1.2 二次函数的图象(1)
22.1.2 二次函数的图象和性质(1)教案
描点，并连线
图略
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质。回忆一下如何研究一次函数的图象和性质的？
2、类比探究二次函数
y＝ax2的图象与性质。
问题1：类比一次函数的研究内容和研究方法，画二次函数y＝x2的图象，你能说说它的图像特征和特性吗？你是如何描点画图的？你打算从哪些角度去观察、概括特征？
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
2．难点、关键：用描点法画二次函数y＝ax2的图象、探索其性质及二次函数y＝ax2的灵活运用
教学准备
教科书、多媒体课件
教学时间
1课时
教学过程
第（2）课时
教学环节
教师活动预设
学生活动预设
设计意图
备注
情境导入
如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5，然后准确落入篮筐内。已知，篮圈中心离地面距离为3.05m
（2）已知抛物线y=-2x2,在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而
通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和特性，如位置、形状、函数随自变量的增大如何变化。
九年级数学下册 1.2 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质(第1课时)教案 (新版)湘教版
1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思考探究，获取新知探究1画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图(1)就是y=x2的图象的错误画法.误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x 2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x 2图象的错误画法.探究2 y=ax 2(a ＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2, 212y x =,y=2x 2的图象. 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a ＞0)的图象和性质.【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.y=ax 2(a ＞0)图象的性质1.图象开口向上.2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降.三、典例精析，掌握新知例 已知函数24(2)kk y k x +-=+是关于x 的二次函数. (1)求k 的值.(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围. 解:(1)由已知得22042k k k +≠+-=⎧⎨⎩ ,解得k=2或k=-3. 所以当k=2或k=-3时，函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数.(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0.由（1）知k=2，最低点是（0,0),当x ≥0时，y 随x 的增大而增大.四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ）A.y=x 2B.y=x-1C. 34y x =D.y=1x 2.已知点（-1,y 1),(2,y 2),(-3,y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ）A.y 1＜y 2＜y 3B.y 1＜y 3＜y 2C.y 3＜y 2＜y 1D.y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x ≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 .4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值.【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y轴，43，±3,减小，增大4.解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y轴对称，又∵BC 与y轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：a=38.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法及其性质.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.1.教材P7第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法，再由图象观察、探究二次函数y=ax2(a＞0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.。
【练习】1.2 二次函数的图像 第2课时 二次函数y=a(x+m)2+k(a≠0)的图象及其特征
1.2 二次函数的图像
第2课时 二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的 图象及其特征
浙教版·九年级上册
1. (3分)一次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( D )
2．(3分)对于抛物线y＝－ ①抛物线的开口向下； ③顶点坐标为(－1，3)； 其中正确的结论有( C ) A．1个
轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
解：二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1，一次函数的表达式为y＝x－1. (2)根据图象，直接写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
解：1≤，两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二
y＝ (x－4) －1 个二函数的表达式为___ ．
2
1 4
9．(9分)下列抛物线可由怎样的抛物线y＝ax2(a≠0)，经过怎样的平移得到？ (1)y＝－
(2)y＝－(x＋ 3)2－5； (3)y＝3(x－ 1 )2＋ 3
2
1 (x－4)2； 3
4
.
1 1 解：(1)y＝－ (x－4)2 可由抛物线 y＝－ x2 向右平移 4 个单位得到． 3 3 (2)y＝－(x＋ 3)2 －5 可由抛物线 y＝－x2 先向左平移 3个单位，再向下平移 5 个单位 得到． 1 2 3 1 3 2 (3)y＝3(x－ ) ＋ 可由抛物线 y＝3x 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到． 2 4 2 4
y＝－8(x－ )2＋3 2
14. (7分)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使 △PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角 形．若H(0，－2)是抛物线y＝x2＋n的T型点，则n的取值范围是
1.2 二次函数的图象与性质
y = 1 x2 2
Q
y = - 1 x2 2
观察
1 观察下图，函数 y = - 2 x2 的图像具有哪些性质？ 1 x2 y = 从图中可以看出，二次函数 2 的图象是一条曲线，
图象的开口向 下 ，
y = 1 x2 2
对称轴是
y轴 ， O(0，0)；
y = - 1 x2 2
对称轴与图象的交点是
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增 大而 增大 ，简称为 左升 ； 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增 大而 减小 ，简称为 右降 ； 当 x= 0 时，函数值最 大 ，最 ----大 值为 0
(3)顶点是(h,0). 2 2 抛物线y=a(x－h) 可以由抛物线y=ax 向左或向右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
由于我们已经知道了二次函数y=a 2(x-h) 的 图象的性质，因此今后在画y=a(x-h) 的图象时， 只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然 后利用对称性，画出左边的部分.
2观察右图，y轴右边描出的各点， 当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？ → y轴右边的所有点都具有纵坐标随着横 坐标的增大而增大的特点吗？
′ A
A
B`
B
C`
C
图象在y轴右边的部分，函数值随自变 量取值的增大而增大，简称为“右升 ”.
3.观察右图，y轴左边描出的各点， 当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？ y轴左边的所有点都具有纵坐标随横 坐标的增大而减小的特点吗？ 图象在y轴左边的部分，函 数值随自变量取值的增大 而减小，简称为“左降”→
1 y ( x 2) 2 2
6 5
观察三条抛物线的相互关系, 并分别指出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
二次函数几何画板课件
复习导入
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
平移前解析式
Hale Waihona Puke 平移后解析式简记向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
探究新知
画出二次函数 =
,
=
(−) ,
=
(−) +3的图象，并探究它们的图
象特征和性质．
列表：自变量x从顶点的横坐标向右开始取值．
x
0
2
3
4
=
0
2
8
x
1
2
3
4
5
(−)
0
2
8
x
1
2
3
4
5
= (−) +3
3
5
11
=
1
探究新知
描点和连线：画出图
象在对称轴右边的部
分．利用对称性，画
第一章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质4
复习导入
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
二次函数的图象和性质（1）教案
湘教版数学九年级二次函数的图象与性质（1）教学设计课题二次函数的图象与性质(一) 单元第一单元学科数学年级九年级学习目标1.学生会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念.2.使学生经历、探索二次函数图象性质的过程.3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象.难点用描点法画出二次函数的图象以及探索二次函数性质教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图复习导入师：同学们，回忆一下1、二次函数的一般形式是怎样的？2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还记得吗，请列出来。
3、二次函数图象是什么形状呢？是否可以借鉴一次函数的图像画法呢？学生回顾．通过回顾所学知识为本节课的学习做好铺垫．讲授新课一、探究二次函数y=ax2(a>0）的图象和性质1.探究：画二次函数的图象.（1）列表：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么？观察表格中的数据，你有什么发现？（2）描点：描点时应以哪些数值作为点的坐标？在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点．（3）连线：光滑的曲线顺次连接学生填表．在教师的引导启发学生观察表达式的特点．通过学生思考和点A与点A′，点B与点B′，…，它们有什么关系？由此你能作出什么猜想?从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？y=x2的图象在y轴右边所有点都具有这样的性质吗？图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小．简称为“左降”．当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大．简称为“右升”．抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象看出的其他一些性质（除了上面已知的关于y轴对称和“右升”外），还有哪些性质？对称轴与图象的交点是___________；图象的开口向_________；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称“左降；当x=_______时，函数值最_____．一般地，当a>0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2（a>0）的图象时，可以下观察图像，引导学生自主探究，让学生讨论、交流，达成共识．交流对函数性质的认识，并积累从图象的角度研究函数性质的经验．先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．例 1 画二次函数212y x =的图象． 二、探究二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质探究：我们已经会画212y x =的图象， 能不能从它得出二次函数212y x =-的图象呢？ 分析：把212y x =的图象沿着x 轴翻折并将图象 “复制”出来， 就可以得到212y x =-的图象.画二次函数212y x =-的图象． 在212y x =的图象上任取一点21(,)2P a a ，它关于x 轴的对称点Q 的坐标是21(,)2P a a -．如图所示，从点Q 的坐标看出，点Q 在212y x =-的图象上．由此可知，212y x =-的图象与 212y x =的图象关于x 轴对称．因此只要把212y x = 的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到212y x =-的图象．如图的绿色曲线．观察图象，归纳与总结：一般地，抛物线y =ax 2的对称轴是_____，顶点是________．当a >0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_____，在对称轴的右学生动手画图象．对比画图．归纳二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性培养学生画图能力．体会二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．掌握y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．侧，y 随x 的增大而_____．当a <0时，抛物线的开口向___，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________． 例2 画二次函数214y x =-的图象．观察函数2y x =和212y x =图象的开口大小，你能得出什么结论？观察函数2y x =-和212y x =-图象的开口大小，你又能得出什么结论？三、抛物线的概念在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y =x 2的图象相像吗？以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y =ax 2（a <0）的图象的一段．由此受到启发，我们把二次函数y =ax 2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y =ax 2．一般地，二次函数y =ax 2的图象关于y 轴对称，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫作抛物线y =ax 2的顶点．质．通过实际问题理解抛物线的概念．帮助学生理解二次函数是具有广泛应用价值的，重要的数学模型．巩固练习 1、直接运用性质填空： (1)图象的对称轴是 ， 顶点是 ,图象的开口向 ； (2)图象的对称轴是 ， 顶点是 ,图象的开口向 . 2、如图所示，已知二次函数y =ax 2的图象经过点A ． （1）求a 的值；（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．3、已知函数221m m y mx --=的图象是开口向下的抛物线．（1）求m 的值；（2）当x =3时，函数值是多少？当y =-6时，求x 的值；（3）试说明当x <3时，函数值的变化情况，并求当x 为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 4、底面是边长为x （cm ）的正方形，高为0.5 cm 的长方体的体积为y （cm 3）．（1）求y 关于x 的函数关系式，并画出函数图象； （2）根据图象求出y =8 cm 3时，底面边长x 的值； （3）根据图象，求出x 为何值时，y ≥4.5 cm 3．学生独立完成并展示．巩固学习，让学生用自己的方法展示出来，并且让学生得到进一步的锻炼．让学生建立自己对本节内容的认知．课堂小结学生自主交流、归纳、总结．培养学生的归纳、总结能力．板书1.2 二次函数的图象与性质（1）1.探究：画二次函数的图象. （1）列表：（2）描点：（3）连线：。
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
21.1.2_二次函数的图象和与性质(1)
。
练7.（衢州•中考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB =90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积 为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
2 2 A. y x 25
4 2 B. y x 25
4 2 D. y x 5
2 2 C. y x 5
【解析】选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作 DF⊥AC于F.可证得△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形，设 BC为m，则DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，∴CF=3m，
4
2 －4 －2 2
y
4
1 2 x 2
探究
画出函数
线有什么共同点和不同点．
1 y x 2 , y x 2 , y 2 x 2 2
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
x
· · · －4
－3 －4.5 －1.5
－2
－1
0 0
1 －0.5 0 0.5
2
3
4 －8 2
练1．填空：已知二次函数
(1)其中开口向上的有②③⑥ ______(填题号)； ⑤ 填题号)； (2)其中开口向下且开口最大的是____( (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐 ①④⑤ 渐变小的有__________( 填题号)．
练2、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正 确的是( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. y (D) 对任意实数x,都有y＞0.
E F
则(3m) (4m) x
2024年中考数学一轮复习课件--二次函数的图象和性质(70张PPT)
A.m＜－3
B.m＞－3
C.m≤－3
D.m≥－3
类型二 二次函数解析式的确定及图象的平移
9.把函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单
位，得到的图象解析式为（ A ）
2
2
A.y＝－3（x－2） －1
B.y＝－3（x＋2） －1
C.y＝－3（x－1）2＋2
时 ， y 随 时 ， y 随
x的增大 x 的 增 大
减小
增大
而
； 而
；
顶点式：y＝a
（x－h）2＋k（a，
h， k是常数，
a≠0）
在 对 称
轴
右
增 侧 ， 即
减 当 x ＞ h
性 时，y随x
的 增 大
而 增大
在 对 称
轴右侧，
即当x＞h
时，y随x
的 增 大
而 减小
交点式：y＝a
一般式：y＝ax ＋bx＋c
5.（2023·杭州）设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，
m，k是实数），则（ A ）
A.当k＝2时，函数y的最小值为－a
B.当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C.当k＝4时，函数y的最小值为－a
D.当k＝4时，函数y的最小值为－2a
6.（2023·福建质检）二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象过
①抛物线翻折的本质为抛物线的翻折→抛物线上点的翻折→关
注抛物线的开口，并对顶点进行翻折→抛物线顶点式；
②将抛物线y＝a（x－h）2＋k沿着直线x＝m（或y＝k）翻折，
其解题策略与沿着坐标轴翻折一致，同学们不妨一试.
二次函数的图象和性质(1)精选ppt
(-2,-4)
(2,-4)
顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下.
当x<0时，ຫໍສະໝຸດ 数值y随x的增大而增大； 当x>0时，函数值y随x的增大而减小.
当x=0时,函数 y 整a理x2取得最大值 ymax 05
y 2x2
y x2
y 1 x2 2
整理
6
如图所示的四个二次函数的图像所对应的
函数分别是① y ax2 ; ②y bx2 ;③
(1)求二次函数的表达式；
(2)求抛物线与过点(0，-2)且与x轴
平行的直线的两个交点与顶点构成
的三角形的面积.
整理
16
9．如图，直线AB过x轴上的点A(2，0)，且 与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为
(1，1). (1)求直线和抛物线所表示的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点D，使得 S△OAD=S△OBC，若不存在，说明理由；若存在， 请求出点D的坐标.
D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的
顶点
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11
4．若对任意实数x，二次函数y=(a+1)x2
的值总是非负数，则a的取值范围是
（）
A.a≥－1
B.a≤－1
C.a>－1
D.a<－1
整理
12
5．如图，函数y=－a(x+a)与y=－ax2(a≠0)在
同一坐标系上的图象是（ ）
整理
13
6．已知a<－1，点(a－1，y1)，(a,y2), (a+1，y3)都在函数y=x2的图象上，则 （） A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2
整理
17
整理
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1.2 二次函数的图象(1)
二次函数y=ax
2
(a≠0)的图象是顶点在原点的一条抛物线，当a>0时，开口向上；当a<0时，
开口向下．
1.已知抛物线y=(m-1)x
2
经过点(－1，－2)，那么m的值是(B).
A.1 B.－1 C.2 D.－2
2.抛物线y=ax2(a＜0)的图象一定经过(B).
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
3.函数y=xa与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D).
A. B. C. D.
4.在同一平面直角坐标系中作函数y=3x2，y=-3x2，y=31x
2
的图象，这些图象的共同特点是
(B).
A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B.都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D.都是关于y轴对称，抛物线开口向下
5.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=201x2(x＞0)，若
该车某次的刹车距离为5m，则刹车前的速度为(C).
A.40m/s B.20m/s C.10m/s D.5m/s
6.已知抛物线y=ax2(a＞0)过A(-2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式中,一定正确的是(C).
A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0
7.若抛物线y=ax2经过点A(3，-9)，则其函数表达式为 y=-3x2 ．
8.若抛物线y=(a+1)x
a2+a
开口向下，则a= -2 ．
9.已知二次函数y=ax
2
的图象经过点P(-2，5).
(1)求a的值.
(2)若点M(4，m)在这个二次函数的图象上，求m的值.
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【答案（1）∵二次函数y=ax
2
的图象经过点P(-2，5)，
∴a×(-2)2=5，解得a=45.
（2由（1）知二次函数表达式为y=45x2，
∵点M(4，m)在这个二次函数的图象上，
∴m=45×42=20.
10.根据下列条件，求a的值或取值范围：
(1)函数y=(a-2)x2，当x＞0时，y随x增大而减小;当x＜0时，y随x增大而增大．
(2)函数y=(3a-2)x
2
有最大值．
(3)抛物线y=(a+2)x2与抛物线y=-21x
2
的形状相同．
(4)函数y=(a-1)x
a2-a
的图象是开口向上的抛物线．
【答案】（1）a＜2．
（2）a＜32．
（3）a=-2.5.
（4）a=2.
11.已知四个二次函数的图象如图所示，则a1，a2，a3，a4的大小关系是(A).
A.a1＞a2＞a3＞a4 B.a1＜a2＜a3＜a4 C.a2＞a1＞a4＞a3 D.a2＞a3＞a1＞a4
(第11题) (第12题)
12.株洲湘江五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系(如图1所示)，小明在五桥观光，发现拱梁
的路面部分均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20m，拱高(中
柱)10m，于是他建立如图2所示的平面直角坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了.
那么，中柱右边第二根支柱的高度是(D).
A.7m B.7.6m C.8m D.8.4m
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13.边长为1的正方形OABC的顶点A在 x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，将正方形OABC
绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，使点B恰好落在函数y=ax
2
(a＜0)的图象上，则a的
值为(D).
A.- 2 B.-1 C.- 423 D.- 32
(第13题)
(第14题)
14.如图所示，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O上，AD∥x轴，以O为
顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分.
则图中阴影部分的面积是 2 ．
15.已知函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1，b).
(1)求a和b的值．
(2)当x取何值时，二次函数y=ax
2
中的y随x的增大而增大？
(3)求抛物线y=ax
2
与直线y=2x-3的另一个交点B的坐标．
【答案】（1）a=-1,b=-1.
（2）∵a=-1，∴二次函数y=ax2为y=-x2，它的图象开口向下，对称轴为y轴.
∴当x＜0时，y随x的增大而增大.
（3）解方程组232xyxy,得1111yx,9322yx.
∴抛物线y=ax
2
与直线y=2x-3的另一个交点B的坐标是（-3，-9）．
16.有一座横断面为抛物线形状的拱桥，其水面宽AB为18m，拱顶O离水面AB的距离OM为
8m，货船在水面以上部分的横断面是矩形CDEF，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的二次函数表达式．
(2)如果限定矩形的长CD为9m，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥？
(3)若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．
【答案】（1）y=-818x2．
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（2）∵CD=9,∴点E的横坐标为29，则点E的纵坐标为-818×292=-2.
∴点E的坐标为（29,-2）.
∴要使货船能通过拱桥，则货船高度不能超过8-2=6（m）.
（3）∵EF=a，∴点E坐标为（21a,- 812a
2
） (第16题)
∴ED=8-│-812a2∣=8-812a2.
∴S矩形CDEF=EF·ED=8a-812a3（0＜a＜18）．
(第17题)
17.如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=4x+4交y轴于点A，在抛物线
y=2x
2
上是否存在一点P，使△POA的面积等于10？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
说明理由．
【答案】假设存在一点P（m，n），使S△POA=10.∴S=21OA·|m|=10，即21×4×|m|=10，
解得m=5或-5.把m代入y=2x
2
，解得n=50.∴点P的坐标为（5，50）或（-5，50）．
18.【宁夏】已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax与y=ax
2
的图象有可能是(C).
A. B. C. D.
(第19题)
19.【淄博】如图所示，Rt△OAB的顶点A(-2，4)在抛物线y=ax
2
上，将Rt△OAB绕点O顺
时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线相交于点P，则点P的坐标为 （2，2）
（第20题）
20.如图所示，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2(x≥0)和抛物线C2：y=
4
2
x
(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B
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作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则EADOFBSS的值为(D).
A. 62 B. 42 C. 41 D. 61
【解析】设点A，B的横坐标为a（a＞0），则点A的纵坐标为a2，点B的纵坐标为42a
∵BE∥x轴，∴点F的纵坐标为42a.∵F是抛物线y=x
2
上的点，
∴点F的横坐标为x=y=21a.
∵CD∥x轴，∴点D的纵坐标为a2.
∵D是抛物线y=
4
2
x
上的点，
∴点D的横坐标为x=y4=2a.
∴AD=a，BF=21a，CE=43a2，OE=41a2.
∴EADOFBSS=CEADOEBF2121=224321412121aaaa=61.故选D.