重庆市南开中学2020届高三第九次教学质量检测理科数学试题(详解版)
重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测数学(理)试题
重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测数学（理）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）A．B．C．D．2. 已知，则的值为（）A．1 B．C．D．813. 设复数：，其中为虚数单位，则（）A．B．C．D．4. 已知，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．5. 已知则，，则（）A．B．1 C．2 D．46. 据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男?子?伯，侯?公，共五级.若给有巨大贡献的3人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为（）A．B．C．D．7. P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线的方程为，，分别是双曲线的左?右焦点，若，则（）A．12 B．16 C．18 D．20m+n=360. x40 41 42 43 44y172 175 m n183若用此数据由最小二乘法计算得到回归直线，则实数（）A．82.5 B．83.5 C．84.5 D．85.59. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则（）A．B．4 C．D．10. 2020年5月5日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是一定流速的风流经桥面时，产生了卡门涡街现象.卡门涡街是流体力学中重要的现象，在自然界中常可遇到，在工业生产中也有很多成功的应用.比如在工业中广泛使用的卡门涡街流量计，就是利用卡门涡街现象制造的一种流量计.在流体中设置旋涡发生体(也称阻流体)，从旋涡发生体两侧交替地产生有规则的旋涡，这种旋涡称为卡门涡街.设旋涡的发生频率为f(单位：赫兹)，旋涡发生体两侧平均流速为(单位：米/秒)，漩涡发生体的迎面宽度为d(单位：米)，表体通径为D(单位：米)，旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为m，根据卡门涡街原理，满足关系式：，其中：称为斯特罗哈尔数.对于直径为d(即漩涡发生体的迎面宽度)的圆柱，，.设，当时，在近似计算中可规定.已知某圆柱形漩涡发生体的直径为0.01米，表体通径为10米，在平均流速为20米/秒的风速下，发生的频率为420赫兹，则（）A．0.15 B．0.32 C．0.21 D．0.3611. 已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．12. 如图，在棱长为1的正方体中，点M是线段上的动点，下列四个结论：①存在点M，使得平面；②存在点M，使得的体积为；③存在点M，使得平面交正方体的截面为等腰梯形；④若，过点M作正方体的外接球的截面，则截面的面积最小值为.则上述结论正确的是（）A．①②④B．①③C．②③④D．①②二、填空题13. 已知向量，的夹角为，，则_______________.14. 已知圆锥的母线长为，且母线与底面所成角为，则圆锥的体积为_______________.15. 已知，B分别是椭圆的左焦点和上顶点，点O为坐标原点.过点垂直于x轴的直线交椭圆C在第一象限的交点为P，且，则椭圆C的离心率为___________.三、双空题16. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为_______________，当时，函数的最大值是_______________.四、解答题17. 已知数列的前n项和，其中.（1）求数列的通项公式；（2）若为等比数列的前三项，求数列的通项公式.18. 如图，直三棱柱中，，，、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）若直线与所成的角为，求二面角的正弦值.19. 新型冠状病毒肺炎(简称新冠肺炎)是由严重急性呼吸系统综合症冠状病毒2感染后引起的一种急性呼吸道传染病，临床表现为发热?乏力?咳嗽和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，新冠肺炎疫情得到了控制.我国科研人员也在积极研究新冠肺炎的疫苗，在研究中利用小白鼠进行科学试验，为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现呼吸困难症状(记为H症状)的情况，决定对小白鼠进行接种试验，该试验的要求为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现H症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现H症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现H症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次H症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为X，求X的分布列及数学期望.20. 已知抛物线的焦点为F，B，C为抛物线C上两个不同的动点，(B，C异于原点)，当B，C，F三点共线时，直线BC的斜率为1，.（1）求抛物线T的标准方程；（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程.21. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程，并证明：；（2）当时，方程有两个不同的实数根，证明：.22. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）求曲线与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线与曲线交于，两点，求.23. 已知，.（1）若，求的最小值；（2）求证.。
南开中学高三数学模拟试卷(理科)(参考答案).doc
南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道 题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过 测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。
甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜ 皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以 而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。
重庆2020届高三调研测试数学(理)试题Word版含答案及解析
重庆2020届高三调研测试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。
用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 325.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 128.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B.C. D.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（ ）A. 9B. 7C. 6D. 5 11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（ ） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.14.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n N +=+∈，则通项公式n a =______.16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为______.三、解答题：共70分。
重庆南开中学2020学年度高2020级高三数学理科半期考试卷
重庆南开中学2020学年度高2020级半期考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知函数xx f -=21)(，其图象是下图中的 （ ）2．不等式0)3)(2)(1(2>+-+x x x 的解集是 （ ）A ．}21|{<<-x xB ．φC ．RD ．}12|{-<>x x x 或3．若1||||,>+∈b a R b a ，则使成立的充分不必要条件是（ ） A ．1||≥+b a B ．21||21||≥≥b a 且C ．1||≥aD ．b<－14．若△ABC 的内角A 满足sinA+cosA>0, tanA －sinA<0，则角A 的取值范围是 （ ）A ．)4,0(π B ．)1,0[ C ．)43,2(ππ D ．),4(ππ5．已知b a ,是非零向量且满足b a b a b a b a 与，则⊥-⊥-)2(,)2(的夹角是 （ ）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 6．数列1，n ++++++ΛΛ211,,3211,211的前n 项和为 （ ）A ．122+n nB ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n7．在直线y=－2上有一点P ，它到点A （－3，1）和点B （5，－1）的距离之和最小，则点P 的坐标是 （ ）A ．（3，－2）B ．（1，－2）C ．（419，－2） D ．（9，－2） 8．实数x ，y 满足不等式1102200+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥x y y x y x y ω，则的取值范围是（ ）A ．[－1，31] B ．]31,21[-C ．),21[+∞-D ．)1,21[-9．对于0<a<1，给出下列四个不等式：（1）)11(log )1(log aa a a +<+ （2）a a aa a a a a a aaa 111111)4(;)3();11(log )1(log ++++><+>+其中成立的是 （ ）A ．（1）和（3）B ．（1）和（4）C ．（2）和（3）D ．（2）和（4）10．已知xy y x N y x ，则，且19939319*,≤+∈的最大值是 （ ）A ．559B ．560C ．561D ．562二、填空题（每题4分，共24分）11．函数)23(log 221+-=x x y 的递增区间为12．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项是1，公比为3的等比数列，则a n = 13．函数]2,0[|,sin |3sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y=m 有且仅有两个不同的交点，则m 的取值范围是14．已知圆的方程为1)1(22=++y x ，如果直线0=++a y x 与该圆无公共点，那么实数a 的取值范围是15．方程6log 71)sin(21<<--=x x 在π的条件下解有 个.16．点O 在△ABC 内部，且满足22=++，则△ABC 面积与凹四边形ABOC的面积之比为三、解答题（共76分） 17．（13分）解关于x 的不等式：)0(,113)1(><--+a x x a18．（13分）圆822=+y x 内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.（1）求当43πα=时，弦AB 的长； （2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.19．（13分）已知△ABC 的面积为3， 且满足60≤⋅≤AC AB ，设AC AB 和的夹角θ. （1）求θ的取值范围； （2）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的最大值与最小值.20．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，na n+1=S n +n （n+1）（n *N ∈）. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设n nn s b 2=，如果对一切正整数n 都有t b n ≤，求t 的最小值.21．（12分）在沙坪坝交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离m （米）与车速v （千米/小时）须遵守的关系是225001kv m ≥（其中k （米）是车身长，常数），同时规定.2k m ≥ （1）当m=2k时，求机动车的速度变化范围； （2）设机动车每小时流量2250011000kv m m k v P =+=，此时，应规定怎样的车速，每小时的机动车流量P 最大？22．（12分）数列{a n }，a 1=1，*)(3221N n n n a a n n ∈+-=+，（1）求a 2，a 3的值；（2）是否存在常数μλ,，使得数列}{2n n a n μλ++是等比数列，若存在，求出μλ,的值；若不存在，说明理由；（3）设n n n n n b b b b S n a b ++++=-+=-Λ3211,21， 证明：当.35)12)(1(62<<++≥n S n n n n 时，参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1—5 BADCB 6—10 BADDC 选解：10．22)21993()29319(9319*,≤+≤⋅⇒∈y x y x N y x 561*,561]93195.996[93195.99622≤⇒∈=⨯⨯≤∴xy N y x xy ，又，而而561=3×11×17=33×17=51×11，20,100≤≤y x⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴115111511733y x y x y x ，经检验或满足题意，故5611151=⨯=xy 二、填空题（每小题4分，共16分） 11．（2，4） 12．)1,(-∞ 13．)13(21-n14．),21()21,(+∞+--∞Y 15．64 16．5:4三、解答题（共74分） 17．解：0)1)(2(012113)1(<--⇔<--⇔<--+x ax x ax x x a①当，时，1220><<a a 不等式的解为)2,1(ax ∈ ②当a=2时，a 2=1，不等式的解集为φ； ③当a>2时，a 2<1，不等式的解为)1,2(ax ∈时综上，不等式的解为：①0<a<2时，)2,1(a x ∈；②a=2时，φ∈x ；③a>2时，)1,2(ax ∈.18．解：（1）当43πα=时，直线AB 方程为：01=-+y x ，圆心到直线AB 的距离为222|100|=-+，∴弦AB 的长为：30)22(822=-（2）当弦AB 被点P 平分时，PO ⊥AB ，直线l 的斜率为21，其方程为052=+-y x 19．解：（1）设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 则由，，可得，1cot 06cos 03sin 21≤≤≤≤=θθθbc bc ∴]2,4[ππθ∈ （2）θθπθθπθ2cos 3)]22cos(1[2cos 3)4(sin 2)(2-+-=-+=f .1)32sin(212cos 32sin 2cos 3)2sin 1(+-=+-=-+=πθθθθθ31)32sin(22],32,6[32]2,4[≤+-≤∴∈-∈πθπππθππθ，Θ 即当.2)(4;3)(125min max ====θπθθπθf f 时，当时，20．解：（1）由 )1()1( )1(11n n S a n n n s na n n n n -+=-⇒++=-+两式作差得：2n;2,2 2111=∴=+=+=++n n n n n a a a a n na na ，又即 （2）由（1）易得n n n n n n n S b n n S 2)1(2)1(+==⇒+=， ∴112)2)(1(-+-+=-n n n n n b b ∴b 1<b 2=b 3>b 4>……，∴b n 最大值23,32即b b ，对一切正整数n 都有，t b n ≤即t 大于或等于b n 的最大值，∴t 的最小值是23. 21．解（1）2252500122≤∴≥=Θv kv k m ，故当22502≤<=v km 时，（千米/小时） （2）当231000225k vP v =≤时，P 是v 的一次函数，v=225，P 最大为k3250000，当k v v k kvk v P v 25000|25001|1000250010002252≤+=+=>时，， 当且仅当v=50时，P 最大为k25000， kk 325000025000>Θ∴当v=50（千米/小时）时，每小时机动车流量P 最大. 22．解：（1）10,432==a a（2）设)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n μλμλ++=+++++-=++可化为，即 μλλμλ---++=+n n a a n n )2(221故 ⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=110321μλμλλμλ解得∴)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n +-=+++-+-=++可化为 又1,1 01121=-=≠+-μλ故存在a 使得数列 }{2n n a n μλ++是等比数列 （3）证明：由（1）得12122)11(-⋅+-=+-n n a n n a ∴n n a n n -+=-212故21121n n a b n n n =-+=-∵122122144441222+--=-<==n n n n n b n ∴)122122()7252()5232(12321+--++-+-+<++++=≥n n L b L b b b S n n n 时，35122321<+-+=n 现证)2()12)(1(6≥++>n n n nS n当n=2时，5445545312)12)(1(64541121>=⨯=++=+=+=，，而n n n b b S n ， 故n=2时不等式成立， 当111)1(1132+-=+>=≥n n n n n b n n 时，由得 1261 6121111 )111()4131()3121()211(321+>>++=+-=+-+Λ+-+-+->+Λ+++=n n n n n n n b b b b S n n 得，且由∵)12)(1(61++>+>n n n n n S n。
重庆市南开中学2020届高三第九次教学质量检测理科综合试题(图片版)
巾）＼忖j 开I I 1 1\；i 身）．（以（）级商，气倌贞1次攸平）d1t 1l 才们IJlI 刚科综合能丿丿测试I ｀J 一、丿2020. (, I ．卜试息分沁I 岱伈沽I I 卷两部分，，满分I (）（）分，忭试II 寸1.II I l 50分仲，I 、.t,l 什芩时，i村将怜案S h 怂N，叶I I .I 必汕在跳1；);/，j 11小的切l A J札竹忍，超出答肋区域书订的无效，在试颖卷、八稿纸I答烟尤效。
3.低缸t 题．片J··、!,i .．．）kt熄．I l .．K ．什．咎，）（丿IJ 2114{\ 4L (r”JIJl j:· I .把所选肋f l 的题）；14,“(可能丿�j到的相对原j ·丿1Ji l 1l:lll l.i7 N14 01() S 3 2 (; 1 3 5. 5 l I.,，5 6 1,I, 207 第［卷（共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列关J 实验说法错误的是A .“观察叶绿体”的实验材料可以川波菜略陟叶肉的I :N皮B .“质照分离与复原“实验中，腹啖分离停止时，细胞液渗透丿飞勺外界溶液惨透压,HI 笘c .“低温诱导染色体加倍＂的实验中，卡诺氏液固定后，川消水冲洗根尖n.“观察D NA和R N A在细胞中的分布＂的实验步骤为“制片水解－冲洗－染色－观察”2．细胞核是系统的控制中心，下列关千细胞核的说法正础的是A．细胞核中的DNA在行使其功能时衙要蛋白质的参与B ．战因表达发生于核糖体，需要的原料为氨基酸．核孔是大分子物质如DNA、RNA、蛋白质进出的通追D .环度分化的儿核细胞均具有全能性3．下列关j :H i 物激素的说法错误的是A．植物体内没什分泌激素的腺体B．植物激素具有如耽效的特点C.生长素只能从形态学的1今瑞运往形态学的下端D.秋季沼叶勺脱落酸的调节介关4从同学将甲、乙内只咋(k l徐丿劓川朵I Y I 咋）的I L 、m ,）技I I i l\,,虹I趾瑞（简你在、右后趾）分别没＼0.5c.!硫酸溶液中，均出现屈肌反射（缩腿））下列义J 丿II ！肌仅射说齿l 确的足A .剥去巾的左后趾）支队，川0.5％吮陨刺激人丿II 仇I.未出l册）t llJllL 反射，勺效）应器受损仆·`B ．分离甲的右后肢坐什神经，电刺激喂I I �神·?，（dl股收细，llI i妒l A i'}神经1戍j ·传入神经c ．捣毁乙的许悯，电刺激腿部肌肉出现缩｝胀，则什Il机）tI廿l l l 反射的神卜中枢，k （上旧l )屈肌反射发生时，兴奋（1.神纾纤f (i L的（伈凇吓l 的，�i.I_ I 悄杠仙陈代谢所产生的能从5人「制作的生态缸队队凇观生态系统，I I }观东且柲定性。
2023届重庆市南开中学高三第九次质量检测数学试题及参考答案
2023届重庆市南开中学高三第九次质量检测数学试题及参考答案一、单选题1.已知集合(){}2,x y y x A ==，集合(){}x y y x B -==1,，则集合A ∩B 的元素个数为（）A.1B.2C.3D.42.已知直线l 的一个方向向量为⎪⎭⎫⎝⎛=3cos ,3sin ππp ，则直线l 的倾斜角为（）A.6πB.3π C.32π D.34π3.已知a,b 为实数，则使得“0>>b a ”成立的一个充分不必要条件为（）A.ba 11> B.()()1ln 1ln +>+b a C.33ba > D.11->-b a 4.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是()36536501.1%11=+；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是()36536599.0%11=-.一年后“进步”的是“退步”的148199.001.199.001.1365365365≈⎪⎭⎫⎝⎛=倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（4771.03lg 3010.02lg ≈≈，）A.20B.21C.22D.235.哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB 和连个圆弧C A 、C B围成，其中一个圆弧的圆心为A ，另一个圆弧的圆心为B ，圆O 与线段AB 及两个圆弧均相切，若2=AB ，则=⋅OB OA （）A.167-B.72-C.34-D.74-6.将函数()x x x f sin 3sin +⎪⎭⎫⎝⎛+=π的图像向左平移()0>a a 个单位后的函数图像关于y 轴对称，则实数a 的最小值为（）A.6π B.4πC.3π D.2π7.若()()*∈-Nn mx n1的展开式中所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对()n m ,共有（）组不同的解.A.1B.2C.3D.48.已知O 为坐标原点，椭圆()012222>>=+b a b y a x E ：，平行四边形OACB 的三个顶点C B A ,,在椭圆E 上，若直线AB 和OC 的斜率乘积为21-，四边形OACB 的面积为263，则椭圆E 的方程为（）A.14822=+y x B.13622=+y x C.12422=+y x D.1222=+y x 二、多选题9.下列命题正确的有（）A.空间中两两相交的三条直线一定共面B.已知不重合的两个平面βα，，则存在直线βα⊂⊂b a ,，使得b a ,为异面直线C.过平面α外一定点P ，有且只有一个平面β与α平行D.已知空间中有两个角222111C B A C B A ∠∠，，若直线11B A ⊥直线22B A ，直线11C B ⊥直线22C B ，则222111C B A C B A ∠=∠或π=∠+∠222111C B A C B A .10.学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品.小明同学决定每隔9天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了5次，他发现这5次的日期中没有星期天，则小明同学在这5次中第一次去北园食堂可能是（）A.星期一B.星期三C.星期五D.星期六11.某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5道题方能结束测试.若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为A ；若连续做错3道题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为C ；其它情形评定能力等级为B .已知小华同学做对每道题的概率均为32，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（）A.小华能力等级评定为A 的概率为24364B.小华能力等级评定为B 的概率为243158C.小华只做了4道题目的概率为92D.小华做完5道题目的概率为271612.已知函数()()0≠+=ab xbax x f ，则下列说法正确的有（）A.0≠∀ab ，函数()x f 是奇函数B.0≠∃ab ，使得过原点O 至少可以作()x f 的一条切线C.0≠∀ab ，方程()()2sin sin +=x f x f 一定有实根D.0≠∃ab ，使得方程()[]()[]x f x f cos sin =有实根三、填空题13.已知复数z 满足()11=--i z （i 是虚数单位），则z 的最大值为.14.{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ，若155=S ，1263,,a a a 成等比数列，则=20332033a S .15.函数()x x x f sin 22cos +=（[]π2,0∈x ）的值域为.16.若函数()()0313>-=a ax x f 与函数()cx x x g 322-=的图像恰有三个不同交点，且交点的横坐标构成等差数列，则实数a 的取值范围是.四、解答题17.在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边分别为c b a ，，，已知02cos 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+B a A b ππ（1）求角A 的大小；（2）点D 为边BC 上一点（不包含端点），且满足ACB ADB ∠=∠2，求BCDC的取值范围.18.移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.下图是2018-2022年移动物联网连接数w 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5.（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）求w 关于t 的线性回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.附：样本相关系数()()()()∑∑∑===----=ni in i ini i iw w t t ww t tr 12121，()()()∑∑==---=ni ini i ittww t tb121ˆ，t b w a⋅-=ˆˆ，7.411740≈.19.已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 和侧面11A ABB 都是边长为2的菱形，平面ABCD ⊥平面11A ABB ，D B B A 11⊥.（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）若︒=∠601AB A ，求二面角B C B A --1的余弦值.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S a n n 223+=，*∈N n .（1）证明：数列{}2+n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设22log 3+=n n a b ，证明：121253111111111+->⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n b b b b b .21.已知点()10，F ，动点M 在直线1-=y l ：上，过点M 且垂直x 轴的直线与线段MF 的垂直平分线交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的标准方程；（2）过F 的直线与曲线C 交于B A ，两点，直线OB OA ，与圆0222=-+y y x 的另一个交点分别为E D ，，求DOE ∆与AOB ∆面积之比的最大值.22.对于定义在D 上的函数()x F ，若存在D x ∈0，使得()00x x F =，则称0x 为()x F 的一个不动点.设函数()()x x a e x x f x+--=ln 1，已知()100≠x x 为函数()x f 的不动点.（1）求实数a 的取值范围；（2）若Z k ∈，且a kx <0对任意满足条件的0x 成立，求整数k 的最大值.（参考数据：693.02ln ≈，1.13ln ≈，95.132≈e ，39.72≈e ，48.423≈e）参考答案一、单选题12345678BADDACDB1、解析：由⎪⎩⎪⎨⎧-==xy x y 12，消去y 得012=-+x x ，即012=-+x x ，解得251+-=x 或251--=x （舍去），∴251+-=x 或251+--=x 即函数2x y =与x y -=1有两个交点，，所以集合A ∩B 的元素个数为3个.2、由题意可得：直线l 的斜率6tan 333sin3cosπππ===k .3、对于A ，如果b a 11>，例如1,2-=-=b a ，则121->-，不能推出0>>b a ，如果0>>b a ，则必定有ba 11<，既不是充分条件也不是必要条件，错误；对于B ，如果()()1ln 1ln +>+b a ，根据对数函数的单调性可知11+>+b a ，∴b a >，但不能推出0>>b a ，例如5.0,1-==b a ，不是充分条件，错误；对于C ，如果33b a >，因为3x y =是单调递增函数，∴b a >，不能推出0>>b a ，不是充分条件，错误；对于D ，如果11->-b a ，则必有01>≥>b a ，是充分条件，如果0>>b a ，例如5.0,1==b a ，则不能推出11->-b a ，∴是充分不必要条件，正确.4、解析：设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的10000倍，则()xx2.12.0110000=-⨯，即100008.02.1=⎪⎭⎫ ⎝⎛x，∴231761.042lg 3lg 423lg 48.02.1lg 10000lg 10000log 8.02.1≈≈-====x .5、解析：若2=AB ，则圆弧BC AC 、的半径为2，设圆O 的半径为r ，则r OA -=2，过O 作AB OD ⊥，则r OD =，1=AD ，ODA RT ∆中，222AD OD OA +=，即()1222+=-r r ，解得43=r ，则有45=OA ，AOB ∆中，由余弦定理得25745452245452cos 222222-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠BO AO AB BO AO AOB ，∴167257452-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠⋅=⋅AOB OB OA .6、解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=6sin 3cos 23sin 23sin 3sin cos 3cossin πππx x x x x x x f ，将函数()x f 的图像向左平行移动a 个单位后的函数记为()x g ，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin 3πa x x g ，而函数()x g 的图像关于y 轴对称有()30±=g ，∴16sin ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πa ，∴()Z k k a ∈+=+πππ26，∴()Z k k a ∈+=ππ3，∵0>a ，∴实数a 的最小值为3π.7、解析：根据二项式系数的性质知：由第6项的二项式系数最大知n 的可能取值为11,10,9，由题意得：令1=x ，有()nnm 21=-，当11,9=n 时，3=m ；当10=n 时，3=m 或1-，故有序实数对()n m ,共有4组不同的解，分别为()()()()10,310,111,39,3，，，-.8、解析：在AOB ∆中，()11y x OA =，()22,y x OB =，222221212121cos y x y x y y x x OB OA AOB +⋅++==∠，而()π，0∈A ∴2222212121212cos 1sin y x y x x y y x AOB AOB +⋅+-=∠-=∠，∴212121x y y x AOB S AOB -=∠=∆.设()ααsin ,cos b a A ，()ββsin ,cos b a B ，由题意可知：OB OA OC +=，∴()βαβαsin sin ,cos cos b b a a C ++，将C 坐标代入椭圆方程有()()()()21cos sin sin cos cos 221sin sin cos cos 22-=-⇒++==+++βαβαβαβαβα则()23sin =-βα，∴四边形OACB 的面积为()βααββα-=⋅-⋅==∆sin sin cos sin cos 2ab b a b a S S AOB ，即26323=ab ，又根据AB 和OC 的斜率乘积为21-知22222222222222sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin ab a b a b a a b b a a b b -=--⋅=--⋅=++⋅--αββαβαβαβαβαβαβα∴2122=ab ，解得：3,622==b a .二、多选题9101112BCBDABCAD9、解析：选项A ：空间中两两相交的三条直线可以共面也可以不共面，错误；选项B ：已知不重合的两个平面βα，，则βα∥或βα，相交，两种情况均存在直线βα⊂⊂b a ,，使得b a ,为异面直线，正确；选项C ：过平面α外一定点P ，有且只有一条直线m 与平面α垂直，过点P 有且只有一个平面β与直线m 垂直，则βα∥.正确；选项D ：在如图正方体中，直线11B A ⊥直线22B A ，直线11C B ⊥直线22C B ，由32222111ππ=∠=∠C B A C B A ，可得222111C B A C B A ∠≠∠，且π≠∠+∠222111C B A C B A ，错误.10、解析：若第一次是星期一，则第二次是星期四，第三次星期日，不符合题意，A 错误；若第一次是星期三，则第二次是星期六，第三次星期二，第四次星期五，第五次星期一，符合题意，B 正确；若第一次是星期五，则第二次是星期一，第三次星期四，第四次星期日，不符合题意，C 错误；若第一次是星期六，则第二次是星期二，第三次星期五，第四次星期一，第五次星期四，符合题意，D 正确.11、解析：小华能力等级评定为A ，则需要连续做对4道题，所以2436432313244=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛=A P ，A 正确；小华能力等级评定为C ，则他连续做错3道题目，有四种情况，则817313231313231323132233=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛=C P .由题意小华能力等级评定为B 的概率为2431588172436411=--=--=C A B P P P ,B 正确；小华只做了4道题目有两种情况，一是4道题全对，二是第1题对了，后面3道题全错，其概率为92313232344=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛=p ，C 正确；小华做对3道题目结束测试的概率为2713133=⎪⎭⎫⎝⎛=P ，小华做完5道题目的概率为27201435=--=P P P ，D 不正确.12、解析：函数()()0≠+=ab xbax x f ，定义域()()+∞⋃∞-,00,，且()()()x f xbax x b x a x f -=--=-+-=-，∴函数()x f 是奇函数，A 正确；设直线kx y =，联立方程：kx x b ax =+，得()02=--b x a k ，0≠-a k ，()04≠-=∆a k b ，直线kx y =不可能是()x f 的一条切线，B 错误；若()()21x f x f =，21x x ≠，则2211x bax x b ax +=+，得a b x x =21，即()a b x x =+2sin sin ，由x sin 的有界性，显然()abx x =+2sin sin 不一定有解，C 错误；当()4ππ+=k x f ，Z k ∈，显然.b a ，∃，使得方程()[]()[]x f x f cos sin =有解，D 正确.三、填空题13、12+解析：∵复数z 满足()11=--i z ，∴复数z 的对应点Z 到点()11-，A 的距离为1，即点Z 的轨迹为以()11-，A 为圆心，半径1=r 的圆，∴z 的最大值为()1211122+=+-+=+r OA .14、1012解析：设等差数列的公差为()0≠d d ，∵155=S ，则()15525351==+a a a ，∴33=a .∵1263,,a a a 成等比数列，∴12326a a a ⋅=，即()()d d 933332+⨯=+，解得1=d 或0=d （舍去），∴3213=+=d a a ，解得11=a ，∴()202311202312023=⨯-+=a ，∴()10122023220231202320332033=+⨯=a S .15、⎥⎦⎤⎢⎣⎡231，解析：()x x x x x f sin 2sin 21sin 22cos 2+-=+=，[]()π2,0∈x 令t x =sin ，则[]1,0∈t ，则()x f 的值域转化为()1222++-=t t t g ，[]1,0∈t 的值域，()232122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=t t g ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t g ，所以函数()x f 的值域为⎦⎤⎢⎣⎡231，.16、⎪⎭⎫ ⎝⎛310，解析：函数()313-=ax x f 与函数()cx x x g 322-=的图像有三个不同交点，等价于函数()()()313223-+-=-=cx x ax x g x f x h 有三个不同的零点，即()x h 的图像与x 轴有三个不同交点，由()c x ax x h 32232+-='，故必有方程032232=+-c x ax 有两个不同的实数根，则0>a ，084>-=∆ac ，∴21<ac .三次函数的图像是中心对称图形，由()x h 的图像与x 轴三个不同交点的横坐标构成等差数列，则()x h 的图像的对称中心一定在x 轴上，()c x ax x h 32232+-='，令()c x ax x 32232+-=ϕ，令()026=-='ax x ϕ得ax 31=，则函数()x h 图像的对称中心横坐标为a 31，当031=⎪⎭⎫⎝⎛a h 时符合题意，0313********3=-⋅+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a a a ，化简整理即有2926a ac +=，故3922<+a ，∴912<a 且0>a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛310，.四、解答题17、解：（1）由02cos 3sin =⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+B a A b ππ，结合正弦定理可得：0sin 21cos 23sin 0sin sin cos 23sin 21sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A B B A A A B ，∵()π，0∈B ，∴0sin ≠B ，即A A sin 21cos 23=，∴3tan =A ，而()π，0∈A ，∴3π=A ；（2）由ACB ADB ∠=∠2知：CD AD =，∴AC <，即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈30π，C 在ABD ∆中，C B -=32π，C BAD -=∠3π，由正弦定理可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C C CDBD C CD C BD 32sin 3sin 32sin 3sin ππππ，∴C CC C C CB CD tan 32121cosC 3sin 21cosC 2332sin 3sin 32sin ⋅+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ，由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈30π，C 可得()3,0tan ∈C ，∴⎪⎭⎫⎝⎛∈121，BC DC .18、解（1）由图可知，两个变量线性相关.由已知条件可得：3554321=++++=t ，155241913127=++++=w ，∴()()41184031651=++++=--∑=i i iw w t t，()17481164964512=++++=-∑=i iw w ，()1041014512=++++=-∑=i it t ，∴相关系数98.07.4141174041≈≈=r ，因此，两个变量具有很强的线性相关性.（2）结合（1）可知，1.41041==b ，7.231.415=⨯-=⋅-=t b w a，∴回归方程为：7.21.4+=t w，当7=t 时，有4.317.271.4=+⨯=w，即预测2024年移动物联网连接数为31.4亿户.19、解（1）连接A B 1，作AB H A ⊥1于H .∵11A ABB 是菱形，∴B A A B 11⊥，又∵D B B A 11⊥，111B D B A B =⋂，⊂D B A B 11，面1DAB ，∴B A 1⊥面1DAB ，而⊂AD 面1DAB ，∴B A 1⊥AD ，又平面ABCD ⊥平面11A ABB ，平面ABCD ∩平面11A ABB AB =，∴H A 1⊥平面ABCD ，又∵⊂AD 平面ABCD ，∴H A 1⊥AD ，11AB H A ，相交，且11AB H A ，⊂面11A ABB ，∴AD ⊥平面11A ABB ，⊂AB 平面11A ABB ，∴AB AD ⊥，而ABCD 为菱形，∴四边形ABCD 为正方形.（2）在︒=∠601AB A 时，易知H 为AB 的中点，如图，以H 为中心建立空间直角坐标系，则()001，，A ，()3021，，-B ，()0,2,1-C ，()0,0,1-B ，()0,22-=，CA ，()3211，，--=CB ，()0,20-=，CB ，设平面C AB 1的一个法向量为()z y x m ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CB m CA m ，即⎩⎨⎧=+--=-032022y x y x ，令1=x ，则31==z y ，，故()3,1,1=m 设平面C BB 1的一个法向量为()r q p n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CB n CB n ，即⎩⎨⎧=+--=-03202r q p q ，令1=r ，则3=p ，0=q ，解得()1,0,3=n.则5152532=⨯==n m 又∵B C B A --1为锐二面角，∴B C B A --1的余弦值为515.20、解：（1）∵()n S a n n 223+=，……①∴当1=n 时，()22311+=S a ，解得41=a ，当2≥n 时，()222311-+=--n S a n n ，……②①-②得：431+=-n n a a ，∴()2321+=+-n n a a ，∴{}2+n a 是以首项为6，公比为3的等比数列，即1362-⨯=+n n a ，∴2361-⨯=-n n a .（2）由（1）可得n a b n n n n ==⨯=+=-3log 236log 22log 3133，即证：()12121151131111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n 令()=n f 121111111112531+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n b b b b n ，则()()3212221+⋅++=+n n n n f n f ，∵()()()3212222++>+n n n ，∴()()n f n f >+1，∴()n f 单调递增，即()()1321>=>f n f ，即121253111111111+->⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n b b b b b .21、解：（1）过点M 且垂直x 轴的直线与线段MF 的垂直平分线交于点P ，则PF PM =，则点P 到直线1-=y 和定点()10，F 距离相等，则P 的轨迹为()10，F 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线，则曲线C 的标准方程为：y x 42=.（2）设()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x D ，()44,y x E ，∵2143x x x x OB OA OE OD S S AOB DOE ==∆∆令直线x k y l OA 1=：，111x y k =；x k y l OB 2=：，222x y k =；由⎩⎨⎧==-+x k y y y x 12202得211312k k x +=；由⎩⎨⎧==-+xk y y y x 22202得222412k k x +=，∴()()222121212143114kk x x k k x x x x ++=.令1+=kx y l AB ：，与y x 42=联立得：0442=--kx x ，∴421-=x x ，k x x 421=+，则121=y y ∴41212121-==x x y y k k ，代入得：()2221214344171k k x x x x ++=，又∵212212221=≥+k k k k ，∴()2544417122212143≤++=k k x x x x ，当且仅当21,2121-==k k 时取等号，∴DOE ∆与AOB ∆面积之比的最大值为254.22、解：（1）依题意，方程()0ln 1=--x a e x x在()∞+，0内有根0x ，且10≠x ，令()()x a e x x g xln 1--=，()()+∞⋃∈,11,0x ，求导得()xa e x x a xe x g x x-=-='2，1°当0≤a 时，()0>'x g 在()()+∞,11,0，上都递增，而()01=g ，因此函数()x g 在()()+∞,11,0，上无零点，当0>a 时，令()a e x x h x-=2，()()+∞⋃∈,11,0x ，()()022>+='xe x x x h ，则函数()x g '在()()+∞,11,0，上都递增，①当e a <<0时，当1>x 时，()()01>-='>'a e g x g ，函数()x g 在()+∞,1上递增，无零点，当10<<x 时，()00<-=a h ，则存在()1,01∈x ，使得()01=x h ，则()01='x g ，当()1,0x x ∈时，()0<'x g ，()x g 递减，在()11，x x ∈时，()0>'x g ，()x g 递增，()()011=<g x g ，而1-<-ae，有11<<--e e a e，e e a e<-，0ln 1>-+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------ae a eae ee ae ae e ae ae eee ea e e e g ，因此存在()10,0x x ∈，使得()00=x g ，即函数()x g 在()1,0上有零点0x ，则e a <<0，②当e a >时，当10<<x 时，()()01<-='<'a e g x g ，函数()x g 在()1,0上递减，()()01=>g x g ，无零点，当1>x 时，()()01>-='aea a h ，则存在()+∞∈,12x ，使得()02=x h ，即()02='x g ，当()2,0x x ∈时，()0<'x g ，()x g 递减，在()∞+∈，2x x 时，()0>'x g ，()x g 递增，()()012=<g x g ，()()a a e a a g a ln 1--=，令()()e a a a e a a a >--=，ln 1ϕ，求导得()a ae a aln 1--='ϕ，令()e a a ae a y a>--='=，ln 1ϕ，则()011>-+='ae a y a，即函数()a ϕ'在()+∞,e 上单调递增，()()02>-⋅='>'e e e e a ϕϕ，函数()a ϕ在()+∞,e 上单调递增，()()()01>--=>e e e e a e ϕϕ因此存在()a x ,10∈，使得()00=x g ，即函数()x g 在()+∞,1上有零点0x ，则e a >，∴实数a 的取值范围是()()+∞⋃,,0e e .（2）依题意，()0ln 1000=--x a ex x ，于是()00ln 10x e x a x-=，即()000ln 10x e x kx x-=，∵()()+∞⋃∈,11,00x ，取210=x ，有38.22ln ≈<e k ，因此k 取2，下证：()000ln 120x e x x x-<对任意()()+∞⋃∈,11,00x 成立，令()01ln >+-=x x x x u ，，()11-='xx u ，当()1,0∈x 时，()0>'x u ，()x u 递增；当()∞+∈，1x 时，()0<'x u ，()x u 递减，0>∀x ，()()01=≤u x u ，即1ln -≤x x 对0>x 恒成立，当()∞+∈，10x 时，()000ln 1x xe x e x >-，令()12>-=x x e x v x，，则()02>-='xe x v ，函数()x v 在()∞+，1上递增，()()021>-=>e v x v ，即020x ex >，从而()000ln 120x e x x x-<成立，当()1,00∈x 时，只需证：()00001ln 2x e x x x->成立，令()()10,ln 21<<--=x x x e x x H x，只需证()0<x H ，()2ln 2--='x xe x H x ，令()102ln 2<<--=x x xe x t x ，，则()()xe x x t x 21-+='，显然()()xe x x t x21-+='在()1,0上递增，059353204232132>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'e t e t ，，即存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,213x ，使()03='x t ，且当()3,0x x ∈时，()0<'x t ，()x H '递减；当()13，x x ∈时，()0>'x t ，()x H '递增，()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+--='≥'212ln 23333333x x e x x x e x x H x H ，整理得()2ln 2122ln 2333333--+=--='x x x e x x H x ，∵函数2ln 212--+=x x y 在()1,0∈x 递减，∴()0542ln 23ln 2322ln 23333>--=⎪⎭⎫⎝⎛'>--='H x ex x H x ，∴()0>'x H 在()1,0∈x 恒成立，即()x H 在()1,0上递增，显然，()03312.0323ln43232<-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<e H x H ，所以成立.因此，整数k 的最大值为2.。
重庆市南开中学高2020级高三下学期期中考试数学(理)试题及答案
重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()(2)a i i +-为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1 2．已知集合{1,2,3}A =，{|,}B a b a A b A =+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．643．已知曲线2()ln f x a x x =+在点(1,1)处的切线与直线0x y +=平行，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．1C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若612S =，25a =，则5a =（ ） A ．3- B ．1- C ．1D ．35．已知0.31.2a =，0,3log 1.2b =， 1.2log 3c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（ ）A ．1B 5C 6D ．227．函数2()sin cos cos 22f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0D ．128．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，,A B 是抛物线C 上两点，且||||10AF BF +=，O 为坐标原点，若OAB △的重心为F ，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．执行如图所示的程序框图，若输入的3ε=，则输出的结果为（ ）A ．511B ．1022C ．1023D ．204610．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显1()(1)k P Y k p p -==-，1,2,3k =，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2,3k =，…，那么()E Z =（ ）A ．11(1)p p -- B ．21p C ．11(1)p p +- D ．21(1)p -1l ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于,A B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．32212．已知,,,A B C D 四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．2πC ．94πD ．83π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知,a b r r 均为单位向量，且(3)(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r夹角的余弦值为______．14．已知()*nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为_____．15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =，D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 所成角的大小为______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时1||()2x f x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1||f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；其中所有正确结论的编号______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导． （一）必考题：共60分． 17．如图，在ABC △中，1sin 3B =，点D 在边AB 上．（1）若sin()1C A -=，求sin A 的值；（2）若90CDA ∠=︒，4BD DA =，求sin ACB ∠的值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD P ，且22CD AB ==，22BC =90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30︒，求直线PC 与平面PDM 成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，微博橙子辅导连续⑧天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数． 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①$2y bx a =+，②$y dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差$i i i e y y =-）， 且经过计算得()()()8182117.3iii i i xxy y x x==--≈-∑∑，()()()818211.9iii i i zzy y z z==--≈-∑∑，其中2i i z x =，8118i i z z ==∑．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未釆取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()() ()81821ˆi iiiix x y ybx x==--=-∑∑，$a y bx=-$．20．已知函数()3(1)lnf x x a x=-+，2()4g x x ax=-+．（1）若函数()()y f x g x=+在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数()()y f x g x=-的图像与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的离心率为22，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点,A B均在椭圆Γ上，点C在抛物线212y x=上，若ABC△的重心为坐标原点O，且ABC△的面积为364，求点C的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin24πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭C的极坐标方程为2sin cosρθθ=．（1）写出直线l和曲线C的的直角坐标方程；（2）过动点()()20000,P x y y x<且平行于l的直线交曲线C于,A B两点，若||||2PA PB⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离． 23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|1||1|2|2|f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a …有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()||4f x x b --…对任意x R ∈成立，求实数b 的取值范围．重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）答案一、选择题B C A B D C A D B A B C 二、填空题15560 30︒ ①②③ 三、解答题17．解：（1）由sin()1C A -=得2C A π-=，1sin sin()sin 2cos223B A C A A π⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭，由2112sin 3A -=得sin A =；（2）设4DB m =，DA m =，由1sin 3B =得CD =，BC =，AC = ABC △中，sin sin AC ABB ACB=∠，sin ACB ∠=．18．证明：（1）易知：tan tan 1CD BM DMC MAB DMC MAB CM BA ==⇒∠=∠⇒∠=∠， 90DMC AMB DM AM ∴∠+∠=⇒⊥︒①又PA ⊥Q 平面ABCD PA DM ⇒⊥② ∴由①②可得DM ⊥平面PAM ⇒平面PAM ⊥平面PDM ；（2）由（1）知二面角P MD A --的平面角即为30PMA ∠=︒，13PA MA ∴==． 取CD 中的N ，连接AN ，易得AN CD ⊥，∴直线PA NA BA 、、两两垂直， 以A 为原点，AN AB AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,1)P，1,0)D -，C，M，(1,1)CP =--u u ur 2,0)MD =-u u u ur (1,1)MP =-u u u r，设平面PMD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由0m MP m m MD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u r u u u u r，设直线PC 与平面PMD 所成角为θ，则sin 30||||CP m CP m θ⋅===⋅u u u r u r u u u r u r ，∴直线PC 与平面PMD所成角的正弦值为30． 19解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为$2y bx a =+，令2z x =，则$y bz a =+，由题知 1.9b ≈$， 又1(1491625364964)25.58z =+++++++=，1(481631517197122)508y =+++++++=，$ 1.55a y bz ∴=-≈$，y ∴关于x 的回归方程为$21.9 1.55y x =+；（3）估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为$21.99 1.55155.45155y =⨯+=≈（人）．20．解：（1）1()()32a y f x g x y x a x+'=+⇒=-+-，由()()y f x g x =+单增得0y '≥恒成立，分离参数得2132321111x x x x a x x+-+-≤=++恒成立，令2321()1x x m x x +-=+，(0)x >，则22244()(1)x x m x x ++'=+，()0m x '∴>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=-，1a ∴≤-；（2）设2()()()3(1)ln 4n x f x g x x a x x ax =-=-+-+-，则1()32a n x x a x+'=--+， 设函数()y n x =的图像与x 轴相切于0x x =处，则()()2000000003(1)ln 401320n x x a x x ax a n x x a x ⎧=-+-+-=⎪+⎨'=--+=⎪⎩①②由②得：[]000002(1)(1)13201x a x a x a x x x -+-+--+=-=⇒=或012a x +=，当01x =时，由①得：2a =③；当012a x +=时，由①得：2000022ln 40x x x x ---=，令2()22ln 4h x x x x x =+--，则：()2(ln )h x x x '=-，2(1)()x h x x-''=， ()h x '∴在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)20h x h '==>， ()h x ∴在(0,)+∞单调递增，又(1)50h =-<Q ，()()222640h e e e =-->， ()0h x ∴=只有一解0x ，且()201,x e ∈，()20211,21a x e =-∈-④，由③④可知：满足条件的实数a 有两个：12a =，()221,21a e ∈-．21解：（1）由题意易知：2212a a b b a=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩椭圆22:12x y Γ+=； （2）()22222122202:x y m y mty t AB x my t⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设，()22820m t ∆=-+>①设()11,A x y ，()22,B x y ，则由题知()12222C mty y y m ∴=-+=+，()()12122422C tx x x m y y t m -=-+=-++=⎡⎤⎣⎦+ 由C 点在抛物线212y x =上得：2222214222221mt t m m m t -⎛⎫=⋅⇒=- ⎪+++⎝⎭②12t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ ()()()12211221123333222ABC ABO S S x y x y my t y my t y t y y ==-=+-+=+△△==⇒=③ 将②代入③整理得：2[(21)]4(21)301t t t t t +-++=⇒=-或32-，相应的22m =或1，所以1,2C ⎛⎫±⎪⎝⎭或(2,1)C ±． 22．解：（1）直线:2l y x =+，曲线2:C y x =；（2）过P 平行于l 的直线的参数方程为002222x x t y y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 联立曲线2:C y x =得：22000122022t y t y x ⎛⎫+-+-= ⎪⎭，001220(*)2x y ∆=-+>，所以()22212000000||||2221PA PB t t y x x y y x ⋅==-=-=⇒=-，∴点P 的到直线l 的距离：2000032112822y y x y d -+-+==≥， 当005412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（满足(*)式）时取“=”∴点P 的到直线l 的最近距离为1128．23．解，（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥⎧⎪-≤<⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎩min ()4f x ∴=-，即4a ≥-（2）由（1）可得()y f x =的图象如下要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求， 此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．。
重庆市南开中学校2024届高三第九次质量检测数学试题(含解析)
重庆市高2024届高三第九次质量检测数学试题2024.5注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）A.B.C.D.2.已知集合，则（ ）A.B. C. D.3.已知向量，若，则（ ）A.2B.3C.4.无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D 视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式.已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7､8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.9B.12C.15D.185.已知实数满足，则（）(),,i i 2i a b a b ∈+=-R i i z a b =+2i -+2i -12i +12i-{}{}220,2,xA x x xB y y x A =∈--<==∈R∣∣A B ⋂=()1,4-1,14⎛⎫⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1,22⎛⎫⎪⎝⎭()()3,1,2,a b x ==-()a ab ⊥+ b = ,a b 212log log 0a b +>A. B.C.D.6.已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（ ）A.B.2C.或2D.或7.已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ）A. B. C. D.8.已知数列的前项和为（）A.276B.272C.268D.266二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，已知正方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的是（）A.四点共面B.与异面C.D.与所成角为1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 2log 2a b >b aa b<2233a b a b ---<-()1,1P -y 2274:6605C x y x y +--+=121212-12()()ππsin 0,0,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭()13f θ=5π23f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭29-2979-79{}n a n ()2*1124,1,1,n n n S a S S n n S +=+=+∈=N 1111ABCD A B C D -P Q R S ､､､11111A D AA C D AB ､､､P Q R S ､､､RS 1BC 1PQ B D ⊥RS 1A B 4510.已知，则（ ）A.B.在上单调递增C.，使D.，使11.已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ）A.B.直线的斜率为C.的周长为D.的外接圆半径为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为__________.13.已知一个表面积为的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为__________.14.已知函数满足，若是方程的两根，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知分别为的内角的对边，为的面积，且满足.（1）求；（2）若，且，求的余弦值.16.（15分）如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，.()ln ln x x f x x x=+()()24f f =()f x ()0,e 0x ∃()02f x =-0x ∃()02f x =222:1(0)16x y C a a -=>12,F F P ､C 12PF F ()3,1I 3a =1PF 1412PF F 64312PF F 6512,x y (),(1,210),5,4i i x y i x y ===- ˆˆ3.2yx a =-+()3,2.94π()f x ()1tan sin2f x x=12x x ､2202420240x x +-=()()12f x f x +=a b c ､､ABC A B C ､､S ABC 22()b a c =--B 1233BD BA BC =+ 2BD c a =-= ABD ∠PO AC B D BC 26AC AB ==2CD DB =（1）证明：平面；（2）若圆锥的侧面积为，求二面角的余弦值.17.（15分）已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为为坐标原点，的重心为.（1）求点的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.18.（17分）已知是二维离散型随机变量，其中是两个相互独立的离散型随机变量，的分布列用表格表示如下：0365（1）求和；（2）“”表示在条件下的的取值，求“”的分布列；（3）为的数学期望，为“”的分布的期望，证明：.19.（17分）已知函数.（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1.AD ⊥BOP PO 18πO BP A --M 229x y +=MN x ,N O OMN G G C l C A B ､()0,1Q )H ABQl (),X Y X Y ､(),X Y YX12411218181438()5P X =()0P Y =Y X x =∣X x =Y 5Y X =∣()E X X ()i E XY y =∣i X Y y =∣()()31()i i i E X P Y y E X Y y =⎡⎤==⋅=⎣⎦∑∣()()()e ,ln ,xf x ag x x b a b ==+∈R 1b =()()f x g x …a 12l l ､()y g x =12l l ､（i ）记为直线交点的横坐标，求证：；（ii ）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围.重庆市高2024届高三第九次质量检测数学试题参考答案与评分细则题号1234567891011选项ADCBCCDAACACACD一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.1.A2.D3.C 【解析】因为，所以，所以，所以.4.B 【解析】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合.5.C 【解析】由题可得对A.由在上单调递减及可知，故A 不成立对B.当时，不满足，故B 不成立对C.由，故C 成立对D.易知在上单调递增，故，故D 不成立6.C 【解析】点关于轴的对称点，反射光线即为过点作圆：的切线，设切线的斜率为，则切线，由或2，故选C.0x 12l l ､01x <12l l ､()y f x =,a b b ()1,1a b x +=+()()310a a b x ⋅+=++= 4x =-b ==78､32212⨯⨯=22:log log 00a b a b ->⇒>>12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 0a b >>1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4,2a b ==421log 2,log 212==log 2log 2a b >220b a a b b a a b>>⇒<⇒<()23xxf x -=-R ()()23232233aab b a b a b f a f b ---->⇔->-⇔->-()1,1P -y ()1,1P '--()1,1P '--C 2216(3)(3)5x y -+-=k ():11l y k x +=+12k ⇒=7.D 【解析】由图可知，由可知.根据图象类比可知，..故8.A 【解析】，又，当时，；当时，，作差得，.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.AC 【解析】因为，所以四点共面，A 选项正确；取的中点，依次连结，则为正六边形，B 错误；易知面，所以C 选项正确；易知，又是等边三角形，所以与所成角为D 选项错误.10.AC 【解析】，A 正确；定义域B 错误；，又，令单调递增，又存在唯一，使得.此时，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，，()1,0sin A f ϕ===ππ22ϕ-<<π3ϕ=sin y x =4π10,4π,332T T ω-=∴==()1π1sin 233f θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭25π1ππ1π1π272sin 2cos 212sin 132********f θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦111a S == 211n n S S n ++=+ 1n =2122112,1S S S +=+==2n (2)1(1)1n n S S n -+=-+1121n n S S n +--=-()()()()2424222220422223213111276S S S S S S S S ∴=-+-++-+=+++-+= PQ ∥RS P Q R S ､､､1BC CC ､M N ､P Q S M N R ､､､､､PQSMNR RS ∥1,BC 1B D ⊥PQSMNR 1,PQ B D ⊥RS∥1BC 11A BC RS 1A B 60, ()()()ln ln4ln2,0,11,,ln 42x x f x x x x ∞=+∈⋃+= ()()24,f f ∴=()f x ()()0,1,1,,x ∞∈⋃+∴()()()()222ln 1ln ln 1ln ln 1ln (ln )x x x x x x x f x x x x x -+-=+'--=ln 0,ln 10,e x x x x ->-==()()ln ,g x x x g x =+()1110,110,e e g g ⎛⎫=-<=>∴ ⎪⎝⎭01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x 0=00ln x x =-()f x ()00,x ()0,1x ()1,e ()e,∞+()00000ln ()2ln x xf x f x x x ==+=-极大值.所以C 正确，D 错误.11.ACD 【解析】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上，设圆分别与的三边切于点，则，，又，A 选项正确；连接，则，B 选项错误；同理，，，，由，得，的周长为，选项正确；由，由正弦定理得，D 选项正确.()e lne 1()e e 2lne e ef x f ==+=+>极小值P C I 12PF F M N A ､､11,PM PN F M F A ==22F N F A =()()12121222A A A PF PF F M F N AF F A x c c x x a-=-=-=+--== 3A x a ∴==12IF IF IA ､､111tan 8IA IF A AF ∠==1111212tan 16tan tan21tan 63PF IF A k PF A IF A IF A ∠∠∠∠====-224tan tan23PF A IF A ∠∠==()121212tan tan 5F PF PF A PF A ∠∠∠∴=-+=-123tan22F PF ∠∴=1221232cot 232F PF F PF a b c S b rp p ∠++⎛⎫==== ⎪⎝⎭323p =12PF F ∴ 643C 12121212tan sin 513F PF F PF ∠∠=-⇒=12122sin F F R F PF ∠=6512R =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.0.5 【解析】残差.13. 【解析】设正三棱柱的底面棱长为，内切球的半径为，则且棱柱的高，依题意，解得，故，所以正三棱柱的体积.14.0 【解析】法一：令，则，于是，又，故.法二：因，设，则可取，于是：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）由面积公式和余弦定理可得：，，，.（2）由题可得：，ˆˆˆ4 3.25,12, 3.2312 2.4,a a y -=-⨯+∴=∴=-⨯+=∴e 2.9 2.40.5=-=a R R =2h R =24π4πR =1R =2a h ==2V h ==tan t x =222tan 2sin21tan 1x tx x t ==++()()22211111,1222t t t f t f f t t t t t ⎛⎫+- ⎪++⎛⎫⎝⎭=-==-=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭121x x =-()()()121110f x f x f x f x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭121x x =-1tan x α=2πtan 2x α⎛⎫=+⎪⎝⎭()()()()12π1111tan tan 02sin2sin π2sin2sin2f x f x f f αααααα⎛⎫⎛⎫+=++=+=-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()2221sin 22cos 22ac B a c b ac ac B ac ⋅=-+-+=-+cos 1B B +=ππ12sin 1,sin 662B B ⎛⎫⎛⎫∴+=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ7ππ5π2π,,666663B B B <+<∴+=∴=22222714122cos 42799933BD BA BC BA BC B c a ac ==++⨯⨯⋅⇒+-=将代入上式整理得：，，三点共线，且所以16.（15分）解：（1）法一：平面，故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.设，故，，..故平面.法二：也可证明，从而可证平面.（2）侧面.由（1）可知，为平面的法向量，设平面的法向量为，而，故2c a=+211,3a ac=⇒==22222π2cos13213cos133b ac ac B b⇒=+-=+-⨯⨯=⇒=()1222,3333BD BABC AD BD BA BC BA AC=+=-=-=A D C∴､､22.3AD DC AD AC=∴==2799cos ABD∠+-==PO⊥,ABC BA BC⊥BBAx BCyOPzOP x=()()0,0,0,3,0,0B A()()33,,,22O Px D AD⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33,22BO BP x⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3330,3022AD BO AD BP⋅=-⨯=⋅=-⨯+=,,,AD BO AD BP BP BO B AD⊥⊥⋂=∴⊥BOP,AD BO AD PO⊥⊥AD⊥BOP3π18π,6,S PA PA OP x=⨯=∴=∴==ADBOP ABP(),,m a b c=()3,0,0BA=3032m BA am BP a⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取，则，即二面角17.（15分）解：（1）设，则，因为的重心，故有：，解得，代入，化简得，又，故，所以的轨迹方程为.（2）因为的垂心，故有又，故设直线的方程为，与联立消去得：设，则由，解得（舍去）或（满足）故直线的方程为.18.（17分）解：（1）由已知.（2）法一：“”可取的值为因为()0,2,1m =- cos ,m O BP A --()()00,,,G x y M x y ()0,0N x G OMN 00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩003,32x x y y ==22009x y +=2214x y +=000x y ≠0xy ≠G ()22104x y xy +=≠H ABQ ,AB HQ AH BQ ⊥⊥HQ k =l ()1y m m =+≠2214x y +=y 222213440,Δ20816013x m m m ++-==->⇒<()()1122,,,A x y B x y 212124413m x x x x -+==AH BQ ⊥()2211221110y x x mm x -=-⇒-+++-=)()()()()2221212410444241130x x m x x m m m m m m m ⇒-++-=⇒---+-=2511160m m ⇒+-=1m =165m =-Δ0>l 165y =-()()11331115,084842486P X P Y ==++===+=5Y X =∣0,3,6()()()()31135,5,0,5,3,5,64848P X P X Y P X Y P X Y ===========所以，，所以“”分布列为036法二：“”可取的值为由已知，随机变量相互独立，故，其中，由已知，，所以得“”分布列为036（3）法一：因为，所以，因为，所以，又因为，()()()15,018053564P X Y P Y X P X ========∣()()()15,314353534P X Y P Y X P X ========∣()()()35,318653524P X Y P Y X P X ========∣5Y X =∣5Y X =∣P 1613125Y X =∣0,3,6X Y ､()()()()()()()5,5555P X Y y P X P Y y P Y X P Y y P X P X ===========∣{}0,3,6y ∈()()()1111111310,3,624861243882P Y P Y P Y ==+===+===+=5Y X =∣5Y X =∣P161312()()130,544P X P X ====()131505444E X =⨯+⨯=()()130,544i i P X Y y P X Y y ======∣∣()()()1500554i i i E X Y y P X Y y P X Y y ==⨯==+⨯===∣∣∣()()()1110,3,6632P Y P Y P Y ======所以，所以.法二：.19.（17分）（1）由于，则，设，且在上单减，所以在为正，为负，在单增，单减，，则.（2）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，有此时，切线为：，相减得，所以，设，()()31115115115156434244i i i P Y y E X Y y =⎡⎤=⋅==⨯+⨯+⨯=⎣⎦∑∣()()31().i i i E X P Y y E X Y y =⎡⎤==⋅=⎣⎦∑∣()()21()i i i E X x P X x ===∑()()()23231111,,i i j i i j i j i j x P X x Y y x P X x Y y ====⎛⎫====== ⎪⎝⎭∑∑∑∑()()()()()23321111ii i j i i i j i j j i x P Y y P X x Y y P Y y x P X x Y y ====⎡⎤⎡⎤=⋅=====⋅==⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∣∣()()31i i j P Y y E X Y y =⎡⎤==⋅=⎣⎦∑∣e ln 1x a x +…ln 1e xx a +…()()()1ln 1ln 1,,10e e x xx x x F x F x F ''--+===1ln 1y x x =--()0,∞+()F x '()0,1()1,∞+()F x ()0,1()1,∞+()max ()1F x F ∴=()11ea F =…()g x 12,x x ()()1212121111g x g x x x x x =⋅=⇒'='()()()()11221211ln ,ln y x b x x y x b x x x x -+=--+=-()21211211ln ln x x x x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭212220212222ln ln ln ln 2ln 11x x x x x x x x x x x x -+===---()12ln k x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在上单调递减.故当时，；当时，，则.（3）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，，即，则，又因为，所以，题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，则由得，化简得，所以，所以.（也可写为）代入中得：有两个不等实根，即，设，由于在上单减且，所以在单增，单减，而时，时，，()()22110,k x k x x x=-'-∴…()0,∞+()0,1x ∈()()110,02ln k x k x x x ⎛⎫>=∴>>- ⎪⎝⎭()1,x ∞∈+()()110,02ln k x k x x x ⎛⎫<=∴<<- ⎪⎝⎭20222ln 11x x x x =<-,s t ()f x x s =()g x x t =()()()()f sg t f s g t s t -∴=='-'1ln 1e ln e ss t b a t b t a t s t s t ----===--()1ln ,1ln 1s t t t bt s t t b t -=--=---1e ln ln s a a s t t=⇒+=-()ln ln ln 1ln 1a t s t t t b t =--=--++-()()ln 1ln 1ln h t t t t b t a =--++-=1,m m ()1h m h m ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()1111ln 1ln 1ln 1ln 1m m m b m b m m m m --++-=--++-()()()()2211111ln 111212b m b m m m m b m m m m m ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭===-+--+-()()()()()ln 1ln 111111a m m b m b m b m b =--+-=----+-=-ln b a =-e b a -=()h t ()()ln 1ln 1h t t t t b t b =--++-=-11ln 1t b t t --=⋅+()()()()22111ln 11ln 2ln 1ln ,1(1)(1)t t t t t t t t t G t t G t t t t ⎛⎫--+---- ⎪-⎝⎭=⋅==+++'()1ln H t t t t=--()0,∞+()10H =()G t ()0,1()1,∞+0x →(),G t x ∞∞→-→+()(),10G t G ∞→-=所以即.10b -<1b <。
重庆市南开中学2020年高三下期中数学试题及答案(理科)
A﹒ 3 2
B﹒ 2
C﹒ 9 4
8
D﹒
3
二、填空题 ：本 大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
13．已知 a ， b 均为单位向量，且 (3a b) (a 2b) ，则向量 a 与 b 夹角的余弦值为
﹒
14．已知 (x 2 )n（ n N * ）的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中 x 的系数为
A﹒ 2
B﹒ 1
C﹒ 0
D﹒ 1 2
8．抛物线 C：y2 2 px ( p 0) 的焦点为 F ， A，B 是抛物线 C 上两点，
且 | AF | | BF | 10 ， O 为坐标原点，若 OAB 的重心为 F ，则 p
A﹒1
B﹒ 2
C﹒ 3
D﹒ 4
开始
输入 x 1，s 0
x 2x
则 P0,0,1, D 2 2,1,0 ,C 2 2,1,0 , M 2,1,0 ,CP 2 2,1,1 , MD 2,2,0 , MP
2,1,1 ,
设平面
PMD
的法向量为
m
x,
y,
z ，则由
m
MP
0
m
2,1,3 ，设直线 PC 与平面 PMD 所成角
m MD 0
（1）若函数 y f (x) g(x) 在其定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）是否存在实数 a ，使得函数 y f (x) g (x) 的图像与 x 轴相切？若存在，求满足条件的 a 的个数，
请说明理由．
21．（12
分）已知椭圆 :
x2 a2
y2 b2
1（a
b
0 ）的离心率为
1 恒成立，令 mx
2020年高中高三教学质量检测 含答案
2020年高中高三教学质量检测数 学 (理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 锥体的体积公式:13V Sh =.其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设U =R ，集合{}|1A y y x =≥，}{240B x Z x =∈-≤，则下列结论正确的是A ．}{2,1A B =--I B ． ()(,0)U A B =-∞U ðC ．[0,)A B =+∞UD ． }{()2,1U A B =--I ð 2．已知向量a =r ，(1,0)b =-r ，则|2|a b +=r rA ．1B.C. 2D. 43．如图：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、K 、L 分别为AB 、BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是4．已知i 是虚数单位，使(1)ni +为实数的最小正整数n 为A ．2B ．4C ．6D ．85．已知sin()sin ,0,352ππααα++=--<<则2cos()3πα+等于A ．45-B ．35-C ．35D ．456．下列说法中,不正确．．．的是ABC DABC D A 1B 1C 1D 1H G FK LEA ．“x y =”是“x y =”的必要不充分条件；B ．命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >；C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 不是偶数，则x y +不是偶数”；D ．命题:p 所有有理数都是实数,:q 正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题.7．已知实数,m n 满足01n m <<<,给出下列关系式 ①23mn= ②23log log m n = ③23m n = 其中可能成立的有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．设12,,,(4)n a a a n ≥L 是各项均不为零的等差数列，且公差0d ≠.设()n α是将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）为等比数列的最大的n 值，则()n α=A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)9. 某体育赛事志愿者组织有1000名志愿者，其中参加过2008北京奥运会志愿服务的有250名，新招募的2010年广州亚运会愿者750名.现用分层抽样的方法从中选出100名志愿者调查他们的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是 ．10. 已知函数2()(sin cos )1f x x x =+-，x ∈R ， 则()f x 的最小正周期是 ． 11. 右图给出的是计算201614121++++Λ的 值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是_________.12. 若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为_____.13．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}nb 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，第11题图则数列{}n n T 为等比数列,通项为____________________. (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）极坐标系中,直线l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=,则极点在直线l 上的射影的极坐标是____________．15．（几何证明选讲）如图,以4AB =为直径的圆与△ABC 的两边 分别交于,E F 两点，60ACB ∠=o，则EF = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知海岸边,A B 两海事监测站相距60 mile n ,为了测量海平面上两艘油轮,C D 间距离,在,A B 两处分别测得75CBD ∠=o,30ABC ∠=o , 45DAB ∠=o ,60CAD ∠=o （,,,A B C D 在同一个水平面内）.请计算出,C D 两艘轮船间距离．17．（本题满分12分）某市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度.通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次，并根据等级给予相应的奖惩（如下表）.某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等次的概率分别为111123824，，，，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、5-万元.设该企业当年因改造而增加利润为ξ.(Ⅰ)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少？ （Ⅱ）求ξ的数学期望.评估得分 (0,60)[)7060， [)8070， []10080，评定等级 不合格合格良好优秀奖惩（万元）80- 30 60 10018．（本题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r.（Ⅰ）当1λ=时，求证：平面11ABC D ⊥平面PDB ； （Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积 恒为定值；（Ⅲ）求异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值.第18题图第16题图CAEF第15题图19．（本题满分14分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）. （Ⅰ）若1,1a b ==-，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若2a b +=-，讨论函数()f x 的单调性．20．（本题满分14分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(x y C a a b-=12,C C 在第一象限的交点，且25AF =. (Ⅰ)求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆N ：22(2)1x y -+=.平面上有点P 满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线12,l l ，它们分别与圆,M N 相交，且直线1l 被圆M 截得的弦长与直线2l 被圆N 截得的弦长的比，试求所有满足条件的点P 的坐标.21．（本题满分14分）设0a >,函数21()f x x a=+. （Ⅰ）证明:存在唯一实数01(0,)x a∈，使00()f x x =；（Ⅱ）定义数列{}n x :10x =,1()n n x f x +=,*n N ∈.（i ）求证:对任意正整数n 都有2102n n x x x -<<； (ii) 当2a =时, 若10(2,3,4,)2k x k <≤=L ， 证明:对任意*m N ∈都有:1134m k k k x x +--<⋅.2020年高三教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）题号 12345678选项D C B B D C C A二、填空题（每题5分，共30分） 9．75 10． π 11．10?i > 12．94 1311n b -= 14． (2,)3π 15．2 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）解：方法一：在ABD ∆中，由正弦定理得：sinAD ABABD =∠，∴6060sin(3075)60sin 7541sin[180(453075)]sin 302AD +====-++o o oo o o o o…………………4分 同理，在在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC ABABC ACB =∠∠ 16060sin 302sin[180(453060)]sin 45AC ⨯====-++oo o o o o ……………………………………………8分∴计算出,AD AC 后，再在ACD ∆中，应用余弦定理计算出CD 两点间的距离：CD ==………………………………………………………10分===∴,C D 两艘轮船相距 mile n ．………………………………………………………………12分方法二：在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin BC ABBAC=∠，∴6060sin(6045)60sin 751)sin[180(456030)]sin 452BC +====-++o o oo o o o o…………………4分 同理，在在ABD∆中，由正弦定理得：BD ABADB=606060sin 45221sin[180(453075)]sin 302BD ====-++oo o o o o……………………………………8分 ∴计算出,BC BD 后，再在BCD ∆中，应用余弦定理计算出CD 两点间的距离：CD == ………………………………………………………10分== =∴,C D 两艘轮船相距 mile n ． ………………………………………………………12分 17．（本题满分12分）解：（Ⅰ）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为P ，则111123238248P ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为185,105,80,60,50,40,0,60,------则1612181)50(,612131)0(,412121)60(=⨯=-==⨯===⨯==ξξξP P P412121)40(,48121241)185(=⨯=-==⨯=-=ξξP P ，111111111(60),(80),(105)326821624248P P P ξξξ=-=⨯==-=⨯==-=⨯=则其分布列为10分第18题图 ∴1111115(60406050801851054616486E ξ=-⨯+-⨯+--⨯+--⨯=-）（）（）（）（万元） ………………………………………………………12分18．（本题满分12分）方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11AA D D ，又11AB ABC D ⊂∴平面11ABC D ⊥平面11AA D D ， ………………………2分 ∵1λ=时，P 为1AD 的中点，∴1DP AD ⊥， 又∵平面11ABC D I 平面11AA D D 1AD =， ∴DP ⊥平面11ABC D ，又DP ⊂平面PDB ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ．……………………………………………………4分 （Ⅱ）∵11//AD BC ， P 为线段1AD 上的点， ∴三角形1PBC 的面积为定值，即1122122PBC S ∆==，……………………………………………6分 又∵//CD 平面11ABC D ，∴点D 到平面1PBC 的距离为定值，即22h =， ……………………………………………………8分 ∴三棱锥1D BPC -的体积为定值，即111122133226D PBC PBC V S h -∆=⋅⋅=⨯=． 也即无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值16；……………………………………………10分（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知1B C ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，∴11B C C P ⊥， ……………………………………………12分 即异面直线1C P 与1CB 所成的角为定值90o，从而其余弦值为0．………………………………………14分 方法二、如图，以点D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系．（Ⅰ）当1λ=时，即点P 为线段1AD 的中点，则11(,0,)22P ，又(0,0,0)D 、(1,1,0)B∴11(,0,)22PD =--u u u r ，11(,1,)22PB =-u u u r ，设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r ，……………………1分则00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r r u u u r r r ，即11002211022x z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，令1y =，解得(1,1,1)n =-r ， ……………………2分 又∵点P 为线段1AD 的中点，∴1DP AD ⊥，∴DP ⊥平面11ABC D ，∴平面11ABC D 的法向量为11(,0,)22PD =--u u u r ， ……………………3分∵110022PD n ⋅=+-=u u u r r ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ， ………………………………………4分（Ⅱ）略；（Ⅲ）∵1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r ，∴1(,0,)11P λλλ++， ………………………………………11分又1(0,1,1)C 、(0,1,0)C 、1(1,1,1)B ，∴1(,1,)11C P λλλλ-=-++u u u r ，1(1,0,1)CB =u u u r ， ………………………………………12分∵110011C P CB λλλλ-⋅=++=++u u u r u u u r ………………………………………13分∴不管λ取值多少，都有11C P CB ⊥，即异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值为0.……………14分19．（本题满分12分）解：（Ⅰ）函数2()ln f x x x x =+-，则1()21f x x x'=+-，………………………………………1分 令()0f x '=，得1x =-（舍去），12x =. ……………………………………………2分 当102x <<时，()0f x '<，函数单调递减； ……………………………………………3分 当12x >时，()0f x '>，函数单调递增； ……………………………………………4分 ∴()f x 在12x =处取得极小值3ln 24+. ……………………………………………5分（Ⅱ）由于2a b +=-，则2a b =--，从而2()(2)ln f x x b x b x =-++，则(2)(1)()2(2)b x b x f x x b x x --'=-++=……………………………………………5分 令()0f x '=，得12bx =，21x =. ……………………………………………7分① 当02b≤，即0b <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；…8分② 当01b<<，即02b <<时，列表如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；…………………10分③ 当12b=，即2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；………………………………11分 ④当1b>，即2b >时，列表如下：所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2b +∞，单调递减区间为(1,)2b ； …………………13分综上：当02b≤，即0b <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； 当012b <<，即02b <<时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2b ，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b；当12b=，即2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； 当12b >，即2b >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2b +∞，单调递减区间为(1,)2b . ………………………………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ，∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ， ……………………………………………… 1分设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =， ………………………………………………2分∴2083y =⨯，∴0y =± ……………………………………………… 3分∴1||7AF ==， ……………………………………………… 4分 又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2|75|2a =-=，∴1a =， ……………………………………………… 5分∴双曲线的方程为：2213y x -=． ……………………………………………… 6分 （Ⅱ）设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为d ==，………………………………… 7分 故圆M ：22(2)3x y ++=， ………………………………… 8分 设点00(,)P x y ，则1l 的方程为00()y y k x x -=-，即000kx y kx y --+=，2l 的方程为001()y y x x k-=--，即000x ky x ky +--=，∴点M 到直线1l 的距离为1d =，点N 到直线2l 的距离为2d =，∴直线1l 被圆M 截得的弦长s = 直线2l 被圆N 截得的弦长t = ………………………………… 11分 由题意可得，s t ==2200003(2)(2)x ky k kx y +-=+-，00002k kx y -=+- ①00002k kx y -=--+②……… 12分由①得：0000(2)0x k y +-+-=， ∵该方程有无穷多组解，∴0000200x y ⎧+=⎪+-=，解得001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，点P 的坐标为．………………………………… 13分由②得：0000(2)0x k y ++--=，∵该方程有无穷多组解，∴0000200x y ⎧++=⎪--=，解得001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩P 的坐标为(1,．∴满足条件的点P 的坐标为或(1,． ………………………………… 14分21．（本题满分12分）（Ⅰ）证明: ①3()10f x x x ax =⇔+-=. ………………………………… 1分 令3()1h x x ax =+-,则(0)10h =-<,311()0h a a =>, ∴1(0)()0h h a⋅<. ………………………………… 2分 又/2()30h x x a =+>,∴3()1h x x ax =+-是R 上的增函数. ………………………………… 3分 故3()1h x x ax =+-在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点, 即存在唯一实数010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使00()f x x =. ………………………………… 4分 ②当1n =时, 10x =,211()(0)x f x f a ===,由①知010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即102x x x <<成立；………… 5分 设当(2)n k k =≥时, 2102k k x x x -<<,注意到21()f x x a=+在()0,+∞上是减函数,且0k x >, 故有:2102()()()k k f x f x f x ->>,即2021k k x x x +>>∴2021()()()k k f x f x f x +<<, ………………………………… 7分 即21022k k x x x ++<<.这就是说,1n k =+时,结论也成立.故对任意正整数n 都有:2102n n x x x -<<. ………………………………… 8分 (2)当2a =时,由10x =得:211()(0)2x f x f ===,2112x x -= ………………………………… 9分222132222221211122(2)(2)x x x x x x x x --=-=++++22121211114244x x x x x x -+⎛⎫<=⋅-= ⎪⎝⎭……………………………… 10分 当2k ≥时,102k x <≤Q , ∴22112222111122(2)(2)k k k k k k k k x x x x x x x x -+----=-=++++114k k k k x x x x ---+<14k k x x --< 2212321144k k k x x x x ---⎛⎫⎛⎫<⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 14k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ………………………………… 12分 对*m N ∀∈,1121()()()m k k m k m k m k m k k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-++-L 1121m k m k m k m k k k x x x x x x ++-+-+-+≤-+-++-L ………………………………… 13分1122111114444k k m m x x +--⎛⎫≤+++++- ⎪⎝⎭L 111114141141134343414m k k k k m k k x x x x ++--⎛⎫=-=⋅-⋅-<⋅= ⎪⋅⎝⎭- ………………………………… 14分。
部编2020届高三数学第九次考试试题 理(含解析)新版人教 版
2019高三第九次考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设为实数，若复数，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据题意，由于为实数，复数，那么可知，1+2i=a-b+(a+b)i,可知a+b=2,a-b=1,解得,故选D.考点：复数的除法运算点评：主要是考查了复数的运算以及复数相等的运用。
属于基础题。
2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选A.3. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】C...........................结合两式得到.故答案为：C。
4. 已知的一个内角为，且三边长构成公差为2的等差数列，则的面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设三角形三边分别为，则所对的边为.∴根据余弦定理可得∴∴三角形面积故选A.5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知几何体的直观图为：多面体：，几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为，高为，上底边长为，如图所示：∴几何体的体积为故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6. 若，则下列不等式中一定不成立的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，不正确；正确；正确；时，成立，故选A.7. 曲线在点处的切线方程是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设，，曲线在点处的切线方程为化为，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于简单难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.8. 已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得的图像，再把所得的图象向右平移个单位长度，可得的图像. ∵所得的图像关于原点对称∴∴当时，.故选D.9. 当时，执行下图所示的程序框图，输出的值为( )A. 20B. 42C. 60D. 180【答案】C【解析】结合流程图可知，该程序运行过程如下：首先初始化数据：,第一次循环：不满足，执行：；第二次循环：不满足，执行：；第三次循环：不满足，执行：；第四次循环：满足，程序跳出循环，输出的值为.本题选择C选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．10. 已知的外接圆的圆心为，半径，如果，且，则向量和方向上的投影为( )A. 6B.C.D.【答案】B【解析】由＝0得，＝∴DO经过边EF的中点，∴DO⊥EF.连接OF，∵||＝||＝||＝4，∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin 60°×2＝4.∴向量在方向上的投影为||cos〈,〉＝4cos 150°＝－6，故选B.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b ＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.11. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，的长度大于1米，且比长米，为了稳定广告牌，要求越短越好，则最短为( )A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】D【解析】由题意设米，米，依题设米，在中，由余弦定理得：，即，化简并整理得：，即，因，故（当且仅当时取等号），此时取最小值，应选答案D。
2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题 1．1312ii-+的实部为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】直接化简得到13112ii i-=--+，计算实部得到答案. 【详解】()()1312135511255i i i ii i -----===--+，故实部为1- 故选：B 【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.2．设集合()(){}|320A x x x =+-<，{}|228B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|38x x -<<C ．{}|32x x -<<D ．{}|34x x -<<【答案】D【解析】分别计算{}|32A x x =-<<，{}|14B x x =-<<，再计算A B 得到答案.【详解】()(){}{}|3|2023x x x A x x =+-<-<<={}{}|228|14B x x x x =-<<=-<<，所以{}|34A B x x =-<<.故选：D 【点睛】本题考查了并集的运算，属于简单题.3．函数()()lg 4f x x =-的定义域为（ ） A ．(]4,10 B ．()4,10C ．()0,4D ．[)10,+∞【答案】A【解析】根据函数的定义域定义得到不等式1lg 0400x x x -≥⎧⎪->⎨⎪>⎩解得答案.【详解】函数()()lg 4f x x =-的定义域满足1lg 0400x x x -≥⎧⎪->⎨⎪>⎩，解得(]4,10x ∈故选：A 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.4．某地有两个国家AAAA 级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误．．的是（ ）A ．甲景区月客流量的中位数为12950人B ．乙景区月客流量的中位数为12450人C ．甲景区月客流量的极差为3200人D ．乙景区月客流量的极差为3100人 【答案】D【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案. 【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人. 甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人. 故选：D 【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力. 5．若tan 4α=，sin 2cos ββ=，则()tan αβ+=（ ）【答案】C【解析】根据sin 2cos ββ=得到tan 2β=，再利用和差公式展开得到答案. 【详解】sin 2cos ββ=∴tan 2β=∴()tan tan tan 1tan tan 246187αβαβαβ+=+-+=-=-.故选：C 【点睛】本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.6．执行下边的程序框图，若输入的x 的值为5，则输出的n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】执行程序框图：(),x n 依次为()5,0，()7,1，()9,2，()11,3，()13,4∵21313132+> ∴输出的n 的值为4. 故选：C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生对于程序框图的理解能力. 7．函数()348xxf x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】分别计算()110f =-<，302f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，根据零点存在定理得到答案. 【详解】因为()110f =-<，302f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，且()f x 为增函数 故()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查了函数零点的范围，灵活使用零点存在定理是解题的关键.8．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”.其中4AB =.D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理.则AB AD ⋅=（ ）A ．25144B ．25169C ．16925D ．14425【答案】D【解析】先由等面积得AD ，利用向量几何意义求解即可 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，则AB 在AD 上的投影为||AD ，所以2144||25AB AD AD ⋅==. 故选：D【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A ．16 B ．19C ．20D ．25【解析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.故选：B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题10．已知函数()272sin 4126x x x f ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图象的对称中心为（ ） A ．(),0424k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ B ．(),048k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C ．()424k k Z ππ⎛+∈⎝ D ．()48k k Z ππ⎛+∈⎝ 【答案】D【解析】化简得到()2cos4f x x =，取()42x k k Z ππ=+∈，计算得到答案.【详解】()71cos 4sin 466f x x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦4sin 466x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 42cos 466x x ππ⎡⎤⎛⎫+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦令()42x k k Z ππ=+∈，得()48k x k Z ππ=+∈则()f x 的图象的对称中心为()48k k Z ππ⎛+∈ ⎝. 故选：D 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数对称中心，化简得到()2cos4f x x =是解题11．已知函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，则m 的取值范围为（ ）A ．(,-∞B ．)⎡+∞⎣C ．(,-∞D ．)⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数,等价于()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，然后分离变量，得2122e 2e x x m +-≤+，求出2122e 2e +-+x x 的最小值，就能确定m 的取值范围. 【详解】 因为函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，所以()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，即2122e 2e x x m +-≤+对x ∈R 恒成立，又因为2122e 2e x x +-+≥=，所以m ≤ 故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键. 12．函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()f x 为奇函数.当0x >时，()()221f x f x =-，且()23f =，则满足()5272x f -<-<的x 的取值范围是（ ） A ．()2log 3,3 B ．()21,log 3C ．()22log 3,log 7D ．()1,3【答案】A【解析】计算()()445f f -=-=-，()12f =，判断函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，将不等式变换为4271x -<-<，计算得到答案. 【详解】()23f =，所以()()22113f f =-=，则()12f =.()()42215f f =-=，所以()()445f f -=-=-()()()()52724271x x f f f f -<-<⇔-<-<.所以()()()27142718432x x xf f f -<-<⇔-<-<⇔<<2log 33x ⇔<<.故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.二、填空题13．)53的展开式中2x 的系数为______.【答案】15-.【解析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】)53的展开式中：()5153rrr r T C-+=⋅-，取1r =得2x 的系数为()15315C ⨯-=-.故答案为：15- 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.14．某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为______. 【答案】23. 【解析】直接利用几何概型的求概率公式得到答案. 【详解】根据几何概型的求概率公式得他等待的时间不少于20分钟的概率为60202603P -==. 故答案为：23【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生对于几何概型的掌握情况. 15．现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是___________. ①若01x <<，则lg log 10x x +的最大值为2-；②若a ，31a -，1a -是等差数列{}n a 的前3项，则41a =-；④“0x Z ∃∈，0tan x Z ∈”的否定为“x Z ∀∈，tan x Z ∉”. 【答案】①④【解析】①根据基本不等式判断；②利用等差中项先计算出公差，即可求解出4a 的值；③根据“小推大”的原则去推导属于相应的何种条件；④含一个量词的命题的否定方法：改量词，否结论，由此进行判断. 【详解】①若01x <<，则lg 0x <，11lg log 10lg lg 2lg lg x x x x x x ⎛⎫+=+=--+≤- ⎪-⎝⎭， 当且仅当110x =时，等号成立，所以①正确； ②若a ，31a -，1a -是等差数列{}n a 的前3项，则112(31)4a a a a +-=-⇒=， 所以452(1)(31)4a a a =---=-，所以②不正确； ③因为2443log 3log 9log 82=>=，所以“2log 3x >”能推出“23x >”，但是“23x >”不能推出“2log 3x >”，所示“23x >”的一个充分不必要条件是“2log 3x >”，所以③不正确；④因为特称命题的否定是全称命题，否定含一个量词的命题时，注意修改量词，否定结论.所以④正确.故所有正确结论的编号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查命题真假的综合判断，难度一般.(1)运用基本不等式求解最值时，注意说明取等号的条件；(2)注意区分“p 是q 的必要不充分条件”、“p 的必要不充分条件是q ”这两者的区别.16．在ABC ∆中，4BC =，sin 2sin C B =，则当ABC ∆的面积取得最大值时，BC 边上的高为______. 【答案】83.【解析】如图所示：以线段BC 所在的直线为x 轴，以线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设(),A x y ，整理得22106439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得到面积的最大值.以线段BC 所在的直线为x 轴，以线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，如图所示： 则()2,0B-，()2,0C ，因为sin 2sin C B =，所以2AB AC =设(),A x y ，=整理得()221064039x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭则当ABC ∆面积取得最大值时，A 的坐标为108,33⎛⎫± ⎪⎝⎭，则BC 边上的高为83.故答案为：83【点睛】本题考查了三角形面积的最值问题，建立坐标系是解题的关键，可以简化运算.三、解答题17．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，已知tan A =，2b =.（1）若a =B ； （2）若2a c =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）6B π=；（2【解析】（1）计算3A π=，利用正弦定理得到sin 1sin 2b A B a ==，再根据边的大小关系得到答案.（2）直接利用余弦定理得到c =，再利用面积公式计算得到答案.（1）因为tan A =3A π=.sin sin a b A B=，所以sin 1sin 2b A B a == 解得6B π=或56π，又b a <，所以6B π=.（2）由余弦定理，可得()2222222cos3c c c π=+-⨯⨯，即23240c c +-=解得c =（负根舍去），故ABC ∆的面积为111sin 2sin 2233bc A π-+=⨯⨯6=. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围.可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【答案】(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.19．直线1l ：()20y kx k =-≠与坐标轴的交点为A ，B ，以线段AB 为直径的圆C 经过点()3,1D .（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线2l ：3430x y ++=与圆C 交于M ，N 两点，求MN . 【答案】（1）()()22215x y -++=；（2）4MN =. 【解析】（1）先计算交点为()0,2-，2,0k ⎛⎫⎪⎝⎭，根据AD BD ⊥得到12k =，再计算圆心和半径得到答案（2）计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算得到答案. 【详解】（1）直线1l ：()20y kx k =-≠与坐标轴的交点为()0,2-，2,0k ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为以线段AB 为直径的圆C 经过点()3,1D ，所以AD BD ⊥，所以311233k⨯=--，解得12k =. 所以圆C 的圆心为线段AB 的中点，其坐标为()2,1-，半径R == 圆C 的标准方程为()()22215x y -++=.（2）因为圆心C 到直线2l ：3430x y ++=的距离为64315d -+==，所以4MN ==. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，弦长，意在考查学生的计算能力.20．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1331n n n a a b n +=---，1331n n n b b a n +=-++.等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b . （1）求{}n c 的通项公式； （2）求数列(){}nn n ab c +的前n 项和n S .【答案】（1）810n c n =-（2）2(49)236n n S n +=-+【解析】（1）根据递推公式计算22a =-，26b =，利用等差数列公式计算得到答案. （2）将题目中两式相加得到()112n n n n a b a b +++=+，故{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案. 【详解】（1）∵111a b ==，∴22a =-，26b =，则{}n c 的公差为()628d =--= 故{}n c 的通项公式为28(1)810n c n n =-+-=-. （2）1331n n n a a b n +=---，①1331n n n b b a n +=-++，②①+②得()112n n n n a b a b +++=+.又112a b +=，从而{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，故2nn n a b +=.()()8102nn n n a b c n =+-22262(810)2n n S n =-⨯+⨯++-，23122262(810)2n n S n +=-⨯+⨯++-，()231248222(810)2n n n n S S n +-=-++++--，即()1114824(810)2(188)236n n n n S n n +++-=-+---=--，即2(49)236n n S n +=-+.【点睛】本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到()112n n n n a b a b +++=+是解题的关键. 21．已知函数()()()1ln 1f x x x m n =++++⎡⎤⎣⎦，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =+.（1）求m ，n 的值和()f x 的单调区间；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，()f x kx >恒成立，求整数k 的最大值.【答案】（1）1m =，0n =，()f x 的单调递增区间为211,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为211,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）3. 【解析】（1）求导得到()()'ln 11f x x m =+++，根据切线方程计算得到1m =，0n =，代入导函数得到函数的单调区间.（2）讨论0x =，0x >两种情况，变换得到()111ln 11x x k x⎛⎫++++ ⎪⎝⎭<，设 ()()111ln 11h x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，求函数的最小值得到答案.【详解】（1）()()'ln 11f x x m =+++，由切线方程，知()01f m n =+=，()'012f m =+=， 解得1m =，0n =.故()()()1ln 11f x x x x =++++，()()()'ln 121f x x x =++>-， 由()'0f x >，得211x e >-；由()'0f x <，得2111x e-<<-. 所以()f x 的单调递增区间为211,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为211,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）①当0x =时，()0100f k =>⨯=恒成立，则k ∈R . ②当0x >时，()f x kx >恒成立等价于()111ln 11x x k x⎛⎫++++ ⎪⎝⎭<对()0,∞+恒成立. 令()()111ln 11h x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，()()2ln 11'h x x x x -+-=，()0,x ∈+∞. 令()()ln 11u x x x =-+-，()0,x ∈+∞， 则()1'1101xx u x x =-=>++对()0,x ∈+∞恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递增. 又()21ln30u =-<，()32ln 40u =->，所以()02,3x ∃∈，()00u x =. 当()00,x x ∈时，()'0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >. 所以()()()min 0000111ln 11h x x h x x x ⎛⎫==++++ ⎪⎝⎭，又()()000ln 110u x x x =-+-=，则()()()min 0000111ln 11h x x h x x x ⎛⎫==++++ ⎪⎝⎭()()00001111113,4x x x x ⎛⎫=+-++=+∈ ⎪⎝⎭，故01k x <+，整数k 的最大值为3. 【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x m y a n αα=⎧⎨=+⎩（0m >，0n >，α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=. （1）求a ，m ，n 的值；（2）已知点P 的直角坐标为()0,1，l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +.【答案】（1）4a m n ===；（2【解析】（1）根据极坐标方程得到()22416x y +-=，根据参数方程得到答案. （2）将参数方程代入圆方程得到270t --=，根据韦达定理得到120t t +=>，1270t t =-<，计算12PA PB t t +=-得到答案.【详解】（1）由8sin ρθ=，得28sin ρρθ=，则228x y y +=，即()22416x y +-=. 因为0m >，0n >，所以4a m n ===.（2）将21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()22416x y +-=，得270t --=.设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则120t t +=>，1270t t =-<. 所以12t t P PB A =-==+【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键. 23．已知函数()3124f x x x =+--. （1）求不等式()3f x >的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围.【答案】（1）()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1t ≤-或9t ≥. 【解析】（1）分别计算1x <-，12x -≤≤，2x >三种情况，综合得到答案. （2）化简得到()23336f x x x x --=+--，利用绝对值三角不等式得到()29f x x --≤，解不等式289t t -≥计算得到答案.【详解】（1）当1x <-时，()()()31243f x x x =-++->，解得10x <-； 当12x -≤≤时，()()()31243f x x x =++->，解得45x >，则425x <≤；当2x >时，()()()31243f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >.综上所述：不等式()3f x >的解集为()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.（2）()231242f x x x x x --=+----3132x x =+--3336x x =+--()33369x x ≤+--=，当2x ≥时等号成立.若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，即289t t -≥，解得1t ≤-或9t ≥. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.。