沪教版初二上册直角三角形(提高)巩固练习

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沪教版数学(上海)八年级第一学期课时练：19.8直角三角形的性质(含答案)

19.8（1）直角三角形的性质一、填空题1．若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是_________ ．2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，(1)若∠B＝50°，则∠A＝__________；(2)若∠B－∠A＝50°，则∠A＝__________；(3)与∠A互余的角有________________；(4)与∠A相等的角有________________．第2题图3．已知直角三角形面积等于24平方厘米，斜边上的高为4厘米，则斜边上的中线长为厘米．4．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm，则斜边长是 cm．5. 若直角三角形的斜边上的高与斜边上的中线长分别为2 cm和3 cm，则这个直角三角形的面积为__________cm2.6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为24 cm，三边长的比为3∶4∶5，则斜边上的中线长为__________cm，斜边上的高为__________cm.二、解答题7．如图，已知△ABC中，∠ ABC=∠ ACB，D、E为△ABC外两点，AD⊥BD，AE⊥CE，F、G 分别为AB、AC的中点．求证：DF＝GE.8．如图，已知：在ABC ∆中，D BC AC AD C B 于交，，⊥=∠=∠2040．求证：AB CD 2=．9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，M 是AB 的中点，AM ＝AN ，MN ∥AC . 求证：MN ＝AC .10. 如图，已知HE 、AG 相交于点D ，点B 、C 、F 分别是线段DG 、HD 、AE 的中点，若AH ＝AD ，DE ＝EG .求证：CF ＝BF .ABCD三、提高题11．如图，已知：在ΔABC 中, ∠ABC=2∠C,AD ⊥BC 于D,E 是AC 中点,ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ．求证：BF=BD ．19.8（2）直角三角形的性质一、填空题1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，若BC ＝4 cm ，则AB ＝__________cm.2. 在△ABC 中，若∠C ∶∠B ∶∠A ＝1∶2∶3，BC ＝16,则AB ＝__________.3.在Rt △ABC 中，若∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∠A ＝30°，若BD ＝4cm ，则BC ＝__________cm ，AD ＝__________cm.4. 等腰三角形的顶角为30°，腰长为4 cm ，则这个等腰三角形的面积为__________cm 5．△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC 边上的高AD= cm.．ＣＢＡＥＤＦ6.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的顶角度数是__________．7.如图，在Rt△ABC中，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿CM翻折，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A＝__________度．二、解答题8．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAC=90° , AD= 12 CD．AB CD1 2AB．9．已知：如图，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°．求证：AC＝AB CD10. 如图，已知等边三角形中，E 是AC 上的一点，CE ＝14AC ，过E 作DE ⊥AC 交BC 于点D . 求证：D 是BC 的中点．11. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 为AB 边上的中线，若AC ＝AE .求证：BC ＝2CD .三、提高题12．已知：等腰三角形一腰上的高是另一腰长度的12，求这个等腰三角形的底角的度数。

19.8直角三角形的性质-沪教版(上海)八年级数学上册同步练习

19.8 直角三角形的性质同步练习一、选择题1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（）A 、26B 、18C 、20D 、21 2．图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．94 3． “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是( )A ．B ．C ．D ． 4. 一个等腰三角形的腰长为17，底边长为16，则该等腰三角形的面积为（）A 、112B 、120C 、128D 、136 5．如图，矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝16，AB ＝8，则DE 的长为（）121415110赵爽弦图A 、12B 、10C 、8D 、6 二、填空题6．如图所示，以Rt △ABC 中的三边向外作正方形，其面积分别为,则S 3=________；7．直角三角形两条直角边的长分别为6、8，则斜边上的高为_________.8．一个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为__________. 9．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为_________.10. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =15，BC : AC =3:4，则BC =___________. 三、解答题11．如图所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，若AB =60m ，BC =84m ，AE =100m ，则这条小路的面积是多少?C 'EDCB A8,4,,,21321==S S S S S且12. 已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，求它底边上的高13．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.14. 在长方形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE .EFDCBA104020 40出发点 70终止点15．AB是一个12米长的墙，用18米长的网围成一个如图所示的鸡舍，求鸡舍的面积.参考答案1． C 2． C 3． C 4． B 5． B 6． 12 7． 4.8 8． 34cm 9． 480cm 10．911．解：（1）RT △ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2 ,所以1002=602+BE 2，BE=80,CE=4路的面积=EC×AB=4×60=240m 2.12．解：等腰△ABC 中.AD 是BC 上的高，所以BD=CD=3.RT △ABD 中，AB 2=AD 2+BD 2 ,所以52=AD 2+32，AD=4.13．解：解：BA ⊥AC 于点A ，Rt △ACB 中，BC 2=AC 2+AB 2 ,所以BC 2=602+802，BC=100.ACBD14．解：设DE=x,则DE=BE=x,AE=10－x.∠DAE=900，Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2,所以x2=42+(10－x)2，x=5.8,所以DE=5.8.15．解：解：设BC=x,则AC=18－x.∠ABC=900，Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2,所以(18－x)2=122+x2，x=5,所以BC=5,S△ABC=1/2 BC×AB=1/2×12×5=3010402040出发点70终止点A BC。

沪教版(上海)八年级第一学期直角三角形例题精讲与练习

直角三角形例题精讲与练习【例题精讲】例1 若a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论：①以a 2，b 2，c 2的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a +b ，c +h，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以，，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．其中所有正确结论的序号为______________．例2 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC =BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（）．A ．x =yB ．x >yC ．x <y D．不确定例3 如图，在求证：（1）；（2）；（3）为边的三角形是直角三角形．例4 已知∠AOB =90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB （或它们的反向延长线）相交于点D 、E ．当三角板绕C 旋转到CD 与OA 垂直时，如图①，易证OD +OE OC ．当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，如图②、图③这两种情况下、上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．例5 如图，已知P 为△ABC 边BC 上的一点．且PC =2PB ，∠ABC =45°，∠APC =60°，求∠ACB 的度数．1a 1b 1c⋅⊥=∠∆AB CD ACB ABC Rt .90, 中.,,,h CD c AB a BC b AC ====222111h b =+αh c b a +<+h c h b a ++、、【实战演练】1．用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形．所得的四边形的周长是__________．2．如图，P 是正△ABC 内的一点，且PA =6，PB =8，PC =10，若将△PAC 绕点A 旋转后，得到△P’AB ，则点P 与点P ’ 之间的距离为____________，∠APB =____________．3．如图，已知AB =13，BC =14，AC =15，AD ⊥BC 于D ，则AD =____________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 的长分别为2，2，，2，并且AB ⊥BC ，则∠BAD 的度数为____________．5．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N，则MN 等于（）．A ．B ．C ．D ． 6．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高为（）． A B C D 7．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，将△ABC 折叠．使B 点与A 点重合，折痕为DE ，则CD 等于（）cm ．A ．B ．C ．D ．23659512516525422374538．如图,在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，交AD 于E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（）．A ．AB=BFB ．AE=EDC ．AD=DCD ．∠ABE=∠DFE9．如图，已知△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，D 为AB 边上一点．求证：10．△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，若∠C =90°，如图（1），根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）、（3），请你类比勾股定理，试猜想 a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论．11．如图，在△ABC 中，已知AB=BC=CA ，AE=CD ，AD 、BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP =2PQ ．12．美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方形，如果图中所有的正方形的面积之和是980平方厘米．问：最大的正方形的边长是___________．13．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =13，边BC 上的中线AD =6，则BC 的长为____________．14．△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，D 、E 是AB 上两点，AD =3，BE =4，∠DCE =45°，则△ABC 的面积是____________．15．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠BCD =90°，BC =CD ，E 是AD 延长线上一点，若DE=AB =3，CE =4在，则AD 的长为____________．16．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是（）．A ．CF >GB B ．CF =GBC ．CF <GBD ．无法确定222DE AE AD =+17．对如下的3个命题：命题1：边长为连续整数的直角三角形是存在的．命题2：边长为连续整数的锐角三角形是存在的．命题3：边长为连续整数的钝角三角形是存在的．正确命题的个数为（）．A ．0B ．1C ．2D ．318．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么（a +b ）2的值为（）．A ．13B ．19C ．25D ．16919．在锐角三角形中，已知某两边a =1，b =3，那么第三边的变化范围是（）． A ． B ． C ． D ．20．如图，已知∠ACB=90°，是∠CAB 的平分线，BC =4，CD =，求AC 的长． 21．如图，已知∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =DC ．求证：BD 2=AB 2+BC 2．22．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作等边△ABE 和等边△ACD ，DE 与AB 交于F ，求证：EF =FD ．应用探究乐园23．如图，直线OB 是一次函数y =2x 的图象，点A 的坐标为（0，2），在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．42<<c 32≤<c 102<<c 108<<c 3224．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0）、（3，4），动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M从O点出发沿OA向终点A运动，点N从B出发沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于P．连MP，若M、N两动点运动了x秒．（1）设△MPA面积为y，试求y与x的函数关系式；（2）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？。

沪教版初二上册《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《几何证明》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解命题、逆命题、定理、逆定理等的含义；2.掌握证明真命题正确性的方法步骤，会举反例说明假命题的错误；掌握证明线段相等角度相等的基本方法和思路；3.理解轨迹的定义，掌握三种基本轨迹；4.能判断直角三角形全等，能应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何证明1．命题和证明（1）命题定义：判断一件事情的句子.判断为正确的命题，叫做真命题；判断为错误的命题，叫做假命题.（2）演绎证明（简称证明）从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程要点诠释：命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.2.公理和定理（1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.逆命题与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题（2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理.4.证明真命题的一般步骤（1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）（2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号（3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”（4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）（5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程（6）检查表达过程是否正确、完善要点诠释：（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；（ 2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系 .要点二、线段的垂直平分线和角的平分线1. 线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 .（2）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 .如图：∵ MN 垂直平分线段 AB ∴PA=PB（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 .要点诠释：线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用2. 角的平分线1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线2）角的平分线有下面的性质定理：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 .②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上如图：∵ OP 平分∠ AOB ， PD ⊥OA ， PE ⊥OB ，∴PD=PE.3. 垂线的性质性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 . 简称：垂线段最短要点诠释：（ 1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系； AE（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.要点三、轨迹1.轨迹的定义把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.要点诠释：轨迹定义包含以下两层含义：其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的纯粹性）；其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.2.三条基本轨迹轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.3.交轨法作图利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法. 如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A 的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件 A 和条件B.交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法.要点诠释：“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一点作已知直线的垂线；（5）作线段的垂直平分线.要点四、直角三角形1.直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即（SAS、ASA、SSS、AAS）（2）直角三角形全等的HL 判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.2.直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° . 3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点，那么A、B 两点的距离为：两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：要点诠释：几何证明的分析思路：（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件. 例如：要证线段相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；要证角相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）；要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论. 例如：已知线段的垂直平分线→线段相等；已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；已知直线平行→角相等；已知边相等→角相等（前提：在同一三角形中）【典型例题】类型一、命题与证明1. 命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。

沪科版数学八年级上册第十三章-三角形中的边角关系、命题和证明巩固练习(解析版)

沪科版数学八年级上册-第十三章-三角形中的边角关系，命题与证明-巩固练习一、单选题1.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（）A.90°B.120°C.135°D.180°2.如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A.10°B.20°C.30°D.80°3.有一种几何体是用相同正方体组合而成的，有人说：这样的几何体如果只给出主视图和左视图是不能唯一确定的，我们可以找出一个反例来说明这个命题是假命题，这个反例可以是（）A. B.C. D.4.若一个三角形的一边长为3 cm，则它的周长可能为（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.8 cm5.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A. B. C. D.6.对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x⊗1=0的根为：x1=﹣2，x2﹣1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（1，﹣2）在函数y=x⊗（﹣1）的图象上．其中正确的是（）A.①②③④B.①③④C.①②④D.①②③7.若线段2a+1，a，a+3能构成一个三角形，则a的范围是（）A.a>0B.a>1C.a>2D.1<a<38.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A.三条角平分线的交点B.三条高的交点C.三边的垂直平分线的交点D.三条中线的交点二、填空题9.如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪。

量角器的O刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是________．10.如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是________．11.命题“同位角相等”的逆命题是________12.一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是________.13.“若实数a，b，c满足a<b<c，则a+b<c”，能够说明该命题是假命题的一组a，b，c的值依次为________．14.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=________．15.如图,已知△中, ,剪去后变成四边形,则=________.16.如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△AOB绕点O按每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t 秒时，边CD所在直线恰好与边AB所在直线垂直，则t的值为________．三、解答题17.有一块三角形优良品种试验基地，如图，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制订出两种以上的划分方案以供选择（画图说明）.18.如图，按规定，一块横板中AB、CD的延长线相交成85°角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？四、综合题19.已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE、DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C >∠DAC）.（1）若∠B=80°，∠C=40°，求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何种关系？并说明理由.20.实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射．若被b 反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=________，∠3=________；（2）在(1)中，若∠1=55°，则∠3=________；若∠1=40°，则∠3=________；（3）由(1)、(2)请你猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3等于多少度时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．21.如图：△ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5，（1）求△ABD的面积．（2）求AC的长．（3）△ABD和△ACD的面积有何关系．答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°，∵三个全等三角形，∴∠4+∠9+∠6=180°，又∵∠5+∠7+∠8=180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°，∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．故答案为：D【分析】在题目中，根据相邻三个角的角度和为180°，即可求得9个角的角度和，根据三个三角形为全等三角形，即可求得三个角的角度和。

沪教版(上海)八年级上册数学 19.7 直角三角形全等的判定同步习题(含答案)

19.7 直角三角形全等的判定同步习题一、选择题1.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D、E为垂足，下列结论正确的是（）A．AC=2AB B．AC=8EC C．CE=12BD D．BC=2BD2. 如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对3. 如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（）A.1B.2C.3D.44. 在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A. △ABE≌△ACFB. 点D在∠BAC的平分线上C. △BDF≌△CDED. 点D是BE的中点5．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断6. 已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定二、填空题7. 如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．8. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.9. 判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.10. 如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________cm.11. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.12.如图，已知△ABC中，AB=AC=8cm，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，则DE= ．三、解答题13. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，∠BAC＝120°．求证：12DE DF BC+=．14.如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点. （1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.15. 如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，•若AB＝CD，试证明BD平分EF．参考答案一.选择题1. B；2. D；3. A；4. D；5. A；6. A；二.填空题7. △DFE，HL；8. 6；9. （1）（2）10.20；11.45°；12.4cm；三.解答题13.证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝1(180)302BAC︒-∠=︒．∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴12DE BD=，12DF CD=．∴12DE DF BC+=．14.解：（1）如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点.∴DM=12BC，ME=12BC，∴DM=ME，又∵N是DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°－∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BMD+∠CME=（180°－2∠ABC）+（180°-2∠ACB） =360°－2（∠ABC+∠ACB）=360°－2（180°－∠A）=2∠A，∴∠DME=180°－2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°－∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°－∠A）=360°－2∠A ∴∠DME=180°－（360°－2∠A）=2∠A-180°.15.证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，,, AB CD AF CE=⎧⎨=⎩∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，,,,BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF．。

沪教版八年级上19.3 直角三角形巩固练习(有答案)

【巩固练习】一、选择题1.下列命题中，不正确的是（）A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等2. 如图，△中，＝，⊥于D，⊥于E，和交于点O，的延长线交于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对3. 如图，在△中⊥，⊥，垂足分别为D、E，、交于点H，已知＝＝3，＝4，则的长是（）A.1B.2C.3D.44. 在如图中，＝，⊥于E，⊥于F，、交于点D，则下列结论中不正确的是（）A. △≌△B. 点D在∠的平分线上C. △≌△D. 点D是的中点5．如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）．A．相等 B．不相等C．互余或相等 D.互补或相等6. 已知如图，∥，⊥，⊥，＝，＝2，＝3，则△的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定二、填空题7. 如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，＝，＝．则Δ≌，全等的根据是．8. 如图，已知⊥于B，⊥于D，⊥，＝，若＝2，＝4，则＝.9. 判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是.10. 如图，△中，平分∠，＝20cm，那么M到的距离是cm.11. 如图，已知是△的高，E为上一点，交于F，且＝，＝.则∠＝.12. 如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝.三、解答题13. 如图所示，在△中，＝，D是边上的点，⊥，⊥，垂足分别为点E、F，∠＝120°．求证：12DE DF BC+=．14. 求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等．15. 如图，A，E，F，C在一条直线上，＝，过E，F分别作⊥，⊥，•若＝，试证明平分．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】C选项如果是一个等腰三角形的腰和另一个等腰三角形的底边对应相等，这是肯定不全等.2. 【答案】D；【解析】△≌△；△≌△；△≌△；△≌△；△≌△；△≌△.3. 【答案】A ；【解析】本题可先根据判定△≌△，可得出＝，从而得出＝－＝4－3＝1.4. 【答案】D ；【解析】A 选项：∵＝，⊥于E ，⊥于F ，∠A ＝∠A ∴△≌△（），正确；B 选项：∵△≌△，＝∴＝，∠B ＝∠C ，∠＝∠＝90°∴＝故点D 在∠的平分线上，正确；C选项：∵△≌△，＝∴＝，∠B ＝∠C ，∠＝∠＝90°∴△≌△（），正确.5. 【答案】D ；【解析】如果两个三角形都是锐角三角形或钝角三角形，那么相等；如果一个是锐角三角形一个是钝角三角形，那么互补.6. 【答案】A ；【解析】因为知道的长，所以只要求出边上的高，就可以求出△的面积．过D 作的垂线交于G ，过E 作的垂线交的延长线于F ，构造出△≌△，求出的长，即为的长，然后利用三角形的面积公式解答即可二.填空题7. 【答案】△，；【解析】＋＝＋，即＝，斜边相等；8. 【答案】6；【解析】＝＋＝＋＝4＋2＝6；9. 【答案】（1）（2）10.【答案】20；【解析】过M 作⊥于D ，可证△≌△，所以＝＝20cm .11.【答案】45°；【解析】证△与△全等，＝，△为等腰直角三角形.12.【答案】270°；【解析】∠1＋∠6＝∠2＋∠5＝∠3＋∠4＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝270°.三.解答题13.【解析】证明：∵ 在△中，＝，∠＝120°，∴ ∠B ＝∠C ＝1(180)302BAC ︒-∠=︒． ∵ ⊥，⊥，14.【解析】根据题意，画出图形，写出已知，求证．已知：如图，在△与△A B C '''中．＝A B ''，＝B C ''，⊥于D ，A D ''⊥B C '' 于D '且＝A D '' 求证：△≌△A B C '''证明：在△与△A B D '''中∵AB A B AD A D''=⎧⎨''=⎩ ∴△ ≌ △A B D ''' ()∴∠B ＝∠B '(全等三角形对应角相等)在△与△A B C '''中∴△≌△'''A B C ()15.【解析】证明∵⊥，⊥，∴∠＝∠＝90°．∵＝，＋＝＋．即＝．在△和△中，,, AB CD AF CE=⎧⎨=⎩∴△≌△（），∴＝．在△和△中，,,,BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△≌△（），∴＝，即平分．。

沪教版初二上册《几何证明》全章复习与巩固—巩固练习(基础)

沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《几何证明》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2015•黄石校级模拟）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分ABC. AB与CD互相垂直平分D. CD平分∠ACB3．如果直角三角形的三条边为2，4，a，那么a的取值可以有（）A.0个B.1个C.2个D.3个4．（2016秋·泰山区期中）按下列各组数据能组成直角三角形的是（）A.11，15，13B.1，4，5C.8，15，17D.4，5，65．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A．B．3 C．D．6．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接 BD，则BD的长为（）A．B． C．D．第6题第7题7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）A． B．C．1 D．8．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）A．182 B．183 C．184 D．185二、填空题9.到定点A的距离为4cm的点的轨迹是 . 10．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式是结果_________，那么__________．11．如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．12．（2016秋·大祥区校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于E点，△ABC与△EBC 的周长分别是24和14，则AB= ．13. 如图，已知正方形的边长为3，为边上一点，．以点为中心，把△顺时针旋转，得△，连接，则的长等于___________．14. 如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且∠ABC=90°，连结AC，则△ACD的面积为 .15．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE等于米时，有DC＝AE＋BC.第15题第16题16．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点， =3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．则BN的长为 .三、解答题17. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．18.如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O(1) 若DB⊥AC,CE⊥AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。

19.8直角三角形的性质-沪教版(上海)八年级数学第一学期同步练习

3∠=∠B 31∠=∠32∠=∠︒=∠+∠903A 19.8(1)直角三角形的性质一、选择题1.下列命题正确的有（）①直角三角形的两个锐角相等；②直角三角形一条边上的中线等于这条边的一半；③直角三角形斜边上的中线把这个三角形分成面积相等的两部分；○4直角三角形斜边上的高等于斜边的一半（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2.如图，ABC ∆是直角三角形，︒=∠90C ，CD 是AB 的中线，CE 是AB 上的高，下列判断错误的是（）。

（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠-∠40B A ,那么=∠A ______°，B ∠=_______°.4.在直角三角形中，两锐角的平分线相交成的锐角的度数是________度。

5.已知面积为6的直角三角形斜边上的高为3，则斜边上的中线长为___________.6.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，CD ⊥AB,点E 是AB 的中点，︒=∠35ACD ,则 ︒=∠______ECD7.如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠35BAC ,B ACD ∠=∠,E 是AC 的中点，那么 ︒=∠_____EDB三、解答题8.如图，在ABC ∆中，CD ⊥AB ，且BD=CD 、DE=DA ，M 、N分别为BE 、AC 的中点，联结DM 、DN ，求证DM=DN.9.如图，在ABC ∆中，CD 是高，CE 是中线，DG ⊥CE 于G ，2CD=AB.求证：（1）G 是CE 的中点；（2）BCE B ∠=∠210.如图，在ABC ∆中，BD ⊥AB 于B,交AC 于D ，︒=∠20A ，︒=∠30CBD ,请思考：线段AD 与BC 满足怎样的数量关系？并加以证明.11.在ABC Rt ∆和ACD Rt ∆中，︒=∠=∠90ADC ABC ,点E 是AC 的中点.（1）如图（1），求证：.2DCB DEB ∠=∠（2）如图（2），上述结论是否仍然成立，若成立，请给与证明，若不成立，请说明理由。

上海教育版数学八年级上册19.3《直角三角形》word练习题3

19.10平面上两点间的距离公式一、课本巩固练习1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；（2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值．2：已知三角形ABC 的三个顶点1(1,0),(1,0),(2A B C -，试判断ABC ∆的形状．3：已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．4．已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =．二、基础过关1.( )()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( )()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0()C x -2y =0 ()D x -2y -8=03. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是____________________．4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值．5: 已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．．6：一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．7．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐标为( ) ()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线3x-y-2=0关于x 轴对称的直线方程为____________________．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A ，(8,4)B ，x R ∈.。

沪教版八年级上19.3直角三角形巩固练习

沪教版八年级上19.3直角三角形巩固练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题中，不正确的是（）A．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等B．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C．有一条边相等的两个等腰直角三角形全等D．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则下列结论中不正确的是()A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上C．△BDF≌△CDE D．D是BE的中点4．如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A．相等B．不相等C．互余或相等D．互补或相等5．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE 的面积为（）A．1 B．2 C．5 D．无法确定二、填空题6．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．7．如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.8．判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.9．如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________ cm.10．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD ＝CD．则∠BAD＝_______.11．如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.三、解答题12．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足BC．分别为点E、F，∠BAC＝120°．求证：DE+DF=1213．求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等．14．如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．参考答案1．C【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法容易得出A、B、D是真命题，C是假命题，即可得出结论．【详解】解：A．斜边对应相等的两个等腰直角三角形，根据两三角形全等的判定定理“AAS”得出两个三角形全等；故本选项是真命题；B．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，则其根据为“SAS”可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；C．有一条边相等的两个等腰直角三角形不一定全等；故本选项是假命题；D．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，根据两三角形全等的判定定理“HL”得出两个三角形全等；故本选项是真命题；故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理以及全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．2．A【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC-EH，即AE-EH即可求出HC的长．【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，∠BAD＝∠BCE，∠AEH＝∠BEC＝90°，EH＝EB，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE=EC=4，则CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1．故选A.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．3．D【解析】【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【详解】∵AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠A=∠A∴△ABE≌△ACF(AAS)，正确；∵△ABE≌△ACF,AB=AC∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；∵△ABE≌△ACF,AB=AC∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE(AAS)，正确；D. 无法判定，错误；故选D.4．D【分析】作出图形，然后利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△DEH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠DEH，再分∠E是锐角和钝角两种情况讨论求解．【详解】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AG、DH分别是△ABC和△DEF的高，且AG=DH，在Rt △ABG 和Rt △DEH 中，AB DE AG DH =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABG ≌Rt △DEH （HL ），∴∠B=∠DEH ，∴若∠E 是锐角，则∠B=∠DEF ，若∠E 是钝角，则∠B+∠DEF=∠DEH+∠DEF=180°，故这两个三角形的第三边所对的角的关系是：互补或相等．故选D.5．A【分析】因为知道AD 的长，所以只要求出AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积．过D 作BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ，构造出Rt △EDF ≌Rt △CDG ，求出GC 的长，即为EF 的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．【详解】过D 作BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ，∵∠EDF+∠FDC=90°，∠GDC+∠FDC=90°，∴∠EDF=∠GDC ，于是在Rt △EDF 和Rt △CDG 中，，∴△DEF ≌△DCG ，∴EF=CG=BC ﹣BG=BC ﹣AD=3﹣2=1，所以，S △ADE =（AD×EF ）÷2=（2×1）÷2=1．故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．6．△DFE HL【解析】【分析】先得出BE=FC，由HL可得△ABC≌△DFE，进而可得出结论．【详解】证明：∵BE=FC，∴BE+BF=FC+BF，即EF=BC，∵∠A=∠D=90°，在RT△ABC和RT△DFE中，{EF=CBAB=DF，∴△ABC≌△DFE（HL），故答案为：(1). △DFE (2). HL.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．7．6；【解析】【分析】由垂直的定义得到∠EDC=∠ABC=∠ACE=90°，再根据等角的余角相等得到∠E=∠ACB，而AC=EC，根据三角形全等的条件得到Rt△EDC≌Rt△CBA，则DE=BC=2，DC=AB=4，即可得到DB．【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，EC⊥AC，∴∠EDC=∠ABC=∠ACE=90°，∴∠E+∠ECD=90°，∠ECD+∠ACB=90°，∴∠E=∠ACB，而AC=EC，∴Rt△EDC≌Rt△CBA，∴DE=BC，DC=AB，而DE=2，AB=4，∴BC=2，DC=4，∴DB=2+4=6．故答案为:6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质：有两组角对应相等，并且夹边对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等．8．（1）（2）【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定地理HL对（1）、（2）（3）逐个分析，然后即可得出答案．【详解】解：∵（1）一锐角与一边对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，（2）两边对应相等，可以根据SAS或HL证明全等；（3）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，所以不能判定两直角三角形全等．故答案为（1），（2）．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL．9．20；【解析】【分析】过点M作DM⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM．【详解】解：如图，过点M作DM⊥AB于D，∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，∴DM=CM=20cm，即M到AB的距离为20cm．故答案为20．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．10．45°；【解析】【分析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，推出BD=AD，推出△ABD是等腰直角三角形，由此即可解决问题．【详解】证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，{BF=ACDF=DC∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴BD=AD，∵∠ADB=90°，∴∠BAD=45°．故答案为:45°.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够灵活运用其性质是解题的关键．11．270°；【解析】【分析】根据正方形的轴对称性得∠1+∠6=90°，∠2+∠5=90°，∠3+∠4=90°．进而求解.【详解】解：由图可知，∠1所在的三角形与∠6所在的三角形全等，所以∠1+∠6=90°．同理得，∠2+∠5=90°，∠3+∠4=90°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=270°．故答案为：270°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．发现并利用全等三角形是解题的关键．12．证明见解析【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠B=∠C=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得到DE=12BD ，DF=12DC ，两式相加，即可证明DE+DF=12BC ．【详解】证明：∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE=12BD ，DF=12DC ，∴DE+DF=12BD+12DC=12（BD+DC ）=12BC ．∴DE+DF=12BC ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形的性质的运用，熟练地综合运用几何知识是解题的关键．13．见解析【解析】【分析】根据题意首先写出已知和求证，进而利用全等三角形的判定与性质得出Rt △ABD ≌ Rt △A B D '''以及∠B=∠B′进而得出△ABC ≌A B C '''．【详解】解：如图：已知：如图，在△ABC 与△A B C '''中．AB ＝A B ''，BC ＝B C ''，AD ⊥BC 于D ，A D ''⊥B C '' 于D 且 AD ＝A D ''求证：△ABC ≌△A B C '''证明：在Rt △ABD 与Rt △A B D '''中∵AB A B AD A D ''''=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌ Rt △A B D ''' (HL)∴∠B ＝∠B '(全等三角形对应角相等)在△ABC 与△A B C '''中∵AB A B B B BC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩'∴△ABC ≌△'''A B C (SAS)【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 14．详见解析.【分析】根据已知条件证明AB=CD,AF=CF，证明Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）,得BF＝DE,进而证明△BFG≌△DEG（AAS），即可证明.【详解】证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°,∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF,即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE，BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质,中等难度,将中点问题转化成证明全等问题是解题关键.。

19-7直角三角形全等的判定-2022-2023学年八年级数学上册同步练习(沪教版)

19.7直角三角形全等的判定（原卷版）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（） A ．两条直角边对应相等B ．斜边和一锐角对应相等C ．斜边和一条直角边对应相等D ．两个锐角对应相等2．（2022·上海·八年级专题练习）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A ．两个锐角对应相等B ．一个锐角和斜边对应相等C ．两条直角边对应相等D ．一条直角边和斜边对应相等 3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在ABC 和ADC △中，90B D ∠=∠=︒，CB CD =，130∠=︒，则2∠=（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60° 4．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，DE BC ⊥，若10BC =cm ，则DEC 的周长为（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm5．（2022·上海·八年级期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 与CE 分别是斜边AB 上的高与中线，以下判断中正确的个数有（）①∠DCB=∠A ；②∠DCB=∠ACE ；③∠ACD=∠BCE ；④∠BCE=∠BEC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题6．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．7．（2022·上海·八年级期末）如图，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在BC 上DE ⊥AB ，点E 为垂足，且DC =DE ，连接AD ，则∠ADB 的大小为_____________．三、解答题8．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 为ABC 的外角平分线，交BC 的延长线于点D ，且2B D ∠=∠．求证：AB AC CD +=．9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在ABC 中，(1)用直尺和圆规作A ∠的平分线，交边BC 于点M （不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M ）；(2)如果在（1）条件下点M 是BC 的中点，求证：B C ∠=∠．10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．11．（2022·上海·八年级期末）如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，求证：△ACE是直角三角形．12．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD 于D求证：AB=AD．【能力提升】一、单选题1．（2021·上海·八年级专题练习）如图在Rt△ABC=90 ，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（）A ．∠ACD =∠B B ．CM =5C ．∠B =30︒D ．CD =4552．（2022·上海·八年级期末）已知下列说法，其中结论正确的个数是（）①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P 到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，假命题是（）A ．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B ．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等4．（2022·上海·八年级单元测试）下列命题中，是假命题的是（）A ．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；B ．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．C ．每个命题都有逆命题；D ．每个定理都有逆定理．二、填空题5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，则线段MN 的长为_____．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD,CE,CF 分别是中线，角平分线，高，则DCE ∠ 和FCE ∠的大小关系：_________________7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3cm ，则它的腰长为______cm.8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知D 是直角三角形ABC 中BC 边的延长线上的一点，CD ＝AC ，∠ACB=60°，则BC ∶CD= ______9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为50︒角，那么这个直角三角形的较小的内角是________︒.10．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，点A 为MON ∠的平分线上一点，过A 任意作一条直线分别与MON ∠的两边相交于B 、C ，P 为BC 中点，过P 作BC 的垂线交射线OA 于点D ，若105∠=︒MON ，则BDC ∠的度数为_度．11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，AD 是ABC ∆的高，AD BD =，BE AC =，70BAC ∠=︒，则ABE ∠=__．三、解答题12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，,AD CD BC CD ⊥⊥，D C 、分别为垂足，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，BC DF =.求证：（1）DAF CFB ∠=∠；（2）AF BF ⊥.13．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD 是∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别是M 、N ．（1）求证：PM ＝PN ；（2）联结MN ，求证：PD 是MN 的垂直平分线．14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC的平分线，且BD＝DC，DF，DE分别垂直于AB，AC，垂足分别为F，E；求证：BF＝CE15．（2021·上海市莘光学校八年级期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．16．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）如图，点B在函数y＝2x（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝1x（x＞0）的图象于点A，C．(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；(2)若点B是y＝2x（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，(1)用直尺和圆规分别作∠ACB 的平分线、线段AB 的中垂线、它们的交点M （不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M ）；(2)过点M 作ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．求证：BE ＝AF ．18．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC>CD ，AC 平分∠BCD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ．(1)求证：CE=CD +BE ；(2)如果CE =3BE ，求ABC ACD S S ∆∆：的值．19．（2022·上海·八年级专题练习）（1）已知，如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高．尺规作图：作ABC ∠的平分线l （保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔（2）在已作图形中，若l 与AD 交于点E ，且,BE AC BD AD ==，求证：AB BC =．20．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，点D 是ABC 的边AC 上的一点，过点D 作DE AB ⊥，DF BC ⊥，E 、F 为垂足，再过点D 作DG AB ∥，交BC 于点G ，且DE DF =．(1)求证：DG BG =；(2)当D 点是AC 边的中点时，求证：BD AC ⊥．21．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，AB ∥CD ，∠ABD ＝90°，∠AED ＝90°，BD ＝DE .求证：∠AFC ＝2∠ADC .22．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF AC ⊥于点F ，若12AC =，8BC =，求AF 的长．23．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，CE ∥AB ，AD 平分∠EAB(1)延长AD 、CE 相交于点F ，求证:AB ＝CE +AE(2)当点E 和点C 重合时，试判断△ABC 的形状，请画出图形，并说明理由.19.7直角三角形全等的判定（解析版）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等【答案】D【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．2．（2022·上海·八年级专题练习）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】A【分析】根据SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判断即可解答．【详解】解：A、两个锐角对应相等，没有边之间的关系，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意；C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在ABC 和ADC △中，90B D ∠=∠=︒，CB CD =，130∠=︒，则2∠=（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60° 【答案】D【分析】由题意可证()Rt ABC Rt ADC HL ≌，有1CAD ∠=∠，由三角形内角和定理得2180CAD D ∠+∠+∠=︒，计算求解即可．【详解】解：∵90B D ∠=∠=︒∴△ABC 和△ADC 均为直角三角形在Rt ABC 和Rt ADC 中∵CB CD AC AC=⎧⎨=⎩ ∴()Rt ABC Rt ADC HL ≌∴1CAD ∠=∠∵2180CAD D ∠+∠+∠=︒∴2180903060∠=︒-︒-︒=︒故选D ．【点睛】本题考查了三角形全等，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．4．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，DE BC ⊥，若10BC =cm ，则DEC 的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BE，然后求出△DEC的周长=BC，再根据BC=10cm，即可得出答案．【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE AD=，在Rt△ABD和Rt△EBD中，∵BD BDAD DE=⎧⎨=⎩，()Rt ABD Rt EBD HL∴∆∆≌，∴AB=BE，∴△DEC的周长=DE+CD+CE=AD+CD+CE，=AC+CE，=AB+CE，=BE+CE，=BC，∵BC=10cm，∴△DEC的周长是10cm．故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC 的周长=BC是解题的关键．5．（2022·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（）①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误．【详解】∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠DCB+B=90°，∵∠A+∠B=90，∴∠DCB=∠A，∴①正确；∵CE是RtABC斜边AB上的中线，∴EA=EC=EB，∴∠ACE=∠A，∴∠DCB=∠A，∴∠DCB=∠ACE，∴②正确；∵EC=EB，∴∠B=∠BCE，∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，∴∠B= ∠ACD，∴∠ACD= ∠BCE，∴③正确；∵BC与BE不一定相等，∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等，∴④不正确；∴正确的个数为3个，故答案为C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题6．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了命题与逆命题，解题的关键在于找出原命题的条件和结论．7．（2022·上海·八年级期末）如图，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在BC 上DE ⊥AB ，点E 为垂足，且DC =DE ，连接AD ，则∠ADB 的大小为_____________．【答案】112.5°【分析】根据等腰直角三角形性质求∠CAB =∠B =C 1180452，再证明Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），得出∠CAD =∠EAD =CAB 122.52即可【详解】解：∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠B =C 1180452，∵DE ⊥AB∴∠DEA =90°，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，CD ED AD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴∠CAD =∠EAD =CAB 122.52，∴∠ADB =180°-∠DAB -∠B =180°-22.5°-45°=112.5°．故答案为：112.5°．【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角平分线判定，三角形内角和，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角平分线判定，三角形内角和是解题关键．三、解答题8．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 为ABC 的外角平分线，交BC 的延长线于点D ，且2B D ∠=∠．求证：AB AC CD +=．【答案】见解析【分析】作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ；构造Rt Rt (HL)ACD AED ≌，通过转化线段得出结论；【详解】证明：如图，作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ；∵90ACB ∠=︒∴DC AC ⊥∵AD 为ABC 的外角平分线；∴CD ED =在Rt ACD △和Rt AED △中CD ED AD AD=⎧⎨=⎩ ∴Rt Rt (HL)ACD AED ≌∴AE AC = ，ADC ADE ∠=∠∴EDC ADC ∠=∠2∵2B ADC ∠=∠∴B EDC ∠=∠∴ED BE AB AE AB AC ==+=+∵CD ED =∴AB AC CD +=【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练运用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在ABC 中，(1)用直尺和圆规作A ∠的平分线，交边BC 于点M （不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M ）；(2)如果在（1）条件下点M 是BC 的中点，求证：B C ∠=∠．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据尺规作已知角的角平分线的作图方法进行作图即可；（2）作MD AB ⊥交AB 于点D ；作ME AC ⊥交AC 于点E ；构造Rt Rt (HL)DMB EMC ≌；即可得出结论；【详解】（1）解：作图如下：（2）证明：如图，作MD AB ⊥交AB 于点D ；作ME AC ⊥交AC 于点E ；由（1）可知：AM 平分BAC ∠∴=DM EM∵点M 是BC 的中点∴BM CM =在Rt DMB 和Rt EMC △中DM EM BM CM=⎧⎨=⎩ ∴Rt Rt (HL)DMB EMC ≌∴B C ∠=∠【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，求证：BE ＝CF ．【答案】见解析【分析】证明Rt Rt BDE CDF ≌即可证明BE ＝CF ．【详解】证明：∵AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线∴BD ＝CD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴DE ＝DF ，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中==BD DC DE DF ⎧⎨⎩， ∴()Rt Rt HL BDE CDF ≌，∴BE ＝CF ．【点睛】本题考查了HL 证明三角形全等，以及全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．11．（2022·上海·八年级期末）如图，AB 、ED 分别垂直于BD ，点B 、D 是垂足，且AB =CD ，AC =CE ，求证：△ACE 是直角三角形．【答案】见解析【分析】先根据垂直的定义得到∠B =∠D =90°，再根据“HL ”判断Rt △ABC ≌Rt △CDE ，得到∠1=∠3，由于∠2+∠3=90°，所以∠1+∠2=90°，则可利用平角的定义得到∠ACE =90°，于是可判断△ACE 是直角三角形．【详解】证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴∠B =∠D =90°，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中AB CD AC CE=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △CDE （HL ），∴∠1=∠3，∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠ACE =90°，∴△ACE 是直角三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．12．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，四边形ABCD 中，BC=CD ，CB ⊥AB 于B ，CD ⊥AD 于D求证：AB=AD ．【答案】见解析【分析】连接AC ，证明Rt △ABC ≌Rt △ADC ，即可得到AB=AD ．【详解】解：证明：如图，连接AC ，∵CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，∴∠B=∠D=90°，在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，AC AC BC CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ），∴AB=AD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．【能力提升】一、单选题1．（2021·上海·八年级专题练习）如图在Rt △ABC =90︒，如果CD 、CM 分别是斜边上的高和中线，AC =2，BC =4，那么下列结论中错误的是（）A ．∠ACD =∠BB ．CM 5C ．∠B =30︒D ．CD 455【答案】C【分析】根据同角的余角相等判断A ；根据勾股定理和直角三角形的性质判断B ；根据三角形的面积公式计算，判断D ．【详解】∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCD =90°．∵CD ⊥AB ，∴∠B +∠BCD =90°，∴∠ACD =∠B ，故A 正确，不符合题意；在Rt △ACB 中，AB 22AC BC =+=25．∵∠ACB =90°，CM 是斜边上的中线，∴CM 5=，故B 正确，不符合题意；2．（2022·上海·八年级期末）已知下列说法，其中结论正确的个数是（）①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】分别根据等腰三角形三线合一的性质、等腰三角形的对称性、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理分别对各项进行判断即可．【详解】解：①等腰三角形底边上的高就是这条边上的中线，故原说法错误；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线所在的直线，故原说法错误；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，只能说明这个点在这条线段的垂直平分线上，此说法错误；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，正确．故选：A．【点睛】本题考查轴对称的性质、轴对称图形、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，假命题是（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由SAS判定两个三角形全等可判断C ，由HL 判定两个直角三角形全等可判断D ，从而可得答案.【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A 不符合题意；三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B 不符合题意；两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C 符合题意；如图，90,,,,,C N AD MF AB MN BD DC NF FG,Rt ADB Rt MFN ≌,BD FN 则,BC NG,Rt ACB Rt MGN ≌一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.4．（2022·上海·八年级单元测试）下列命题中，是假命题的是（）A ．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；B ．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．C ．每个命题都有逆命题；D ．每个定理都有逆定理．【答案】D【分析】根据全等三角形的判定、角平分线的判定、命题和定理的定义判断即可．【详解】A 、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；B 、根据角平分线的判定：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，是真命题；C 、每个命题都有逆命题，是真命题；D 、每个定理不一定都有逆定理，每个定理都有逆命题，而命题有真有假，故每个定理都有逆定理是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为_____．【答案】5【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=DM=13，根据等腰三角形的性质得到BN=12，根据勾股定理得到答案.【详解】连接BM、DM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=12AC，DM=12AC，∴BM=DM=13，又N是BD的中点，∴BN=DN=12BD=12，∴MN=22BM BN=5，【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD,CE,CF 分别是中线，角平分线，高，则DCE ∠ 和FCE ∠的大小关系：_________________【答案】相等【分析】根据角平分线的定义可得∠ACE=∠BCE ，再根据高线的定义以及直角三角形的性质可得∠BCF=∠A ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD ，然后根据等边对等角的性质得到∠ACD=∠A ，最后根据图形写出角的关系即可得证．【详解】证明：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACE=∠BCE ．∵CF ⊥AB ，∠ACB=90°，∴∠BCF=∠A （同角的余角相等）．∵CD 是AB 边上的中线，∠ACB=90°，∴AD=CD ，∴∠ACD=∠A （在同一个三角形中，等边对等角），∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠ACE-∠A ，∠FCE=∠BCE-∠BCF=∠ACE-∠A ，∴∠DCE = FCE ．故答案为：相等．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3cm ，则它的腰长为______cm.【答案】6【分析】画出图形，可求得底角为30度，结合已知，由含30°的直角三角形的性质可求得【详解】如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=3cm，∠BAC=120°，∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）÷2=30°∵AD⊥BC=6cm．∴AB=3÷12故填：6．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求得30°的角是正确解题的关键．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知D是直角三角形ABC中BC 边的延长线上的一点，CD＝AC，∠ACB=60°，则BC∶CD= ______【答案】1:2【分析】由条件可求得∠BAC =30°，在Rt△ABC中利用含30°角直角三角形的性质可求得AC=2BC的长，进而求出结果．【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，∴∠BAC=30°，∴AC=2BC，∵CD＝AC，∴CD=2BC，∴BC∶CD=1:2，故答案为1:2．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为50︒角，那么这个直角三角形的较小的内角是________︒.【答案】25【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，证明得到A ACD ∠=∠，再利用外角性质求出A ∠，再得到B ∠，从而得解.【详解】如图所示，∵CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，∴CD AD DB ==，∴A ACD ∠=∠，∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为50︒，即50BDC ∠=︒，∴250BDC A ACD A ∠=∠+∠=∠=︒，解得：25A ∠=︒，另一个锐角902565B ∠=︒-︒=︒，∴这个直角三角形的较小内角是25︒.故答案为：25︒.【点睛】本题考查了直角三角形的性质和外角的性质，比较基础.10．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，点A 为MON ∠的平分线上一点，过A 任意作一条直线分别与MON ∠的两边相交于B 、C ，P 为BC 中点，过P 作BC 的垂线交射线OA 于点D ，若105∠=︒MON ，则BDC ∠的度数为_度．【答案】75【分析】过D 作DE ⊥OM 于E ，DF ⊥ON 于F ，求出∠EDF ，根据角平分线性质求出DE ＝DF ，根据线段垂直平分线性质求出BD ＝CD ，证Rt △DEB ≌Rt △DFC ，求出∠EDB ＝∠CDF ，推出∠BDC ＝∠EDF ，即可得出答案．【详解】如图：过D 作DE ⊥OM 于E ，DF ⊥ON 于F ，则∠DEB ＝∠DFC ＝∠DFO ＝90°，∵∠MON ＝105°，∴∠EDF ＝360°−90°−90°−105°＝75°，∵DE ⊥OM ，DF ⊥ON ，OD ∠MON ，∴DE ＝DF ，∵P 为BC 中点，DP ⊥BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，DB DC DE DF⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △DEB ≌Rt △DFC （HL ），∴∠EDB ＝∠CDF ，∴∠BDC ＝∠BDF ＋CDF ＝∠BDF ＋∠EDB ＝∠EDF ＝75°．故答案为：75．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，AD 是ABC ∆的高，AD BD =，BE AC =，70BAC ∠=︒，则ABE ∠=__．【答案】20︒##20度【分析】：证明Rt BDE Rt ADC △≌△，根据全等三角形的性质得到DBE DAC ∠=∠，根据等腰直角三角形的性质求出45DAB DBA ∠=∠=︒，计算即可．【详解】解：AD 是ABC ∆的高，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在Rt BDE 和Rt ADC 中，BD AD BE AC =⎧⎨=⎩， Rt BDE Rt ADC HL ≌，DBE DAC ∠=∠∴，在Rt ADB 中，AD BD =，45DAB DBA ∴∠=∠=︒，70BAC ∠=︒，704525DAC ∴∠=︒-︒=︒，25DBE DAC ∴∠=∠︒=︒，452520ABE ABD DBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：20︒．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．三、解答题12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，,AD CD BC CD ⊥⊥，D C 、分别为垂足，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，BC DF =.求证：（1）DAF CFB ∠=∠；（2）AF BF ⊥. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据条件可以得出△ADF ≌△FCB 就可以得出∠DAF=∠CFB ；（2）根据∠DAF+DFA=90°可以得出∠AFB=90°，就可以得出△AFB 是等腰直角三角形，从而求解．【详解】证明：（1）∵AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，∴AF=BF ，AE=BE ．∵AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∴∠D=∠C=90°．在Rt △ADF 和Rt △FCB 中AF FB DF CB =⎧⎨=⎩， ∴△ADF ≌△FCB （HL ），∴∠DAF=∠CFB ；（2）∵∠D=90°，∴∠DAF+∠DFA=90°，∴∠CFB+∠DFA=90°，∴∠AFB=90°．∴AF BF ⊥．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键、13．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD 是∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别是M 、N ．。

上海上海第中学八年级数学上册第十一章《三角形》提高练习(培优练)

一、选择题1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（）A．三角形两边之和大于第三边B．三角形具有稳定性C．三角形的内角和是180D．直角三角形两个锐角互余B解析：B【分析】根据三角形的稳定性可以解决．【详解】因为三角形具有稳定性，手机支架与桌面形成了一个三角形，所以是利用了三角形的稳定性．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．2．如图，在ABC中，AB边上的高为（）A．CG B．BF C．BE D．AD A解析：A【分析】在ABC中，过C点向AB所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段是AB上的高，由此可得答案．【详解】解：ABC 中，AB 边上的高为：.CG故选：.A【点睛】本题考查的是三角形的高的含义，掌握钝角三角形的高是解题的关键．3．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°C解析：C【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∵△CDB′是由△CDB 翻折得到，∴∠CB′D ＝∠B ，∵∠CB′D ＝∠A ＋∠ADB′＝∠A ＋20°，∴∠A ＋∠A ＋20°＝90°，解得∠A ＝35°．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，ABC 中，BC 边上的高是（）A ．AEB ．ADC ．CD D ．CF B解析：B【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．【详解】由图可知，过点A 作BC 的垂线段AD ，则ABC 中，BC 边上的高是AD ．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．5．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°B解析：B【分析】利用平行线和三角形外角的性质即可求解．【详解】∵//AB CD ，∴60DEF A ∠=∠=︒．∵DEF C F ∠=∠+∠，∴604020F DEF C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线和三角形外角的性质，熟练利用其性质找到角的等量关系是解答本题的关键．6．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90°C解析：C【分析】根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得CEA '∠．【详解】解：∵将A ∠沿DE 翻折，∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，解得102.5ADE ∠=︒，∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．7．在ABC 中，若B 与C ∠互余，则ABC 是（）三角形A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形B解析：B【分析】由B 与C ∠互余，结合180A B C ∠+∠+∠=︒，求解A ∠，从而可得答案．【详解】解：B 与C ∠互余， 90B C ∴∠+∠=︒，180A B C ∠+∠+∠=︒，90A ∴∠=︒，ABC ∴是直角三角形，故A 、C 、D 不符合题意，B 符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查的是两个角互余的概念，三角形的内角和定理的应用，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．8．如图，直线//,65,30AB CD A E ∠=︒∠=︒，则C ∠等于（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°B解析：B【分析】根据平行线和三角形外角的性质即可求出C ∠的大小．【详解】如图，设AE 和CD 交于点F ，∵//AB CD ，∴65A DFE ∠=∠=︒（两直线平行同位角相等），∵DFE ∠是CEF △的外角，∴653035C DFE E ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线和三角形外角的性质．熟练利用两个性质证明和求解是解答本题的关键． 9．如图，在ABC ∆中，80,BAC ∠=︒点D 在BC 边上，将ABD △沿AD 折叠，点B 恰好落在AC 边上的点'B 处，若'20B DC ∠=．则C ∠的度数为（）A ．20B ．25C ．35D ．40D解析：D【分析】由折叠的性质可求得'B AB D ∠=∠，利用三角形内角和及外角的性质列方程求解．【详解】解：由题意可得'B AB D ∠=∠∵80,BAC ∠=︒∴∠B+∠C=100°又∵'='=20B AB D C B DC C ∠=∠+∠+∠∠，∴∠C+20°+∠C=100°解得：∠C=40°故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和及外角的性质，找准角之间的等量关系列出方程正确计算是解题关键．10．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（）A ．3cm,2cm,1cmB ．3cm,4cm,5cmC ．6cm,6cm,12cmD ．5cm,12cm,6cm B解析：B【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．【详解】解：根据三角形的三边关系，知：A中，1+2=3，排除；B中，3+4＞5，可以；C中，6+6=12，排除；D中，5+6＜12，排除．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．二、填空题11．如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C.若∠A＝52°，则∠1＋∠2＝__________；38°【分析】根据三角形内角和定理易求∠ABC＋∠ACB的度数已知∠P＝90°根据三角形内角和定理易求∠PBC＋∠PCB的度数进而得到∠1＋∠2的度数【详解】∵∠A＝52°∴∠ABC＋∠ACB＝18解析：38°【分析】根据三角形内角和定理易求∠ABC＋∠ACB的度数．已知∠P＝90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC＋∠PCB的度数，进而得到∠1＋∠2的度数．【详解】∵∠A＝52°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°−52°＝128°，∵∠P＝90°，∴∠PBC＋∠PCB＝90°，∴∠ABP＋∠ACP＝128°−90°＝38°，即∠1＋∠2＝38°．故答案为：38°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识，注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出∠ABC＋∠ACB，∠PBC＋∠PCB的度数．12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则A DB '∠=________．10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=45°再利用三角形的内角和求解【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°∠ACD=∠A′CD=×90°=45°∴∠ADC解析：10°【分析】由对折可得：∠A=∠CA ′D=50°，∠ACD=∠A ′CD=45°，再利用三角形的内角和求解．【详解】解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，∠ACD=∠A′CD=12×90°=45°， ∴∠ADC=∠A′DC=180°−45°−50°=85°，∴∠A′DB=180°−85°×2=10°．故答案为：10°．【点睛】本题利用对折考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 13．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，最小值是___________．15【分析】记三角形的第三边为c 先根据三角形的三边关系确定c 的取值范围进而可得三角形第三边的最大值与最小值进一步即可求出答案【详解】解：记三角形的第三边为c 则7－3＜c ＜7+3即4＜c ＜10因为第三解析：15【分析】记三角形的第三边为c ，先根据三角形的三边关系确定c 的取值范围，进而可得三角形第三边的最大值与最小值，进一步即可求出答案．【详解】解：记三角形的第三边为c ，则7－3＜c ＜7+3，即4＜c ＜10，因为第三边长为奇数，所以三角形第三边长的最大值是9，最小值是5，所以三角形的周长最大值是3+7+9=19；最小值是3+7+5=15；故答案为：19，15．【点睛】本题考查了三角形的三边关系与不等式组的整数解，属于基础题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．14．ABC 中，,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，若=125CGB ∠︒，则CFB ∠=______．110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB 根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB 从而求出∠A 根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE 解析：110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB ，根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB ，从而求出∠A ，根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE ，最后利用三角形外角的性质即可求出结论．【详解】解：∵=125CGB ∠︒∴∠GBC ＋∠GCB=180°－∠CGB=55°∵,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，∴∠ABC=2∠GBC ，∠ACB=2∠GCB∴∠ABC ＋∠ACB=2∠GBC ＋2∠GCB=2（∠GBC ＋∠GCB ）=110°∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=70°∵,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，∴∠AEC=∠FDC=90°，∴∠ACE=180°－∠AEC －∠A=20°∴CFB ∠=∠FDC ＋∠ACE=110°故答案为：110°．【点睛】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键． 15．如图，已知AE 是ABC 的边BC 上的中线，若8AB cm =，ACE △的周长比AEB △的周长多2cm ，则AC =______cm ．10【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线可得CE=BE再根据AE=AE△ACE的周长比△AEB的周长多2cm即可得到AC的长【详解】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线∴CE=BE又∵AE=A解析：10【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．【详解】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE=BE，又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC-AB=2cm，即AC-8=2cm，∴AC=10cm，故答案为：10；【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．16．如图，∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K＝________．540°【分析】连接AGGD先根据∠H+∠K=∠HGA+∠KAG∠E+∠F=∠EDG+∠FGD最后根据多边形的面积公式解答即可【详解】解：连接AGGD∵∠H+∠K+∠HMK=180°∠HGA+∠KA解析：540°【分析】连接AG、GD，先根据∠H+∠K=∠HGA+∠KAG, ∠E+∠F=∠EDG+∠FGD,最后根据多边形的面积公式解答即可．【详解】解：连接AG、GD，∵∠H+∠K+∠HMK=180°，∠HGA+∠KAG +∠AMG=180°，∠HMK=∠AMG∴∠H+∠K=∠HGA+∠KAG；同理：∠E+∠F=∠EDG+∠FGD∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K=∠BAK ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠EDG+∠FGD ＋∠MGN ＋∠HGA+∠KAG=五边形的内角和=（5-2）×180°=540°故答案为540°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和多边形内角和定理，根据题意正确作出辅助线成为解答本题的关键．17．若线段AM ，AN 分别是ABC ∆的高线和中线，则线段AM ，AN 的大小关系是AM _______AN （用“≤”，“≥”或“=”填空）．；【分析】根据三角形的高的概念得到AM ⊥BC 根据垂线段最短判断【详解】解：如图∵线段AM 是△ABC 边BC 上的高∴AM ⊥BC 由垂线段最短可知AN≥AM 故答案为：【点睛】本题考查的是中线和高的概念掌握垂解析：≤；【分析】根据三角形的高的概念得到AM ⊥BC ，根据垂线段最短判断．【详解】解：如图，∵线段AM 是△ABC 边BC 上的高，∴AM ⊥BC ，由垂线段最短可知，AN≥AM ，故答案为：≤．【点睛】本题考查的是中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．18．已知//AB CD ，点P 是平面内一点，若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，则CDP ∠=___________度．10或50【分析】分点P在AB的上方点P在AB与CD的中间点P在CD的下方三种情况再分别根据平行线的性质三角形的外角性质求解即可得【详解】由题意分以下三种情况：（1）如图点P在AB的上方；（2）如图解析：10或50【分析】分点P在AB的上方、点P在AB与CD的中间、点P在CD的下方三种情况，再分别根据平行线的性质、三角形的外角性质求解即可得．【详解】由题意，分以下三种情况：（1）如图，点P在AB的上方，∠=︒∠=︒，BPD PBA30,20∴∠=∠+∠=︒，150BPD PBAAB CD，//CDP∴∠=∠=︒；150（2）如图，点P在AB与CD的中间，延长BP，交CD于点E，∠=︒，AB CD PBA//,20∴∠=∠=︒，BED PBA20∠=︒，BPD30∴∠=∠-∠=︒；CDP BPD BED10（3）如图，点P在CD的下方，∠=︒，//,20AB CD PBA∴∠=∠=︒，120PBA30BPD ∠=︒，13030CDP BPD CDP ∴∠=∠+∠=∠+︒>︒与120∠=︒不符，即点P 不可能在CD 的下方；综上，10CDP ∠=︒或50CDP ∠=︒，故答案为：10或50．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．19．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数【详解】解：∵OBOC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠OBC+∠O 解析：110︒．【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∵OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=111()222ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ∵∠A=40°， ∴∠OBC+∠OCB=1(18040)2︒︒- =70°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-70°=110°．故答案是110．【点睛】本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键．20．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．【分析】直接根据高相等的三角形面积之比等于底之比【详解】解：∵是边上的中线∴BD=DC 又∵的面积是2和的高相等∴∵和的高相等∴∴又∴同理：故答案为：【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形面积之比等于解析：49【分析】直接根据高相等的三角形，面积之比等于底之比．【详解】解：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=DC又∵ABC ∆的面积是2，D AB ∆和D A C ∆的高相等∴D DC S =S =1AB A ∆∆∵13AE AD = E AB ∆和BDE ∆的高相等 ∴E BDE ABD 11S =S =S 23AB ∆∆∆ ∴BDE 2S =3∆ 又12BF EF =，∴1B 3BF E =，同理： DEF BFD BDE 24S =2S =S =39∆∆∆ 故答案为：49．【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形，面积之比等于底之比求三角形的面积，解题的关键是正确理解高相等的三角形之间的关系．三、解答题21．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且BE 、CE 交于点E ，∠ABC ＝∠ACE ．（1）求证：AB//CE ；（2）猜想：若∠A ＝50°，求∠E 的度数．解析：（1）见解析；（2）25°【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ECD=∠ACE ，得到∠ABC=∠ECD ，根据平行线的判定定理证明结论；（2）根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算，得到答案．【详解】（1）证明：∵CE 平分∠ACD ，∴∠ECD ＝∠ACE ，∵∠ABC ＝∠ACE ，∴∠ABC ＝∠ECD ，∴AB ∥CE ；（2）∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD ＝∠ABC+∠A ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ，∴∠E ＝∠ECD ﹣∠EBC ＝12∠ACD ﹣12∠ABC ＝12∠A ＝25°．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质及平行线的判定、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．22．如图，已知长方形ABCD 中，10cm AD =，6cm DC =，点F 是DC 的中点，点E 从A 点出发在AD 上以每秒1cm 的速度向D 点运动，运动时间设为t 秒．（假定0t 10<<）（1）当5t =秒时，求阴影部分（即三角形BEF ）的面积；（2）用含t 的式子表示阴影部分的面积；并求出当三角形EDF 的面积等于3时，阴影部分的面积是多少？（3）过点E 作//EG AB 交BF 于点G ，过点F 作//FH BC 交BE 于点H ，请直接写出在E 点运动过程中，EG 和FH 的数量关系．解析：（1）4522cm ；（2）23302t cm ⎛⎫- ⎪⎝⎭；218cm ；（3）53EG FH = 【分析】（1）由长方形的性质得出10cm BC AD ==，6cm AB DC ==，由5t =得AE=5，DE=10-5=5，根据ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形即可求解；（2）由题意得AE=t ，DE=10-t ，根据ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形表示出阴影部分的面积；由12EDF S DE DF =⋅△求出t 的值，代入计算即可；（3）由长方形ABCD 得AD CD ⊥，根据平行线的性质得EG HF ⊥，根据平行线间的距离相等可得DE ，AE ，DF ，CF 分别等于,,,EGF EGB EHF BHF △△△△的高，由BEF S的面积即可得出结论．【详解】解：（1）∵长方形ABCD 中，10cm AD =，6cm DC =，∴10cm BC AD ==，6cm AB DC ==，∵点F 是DC 的中点，∴3cm DF CF ==，当5t =秒时，AE=5cm ，DE=10-5=5 cm ，∵ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形 =()()()1111066510353222⨯-⨯-⨯-⨯ =156015152--- =4522cm ；（2）由题意得AE=t ，DE=10-t ，∵ABCD BEF BE BCF DEF S S S S S =---△△A △△长方形 =()()1111066103310222t t ⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =360315152t t ---+ =3302t -， ∴用含t 的式子表示阴影部分的面积为：23302t cm ⎛⎫-⎪⎝⎭；当三角形EDF 的面积等于3时，12EDF S DE DF =⋅△=()13102t ⨯⨯-=3，解得：8t =， 8t =时，38=30=182S ⨯-阴影2cm ；（3）∵长方形ABCD ∴AD CD ⊥，//,//AB CD AD BC ，∵//EG AB ，//FH BC ，∴EG HF ⊥，,AD EG CD HF ⊥⊥，∴DE ，AE 分别等于,EGF EGB △△的EG 边上的高，DF ，CF 分别等于,EHF BHF △△的FH 边上的高，∴11112222BEF S EG DE EG AE HF DF HF CF =⋅+⋅=⋅+⋅△， ∴()()1122EG DE AE HF DF CF +=+，即EG AD HF CD ⋅=⋅， ∵10cm AD =，6cm DC =，∴106EG HF =，即53EG FH =．【点睛】本题是一个动点问题，考查了平行线间的距离，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形面积的计算方法．23．如图，将△ABC 沿着平行于BC 的直线DE 折叠，点A 落到点A ′，若∠C ＝125°，∠A ＝20°，求∠BD A ′的度数.解析：110°【分析】利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求出∠BDE ，∠A′DE ，即可解决问题．【详解】∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝20°，∠C ＝125°，∴∠B ＝35°，∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝35°，∠BDE ＋∠B ＝180°，∴∠BDE ＝180−∠B ＝180°−35°＝145°，∵△ADE 沿DE 折叠成△A′DE ，∴∠A′DE ＝∠ADE ＝35°，∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE ＝145°−35°＝110°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质，属于中考常考题型．24．已知AD 是ABC 的角平分线，CE 是AB 边上的高，AD ，CE 相交于点P ，BCE 40,APC 123∠∠=︒=︒，求ADC ∠和ACB ∠的度数．解析：∠ADC 83=︒，∠ACB 64=︒．【分析】由CE 是AB 边上的高，可得∠AEC=90︒，再利用三角形的外角性质可得∠ADC ，∠EAP ，∠B 的度数，再根据AD 是ABC 的平分线，可得∠BAC 的度数，再利用三角形的内角和定理即可得到∠ACB 的度数．【详解】∵CE 是AB 边上的高，∴CE ⊥AB ，即∠AEC=90︒，∵∠APC=∠BCE+∠ADC=123︒，∠BCE=40︒，∴∠ADC=123︒-4083︒=︒，∵∠APC=∠AEP+∠EAP=123︒，∴∠EAP=1239033︒-︒=︒，∵AD 是ABC 的角平分线，∴∠BAC=2∠EAP=23366⨯︒=︒，∵∠ADC=∠BAD+∠B ，∴∠B=833350︒-︒=︒，∵∠B+∠BAC+∠ACB=180︒，∴∠ACB=180665064︒-︒-︒=︒，即∠ADC 83=︒，∠ACB 64=︒．【点评】本题考查了三角形的角平分线、高线，三角形的外角性质和三角形的内角和定理．熟记性质并准确识图是解题的关键．25．已知：在RT △ABC 中，∠ACB ═90°，CD ⊥AB ，AE 是∠CAB 的角平分线，AE 与CD 交于点F ．（1）如图1，求证：∠CEF ＝∠CFE ．（2）如图2，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，请直接写出图中与∠CAE 互余的所有角．解析：（1）见解析；（2）图中与∠CAE 互余的角有∠CEA ，∠GEA ，∠CFE ，∠DFA ．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DAF ＝∠CAE ，再根据等角的余角相等、对顶角相等，可得∠CEF ＝∠CFE ；（2）根据互余的两个角的和为90°求解即可．【详解】（1）证明：∵∠ACB ═90°，CD ⊥AB ，∴∠DAF +∠AFD ＝90°，∠CAE +∠CEF ＝90°，又∵AE 是∠CAB 的角平分线，∴∠DAF ＝∠CAE ，∴∠AFD ＝∠CEF ，又∵∠AFD ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ；（2）∵EG ⊥AB 于点G ，∴∠DAF +∠GEA ＝90°，由（1）可知∠DAF ＝∠CAE ，∠CAE +∠CEF ＝90°，∠CEF ＝∠CFE ＝∠DFA ，∴图中与∠CAE 互余的角有∠CEA ，∠GEA ，∠CFE ，∠DFA ．【点评】本题考查了角平分线的定义和余角的定义，解决本题的关键是熟记余角的定义． 26．一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数．解析：8【分析】先根据一个多边形的内角和比它的外角和多720°得出其内角和度数，再设这个多边形的边数为n ，根据内角和公式建立关于n 的方程，解之即可．【详解】解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°，∴这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°，设这个多边形的边数为n ，则（n ﹣2）•180°＝1080°，解得n ＝8，答：该多边形的边数为8，故答案为：8．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°、多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n 为整数）．27．在ABC 中，,20A B C A B ∠+∠=∠∠-∠=︒，（1）求A ∠，B ，C ∠的度数；（2）ABC 按角分类，属于什么三角形ABC 按边分类，属于什么三角形？解析：（1）∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°；（2）ABC 按角分类属于直角三角形，按边分类属于不等边三角形【分析】（1）根据三角形内角和定理根据方程组即可解决问题．（2）根据三角形的分类解决问题即可．【详解】（1）由题意得：20180A B C A B A B C ∠+∠=∠⎧⎪∠-∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩，解得：553590A B C ∠=︒⎧⎪∠=︒⎨⎪∠=︒⎩，∴∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°；（2）∵∠C=90°，∠A=55°，∠B=35°，∴按角分类，属于直角三角形，按边分类，属于不等边三角形．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．28．如图，已知直线//AB CD ，直线EF 分别交直线AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于一点P ．试说明：90P ∠=︒．解析：证明见解析【分析】由AB ∥CD ，可知∠BEF 与∠DFE 互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得出结论．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，∴∠PEF=12∠BEF ，∠PFE=12∠DFE ， ∴∠PEF+∠PFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°． ∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．。

沪教版(五四制)八年级数学上同步练习：19.3直角三角形的性质.docx

19.8 直接三角形的性质一、课本巩固练习1、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的。

2、在一个叫的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是。

3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为，定长为的。

1、经过点A且半径为a的圆的圆心的轨迹是。

2、到两相交直线m，n距离相等的点的轨迹是。

3、到直线m距离等于a的点的轨迹是。

4、底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹. 。

5、到两个定点A、B的距离相等的点的轨迹。

6、作图并说明符合下列条件的点的轨迹（不要求证明）。

（1）经过已知点P和Q的圆的圆心的轨迹；（2）与已知直线AB的距离为3cm的点的轨迹。

7、在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；8、如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高．(1)写出图中与∠B互余的角；(2)图中互余的角有几对，请你一一写出来．9、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E,F是AB边的中点．求证：EF∥AC．10、如图，已知∠C =90°，∠A=38°，点D是AB的中点，CF=AD，求∠E的度数．二、基础过关一、填空题：7413，则∠C=_____________________.1．在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B =0'2．如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，则图中相等的锐角是____________________.3．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，∠C=30°,AB=4，则DC=___________.4．等腰三角形顶角的平分线的长等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角等于__________. 5．直角三角形斜边上的中线等于3. 5cm，斜边上的高等于2.4cm，则这个直角三角形的面积等于cm．__________________2解答题：1．在△ABC 中，AB=AC=10，∠BAD=∠DAC=60°，BD=53.求：ABC S ∆．2．已知，如图在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AC 上任意一点，DE ⊥AB于E ，M 、N 分别是BD 、CE 的中点．求证：MN ⊥ CE3.已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长4.已知：等边△ABC 中， D 为BC 边上的中点，DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41=.4．如图，在ABC∆中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC 的延长线于点G，求证：BF=CG。

上海教育版数学八年级上册19.3《直角三角形》练习题1

上海教育版数学八年级上册《直角三角形》练习题11、要判断两个直角三角形全等，需要满足以下条件中的（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．6 个；B． 5 个；C．4 个；D．3 个．2、以下说法中，错误的选项是（）A．三角形全等的判断方法对判断直角三角形全等也适用；B．已知两个锐角不能够确定一个直角三角形；C．已知一个锐角和一条边不能够确定一个直角三角形；D．已知一个锐角和一条边能够确定一个直角三角形．3、如图，已知△ABC 为直角三角形， C 90 ，若沿图中虚线剪去∠C，则12等于（）A．270；B．135；C．90；D．315．4、如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a ，则以下说法正确的个数有（）① DC '均分BDE ；②BC长为( 22) a ；③△BC 'D是等腰三角形；④△CED 的周长等于 BC 的长．A AD DCB C B E C B C'EA． 1 个；B．2 个；C．3 个；D．4 个．5、如图，△ ABC 中， C 90 ， AC BC ，AD均分CAB 交BC于点D，DE⊥AB，垂足为 E，且AB 6 cm，则△DEB的周长为（）A ． 4cm；B． 6cm；C．8 cm；D． 10cm．6、如图，EA ⊥ AB ，BC ⊥ AB ，EAAB 2BC ，D 为 AB 中点，有以下结论： ① DE AC ；②DE ⊥ AC ；③CAB 30 ；④EAFADE ．其中结论正确的选项是（）A ．①③；B ．②③；C ．③④；D ．①②④．7、以下命题错误的选项是（）A ．有两个角互余的三角形必然是直角三角形；B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30 ；C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D ．△ ABC 中，若 A: B: C 1: 4:5 ，则这个三角形为直角三角形．8、将一张长方形纸片ABCD 以下列图折叠，使极点 C 落在C'点. 已知 AB2 ，DEC ' 30，则折痕 DE 的长为（）A ．2；B ．2 3；C ． 4；D ．1．9、如图，在 Rt △ ABC 中， ACB 90 ， CD 、CE 分别是斜边 AB 上的高与中线， CF 是ACB 的均分线．则1 与2 的关系是（）A ． 1 2 ；B ． 12 ； C ．12；D ．不能够确定．10、如图，△ ABC 中， AD ⊥BC 于 D ， BE ⊥ AC 于 E ， AD 与 BE 订交于 F ，若 BFAC ，则ABC 的大小是（）A ．40 ；B ．45 ；C ．50 ；D ．60 ．11、在△ ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ．以下说法错误的选项是（）A ． CB A ，那么C 90 ；B ．若是C 90 ，则 c 2 b 2 a 2 ；C ．若是 (ab)( a b)c 2 ，那么C 90；D ．若是A 30， B60 ，那么AB 2BC ．12、以下列图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC 5c m，BC10 cm，将△ABC折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE ，则 CD 的长为（）A．25；B．15；C．25；D．15．224413、如图△ ABC 中， B 90 ，两直角边 AB 7 ， BC 24 ，三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离为（）A ．1；B ．3；C． 4；D． 5．14、 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股园方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，以下列图，若是大正方形的面积是13，小正方形式面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b，那么 ( a b) 2的值为（）A ．13；B ．19；C．25； D ．169．15ABC的三边 a 、b、 c 满足(a b)( a b c) 0，那么△ABC必然是（）、若是△222A ．等腰直角三角形；B ．等腰三角形；C．直角三角形； D ．等腰三角形或直角三角形．16、以下列图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2m，梯子的顶端 B 到地面距离为 7m，现将梯子的底端 A 向外移到A'，使梯子的底端A '到墙根 O 距离为 3m，同时梯子顶端 B 下降至B '，那么BB '（）A ．等于 1m；B ．小于 1m；C．大于 1m； D ．以上都不对．17、如图，在四边形ABCD 中， AD ∥ BC ，DE⊥ BC ，垂足为点E，连接 AC 交 DE 于点 F，点 G 为 AF 的中点，ACD 2 ACB 。

沪教版初二上册直角三角形(提高)知识讲解

沪教版初二数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直角三角形（提高）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.3. 能应用直角三角形的性质解题.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、（东营区校级期末）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．【思路点拨】先根据角平分线上的点到两边的距离相等证得DE=DF，再利用HL判定，Rt△DBE≌Rt△DCF，从而得到EB=FC．【答案与解析】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF；∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∴在Rt△DBE和Rt△DCF中，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴EB=FC．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．【高清课堂：直角三角形全等的判定，巩固练习3】2、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.【答案与解析】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴在Rt△ADE与Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF （HL）∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE与Rt△ABF中，∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.【总结升华】从已知条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF，从结论又需证Rt△CDE≌Rt△ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.3、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【思路点拨】若能证得AD＝AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD＝AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB＝AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．【答案与解析】证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.举一反三：【变式】（2015春•澧县校级期中）如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC 与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形.类型二、直角三角形性质的应用4、（2016秋·泰兴市校级期中）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥C E，点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=66°，求∠BCE的度数．【思路点拨】（1）由G是中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到DE=BE，即可证明；（2）根据等边对等角可得∠DEC=∠DCE，∠B=∠EDB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．【答案与解析】解：（1）∵点G是CE的中点，DG⊥C E，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE=BE=AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∴∠E DB=∠DC E+∠D E C=2∠DC E，∵DE=BE∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠DC E，∴∠AEC=3∠DCE=66°，则∠BCE=22°．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．。

沪教版初二上册《几何证明》全章复习与巩固—巩固练习（提高）

. 为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 .三角形，其面积是三角形，其面积是___________________________．．1111．．（20162016·遵义）如图，△ABC ·遵义）如图，△ABC 中，中，AB=BC AB=BC AB=BC，∠，∠，∠ABC=11ABC=11ABC=110°，0°，0°，AB AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD BD，，则∠则∠ABD= ABD= 度．度． 1212．如图，△．如图，△．如图，△ABC ABC 中，∠中，∠C=90C=90C=90°，°，°，AD AD 平分∠平分∠BAC BAC BAC，点，点D 在BC 上，且BC=24BC=24，，CD:DB=3:5则D 到AB 的距离为的距离为 . .第第11题第第12题13. 13. 已知：在△已知：在△已知：在△ABC ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，中，∠A=60°，∠B=45°，AC=2AC=2AC=2，，则AB 的长为的长为 .14. 14. 如图，如图，如图，AD AD 是ΔABC 的中线，∠的中线，∠ADC ADC =45°，把ΔADC 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位置，则BC BC′与′与BC 之间的数量关系是之间的数量关系是_______. _______.第第14题第第15题1515．如图，在由．如图，在由12个边长都为1且有一个锐角是6060°的小菱形组成的网格中，点°的小菱形组成的网格中，点P 是其中的一个顶点，以点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长斜边的长________________________．．1616．．（2015•建华区二模）△ABC 中，AB=AC AB=AC，，∠BAC=30°，△ABC 的面积为4949，，P 为直线BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E ，F ，H ．若PF=3PF=3，则，则PE= ．三、解答题17.17.（（2015春•成都校级月考）（1）如图1，在△ABC 中，中，AD AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，则有相等关系DE=DF DE=DF，，AE=AF AE=AF．．（2）如图2，在（，在（11）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN 的两边分别与AB AB、、AC 相交于M 、N 两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+ =2AF =2AF，请加以证明．，请加以证明．，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=60°，中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6AC=6AC=6，，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN 的周长．的周长．18.18.如图，如图，如图，P P 为△为△ABC ABC ABC的外角平分线上任一点的外角平分线上任一点的外角平分线上任一点..求证：求证：PB+PC PB+PC PB+PC≥≥AB+AC.1919．已知△．已知△．已知△ABC ABC 的三个顶点是，试判断△的三个顶点是，试判断△ABC ABC 的形状的形状. .20. 20. 已知凸四边形已知凸四边形ABCD 中，∠中，∠ABC=30ABC=30ABC=30°，∠°，∠°，∠ADC=60ADC=60ADC=60°，°，°，AD=DC AD=DC AD=DC，求证：，求证：，求证：【答案与解析】一、选择题1．【答案】【答案】C C ；【解析】答案【解析】答案A 是假命题，因为互补的两角不一定有一条公共边；答案B 是假命题，同旁内角不一定互补，在两直线平行的前提下，同旁内角互补；答案C 是真命题；答案B 是假命题，一个角的补角不一定大于这个角，也可能小于或等于这个角的补角不一定大于这个角，也可能小于或等于这个角. .2．【答案】【答案】C C ；【解析】首先根据题意可得MN 是AB 的垂直平分线，即可得AD=BD AD=BD，，又由△ADC 的周长为1010，，求得AC+BC 的长，则可求得△ABC 的周长．的周长．3．【答案】【答案】B B ；【解析】过【解析】过D 点作DH DH⊥⊥AC 于H ， ∵AD 是△是△ABC ABC 的角平分线，的角平分线，DF DF DF⊥⊥AB AB，，DH DH⊥⊥AC∴DF=DH在Rt Rt△△EDF 和Rt Rt△△GDH 中DE=DG DE=DG，，DF=DH∴Rt Rt△△EDF EDF≌≌Rt Rt△△GDH同理可证RtADF 和Rt Rt△△ADH∴∴=50-39=11=50-39=11，，∴△∴△EDF EDF 的面积为5.55.5，选，选B4.4.【答案】【答案】【答案】D D ；【解析】解：∵（【解析】解：∵（【解析】解：∵（a a ﹣6）2≥0，≥0，≥0，≥0，|c |c |c﹣10|≥0，﹣10|≥0，﹣10|≥0，又∵（又∵（a a ﹣b ）2+=0+=0，，∴a﹣∴a﹣6=06=06=0，，b ﹣8=08=0，，c ﹣10=010=0，，解得：解得：a=6a=6a=6，，b=8b=8，，c=10c=10，，∵62+82=36+64=100=102，∴是直角三角形．∴是直角三角形．故选D ．5．【答案】【答案】D D ；【解析】由a ＋b ＋c 十338338＝＝10a 10a＋＋24b 24b＋＋26c 得（得（a a －5）+(b +(b－－12) +(c 12) +(c－－13) =0.6．【答案】【答案】B B ；【解析】设【解析】设CD=x CD=x，则，则DE=x,DE=x,在直角三角在直角三角BDE 中运用勾股定理，中运用勾股定理，DE=x DE=x DE=x，，BE=4BE=4，，BD=8BD=8－－x.7．【答案】【答案】D D ；【解析】应分情况讨论。

初二数学三角形巩固练习题

初二数学三角形巩固练习题一、填空题1. 在直角三角形ABC中，若AB = 5 cm，BC = 12 cm，则AC的长度为________ cm。

2. 在等腰三角形DEF中，DE = DF = 7 cm，且∠DEF = 110°，则∠DFE的度数为________°。

3. 在锐角三角形PQR中，∠P = 30°，PR = 8 cm，PQ = 2PR，则QR的长度为________ cm。

4. 请根据相似三角形的性质求出下列比值：a) 直角三角形ABC和直角三角形DEF的斜边比值为______;b) 锐角三角形MNP和锐角三角形XYZ的周长比值为______。

二、选择题1. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，则以下哪个选项是正确的？a) ∠A + ∠B = 90°b) ∠A + ∠B = 180°c) ∠A + ∠B + ∠C = 180°d) ∠A + ∠B + ∠C = 360°2. 在等腰三角形DEF中，DE = DF = 6 cm，且∠DEF = 80°，则∠DFE的度数为________°。

a) 80°b) 100°c) 130°d) 160°3. 在锐角三角形PQR中，∠Q = 30°，PR = 6 cm，PQ = 2PR，那么∠R的度数为________°。

a) 15°b) 30°c) 45°d) 60°4. 若两个角是共有顶点的两条射线，这两个角之间的夹角是________。

a) 钝角b) 直角c) 锐角d) 平角三、解答题1. 已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 24 cm，BC = 7 cm。

求∠A的度数和AC的长度。

2. 在等腰直角三角形DEF中，∠E = ∠F = 45°，EF = 10 cm。