广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四：数学思想方法专题1 课件
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修一：2-1-1-1课件
x 3
【延伸探究】1.若将典例 3中“ ” 4 x 3 改为 4 x“ 3 ”,则x有何限定条件? 【解析】由于根指数4是偶数 , 要使 4 x 3 有意义,则需要x-3≥0,即x≥3.
2.若将典例 3中“ 5 ”改为 4 x 3 x 3 “ ”,则x有何限定条件? 【解析】由于根指数5是奇数,因此 x+3可以是任意实数,故此时x取全体实 数.
(3)当n为大于1的偶数时 , 只有当 n a a≥0时有意义, n a 当a<0时无意义. (a≥0)表示a在实 数范围内的一 n a 个n次方根,另一个是.
n与 2. 对 ( ) 两式的理解 n n n a a n (1)( ) :当n为大于1的奇数 n n n a a 时,( ) 对任意a∈R n=a,当n为大于1的 都有意义, 且 ( ) n n a a 偶数时,( )n n a 只有当a≥0时才有意义 ,且 ( )n=a(a≥0).
类型二 无限制条件的根式的运算 【典例】(2016·临汾高一检测)化简
1 1 .
3 3 （ 3 10） ( 3 3－ 10 )3
【解题探究】典例中对于分母中含有 根号的式子应如何进行化简? 提示:可利用根式的性质
1
3 3
n
an
=a(n为奇
10－3－(3 10) 6.
3 3 ( 3 － 10 ) （3 10）
(2) n n
:对任意a∈R都有意义,且当n为 a 大于1的奇数 a，a 0, n n n n a 时 =a;当n为大于1 , a, a的偶数时 a,a＜0. = 3 2 3 3 ＝－3， 3 ＝|－3|＝3. 如 特别提醒:对于根式,要特别注意n的取 值范围为n>1且n∈N*这一限定条件.
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四：第1章 第13课时 课件
g(x)
π π π ＝5tan(ax－1)＋2 的最小正周期为|a|，∴|a|＝2，解得 a＝± 2.
• • • •
4．已知函数f(x)＝tan xcos x. (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(x)的值域．
π 【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠kπ＋2，k∈Z}． (2)∵f(－x)＝tan(－x)cos(－x)＝－tan xcos x＝－f(x)，∴f(x)
• •
2．正切函数的图象 (1)图象：图象如图所示．
π (2)正切曲线：正切函数 y＝tan x，x∈R，x≠2＋kπ(k∈Z) 的图象叫做正切曲线．
自主演练
1．观察 y＝tan x 的图象，若 tan x<0，则( π A．2kπ－2<x<2kπ(k∈Z) π C．kπ－2<x<kπ(k∈Z) ) π B．2kπ＋2<x<(2k＋1)π(k∈Z) π D．kπ＋2<x<(k＋1)π(k∈Z)
13 π π 【规范解答】∵tan－ 4 π＝－tan3π＋4＝－tan 4， 17 2π 2π tan－ 5 π＝－tan3π＋ 5 ＝－tan 5 ， 2π π 2π π 而 5 >4，∴tan 5 >tan 4. 2π π ∴－tan 5 <－tan 4， 13π 17π 即 tan－ 4 >tan－ 5 .
【规范解答】设 t＝tan x，则 y＝t2－2t＋3. (1)∵t＝tan x∈R，∴当 t＝1 时，ymin＝2.函数无最大值．
π π (2)∵x∈6，3，∴t∈ 3 ， 3 .∴当 t＝1 时，ymin＝2；当 3
t＝ 3时，ymax＝6－2 3.∴函数的值域为[2，6－2 3]．
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四：第3章 第3课时 课件
知识点归纳
1．公式 tan α＋tan β (1)两角和的正切公式 Tα＋β：tan(α＋β)＝ . 1－tan αtan β tan α－tan β (2)两角差的正切公式 Tα－β：tan(α－β)＝ . 1＋tan αtan β
•
2．公an β＝3，则 tan(β－α)的值是( A．－1 5 C．7 1 B．－5 1 D.7 )
本题从公式逆向变换思想出发， 灵活地运用 了正切和角公式的变形式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)· (1－tan αtan β)．由此可解决一类求值问题：tan α＋tan β＋tan(α＋β)tan α tan β＝tan(α＋β)．例如 tan 17° ＋tan 43° ＋ 3tan 17° · tan 43° ＝ 3.
＝ 3.故选 B.
3．(2014 年贵州模拟)tan 20° ＋tan 40° ＋ 3tan 20° · tan 40° ＝________.
【答案】 3
tan 20° ＋tan 40° 【解析】 ∵tan 60° ＝tan(20° ＋40° )＝ ＝ 3， 1－tan 20° tan 40° ∴tan 20° ＋tan 40° ＝ 3－ 3tan 20° tan 40° ，即 tan 20° ＋tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° ＝ 3.
公式的综合应用
π 已知 tan A 与 tan 4－A是方程 x2＋px＋q＝0 的两 π 根，若 3tan A＝2tan 4－A，求 p，q 的值．
π 【思路分析】先利用已知条件 3tan A＝2tan 4－A，求出 tan A，再利用根与系数的关系求出 p，q.
•第3课时 两角和与差的正弦、 •余弦、正切公式(二)
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四：第2章 第12课时 课件
【规范解答】设船速为 v1，水速为 v2， 船的实际速度为 v3.建立如图所示坐标系， 20 则|v1|＝5 m/s，|v3|＝ 5 m/s＝4 m/s. 由 v3＝v1＋v2，得 v2＝v3－v1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)， ∴|v2|＝3，即 v2＝3 m/s.
• 用向量解决相关的物理问题， 要将相关的物理量用几何图形正确地表示出 来；根据物理意义，将物理问题转化为数学问 题求解．最后将数学结论还原为物理问题．
3．速度|v1|＝10 m/s，|v2|＝12 m/s 且 v1 与 v2 的夹角为 90° ， 则 v1 与 v2 的合速度的大小是( A．2 m/s C．12 m/s ) B．10 m/s D．2 61m/s
• 【答案】D • 4．已知速度v1＝(1，－2)，速度v2＝(3,4)， 则合速度v＝________. • 【答案】(4,2)
• 4．作用于同一点的两个力F1和F2，|F1|＝ 5，|F2|＝3，夹角为60°，求F1＋F2的大小．
2 【 解 析 】 |F1 ＋ F2| ＝ F1＋F22 ＝ F2 ＋ F F2 ＝ 1 2＋2F1·
52＋32＋2×5×3cos 60° ＝7.∴F1＋F2 的大小为 7.
高效课堂
典例精析
人往东北方向偏，所以此人感到的风向应该是西南风．
• 2．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)， F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( ) • A．lg 2 B．lg 5 • C．1 D．2 • 【答案】D • 【解析】合力F＝F1＋F2＝(lg 2＋lg 5，lg 2 ＋lg 2)＝(1,2lg 2)，W＝F·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1) ＝2lg 2＋2lg 5＝2.
高中数学必修四全套PPT课件讲义
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S R2 n 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
所以它的面积是 S 1 lR 2
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)； （2）把112º30′化成弧度（用π 表示）。
1
rad
180
57.30
57 18'
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
由公式：
l r
l r
比公式
l nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
② 扇形面积公式 S 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
(2) S={β| β=k·360º－21º(k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四：第1章
第一章 第7课时一、选择题 1．sin －19π6的值等于( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32【答案】A 【解析】sin －19π6＝－sin 19π6＝－sin 2π＋7π6＝－sin 7π6＝－sin π＋π6＝sin π6＝12.故选A ．2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的结果是( ) A ．2sin 2α B ．0 C ．1 D ．2【答案】D【解析】sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1＝ sin 2α＋cos 2α＋1＝2.故选D ．3．已知cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π－α)＝( )A ．32B ．－32C ．12D ．－12【答案】A【解析】由cos(π＋α)＝－cos α＝－12得cos α＝12.又sin(2π－α)＝－sin α且32π<α<2π，∴sin(2π－α)＝32.故选A ．4．设cos(－100°)＝k ，则tan 80°＝( ) A ．1－k2kB ．－1－k2kC ．±1－k2kD ．±k1－k2【答案】B【解析】方法1：∵cos(－100°)＝k ，∴cos 80°＝－k .∴sin 80°＝1－k 2，tan 80°＝－1－k2k.故选B ．方法2：∵cos 100°＝cos(－100°)＝k <0，tan 80°>0.只有B 答案大于0，故选B ． 二、填空题 5．sin 4π3tan－5π4＝________.【答案】32【解析】sin 4π3tan －5π4＝－sin 4π3tan 5π4＝－sin π＋π3tan π＋π4＝sin π3tan π4＝32.6．若sin(－α)＝13，α∈－π2，π2，则cos(π＋α)＝________.【答案】－223【解析】∵sin(－α)＝13，∴sin α＝－13，α∈－π2，0.∴cos α＝1－sin 2α＝223，cos(π＋α)＝－cos α＝－223. 三、解答题 7．化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.【解析】1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°＝1＋－＋＋＋0°＋＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.8．已知sin(θ＋k π)＝2cos [θ＋(k ＋1)π]，k ∈Z ，求4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ的值．【解析】方法1：当k 为奇数时，由已知得－sin θ＝2cos θ， ∴tan θ＝－2；当k 为偶数时，由已知得sin θ＝－2cos θ， ∴tan θ＝－2.综上：tan θ＝－2. ∴4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－25＋3tan θ＝10.方法2：cos[θ＋(k ＋1)π]＝cos(θ＋k π＋π)＝－cos(θ＋k π)．∵sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)，∴tan(θ＋k π)＝－2，即tan θ＝－2.∴4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－25＋3tan θ＝10.。
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四：第1章 第5课时 课件
• 3．若△ABC的两个内角α，β满足cos α·cos β＜0，则此三角形为( ) • A．锐角三角形 B．钝角三角形 • C．直角三角形 D．以上均有可能 • 【答案】B
【解析】设 0＜α＜β＜π，当 cos α· cos β＜0 时，cos α＞0， π cos β＜0，所以 2＜β＜π.故△ABC 为钝角三角形. 故选 B．
•第5课时 任意角的三角函数(二)
导学坐标
学习目标
• (一)知识与技能 • 1．理解三角函数线的概念及意义． • 2．能初步应用三角函数线分析解决与三角 函数值有关的一些简单问题． • (二)重点和难点 • 1．重点：三角函数线的概念． • 2．难点：三角函数线的简单应用．
知识点归纳
• 1．有向线段：带有方向的线段，叫做有向 线段． • 2．三角函数线： • 如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过 点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1,0)作单 位圆的切线，与α的终边(或其反向延长线)交于 点T，则图中有向线段MP，OM，AT分别表示 sin α，cos α和tan α.有向线段MP，OM，AT分 别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称
|cos x| |tan x| 4．函数 y＝ cos x ＋ tan x 的值域是( A．{1,2} C．{－2,2} B．{－2,0,2} D．{0,1,2}
)
• 【答案】B • 【解析】当角是第一象限中的角时，y＝1 ＋1＝2；当角是第二象限的角时，y＝－1－1 ＝－2；当角是第三象限的角时，y＝－1＋1＝ 0；当角是第四象限的角时，y＝1－1＝0.故综 上可知函数的值域是{－2,0,2}．故选B．
三角函数线的综合应用
• 利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1. • 【思路分析】作出α的正弦线和余弦线，利 用三角形中边的关系进行证明． • 【规范解答】当α的终边落在坐标轴上时， 正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正 弦线)的长等于1，∴|sin α|＋|cos α|＝1. • 当α的终边落在四个象限时，利用三角形两 边之和大于第三边有|sin α|＋|cos α|＝|OM|＋
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四：第1章
第一章 第15课时一、选择题1．要得到函数y ＝sin 12x 的图象，只需将函数y ＝sin 12 x －π3 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位【答案】A【解析】由y ＝sin 12x ＝sin 12[ x ＋π3 －π3]可知，将y ＝sin 12 x －π3 的图象向左平移π3个单位可得y ＝sin 12x 的图象．故选A ．2．如图所示是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2图象的一部分，它的振幅，周期，初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝43π，φ＝－π6B ．A ＝1，T ＝43π，φ＝－3π4C ．A ＝1，T ＝23π，φ＝－3π4D ．A ＝1，T ＝23π，φ＝－π6【答案】B【解析】由图可知A ＝1，又T 2＝5π6－π6＝4π6，∴T ＝43π.又图象过 π6，1 ，代入y ＝sin 32x ＋φ ＋2，可得φ＝－3π4.故选B ．3．函数y ＝cos 2x ＋π3 图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π3B ．x ＝π12C ．x ＝－5π12D ．x ＝0【答案】A【解析】当x ＝π3时，y ＝－1，∴x ＝π3是函数y ＝cos 2x ＋π3的一条对称轴．故选A ．4．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点 4π3，0 中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】A【解析】∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点4π3，0 中心对称，∴2×4π3＋φ＝k π＋π2，即φ＝k π－13π6(k ∈Z )．由此得|φ|min ＝π6.故选A ．二、填空题5．函数y ＝－2sin 4x ＋23π 的图象与x 轴的交点中，离原点最近的一点是________．【答案】 π12，0【解析】令4x ＋23π＝k π，得x ＝14k π－π6(k ∈Z )．当k ＝1时，|x |min ＝π12.∴离原点最近的一点是 π12，0 .6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值是2，则ω＝________. 【答案】34【解析】∵0<ω<1，则T ＝2πω>2π， ∴f (x )在区间[0，π3]上为增函数，故f (x )max ＝f π3 ，即2sin ωπ3＝ 2.又0<ω<1，则ω＝34.三、解答题7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若f (0)＝22，求φ的值； (2)在(1)的条件下，若函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．【解析】(1)f (0)＝22，得sin φ＝22，又∵|φ|<π2， ∴φ＝π4.(2)由(1)得f (x )＝sin ωx ＋π4 ，又T 2＝π3，而T ＝2πω， ∴ω＝3.∴f (x )＝sin 3x ＋π4.函数f (x )的图象左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin [3(x ＋m )＋π4].g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，∴最小正实数m ＝π12.8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)：(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13，然后再将所得到的图象沿x 轴正方向平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，写出g (x )的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．【解析】(1)由已知，易得A ＝2，T 2＝(x 0＋3π)－x 0＝3π，∴T ＝6π，ω＝13.把(0,1)代入y ＝2sin 13x ＋φ ，得2sin φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin 13x ＋π6 即为所求．(2)将y ＝2sin 13x ＋π6 图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13后的函数解析式为y ＝2sin x ＋π6 ，再沿x 正方向平移π3个单位后得g (x )＝2sin x －π6.用“五点法”作图如下：。
广东省廉江市实验学校人教版高中数学必修四课件：143正切函数的性质与图象(共10张PPT)
(3) 连线
o1
y
2
x
4
O 4
观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围：
（1） tan x 0
(2) tan x 3
(3) 1 tan x 3 3
例题精析
例1.求函数
y tan( x ) 23
的定义域、周期和单调区间.
变式练 求函数y 3tan( 2x)的最小正周期和单调区标 1.掌握正切函数的图象与性质（重点）； 2.会求正切型函数的单调区间； 3.根据单调区间求参数的范围（难点）。
结论： 函数y Asin(x ), x R及函数y Acos(x ), x R(其中
A,，为常数，且A 0)的最小正周期为 T 2 | |
函数y A tan(x )的最小正周期为 T | |
T
若函数f (x)的最小正周期为 T ,则f (x)的最小正周期为 | |
三角函数线 y o y
Mo P
PT
A(1,0) M x MP是正弦线
OM是余弦线 T
AT是正切线
Ax
y
P
Mo
y
o
Ax T
MAx PT
正切曲线
作法:
(1) 等分 (2) 作正切线，平移
4
拓展练 若函数f (x) tan(x )( 0)且f (x)在(- ， )是单调增函数，
4
3 ,2
则的最大值为________
课堂小结 一个图象（正切曲线）； 两个性质（周期性、单调性）； 三种思想：1.数形结合思想
2.类比思想 3.整体思想
作业布置： 《课时作业本》课时作业十一
拓展1 函数y lg tan x的单调递增区间为 ___________
数学思想方法PPT课件
2. 重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断能力和 独立思考能力
2020年9月28日
5
数学方法论是数学发展的产物，因为数学的产生总包含着数学方法 的产生、积累和发展，面对数学方法的系统专门研究就形成了数学 方法论
法国数学家庞家莱 （J.H.Poincare,1854-1912)）
《科学与假设》〔1902〕、《科学的 价值》〔1905〕、《科学与方法》 〔1908〕对数学美与数学直觉进行了
2020年9月28日
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数学思想方法的教学功能
1. 数学思想是联系各类知识的纽带，是贯穿于数学的、 具有一定包摄性和概括性的观念，是数学概念、数学 本质所在
2. 数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略 知识转化的桥梁。有利于提升数学思维水平，优化思 维品质，促进数学思维能力的发展
3. 数学思想方法反映了数学知识中共同的、本质性的、 奠基性的成分，是数学文化的核心内容，它不仅具有 方法论的意义更具有认识论的意义
2020年9月28日
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数学思想 数学方法
1. 数学思想和数学方法 是两个层次不同的两 个概念
2. 数学思想和数学又是 紧密联系的
3. 数学思想和数学方法 参实际使用时往往不 加区别
4. 与数学思想方法相关 联的还有一个更低层 次的概念--“招术”
关于数学思想的体系尚未达成一致
横向维度 依赖相应的数学
我国教学过程中形成了“双基教学”，注重基础知识、
基本技能的教学和训练。“启发教学”“变式教
学”“精讲多练”小学邱学华的尝试教学法、马芯兰
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修一：3-1-1
一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。
1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系。
2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想。
3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系。
4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识。
二、重难点：本节重点是通过“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识；认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长，应用函数模型解决简单问题。
在利用二分法求解方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此获得给定精度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具；学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度的认识还很少，所以让学生比较这几种函数的增长差异会有一定的困难，如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题是另一个困难。
二、编写意图和教学建议1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）。
2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律。
此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法。
3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解。
最新-广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四：数学思想方法专题2 课件 精品
2．分类讨论思想 有关不确定位置的几何问题、含有参数的代数问题，都要 进行分类讨论，体现出化整为零、从部分到整体的思想方法， 分类讨论相当于增加了求解问题的条件，运用的是完全归纳法． 分类讨论时，一定要讨论全面，不能漏掉所有的可能．
已知 a＝(1,3)，b＝(2，λ)，设 a 与 b 的夹角为 θ， 要使 θ 为锐角，求 λ 的取值范围．
2cos 2 ∴θ 增大时，|F1|也增大． (2)由(1)可知，当 θ＝0°时，|F1|最小值为|G2 |.
(3)依题意，|G2 |≤|F1|≤|G|，
∴12≤2co1s
θ≤1，即12≤cos 2
2θ≤1.
由于 y＝cos x 在[0°，180°]上为减函数，
∴0°≤2θ≤60°，∴θ∈[0°，120°]．
∵A→M＝－32M→Q，∴(x，y－b)＝－32(a－x，－y)， ∴a＝13x，b＝－2y，即 A0，－2y，Q3x，0. P→A＝3，－2y，A→M＝x，32y. ∵P→A·A→M＝0，∴3x－34y2＝0， 即所求轨迹方程为 y2＝4x(x>0)．
3．利用向量法解决平面几何问题 如下图所示，若 D 是△ABC 内一点且 AB2－AC 2
【解析】(1)由力的平衡得 F1＋F2＋G＝0，
设 F1，F2 的合力为 F，则 F＝－G，
∴F1＋F2＝F 且|F1|＝|F2|，|F|＝|G|，
1 解直角三角形得 cos 2θ＝2|F|F1||，
∴|F1|＝
|G| θ
θ∈[0°，180°]．
2cos 2
由于函数 y＝cos x 在 x∈[0°，180°]上为减函数， ∴θ 逐渐增大时，cos 2θ逐渐减小， |G| θ逐渐增大，
【解析】(1)∵a＝mb＋nc， ∴(3,2)＝(－m＋4n,2m＋n)，
最新-广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修四：第2章 第3课时 课件 精品
规律总结
1．向量的减法 (1)向量的减法实质上是向量加法逆运算．利用相反向量的 定义，－A→B＝B→A，就可以把减法化为加法． (2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连结两向量 终点，箭头指向被减向量”即可． 2．以向量A→B＝a，A→D＝b 为邻边作平行四边形，则两条对 角线的向量为A→C＝a＋b，B→D＝b－a，D→B＝a－b.此结论在以后 的应用中非常广泛，应该掌握．
解决这类题目要注意方法统一，如都将减 法转化为加法运算；其次应注意向量加法交换律和结合律的灵 活运用．其中方法3为我们提供了一种不需要平移，就能将平 面向量转化为以一确定点为起点的向量的方法，从而使问题转 化成有共同起点的向量问题，这种方法以后经常会用到，必须 熟练掌握．
用向量的加法、减法证明平面几何问题
4．已知四边形 ABCD 为正方形，A→B＝a，B→C＝b，A→C＝c， 试作出向量 a－b＋c.
【解析】作B→E＝A→C，D→B＋B→E＝D→E，则 a－b＋c＝D→E.∴D→E 即为所求．
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典例精析
向量减法的运算
化简(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． 【思路分析】向量加法、减法是互逆的，故本题有多种思 路．可利用A→B的相反向量是B→A，将题目中的减法都转化为加法， 从而根据向量加法的三角形法则来化简；也可利用A→B－A→C＝ C→B，D→C－D→B＝B→C进行化简；另外可以利用M→N＝O→N－O→M关 系进行化简．
第3课时 向量减法运算及其几何意义
导学坐标
学习目标
(一)知识与技能 1．理解相反向量的意义，并理解向量减法及其几何意 义． 2．能准确地作出两个向量的差向量，并且能掌握向量的 起点和终点的规律． (二)重点和难点 1．重点：向量减法运算及其几何意义． 2．难点：向量减法法则的理解．
最新-广东省廉江市实验学校2021届高三人教A版数学理一轮复习课件：数学归纳法复习课件 精品
A．1
B.15
C．1＋12＋13＋14＋15
D．非以上答案
解析：选C.等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且 最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.
3．设 f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n＋1 n，n∈N*，那么 f(n＋1)
－f(n)＝( )
A.2n1＋1
B.
1 2n＋2
正数的数列{an}中，数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝12an＋a1n.
(1)求 a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明 你的猜想．
【解】 (1)S1＝a1＝12a1＋a11，得 a21＝1.
∵an＞0，∴a1＝1 1 分
由 S2＝a1＋a2＝12a2＋a12，
跟踪训练 1．设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)． 求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2[1＋12－1]＝1， 左边＝右边，等式成立． (2)假设 n＝k(n∈N*)时，结论成立， 即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当 n＝k＋1 时，
【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
跟踪训练 3．由下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32， 1＋12＋13＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等 式？并加以证明．
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• 二、数学思想 • 1．数形结合思想 • 数形结合的思想是数学中重要的思想方法之 一，数形结合的解题方法的特点是：具有直 观性、灵活性、深刻性、有较强的综合性， 加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识 ，打好基础、提高能力是重要一环．
•
函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π] 的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点 ，则k的取值范围是________． • 【分析】可根据角x的范围，去绝对值，结合 图象求k的范围．
π π 已知函数 y＝asin2x＋6＋b 在 x∈[0，2]上的值 域为[－5,1]，求 a，b 的值． π 【分析】先由 x 的范围确定 sin2x＋6的范围，再根据 a 的符号，讨论 a，b 的取值．
π π π 7 【解析】∵x∈[0，2]，∴2x＋6∈[6，6π]， π 1 [ sin 2x＋6 ∈ －2，1]. a＋b＝1， a＝4， 当 a>0 时， a 解得 －2＋b＝－5， b＝－3. 1 － a＋b＝1， a＝－4， 2 当 a<0 时， 解得 b＝－1. a＋b＝－5， ∴a，b 的取值分别是 4，－3 或－4，－1.
T 【解析】由图象知 A＝4，2 ＝6＋2＝8，∴T＝16， 2π π 则 ω＝16＝8， 又点 x＝6 处于递增部分的平衡点． π 3 π 3 ∴φ＝－ω×6＝－8×6＝－4π，于是 y＝4sin 8x－4π. π π π 又|φ|<2，∴y＝4sin 8x＋4－π. π π ∴y＝－4sin 8x＋4.
2 2 2
4＋ 15 4－ 15 ∴t1＝ 8 或 t2＝ 8 . ∵sin2α>cos2α， 4＋ 15 8＋2 15 3＋ 5 ∴sin α＝ 8 ＝ 16 ，sin α＝ 4 .
2
4－ 15 8－2 15 5－ 3 cos α＝ 8 ＝ 16 ，∴cos α＝ 4 .
2
3 ∴cos α－sin α＝－ 2 .
1 π π 已知 sin αcos α＝8且4<α<2，求 cos α－sin α 的 值．
• 【分析】由已知条件及sin2α＋cos2α＝1可构 造关于sin α，cos α的方程，然后求出sin α， cos α. π π
【解析】∵4<α<2，∴sin α>cos α>0.
2 2
1 ∴sin αcos α＝64.又 sin2α＋ cos2α＝1， 1 ∴sin α，cos α 是关于 t 的方程 t －t＋64＝0 的两根．
【解析】f(x)＝sin x＋2|sin x|
3 sin x，x∈[0，π]， ＝ －sin x，x∈[π，2π].
如图，则 k 的取值范围是 1<k<3.
• 2．方程的思想 • 求三角函数值要解方程，待定系数法求三角 函数的解析式，也要解方程．方程的思想是 本函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin x的图 象比较，选取它们的一个单调区间得到一个 不等式，解答即可求出φ.
•
已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象(如图)
，求φ.
π 1 【解析】∵A3，2在递减区间上， 2 π 3 [ ∴3π＋φ∈ 2kπ＋2，2kπ＋2π](k∈Z)． 2 5 π ∴3π＋φ＝6π，即 φ＝6.
•数学思想方法专题(一)
一、解题方法及技巧 1．平衡点法． φ 由 y＝Asin(ωx＋φ)＝Asin [ωx＋ω]知它的平衡点横坐标 φ 为－ω，所以可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点， φ 令其横坐标为 x1＝－ω则可求 φ.
π 函数 y＝Asin (ωx＋φ)ω>0，|φ|<2，x∈R的部分 图象如图所示，求函数解析式．
• 【方法点拨】有关sin xcos x与sin x＋cos x的 问题，常常利用(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x转化为一元二次函数问题加以解决．
• 4．分类讨论的思想 • 由于角的位置的不同，可以引起分类讨论； 由于角的范围，导致三角函数取值的范围需 要分类讨论等．分类讨论的思想渗透于本章 各个知识点之中．
• 3．转化的思想 • “弦化切”、“切化弦”等方法都是转化与 化归思想的具体体现．还常常将三角问题转 化为二次函数问题，将复合函数问题转化为 简单函数问题，将实际问题转化为数学模型 等．
sin xcos x 求函数 f(x)＝ 的最大值和最小值． 1＋sin x＋cos x
• 【分析】利用sin xcos x与sin x＋cos x的关系 ，统一转化为一元二次函数问题加以解决．
【方法点拨】求参数 a，b 的取值问题，必然要根据题意列 方程组，但要注意 a，b 是三角函数的系数时，a，b 的正负， 影响三角函数的最大值和最小值，因此需要分类讨论．
三、解读高考 高考真题 1．(2013 年福建)将函数
π π f(x)＝sin(2x＋θ)－2＜θ＜2
的图象向右平移 φ(φ＞0)个单位长度后得到函数 g(x)的图 象，若 f(x)，g(x)的图象都经过点 ( ) 5π A． 3 π C．2
• 2．确定最值法 • 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0) 的图象如右图，求该函数的解析式．
【解析】由图象易得： π y＝2sin 4x＋φ＋2，下面求 φ.由图知，当 x＝－2 时，ymax π [ ＝4，即 2sin 4×(－2)＋φ]＋2＝4， π π ∴－2＋φ＝2kπ＋2(k∈Z)，取 k＝0 得 φ＝π. π ∴y＝2sin 4x＋π＋2.
t2－1 【解析】 设 sin x＋cos x＝t， 则 sin xcos x＝ 2 ， t∈[－ 2， t 2 －1 t2－1 t－1 2 2]且 t≠－1，则 y＝ ＝ ＝ 2 ，t∈[－ 2， 2]且 t≠ 1＋t 2＋2t －1. 2－1 π 解得 x＝2kπ＋4(k∈Z)时，f(x)的最大值为 2 . 2＋1 3 当 x＝2kπ－4π(k∈Z)时，f(x)的最小值为－ 2 .