北京市朝阳区2009年高三统一练习(二模)理科数学
北京市朝阳区高三数学第二次高考模拟考试(理) 新人教版
朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合1{ 2 }2x A x -=?-，{4, 2, 0, 1 }B =--，则A B I 等于（A ）{4,2,0,1}-- （B ）{2,0,1}- （C ）{4}- （D ）Æ（2）已知向量(1, 2)=a ，(3, 2)=-b ，如果k +a b 与3-a b 垂直，那么实数k 的值为（A ）19- （B ）13-（C ）119（D ）19 （3）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（A ）112 （B ）80 （C ）72 （D ）64（第3题图）（第4题图）俯视图 侧视图（4）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （5）已知平面a ，b ，直线l a ^，直线m b Ì，有下面四个命题：①a b∥Þl m ^ ② a b ^Þl m ∥③ l m∥Þa b ^④ l m ^Þa b ∥其中正确的命题是 （A ）①与② （B ）③与④ （C ）①与③ （D ）②与④（6）函数2()(2)e xf x x x =-的图象大致是（7）已知椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点. 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（A（B（C（D（8）已知函数222()(1)2f x a x bx b =--+（11b a -<-<）. 用()card A 表示集合A中元素的个数，若使得()0f x >成立的充分必要条件是x A Î，且()4c a r d A =Z I ，则实数a 的取值范围是（A ）(1, 2)- （B ）(1, 2) （C ）(2, 3) （D ）(3, 4)（A ） （B ） （C ） （D ）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）不等式组0,10,3260x x y x y ìïïï--íïï--ïïî≥≥≤所表示的平面区域的面积等于 .（10）已知圆4cos :3sin x C y q q ì=+ïïíï=+ïî（q 为参数），直线:230l x y -+=，则圆心C 到直线l 的距离为 .（11）如右图，从圆O 外一点P 引两条直线分别交圆O 于点、A B ， 、C D ，且PA AB =，5PC =,9CD =，则AB 的长等于 .（12）如果1()nx x+展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 .（13）上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120. 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m .（14）已知数列{}n a 为等差数列，若m a a =，n a b =（1n m -≥，, m n *ÎN ），则m n nb maa n m+-=-. 类比等差数列{}n a 的上述结论，对于等比数列{}n b （0n b >，n *ÎN ）若m b c =，n b d =（n m -≥2，, m n *ÎN ），则可以得到m n b += .CB世博轴·A 中国馆120º三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）设函数()2sin cos cos(2)6f x x x x π=--．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当2[0,]3x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值.(16)（本小题满分13分）袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球.（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率； （Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率； ②求取出的红球数X 的分布列和均值（即数学期望）.(17)（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角 形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由(18)（本小题满分13分） 已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证：120x x +=．(19)（本小题满分13分）已知动点M 到点(1, 0)F 的距离，等于它到直线1x =-的距离． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段AB ，MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．(20)（本小题满分14分）已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）设32n n n b a -=-，2(3)51n n n a c n +=-，若对于任意的*n ∈N ，不等式12031(1)(1)(1)nb b b +++≤恒成立，求正整数m 的最大值．（考生务必将所有题目的答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试答案（理工类） 2010.5一、选择题:三、解答题:(15)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2)6f x x x x π=-+sin 2(cos 2cossin 2sin )66x x x ππ=--3sin 222x x = )6x π=-，所以())6f x x π=-. …………5分所以函数()f x 的最小正周期为π． …………7分 （Ⅱ）由222()262k x k k p p p p p --+?Z ≤≤得，()63k x k k p pp p -+?Z ≤≤.又因为[0, ]x π∈，所以函数()f x 在[0,]p 上的递增区间为[0,]3π和5[, ]6ππ．…………13分 (16)（本小题满分13分） 解：（1）记“取出1个红球2个黑球”为事件A ，根据题意有12334144()()()77343P A C =⨯=；答：取出1个红球2个黑球的概率是144343. …………4分（2）①方法一：记“在前2次都取出红球”为事件B ，“第3次取出黑球”为事件C ，则321()767P B ⨯==⨯，3244()76535P BC ⨯⨯==⨯⨯，所以4()435(|)1()57P BC P C B P B ===.方法二：()3244(|)()3255n BC P C B n B ⨯⨯===⨯⨯. 答：在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是45. …………7分 ②随机变量X 的所有取值为0, 1, 2, 3.3343374(0)35C A P X A ⋅===，2134333718(1)35C C A P X A ⋅===， 1234333712(2)35C C A P X A ⋅===，3333371(3)35C A P X A ⋅===.所以418121459012335353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. …………13分 (17)（本小题满分14分） 解法一：证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE .因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE . …………4分（Ⅱ）由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^. 因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC . …………8分 （Ⅲ）解：连接OE ，由（Ⅱ）知BD SAC ⊥面.而OE SAC ⊂面, 所以BD OE ⊥. 又BD AC ⊥.所以EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，即45EOC ∠=︒. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，在SAC ∆中，2SA SC ==, AC =又因为12OC AC ==SO OC ⊥, 所以SOC ∆是等腰直角三角形.由45EOC ∠=︒可知，点E 是SC 的中点. 解法二：（Ⅰ）同解法一 …………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC 建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O ，(0, 0,S ，) 0, 0A，()0, 0B ，()0, 0C ，()0, 0D .所以()0, 0AC =-，()0, 0BD =-. 设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒. 所以(, 0, )22E a ，(, )22BE a =. 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0, ()0.22y a x =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n . 易知()0, 0BD =-是平面SAC 的法向量. 因为(, 0, 1)(0, 0)02aBD a⋅=⋅-=-n ， 所以BD ⊥n ，所以平面BDE ⊥平面SAC . …………8分（Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知，平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n . 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,OS =是平面SAC 的一个法向量. 由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 45OS 〈〉=︒=n ，2=，解得1a =. 所以点E 是SC 的中点. …………14分 (18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(, 0)(0, )-∞+∞．222()()a e ax f x x e ex-'=-=. 当0a =时，由2()0f x x'=>，解得0x >；当0a >时，由2()()0e ax f x ex -'=>，解得0ex a<<； 当0a <时，由2()()0e ax f x ex-'=>，解得0x >，或e x a <． 所以当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞； 当0a >时，函数()f x 的递增区间是(0, )ea；当0a <时，函数()f x 的递增区间是(, )e a-∞，(0, )+∞． …………8分 （Ⅱ）因为222()()e x f x x e ex-'=-=， 所以以111(,())P x f x 为切点的切线的斜率为112()e x ex -； 以222(,())P xf x 为切点的切线的斜率为222()e x ex -． 又因为切线过点(0, )P t ，所以21111122()ln (0)x e x t x x e ex --+=-； 22222222()ln (0)x e x t x x e ex --+=-. 解得，221t x e += ，222t x e +=. 则2212x x =. 由已知12x x ¹所以，120x x +=． ……………………………13分(19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y ，|1|x +，化简得24y x =，所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．……4分（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为11(, )x y ，22(,)x y ，则点P 的坐标为1212(,)22x x y y ++． 由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =- (0)k ≠，由24, (1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 2242(24)416160k k k D =+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k+=+-=． 所以点P 的坐标为222(1, )k k+.由题知，直线2l 的斜率为1k -，同理可得点Q 的坐标为2(12,2)k k +-.当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--.所以，直线PQ 的方程为222(12)1k y k x k k +=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=.于是，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3, 0)E ．综上所述，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ． …………10分 （Ⅲ）可求的||2EF =，所以FPQ ∆面积121||(2||)2(||)42||||S FE k k k k =+=+≥. 当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4．…………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112a =． 由于11a >，所以12a =．因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++.故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=． 因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，52为公差的等差数列. 所以512(1)(51)22n a n n =+-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下：假设存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=， 则15151(51)2m n k -+-=-． 整理，得3225m n k +-=， ① 显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数, , m n k 不存在． …………9分（Ⅲ）313(51)21222n n n n b a n n --=-=--=+， 2(3)2(3)51351512n n n a n n c n n n ++-==⋅=+--．不等式12011131(1)(1)(1)n mb b b+++可转化为 111(1)(1)(1)b +++3121231111n n b b b bb b b b ++++=⋅⋅⋅4682235721n n +=⋅⋅⋅⋅⋅+． 设46822()35721n f n n +=⋅⋅⋅⋅⋅+， 则 (1)21()35721f n n f n n ⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅+2423n n +=+ 24124n n +=>===+. 所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大． 要使不等式12031(1)(1)(1)n b b b +++对于任意的*n ∈N 恒成立，只需min ()31m f n ≤即可． 因为min 4()(1)315f n f ===， 即43112448151515m ⨯==≤. 所以，正整数m 的最大值为8． …………14分。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
2009-2010朝阳高三一模理科答案
由已知得 B
4
A.
所以 sin B sin(
4
A) sin
4
cos A cos4Fra biblioteksin A
…………………………………5 分
2 2 5 2 5 10 . 2 5 2 5 10
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 C
2 10 3 ，所以 sin C 且 sin B . 2 10 4
答案
(1 , 0)
π 3
3 7 2
2n 1
ì1 (n = 1), ï ï ï (n = 2), í3 ï ï ï ï î 4n - 6 (n ≥ 3).
三、解答题: (15) 解：（Ⅰ）因为 C
5 3 ， ， sin A 5 4 2 5 . 5
所以 cos A 1 sin A
1 3 代入①式，可以解得 M 点横坐标为 1，故切点 M 坐标为 (1, ) ．……9 分 2 2
（Ⅲ）若存在直线 l1 满足条件，设直线 l1 的方程为 y k1 ( x 2) 1 ，代入椭圆 C 的方程得
(3 4k12 ) x 2 8k1 (2k1 1) x 16k12 16k1 8 0 ．
x
P
0
1
2
3
5 9 5 9 1 3
1 3
2 27
1 27
…………… 13 分
x 的数学期望 E 0 1 2
2 1 16 3 . 27 27 27
(17) 解法一：证明：（Ⅰ）设 AB1和A1 B 的交点为 O,连接 EO ，连接 OD . 因为 O 为 AB1 的中点， D 为 AB 的中点, 所以 OD ∥ BB1 且 OD A1 C1 B1 O A C B ………………5 分
2009年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(数学理)有答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
在试卷上作答无效。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B2．已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C4．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为1，1AB 与面ABCD 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为 （ ）A ．3B ．1C D 【答案】D 5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A6．若5(1,a a b =+为有理数），则a b += （ ） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 【答案】C7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 【答案】B8．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A2009年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2009年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．807．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．6488．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）=．10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为．11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，∠F1PF2的大小为．13．（5分）若函数则不等式的解集为．14．（5分）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=；a2014=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．18．（13分）设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．2009年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选：B．【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】11：计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），显然，与不平行，排除A、B．若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），即∥且与反向，排除C，故选：D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解：∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．【考点】LS：直线与平面平行．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．80【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55•（）5=1+5+20+20+20+4=41+29，∴a=41，b=29，a+b=70．故选：C．【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选：B．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；16：压轴题；2：创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合．【解答】解：设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1）x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解，∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】7C：简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：y﹣x=0平移l过点A（4，﹣2）时s有最小值﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．【考点】3I：奇函数、偶函数；62：导数及其几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2；120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分）若函数则不等式的解集为[﹣3，1]．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．（5分）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014= 0．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】16：压轴题．=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，【分析】由a4n﹣3第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解：∵2009=503×4﹣3，∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1，∴a2014=0，故答案为：1，0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 【分析】的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a 不知道，所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A ﹣DE﹣P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时，∠AEP=90°，故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ02468P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．18．（13分）设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e kx，f′（0）=1，f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0），若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，若k＜0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时，k的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得a=1，c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．（Ⅱ）设P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上，圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0，∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2，3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵，且=x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]=+[4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．【考点】8B：数列的应用．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；23：新定义；32：分类讨论．【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，∴，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，∴且；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，有，，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴，∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
2009年朝阳区数学二模答案
北京市朝阳区九年级综合练习（二）数学试卷评分标准及参考答案 2009.6一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9．－3 10．－111．π612．（3，－2）三、解答题（共13个小题，共72 分） 13．（本小题5分）解：原式12128-⨯+-= …………………………………………………………3分 8-= …………………………………………………………………………………5分14．（本小题5分）证明：∵BF CE =，∴FC CE FC BF +=+. 即EF BC =. ……………………………1分 ∵AB BE ⊥，DE BE ⊥，∴∠B ＝∠E ＝90°. …………………………………2分 又AB DE =，∴△A B C ≌△D E F .……………………………………………………………4分 ∴∠A ＝∠D. …………………………………………………………………………5分15．（本小题5分）解：原式42214422++-++=a a a a ………………………………………………………2分5)3(22++=a a . ……………………………………………………………………3分∵0132=++a a ，∴132-=+a a . ……………………………………………………………………………4分 ∴原式35)1(2=+-⨯=. …………………………………………………………………5分解：A B C D B C D C B ABACADBABCBDCACBCDDADBDC………………………………………3分∴P （得到奖励）31124==.……………………………………………………………5分 (说明：列表法同理给分)17．（本小题5分）解：（1）x > 1；…………………………………………………………………………………1分（2）把1=x 代入x y 2=，得2=y .∴点P （1，2）. ……………………………………………………………………2分 ∵点P 在直线3+=kx y 上， ∴32+=k . 解得 1-=k .∴3+-=x y . …………………………………………………………………………3分 当0=y 时，由30+-=x 得3=x .∴点A （3，0）. ……………………………4分 ∴32321=⨯⨯=∆OAP S . ……………………………………………………………5分18．（本小题5分）（1）证明：∵BE ＝2DE ，EF ＝BE ，∴EF ＝2DE . ……………………………………………………………1分 ∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴BC ＝2DE 且DE ∥BC . ……………………………………………………………2分∴EF ＝BC . …………………………………………………………………………3分又EF ∥BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形. ……………………………………4分又EF ＝BE ，∴四边形BCFE 是菱形. ……………………………………………………………5分（1）解：把x =－2代入方程，得0)2()2()1(24=+--⋅--m m m ，即022=-m m .解得 01=m ，22=m . …………………………………………1分当0=m 时，原方程为022=+x x ，则方程的另一个根为0=x .………………2分 当2=m 时，原方程为0822=+-x x ，则方程的另一个根为4=x .………3分（2）证明：[][])2(4)1(22+-⨯---m m m 482+=m ，……………………………………4分∵对于任意实数m ，02≥m ， ∴0482>+m .∴对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根. ……………………5分 20．（本小题5 分）解：（1）600%35210=÷，即该校共有600名学生； …………………………………………………………1分（2）八年级共有学生人数：150%25600=⨯. …………………………………………2分九年级共有学生人数：240150210600=--. ………………………………………3分600600360000600240650150520210600==⨯+⨯+⨯， ……………………………4分即该校学生人均存款600元；（3）25.20400%25.2360000=⨯， …………………………………………………………5分所以该校一年大约能帮助20名灾区学生.21．（本小题5分）证明：连接CD .∵∠ACB=90° ,AC 为⊙O 直径，∴EC 为⊙O 切线，且∠ADC=90°. ………………………2分 ∵ED 切⊙O 于点D,∴EC ＝E D . …………………………………3分 ∴∠ECD =∠EDC .∵∠B+∠ECD =∠BDE+∠EDC=90°， ∴∠B=∠BDE .∴BE=ED . …………………………………………………………………………………………4分 ∴BE=CE . …………………………………………………………………………………………5分22.（本小题5分）解：设工人原计划每小时摆放x 盆鲜花，则实际每小时摆放1.2x 盆鲜花．…………………1分 依题意，得1x2.11800x 1800+=．…………………………………………………………………2分 解这个方程，得x =300． ……………………………………………………………………3分 经检验，x =300是原方程的解，………………………………………………………………4分 所以，1.2x =360 ………………………………………………………………………………5分答：工人们实际每小时摆放360盆鲜花．23．（本小题7分）解：（1）过点B 作BE ⊥OA 于点E ，∵AB=OB ， ∴OE=21OA=2． 又OB=5，∴BE=122=-OE OB ．∴B (－2,1) ． …………………………………………………∴)1,2(),2,1(21-B B ．∵抛物线32++=bx ax y 经过1B B 、两点，∴⎩⎨⎧=++=+-,231324b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3132b a ． ∴抛物线的解析式为331322+--=x x y ．…………………………………………………2分（2）∵当x=2时，13132312322-≠-=+⨯-⨯-=y ， ∴点)1,2(2-B 不在此抛物线上． …………………………………………………3分（3）点P 应在线段2BB 的垂直平分线上，由题意可知，21BB OB ⊥且平分2BB ， ∴点P 在直线1OB 上．可求得1OB 所在直线的解析式为y=2x ． …………………………………………………4分 又点P 是直线y=2x 与抛物线331322+--=x x y 的交点， 由⎪⎩⎪⎨⎧+--==,3313222x x y x y 解得⎩⎨⎧==2111y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=92922y x ． ∴符合条件的点P 有两个，)2,1(1P 即点1B 和)9,29(2--P ．…………………………………5分 （4）存在．)22,223(-和)22,223(-． ………………………………………………………………7分 24．（本小题7分）（1）5．………………………………………………………………………………………………1分 （2）证明：∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的，∴∠1=∠2． 又∵DG ∥y 轴，∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴DE=DT ．∵DE=EO ，∴EO=DT ． …………………………2分 （3）41612+-=x y ． …………………………3分 4﹤x ≤8． ………………………………………………………………………………………4分 （4）解：连接OT ， 由折叠性质可得OT =DT ． ∵DG=8，TG =y ， ∴OT =DT =8－y ．∵DG ∥y 轴，∴DG ⊥x 轴．在Rt △OTG 中，∵222TG OG OT +=, ∴222)8(y x y +=-． ∴41612+-=x y ． ………………………………………………………………7分25．（本小题8分）（1）1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵D E ∥AB ， ∴△CDE ∽△CAB ．∴ACDCBC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴ACCD BC CE '='． ∵D C E ECD ''∠=∠,∴,E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '∆∽D AC '∆. ∴45==''BC AC E B D A ．………………………………………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM=BC ·sin60°=23． ∵E 为BC 中点， ∴CE=21BC=2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径 的圆上运动．∵CO 随着E CB '∠的增大而增大，∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大， 则CO 最大．∴此时E CB '∠=30°，E C '=21BC=2 =CE ． ∴点E '在AC 上，即点E '与点O 重合． ∴CO=E C '=2．又∵CO 最大时，AO 最小，且AO=AC －CO=3． ∴3321=∙=∆BM AO S OAB 最小．………………………………………………………………8分说明：各解答题其他正确解法请参照给分.。
北京2009年高考模拟试卷理科数学
2009年 高 考 模 拟 试 卷数学（理科）试题题 号 一 二 三 得 分注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．设全集为R ,集合{|||2}M x x =>，1{|0}1x N x x-=≥+，则有（ ）A ．R C M N N ⋂=B ．}11|{≤≤-=⋂x x N MC ．}2112|{<<-<<-=⋂x x x N M 或D ．}11|{≤<-=⋂x x M N C R2．若R,1xx x ∈+那么是正数的充要条件是（ ）A ．0>xB ．1-<xC ．01<<-xD ．10-<>x x 或3．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．454．若π<α<π223,则直线α+αsin cos y x =1必不经过 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知数列{a n }，21n n a =+，则21321111n na a a a a a ++++---L L =（ ）A ．112n+B ．12n -C ．112n-D ．12n +6．如右图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为棱1DD 和BC 中点，G 为棱11B A 上任意一点，则直线 AE 与直线FG 所成的角为 （ ） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο60D ．ο907．已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的图象是（ ）8．二项式1()n x x x-的展开式中含5x 的项， 则n 的一个可能值是 （ ）A ．8B ．9C ．5D ．69．若A, B 是平面内的两个定点, 点P 为该平面内动点, 且满足向量AB u u u r 与AP u u u r夹角为锐角θ,|PB||AB|+PA AB=0•u u u r u u u r u u u r u u u r, 则点P 的轨迹是（ ）A ．直线 （除去与直线AB 的交点） B ．圆 （除去与直线AB 的交点）C ．椭圆 （除去与直线AB 的交点）D ．抛物线（除去与直线AB 的交点） 10．若关于的方程x 2―(a 2+b 2―6b )x + a 2+b 2+2a ―4b +1=0的两个实数根x 1，x 2满足x 1≤0≤x 2≤1，则a 2+b 2+4a的最大值和最小值分别为 （ ） A ．12和5+4 5 B ． ―72和5+4 5C ． ―72和12D ． ―12和15―4 511．数列｛a n ｝中，a 1=2, 1(,1)n m a +=-u r , (1,1)n n a =+-r, 又m n ⊥u r r , 则a 2009= （ ）A ．2B ．13-C ．32-D ．112．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在区间[1，a]（a>2）上单调递增且()0f x >。
2009年朝阳区高三一模数学试题(理科)
北京市朝阳区2008—2009学年度第二学期高三统一练习（一）数学试题（理科）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{||2|1,}P x x x =-≤∈R ，{|},Q x x =∈N 则P Q 等于（ ）A ．[]1,3B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．下列函数中，在区间(1,)+∞上为增函数的是 （ ）A ．21xy =-+ B ．1x y x =- C ．2(1)y x =-- D ．12log (1)y x =- 3．复数2i1iz -=+(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为 （ ）A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅C ．510CD ．3264A A ⋅5．用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为（ ）A ．2B CD ．16．各项均不为零的等差数列}{n a 中，若2110(,2)n n n a a a n n *-+--=∈≥N ，则2009S 等于（ ） A ．0 B ．2 C ．2009 D ．40187．已知函数()11f x x x =--+. 如果(())(9)1f f a f =+，则实数a 等于 （ ）A ．14-B ．1-C. ．１ D ．328． 蔬菜价格随着季节的变化而有所变化. 根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元. 设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A 元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B 元，则 （ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．,A B 大小不确定二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中 横线上.9．2232lim2x x x x →-++=+ _________.10．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若∠45,1B b a =︒==，则∠C 等于_________度. 11．若21()nx x+展开式中的二项式系数和为512，则n 等于_________；该展开式中的常 数项为_________.12．已知动直线l 平分圆22:(2)(1)1C x y -+-=，则直线l 与圆3cos ,:(3sin x O y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的位置关系是_________.13．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于,A B 两点，交其准线于C 点.若3CB BF =，则直线l 的斜率为_________.14．定义映射:f A B →，其中{}(,),A m n m n =∈R ，B =R .已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件：①(,1)1f m =；②若m n <，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-，则(3,2)f 的值是_________；(,)f n n 的表达式为_________（用含n 的代数式表示）.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数2()sincos 222x x x f x =⋅ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期，并写出函数()f x 图象的对称轴方程； （Ⅱ）若[]0,x ∈π，求函数()f x 的值域．16．（本小题满分13分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现在可供选用的不同添加剂有6种，其中芳香度为1的添加剂1种，芳香度为2的添加剂2种，芳香度为3的添加剂3种．根据试验设计原理，通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验． （Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率； （Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率；（Ⅲ）用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中, 已知4AA '=， 2AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：CD AB '⊥；（Ⅱ）求二面角A AB C ''--的大小；（Ⅲ）求直线B D '与平面AB C '所成角的正弦值.18．（本小题满分13分）已知函数()f x =（Ⅰ）写出函数()f x 的定义域，并求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设过曲线()y f x =上的点P 的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最小值，并求此时点P 的坐标.19．（本小题满分13分）已知ABC ∆的三边长||,||,||CB AB CA 成等差数列，若点,A B 的坐标分别为(1,0),(1,0)-．（Ⅰ）求顶点C 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若线段CA 的延长线交轨迹W 于点D ，当52||2CB <≤时，求线段CD 的垂直平分线l 与x 轴交点的横坐标的取值范围．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*11()2n n n S a n a +=∈N ，其中11,0n a a =≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)(21)1n bn a --=，n T 为{}n b 的前n 项和，求证：*22log (21)n n T a n >+∈N ，；（Ⅲ）是否存在正整数,m d ，使得2(1)811111lim[()()()()]3333mm dm d m n d n a +++-→∞++++= 成立？若存在，请求出m 和d 的值；若不存在，请说明理由．参考答案二、填空题:9． 1-; 10． 105°; 11．9, 84; 12．相交13．k =± 14．6, !n . 三、解答题:15．解:（Ⅰ）因为1()sin cos )222f x x x =+-+1(sin )2x x =-+sin()3x π=-+所以, 函数()f x 的最小正周期为2π．由32x k ππ-=π+， 得 5,6x k k π=π+∈Z . 故函数()f x 图象的对称轴方程为5,6x k k π=π+∈Z . ………………8分 （Ⅱ）因为[]0,x ∈π，所以2[,]333x πππ-∈-．所以sin()123x π-≤-≤. 所以函数()f x的值域为+⎣． ………………13分 16．解：（Ⅰ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3”为事件A ，则12262().15C P A C ==答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率是2.15……4分 （Ⅱ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数”为事件B ，两种添加剂的芳香度之和为偶数有三种可能：芳香度为1和3，芳香度为2和2，芳香度为3和3，其中芳香度为1和3的概率为13263,15C C =芳香度为2和2的概率为22261,15C C =芳香度为3和3的概率为23263,15C C =所以3137().15151515P B =++= 答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率是7.15……………9分 （Ⅲ）ξ的可能取值为3，4，5，6，且12262(3),15C P C ξ===1232264(4),15C C P C ξ+===1132266(5),15C C P C ξ=== 23263(6).15C P C ξ===所以ξ的分布列为所以,243456.151515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ………………13分 17． 解法一：（Ⅰ）证明：因为AC BC =， D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥.由已知，三棱柱ABC A B C '''-是直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面ABB A ''. 所以CD ⊥平面ABB A ''. 又因为AB '⊂平面ABBA '',所以CD AB '⊥.（Ⅱ）解：由（1）知CD ⊥平面过D 作DE AB '⊥，垂足为E ,连结由三垂线定理可知CE AB '⊥，所以CED ∠是二面角B ABC '--的平面角.由已知可求得CD =DE =所以tan 2CD CED DE ∠==. 所以二面角B AB C '--的大小为arctan2. 由于二面角A AB C ''--与二面角B AB C '--的大小互补， 所以二面角A AB C ''--的大小为π- ………………10分 （Ⅲ）过D 作DF ⊥CE ,垂足为F ,连结B F '. 由（Ⅱ）可证得AB '⊥平面CDE ,所以AB '⊥DF ,可证得DF ⊥平面AB C '. 所以, DB F '∠为直线B D '与平面AB C '所成的角. 在直角三角形CDE中，可知3CE =，所以5CD DE DF CE ⋅==. 在直角三角形BB D '中，可知B D '=在直角三角形DB F '中，sin DB F '∠=15DF DB ='. 所以直线B D '与平面AB C '………………14分 解法二：以A B ''的中点O 为原点，先证明C O '⊥平面A B BA ''，建立空间直角坐标系（如图）.由已知可得(0,0,0)O、A、C 、(0,4,0)D 、(B '、C '.（Ⅰ）证明：(0,0,CD =，(4,0,)AB '=--.因为(0,0,(4,0)0CD AB '⋅=⋅--=， 所以CD AB '⊥. ………………5分（Ⅱ）解：(AC =-.设平面AB C '的一个法向量为 (, , 1)x y =n ，由0,0,AB AC ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得40,0.y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩解得1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以 (1, 1)=n . 又知，OC '⊥平面ABB A ''，所以OC '为平面ABB A ''的法向量. 因为 OC '=,所以cos ,||||5OC OC OC '⋅'〈〉==='⋅n n n 由图可知，二面角A AB C''--大于90º， 所以二面角A AB C ''--的大小为arccos5π-.………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面AB C '的一个法向量 (1, 1)2=-n , 又(2,4,0 )B D '=.所以 cos ,||||B D B D B D '⋅-'〈〉==='⋅n n n . 因为直线B D '与平面AB C '所成角为,2B D π'〈〉-n , 所以直线B D '与平面AB C ' ………………14分 18．解：(Ⅰ)函数()f x 的定义域是[]2,2-．函数()f x 的导数是()f x '=令()0f x '>,0>,解得20x -<<,所以函数()f x 的递增区间是()2,0-; 令()0f x '<,0<,解得02x <<,所以函数()f x 的递减区间是()0,2.………………6分 (Ⅱ)设0P x ⎛ ⎝,，则切线的斜率0()k f x '==， 则切线l的方程是0)y x x =-，设切线l 与x 轴、y 轴的交点为A 、B ， 令0y =，由题意可知00x ≠，解得04x x =，所以04(,0)A x ； 令0x =，解得y =，所以B ，所以2200142422ABO S x y x x ∆===≥=+-， 当且仅当22004x x =-，即0x =ABO 面积的最小值为2. 此时,点P的坐标是(． ………………13分 (可求导或用二次函数求得()()2200()(4)(2,00,2)g x x x x =-∈- 的最大值)19．解：（Ⅰ）因为||,||,||CB AB CA 成等差数列，点,A B 的坐标分别为(1,0),(1,0)-所以||||2||4CB CA AB +==且4||AB >由椭圆的定义可知点C 的轨迹是以,A B 为焦点长轴为4的椭圆（去掉长轴的端点），所以2,1,a c b ===故顶点C 的轨迹W 方程为221(0)43x y y +=≠．………………4分 （Ⅱ）由题意可知直线AC 的斜率存在，设直线AC 方程为(1)y k x =+．由22(1),1,43y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=，设,C D 两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则2122834k x x k-+=+，121226(2)34k y y k x x k +=++=+， 所以线段CD 中点E 的坐标为22243(,)3434k kk k -++, 故CD 垂直平分线l 的方程为222314()3434k k y x k k k -=-+++， 令0y =，得l 与x 轴交点的横坐标为22213344k x k k=-=-++，由52||2CB ≤<得1152(4)22x ≤-<，解得110x -<≤， 又因为222112211123(1)4(1)y x k x x -==++，所以2131312()2(1)x k x --'=+． 当110x -<≤时，有2131312()02(1)x k x --'=<+，此时函数221211234(1)x k x -=+递减，所以23k ≥．所以，21113454k-<-≤-+．故直线l 与x 轴交点的横坐标的范围是11(,]45--． ………………13分20．解：（Ⅰ）已知式即112n n n S a a +=，故111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=-．因为0n a ≠，当然10n a +≠，所以22n n a a +-=*()n ∈N ． 由于111212a S a a ==，且11a =，故22a =． 于是 2112(1)21m a m m -=+-=-，222(1)2m a m m =+-=，所以 n a n =*()n ∈N ． ………………4分（Ⅱ）由(21)(21)1n bn a --=，得(21)(21)1,n b n --=2221n bnn =-， 故22log 21n nb n =-． 从而 1222462log 13521n n n T b b b n ⎛⎫=+++=⋅⋅⋅⋅⎪-⎝⎭． 2246222log 13521n n T n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭222462log 13521n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭因此22log (21)n n T a -+222462log 13521n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪-⎝⎭2log (21)n -+ 22224621log log 1352121n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅+ ⎪-+⎝⎭2224621log []1352121n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭． 设224621()1352121n f n n n ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-+⎝⎭， 则22462221(1)135212123n n f n n n n +⎛⎫+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪-++⎝⎭，故22(1)2122(22)()2321(23)(21)f n n n n f n n n n n ++++⎛⎫=⋅=⎪++++⎝⎭224841483n n n n ++=>++， 注意到()0f n >，所以(1)()f n f n +>． 特别地4()(1)13f n f ≥=>，从而222log (21)log ()0n n T a f n -+=>． 所以*22log (21)n n T a n >+∈N ，． ………………9分（Ⅲ）易得11()()33na n =．注意到88a =，则有2(1)1()111113lim[()()()()]1333381()3mmm dm d m n d n d +++-→∞++++==-，即111()[1()]383md=-， 整理得 338m m d--=． ① 当m d ≥时，由① 得3(31)8m d d --=．因为*,m d ∈N ，所以2m d ==．当m d <时，由① 得3183d d m--=⋅． ②因为m d <，故②式右边必是3的倍数，而左边不是3的倍数，所以②式不成立， 即当m d <时，不存在*,m d ∈N ，使得①式成立． 综上所述，存在正整数2m d ==，使得2(1)811111lim[()()()()]3333m m d m d m n d n a +++-→∞++++=成立．………………14分。
2009届北京朝阳区第二学期高三统一练习
2009届北京市朝阳区第二学期高三统一练习（一）英语试卷本试卷共分为第一卷和第二卷两部分，满分150分；考试时间120分钟。
考试结束后，将第二卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共115分）第一部分：听力理解（共两节，30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．When should the woman hand in the project?A．Today. B．Yesterday. C．The day before yesterday.2．Where is the woman’s father now?A．In a hospital. B．At home. C．At a restaurant.3．Where will the family probably go for holiday?A．To the National Park.B．To the seaside.C．To Boston.4．What will the man probably do?A．Buy the woman some magazines.B．Help the woman find a new doctor.C．Read the woman some magazine articles.5．What is the woman’s reaction to the hotel?A．She is interested in it.B．She is against it.C．She is unconcerned about it.第二节：（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面6段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A，B，C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
2009-2010朝阳高三一模理科答案
朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学测试（理工类）答案 2010.4一、选择题:三、解答题:(15) 解：（Ⅰ）因为34C π=，sin A =，所以cos A ==. 由已知得4BA π=-.所以sin sin()sincos cossin 444B A A A πππ=-=-22==. …………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=，所以 sin C =且sin B =.由正弦定理得sin A sin 5a c C ==又因为5c a -= 所以 5c =，a =所以15sin 522ABC S ac B ∆===. …………………………13分(16) （Ⅰ）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A .由题意， 得122()339P A =⨯=．答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29． …………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则212125(0)323239P ξ==⨯+⨯⨯=，211121(1)323333P ξ==⨯⨯+⨯=，1122(2)33327P ξ==⨯⨯=， 1111(3)33327P ξ==⨯⨯=． 所以，x 的分布列为：x 的数学期望012393272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………… 13分(17) 解法一：证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接OD .因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点, 所以 OD ∥1BB 且112OD BB =.又E 是1CC所以 EC ∥1BB 且112EC BB =,所以 EC ∥OD 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分 (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以CD ⊥平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥CD ，所以EO ⊥平面11A ABB . 所以EO ⊥1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥. 又1EOA B O =，EO ⊂平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ,所以1AB ⊥平面1A BE . ………………………………………10分 （Ⅲ）解: 取11A C 中点F ，连接1, B F EF .在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面111A B C .因为底面111A B C 是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1B F ⊥侧面11ACC A .所以EF 是1B E 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是1B E 与平面11AAC C 所成角.111sin 5B F BE F B E ∠==…………………………………………14分 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系. 设边长为2，可求得(0,0,0)A ，(0,2,0)C 1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，B ，1B (0,2,1)E ，1,0)2D ，1,1)2O . （Ⅰ）易得，33(,0)2CD =-， 33(,0)22EO =-. 所以CD EO =， 所以EO ∥CD . 又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分 （Ⅱ）易得，1(3,1,2)AB =，1(3,1,2)A B =-，1(0,2,1)A E =- 所以11110, 0AB A B AB A E ⋅=⋅=.所以1111, .AB A B AB A E ⊥⊥ 又因为111A BA E =A ，111,AB A E A BE ⊂平面，所以1AB ⊥平面1A BE . …………………………………………… 10分 （Ⅲ）设侧面11AAC C 的法向量为(,,)x y z =n ,因为(0,0,0)A , (0,2,0)C ,1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ， 所以1(0,2,0), (0,2,2)AC AC ==，1(,1)B E =-.由 10,0,AC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.y y z =⎧⎨+=⎩解得0,0.y z ì=ïïíï=ïî不妨令(1,0,0)=n ，设直线1B E 与平面11AAC C 所成角为α．所以1113sin cos ,5B E B E B Eα⋅=<>===⋅n n n . 所以直线1B E 与平面11AAC C ． ………………………14分 (18)（Ⅰ）解：22()2(1)f x mx ax b '=++-． …………………………………3分 （Ⅱ）因为函数()f x 是R 上的增函数，所以()0f x '≥在R 上恒成立.则有2244(1)0a b ∆=--≤，即221a b +≤．设cos ,sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，01r ≤≤），则(cos sin )sin()4z a b r πθθθ=+=+=+.当sin()14πθ+=-，且1r =时，z a b =+取得最小值．（可用圆面的几何意义解得z a b =+的最小值） ………………………8分 （Ⅲ）①当0m >时，2()21f x mx x '=+-是开口向上的抛物线，显然()f x '在(2, )+∞上存在子区间使得()0f x '>，所以m 的取值范围是(0, )+∞．②当0m =时，显然成立．③当0m <时，2()21f x mx x '=+-是开口向下的抛物线，要使()f x '在(2, )+∞上存在子区间使()0f x '>，应满足 0, 12, 1()0,m m f m≥<-'-> 或0,12,(2)0. m m f <⎧⎪⎪-<⎨⎪'>⎪⎩解得102m -<≤，或3142m -<<-，所以m 的取值范围是3(, 0)4-． 则m 的取值范围是3(, )4-+∞． …………………………………………13分(19)解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191,41,2.a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）因为过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．由221,43(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ① 因为直线l 与椭圆相切，所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+--=. 整理，得32(63)0k +=. 解得12k =-． 所以直线l 方程为11(2)1222y x x =--+=-+． 将12k =-代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为3(1, )2．……9分 （Ⅲ）若存在直线1l 满足条件，设直线1l 的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，所以222111111[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>．所以112k >-． 又1112218(21)34k k x x k -+=+，21112211616834k k x x k --=+，因为2PA PB PM ⋅=，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=， 所以221215(2)(2)(1)||4x x k PM --+==． 即 2121215[2()4](1)4x x x x k -+++=， 所以222111111222111161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-++==+++，解得112k =±． 因为,A B 为不同的两点，所以112k =. 于是存在直线1l 满足条件，其方程为12y x =． …………………………13分 (20)解：（Ⅰ）证明：因为1212n n n a aa n n n x x x ++++==，且数列{}n x 中各项都是正数，所以 1122lg lg lg n n n n n n a x a x a x ++++==． 设1122lg lg lg n n n n n n a x a x a x p ++++===， ① 因为数列{}n a 是调和数列，故0n a ≠，12211n n n a a a ++=+． 所以，122n n n p p pa a a ++=+． ② 由①得1212lg , lg , lg n n n n n n p p p x x x a a a ++++===，代入②式得， 所以12 2lg lg lg n n n x x x ++=+，即212 lg lg()n n n x x x ++=.故212 n n n x x x ++=，所以数列{}n x 是等比数列． …………………………5分（Ⅱ）设{}n x 的公比为q ，则437x q x =，即48128q =．由于0n x >，故2q =． 于是333822n n n n x x q--==⨯=． 注意到第 (1,2,3,)n n =行共有n 个数，所以三角形数表中第1行至第1m -行共含有(1)123(1)2m m m -++++-=个数. 因此第m 行第1个数是数列{}n x 中的第2(1)2122m m m m --++=项. 故第m 行第1个数是2222222m m m m x -+-+=，所以第m 行各数的和为2222222(21)2(21)21m m m m mm m S -+-+-==--． ………… 9分（Ⅲ）因为2nn x =，所以11121211112122(2)2k k k k k k x x ++---==<---. 所以122311111111112222n n x x x n x x x +---+++<+++=---． 又 1111211112122(21)k k k k k x x +++--==----， 1111123222232k k k≥=--⋅⋅+-(1,2,3,,)k n =，所以2122311111111111()[()()]1112223222n n n x x x x x x ≥+---++++++-+++--- 11[1()]111122[1()]1232322312n n n n n -=-⋅=-⋅->--. 所以122311111231112n n x x x n nx x x +----<+++<---． ………………………14分。
2009年北京市朝阳区数学二模试题及答案
市某某区九年级综合练习（二）数 学 试 卷 2009.6第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1．4的算术平方根是 A ．2 B ．±2C ．16D ．±162．某种新型感冒病毒的直径是米，数字用科学记数法表示为 A ．71012.0-⨯ B ．6102.1-⨯C ．71.210-⨯D ．61012-⨯3．若一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 A ．6B ．8C ．9D ．104．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．5. 在一周内，体育老师对九年级男生进行了5次一千米跑测试，若想了解他们的成绩是否稳定，老师需知道每个人5次测试成绩的 A ．平均数B ．方差C ．中位数D ．众数6．将抛物线32+=x y 向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是A ．42+=xy B ．22+=x yC ．3)1(2+-=x y D ．3)1(2++=x y7．下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都是全等图形的几何体是 A ．圆锥B ．正三棱柱C ．圆柱 D ．球8．如图，在ABC △中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C 且与 边AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 长度的最小值是A ．512B ．536 C ．215D ．8第Ⅱ卷（填空题和解答题，共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9．已知0)2(52=-++b a ，则b a +＝.10．若分式112--x x 的值为0，则x 的值为.11．如图，正六边形ABCDEF 的边长是3，分别以C 、F 为圆心，3为半径画弧，则图中阴影部分的面积是.12．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始跳动，第一次跳到点P 关于x 轴的对称点1P 处，接着跳到点1P 关于y 轴 的对称点2P 处，第三次再跳到点2P 关于原点的对称点处，…， 如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是 ．EF AB C （第8题）（第11题）CBA DF E （第12题）三、解答题（共13个小题，共72 分） 13．（本小题5分）计算：013)21(60cos )21()2(--︒⨯+--14．（本小题5分）已知：如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF CE =，AB BE ⊥，DE BE ⊥，垂足分别为B 、E ，且AB DE =，连接AC 、DF.求证：∠A =∠D .15．（本小题5分）已知0132=++a a ，求4)(2)12(22+--+a a a 的值.16．（本小题5分）参与2009年“回味奥运，圆梦”的国民旅游计划活动，某区推出了观光采摘游活动，为了吸引更多的游客，每一位来采摘水果的游客都有一次抽奖机会：在一只不透明的盒子里有A 、B 、C 、D 四X 外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一X 卡片，再从盒子中剩下的三X 中随机抽取第二X ，如果抽得的两X 卡片是同一种水果的图片就可获得新品种水果一斤的奖励．请利用树形图法（或列表法）求出游客得到奖励的概率.A.BCD. .FDE BACG如图，直线x y l 2:1=与直线3:2+=kx y l 在同一平面直角坐标系内 交于点P .（1）写出不等式2x >kx +3的解集：；（2）设直线2l 与x 轴交于点A ，求△OAP 的面积.18．（本小题5分）已知：如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE ＝2DE ，延长 DE 到点F ，使得EF ＝BE ，连接CF ． 求证：四边形BCFE 是菱形.19．（本小题5分）已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x . （1）若x =－2是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根； （2）求证：对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根.为了帮助某某灾区学生重返课堂，某市团委发起了“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息．．捐给灾区学生.某校所有同学全都积极参加了这一活动，为灾区同学献一份爱心. 该校学生会根据本校这次活动绘制了如下统计图.请根据统计图中的信息，回答下列问题：（1）该校一共有多少名学生？（2）该校学生人均存款多少元？（3）已知银行一年期定期存款的年利率是2.25% ，若一名灾区学生一年学习用品的基本费用是400元，那么该校一年大约能为多少名灾区学生提供此项费用？（利息=本金×利率，免收利息税）21．（本小题5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙OD交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E．求证：BE=CE．O22．列方程（组）解应用题（本小题5分）某公园在2008年奥运花坛的设计中，有一个造型需要摆放1800盆鲜花，为奥运作奉献的精神促使公园园林队的工人们以原计划1.2倍的速度，提前一小时完成了任务，工人们实际每小时摆放多少盆鲜花？23．（本小题7分）如图，点A 在x 轴的负半轴上，OA=4，将△ABO 绕坐标原点O 顺时针旋转90°，得到△O B A 11，再继续旋转90°，得到△O B A 22.抛物线y= ax 2+bx+3经过B 、1B 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点2B 是否在此抛物线上，请说明理由；（3）在该抛物线上找一点P ，使得△2PBB 是以2BB 为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标；（4）在该抛物线上，是否存在两点M 、N ，使得原点O 是线段MN 的中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点 C 、A 分别在x 轴和y 轴上.在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在AB 边上的点D 处．图①图② 图③（1）如图①，当点F 与点C 重合时，OE 的长度为 ；（2）如图②，当点F 与点C 不重合时，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G .求证：EO=DT ；（3）在（2）的条件下，设()T x y ，，写出y 与x 之间的函数关系式为 ，自变量x 的取值X 围是 ；（4）如图③，将矩形OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC 边上的高等于8，点F 与点C 不重合，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G ，求出这时()T x y ，的坐标y 与x 之间的函数关系式（不求自变量x 的取值X 围）．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''（使E BC '∠＜180°），连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O.（1）如图①，当AC=BC 时，D A ':E B '的值为；（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求D A ':E B '的值；（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值.图①图②……………………………………………………………………………………………………..草 稿 纸市某某区九年级综合练习（二）数学试卷评分标准及参考答案一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．－3 10．－111．π612．（3，－2）三、解答题（共13个小题，共72 分） 13．（本小题5分）解：原式12128-⨯+-= …………………………………………………………3分8-= (5)分14．（本小题5分）证明：∵BF CE =，∴FCCE FC BF +=+. 即EF BC =. ……………………………1分∵AB BE ⊥，DE BE ⊥，∴∠B ＝∠E ＝90°. …………………………………2分又AB DE =，∴△ABC ≌△DEF ......................................................................4分 ∴∠A ＝∠D. (5)分15．（本小题5分）解：原式42214422++-++=a a a a ………………………………………………………2分5)3(22++=a a . ……………………………………………………………………3分∵0132=++a a ，∴132-=+a a . ……………………………………………………………………………4分 ∴原式35)1(2=+-⨯=. …………………………………………………………………5分16．（本小题5分）解： A B C D B C D A C D A B D A B ABACADBABCBDCACBCDDADBDC………………………………………3分∴P （得到奖励）31124==.……………………………………………………………5分 (说明：列表法同理给分)17．（本小题5分）解：（1）x > 1；…………………………………………………………………………………1分（2）把1=x 代入x y 2=，得2=y .∴点P （1，2）. ……………………………………………………………………2分 ∵点P 在直线3+=kx y 上， ∴32+=k . 解得1-=k .∴3+-=x y . (3)分当0=y 时，由30+-=x 得3=x .∴点A （3，0）. ……………………………4分 ∴32321=⨯⨯=∆OAP S . ……………………………………………………………5分18．（本小题5分）（1）证明：∵BE ＝2DE ，EF ＝BE ，∴EF＝2DE . ……………………………………………………………1分∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴BC ＝2DE 且DE ∥BC . ……………………………………………………………2分∴EF＝BC . …………………………………………………………………………3分 又EF ∥BC ，∴四边形BCFE是平行四边形. ……………………………………4分 又EF ＝BE ，∴四边形BCFE 是菱形. ……………………………………………………………5分19．（本小题5分）（1）解：把x =－2代入方程，得0)2()2()1(24=+--⋅--m m m ，即022=-m m .解得01=m ，22=m . …………………………………………1分当0=m 时，原方程为022=+x x ，则方程的另一个根为0=x .………………2分 当2=m 时，原方程为0822=+-x x ，则方程的另一个根为4=x .………3分 （2）证明：[][])2(4)1(22+-⨯---m m m 482+=m ， (4)分∵对于任意实数m ，02≥m ， ∴0482>+m .∴对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根. ……………………5分 20．（本小题5 分）解：（1）600%35210=÷，即该校共有600名学生； …………………………………………………………1分（2）八年级共有学生人数：150%25600=⨯. …………………………………………2分九年级共有学生人数：240150210600=--. ………………………………………3分600600360000600240650150520210600==⨯+⨯+⨯， ……………………………4分即该校学生人均存款600元；（3）25.20400%25.2360000=⨯，…………………………………………………………5分所以该校一年大约能帮助20名灾区学生.21．（本小题5分）证明：连接CD.∵∠ACB=90° ,AC 为⊙O 直径，∴EC 为⊙O 切线，且∠ADC=90°. ………………………2分 ∵ED 切⊙O 于点D,∴EC ＝E D . …………………………………3分 ∴∠ECD =∠EDC.∵∠B+∠ECD =∠BDE+∠EDC=90°， ∴∠B=∠BDE.∴BE=ED .…………………………………………………………………………………………4分∴BE=CE .…………………………………………………………………………………………5分22.（本小题5分）解：设工人原计划每小时摆放x 盆鲜花，则实际每小时摆放x 盆鲜花．…………………1分 依题意，得1x2.11800x 1800+=．…………………………………………………………………2分 解这个方程，得x =300．……………………………………………………………………3分 经检验，x =300是原方程的解，………………………………………………………………4分 所以，x =360 ………………………………………………………………………………5分答：工人们实际每小时摆放360盆鲜花．23．（本小题7分）解：（1）过点B 作BE ⊥OA 于点E ，∵AB=OB ， ∴OE=21OA=2． 又OB=5，∴BE=122=-OE OB ．∴B(－2,1)． (1)∴)1,2(),2,1(21-B B ．∵抛物线32++=bx ax y 经过1B B 、两点，∴⎩⎨⎧=++=+-,231324b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3132b a ． ∴抛物线的解析式为331322+--=x x y ．…………………………………………………2分（2）∵当x=2时，13132312322-≠-=+⨯-⨯-=y ， ∴点)1,2(2-B 不在此抛物线上．…………………………………………………3分（3）点P 应在线段2BB 的垂直平分线上，由题意可知，21BB OB ⊥且平分2BB ， ∴点P 在直线1OB 上．可求得1OB 所在直线的解析式为y=2x ．…………………………………………………4分 又点P 是直线y=2x 与抛物线331322+--=x x y 的交点， 由⎪⎩⎪⎨⎧+--==,3313222x x y x y 解得⎩⎨⎧==2111y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=92922y x ． ∴符合条件的点P有两个，)2,1(1P 即点1B 和)9,29(2--P ．…………………………………5分（4）存在．)22,223(-和)22,223(-．………………………………………………………………7分 24．（本小题7分） （1）5．………………………………………………………………………………………………1分 （2）证明：∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的，∴∠1=∠2． 又∵DG ∥y 轴，∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴DE=DT ．∵DE=EO ，∴EO=DT ．…………………………2分 （3）41612+-=x y ．..............................3分 4﹤x ≤8． (4)分（4）解：连接OT ， 由折叠性质可得OT =DT ． ∵DG=8，TG =y ， ∴OT =DT =8－y ．∵DG ∥y 轴，∴DG ⊥x 轴．在Rt △OTG 中，∵222TG OG OT +=, ∴222)8(y x y +=-． ∴41612+-=x y ．………………………………………………………………7分 25．（本小题8分） （1）1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ， ∴△CDE ∽△CAB ．∴ACDCBC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴ACCD BC CE '='． ∵D C E ECD ''∠=∠,∴,E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '∆∽D AC '∆. ∴45==''BC AC E B D A ．………………………………………………………………………………4分（3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM=BC·sin60°=23． ∵E 为BC 中点， ∴CE=21BC=2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径 的圆上运动．∵CO 随着E CB '∠的增大而增大，∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大， 则CO 最大．∴此时E CB '∠=30°，E C '=21BC=2 =CE ． ∴点E '在AC 上，即点E '与点O 重合． ∴CO=E C '=2．又∵CO 最大时，AO 最小，且AO=AC －CO=3． ∴3321=•=∆BM AO S OAB 最小．………………………………………………………………8分说明：各解答题其他正确解法请参照给分.。
数学理科二模试题
朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试（理工类）2010.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（5）已知平面a，b，直线l a^，直线m bÌ，有下面四个命题：①a b∥Þl m^②a b^Þl m∥③l m∥Þa b^④l m^Þa b∥其中正确的命题是（A）①与②（B）③与④（C）①与③（D）②与④（6）函数2()(2)e xf x x x=-的图象大致是解：因为20(0)(020)0f e=-⨯=，排除C；因为2()(2)xf x x e'=-，解()0f x'>，所以(,x??或)x??时()f x单调递增，排除B，D.故选A.（A）（B）（C）（D）（第4题图）（8）已知函数222()(1)2f x a x bx b =--+（11b a -<-<）. 用()card A 表示集合A中元素的个数，若使得()0f x >成立的充分必要条件是x A Î，且()4ca r d A =Z I ，则实数a 的取值范围是（A ）(1, 2)- （B ）(1, 2) （C ）(2, 3) （D ）(3, 4)解法1：依题意A 中恰有4个整数，所以不等式()0f x >的解集中恰有4个整数解.因为()0f x >⇔22()()0x b ax -->⇔[(1)][(1)]a x b a x b --+->0， 当11a -<≤时，原不等式的解集不符合题意；当1a >时，[(1)][(1)]a x b a x b --+->0⇔(1)(1)[][]11b ba a x x a a-+---+<0， 所以11b bx a a <<-+. 因为(0, 1)1b a ∈+，所以(4, 3)1b a∈---. 所以3344a b a -<<-. 又01b a <<+，所以3344,01, 331, 04 4.a a a a a a -<-⎧⎪<+⎪⎨-<+⎪⎪<-⎩解得12a <<.故选B .解法2：设2()()h x x b =-，2)()(ax x g =，如图所示对于A 、B 之间的任意x 都满足()()h x g x >，即22)()(ax b x >-，因此，只需A 、B 之间恰有4个整数解， 令22)()(ax b x =-，求出交点A 、B的横坐标分别为a b -1和ab +1， 因a b +<<10，所以110<+<a b，所以A 、B 之间的4个整数解只能是0,1,2,3---， 所以A 的横坐标a b -1满足：431ba-<--≤， 因为b <0，所以01<-a ，所以由431ba-<--≤可得3344a b a -<-≤. 由已知a b +<<10，所以331044a a a ì-<+ïïíï<-ïî解得12a <<，故选B.解法3：同解法1得3344a b a -<<-，及01b a <<+. 考虑以a 为横坐标，b 为纵坐标，则不等式组3344,01 a b a b a -<<-⎧⎨<<+⎩表示一个平面区域，这个平面区域内点的横坐标的范围恰好是12a <<. 故选B.第II 卷（非选择题 共110分）xyO解法1：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以AB AC x ==，1000BC =.则222(1000)22cos120x x =- . 解得3x =所以中国馆到世博轴其中一端的距离为m 3. 解法2：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以AB AC x ==，1000BC =.则1000sin120sin 30x =o o，解得3x =. . 解法3：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以AB AC x ==，1000BC =. 过点A 做BC 的垂线，垂足为D . 因为AB AC =，所以得到Rt ABD D ，且500BD =，30B?o .所以5002x =. 解得3x =. CB世博轴·A 中国馆D所以中国馆到世博轴其中一端的距离为m 3.解法1：设数列{}n a 的公差为d ，则n m d nm =-=n m-.所以m n m a a nd +=+=b a a n n m -+?-=bn amn m--.类比推导方法易知： 设数列{}n b 的公比为q ， 由n m n mb b q -=可知n md cq-=.所以q =n -所以nm n m b b q c +==n -n-解法2：（直接类比）因为等差数列中1(1)n a a n d =+-，等比数列中11n n a a q -=，因为m nnb maa n m+-=-，所以m n b +=n -三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2)6f x x x x =--sin 2(cos 2cossin 2sin )66x x x ππ=-+1sin 222x x = sin(2)3x π=-，所以()sin(2)3f x x π=-.函数()f x 的最小正周期为π. ………………………………………………7分（Ⅱ）因为2[0,]3x π∈，所以2,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以，当π232x π-=，即5π12x =时函数()f x 的最大值为1. ………………………………13分(16)（本小题满分13分）袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球.（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率； （Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率； ②求取出的红球数X 的分布列和均值（即数学期望）.解：（Ⅰ）记“取出1个红球2个黑球”为事件A ，根据题意有12334144()()()77343P A C =⨯=；答：取出1个红球2个黑球的概率是144343. ……………………………4分（Ⅱ）①方法一：记“在前2次都取出红球”为事件B ，“第3次取出黑球”为事件C ，则321()767P B ⨯==⨯，3244()76535P BC ⨯⨯==⨯⨯，所以4()435(|)()57P BC P C B P B ===.方法二：()3244(|)()3255n BC P C B n B ⨯⨯===⨯⨯. 答：在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是45. …………7分 ②随机变量X 的所有取值为0, 1, 2, 3.3343374(0)35C A P X A ⋅===，2134333718(1)35C C A P X A ⋅===，1234333712(2)35C C A P X A ⋅===，3333371(3)35C A P X A ⋅===.所以418121459012335353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. ……………………13分证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE . ………………………………………………4分（Ⅱ）由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^. 又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^. 因为AC SO O = ，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC . ……………………8分 （Ⅲ）解：连接OE ，由（Ⅱ）知BD SAC ⊥面而OE SAC ⊂面, 所以BD OE ⊥. 又BD AC ⊥.所以EOC ∠是二面角E BD C --即45EOC ∠=︒.设四棱锥S ABCD-的底面边长为2，在SAC∆中，2SA SC==, AC=所以SO=又因为12OC AC==SO OC⊥,所以SOC∆是等腰直角三角形.由45EOC∠=︒可知，点E是SC的中点.………………………………14分解法二：（Ⅰ）同解法一……………………………………………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD⊥面，AC BD⊥.建立如图所示的空间直角坐标系.设四棱锥S ABCD-的底面边长为2，则(0, 0, 0)O，(0, 0,S， 0,A()0, 0C，()0, 0D-.所以()0, 0AC=-，(0,BD=-设CE a=（02a<<）45ECO∠=︒.所以(, 0,)E，(,)BE=.设平面BDE法向量为(,,)x y z=n，则0,BDBE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即0,()0.22ya x az=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z=，得(, 0, 1)2aa=-n.易知()0, 0BD=-是平面SAC的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02aBDa⋅=⋅-=-n，所以BD⊥n，所以平面BDE⊥平面SAC. …………………………8分（Ⅲ）解：设CE a=（02a<<），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为(, 0, 1)2aa=-n.因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,OS =是平面SAC 的一个法向量.由已知二面角E BD C --的大小为45︒.所以cos , cos 45OS 〈〉=︒= n ，2=，解得1a =. 所以点E 是SC 的中点. ……………………………………………………14分解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(, 0)(0, )-∞+∞ ．222()()a e ax f x x e ex-'=-=. 当0a =时，由2()0f x x'=>，解得0x >；当0a >时，由2()()0e ax f x ex -'=>，解得0ex a <<； 当0a <时，由2()()0e ax f x ex -'=>，解得0x >，或ex a<． 所以当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞； 当0a >时，函数()f x 的递增区间是(0, )ea；当0a <时，函数()f x 的递增区间是(, )e a-∞，(0, )+∞． ………………8分 （Ⅱ）因为222()()e x f x x e ex-'=-=，所以以111(,())P x f x 为切点的切线的斜率为112()e x ex -； 以222(,())P xf x 为切点的切线的斜率为222()e x ex -． 又因为切线过点(0, )P t ， 所以21111122()ln (0)x e x t x x e ex --+=-； 22222222()ln (0)x e x t x x e ex --+=-. 解得，221t x e += ，222t x e +=. 则2212x x =. 由已知12x x ¹所以，120x x +=． ………………………………………………………13分(19)（本小题满分13分）已知动点M 到点(1, 0)F 的距离，等于它到直线1x =-的距离．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段AB ，MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y ，|1|x +，化简得24y x =，所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．……………4分（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为11(, )x y ，22(,)x y ，则点P 的坐标为1212(,)22x x y y ++． 由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =- (0)k ≠，F Q P NBM AO yx由24, (1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 2242(24)416160k k k D =+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k+=+-=． 所以点P 的坐标为222(1, )k k+. 由题知，直线2l 的斜率为1k -，同理可得点Q 的坐标为2(12,2)k k +-.当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为222(12)1k y k x k k+=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3, 0)E ．综上所述，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ． ………………………………10分 （Ⅲ）可求的||2EF =，所以FPQ ∆面积121||(2||)2(||)42||||S FE k k k k =+=+≥. 当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4．…………13分(20)（本小题满分14分）已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n nS a a =++，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；解：（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或12a =． 由于11a >，所以12a =．因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++. 故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=． 因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，52为公差的等差数列. 所以512(1)(51)22n a n n =+-=-. …………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下：假设存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，则15151(51)2m n k -+-=-． 整理，得3225m n k +-=， ①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数, , m n k 不存在．………………………………………9分（Ⅲ）313(51)21222n n n n b a n n --=-=--=+，2(3)2(3)51351512n n n a n n c n n n ++-==⋅=+--．不等式12011131(1)(1)(1)nm b b b +++ 可转化为111(1)(1)(1)31m +++3121231111n n b b b b b b b b ++++=⋅⋅4682235721n n +=⋅⋅⋅⋅+ ．设46822()35721n f n n +=⋅⋅⋅⋅+ ， 则(1)()35721f n f n n +=⋅⋅⋅⋅+2423n n +==+24124n n +=>===+.所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大．要使不等式12011131(1)(1)(1)nm b b b +++ 对于任意的*n ∈N 恒成立，只需min ()31mf n ≤即可．因为min 4()(1)315f n f ===，所以3115m ≤， 即43112448151515m ⨯==≤. 所以，正整数m 的最大值为8． ……………………………………………14分（考生务必将所有题目的答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
北京市朝阳区年高三二模数学理科试题
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类)2014．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合}{|230A x x =∈-R ≥，集合}{2|320B x x x =∈-+<R ，则AB =（ ）．A ．3|2x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩≥B ．3|22x x ⎧⎫<⎨⎬⎭⎩≤ C ．}{|12x x <<D ．3|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ）．A ．33log log a b <B ．11()()44a b >C ．11a b< D ．22a b <3．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）．A ．}{1,2,3,4,5B ．}{1,2,3,4,5,6C ．}{2,3,4,5D ．}{2,3,4,5,64．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=（ ）．A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π3(P )M NDCBA5．已知命题:p 复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题:q 0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（ ）．A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧6．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）．A ．(1,2]B ．[2,)+∞ C． D．)+∞7．某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（ ）．A ．60万元B ．80万元C ．90万元D ．100万元 8．如图放置的边长为1的正PMN △沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当PMN △沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是（ ）． A ．8π3 B ．16π3C ．4πD ．5π 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b __________．10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___________．（用数字表示）11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =，过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点．则•AC BC =___________．MA12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是_________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24n n S a =-*()n ∈N ，则n a =_________；数列{}2log n a 的前n 项和为_____________．14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()≤f x M ，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函数．下列函数 ① 1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()xf x x=；④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2π3A =，3b =，ABC △的面 （I ）求边a 的边长；（II）求cos2B的值．16．（本题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（I ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （II ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，,E F分如图，在四棱锥P ABCD别为PA,BD中点，2===．PA PD ADEF平面PBC;（I）求证：//（II）求二面角E DF A--的余弦值；（III）在棱PC上是否存在一点G,使GF⊥平面EDF?若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数21()e 1,x f x ax a +=-+∈R ．（I ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()1f x …成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到到右顶点的距离为1．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）是否存在与椭圆C 交于A ,B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知12,x x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数,m t ∈Z ，设12nn r rn r T x x -==∑（*n ∈N ）．（I ）用,m t 表示1T ，2T ; （II ）求证：543T mT tT =--;（III ）求证：对任意的*n ∈N ，n T ∈Z ．。
朝阳高三二模数学理含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试 （理工类）2018．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{log 1}A x x =>，{}1B x x =≥，则A B U = A ．(1,2] B ．(1+)∞， C ．(1)2， D ．[1+)∞， 2．在ABC △中，π=1,==6AB AC C ∠，则B ∠= A ．4π B ．4π或2πC ．43π D ．4π或43π 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为A ．10B ．13C ．40D ．1214．在极坐标系中，直线:cos sin 2l ρθρθ+=与圆:2cos C ρθ=的位置关系为A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离5．如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅u u u r u u u r=A ．)sin(βα-B ．)sin(βα+C ．)cos(βα-D ．)cos(βα+ 6．已知函数22,,(),,x x a f x x x a ⎧≥=⎨<⎩则“0a ≤”是“函数()f x 在[0,)+∞上单调递增”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校象棋社团组织中国象棋比赛．采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为A ．4B ．5C ．6D ．78．若三个非零且互不相等的实数123,,x x x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称123,,x x x 成一个“β等差数列”.已知集合{}100,M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为A ．25B ．50C ．51D ．100第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．计算21=(1i)+______． 10．双曲线22(0)x y λλ-=≠的离心率是_____；该双曲线的两条渐近线的夹角是______． 11．若31()n x x -展开式的二项式系数之和为8，则n =____，其展开式中的含31x项的系数为______．（用数字作答）12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥底面和三个侧面中，直角三角形个数是___．13．已知不等式组0,2,1(1)y x y y k x ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩在平面直角坐标系xOy 中所表示的平面区域为D ，D 的面积为S ，则下面结论：①当0k >时，D 为三角形； ②当0k <时，D 为四边形；③当13k =时，4S =； ④当103k <≤时，S 为定值．其中正确的序号是______．14．如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x正视图侧视图俯视图弧度，且始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2π，a ∈R . （Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[0,]2x π∈时，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 16．(本小题满分13分)某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和．根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（Ⅰ）若从交通得分前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？ （只写出结果） 17．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ．△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==；在梯形ABCD 中，AB DC P ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===．（Ⅰ）求证：//AB 面PDC ；（Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值；（Ⅲ）在线段AP 上是否存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ？请说明理由．18．(本小题满分13分)已知函数2()e 2x f x x ax ax =++()a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为30x y +=，求a 的值； （Ⅱ）当102a -≤<时，讨论函数()f x 的零点个数． 19． (本小题满分14分)已知抛物线2:2C y x =．（Ⅰ）写出抛物线C 的准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（Ⅱ）过点(2,0)且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同两点,A B ,且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ．（ⅰ）求点M 的坐标；（ⅱ）求OAM ∆与OAB ∆面积之和的最小值． 20． (本小题满分13分)若无穷数列{}n a 满足：存在*(,,)p q a a p q p q =∈>N ，并且只要p q a a =，就有(1,2,3,p i q i a ta i ++==L ；t 为常数），则称{}n a 具有性质T ．（Ⅰ）若{}n a 具有性质T ，且3t =，12454,5,1,5a a a a ====，78936a a a ++=，求3a ；（Ⅱ）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2nn S b =+（b ∈R ），证明存在无穷多个b 的不同取值，使得数列{}n a 具有性质T ；（Ⅲ）设{}n b 是一个无穷数列，数列{}n a 中存在p q a a =*(,,)p q p q ∈>N ，且*1cos ()n n n a b a n +=∈N ．求证：“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1,{}n a a 都具有性质T ”的充分不必要条件．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类）2018．5三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）根据题意得2sin(sin cos )1222a πππ+-=． 即2(10)1a ⨯+-=，解得1a =．又()2sin (sin cos )1f x x x x =+-22sin 2sin cos 1x x x =+-sin 2cos2x x =-)4x π=-由222242k x k πππ-+π≤-≤+πk (∈)Z ，得322244k x k ππ-+π≤≤+π，所以388k x k ππ-+π≤≤+π， 所以函数()f x 的单调递增区间是3[,88k k k ππ-+π+π](∈)Z ． ……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4f x x π=-．当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，所以sin(2)124x π-≤-≤．所以1()f x -≤≤当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-． 因为不等式()f x m ≥恒成立等价于()m f x ≤最小值， 所以 1m ≤-．故实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ……13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由图可知，交通得分前5名的景点中安全得分大于90分的景点有3个． 故从交通得分前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35．……3分 （Ⅱ）由图可知，景点总分前6名的景点中安全得分不大于90分的景点有2个． 设从景点总分前6名的景点中任取3个，安全得分不大于90分的个数为ξ，则ξ的取值为0,1,2．所以343641(0)205C P C ξ====； 122436123(1)205C C P C ξ====；21243641(2)205C C P C ξ====．故ξ的分布列为所以130121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……10分 （Ⅲ）12x x >． ……13分17．(本小题满分14分) 证明：（Ⅰ）因为AB DC P ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面， 所以//AB 平面PDC ． ……3分（Ⅱ）取BC 中点F ，在PBC △中，因为PB PC =，所以PF BC ⊥.又易知5,AC AB ==所以AF BC ⊥.又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC I 平面=ABCD BC ， 所以PF ⊥平面ABCD ．所以PF AF ⊥．以F 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．在梯形ABCD 中，因为AB DC P ，AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =，AF =又因为3PB =，所以2PF =．于是有(0,0,2),(0,P A B C ．所以FA =u u u r，(AB =-u u u r，2)PB =-u u u r．因为AF ⊥平面PBC，所以FA =u u u r是平面PBC 的一个法向量．设平面PBA 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m即0,20.z ⎧-+=⎪-=所以2,2.y x z =⎧⎪= 令2y =，则=m ．所以cos ,FA <>=u u u r m ． 由图可知，二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --． ……9分 （Ⅲ）因为5,3AB DC ==，且(AB =-u u u r ，所以35CD AB =-u u u r u u ur ．所以25AD AB BC CD AB BC =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2((0,(5=-+-=．设平面ADP 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,AD AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即11110,20.y z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩所以11112,.x y z =-⎧⎪= 令12x =，则(2,=-n ．假设线段AP 上存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ，且设([0,1])AH AP λλ=∈u u u r u u u r．所以((,0,2)AH AP λλλ==-=-u u u r u u u r．所以(,0,2)),)BH BA AH λλλ=+=+-=-u u u r u u u r u u u r． 因为BH ⊥平面ADP ，所以//BH u u u rn ．=λ不存在． 所以假设不成立，故线段AP 上不存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ．……14分 18．(本小题满分13分)解：由题意可知()(1)(e 2)xf x x a '=++．（Ⅰ）因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为30x y +=，所以(0)0,f =(0) 3.f '=- 由0e 23a +=-得2a =-． ……4分 （Ⅱ）当102a -≤<时，令()(1)(e 2)0x f x x a '=++=得1x =-或ln(2)x a =-． ①当ln(2)1a -<-，即1(,0)2ea ∈-时， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(ln(2),1)a --上单调递减，在(,ln(2))a -∞-和(1,)-+∞上单调递增．又因为2(ln(2))ln (2)0f a a a -=-<， (0)0f =，所以函数()f x 有一个零点． ②当ln(2)1a -=-，即12ea =-时， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(,+)-∞∞上单调递增． 又因为(0)0f =，所以函数()f x 有一个零点． ③当1ln(2)0a -<-<，即11(,)22ea ∈--时， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(1,ln(2))a --上单调递减，在(,1)-∞-和(ln(2),)a -+∞上单调递增．又因为22(2)2e +442e0f a a ---=--=-<，1(1)ef a -=--，2(ln(2))ln (2)0f a a a -=-<，(0)0f =，所以当11(,)e 2e a ∈--时，此时1(1)0e f a -=--<，函数()f x 有一个零点；当1ea =-时，此时(1)0f -=，函数()f x 有两个零点；当11(,)2e a ∈--时，此时1(1)0ef a -=-->，函数()f x 有三个零点．④当ln(2)0a -=，即12a =-时，显然函数()f x 有两个零点．综上所述，（1）当1(,0)e a ∈-时，函数()f x 有一个零点；（2）当11{,}e 2a ∈--时，函数()f x 有两个零点；（3）当11(,)2ea ∈--时，函数()f x 有三个零点． ……13分 另外的解法提示：()(e 2)xf x x ax a =++，易知(0)0f =.即可考虑()e 2x g x ax a =++的零点.19．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意可知，抛物线的准线方程为12x =-． 抛物线C 的焦点到准线的距离为1． ……4分（Ⅱ）由已知设直线:(2)l y k x =-，显然0k ≠；11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x ≠.由22,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2240ky y k --=． 所以122y y k+=, 124y y =-． （ⅰ）因为点,B D 关于x 轴对称，所以22(,)D x y -．所以直线AD 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得11211212211212()()x y y y x x x y x y x y y y y +--+==++2212211212122()2y y y y y y y y +===-+． 所以(2,0)M -． ……10分（ⅱ）记OAM ∆与OAB ∆面积分别为OAM S ∆，OAB S ∆，设(2,0)P则11211+()22OAM OAB S S OM y OP y y ∆∆=⨯+⨯+ 122y y =+≥==当且仅当212y y =，即12y y ==mOAM ∆与OAB ∆面积之和的最小值是． ……14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质T ，且3t =，525a a ==，所以633,a a =7433,a a ==85315,a a ==96339,a a a ==由78936a a a ++=，得3315936,a ++=所以32a =，经检验符合题意. ……3分 （Ⅱ）证明：因为无穷数列{}n a 的前n 和为n S ，且2n n S b =+，所以12a b =+，当2n ≥时，11222n n n n a --=-=．若存在()p q a a p q =>，则1q =.取122(,p b p -=-∈N 且2p ≥，p 为常数),则112p p a a -==，对12p t -=，有111122(1,2,3,)p i p p i i i a a ta i +--+++====L ，所以{}n a 具有性质T ，且b 的不同取值有无穷多个． ……8分 （Ⅲ）证明：当{}n b 为常数列时，有n b m =（常数），*1cos ()n n a m a n +=∈N , 对任意的正整数1a ，因为存在p q a a =，则由cos cos p q m a m a =，必有11p q a a ++=，进而有(1,2,3,p i q i a a i ++==L ），这时1t =，(1,2,3,p i q i a ta i ++==L ）， 所以{}n a 都具有性质T ．所以，“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1,{}n a a 都具有性质T ”的充分条件． 取,21,20,2n n k b k n k *π⎧=-⎪=∈⎨⎪=⎩N （），，对任意正整数1a ，由11cos (2,)n n n a b a n n --=≥∈N 得，2111cos cos 2a b a a π==，因为1a 为正整数，所以20a ≠，且12a a ≠. 322cos 0a b a ==，433cos 2a b a π==，…， 即，当3n ≥时，0,21,,22,2n n k a k n k *=+⎧⎪=∈⎨π=+⎪⎩N （）． 对任意,p q ，则,p q 同为奇数或同为偶数.① 若,p q 同为偶数，则(1,2,3,)p i q i a a i ++==L 成立；② 若,p q 同为奇数，则(1,2,3,)p i q i a a i ++==L 成立.所以对于任意,p q 满足p q a a =，则取1t =，1p i q i a a ++=⨯.故{}n a 具有性质T ，但{}n b 不为常数列，所以“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1,{}n a a 都具有性质T ”的不必要条件． 证毕 ……13分。