时满足下列条件:①()f x 在[,]m n 内是单调的;②当定义域是[,]m n 时,()f x 的值域也是[,]m n ,则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”.若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”,则a 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．(0,2)C ．15(,)22D ．(1,3)(一)必做题(9~13题) 【答案】A 22．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）下列函数为奇函数的是（）A ．|sin |y x =B ．22xxy -=+C ．ln ||y x =D ．lnxy x1-=1+ 【答案】D 解析: cos y x =是偶函数,,2xy =和 y x 3=-1是非奇非偶函数,故选 D ． 23．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））函数f(x)=(x-1)cosx 2在区间[0,4]上的零点个数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C24．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））下列函数中既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是（）A ．y = x 2B ．y = x 3C ．y = -xD ．y = tanx 【答案】B 25．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是（）A ．y x =B ．x x y e e -=-C ．sin y x x =D ．1lg1xy x-=+ 【答案】B26．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知函数()f x 是R 上的奇函数,若对于0x ≥,都有()2()f x f x +=, [)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时,()()20132012f f -+的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 27．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）已知函数1()ln(1)f x x x =-+,则()y f x =的图象大致为【答案】令()ln(1)g x x x =-+,则1'()111xg x x x =-=++,由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,由'()0g x <得10x -<<,即函数()g x 在(1,0)-上单调递减,所以当0x =时,函数()g x 有最小值,min ()(0)0g x g ==,于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞,有()0g x ≥,故排除 B ．D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减,则函数()f x 在(1,0)-上递增,故排除C,所以答案选（）A ． 28．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））函数1()23f x x x =-+-的定义域是（）A ．[2,)+∞B ．[2,3)C．(,3)(3,)-∞⋃+∞D ．()[2,3)3,⋃+∞【答案】D 29．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知函数()39x f x x =+-的零点为0x , 则0x 所在区间为（）A ．3122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】【解析】因为()3355,()2790,243902222f x f f ⎛⎫=+-<=+-> ⎪⎝⎭为增函数又.故选D .30．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））记实数1x ,2x ,,nx 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,,最小数为{}12min ,,n x x x …,,则{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，（）A ．34B ．1C ．3D ．72【答案】D 二、填空题31．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版））若奇函数()f x 的定义域为[,]p q ,则p q +=_____________【答案】0 32．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题）设函数)7()7(),4()(),()(x f x f x f x f x f +=--=+∞-∞上满足在,且在闭区间[0,7]上,只有0)3()1(==f f ,则函数)(x f 的最小正周期为_________,方程0)(=x f 在闭区间[-2005,2005]上有__________个根.【答案】 10 、 802 33．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立,则a的取值范围是_________________ .【答案】⎥⎦⎤⎝⎛41.034．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知函数33(3)()log (03x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪<<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是__________________. 【答案】(0, 1)35．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数()f x ,()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为_________;满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是__________. 【答案】1,236．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））函数11lg(3)y x x =-+-的定义域是______________.【答案】)3,2()2,1[37．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）设f(x)是R 是的奇函数,且对x R ∀∈都有f(x+2)=f(x),又当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,那么x ∈[2011,2013]时,f(x)的解析式为_____ 【答案】{)2012,2011(,)2012()2013,2012[,)2012(22)(∈--∈-=x x x x x f38．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M (M ⊆D),有x+l ∈D,且f(x+l )≥f(x),则称f(x)为M 上的l 高调函数,如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f (x)=22||x a a --,且f(x)为R 上的8高调函数,那么实数a 的取值范围是____ 【答案】[2,2]-39．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））函数()f x 的定义域为D,若对任意的1x 、2x D ∈,当12x x <时,都有12()()f x f x ≤,则称函数()f x 在D 上为“非减函数”.设函数()g x 在[0,1]上为“非减函数”,且满足以下三个条件:(1)(0)0g =;(2)1()()32x g g x =;(3)(1)1()g x g x -=-,则(1)g =______、 x1 2 3 ()f x131x1 2 3 ()g x3215()12g =_________. 【答案】1、12;在(3)中令x=0得(0)1(1)0g g =-=,所以(1)1g =,在(1)中令1x =得111()(1)322g g ==,在(3)中令12x =得11()1()22g g =-,故11()22g =,因1513122<<,所以151()()()3122g g g ≤≤,故51()122g =. 40．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知函数()y f x =是奇函数,当0x >时,()f x =2log x ,则1(())4f f 的值等于___.【答案】1-41．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(2)(3x x x x f x ,那么)]31([f f =_______ 【答案】1242．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））若对任意,,(,)(,),(,)x A y B A B f x y f x y ∈∈⊆⊆R R 有唯一确定的与之对应则称为关于x 、y 的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”;(1)非负性:(,)0,f x y x y ≥=当且仅当时取等号; (2)对称性:(,)(,)f x y f y x =;(3)三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立. 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x 、y 的广义“距离”的序号: ①(,)||f x y x y =-;②2(,)()f x y x y =-;③(,).f x y x y =-能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的序号是____________.【答案】①三、解答题43．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题）已知函数2() 1 f x ax bx =++(,a b 为实数),x R ∈, () (0)() () (0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩. (1)若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为[0, )+∞,求)(x f 的表达式;(2)在(1)的条件下,当[2, 2]x ∈-时,()()g x f x kx =-是单调函数,求实数k 的取值范围;(3)设0m n ⋅<,0,m n +>0a >且()f x 为偶函数,判断()F m +()F n 能否大于零.【答案】解:(1)∵0)1(f =-,∴10a b -+=,又0)x (f ,R x ≥∈ 恒成立,∴⎩⎨⎧≤-=∆>0a 4b 0a 2-, ∴0)1b (4b 2≤--,∴1a ,2b == . ∴22()21(1)f x x x x =++=+.(2)22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+4)k 2(1)2k 2x (22--+-+=,当222k ≥-或222k -≤-时, 即6k ≥或2k -≤时,)x (g 是单调函数. (3) ∵)(x f 是偶函数,∴,1)(2+=ax x f⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=)0( 1)0( 1)(22x ax x ax x F , ∵,0n m <⋅设,n m >则0n <.又,0n m ,0n m >->>+ ∴|n ||m |-> ,------)(m F +)(n F 0)(1)1()()(2222>-=--+=-=n m a an am n f m f ,∴)(m F +)(n F 能大于零.44．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题）据调查,某地区100万从事传统农业的农民,人均收入3000元,为了增加农民的收入,当地政府积极引进资金,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有x (x >0)万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x %,而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元(a >0). (1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的所有农民的年总收入,试求x 的取值范围;(2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即x 多大时),能使这100万农民的人均年收入达到最大.【答案】解:(I)由题意得:(100-x)· 3000 ·(1+2x%) ≥100×3000,即x 2-50x≤0,解得0≤x≤50, 又∵x>0 ∴0<x≤50; (II)设这100万农民的人均年收入为y 元,则y= (100－x)×3000×(1+2x%)+3000ax 100 = －60x 2+3000(a+1)x+300000100即y=-35[x-25(a+1)]2+3000+475(a+1)2(0<x≤50)(i)当0<25(a+1)≤50,即0<a≤1,当x=25(a+1)时,y 最大; (ii)当25(a+1)>50,即a >1,函数y 在(0,50]单调递增, ∴当x=50时,y 取最大值答:在0<a≤1时,安排25(a+1)万人进入企业工作,在a>1时安排50万人进入企业工作,才能使这100万人的人均年收入最大 45．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知二次函数()2(21)12f x x a x a=+-+-(1)判断命题:“对于任意的∈a R(R 为实数集),方程1)(=x f 必有实数根”的真假,并写出判断过程(2)若()y f x =在区间]32[，内有零点.求实数a 的取值范围【答案】解:(1)“对于任意的∈a R(R 为实数集),方程1)(=x f 必有实数根”是真命题;依题意:1)(=x f 有实根,即2(2a 1)2a=0x x +--有实根22(21)8(21)0a a a =-+=+≥对于任意的∈a R(R 为实数集)恒成立即2(2a 1)2a=0x x +--必有实根,从而1)(=x f 必有实根(2)令()2(21)12f x x a x a =+-+-=0, 则()()2211x a x =--因为]32[x ，∈,所以()01>-x ,()()1212-=-x x a , 令()()12-=x x x g ,则()()2212--='x x x x g ,令()0='x g ,,022=-x x 得,2(,0211==）x x 舍去当]32[x ，∈时,()0>'x g ,()()12-=x x x g 在]32[x ，∈单调递增,()(),293,42==g g 故()29214≤-≤a ,得2347-≤≤-a .所以实数a 的取值范围为]2347[--， 46．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度()f x 与时间x (小时)的关系可近似地表示为:620363()1 366x x x f x x x ⎧--≤<⎪⎪+=⎨⎪-≤≤⎪⎩,只有当污染河道水中碱的浓度不低于13时,才能对污染产生有效的抑制作用.(1)如果只投放1个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长?(2)第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到13时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后．．．．．．水中碱浓度为()g x ,求()g x 的函数式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加．．) 【答案】⑴由题意知03612 633x x x ≤<⎧⎪⎨--≥⎪+⎩或3611 63x x ≤≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩ 解得13x ≤<或34x ≤≤,即14x ≤≤能够维持有效的抑制作用的时间:413-=小时⑵由⑴知,4x =时第二次投入1单位固体碱,显然()g x 的定义域为410x ≤≤ 当46x ≤≤时,第一次投放1单位固体碱还有残留,故()g x =1 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(4)626(4)3x x ⎡⎤---⎢⎥-+⎣⎦=116331x x ---;当610x <≤时,第一次投放1单位固体碱已无残留,故当67x <≤时, (4)6()26(4)3x g x x -=---+ =86361x x ---; 当710x <≤时, 45()1636x x g x -=-=- ; 所以1164633186()673615 71036x x x x g x x x x x ⎧--≤≤⎪-⎪⎪=--<≤⎨-⎪⎪-<≤⎪⎩当46x ≤≤时, 116()331x g x x =---=10161016()2331331x x x x ---+≤-⋅--=10223-; 当且仅当1631x x -=-时取“=”,即132[4,6]x =+∈(函数值与自变量值各1分) 当610x <≤时,第一次投放1单位固体碱已无残留, 当67x <≤时, 2261(5)(7)()0(1)66(1)x x g x x x +-'=-=>--,所以()g x 为增函数; 当710x <≤时,()g x 为减函数;故 max ()g x =1(7)2g =, 又10117122289288(22)=03266----=>,所以当132x =+时,水中碱浓度的最大值为10223- 答:第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时;第一次投放132+小时后, 水中碱浓度的达到最大值为10223-。

广东省12大市高三数学二模文试题分类汇编9 圆锥曲线理

广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 1 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（）A D ．2 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A ．12B ．2C D ．13 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是（）A ．28y x = B ．28y x =-C ．24y x =-D ．24y x =二、填空题5 ．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.6 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.7 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________. 三、解答题8．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b b a+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.9．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知抛物线C:y 2=4x, F 是抛物线的焦点,设A(x 1,y 1),B(x 2 ,y 2)是C 上异于原点O 的两个不重合点,OA 丄OB,且AB 与x 轴交于点T(1) 求x 1x 2的值; (2) 求T 的坐标;(3) 当点A 在C 上运动时,动点R 满足:FR FB FA =+,求点R 的轨迹方程.10．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知动点M 到点(0,1)F 的距离与到直线4y =的距离之和为5. (1)求动点M 的轨迹E 的方程,并画出图形;(2)若直线:l y x m =+与轨迹E 有两个不同的公共点,A B ,求m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求弦长||AB 的最大值.11．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知椭圆)(112222１　>=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ,抛物线C:px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N()22,x y ,点M 在x轴上方,直线1F M 与抛物线C 相切.(1)求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标;(2)设A,B 是抛物线C 上两动点,如果直线MA ,MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.12．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知动点(,)P x y 与两个定点(1,0),(1,0)M N -的连线的斜率之积等于常数λ(0λ≠) (1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状;(3)当2λ=时,对于平面上的定点(E F ,试探究轨迹C 上是否存在点P ,使得120EPF ∠=︒,若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.13．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））在平面直角坐标系xoy 中,动点在椭圆C 1:2212x y +=上,动点Q 是动圆C 2:222(12)x y r r +=<<上一点.(1)求证:动点P 到椭圆C 1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率;(2)设椭圆C1上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F(1,0)的距离成等差数列,线段AC 的垂直平分线是否经过一个定点为?请说明理由.(3)若直线PQ 与椭圆C 1和动圆C 2均只有一个公共点,求P 、Q 两点的距离|PQ|的最大值. 14．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）如图(6)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ,焦点为F,圆M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切.过原点作倾斜角为3π的直线t ,交l 于点A,交圆M 于点B,且||||2AO OB ==. (1)求圆M 和抛物线C 的方程;(2)设,G H 是抛物线C 上异于原点O 的两个不同点,且0OG OH ⋅=,求GOH ∆面积的最小值; (3)在抛物线C 上是否存在两点Q P ,关于直线()():10m y k x k =-≠对称?若存在,求出直线m 的方程,若不存在,说明理由.15．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）在平面直角坐标系内,动圆C过定点()1,0F,且与定直线1x=-相切.(1)求动圆圆心C的轨迹2C的方程;(2)中心在O的椭圆1C的一个焦点为F,直线过点(4,0)M.若坐标原点O关于直线的对称点P在曲线2C上,且直线与椭圆1C有公共点,求椭圆1C的长轴长取得最小值时的椭圆方程.16．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版））已知中心在原点O,焦点在x轴上,的椭圆过点).(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点O的直线与该椭圆交于P、Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ∆面积的取值范围.17．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M .点A 、D 在轨迹M 上,且关于y 轴对称,过线段AD (两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹M 在点D 处的切线平行,设直线与轨迹M 交于点B 、C .(1)求轨迹M 的方程;(2)证明:BAD CAD ∠=∠; (3)若点D 到直线ABABC 的面积为20,求直线BC 的方程.18．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -,离心率e =过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴,垂足为Q ,点C 在QP 的延长线上,且||||QP PC =.(1)求椭圆的方程; (2)求动点C 的轨迹E 的方程;(3)设直线AC (C 点不同于,A B )与直线2x =交于点R ,D 为线段RB 的中点,试判断直线CD 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.广东省13大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编9：圆锥曲线参考答案一、选择题 1. A 2. A 3. D4. 【解析】抛物线的准线方程为-2,x =,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y 22(0)px p =>,则其准线方程为2p x =-, ∴22p-=-,解得4,p = ∴抛物线的标准方程为y 28x =.故选A . 二、填空题6. 7. 双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题8.解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b =,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143x y += (*) (Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y +-=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y --=±, ④ 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫⎪⎝⎭,31,2⎛⎫--⎪⎝⎭.综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.9.10.11.解:(1)由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝所以椭圆焦点为），（，01F )01(21-F 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴：∵),(11y x M 在抛物线C 上, ∴1214x y =,直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得22211(1)4(1),y x x x +=+22114(1)4(1)x x x x +=+即 22111(1)0,x x x x x ∴-++= ∵1F M 与抛物线C 相切,04)121221=-+∆∴x x ＝（,11,x ∴=　∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2) (2)直线AB 的斜率为定值—1. 证明如下:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(1,2)M ,A 、B 在抛物线24y x =上,∴211222244241y x y x ⎧=⎪=⎨⎪=⨯⎩①②③由①-③得,1112412MA y k x y -==-+④由②-③得,2222412MB y k x y -==-+④因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =-由MAMB k k =-得11222124122412y x y y x y -⎧=-⎪-+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 化简整理, 得12211121222244422444y y y y x y y y y x -+-=-+⎧⎨-+-=-+⎩⑥⑦由⑥-⑦得:12124()4()y y x x -=--1212414y y k x x --∴===--为定值解法二:设211(,)4y A y ,222(,)4y B y则121214AM y k y -=-142y =+,242BMk y =+ 因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =- 即1244022y y +=++ 所以121240(2)(2)y y y y ++=++所以,由1240y y ++=得 124y y +=- 所以,21222144AB y y k y y -=-2122214()y y y y -=-124y y =+44=- 1.=- 所以,直线AB 的斜率为定值,这个定值为 1.- 12.解、(Ⅰ)由题设可知;PN PM ,的斜率存在且不为0,所以λ=-⋅+11x y x y ,即)0(122≠=-y y x λ(Ⅱ)讨论如下:(1)当0>λ时,轨迹C 为中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)(2)当01<<-λ时,轨迹C 为中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点) (3)当1-=λ时,轨迹C 为以原点为圆心,1为半径的圆(除去点(-1,0),(1,0)) (4)当1-<λ时,轨迹C 为中心在原点,焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴两个端点)(Ⅲ)、当2=λ时,轨迹C 的方程为)0(1222≠=-y y x ,显然定点E 、F 为其左右焦点.假设存在这样的点P,使得0120=∠EPF ,记θ=∠EPF ,32,,===EF n PF m PE ,那么在EPF ∆中:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+===-+⇒=-∆θθcos 2)32(sin 2142222222mn n m mn S mn n m n m EPF整理可得:8)cos 1(2=-θmn ,所以38120cos 14cos 140=-=-=θmn所以332233821120sin 210=⨯⨯==∆mn S EPF 又因为332322121=⨯⨯=⨯⨯=∆P P EPF y y EF S所以,32=P y 故,32±=P y 代入椭圆的方程可得:)0(123222≠=⎪⎭⎫⎝⎛±-y x P所以311±=P x ,所以满足题意的点P 有四个,坐标分别为)32,311(,)32,311(-,)32,311(-,)32,311(--13.14. 解:(1)∵1cos 602122p OA ==⨯=,即2p =, ∴所求抛物线的方程为24y x =∴设圆的半径为r,则122cos 60OB r =⋅=,∴圆的方程为22(2)4x y -+=(2) 设()()1122,,,G x y H x y ,由0OG OH ⋅=得02121=+y y x x ∵2211224,4y x y x ==,∴1216x x =, ∵12GOH S OG OH ∆=,∴()()222222*********GOHS OG OH x y x y ∆==++=()()2211221444x x x x ++=()()21212121214164x x x x x x x x ⎡⎤+++⎣⎦≥()212121214164x x x x x x ⎡⎤+⋅⎣⎦=256 ∴16GOH S ∆≥,当且仅当122x x ==时取等号, ∴GOH ∆面积最小值为16(3) 设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称,且PQ 中点()00,y x D ∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在抛物线C 上,∴2233444,4y x y x ==两式相减得:()()()3434344y y y y x x -+=- ∴343434444PQx x y y k y y k -+=⋅==--,∴02y k =-∵()00,y x D 在()():10m y k x k =-≠上 ∴010x =-<,点()00,y x D 在抛物线外∴在抛物线C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称15. ⑴由题可知,圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等由抛物线定义知,C 的轨迹2C 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线 (确定“曲线是抛物线”1分,说明抛物线特征1分) 所以动圆圆心C 的轨迹2C 的方程为24y x = ⑵解法1、设(,)P m n ,则OP 中点为(,)22m n , 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称,所以(4)221n m k n k m⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩,即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩,解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩(中点1分,方程组2分,化简1分) 将其代入抛物线方程,得:222288()411k k k k-=⋅++,所以21k = 联立 2222(4)1y k x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得:2222222()8160b a x a x a a b +-+-=由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥,得2216a b +≥, 注意到221b a =-,即2217a ≥,所以a ≥,即2a ≥因此,椭圆1C.此时椭圆的方程为22+1171522x y =解法2、设2,4m P m ⎛⎫⎪⎝⎭ ,因为O P 、两点关于直线对称,则=4OM MP =,即4=,解之得4m =± 即(4,4)P ±,根据对称性,不妨设点P 在第四象限,且直线与抛物线交于,A B .则11AB OPk k =-=,于是直线方程为4y x =-(斜率1分,方程1分)联立 222241y x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得:2222222()8160b a x a x a a b +-+-=由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥,得2216a b +≥, 注意到221b a =-,即2217a ≥,所以a ≥,即2a ≥因此,椭圆1C . 此时椭圆的方程为22+1171522x y =16.解:(1)由题意可设椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>,则222112c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, , 解的21a b =⎧⎨=⎩,所以,椭圆方程为2214x y += (2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0,故可设直线的方程为(0)y kx m m =+≠,1,12,2(),()P x y Q x y ,由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=, 则22222226416(14)(1)16(41)0k b k b b k m ∆=-+-=-+>,且122814km x x k -+=+,21224114m x x k-=+ 故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++. 因为直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,所以,2221121222112()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==,即22228014k m m k-+=+, 又0m ≠,所以214k =,即12k =± 由于直线OP ,OQ 的斜率存在,且△>0,得202m <<且21m ≠. 设d 为点O 到直线的距离,则11122OPQ S d PQ m x ∆=⋅=⋅, 所以OPQ S ∆的取值范围为(0,1)17. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分)解:(1)方法1:设动圆圆心为(),x y ,依题意得整理,得24x y =.所以轨迹M 的方程为24x y =方法2:设动圆圆心为P ,依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点P 的轨迹是抛物线且其中定点()0,1F 为焦点,定直线1y =-为准线. 所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y = (2)由(1)得24x y =,即214y x =,则12y x '=. 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭,由导数的几何意义知,直线的斜率为012BC k x =由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭,则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-,即1202x x x +=A B CDOxylE因为2210101011444ACx x x x k x x --==+,2220202011444AB x x x x k x x --==+由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==,即AC AB k k =- 所以BAD CAD ∠=∠(3)方法1:由点D 到ABBAD ∠45= 不妨设点C 在AD 上方(如图),即21x x <,直线AB 的方程为:()20014y x x x -=-+. 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭)()042x ---=-.由(2)知CAD BAD ∠=∠45=,同理可得2AC =+ 所以△ABC的面积20122244202S x =⨯-⨯+=-=, 解得03x =±当03x =时,点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭,32BCk =, 直线BC 的方程为()13142y x -=+,即6470x y -+= 当03x =-时,点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭,32BCk =-, 直线BC 的方程为()493742y x -=-+,即6470x y +-= 方法2:由点D 到ABBAD ∠45= 由(2)知CAD BAD ∠=∠45=,所以CAB ∠90=,即AC AB ⊥. 由(2)知104AC x x k -=,204AB x x k -=.所以1020144AC AB x x x x k k --=⨯=-. 即()()102016x x x x --=-. ① 由(2)知1202x x x +=. ②不妨设点C 在AD 上方(如图),即21x x <,由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩2=-,同理2AC =+ 以下同方法1.18.解析:(1)由题意可得2a =,2c e a ==,∴c =∴2221b a c =-=,所以椭圆的方程为2214x y += (2)设(,)C x y ,00(,)P x y ,由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩,即0012x xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩,又220014x y +=,代入得221()142x y +=,即224x y +=. 即动点C 的轨迹E 的方程为224x y += (3)设(,)C m n ,点R 的坐标为(2,)t , ∵,,A C R 三点共线,∴//AC AR ,而(2,)AC m n =+,(4,)AR t =,则4(2)n t m =+, ∴42nt m =+, ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +,点D 的坐标为2(2,)2nm +, ∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---,而224m n +=,∴224m n -=-, ∴2mn m k n n==--, ∴直线CD 的方程为()m y n x m n -=--,化简得40mx ny +-=, ∴圆心O 到直线CD 的距离2d r ====, 所以直线CD 与圆O 相切。

2013年广州二模数学理科试题

2013年广州二模数学理科试题考生须知：1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷有三个大题，26个小题．满分为130分，考试时间为120分钟．2．请用蓝、黑圆珠笔或水笔答题，并按要求将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．3．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．4．抛物线的顶点坐标为．试题卷Ⅰ一．选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 的值等于（▲）A．4 B． C． D．22．据媒体报道，我国因环境问题造成的经济损失每年高达680 000 000元，这个数用科学记数法可表示为( ▲).A. B. C. D.3．计算的结果是（▲）A．B．C．D．4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是………………………（▲）A． B． C． D．5．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米, CA=1米, 则树的高度为（▲）A. 4.5米B. 6米C. 3米D. 4米6．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（▲）A．r B．22 r C．10 r D．3r7．小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是（▲）A．x=1B．x=2 C．x=3 D．x=48．从长度分别为3、5、7、9的4条线段中任取3条作边，能组成三角形的概率为（▲）A．B．C．D．9．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（▲）．A．B．若MN与⊙O相切，则C．l1和l2的距离为2 D．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切10. 如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b 的值为( ▲)A．3 B．C．D．11．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线（a ＜0）的图象上，则a的值为（▲）A．B．C．D．12. 如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2012次后它停在哪个数对应的点上（）A．1 B．2 C．3 D．5试题卷Ⅱ二、填空题（每小题3分，共18分）13．在函数y= 1 x－2 中，自变量x的取值范围是▲.14．已知关于x的方程的一个根是1，则k= ▲．15. 如图，在长为8 ，宽为4 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是▲.16．抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是▲17．如图，在中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是▲18. 如图,已知点A（0,2）、B（,2）、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连结AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则（1）当AB为梯形的底时,点P的横坐标是▲；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是▲.三．解答题（第19题6分，第20-22题各8分，第23-24题10分，第25题12分，第26题14分，共76分）19. （本题6分）计算:20.先化简再求值：，其中．21．（本题8分）某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；（3）2012年宁波市区初二学生约为2万人，按此调查，可以估计2012年宁波市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？（4）请根据以上结论谈谈你的看法.22. （本题8分）如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）若AB=10cm，求阴影部分面积．23．宁波滨海水产城一养殖专业户陈某承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表：(1) 2011年，陈某养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩．求陈某这一年共收益多少万元？（收益＝销售额－成本）(2) 2011年，陈某继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2011年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3) 已知甲鱼每亩需要饲料500kg，桂鱼每亩需要饲料700kg．根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求陈某原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg?24. (1)动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么的度数为。

【解析版】广东省江门、佛山市2013年高考数学二模试卷(理科)

2013年广东省江门、佛山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．B．±求解．，∴4．（5分）（2013•江门二模）为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（）5．（5分）（2013•江门二模）函数f（x）=sin，x∈[﹣1，1]，则（）=sin7．（5分）（2011•湖北）直线2x+y﹣10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（）8．（5分）（2013•江门二模）将边长为2的等边三角形PAB沿x轴滚动，某时刻P与坐标原点重合（如图），设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），关于函数y=f（x）的有下列说法：①f（x）的值域为[0，2]；②f（x）是周期函数；③f（﹣1.9）＜f（π）＜f（2013）；④．其中正确的说法个数为（）④表示函数其值为×=+2，故④二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分35分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）（2013•江门二模）命题“∃x0∈R，≤0”的否定是∀x∈R，＞0．，≤＞，10．（5分）（2013•太原一模）已知向量，满足，（﹣）⊥，向量与的夹角为．•==0＜即可求得向量与==0××=再由＜，可得＜＞，．11．（5分）（2013•江门二模）（1+2x）n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n等于8．（•，．=44=2×12．（5分）（2013•江门二模）已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上，则圆C 的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．=r=13．（5分）（2013•江门二模）将集合{2s+2t|0≤s＜t且s，t∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i行第j列的数记为b ij（i≥j＞0），则b65=80．14．（5分）（2013•江门二模）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ与C2：ρ=2cosθ的交点分别为A、B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1．15．（5分）（2013•江门二模）（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=．，∴∴．故答案为．16．（12分）（2013•江门二模）在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A（﹣1，3）．（1）若OA⊥OB，求tanα的值．（2）若B点横坐标为，求S△AOB．，其中，），从而得到向量、AOB=AOB=||=1、||=，∴•=0=；点横坐标为，可得=的坐标为（，|=AOB==AOB==||||sin AOB=××．17．（12分）（2013•江门二模）市民李生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A、B、D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C、E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．（1）求李生小孩按时到校的概率；（2）李生是否有七成把握能够按时上班？（3）设ξ表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求ξ的均值．）的结论可得：甲到丙没有遇到拥堵的概率是；先求出：甲到乙遇到拥堵的概率，由对立事件的概率即可得到甲到乙没有遇到拥堵的概率，利和．因此从甲到丙遇到拥堵的概率是）甲到丙没有遇到拥堵的概率是，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是甲到乙遇到拥堵的概率是甲到乙没有遇到拥堵的概率是，，=P18．（14分）（2013•江门二模）如图甲，设正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在AB、CD上，并且满足AE=2EB，CF=2FD，如图乙，将直角梯形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置，使点A1在平面EBCF 上的射影G恰好在BC上．（1）证明：A1E∥平面CD1F；（2）求平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的余弦值．AG=，得，中，=，，，∴是平面，∴．∴=．19．（14分）（2013•江门二模）在平面直角坐标系内，动圆C过定点F（1，0），且与定直线x=﹣1相切．（1）求动圆圆心C的轨迹C2的方程；（2）中心在O的椭圆C1的一个焦点为F，直线l过点M（4，0）．若坐标原点O关于直线l的对称点P 在曲线C2上，且直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长取得最小值时的椭圆方程．且．将，由此即可得到椭圆中点为（，∴，即，解之得（﹣×的方程为≥长轴长的最小值为，此时椭圆的方程为20．（14分）（2013•江门二模）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染．为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f（x）与时间x（小时）的关系可近似地表示为：f（x）=，只有当污染河道水中碱的浓度不低于时，才能对污染产生有效的抑制作用．（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？（2）第一次投放1单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到时，马上再投放1个单位的固体碱，设第二次投放后水中碱浓度为g（x），求g（x）的函数式及水中碱浓度的最大值．（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）或）﹣]=﹣=；===；当且仅当x=1+3，，x=1+3时，水中碱浓度的最大值为1+3水中碱浓度的达到最大值为21．（14分）（2013•江门二模）设函数，记f0（x）的导函数f'0（x）=f1（x），f1（x）的导函数f'1（x）=f2（x），f2（x）的导函数f'2（x）=f3（x），…，f n﹣1（x）的导函数f'n﹣1（x）=f n（x），n=1，2，…．（1）求f3（0）；（2）用n表示f n（0）；（3）设S n=f2（0）+f3（0）+…+f n+1（0），是否存在n∈N*使S n最大？证明你的结论．）由函数代入即得：（﹣）（﹣x e，x ex x e，即，即﹣）（﹣）），）））。

广东省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(17)选修系列：选修4-4_坐标系与参数方程

15．(广东省广州市2013年1月高三年级调研文)（坐标系与参数方程选讲选做题）
已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,
θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 .
1．（2007广东高考）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭
，到直线l 的距离为． 2．（2008广东高考）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2
π
ρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为．
3．（2009广东高考）若直线12,
23.{
x t y t =-=+（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =________． 4．（2010广东高考）在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(cos sin )1ρθθ+=与(cos sin )1ρθθ-=的交点的极坐标为．
5．（2011广东高考）已知两曲线参数方程分别为)0(sin cos 5πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x 和⎪⎩⎪⎨⎧==t
y t x 245（t R ∈）
，它们的交点坐标为．
6．（2012广东高考）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1c 和2c 的
参数方程分别为x y θθ
⎧⎪⎨⎪⎩（θ为参数，
02πθ≤≤
）和=12=2
x t y t ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（t 为参数）．则曲线1c 和2c 交点坐标为．。

广东省11大市2013年高三数学一模试题分类汇编16：坐标系与参数方程(选修4-4)(理科).pdf

广东省11大市2013年高三数学（理）一模试题分类汇编坐标系与参数方程 1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为． 2、（江门市2013届高三2月高考模拟）在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为．答案： 3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）已知曲线：和曲线：，则上到的距离等于的点的个数为．答案：将方程与化为直角坐标方程得与，知为圆心在坐标原点，半径为的圆，为直线，因圆心到直线的距离为，故满足条件的点的个数. 4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）在极坐标系中，圆＝2上的点到直线＝3的距离的最小值是＿＿＿＿答案：1 5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点．x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为＝2，则圆C上的点到直线l的距离最小值是＿＿＿答案： 6、（韶关市2013届高三调研考试）在直角坐标系xoy中，圆C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴）中，圆C2的极坐标方程为，则C1与C2的位置关系是＿＿＿＿＿（在“相交，相离，内切，外切，内含”中选择一个你认为正确的填上）答案：内切 7、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则与交点在直角坐标系中的坐标为 ____。

答案：【解析】为，所以，解得因此 8、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）已知直线与直线相交于点，又点，则答案： 9、（佛山市2013届高三教学质量检测（一））在极坐标系中，直线过点且与直线（）垂直，则直线极坐标方程为．答案：（或、） 10、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）已知曲线C的参数方程为 (θ为参数)，则曲线C上的点到直线34y+4=0的距离的最大值为答案：3 11、（湛江市2013届高三高考测试（一））在极坐标系中，直线与圆相交的弦长为＿＿＿＿答案：。

广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编7立体几何

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a =（）AB C D 【答案】C2 ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）如图,在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水,将容器底面一边BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:①水的部分始终呈棱柱状;②水面四边形EFGH 的面积不改变; ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行;④当1AA E ∈时,BF AE +是定值. 其中所有正确的命题的序号是（）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④【答案】D3 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知某个几何体的三视图如图2所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是（）A ．38cmB ．312cmC ．324cmD ．372cm【答案】B 解析:三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥,底面是底边长为6高为4的等腰三角形,三棱锥的高为3,所以,这个几何体的体积116431232V =⨯⨯⨯⨯= 4 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,当a b +取最大值时,这个几何体的体积为（）A ．16B ．13C ．23D ．12【答案】D5 ．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为（）A ．π4B ．π2C ．π3D ．23π【答案】D6 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是【答案】B7 ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积=V （）A ．π12B ．π16C ．π18D ．π64【答案】B8 ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为（） A ．14π B ．πC ．94π D ．4π【答案】C9 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为图2（）A．π+ B．2)π+ C．D．2)+【答案】【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的.圆椎底面半径为6,椎体底面边长为12,高为.1111361262)3232V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+故选B .10．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）下列命题中假命题．．．是（）A ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行;B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直;C ．若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行. 【答案】B11．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图(1)示,则该几何体的体积为（）A ．7B ．223 C ．476D ．233图(1)【答案】依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=,故选 D ．侧视图正视图12．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是（）A ．403 B ．3C ．503D ．6【答案】A 二、填空题13．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于_______【答案】6+14．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,正视图是正方形,俯视图为半圆,侧视图为矩形,则其表面保积为________【答案】π34+;15．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于_____________ .【答案】16．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知集合A B C 、、，A ={直线},B ={平面},C A B =.若,,a A b B c C ∈∈∈,给出下列四个命题:①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a ba c cb ⎧⇒⊥⎨⊥⎩ ④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是__________.【答案】【解析】由题意知:C 可以是直线,也可以是平面,当C 表示平面时,①②③都不对,故选④正确.17．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___【答案】103三、解答题18．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版））如图,在三棱拄111ABC A B C -中,AB ⊥侧面11BB C C ,已知11,3BC BCC π=∠=(Ⅰ)求证:1C B ABC ⊥平面;(Ⅱ)试在棱1CC (不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,求二面角11A EB A --的平面角的正切值.EC 1B 1A1CA【答案】证(Ⅰ)因为AB ⊥侧面11BB C C ,故1AB BC ⊥在1BC C 中,1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理有1BC == 故有 222111BC BC CC C B BC += ∴⊥而 BC AB B = 且,AB BC ⊂平面ABC∴1C B ABC ⊥平面(Ⅱ)由11,,,,EA EB AB EB ABAE A AB AE ABE ⊥⊥=⊂平面从而1B E ABE ⊥平面且BE ABE ⊂平面故1BE B E ⊥不妨设 CE x =,则12C E x =-,则221BE x x =+-又1123B C C π∠= 则2211B E x x =++在1Rt BEB 中有 22114x x x x +++-+= 从而1x =±(舍负)111故E 为1CC 的中点时,1EA EB ⊥ 法二:以B 为原点1,,BC BC BA为,,x y z 轴,设CE x=,则11(0,0,0),(1),(2B E x B A -- 由1EA EB ⊥得 10EAEB ⋅= 即11(1,,0)0222211(1)(2)02222x x x x x x x x ---=⎫---=⎪⎪⎭化简整理得 2320x x -+= 1x = 或 2x = 当2x =时E 与1C 重合不满足题意当1x =时E 为1CC 的中点故E 为1CC 的中点使1EA EB ⊥(Ⅲ)取1EB 的中点D ,1A E 的中点F ,1BB 的中点N ,1AB 的中点M 连DF 则11//DF A B ,连DN 则//DN BE ,连MN 则11//MN A B 连MF 则//MF BE ,且MNDF 为矩形,//MD AE 又1111,A B EB BE EB ⊥⊥ 故MDF ∠为所求二面角的平面角在Rt DFM 中,111(22DF A B BCE==∆为正三角形）111222MF BE CE === 1tan 22MDF ∴∠==法二:由已知1111,EA EB B A EB ⊥⊥, 所以二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角因为11B A BA == 1(22EA =-- 故 11112cos tan 23EA B A EA B A θθ⋅==⇒=⋅19．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题）四棱锥P —ABCD 中,侧面PDC 是MP A BC D • EF G 边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是∠ADC ︒=60的菱形,M 为PB 的中点,Q 为CD 的中点. (1) 求证:PA ⊥CD ;(2) 求AQ 与平面CDM 所成的角.【答案】解:(1)连结PQ ,AQ .∵△PCD 为正三角形, ∴PQ ⊥CD . ∵底面ABCD 是∠ADC ︒=60的菱形, ∴AQ ⊥CD. ∴CD ⊥平面PAQ ∴PA ⊥CD .(2)设平面CDM 交PA 于N ,∵CD //AB , ∴CD //平面PAB .∴CD //MN .由于M 为PB 的中点,∴N 为PA 的中点.又PD =CD =AD ,∴DN ⊥PA . 由(1)可知PA ⊥CD ,∴PA ⊥平面CDM∴平面CDM ⊥平面PAB . ∵PA ⊥平面CDM ,联接QN 、QA ,则∠AQN 为AQ 与平面CDM 所成的角在Rt ∆PMA 中,AM =PM =3, ∴AP =6,∴AN =26,sin ∠AQN =AQ AN =22.∴∠AQN =45°(2)另解(用空间向量解): 由(1)可知PQ ⊥CD ,AQ ⊥CD .又由侧面PDC ⊥底面ABCD ,得PQ ⊥AQ .因此可以如图建立空间直角坐标系xyz Q -易知P (0 , 0 ,3)、A (3, 0 , 0)、B (3, 2 , 0)、C (0 , 1 , 0)、D (0 , -1 , 0)①由=(3, 0 , -3),=(0 , -2 , 0),得⋅=0. ∴PA ⊥CD②由M (23, 1 , -23),CM =(23, 0 , -23),得⋅CM =0. ∴PA ⊥CM∴PA ⊥平面CDM ,即平面CDM ⊥平面PAB .从而就是平面CDM 的法向量设AQ 与平面所成的角为θ , 则sin θ =|cos<,PA >|=22|633|=⨯. 第18题图CB DQPMBCBDQPM 第17题图∴AQ 与平面所成的角为45°20．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）如图,PA 垂直⊙O 所在平面ABC,AB 为⊙O 的直径,PA=AB,14BF BP =,C 是弧AB 的中点. (1)证明:BC ⊥平面PAC; (2)证明:CF ⊥BP;(3)求二面角F —OC —B 的平面角的正弦值.【答案】证明:(1)∵PA ⊥平面ABC,BC ⊂平面ABC,∴BC ⊥PA∵∠ACB 是直径所对的圆周角, ∴90o ACB ∠=,即BC ⊥AC又∵PA AC A =,∴BC ⊥平面PAC(2)∵PA ⊥平面ABC,OC ⊂平面ABC, ∴OC ⊥PA∵C 是弧AB 的中点,∴∆ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又O 是AB 的中点,∴OC ⊥AB又∵PA AB A =,∴OC ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB ,∴BP OC ⊥设BP 的中点为E,连结AE,则//OF AE ,AE BP ⊥ ∴BP OF ⊥∵OC OF O =,∴BP ⊥平面CFO . 又CF ⊂平面CFO ,∴CF BP ⊥ 解:(3)由(2)知OC ⊥平面PAB ,∴OF OC ⊥,OC OB ⊥, ∴BOF ∠是二面角F OC B --的平面角又∵BP OF ⊥,045FBO ∠=,∴045FOB ∠=,∴sin FOB ∠=,即二面角F OC B --21．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.(Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;(Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼?试证明你的结论;(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值.【答案】解:(Ⅰ)该几何体的直观图如图1所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的正方形,高为CC 1=6,故所求体积是7266312=⨯⨯=V(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍,故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体, 其拼法如图2所示证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的正方形,于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立(Ⅲ)方法一:设B 1E,BC 的延长线交于点G, 连结GA,在底面ABC 内作BH⊥AG,垂足为H, 连结HB 1,则B 1H⊥AG,故∠B 1HB 为平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角或其补角的平面角在Rt△ABG 中,180=AG ,则512180126=⨯=BH ,5182121=+=BB BH H B 32cos 11==∠HB HB HB B ,故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32± 方法二:以C 为原点,CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系(如图3),∵正方体棱长为6,则E(0,0,3),B 1(0,6,6),A(6,6,0). 设向量n =(x ,y ,z ),满足n ⊥1EB ,n ⊥1AB ,正视图侧视图俯视图于是⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21取z =2,得n =(2,-1,2). 又=1BB (0,0,6),321812||||,cos 111==>=<BB n BB 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±22．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）如图,三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点,点F 在棱AB 上,且14AF AB =. (Ⅰ)求证://EF 平面1BDC ;(Ⅱ)在棱AC 上是否存在一个点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15,若存在,指出点G 的位置;若不存在,说明理由.【答案】所以符合要求的点G 不存在.23．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）如图5,在四棱锥P ABCD -中,底面为直角梯形,//,90AD BC BAD ︒∠=,PA 垂直于底面ABCD ,22,,PA AD AB BC M N ====分别为,PC PB 的中点.(1)求证:PB DM ⊥;(2)求平面ADMN 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值;(3)求点B 到平面PAC 的距离.【答案】解:(1)证明:因为N 是PB 的中点,PA AB =, 所以AN PB ⊥由PA ⊥底面ABCD ,得PA AD ⊥, 又90BAD ︒∠=,即BA AD ⊥,又,BA PA 在平面PAB 内,∴ AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥ ,又,AD AN 在平面ADMN 内,∴ PB ⊥平面ADMN , ∴PB DM ⊥.(2)方法一:由(1)知,AD ⊥平面PAB ,所以AN AD ⊥ , 由已知可知,AB AD ⊥所以BAN ∠是平面ADMN 与平面ABCD 所成的二面角的平面角在直角三角形PAB 中,PB ===因为N 直角三角形PAB 斜边PB 的中点,所以AN =在直角三角形NAB 中,cos 2AN BAN AB ∠== 即平面ADMN 与平面ABCD所成的二面角的余弦值为2. 方法二:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(1,0,1)A N ,(0,2,0)D(1,0,1)AN =,(0,2,0)AD =设平面ADMN 的法向量为(,,)n x y z =,则0n AN n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即020x z y +=⎧⎨=⎩,令1z =-,则1x =,所以平面ADMN 的一个法向量为(1,0,1)n =- 显然(0,0,2)a =是平面ABCD 的一个法向量设平面ADMN 与平面ABCD 所成的二面角的平面角为θ,则cos ||||222n ana θ-===⋅⋅即平面ADMN 与平面ABCD .(3)由已知得,AC ==11122123323P ABC ABC V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=设点B 到平面PAC 的距离为h ,则1112332B ACP ACP V S h h -∆=⋅=⨯⨯=由P ABC B ACP V V --=,即233h =,得5h =即点B 到平面PAC 的距离5. 24．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）如图5,在四棱锥ABCD P -中,PA ⊥平面ABCD ,4=AB ,3=BC ,090,5=∠=∠=ABC DAB AD ,E 是CD 的中点.(1)求证:CD ⊥平面PAE ;(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和直线PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥ABCD P -的体积.【答案】(1)如图(1),连接AC ,由090,3,4=∠==ABC BC AB,得5=AC5,AD =又E 是CD 的中点,所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD ⊥平面PAE (2)过点B 作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由(1)CD ⊥平面PAE 知,BG ⊥平面PAE .于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG AE ⊥由PA ABCD ⊥平面知,PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角由题意,知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形,故3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中,4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以2AB BG BF BG =====于是PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=解法2:如图(2),以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为:),0,0(),0,4,2(),0,5,0(),0,3,4(),0,0,4(),0,0,0(h P E D C B A(1)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以.CD PAE ⊥平面 (2)由题设和(1)知,,CD AP 分别是PAE 平面、ABCD 平面的法向量由(1)知,(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-而直线PB 与PAE 平面所成的角和直线PB 与ABCD 平面所成的角相等,所以cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PBPA PB⋅⋅<>=<>=⋅⋅,即由(4,0,),PB h =-故222160016520016hh h h+⋅++=+⋅++-解得h =又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=,所以四棱锥P ABCD -的体积为 111633V S PA =⨯⨯=⨯=25．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥ABCD P -中,BC AD //,︒=∠90ABC ,⊥PD 平面ABCD ,1=AD ,3=AB ,4=BC (1)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(2)设点E 在棱PC 上,λ=,若//DE 平面PAB ,求λ的值.APEC DB【答案】解1:(1)∵⊥PD 平面ABCD ⊂PD 面PDC∴平面⊥PDC 平面ABCD过D 作AB DF //交BC 于F 过点F 作CD FG ⊥交CD 于G , ∵平面 PDC 平面CD ABCD =∴⊥FG 面PDC∴FDG ∠为直线AB 与平面PDC 所成的角在DFC Rt ∆中,︒=∠90DFC ,3=DF ,3=CF ∴3tan =∠FDG , ∴︒=∠60FDG即直线AB 与平面PDC 所成角为︒60(2)连结EF ,∵AB DF //,⊄DF 平面PAB ,⊂AB 平面PAB ∴//DF 平面PAB又∵//DE 平面PAB 且D DF DE = ∴平面//DEF 平面PABPEFBCDAGPE∴AB EF //又∵1=AD ,4=BC ,1=BF∴41==BC BF PC PE ∴41=,即41=λ 解2:如图,在平面ABCD 内过D 作直线AB DF //,交BC 于F ,分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设a PD =,则)0,0,0(D 、)0,0,1(A 、)0,3,1(B 、)0,3,3(-C 、),0,0(a P (1)设面PDC 的法向量为),,(z y x n = ∵)0,3,3(-=DC 、),0,0(a =∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00 得⎪⎩⎪⎨⎧==+-0033az y x 令1=x 可解得⎪⎩⎪⎨⎧==03z y∴)0,3,1(=n ∵)0,3,0(= ∴2323030||||,cos =⨯++=⋅<n AB n AB ∴直线AB 与平面PDC 所成的角θ,则23|,cos |sin =><=θ∵︒<<︒900θ ∴︒=60θ 即直线AB 与平面PDC 所成的角为︒60(2)∵),3,3(a PC --= ∴),3,3(λλλλa --==∴),3,3(),3,3(),0,0(λλλλλλa a a a --=--+=+= 设面PAB 的法向量为),,(111z y x = ∵)0,3,0(=、),0,1(a -=∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=003az x y 令1=z 可解得⎩⎨⎧==a x y 0∴)1,0,(a =若//DE 平面PAB ,则003)1,0,(),3,3(=-++-=⋅--=⋅λλλλλa a a a a a m DE 而0≠a , 所以41=λ 26．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））如图,ABC ∆的外接圆⊙OB其中AB 为圆直径,CD ⊥⊙O 所在的平面,//,4,2BE CD CD BC ==,且1BE =. (1)求证:平面ADC ⊥平面BCDE ;(2)试问线段DE 上是否存在点M,使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27?若存在,确定M 的位置,若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)∵AB 是直径,∴AC⊥BC,又∵CD ⊥平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACDBC ⊂平面BCDE,∴平面ADC ⊥平面BCDE(Ⅱ)方法一:假设点M 存在,过点M 作MN⊥CD 于N, 连结AN,作MF⊥CB 于F,连结AF∵平面ADC ⊥平面BCDE,∴MN⊥平面ACD,∴∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角设MN=x ,计算易得,DN=32x ,MF=342x -故AM ===2sin 7MNMAN AM∠===12分解得:83x =-(舍去) 43x =,故23MN CB =,从而满足条件的点M 存在,且23DM DE = 方法二:建立如图所示空间直角坐标系C —xyz ,则:A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),C(0,0,0)则(0,2,3)DE =-易知平面ACD 的法向量为C (0,2,0)OB =,假设M 点存在,设(,,)M a b c ,则(,,4)DM a b c =-, 再设,(0,1]DM DE λλ=∈00224343a a b b c c λλλλ==⎧⎧⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩,即(0,2,43)M λλ-, 从而(4,2,43)AM λλ=--设直线AM 与平面ACD 所成的角为θ,则:22sin cos ,72164OB θλ==++ 22sin cos ,72164OB θλ===+解得4233λλ=-=或,其中4(0,1]3λ=-∉应舍去,而2(0,1]3λ=∈故满足条件的点M 存在,且点M 的坐标为4(0,,2)327．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q 为AD 的中点,M 是棱PC 上的点,PA=PD=2,BC=12. (1)若点M 是棱PC 的中点,求证:PA // 平面BMQ;(2)求证:平面PQB⊥平面PAD;(3)若二面角M-BQ-C 为30°,设PM=tMC,试确定t 的值 .【答案】(Ⅱ)∵AD // BC,BC=12AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD另证:AD // BC,BC=12AD,Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ,∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ∵ AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD(不证明PQ⊥平面ABCD 直接建系扣1分) 如图,以Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =;(0,0,0)Q,P,B,(C -设(,,)M x y z ,则(,,PM x y z =,(1,)MC x y z =---,∵PM tMC =,∴ (1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩）, ∴ 111t x ty t z t⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩28．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图所示,已知AB 为圆O 的直径,点D 为线段AB 上一点,且13AD DB =,点C 为圆O 上一点,且BC =.点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,PD DB =.(1)求证:PA CD ⊥;(2)求二面角C PB A --的余弦值.第18题图【答案】解析:(Ⅰ)法1:连接CO ,由3AD DB =知,点D 为AO 的中点, 又∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, 由BC =知,60CAB ∠=, ∴ACO ∆为等边三角形,从而CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥(注:证明CD ⊥平面PAB 时,也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到,酌情给分.) 法2:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥,在Rt ABC ∆中设1AD =,由3AD DB =BC =得,3DB =,4AB =,BC =,∴BD BC BC AB ==,则BDC BCA ∆∆∽, ∴BCA BDC ∠=∠,即CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥法3:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, 在Rt ABC ∆BC =得,30ABC ∠=, 设1AD =,由3AD DB =得,3DB =,BC =由余弦定理得,2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=,∴222CD DB BC +=,即CD AO ⊥. - ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥(Ⅱ)法1:(综合法)过点D 作DE PB ⊥,垂足为E ,连接CE 由(1)知CD ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB , ∴CD PB ⊥,又DE CD D =, ∴PB ⊥平面CDE ,又CE ⊂平面CDE , ∴CE PB ⊥,∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,(注:在第(Ⅰ)问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分∴PB =则2PD DB DE PB ⋅===, ∴在Rt CDE ∆中,tan 3CD DEC DE ∠===, ∴cos 5DEC ∠=,即二面角C PB A --的余弦值为5法2:(坐标法)以D 为原点,DC 、DB 和DP 的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系(注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明CD AB ⊥,酌情给分.) 设1AD =,由3AD DB =BC =得,3PD DB ==,CD =∴(0,0,0)D ,C ,(0,3,0)B ,(0,0,3)P , ∴(3,0,3)PC =-,(0,3,3)PB =-,(CD =,由CD ⊥平面PAB ,知平面PAB 的一个法向量为(CD = 设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ,则00PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即30330y y z -=-=⎪⎩,令1y =,则x =1z =,∴=n ,设二面角C PB A --的平面角的大小为θ,则cos 5||5CD CD θ⋅===-⋅n |n |, ∴二面角C PB A --的余弦值为529．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图 3).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1AC (如图4).(1)求证:1A D ⊥平面BCED ;(2)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.【答案】(本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分)证明:(1)因为等边△ABC 的边长为3,且AD DB =12CE EA =,所以1AD =,2AE =. 在△ADE 中,60DAE ∠=,由余弦定理得3DE ==. 因为222AD DE AE +=, 所以AD DE ⊥. 折叠后有1A D DE ⊥因为二面角1A DE B --是直二面角,所以平面1A DE ⊥平面BCED 又平面1A DE平面BCED DE =,1A D ⊂平面1A DE ,1A D DE ⊥,所以1A D ⊥平面BCED(2)解法1:假设在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60. 如图,作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P 由(1)有1A D ⊥平面BCED ,而PH ⊂平面BCED , 所以1A D ⊥PH又1A DBD D =,所以PH ⊥平面1A BD所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角设PB x =()03x ≤≤,则2xBH =,PH x =在Rt △1PA H 中,160PA H ∠=,所以112A H x = 在Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- 由22211A D DH A H +=,得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB =解法2:由(1)的证明,可知ED DB ⊥,1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点,以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y标系D xyz -如图设2PB a =()023a ≤≤,则BH a =,PH =,2DH a =-所以()10,0,1A ,()2,0P a -,()E 所以()12,,1PA a =- 因为ED ⊥平面1A BD ,所以平面1A BD 的一个法向量为()DE = 因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60, 所以11sin 60PA DE PA DE===, 解得54a =即522PB a ==,满足023a ≤≤,符合题意所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB =30．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））(本小题满分14分)如图,111ABC A B C -中,侧棱与底面垂直, AB AC ⊥,12AB AC AA ===,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.(1)证明: 11//MN A ACC 平面; (2)求二面角N MC A --的正弦值.B 1A 1PC 1NCBAMB 1【答案】(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 :(1)证法一: 连接1,1AB AC由题意知,点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点,1//MN AC ∴又MN ⊂平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC , //MN ∴平面11A ACC证法二:取11A B 中点P ,连,MP NP ,而,M N 分别为1AB 与11B C 的中点,1//MP A A ∴,11MP A ACC ⊄平面,111AA A ACC ⊂平面, 11//MP A ACC ∴平面, 同理可证11//NP A ACC 平面又MP NP P = ∴平面MNP //平面11A ACC MN ⊂平面MNP ,//MN ∴平面11A ACC证法三(向量法): 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz-,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),A B (1,0,1),(1,1,2)M N 1,AB AC AB AA ⊥⊥,1ACAA A =,11AB A ACC ∴⊥平面∴向量(2,0,0)AB 是平面11A ACC 的一个法向量(0,1,1)MN ,2001010AB MN ⋅=⨯+⨯+⨯=AB MN ∴⊥又11MN A ACC ⊄平面 //MN ∴平面11A ACC(2)解法一: 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B C ,111(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2)A B C ,(1,0,1),(1,1,2)M NB 1A 1QPHOD 1DC 1NC B A MB 1PQHOMD 1CA由(1)知1MA 是平面MCA 的一个法向量, 1(1,0,1)MA =-设平面NMC 的法向量为(,,)n x y z =,(0,1,1)MN =,(1,2,1)MC =--,002030n MN y z y z x y z x zn MC ⎧⋅=+==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+-==-⋅=⎩⎩⎪⎩, (3,1,1)n ∴=-设向量1MA 和向量n 的夹角为θ,则11cos (MAn MA nθ⋅===- ∴二面角N MC A --==解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连11DC CD 、交于点O ,连11B A B O 、,显然,11A M C B D O 、、、、、,都在同一平面11ACB D 上易证1//B O MC ,11C O CD ⊥,11B D ⊥平面11C CDD ,1C O ⊂平面11C CDD , 111C O B D ∴⊥,又1111B D CD D =1C O ∴⊥平面11ACB D . 取1B O 中点H ,连NH ,N H 、分别是111,B O B C 的中点1//NH C O ∴,NH ∴⊥平面11ACB D ,且H 为垂足,即NH ⊥平面AMC ,过点O 作OPMC ⊥于P ,过H 作//HQ OP 交MC 于Q ,连NQ , 则NQH ∠即是所求二面角N MC A --的补角在RtMAC ∆中,CM===, sin AM MCA MC ∠===,sin sin()cos2OCP MCA MCA π∠=-∠=∠==, 在Rt OPC ∆中,sin OCP ∠=,OP ∴==HQOP ∴==又112MH C O ==∴在Rt NQH ∆中,NQ ===sin NH NQH NQ ∴∠===∴所求二面角N MC A --31．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）如图甲,设正方形ABCD的边长为3,点E F 、分别在AB CD 、上,并且满足22AE EB CF FD ==，,如图乙,将直角梯形AEFD 沿EF 折到11A EFD 的位置,使点1A 在平面EBCF 上的射影G 恰好在BC 上.(1)证明:1//A E 平面1CD F ;(2)求平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值.【答案】⑴证明:在图甲中,易知//AE DF ,从而在图乙中有11//A E D F ,因为1A E ⊄平面1CD F ,1D F ⊂平面1CD F ,所以1//A E 平面1CD F (条件2分) ⑵解法1、如图,在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1A G ⊥平面EBCF ,则1AG EF ⊥, 所以EF ⊥平面1AGH ,则1EF A H ⊥, BECD F图甲1A EFBC1DG图乙A 第18题图所以1A HG ∠平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的平面角, 图甲中有EF AH ⊥,又GH EF ⊥,则A G H 、、三点共线,设CF 的中点为M ,则1MF =,易证ABG EMF ∆≅∆,所以,1BG MF ==,AG =; (三角形全等1分) 又由ABGAHE ∆∆,得1AB AE A H AH AG ===, 于是,HG AG AH =-=在1Rt AGH ∆中,112cos 3HG AGH A H ∠==,即所求二面角的余弦值为23解法2、如图,在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1A G ⊥平面EBCF ,则1AG EF ⊥, 所以EF ⊥平面1A GH ,则1EF A H ⊥,图甲中有EF AH ⊥,又GH EF ⊥,则A G H 、、三点共线,设CF 的中点为M ,则1MF =,易证ABG EMF ∆≅∆,所以1BG MF ==,则AG =; 又由ABGAHE ∆∆,得1AB AE A H AH AG ===, A BE CDF图甲1A EFC1D图乙GMHHE 图丙于是,HG AG AH =-=在1Rt AGH ∆中,1AG ===作//GT BE 交EF 于点T ,则TG GC ⊥,以点G 为原点,分别以1GC GT GA 、、所在直线为x y z 、、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)G 、(1,1,0)E -、(2,2,0)F、1A ,则1(1,3,0)(EF EA ==-，(坐标系、坐标、向量各1分) 显然,1GA =是平面BEFC 的一个法向量,设(,,)n x y z =是平面11A EFD 的一个法向量,则130,0n EF x y n EA x y ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩,即3,x y z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,不妨取1y =-,则(3,1,n =-,设平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角为θ,可以看出,θ为锐角,所以,121|032cos 3||||23(1)GA n GA n θ⨯===+-,所以,平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值为2332．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在图(4)所示的长方形ABCD 中,AD=2AB=2,E 、F 分别为AD 、BC 的中点, M 、N 两点分别在AF 和CE 上运动,且AM=EN=a (0a <<把长方形ABCD 沿EF 折成大小为θ的二面角A-EF-C,如图(5)所示,其中(0,]2πθ∈图（5）图（4）MN FDC B E(1)当045θ=时,求三棱柱BCF-ADE 的体积;G EABCDFNMN 1M 1EA BC DFNMQEABC DFNM(2)求证:不论θ怎么变化,直线MN 总与平面BCF 平行; (3)当090θ=且2a =时,求异面直线MN 与AC 所成角余弦值.【答案】解:(1)依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ,DEA ∠=θ由45θ=得,12sin 4524ADE S DEEA ∆=⋅=, ∴BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=(2)证法一:过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M , 过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ,连结11M N , ∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF===∴11MM NN = ∴四边形11MNN M 为平行四边形,11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面【法二:过点M 作MG EF ⊥交EF 于G,连结NG,则,CN FM FGNE MA GE == //NG CF ∴,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面,同理可证得//MG BCF 面,又MG NG G =, ∴平面MNG//平面BCF∵MN ⊂平面MNG, //MN BCF ∴面】 (3)法一:取CF 的中点为Q,连结MQ 、NQ,则MQ//AC, ∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角,∵090θ=且2a =∴12NQ=,2MQ ==,2MN ∴=222cos 23QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅即MN 与AC 所成角的余弦值为3【法二:∵090θ=且a =分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-得cos ,AC MN ∴<>==所以与AC】 33．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））如图,在边长为4的菱形ABCD中,60DAB ∠=,点E,F 分别在边CD,CB 上,点E 与点C,点D 不重合,EF AC ⊥, EF AC O ⋂= ,沿EF 将CEF ∆折起到PEF ∆的位置,使得平面PEF ⊥ 平面ABFED(1)求证:BD ⊥平面POA (2)设AOBD=H,当O 为CH 中点时,若点Q 满足AQ QP ＝,求直线OQ 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】。

广东省12大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编3：三角函数 2-推荐下载

12.．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知函数
f (x) Asin(x )( A, 0,| | ) 的图像与 y 轴交于 (0,3 2) ,它在 y 右侧的第 2
一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 (m, 6) 和 (m , 6) . 2
递增;
C． f (x) 为奇函数,且在[1，0] 上单调递增; D． f (x) 为奇函数,且在[1，0] 上单
调递减.
y

A．1
二、填空题
cos
．（广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））若函数

x

6

N*
B．2
的一个对称中心是
9.．（广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））如图,已知平面上
(2)记
直线 l1//l2,A、B 分别是 l1、l2 上的动点,C 是 l1,l2 之间一定点,C 到 l1 的距离 CM = 1 , C 到 l2 的距离 CN= 3 ,ΔABC 内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c,a > b ,且 b.cosB
= a.cosA (1) 判断三角形 ΔABC 的形状;
ACM , f ( ) 1 1
AC BC ,求 f(θ)的最大值.
10.．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知 ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, sin(2C ) 1 ,且 a2 b2 c2 . 22 (1)求角 C 的大小;(2)求 a b . c
3 cos 2x 2sin x cos x,

2013年广州二模数学理科答案详解

1．集合N M x N x y y M x 则},44|{)},1lg(|{2<=+==等于（）A ．[)+∞,0B ．[)1,0C ．()+∞,1D ．(]1,0 2．15cot 15tan -的值是（）A ．3-B ．32C ．3D ．32-3．要得到函数)42sin(3π-=x y 的图象,可将函数x y 2sin 3=的图象沿x 轴（） A ．向左平移4π单位 B ．向右平移4π单位C ．向左平移8π单位D ．向右平移8π单位4．函数)(32R x y x ∈+=的反函数为（）A ．)3(23log 2>-=x x y B ．)3)(3(log 2>-=x x yC ．)3)(3(log 2>-=x x yD ．)3(23log 2>-=x xy 5．011<<ba 若，则下列不等式正确的个数是（）①||||b a > ②ab b a <+ ③2>+baa b ④b a ba -<22A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．过点（1，1）的直线l 与圆4)2(22=+-y x 相交于A 、B 两点，当弦AB 的长度最小时，直线l 的斜率为（）A ．2B ．－1C ．－2D ．1 7．等差数列{}1418161042,30,a a a a a a n -=++则中的值为（）A ．20B ．－20C ．10D ．－108．函数)(x f y =图象如右图所示,不等式0)()(>--x f x f 的解集是（）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．)0,1[-D ．]1,0(9．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，若a ，b ，c 成等比数列，且c =2a ，则cos B 等于（）A ．41B ．43 C ．42 D ．3210．已知△ABC 中，向量,0||||(=⋅+AC AB 满足与21||||=AC AB ，则△ABC 为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形11．已知点（x ，y ）在如图所示平面区域内运动（包含边界），目标函数.y kx z -=当且仅当54,32==y x 时，目标函数z 取最小值，则实数k 的取值范围是（）A ．)103,512(--B ．]103,512[--C ．)310,125(--D ．]310,125[--12．已知奇函数)(x f 的定义域为R ，且是以2为周期的周期函数，数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，则)()()(1021a f a f a f +++ 的值为（）A ．0B ．1C ．－1D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小数点题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13．不等式21≥-xx 的解集为 . 14．若),(,2||,1||b a a b a -⊥==则向量a 与b 的夹角为 . 15．已知αββαtan ,41tan ,52)tan(则==+= . 16．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做该数列的公积。