2017-2018学年高中数学北师大必修2课件：第二章 §2 2.2 圆的一般方程

2． 2
圆的一般方程
预习课本P81～82，思考并完成以下问题
(1)圆的方程除了标准方程的形式外，还有没有其他的表现 形式？如果有，是什么形式？
(2)二元二次方程是否一定表示圆？在什么条件下表示圆？
[新知初探]
二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形 (1)变形：把方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 配方可得
求圆的一般方程
[典例] 方程．
[解] 法一：设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
已知点A(0,2)，B(4,0)，求过点A，B及原点O的圆的
因为A，B，O在圆上，有 2E＋F＋4＝0， 4D＋F＋16＝0， F＝0， D＝－4， E＝－2， F＝0.
所以所求圆的方程是x2＋y2－4x－2y＝0.
解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备 圆的一般方程的特征，即： ①x2与y2的系数是否相等； (2)不含xy项． 当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－ 4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观 察等号右边是否为正数．
[活学活用] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
[活学活用] 求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之 和为2的圆的方程．
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0， 所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D； 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， 所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
2 2 D2 E2 D ＋E －4F x＋ ＋y＋ ＝ 2 2 4
__________________________________. (2)结论：①当 D2＋E2－4F＞0 1 D2＋E2－4F 以 _____________ 为半径的圆． 2
D E － ，－ 2 为圆心， 2 时，表示以___________
圆的一般方程 ． _________________
[点睛]
圆的一般方程与标准方程的区别及联系
(1)圆的标准方程明确地表达了圆的圆心与半径，而一般 方程则表现出了明显的代数结构形式，经过一定的代数运算才 可以求出圆心与半径． (2)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程 的形式即得一般方程．将圆的一般方程配方后即得标准方程．
[典例] 如图是某圆拱形桥一孔圆
拱的示意图．这个圆的圆拱跨度 AB＝ 20 m，拱高 OP＝4 m，建造时每间隔 4 m 需要用一根支柱支撑， 求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01 m)．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程． ( × ) (2)圆x2＋y2＋ax－2ay＝0过原点． (3)圆x ＋y
2 2
( பைடு நூலகம்) ( × )
D E －Dx－Ey＋F＝0的圆心是－ 2 ，－ 2 .
由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2， 所以D＋E＝－2. 又A(4,2)，B(－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0， 1＋9－D＋3E＋F＝0， 由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12， 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0. ② ③ ①
圆的方程的实际应用
2．若方程x2＋y2＋x－y＋m＝0表示的曲线是一个圆，则m的取值 范围是 1 A．m≤ 2 1 C．m＞ 2 1 B．m＝ 2 1 D．m＜ 2 ( )
答案：D
3．圆x2＋y2＋2x－3y＝0的圆心坐标为
3 A．－1，2 3 B．1，2 3 D．1，－2
法二：设圆心为 M，∵A，B，O 构成直角三角形，其外 接圆的圆心应在斜边的中点上．又 A(0,2)，B(4,0)， ∴M(2,1)·|AB|＝ 16＋4＝2 5，∴半径 r＝ 5，圆的标准方 程为(x－2)2＋(y－1)2＝5， 所以所求圆的一般方程为 x2＋y2－4x－2y＝0.
用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
解：(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 1 即4m ＋4－4m －20m>0，解得m< ， 5
2 2
1 故m的取值范围为－∞，5.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2 ＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
D x＝－ 2 ， ②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有一组解 y＝－E， 2 D E － ，－ 2 . 2 表示一个点____________ ③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，所以不表示任何图形． 当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为
当m≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m，－m)， 1 半径为r＝ 2 D2＋E2－4F＝ 5|m－2|.
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，表示圆的方程． 此时，圆心(2m，－m)，半径r＝ 5|m－2|.
(
)
C．(2,3)
答案：A
4．圆x2＋y2－2x＋2y＝0的周长为________．
答案：2 2π
圆的一般方程的理解
[典例] 判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表
示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．
[解] 法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，
可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80 ＝20(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点；