高中数学必修四人教版2.2.1向量的加法运算及其几何意义13ppt课件
2.2.1～2.2.2 向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A必修4)
已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A， AB b， 作
向量 求和 的法 则
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记 三角 作 a＋b ，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC . 形法 这种求两个向量和的方法，称为 则 向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝ 0＋a ＝ a
(2)作
BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，
∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB |＝2， ∴a－b＋c＝ AB － AD ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ， 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
| | 10 1 CD ∴cos α＝ ＝ ＝ ，
| AD | 20 2
∴α＝60° ，从而船与水流方向成 120° 的角． 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平
向 量 求 和 的 法 则
平 行 四 边 形 法 则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和．这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
C A B
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
D
C A B
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
D
C A B
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ E D
C A B
讲授新课
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？ E D
（ 2） BC FE AD ; （ 3） OA FE 0 .
E
D
F
O
C
A
B
例2: 求向量 A B + D F + C D + B C + FA 之和.
解 :∵ A B + D F + C D + B C + F A
D
C
d c O b
a
A
B
补充练习
例 1： 已 知 O 为 正 六 边 形 A B C D E F 的 中 心 ， 作 出 下 列 向 量 （1） A O C O (2) B C F E (3) O A F E
解：（ 1） OC OB ; OA
课本84页 习题（做书上） 作业 课本91页 2、3作业本2.2.1
a+ b = b+ a ( a + b ) + c = a + (b + c )
F2的和,即位移,力的合成可看作向量的加
法.
向量加法的三角形法则
b
已 知 向 量 a , b, 作 向 量a + b 求
2.2.1向量加法运算及其几何表示
A B C C A
方向相反 a b
B
a + b = AB + BC = AC
a + b = AB + BC = AC
对于零向量与任一向量 a，都有 ＋0＝0＋a＝a． ，都有a＋ ＝ ＋ ＝ ．
1.向量加法的三角形法则 1.向量加法的三角形法则
例 某人先位移向量 a ：“向东走 3 km”，接着再位移 ， 向量 b ：“向北走 3 km”，求 + b ． ， a
2.共线 2.共线
(1)同向
a
r r a + b
b
(2)反向
a
b
r r a + b
r r r r | a + b |= | a | + | b |
r r r r | a + b |= | b | - | a | r r r r | a + b |< | a | + | b |
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行 运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为 向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的 速度(保留两个有效数字) (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度 间的夹角表示,精确到度).
1.向量加法的三角形法则 1.向量加法的三角形法则
多个向量求和
D
d
C
c
b
O A
B
a
O = a +b +c + d D
2.向量加法的运算律 2.向量加法的运算律
a +b = b+a (2)加法结合律 : (a + b) + c = a + (b + c) 加法结合律
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算及其几何意义●温故知新1.既有_______，又有_______的量叫做向量.向量可以用_____线段来表示，但起点字母必须放在终点字母的______，手写体上面的______ 不能漏写.2.____________或____________的非零向量叫做平行向量，零向量与任一向量______.3.___________且___________的向量叫做相等向量.4.平行向量也叫__________.表示两个非零平行向量的有向线段所在直线的位置关系是_______或_______.●教材新知1.求两个向量____的运算，叫做向量的加法.2.零向量与任一向量a，规定：0=0a++a=_____.3.当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个_____.两个向量相加，它们的和仍然是一个向量，对应于数轴上的一条_________.4.当向量a、b（1）三角形法则：两向量首尾相接，和向量为首向量的_______指向末向量的_______.（2）平行四边形法则：两向量共始点，以它们为邻边作平行四边形，和向量为平行四边形的_______________.向量加法的几何意义就是________和____________.任意两个向量相加，所得的和一定是一个_______.（3）任一向量都可以写成两个首尾相接向量的和，即AB=____+____.5.向量加法的运算律（1）交换律：=a+b____+____.（2）结合律：()=a+b+c a+_______.结论：（1）当a与b_______时，a+b与a、b同向，且=a+b a+b.（2）当a与b_______时，若a>b，则a+b与a同向，且-a+b a b；=若a<b，则a+b与b同向，且-a+b b a；=若a=b，则a+b=____.（3）当a、b不共线时，a+b____a+b.（4）任意两个向量的和，结果是_______.6.向量链：若干个向量首尾_________，且构成一个_________.组成向量链的所有向量的和为_______.●题组集训（1）若向量a表示向东走1km，向量b表示向南走1km，则向量a+b表示（）A.2B.向东南走2kmC.2D.向东北走2km （2）下列式子不能化简为AD的是（）A.()AD MB BC CM+++++ B.()()AB CD BCC.MB AD MB++++ D.OC AO CD（3）在四边形ABCD中，AC AB AD=+，则一定有（）A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形（4）已知下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++；③OA OC BO ++；④AB + CA BD DC ++.其中结果为0的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4（5）在ABC ∆中，CB =a ，AC =b ，则AB =________.●课堂精讲【例1】（1）如图，已知a 、b ，用向量加法的三角形法则作出a +b .（2）如图，已知a 、b ，用向量加法的平行四边形法则作出a +b .【例2】四边形ABCD 是边长为1的正方形，设AB =a ，BC =b ，AC =c .求作向量++a b c ，并求++a b c .【例3】一条渔船距对岸4km ，以2km /h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的 实际航程为8km ，求河水的流速.●课后反馈（1）下列结论中，正确的是（ ）A.0+=00B.对于任意向量a 、b ，a+b =b+aC.对于任意向量a 、b ，0a +b >D.若向量AB ‖BC ，且1AB =，2014BC =，则2015AB BC +=（2）在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是（ ）A.AB CD =，BC AD =B.AD OD DA +=C.AO OD AC CD +=+D.AB BC CD DA ++=（3）设()()AB CD BC DA +++=a ，b 是一非零向量，则在下列结论中，正确的结论为（ ） ①a ‖b ；②a+b =a ；③a+b =b ；④a +b <a +b .A.①②B.③④C.②④D.①③（4）如图，已知ABC ∆是直角三角形且90A ∠=︒.则在下列各结论中， 正确的结论个数为（ ）①AB AC BC +=； ②AB BC CA +=；③AB CA BC +=； ④222AB AC BC +=.A.4个B.3个C.2个D.1个（5）已知ABC ∆是正三角形，则下列各等式中不成立的为（ ）A.AB BC BC CA +=+B.AC CB BA BC +=+C.AB AC CA CB +=+D.AB BC AC CB BA CA ++=++（6）若O 是ABC ∆内一点，且OA OB OC ++=0，则O 是ABC ∆的（ ）A.内心B.外心C.垂心D.重心（7）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ）A.0B.BEC.ADD.CF（8）若O 是ABC ∆内一点，D 为BC 边上中点，2OA OB OC ++=0，则（ ）A.AO OD =B.2AO OD =C.3AO OD =D.2AO OD =（9）如图，已知梯形ABCD ，OA AB BC ++=______.（10）化简AB CD BC DB EF BF FA ++++++=______.（11）向量a 、b 满足6=a ，10=b ，则a +b 的最大值是______， 最小值是______.（12）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、 Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点.在A 、P 、 M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为 F .设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的 集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率是 ______.（13）如图，在重300N 的物体上栓两根绳子，这两根绳子在 铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30︒、60︒，当整个系 统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.。
高中数学必修四向量加法运算及其
，有 a, b R
a b b a,
(a b) c a (b c).
那么对任意向量 请画图进行探索.
的ar加,法br 是否也满足交换律和结合律？
D
B
b
r a ab
O
r a
C
b
A
abc
c
bc
A
ab
a
B
C
b
自主完成
例1 根据图示填空.
(1)a+d=____u_u_ur DA
(2)c+b=____u_u_ur CB
练习1根据图示填空.
c (1)a+b=________ f (2)c+d=________
(3)a+b+d=______
f (4)c+d+e=______ g
D
d O
a
C
c
b
A
B
E eD d
f
C
g
c
b
A
a
B
合作完成
a, b ，求做向量a b .
作法1：在平面内任取一点O，
人教版普通高中课程标准实验教材（A版）
必修4 第二章 第二节 2.2.1
向量加法运算及其几何意义
向量的发展历史
1.向量，最初是被应用于物理学.很多物理量如力、速度、 位移以及电场强度、磁感应强度都是向量.大约公元前350年前， 古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力 的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来 自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的 是英国大科学家牛顿.
2.从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所 认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成 为具有一套优良运算通性的数学体系.
高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义 公开课一等奖课件
温故知新 1．向量的有关概念：
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________ 的量，其三要素
始点，大小，方向 ． 是____________________ 大小相等，方向相同 ，所谓共线 (2)相等向量应满足______________________ 方向相同或相反 向量是指___________________ 的向量．
向量和 的方法叫做向量加法的三角形 和，记作a＋b.这种求________
法则．
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD， 则向量 AC ＝a＋b， 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
自主预习 1．向量的加法
和 的运算，叫做向量的加法．两 (1)定义：求两个向量____ 向量 ． 个向量的和仍然是一个______
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[拓展]①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺 次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组 向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个 法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角 形法则的连续应用． ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义． (4)规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.
2.2.1向量加法运算及其几何意义
J
F
E D B
C
AB BC CD DE
0 JK KA ?
A
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
船的实际航行的速度的大小为4km/h,方向
与水流间的夹角是60 ，求v1和v2.
o
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D C
5
A
2
B
向量加 法
只有坚定不移，才能驶向成功彼岸！
向量加 法
(1)向量的相反向量的意义; (2)向量减法运算几何意义;
问题：除了零向量，有没有不能用平行四 边形法则求和向量的情况？
a
特例：共线向量
a
b
A B C
b
B C A
AC a b
方向相同
AC a b
方向相反
课堂练习
教材P84页练习1. 1、（1）
ab
a
ab
b a b
b
（2）
ab
（3）
a
b
b
（4 ） a b
a
b b
向量加 法
课堂练习
二、向量加法的运算法则:
B
a
ba ab a
b
C
D
D
b
A
( a b) c
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.1向量的加法运算及其几何意义
2.2.1
问题 2
想一想，|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？
|a|＋|b| a, b 同向， 当 a 与 b 同向共线时， a＋b 与____ 且|a＋b|＝_______.
本 课 时 栏 目 开 关
a 的方向相同， 当 a 与 b 反向共线时，若|a|>|b|，则 a＋b 与__
|a|－|b| ；若|a|<|b|，则 a＋b 与__ b 的方向相同，且 且|a＋b|＝_______ |b|－|a| |a＋b|＝_______.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1
1．向量的加法法则
本 课 时 栏 目 开 关
(1)三角形法则 如图所示，已知非零向量 a，b，在平面内任取
→ → → AC 一点 A，作AB＝a，BC＝b，则向量____叫做 a 与 b 的和(或
→ → → a ＋ b 和向量)， 记作_____， 即 a＋b＝AB＋BC＝_____. AC 上述求两个 向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
本 课 时 栏 目 开 关
2.2.1
2.2.1
【学习要求】
向量加法运算及其几何意义
本 1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何 课 时 意义． 栏 目 开 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运 关
用这两个法则作两个向量的加法运算．
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加 法运算律的合理性．
a a ＝__. 0 ＋__ 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝__
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1
(2)平行四边形法则 如图所示，已知两个不共线向量 a，b，作 → → OA＝a，OB＝b，则 O、A、B 三点不共线，
高中数学 2.2.1向量加法运算及其几何意义(一)课件 新人教A版必修4
作ABa， BC b，则向 A叫 C 量 a与 作 b 的
和 ，a 记 b.即 a 作 b： A BBC A， C
a
a b C
b
A B
规a 定 0 0 a ：
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
已知向量 a，b. 在平面内任A 取，一
作ABa， BC b，则向 A叫 C 量 a与 作 b 的
和 ，a 记 b.即 a 作 b： A BBC A， C
a
b
a b C
a b
A
B
规a 定 0 0 a ：
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
已知向量 a，b. 在平面内任A 取，一
作ABa， BC b，则向 A叫 C 量 a与 作 b 的
和 ，a 记 b.即 a 作 b： A BBC A， C NhomakorabeaA
B
C
CA
B
情境设置
(1) 某人从A到B，再从B按原方向到C， (2)则两次的位移和：ABBCAC
(2) 若上题改为从A到B，再从B按反方向 到C， 则两次的位移和： ABBCAC
A
B
C
CA
B
情境设置
(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：
C AB
情境设置
(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和： ABBCAC
C AB
情境设置
(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和： ABBCAC (4) 船速A为 B , 水速B为 C, 则两速:度和
C C
AB
A
B
情境设置
(3) 某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和： ABBCAC (4) 船速A为 B , 水速B为 C, 则两速:度和
人教版高中数学必修4A版向量的加法运算及几何意义
向量加法： b b a 交换律：a 结合律： (a b ) c a (b c )
D
B a C
b a b b
O
a b c b c
a b
c
C
b
a
A
A
B a
例：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂 直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h。 （1）试用向量表示江水速度，船速以及船实际航行的速度; （2）求船实际航行的速度的大小与方向（大小保留两位有效数 字，方向用船实际航行速度与江水速度间的夹角表示，精确 到度）。
A
AB
a
2.2 平面向量的线性运算
问题1：
2.2.1 向量加法运算及几何意义
如图，某人从A地到达B地，再从B地到达C地，求此 人两次的位移之和。
C
A
B
求两个向量和的运算叫做 向量的加法． a 与 b 的和记作 a b
问题2：
A
F1 F2
A
B
F
B
F1 F2 F
作业：1.课本P91:1,2,3
2.基础训练2.2.1节的题目
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F1 F2
F
1： 如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的
加法与数的加法有什么关系？
a
b
b
B
a
O
aA
a b
b
B b O aA
a b
2：以下三者之间有何大小关系？
a b
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组 合，利用向量加法法则运算求解． 解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各 向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量 是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一 向量的加法运算 【例 1】 化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二 利用向量证明几何问题 【例 2】 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边 形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明 一组对边对应的向量相等即可．
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
a
c a b
ab
b
bc
c
abc
结 合 律 : ( a b ) c a (b c )
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 12
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
向量加法的运算律 交换律：
14
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
练一练
１.化简
AD (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC ________ 0
２.根据图示填空
E
g
e
(1) a b ( 2)c d
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 5
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
两种特例(两向量平行)
a b a
b
首
尾 首
尾
尾
首 尾
A
B
a b AC
C
B
首
a b AC
C
A
方向相同
2013-1-10
2013-1-10
3
A
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
B
17
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.84 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组1.2.3 练习1.2.3.4
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2.2.1向量加法及其几何意义
练一练
AD 化简 (1) AB CD BC ________
MN (2) MA BN AC CB ________
(3) AB BD CA DC ________ 0
探究2：两个共线向量如何相加？ 和向量的方向如何确定？大小怎么求？
a a
b
探究练习：
1、设a ( AB CD) ( BC DA), b是任一非零 ①a b ；②a +b= a ；③a +b=b ；④ | a b || a | | b | ⑤| a b | = | a | | b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
向量，则下列结论中正确的为(C )
A
B
C
b
B
C
a b AC
A
a b AC
方向相同
方向相反
探究2：当两个向量共线时，它们的和向量的方 向如何确定？大小怎么求？ a a C B
B C
b
A
A
AC a b 方向相同
AC a b 方向相反
b
相同 ， 若a， b同向，则a b与a方向____ a + b 且 | a b | =__________ a 方向 若a， b反向，且 a > b ,则a b的方向与__ － a b 相同，且 | a b | ________
普通高中课程标准实验教科书（必修4）数学第二章第二节
乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机 的位移是什么?
上海
上海
b
香港
c
台北
台北
香港
a
阅读教材P80~81例1
(整理)向量加法运算及其几何意义.
2.2.1向量加法运算及其几何意义一、学习背景：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是解决几何问题的有力工具．向量引入后，把好多图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何的工具。
在本章中，学生学习平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。
二、教材分析《普高中课程标准数学教科书（必修（4））》(人教（版）)。
第二章2.2平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其几何意义”，教材的第2.1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的一些基本概念，向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，在本单元的教学中起着承前启后的作用，它在实际生活中也有广泛的应用，正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。
三、教学目标知识目标：1、掌握向量的加法运算，理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。
能力目标：1、通过向量加法的运算，培养数形结合解决问题的能力；2、通过将向量运算与数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，渗透类比的数学方法。
情感目标：通过师生、生生互动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，培养学生勇于探索的精神和合作交流的科学态度。
四、重点与难点重点：理解向量加法的意义；掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则；难点：理解向量的加法法则及其几何意义．五、教学方法启发探究、小组合作式教学和多媒体辅助教学法六、教学过程1、创设情境引入课题两个数的加法，我们早已学会。
例如“1＋2=3”等，那么对于两个向量是否还能象数一样进行加法运算呢？百度搜索（中国地图）/比如大陆和台湾通航之前，从台湾到石家庄探亲,得先从台北到香港,再从香港到石家庄,这两次位移之和怎样运算？（教师在地图上一边问一边画箭头）如今通航后，我们可以直接从台湾到达石家庄，这次位移是什么？由此导入新课.2、小组探究，学习新知请思考问题1：问题1：通航之前两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？它与通航后的直接位移是什么关系？学生讨论、探究得出结论：——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点．和位移与通航后的直接位移相等。
人教A版必修4第二章《向量》课件 2.2.1向量加法运算及其几何意义
方法与技巧：
5化简下列各式：
1.PB OP OB
2.( AB MB) BO OM
6.对于任一四边形ABCD，下列式子中不等于BC的是（D）
A. BA AD DC
B. BD DA AC
C. AB BD DC
D. DC BA AD
例1、如图,已知向量a, b, 求作向量a b.
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
学习目标:
1、向量的加法运算，及其几何意义
2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量
C
1、位移
AB + BC = AC
A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
r r r r a+ b = b+ a r r r r r r (a + b) + c = a + (b + c )
uuu r r r AC = a + b
当向量a , b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
a b
r r
r
r
u r a o· r r a+ b
A
r b
B
r r r r | a+ b|< | a| + | b|
r r r r 一般地，有 | a + b | < | a | + | b |
数的加法满足交换律与结合律，即对任 意a，b∈R，有a+b=b+a
必修4课件2.2.1向量的加法
b
O
C
以OA,OB为邻边作 A 平行四边形OACB, 则以O为起点,C为终点的向量OC就是a和b 的和. 这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四 边形法则. 平行四边形法则：起点相同连对角. ③规定: a + 0 = 0 + a = a.
a
作OA=a
, OB=b ,
向量的加法：
1.求两个向量和的运算叫做向量的加法.
A
a
b a b
B
a+b
O
首 尾 顺 次 相 连
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为
向量加法的三角形法则。
①向量加法的三角形法则: “首尾相接，首尾连”
AB + BC = AC .
②向量加法的平行四边形法则: B 已知非零向量a ,b, a 在平面上任取一点O, b
课后思考
如图，一艘船从 A点出发能以2 3km/h的速度垂直 向对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度 向东流,求船的航向及速度大小。
C
A
B
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
a b b a; (a b) c a (b c )
数学应用
例2 如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度向东流, 求船实际行驶速度 的大小与方向.
解:如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸
的速度,用向量AB 表示水流的速度
C
D
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD
2.2.1-2.2.2向量的加法、减法运算及其几何意义
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：=+ 二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + aA BC A BCA BCCaa b b aO ABaaa bbb探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；３、注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：六、板书设计（略） 七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F1的夹角是60︒，|F|=10N 求F1和F2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++提出课题：向量的减法用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0A BD C（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b.强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.探究：如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出 a - b ？ 例题： 例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d. 解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作BA ， ， 则BA = a -b ， = c -dO AB a B’b-b bB a+ (-b)a b O abBa ba -bABbad Da -b A B B B’ O a -b a a bb O A O B a -b a -b B A O -b例二、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=ADb， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？（a ， b 互相垂直）变式三：a+b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98小结：向量减法的定义、作图法| 板书设计（略） 备用习题：1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-bD.b-a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a+b=AB ，c-d=DC ，并画出b-c 和a+d.A BD C。
2.2_平面向量的线性运算2.2.1_向量加法运算及其几何意义
答案：8 2
北偏东 45°
答案：8 2 北偏东 45° 答案：8 2 北偏东 45°
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知识要点一：准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 1．两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量 求和．
3．以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB，则以 O 为起点的对角线 OC― →就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 4．对任意两个向量 a、b，均有|a＋b|≤|a|＋|b|. 当 a、b 同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|；当 a、b 反向时有|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)． 5．向量的加法满足交换律和结合律， 即 a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． a＋0＝0＋a＝a.
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知识要点二：向量 a＋b 与非零向量 a，b 的模及方向的关系 1．当向量 a 与 b 不共线时，a＋b 的方向与 a，b 都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|，几何背 景是三角形两边之和大于第三边． 2．当 a 与 b 同向时，a＋b 与 a，b 的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|. 3．当 a 与 b 反向时，若|a|≥|b|，则 a＋b 与 a 的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|. 若|a|＜|b|，则 a＋b 与 b 的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 知识要点三：向量加法的运算律 1．向量加法的交换律：将 a 的起点移至 A 点，将 b 的起点移至 a 的终点，则由 a 的起 点 A 指向 b 的终点 C 的向量 AC― →＝a＋b；同样将 b 的起点移至 A 点，将 a 的起点移至 b 的终点，则由 b 的起点 A 指向 a 的终点 C′的向量 AC′― →＝b＋a，由平行四边形法则知 C 必然和 C′重合，即 a＋b＝b＋a. 2．向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，就可以按照 任意的次序和任意的组合去进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)． 3．向量加法运算满足：A1A2―→＋A2A3― →＋„＋An－ 1An― →＝A1An―→.
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E
D
F A
O
B
C
(3)OA FE 0.
(1)向量加法交换律：
a C
a+ b = b+ a
D
b
a+b
b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c = a + (b + c)
D c D C b+c b B A a c C
a + (b + c) (a + b) + c
a+b
b
B
A a
以上两个运算律可以推广到任意多个向量。
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小和方向.
解：
如图，设 表示水流的速度， AB 表示渡船的速度， AD
D 5
C
AC 表示渡船实际过江的速
度.(由平行四边形法则可以得到)
由AB AD得RtABC, 得 AC 22 52 29
A
2
B
5 tan CAB , 查计算器可得CAB 68。 2 答：船实际航行速度的大小为 29km / h，方向为东偏北68? .
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
教学目标
知识与能力
理解向量的和，掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则,向量加法的运算律
过程与方法
提高学生观察、归纳、迁移能力和动手能；培养学生的转 化思想
情感态度与价值观
注重培养学生积极思考、勇于探索的科学精神以及总结规 律、尊重规律的观念
教学重难点
数学思想方法方面：
1、具体与抽象的数学思维方法; 2、类比的思想方法。
高考链接
1（2009湖北）若向量a=（1，1）,b=(-1,1),c=( A.3a+b C.-a+3b B.3a-b D.a+3b ) B
解析：
本题考查向量的线性运算、逐个验证，3a+b=(2,4),3ab=(4,2),a+3b=(-2,4)故选B
和 共同作用产生的效果相同，物 F F
1
2
理学中把力 叫做
E
O
和 F F 的合力。
1
F2
F 1
F2
E
O
F F 是以 与 为邻边所形成的平行四边形的对角线 . F F 1 2
F ＋F2＝F 1
日常生活中会遇到许多向量加法问题:
例如:某人从A点向东走到B。 然后从B点向北走到C。
思考:这个人所走过的位移是多少?
向量加法的平行四边形法则:
1.将向量平移到同一起点 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线 b 问题：除了零向量，有没有不能用平行四边形法则求 a 和向量的情况？
对于零向量与任一向量a, 我们规定 a+ 0= 0+ a = a
特例：共线向量
(1)向同
a
b
(2)反向
a
b
a+ b
a+ b
重点：
向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加 法的运算律
难点：
对向量和的理解
例如:橡皮条在力 与 F 的作用下 F2 ,从E点伸长到了O点. 1 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点。
E
F 1
O
F2
E
O
F
问:合力 与力 F 、F 有怎样的关系？ 1 F 2
力F 对橡皮条产生的效果，与力
C
分析 :由物理知识可以知道:
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移。
B
Байду номын сангаас
AB
+
BC
=
AC
A
我们把求两个向量 向量的加法, 叫做
的和的运算 a , b ,叫做
a+ b
a , 的和向量。 b
已知向量 a , b, 求作向量a + b.
a b
作法（1）在平面内任取一点Ｏ
(2)作 OA = a ,AB = b
若水流速度和船速的大小保持不变,最后要能
使渡船垂直过江,则船的航向应该如何?在白纸上
作图探究。
D C
5
A
2
B
课堂小结
知识方面：
1、一个概念: 向量的和; 2、两个法则: 向量加法的三角形法则和平行四 边形法则; + a a+ b = b 3、两条运算律: 向量加法的交换律 结合律 +a= a a + 0= 0 ( a+ b ) + c = a+( b + ) c
例2:化简
A
D
C
B
(1)AB + CD + BC = ________ AD
(2)AB + BD + CA + DC = _____ 0
(
)
例3:长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.一艘
船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行
驶,同时江水的速度为向东2km/h.
A
o·
(3)作 OB = a + b
位移的合成可以看作向量加法 三角形法则的物理模型。 B
还有没有其他的做法？
a
b
作法:（1）在平面内任取一点Ｏ
(2)作 OA = a ,OB = b
o·
B
A C
(3)作 OC = a + b
力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型。
向量加法的三角形法则可推广到 向量加法的三角形法则:多个向量相加，如： 1.将向量平移使得它们首尾相连 这时也必须“首尾相连”.可结合 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 物理模型“位移的合成”理解.
uuu r r 向量的表示： AB或a
知识回顾
有向线段
向 向量的大小 (长度、模) 量 向量的方向
相等向量与相反 平行向量(共 单位向量与零 向量 线向量) 向量 既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由于大陆
和台湾没有直航，因此要从
台湾去上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再从香港 到上海，这两次位移之和是 什么？
a， b不共线或共线反向 a ， b共线且同向
a ， b反向且 a ³
b
a ， b反向且 a £ b
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 (2) BC FE (3) OA FE
（ 1 ） OA OC
解： (1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
2（2008安徽）若 则 BC （ B ）
AB (2, 4), AC (1, 3),
A.(1,1)
C.(3,7)
B.(-1,-1)
D.(-2,-4)
| a + b |= | a | + | b |
| a + b |< | a | + | b |
请选用合适符号连接：
a + b ____ a + b ( <, > ,３, , ? )
非零向量a,b处于什么位置时？
探究
(1) a + b < a + b (2) a + b = a + b (3) a + b = a - b (4) a + b = b - a