2018高三大一轮复习数学(文)课时规范训练第七章不等式 7.3 Word版含答案

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2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第七章不等式7-1不等关系与不等式Word版含答案

第七章不等式1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．7．1 不等关系与不等式1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a-b________；(2)a＝b⇔a-b________；(3)a＜b⇔a-b________.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a-c＞b-d；(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd；※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠1．＞0 ＝0 ＜02．(1)b<a(2)a>c(3)> (4)ac>bc ac<bc(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd(10)a n>b n(n∈N且n≥2)(11)na>nb(n∈N且n≥2)(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．故选D .(2016·贵州模拟)若a ，b 都是实数，则“a -b >0”是“a 2-b 2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由a -b >0得a >b ≥0，由a 2-b 2>0得a 2>b 2，即|a |＞|b |，所以“a -b >0”是“a 2-b 2>0”的充分不必要条件．故选A .(2016·贵州模拟)若c >1，0<b <a <1，则( ) A ．a c0，所以log a c <log b c .故选D .已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a ________b .解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2-b2＝28-14-83＝14-83＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫74-3＞0，从而a ＞b .故填＞.(2016·武汉模拟)已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解：a 1b 1＋a 2b 2-(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1-a 2)(b 1-b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1-a 2≤0，b 1-b 2≥0，于是(a 1-a 2)(b 1-b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.故填a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b2＋a 2b 1.类型一建立不等关系(2015·湖北)设x ∈R ，表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得＝1，＝2，…，＝n 同．时成立．．．，则正整数n 的最大值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为表示不超过x 的最大整数．由＝1得1≤t <2，由＝2得2≤t 2<3，由＝4得4≤t 4<5，所以2≤t 2<5，由＝3得3≤t 3<4，所以6≤t 5<45，由＝5得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.故选B .【点拨】解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例表示不超过x 的最大整数，故由＝k ，可得k ≤x <k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n 的最大值．(2016·湖南模拟)用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于108 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解：设矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30-x 2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2≥108. 故填⎩⎪⎨⎪⎧0＜x≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2≥108. 类型二不等式的性质已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞db；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc -adab＞0，由ab ＞0，bc＞ad 得②成立，所以①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc -adab＞0，则bc ＞ad ，所以①②⇒③. (3)若bc ＞ad ，bc -adab＞0，则ab ＞0，所以②③⇒①.综上所述可组成3个正确命题．【点拨】运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论．(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解：由c ＜d ＜0⇒-1d ＞-1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得-a d ＞-b c ＞0，所以a d ＜b c.故选D .类型三不等式性质的应用(1)若1<α<3，-4<β<2，则α2-β的取值范围是________．解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由-4＜β＜2得-2＜-β＜4，所以α2-β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-32，112.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-32，112.【点拨】①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和-4＜β＜2两式相减来得到α2-β的范围．②此类题目用线性规划也可解．(2)已知-1＜a ＋b ＜3且2＜a -b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a -b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x -y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝-12.所以-52＜52(a ＋b )＜152，-2＜-12(a -b )＜-1.所以-92＜52(a ＋b )-12(a -b )＜132，即-92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-92，132. 【点拨】由于a ＋b ，a -b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a -b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a -b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解．(1)若角α，β满足-π2<α<β<π2，则2α-β的取值范围是________．解：因为-π2＜α＜β＜π2，所以-π2＜α＜π2，-π2＜β＜π2，-π2＜-β＜π2，而α＜β，所以-π＜α-β＜0，所以2α-β＝(α-β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-3π2，π2.(2)(2016·云南模拟)若-1≤lg xy≤2，1≤lg xy ≤4，则lg x 2y的取值范围是________．解：由1≤lg xy ≤4，-1≤lg xy≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，-1≤lg x -lg y ≤2，则lg x 2y ＝2lg x -lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x -lg y )，所以-1≤lg x 2y≤5.故填．类型四比较大小实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较a ＋mb ＋m 与ab的大小，则a ＋mb ＋m ________ab. 解法一：(作差比较)：a ＋mb ＋m -a b ＝b （a ＋m ）-a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b -a ）b （b ＋m ），因为b ＞a ＞0，m ＞0，所以m （b -a ）b （b ＋m ）＞0，所以a ＋mb ＋m＞ab.解法二(作商比较)：因为b ＞a ＞0，m ＞0，所以bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0，所以ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m ＞a b.故填＞.【点拨】本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．(2015·福建月考)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n的大小，则a n＋b n________c n.解：因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a n ，b n ，c n>0，而a n ＋b ncn＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .因为a 2＋b 2＝c 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，所以0<a c <1，02时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，所以a n ＋b n cn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c2＝1，所以a n ＋b n <c n.故填＜.1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．1．(2015·浙江)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a＋b＞0，取a＝3，b＝-2，则ab＞0不成立；反之，若a＝-2，b＝-3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选D.2．(2016·宜昌模拟)设a，b，c∈R，且a>b，则( )A．ac>bc B.1a＜1bC．a2>b2D．a3>b3解：A选项，当c<0时，ac<bc，故A不正确；B 选项，当a>0>b时，显然B不正确；C选项，当a＝1，b＝-2时，a2<b2，C不正确；D选项，因y＝x3是单调增函数，所以当a>b时，有a3>b3，D正确．故选D.3．(2015·云南模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )A．a＋c≥b-c B．(a-b)c2≥0C．ac>bc D.c2a-b>0解：A项：当c<0时，不等式a＋c<b-c可能成立；B项：a>b⇒a-b>0，c2≥0，故(a-b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，c2a-b＝0.故选B.4．(2014·湖南)已知命题p：若x＞y，则-x＜-y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④解：当x＞y时，两边乘以-1可得-x＜-y，所以命题p为真命题；当x＝1，y＝-2时，显然x2＜y2，所以命题q为假命题，所以②③为真命题．故选C.5．(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(-1)＝f(-2)＝f(-3)≤3，则( )A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9 D．c＞9解：由f(-1)＝f(-2)＝f(-3)得，-1＋a-b＋c＝-8＋4a-2b＋c＝-27＋9a-3b＋c，消去c得⎩⎪⎨⎪⎧3a-b＝7，5a-b＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝6，b＝11，于是0＜c-6≤3，即6＜c≤9.故选C.6．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz解：令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可判断最低总费用是az＋by＋cx.故选B.7．(2015·江西模拟)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg e，则a，b，c的大小关系为________．解：因为e＜10，所以lge＜lg10＝12，所以(lge)2＜12·lge＝lg e，即b＜c.又因为e＜e，所以lg e＜lge，即c＜a.故填b＜c＜a.8．(2016·合肥质检)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则ca的取值范围为________．解：由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a＜b＋c≤3a，a＋b＞c，a＋c＞b，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a≤3，1＋b a ＞c a ，1＋c a ＞b a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca≤3，-1＜c a -b a ＜1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为(0，2)．故填(0，2)．9．设实数a ，b ，c 满足 ①b ＋c ＝6-4a ＋3a 2， ②c -b ＝4-4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系．解：因为c -b ＝(a -2)2≥0，所以c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，所以b ＝1＋a 2，所以b -a ＝a 2-a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122＋34＞0，所以b ＞a ，从而c ≥b ＞a .10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝1 000＋30x 800＋ax (a ∈N *，1≤x ≤10)．假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1 000＋30x800＋10x ＞1.5，解得x ＞403＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元．(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1 000＋30x800＋ax，则f (x 2)-f (x 1)＝1 000＋30x 2800＋ax 2-1 000＋30x 1800＋ax 1＝（30×800-1 000a ）（x 2-x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）＞0，所以30×800-1 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．11．(2015·云南模拟改编)已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求ca的取值范围．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝-(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >-(a ＋c )>c ，且3a ＞a ＋b ＋c ＝0＞3c ，则a >0，c <0，所以1>-a ＋c a ＞ca，即1＞-1-c a ＞c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ca ＜-1，ca＞-2，解得-2＜c a ＜-12.故c a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-2，-12. (2016·武汉模拟)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1<a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得- ＝-＝(xy ＋1)(xy -1)-(x ＋y )(xy -1) ＝(xy -1)(xy -x -y ＋1) ＝(xy -1)(x -1)(y -1)．因为x ≥1，y ≥1，所以(xy -1)(x -1)(y -1)≥0，从而x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，则x ≥1，y ≥1，由对数的换底公式得log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log c a ＝1xy，log a c＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .由(1)知所要证明的不等式成立．。

2018届高考新课标数学文大一轮复习检测：第七章不等

A 组专项基础训练(时间：25分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【解析】由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5，0)，且其斜率k ＝－2＜k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5，0)．【答案】 B2．(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】画出约束条件的可行域如图阴影部分，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0，3)，所以z max ＝0＋6×3＝18，选C.【答案】 C3．(2017·湖北荆州二模)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．3B ．－3C ．1 D.32【解析】作出可行域，如图所示的阴影部分，当直线z ＝2x ＋y 过点A (2，－1)时，z 最大，是3，故选A. 【答案】 A4．(2016·河南洛阳期中)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】先根据约束条件画出可行域，如图．设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，将z 转化为直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距．当直线z ＝x ＋y 经过直线x －my ＋1＝0与直线2x －y －3＝0的交点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9，2x －y －3＝0得A (4，5)，将点A 的坐标代入x －my ＋1＝0得m ＝1，故选C.【答案】 C5．(2016·北京丰台模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙种产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨，且每天消耗的A 原料不能超过10吨，B 原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x 吨，乙种产品的产量为y 吨，则在坐标系xOy 中，满足上述条件的x ，y 的可行域用阴影部分表示正确的是()【解析】由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，3x ＋y ≤10，2x ＋3y ≤9，x ≥0，y ≥0，故选A.【答案】 A6．(2016·株洲模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12B.13 C ．1 D ．2【解析】如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点(1，－2a )处取得最小值，2×1－2a ＝1，解得a ＝12.【答案】 A7．(2016·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，，则ω＝y ＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1，0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.故选D.【答案】 D8．(2016·贵阳模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＜2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z ＜2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.【答案】 D9．(2016·山西质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为．【答案】10．(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．【解析】 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．B 组专项能力提升 (时间：15分钟)11．(2016·黑龙江哈六中月考)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0 【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z .平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大为6，即x ＋y ＝6.当直线y ＝－x ＋z 经过点B 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A (3，3)．∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x ＋2y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，即B (－6，3)．此时z 的最小值为－6＋3＝－3，故选A.【答案】 A12．(2016·河北衡水中学四调)设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0，2x －y －1≤0，3x －y －2≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋4，最小值为a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．【解析】由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z ，直线y ＝－ax ＋z 是斜率为－a ，在y 轴上的截距为z 的直线，作出不等式组对应的平面区域，如图，则A (1，1)，B (2，4)．∵z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋4，最小值为a ＋1，∴直线z ＝ax ＋y 过点B 时，z 取得最大值2a ＋4，过点A 时取得最小值a ＋1.若a ＝0，则y ＝z ，此时满足条件．若a ＞0，则目标函数线的斜率k ＝－a ＜0，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a ≥k BC ＝－1，即0＜a ≤1.若a ＜0，则目标函数线的斜率k ＝－a ＞0，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a ≤k AC ＝2，即－2≤a ＜0.综上，－2≤a ≤1，故选B.【答案】 B13．(2016·郑州第一次质量预测)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为( )A.115B ．2 C.95D ．1【解析】在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x －4y －13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x －4y －13＝0的距离最近的点是(1，0)．又点(1，0)到直线3x －4y －13＝0的距离等于|3×1－4×0－13|5＝2，即点P 到直线3x－4y －13＝0的距离的最小值为2.【答案】 B14．(2016·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．【解析】通性通法作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3，4)时，z min ＝3－2×4＝－5.光速解法因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5.【答案】－515．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，表示的可行域如图：由x －2y ＋4＝0及3x －y －3＝0得A (2，3)，由x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )与点(0，0)的距离的平方可得(x 2＋y 2)max ＝22＋32＝13，(x 2＋y 2)min ＝d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，其中d 表示点(0，0)到直线2x ＋y －2＝0的距离，所以x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1316．(2016·山东淄博模拟)电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，广告时间为1 min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，广告时间为1 min ，收视观众为20万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min 广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320 min.问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？【解析】设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z . 则目标函数为z ＝60x ＋20y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ≤320，x ＋y ≥6，x ∈N ，y ∈N .作出⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ≤320，x ＋y ≥6，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图．作出直线y ＝－3x 并平移，由图可知，当直线过点A 时纵截距z20最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ＝320，x ＋y ＝6，得点A 的坐标为(2，4)，满足x ∈N ，y ∈N ，所以z max ＝60×2＋20×4＝200.所以电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率．。

2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习教师用书：第七章不等式 Word版含解析

第七章⎪⎪⎪不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式突破点(一) 不等式的性质1．比较两个实数大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a 1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a 0).2．不等式的基本性质本节主要包括2个知识点： 1.不等式的性质；一元二次不等式.3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d .④0<a <x b >0，m >0，则：①b a b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0).例1] (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“＞”或“＜”)．解析] (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .(2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案] (1)B (2)<方法技巧] 比较两个数(式)大小的两种方法例2] (1)如果a <bA.1a <1bB ．ab b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d(3)(2016·西安八校联考)“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析] (1)法一(性质判断)：对于A 项，由a 0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；对于B 项，由a 0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a 0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a 0，故－1a －⎝⎛⎭⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b 成立，故D 项正确．法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>1b ＝－1，ab ＝2>b 2＝1，－ab ＝－2>－a 2＝－4，－1a ＝12<－1b＝1.故A 、B 、C 项错误，D 项正确．(2)取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a 0，∴a 3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20，x 1＋x 2＝412>6，x 1x 2＝10>9，但x 1<3.故“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的充分不必要条件．答案] (1)D (2)C (3)A 方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设a ，b ∈0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2.[考点二]若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3.[考点二]若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋bc ＝ac ＋bdcd＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.4.[考点二]设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．突破点(二) 一元二次不等式1．三个“二次”之间的关系2.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.例1] (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. 方法技巧]1．解一元二次不等式的方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求参数范围全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．考法(一) 在实数集R 上恒成立例2] 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解] 不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．考法(二) 在某区间上恒成立例3] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解] 要使f (x )＜－m ＋5在1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈1,3]．当m ＞0时，g (x )在1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是mm ＜0或0＜m ＜67.考法(三) 在参数的某区间上恒成立时求变量范围例4] 对任意m ∈－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题．由题意知在－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：选C 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}．2.[考点一]已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.3.[考点二·考法(一)]若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．－3,0)C ．－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．4.[考点二·考法(二)]若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．－4,1]B ．－4,3]C ．1,3]D ．－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5.[考点二·考法(三)]要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．－2，－1]B ．－1,2)C ．－1,1]D ．1,2)解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝－2，－1]，故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}． 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考练基础小题——强化运算能力]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b.故C 项不成立．2．函数f (x )＝ 1－xx ＋2的定义域为( ) A ．－2,1] B ．(－2,1]C ．－2,1)D ．(－∞，－2]∪1，＋∞)解析：选B 要使函数f (x )＝1－x x ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]．3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．1,2] C ．1,2) D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a 0⇔⎩⎨⎧ab >0，a b ，故选项D 错误，C 正确．故选C.3．已知a >0，且a ≠1，m ＝a a 2＋1，n ＝a a ＋1，则( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m <nD ．m ≤n解析：选B 由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．－4，＋∞)C ．－4,3]D ．－4,3)解析：选B 不等式x 2－2x －3≤0的解集为－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 6．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32解析：选D 由定义知，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＋1a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 20知命题正确．答案：②③8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2016·西安一模)若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.答案：－2,2] 三、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2. 当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积． 2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点B 到直线AC 的距离即△ABC 的腰长|AB |.由点到直线的距离公式求得|AB |，面积便可求出．例1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；2.简单的线性规划问题；3.线性规划的实际应用.A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析]不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.答案] B 方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参数不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．例2] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析]不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.答案] D易错提醒]此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB 长度的最大值为4，则以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝⎛⎭⎫422＝4π.2.[考点二]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C 2－4m 3，2＋2m3，D (－2m,0)．S△ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．3.[考点一]不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：44.[考点二]若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a ＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a ＝－1.答案：－1突破点(二) 简单的线性规划问题1．线性规划中的基本概念在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即例1] (2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解析] 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.答案] B 方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函数的最值例2] (2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.答案] C方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z ＝ac ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－dc 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线的斜率的ac 倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．线性规划中的参数问题例3] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2.答案] B 方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.2.[考点二]已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为( ) A.12 B.32 C ．1D.14解析：选C如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝yx ＋1＝y －0x －(－1)表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－(－1)＝1.3.[考点一](2017·银川模拟)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选A 作出实数x ，y 满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z ＝x ＋y 经过点C (k ，k )时，取得最大值，且z max ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当目标函数z ＝x ＋y 经过点B (－6,3)时，取得最小值，且z min ＝－6＋3＝－3，故选A.4.[考点三]x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.5.[考点二]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1，0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. 答案：80突破点(三) 线性规划的实际应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”解线性规划应用题的一般步骤考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线性规划的实际应用典例] 1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析] 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.答案] D易错提醒]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝( )A ．10B ．12C ．13D ．16解析：选C 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b ＋a ＝0，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，a ＋b 取最大值，故x ＝6＋7＝13.2．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整数点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 700全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12C ．1D ．2解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分所示，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.3．(2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线x ＋y ＝0，当直线经过A 点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A 1，12，z max ＝1＋12＝32.答案：324．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0并上下平移，易知当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 0005．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，∵yx 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴yx 的最大值为3. 答案：36．(2012·新课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．解析：依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC ，显然，当直线y ＝12x －z 2过点A (1,2)时，z 取得最小值为－3；当直线过点B (3,0)时，z 取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为－3,3]．答案：－3,3]课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考练基础小题——强化运算能力]1．下面给出的四个点中，位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0)解析：选C 将四个点的坐标分别代入不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0验证可知，满足条件的只有(0，－2)．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43. 3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．2解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x ＋2y ＝0并上下平移，易知当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2×1＝2.4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1B.92C ．5D ．9 解析：选B 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.答案：4练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋3≥0，y ≥－1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．11B ．－11C ．13D ．－13解析：选A 将z ＝3x ＋y 化为y ＝－3x ＋z ，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y ＝－3x ＋z 经过点D 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝－1，得D (4，－1)，此时z max ＝4×3－1＝11，故选A.。

高三大一轮复习数学(文)课时规范训练：第七章不等式 7.3 Word版含答案

课时规范训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：选C.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为a b ＋ba≥2只有当a ，b 同号时才成立，故由a 2＋b 2≥2ab 不能推出a b ＋b a≥2；但由a b ＋b a≥2可以推出a 2＋b 2≥2ab ，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的必要不充分条件，故选B.3．在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．36解析：选C.因为a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，所以5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，因为a 5＋a 6≥2a 5a 6，所以6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，所以a 5a 6的最大值为9，选C.4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：选C.依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2 b a ·4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 5．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D.由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b＋4b a≥7＋23a b ·4ba＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.6．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r >pC ．p ＝r <qD ．p ＝r ＞q解析：选C.∵0<a ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r <q .选C. 7．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( )A ．1B ．2 C.94D ．74解析：选C.由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.8．若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：29．已知关于x 的不等式x ＋1x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：∵x ∈(a ，＋∞)，∴x －a >0，∴x ＋1x －a ＝(x －a )＋1x －a＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝a ＋1时，等号成立，∴2＋a ≥7，a ≥5.∴实数a 的最小值为5.答案：510．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．解析：由题意知，长方体容器的底面积为4 m 2，设底面的长为x m ，则宽为4xm ，故容器的总造价为y ＝4×20＋2×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2×4＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，总造价最低，且最低总造价为160元．答案：16011．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20 ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x·2x y＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.(时间：20分钟)12．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315B ．2 C.94D ．3解析：选C.由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则 4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋y ＋x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2y ＋x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94. 13．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab＋1a a －b－10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．5解析：选B.2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab＋1a a －b＝(a －5c )2＋ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1aa－b≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立，如取a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件． 14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．解析：∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12. 答案：15．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．解析：由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．答案：416．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)求y 与x 之间的函数关系．(2)需要修建多少个增压站才能使总费用最少？最少费用为多少？解：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x ) ＝400⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，所以0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x＋240x －160(0<x <140)．(2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x ＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使总费用最少，最少费用为9 440万元．。

2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测第七章不等式7-4Word版含答案

A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．(2016·河南百校联盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A ．1 B.1110C.65D ．2 【解析】由题意，2ab ＝8，∴b ＝4a. ∵2≤a ≤10，∴1b ＋1＋9a ＋9＝14a ＋1＋9a ＋9＝1＋5a ＋36a ＋13≤1＋52a ·36a＋13＝65，当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65. 【答案】 C3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315 B ．2 C.94D ．3 【解析】由题意知，x ＋2＞0，y ＋1＞0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋24（y ＋1）x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23，y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94. 【答案】 C4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ． D ．，所以S ∈．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．。

2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第七章立体几何》7-3 Word版含解析

课时规范训练A组基础演练1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件答案：D2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a成90°角解析：选A.若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确．又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．3．已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．a⊥α，b∥α，则a⊥bD．当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b解析：选C.A选项是易错项，由a∥b，b⊂α，也可能推出a⊂α；B中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；C正确；D中的直线a，b也可能异面．4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0 B．1C ．2D ．3解析：选A.对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．5．已知直线a 与平面α、β，α∥β，a ⊂α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线解析：选D.设直线a 和点B 所确定的平面为γ，则α∩γ＝a ，记β∩γ＝b ，∵α∥β，∴a ∥b ，故存在唯一一条直线b 与a 平行．6．如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________. 解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点， AP ＝a 3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a . 答案：223a7．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．解析：根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD 的长分别为245或24. 答案：24或2458．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面P AO . 解析：假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥P A .连接DB ，因为P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，所以D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ，又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO ，故Q 满足Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面P AO . 答案：Q 为CC 1的中点9．如图E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：s(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD∥B1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1？若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．解：法一：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.证明如下：在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.∵B1E＝3EC1，∴EG＝34A1C1，又AF∥A1C1且AF＝34A1C1，∴AF∥EG且AF＝EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，又EF⊄平面A1ABB1，AG⊂平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.法二：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.证明如下：在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G，∵EG∥BB1，EG⊄平面A1ABB1，BB1⊂平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1，∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，∴FG∥AB，又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.B组能力突破1．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：选C.如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是()A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F解析：选D.由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A、E、G、C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC 1F 是正方形错误；由于AE ∥C 1F ，由线面平行的判定定理，可得AE ∥平面BC 1F .3．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.易知①正确；②错误，l 与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明，④正确，可以以三棱柱为例证明．4．空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________．解析：设DH DA ＝GHAC ＝k ， ∴AH DA ＝EHBD ＝1－k ， ∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )， ∴周长＝8＋2k . 又∵0＜k ＜1，∴周长的取值范围为(8,10)．答案：(8,10)5．如图，几何体E -ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.(3)在(2)的条件下，在线段AD上是否存在一点N，使得BN∥面DEC，并说明理由．证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以∠BDN＝∠CBD，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°. 因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝∠ABD＝60°，所以∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.(3)存在点N为AD的中点取AD的中点N，连接BN，O为BD的中点由(2)可知∠DCO＝60°，∴∠BDC＝30°，又∵DBN＝30°，∴BN∥DC.DC⊂面DEC，∴BN∥面DEC.。

2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课件：第七章不等式7-3

利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数．
9 1 4 2 (1)已知 a>0， b>0， a＋b＝2，则 y＝＋的最小值是________ ． a b
a＋b 解析：∵a＋b＝2，∴ ＝1， 2
b 1 4 5 5 1 4 b 2 2 2 2a b 当且仅当＝，即 b ＝ 2 a 时，等号成立 . b 2a
4 1 当且仅当－lg x＝，即 x＝时，等号成立，故 ymax 100 －lg x ＝－4.
[考情聚焦]
利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两
个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容．主要有以下几个命题角度：角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值
3．算术平均数与几何平均数 a＋b 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为 2 ab，基本(均值)不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 __________________________________________________.
4．利用基本(均值)不等式求最值问题已知 x>0，y>0，则
1 1 9 3 解析：由 x(3－3x)＝ ×3x(3－3x)≤ × ＝，当且仅当 3x 3 3 4 4 1 ＝3－3x，即 x＝时，等号成立． 2
4 (2)若 x>1，则 x＋的最小值为________ ． 5 x－1
4 4 解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5， x－1 x－1 4 当且仅当 x－1＝，即 x＝3 时，等号成立. x－1
a＝b 时等号成立． (2)等号成立的条件：当且仅当________

2018高三大一轮复习数学文课时规范训练：第七章不等

课时规范训练(时间：30分钟)1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6， x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.2．不等式1－x 2＋x ≥0的解集为( )A ．B ．(－2,1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞) 解析：选B.1－x2＋x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋x，2＋x ≠0⇒－2<x ≤1.3．已知一元二次不等式f (x )≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，则f (e x )>0的解集为( )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3}解析：选D.由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图像开口向下，故f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，又∵f (e x)>0，∴12<e x<3，解得－ln 2＜x ＜ln 3. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≥0，x 2－1，x <0，则满足不等式f (3－x 2)<f (2x )的x 的取值范围为( )A ．D ．解析：选D.由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，解得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3，则3<a ≤4；当a <1时，解得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a <－1，故a ∈．6．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2] B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪解析：选A.原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2,2]．7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式即(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a，∴a <x <1a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 8．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a <0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴－12＝－b a ，∴－12＝ca ，且a <0，∴b ＝12a ，c ＝－12a .∴不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a <0化为－12a (lg x )2＋b lg x ＋a <0，即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a <0.∴(lg x )2－lg x －2<0， ∴－1<lg x <2，∴110<x <100. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪110<x <1009．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围是________．解析：∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1. ∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，23 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)，设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0B ．⎝⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52解析：选A.f (x )＝x (1＋a |x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x ，x ≥0，－ax 2＋x ，x <0，若不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上，函数y ＝f (x＋a )的图像应在函数y ＝f (x )的图像的下边．(1)当a ＝0时，显然不符合条件．(2)当a >0时，画出函数y ＝f (x )和y ＝f (x ＋a )的图像大致如图(1)．图(1)由图(1)可知，当a >0时，y ＝f (x ＋a )的图像在y ＝f (x )图像的上边，故a >0不符合条件．(3)当a <0时，画出函数y ＝f (x )和y ＝f (x ＋a )的图像大致如图(2)．图(2)由图可知，若f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12即可，则有－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a <－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12(a <0)，整理得a 2－a －1<0，解得1－52<a <1＋52.又∵a <0，∴a ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0.12．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋4，若存在实数t ，当x ∈时，f (x ＋a )≤4x 恒成立，则实数t 的最大值是( )A ．4B ．7C ．8D ．9解析：选D.1，t 是方程f (x ＋a )＝4x 的两个根，整理方程，得(x ＋a )2＋4(x ＋a )＋4＝4x ，即x 2＋2ax ＋a 2＋4a ＋4＝0. 根据根与系数之间的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋t ＝－2a ， ①1×t ＝a 2＋4a ＋4， ②由②，得t ＝a 2＋4a ＋4，代入①中，得1＋a 2＋4a ＋4＝－2a ，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或－5.当a ＝－1时，t ＝－2a －1＝1，而由x ∈，可知t >1，所以不满足题意；当a ＝－5时，t ＝－2a －1＝9.所以实数t 的最大值为9. 13．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A.不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.14．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．答案：{x |－7<x <3}15．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意， 200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是． (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．。

2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习课件：第七章不等式 7.3

解：可行域如图中阴影部分所示，x2＋y2 为可行域中任一点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x2＋y2 的最小值为原点到直 |-2|2 4 线 AC 的距离的平方，即＝ .易求得 B(2， 5 5 4 2 2 2 3)，最大值为 OB ＝2 ＋3 ＝13.故填 5，13.
自查自纠
1．(1)平面区域不包括包括实线 (2)相同符号 2．(1)目标函数线性目标函数 (2)最大值或最小值 (3)可行解可行域最优解 (4)①线性约束条件画出可行域 ②z＝0 ④最大值或最小值 (5)约束线性目标画出可行域取得最值的解
( 2016·济南模拟 ) 已知点 (-3 ， -1) 和点 (4 ， -6) 在直线 3x-2y-a＝0 的两侧，则 a 的取值范围为( A．(-24，7) B．(-7，24) C．(-∞，-7)∪(24，＋∞) D．(-∞，-24)∪(7，＋∞) )
第七章第一章
集合与常用逻辑用语不等式
7．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________． (2)由于对直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x， y)代入 Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由 Ax0＋By0＋C 的________即可判断 Ax＋By＋C＞0 表示的是直线 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域．

2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第七章不等式7-4基本不等式及其应用Word版含答案

7．4 基本不等式及其应用1．如果a ＞0，b ＞0，那么叫做这两个正数的算术平均数．2．如果a ＞0，b ＞0，那么叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .简记为：积定和最小．6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即，亦即；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .简记为：和定积最大．7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b≤ ≤a ＋b2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠1.a ＋b22.ab3.2ab4.a ＋b2≥ab5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2 ab ≤a 2＋b 227.ab a 2＋b22已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( )A ．1B ．14C ．12D.22解：因为a ，b ∈R ＋，所以1＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B .(2016·湖南模拟)若函数f (x )＝x ＋1x -2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4解：因为x ＞2，所以x -2＞0，则f (x )＝x ＋1x -2＝(x -2)＋1x -2＋2≥2（x -2）·1x -2＋2＝4，当且仅当x -2＝1x -2，即x ＝3时取等号．即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.故选C .设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q解：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，因为a ＋b2＞ab ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )．所以q＞p ＝r .故选C .(2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x2＋2y 2的最小值为________．解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立．故填22.(2016·鄂州一模)已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________．解：因为x x 2＋4＝1x ＋4x，又x ＞0，所以x ＋4x≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号，所以0<1x ＋4x≤14，即x x 2＋4的最大值为14.故填14.类型一利用基本不等式求最值(1)函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ＞-1)的值域为________．解：因为x ＞-1，所以x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝（m ＋4）（m ＋1）m ＝m ＋4m＋5≥2m ·4m＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号．故填．(2)y ＝2 400-5（60-x ）240-x＝2 400-5，当且仅当40-x ＝40040-x ，即x ＝20∈(0，30]时，y 取得最大值2 000,所以当DN ＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2 000 m 2.答略．【点拨】建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．(2016·徐州质检)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？解：(1)设DQ 的长为y m ，则x 2＋4xy ＝200，所以y ＝200-x24x.S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2(0＜x ＜102)． (2)S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x2≥38 000＋24 000x 2×400 000x2＝38 000＋216×108＝118 000，当且仅当 4 000x 2＝400 000x 2，即x ＝10时取“＝”，所以S min＝118 000(元)．故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22；③ab ≤14(a＋b )2；④⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．1．若a ＞1，则a ＋1a -1的最小值是( ) A ．2B ．aC ．3D.2a a -1解：因为a ＞1，所以a ＋1a -1＝a -1＋1a -1＋1≥2（a -1）·1a -1＋1＝2＋1＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．故选C .2．(2015·大理模拟)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.14B ．4C.12D ．2解：因为a >0，b >0，所以4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，所以1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．故选C .3．(2016·西安模拟)以下函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝3x ＋3-xC ．y ＝lg x ＋1lg x (0<x <1)D ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 解：因为3x>0，3-x>0，故3x ＋3-x≥2(当且仅当x ＝0时取等号)．故选B .4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s . 因为a ＜b ，所以v ＝2ss a ＋s b＝2ab a ＋b ＜2ab2ab ＝ab .又v -a ＝2ab a ＋b -a ＝ab -a 2a ＋b ＞a 2-a2a ＋b ＝0，所以v ＞a .故选A .5．(2016·重庆模拟)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( ) A ．1 B ．94C ．9D ．16解：1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·（a ＋1）＋（b ＋1）4 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4（a ＋1）b ＋1≥14(5＋4)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4（a ＋1）b ＋1且a ＋b ＝2，即a ＝13，b ＝53时取等号．故选B .6．(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3ab＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号．故选D .7．(2015·青海模拟)点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，所以log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝-2.故填-2.8．(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx -y -m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解：易知定点A (0，0)，B (1，3)．且无论m 取何值，两直线垂直．所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上)．所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2＋|PB |2)＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立．故填5. 9．已知0＜x ＜43，求x (4-3x )的最大值．解：已知0＜x ＜43，所以0＜3x ＜4.所以x (4-3x )＝13(3x )(4-3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4-3x 22＝43，当且仅当3x ＝4-3x ，即x ＝23时“＝”成立．所以当x ＝23时，x (4-3x )取最大值为43.10．已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab -4a 2-b 2的最大值．解：因为a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，所以4a 2＋b2＝(2a ＋b )2-4ab ＝1-4ab .且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，所以S ＝2ab -4a 2-b 2＝2ab -(1-4ab )＝2ab ＋4ab -1≤2-12.当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．解：问题转化为求△ABC 中∠BCA 的取值范围．过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D .设该人距离此树的距离CD ＝x 米，看A ，B 的视角最大，即∠BCA 最大．不妨设∠BCD ＝α，∠ACD ＝β，则∠BCA ＝β-α，且tan α＝4x ，tan β＝9x ，所以tan(β-α)＝9x -4x 1＋9x ×4x＝5xx 2＋36＝5x ＋36x≤52x ×36x＝512，当且仅当x ＝36x，即x ＝6时取等号，此时∠BCA 最大．故填6.1．(2016·肇庆模拟)如果log 3m ＋log 3n ＝4，那么m ＋n 的最小值是( )A ．4B ．4 3C ．9D ．18解：log 3m ＋log 3n ＝log 3mn ＝4，所以mn ＝34，而m ＋n ≥2mn ＝18，当且仅当m ＝n ＝9时等号成立．故选D .2．(2016·西安模拟)若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D.52解：因为a ＞1，b ＞1，所以lg a ＞0，lg b ＞0.lg a ·lg b ≤（lg a ＋lg b ）24＝（lg ab ）24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号．故选B .3．(2016·安康模拟)若x >1，则函数y ＝x ＋1x＋16xx 2＋1的最小值为( ) A ．16B ．8C ．4D ．2解：y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x 2＋1x ＋16xx 2＋1≥2x 2＋1x ·16x x 2＋1＝8，当且仅当x 2＋1x ＝16xx 2＋1时等号成立．故选B .4．(2016·湖南模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解：由题意知平均每件产品的生产准备费用是800x元，则800x ＋x 8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批应生产产品80件．故选B .5．(2016·郑州模拟)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ． 6D ．8解：因为(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y＝1＋ax y ＋y x＋a ≥a ＋1＋2a ，当且仅当ax y ＝y x时等号成立．要使原不等式恒成立，则只需a ＋1＋2a ≥9恒成立，所以(a -2)(a ＋4)≥0，解得a ≥4，所以正实数a 的最小值是4.故选B . 6．(2016·重庆模拟)若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t2在t ∈(0，2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，413D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1解：t t 2＋9＝1t ＋9t，而y ＝t ＋9t在(0，2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t≤213(当且仅当t＝2时等号成立)．因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142-18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1.故选D .7．(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．解：因为a ，b ＞0，a ＋b ＝5，所以(a ＋1＋b ＋3)2≤2(a ＋1)2＋2(b ＋3)2＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.故填32.8．(2016·湖南模拟)若直线ax ＋by -1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为________．解：因为曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心为(1，1)，所以a ＋b ＝1，1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2ab≥3＋2b a ·2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2ab，且a ＋b ＝1，即a ＝2-1，b ＝2-2时等号成立．故填3＋22.9．点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x＋4y的最小值．解：已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3.所以2x＋4y≥22x·4y＝22x ＋2y＝223＝4 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x＝4y，x ＋2y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时“＝”成立．所以当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y取最小值为4 2.10．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy .解法一：由于2x ＋3y ≥22x ×3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272.当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9-32y .因为x ＞0，所以0＜y ＜6.S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9-32y y ＝32(6-y )y .因为0＜y ＜6，所以6-y ＞0. 所以S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6-y ）＋y 22＝272. 当且仅当6-y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .解法一：因为2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，所以l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy ＝24，得x ＝24y.所以l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y＋y ≥6×216y×y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．(2016·襄樊月考)已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝（1-x ）2x＋x 21-x(0<x <1)的最小值．解：(1)证明：因为a ，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.所以a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．(2)因为0<x <1，所以1-x >0，由(1)的结论，函数y ＝（1-x ）2x ＋x 21-x≥(1-x )＋x ＝1.当且仅当1-x ＝x ，即x ＝12时等号成立．所以函数y ＝（1-x ）2x ＋x21-x (0<x <1)的最小值为1.。

2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第七章不等式7-2一元二次不等式及其解法Word版含答案

7．2 一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是_________；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的_________；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为_________；当a＜0时，解集为_________．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是_________．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2-4ac＞0)，则可根据“大于号取_________，小于号取_________”求解集．(4)一元二次不等式的解：(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0 ⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.自查自纠1．(1)同解不等式 (2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜03．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠-b 2a ③(2016·宜昌模拟)设集合A ＝{x |x 2＋x -6≤0}，集合B 为函数y ＝1x -1的定义域，则A ∩B等于( )A ．(1，2)B ．C ．解：A ＝{x |x 2＋x -6≤0}＝{x |-3≤x ≤2}，由x -1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x|1<x ≤2}．故选D .(2016·梧州模拟)不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(-∞，-1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(-∞，-1)D ．(-1，1) 解：因为2x ＋1<1，所以2x ＋1-1<0，即1-xx ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x -1)>0，所以x <-1或x >1.故选A .(2016·青海模拟)不等式(a -2)x 2＋2(a -2)x -4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，2]B ．(-2，2]C ．(-2，2)D ．(-∞，2)解：当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a -2＜0，Δ＜0，所以-2<a <2.当a＝2时，原式化为-4<0，恒成立．所以-2<a ≤2.故选B .不等式2x 2-x <4的解集为____________．解：由2x 2-x <4得x 2-x <2，解得-1<x <2，即不等式2x 2-x <4的解集为{x |-1<x <2}．故填{x|-1<x<2}．(2016·达州模拟)若关于x 的不等式12x 2＋(2-m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.解：由题知x ＝0和x ＝2是方程12x 2＋(2-m )x ＝0的根，代入可得m＝3.故填3.类型一一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a -3b ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞，-13，则关于x 的不等式(a -3b )x ＋b -2a ＞0的解集为________．解：由(a ＋b )x ＜3b -2a 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞，-13，得a ＋b ＞0，且3b -2a a ＋b ＝-13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a -3b )x ＋b -2a ＞0，得-bx -3b ＞0，x ＜-3，故填{x|x ＜-3}．【点拨】一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b -2aa ＋b ＝-13是解本题的关键．解关于x 的不等式：(m 2-4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2-4＝0即m ＝-2或m ＝2时， ①当m ＝-2时，原不等式的解集为， ②当m ＝2时，原不等式的解集为R . (2)当m 2-4＞0，即m ＜-2或m ＞2时，x ＜1m -2.(3)当m2-4＜0，即-2＜m＜2时，x＞1m-2.类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x2-7x＋12＞0; (2)-x2-2x＋3≥0；(3)x2-2x＋1＜0; (4)x2-2x＋2＞0.解：(1)方程x2-7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4.而y＝x2-7x＋12的图象开口向上，可得原不等式x2-7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．(2)不等式两边同乘以-1，原不等式可化为x2＋2x-3≤0.方程x2＋2x-3＝0的解为x1＝-3，x2＝1.而y＝x2＋2x-3的图象开口向上，可得原不等式-x2-2x＋3≥0的解集是{x|-3≤x≤1}．(3)方程x2-2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1.而y＝x2-2x＋1的图象开口向上，可得原不等式x2-2x＋1＜0的解集为.(4)因为Δ＜0，所以方程x2-2x＋2＝0无实数解，而y＝x2-2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2-2x ＋2＞0的解集为R.【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．(2015·贵州模拟)关于x的不等式x2-(a ＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是________．解：原不等式可化为(x-1)(x-a)<0，当a>1时，得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a≤5；当a<1时，得a<x<1，此时解集中的整数为-2，-1，0.则-3≤a<-2，故a∈．故填．类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系(2015·贵州模拟)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|-1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<-1或x>12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|-1<x<12 C．{x|-2<x<1} D．{x|x<-2或x>1}解：由题意知x＝-1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，且a＜0.由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧-1＋2＝-b a，（-1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a＝-1，b＝1.所以不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x-1<0.解得-1＜x＜12.故选B.【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．(2016·湖南模拟)已知f(x)＝-3x2＋a(6-a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1，3)，求实数a，b的值．解：(1)因为f(x)＝-3x2＋a(6-a)x＋6，所以f(1)＝-3＋a(6-a)＋6＝-a2＋6a＋3，所以原不等式可化为a2-6a-3<0，解得3-23<a<3＋2 3.所以原不等式的解集为{a|3-23<a<3＋23}．(2)f(x)>b的解集为(-1，3)等价于方程-3x2＋a(6-a)x＋6-b＝0的两根为-1，3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧-1＋3＝a （6-a ）3，-1×3＝-6-b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝-3.类型四含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2-(m ＋1)x ＋1＜0. 解：(1)当m ＝0时，不等式为-(x -1)＜0，得x -1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；(2)当m ≠0时，不等式为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1m (x -1)＜0.①当m ＜0，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1m (x -1)＞0，因为1m＜1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m或x ＞1.②当m ＞0，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1m (x -1)＜0.(Ⅰ)若1m＜1，即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜1； (Ⅱ)若1m＞1，即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)若1m＝1，即m ＝1时，不等式的解集为.【点拨】当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x -ax (a ∈R )．解：不等式整理为ax 2＋(a -2)x -2≥0，当a ＝0时，解集为(-∞，-1]．当a ≠0时，ax 2＋(a -2)x -2＝0的两根为-1，2a，所以当a ＞0时，解集为(-∞，-1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞；当-2＜a ＜0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，-1；当a ＝-2时，解集为{x |x ＝-1}；当a ＜-2时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1，2a .类型五分式不等式的解法(1)不等式x -12x ＋1≤1的解集为________．解：x -12x ＋1≤1 ⇔ x -12x ＋1-1≤0 ⇔ -x -22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0. 解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{x|x ＞-12或x ≤-2}．解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得{x|x ＞-12或x ≤-2}．故填{x |x ＞-12或x≤-2}．(2)(2016·丽水模拟)已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(-x 2＋x ＋2)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2x ＋1e-x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤-1，-12 C ．(-1，e)D ．(2，e)解：由题意得A ＝{x |-x 2＋x ＋2>0}＝{x |-1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x >e 或x ≤-12，故A ∩B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤-1，-12.故选B . 【点拨】首先通过“移项、通分”，将不等式右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0.(1)若集合A ＝{x |-1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x -2x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．{x |-1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |-1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x -2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B .(2)不等式x -12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤-12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫-∞，-12∪，函数f (x )＝x 2＋(a -4)x ＋4-2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．{x |1＜x ＜3}B ．{x |x ＜1或x＞3}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ＜1或x ＞2}解：记g (a )＝(x -2)a ＋x 2-4x ＋4，a ∈，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （-1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2-3x ＋2＞0，x 2-5x ＋6＞0⇒x＜1或x ＞3，故选B .【点拨】(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(1)(2016·银川模拟)已知函数f (x )＝x 2-2ax -1＋a ，a ∈R .(Ⅰ)若a ＝2，试求函数y ＝f （x ）x(x >0)的最小值； (Ⅱ)对于任意的x ∈，不等式f (x )≤a 恒成立，试求a 的取值范围．解：(Ⅰ)依题意得y ＝f （x ）x ＝x 2-4x ＋1x ＝x ＋1x-4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥-2.所以当x ＝1时，y ＝f （x ）x的最小值为-2.(Ⅱ)因为f (x )-a ＝x 2-2ax -1，所以要使得∀x ∈，不等式f (x )≤a 恒成立，只要x 2-2ax -1≤0在上恒成立即可．不妨设g (x )＝x 2-2ax -1，则⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤0，g （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0-0-1≤0，4-4a -1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. (2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．解：原不等式转化为(x -1)a ＋x 2-2x ＋1＞0，设f (a )＝(x -1)a ＋x 2-2x ＋1，则f (a )在上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （-2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x ＋3＞0，x 2-1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜-1.所以x ＜-1或x ＞3.故填(-∞，-1)∪(3，＋∞)．类型七二次方程根的讨论若方程2ax 2-x -1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，-1)B ．(1，＋∞)C ．(-1，1)D ．．(2)由题意得20(10-x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2-30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2-4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1．不等式x -2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(-∞，-1)∪(-1，2] B ．C ．(-∞，-1)∪ 解：x -2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x -2≤0，且x ≠-1，即x ∈(-1，2]，故选D .2．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1}，则函数y ＝f (-x )的图象为()解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-2＋1＝1a ，-2×1＝-c a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝-1，c ＝-2.则f (x )＝-x 2-x ＋2，所以f (-x )＝-x 2＋x ＋2.故选C .3．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <-1或x >12}，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <-1或x >lg2}B ．{x |-1<x <lg2}C ．{x |x >-lg2}D ．{x |x <-lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12(a <0)，由f (10x)>0可得(10x＋1)⎝⎛⎭⎪⎫10x -12<0，从而10x <12，解得x <-lg2，故选D .4．(2016·辽宁一模)若不等式2kx 2＋kx -38<0对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围为( )A ．(-3，0)B ．D ．(-3，0]解：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx -38<0对一切实数x 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2-4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-38＜0，解得-3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx -38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(-3，0]．故选D .5．若关于x 的不等式2x 2-8x -4-a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，-12)B ．(-4，＋∞)C ．(-12，＋∞)D ．(-∞，-4)解：关于x 的不等式2x 2-8x -4-a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2-8x -4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2-8x -4＝2(x -2)2-12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝-12；当x ＝4时，f (4)＝2(4-2)2-12＝-4，所以在(1，4)上，-12≤f (x )＜-4.要使a ＜f (x )有解，则a ＜-4.故选D .6．若关于x 的方程3x 2-5x ＋a ＝0的一个根大于-2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，2)B ．(-12，＋∞)C ．(-22，0)D ．(-12，0)解：设f (x )＝3x 2-5x ＋a ，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f （-2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，-2＋a ＜0，12＋a ＞0.解得-12＜a ＜0.故选D .7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3的解集为________．解：log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤log 28⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔-6＜x ＋1x ≤2.当x ＞0时，x ＋1x≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x ≤-2，此时x ＋1x＞-6，解得-3-22＜x ＜-3＋2 2.故填(-3-22，-3＋22)∪{1}．8．(2016·辽宁模拟)若关于x 的不等式4x -2x ＋1-a ≥0在上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：因为不等式4x-2x ＋1-a ≥0在上恒成立，所以4x-2x ＋1≥a 在上恒成立．令y ＝4x-2x ＋1＝(2x )2-2×2x＋1-1＝(2x-1)2-1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，所以实数a 的取值范围为(-∞，0]．故填(-∞，0]．9．若关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解法一：设f (x )＝x 2-ax -a .则关于x 的不等式x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集⇔f (x )min ≤-3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝-4a ＋a24≤-3，解得a ≤-6或a ≥2.解法二：x 2-ax -a ≤-3的解集不是空集⇔x 2-ax -a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤-6或a ≥2.10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12，即x 2＋10x -1200＞0，解得x ＞30或x ＜-40(舍去)．这表明甲车的车速超过30 km/h ，又由甲车刹车距离略超12 m ，可判断甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x -2000＞0，解得x ＞40或x ＜-50(舍去)．这表明乙车超过40 km/h ，超过规定限速．解关于x 的不等式：a （x -1）x -2＞1(a ＜1)．解：(x -2)＞0，当a ＜1时有(x -2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a -2a -1＜0，若a -2a -1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a -2a -1}；若a -2a -1＝2，即a ＝0时，解集为；若a -2a -1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a -2a -1＜x ＜2}．1．已知-12<1x<2，则x 的取值范围是( )A ．(-2，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12，2C.⎝⎛⎭⎪⎫-∞，-12∪(2，＋∞) D ．(-∞，-2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <-2.所以x 的取值范围是x <-2或x >12，故选D .2．(2016·贵州模拟)若集合A ＝{x |ax 2-ax ＋1<0}＝，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．D ．解：由题意知当a ＝0时，满足条件．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2-4a ≤0，得0<a ≤4，所以实数a 的取值范围是．故选D .3．(2016·肇庆模拟)已知不等式mx 2＋nx -1m<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜-12或x ＞2，则m -n ＝( )A.12 B ．-52C.52 D ．-12解：由已知可得方程mx 2＋nx -1m ＝0的两个根为-12，2，且m <0.所以⎩⎨⎧-12＋2＝-n m，-12×2＝-1m m，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝-1，n ＝32. 所以m -n ＝-52.故选B .4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是()A ．B ．C ．D ．解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x 40＝40-y40，即y ＝40-x ，所以x (40-x )≥300，解得10≤x ≤30.故选C .5．(2016·云南模拟)若不等式x 2-(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是的子集，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．解：原不等式等价于(x -a )(x -1)≤0，当a <1时，不等式的解集为，此时只要a ≥-4即可，即-4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得-4≤a ≤3.故选B .6．(2016·河南模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1-x )(1＋y )．若不等式(x -a )⊗ (x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )A ．-1＜a ＜1B ．-2＜a ＜0C ．0＜a ＜2D ．-32＜a ＜12解：(x -a )⊗(x ＋a )＝(1-x ＋a )(1＋x ＋a )＝(1＋a )2-x 2＜1恒成立，即x 2＞(1＋a )2-1恒成立，故只要(1＋a )2-1＜0即可，所以a 2＋2a ＜0，解得-2＜a ＜0.故选B .7．(2016·西安模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为，不等式(m -m 2)4x ＋2x ＋1＞0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解：因为(m -m 2)4x ＋2x＋1＞0在x ∈(-∞，-1]上恒成立，所以m -m 2＞-2x＋14x 在x ∈(-∞，-1]上恒成立．设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为x ∈(-∞，-1]，所以t ≥2. 所以-2x＋14x ＝-t 2-t ＝-⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14≤-6，所以m -m 2＞-6，解得-2＜m ＜3.故填(-2，3)．9．(2016·西安模拟)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销量就要减少10件．那么要保证该商品每天的利润在320元以上，求其每件售价的取值范围．解：设售价定为每件x 元，利润为y 元，则：y ＝(x -8)，依题意，有(x -8)＞320，即x 2-28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件售价的取值范围为(12，16)(单位：元)． 10．(2016·湖北模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a -b )x -c .(1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点； (2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m -n |的取值范围．解：(1)证明：由题意知a ＜0，a ＋b ＋c ＝0，且-b2a>1，所以c ＜a ＜0，所以ac >0，所以对于函数f (x )＝ax 2＋(a -b )x -c 有Δ＝(a -b )2＋4ac >0，所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m -n |2＝(m ＋n )2-4mn ＝（b -a ）2＋4aca 2＝（-2a -c ）2＋4ac a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋8·ca＋4，由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知c a＝t ，所以|m -n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．所以|m -n |>13，所以|m -n |的取值范围为(13，＋∞)．(2016·郑州模拟)设二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )-x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝-1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )-x ＝a (x -m )(x -n )，当m ＝-1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x -2)>0.那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <-1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |-1<x <2}． (2)f (x )-m ＝a (x -m )(x -n )＋x -m ＝(x -m )(ax -an ＋1)．因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x -m <0，1-an ＋ax >0. 所以f (x )-m <0，即f (x )<m .。

2018版高考数学(文)(人教A版)大一轮复习配套讲义：第七章不等式含解析

第1讲不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1。

了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式（组）的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识梳理1.两个实数比较大小的方法（1）作差法错误!(2)作商法错误!2.不等式的性质(1）对称性：a＞b⇔b＜a；(2）传递性:a＞b，b＞c⇒a＞c;（3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0,c＞d＞0⇒ac＞bd;（5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒错误!＞错误!(n∈N，n≥2）.3。

三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2Δ＞0Δ＝0Δ＜0－4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c（a ＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根有两相异实根x1，x2（x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1｝错误!Rax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集｛x|x1＜x＜x2}∅∅诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×")精彩PPT展示（1）a＞b⇔ac2＞bc2。

（)(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1,x2），则必有a＞0.（)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R。

( ）（4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.（)解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b;反之，c＝0时,a＞b ac2＞bc2.(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c〉0的解集为∅.(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立。

2018高三大一轮复习数学文课时规范训练：第七章不等

课时规范训练(时间：35分钟)1．已知a ＜b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a ＞1bB ．a 2＞b 2C ．2－a ＞2－bD ．2a＞2b解析：选C.a ＜0，b ＞0时，A 不成立，0＜a ＜b 时，B 不成立，由y ＝2x是增函数，知2a＜2b，故D 不成立，故选C.2．“a 2＋b 2ab≤－2”是“a ＞0且b ＜0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.a 2＋b 2ab ≤－2⇔a 2＋b 2ab ＋2＝a ＋b2ab≤0⇔ab ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b ＜0，故选A.3．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨b ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≤2解析：选C.不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c . 若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾， ∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾， ∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故选C.4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B ．a c b cD ．a d －d >0.∵a >b >0，∴－ac >－bd ，∴－ac cd >－bd cd ，∴a d <bc.故选D.5．已知b >a >0，且a ＋b ＝1，则( )A ．2ab <a 4－b 4a －b <a ＋b2<bB ．2ab <a ＋b 2<a 4－b 4a －b <bC.a 4－b 4a －b <2ab <a ＋b2a >0，且a ＋b ＝1，∴2a <1＝a ＋b <2b ，∴1>b >12>a ，a 4－b 4a －b ＝(a ＋b )(a2＋b 2)＝a 2＋b 2>a ＋b22＝12＝a ＋b 2.又a ＋b 2>ab ，∴ab <14，即2ab <12＝a ＋b 2.a 4－b4a －b－b ＝(a ＋b )(a 2＋b 2)－b ＝a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －342－18<2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－18＝0，∴a 4－b 4a －b b >c >0，x ＝a 2＋b ＋c2，y ＝b 2＋c ＋a2，z ＝c 2＋a ＋b2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)解析：(方法一)y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x . 同理，z >y ，∴z >y >x .(方法二)令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .答案：z >y >x8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题 ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －db>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．解析：∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －adab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －db>0，即bc －adab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －adab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．答案：①②③9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c2>e b －d2.证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1a －c2<1b －d2.又∵e <0，∴e a －c>e b －d.10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解：设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s v 1＋v 22v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝v 1＋v 224v 1v 2≥v 1v 224v 1v 2＝1.∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙． ∴乙先到教室．(时间：20分钟)11．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：选A.由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.12．已知0<a 1aB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b C ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析：选D.因为0<a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，(lg a )2>(lg b )2，lg a <lg b <0.由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b ，因此只有D 项正确．13．设表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ) A ．＝－ B ．＝2 C ．≤＋D ．≤－解析：选D.A 选项，取x ＝1.5，则＝＝－2，－＝－＝－1，显然≠－；B 选项，取x ＝1.5，则＝＝3,2＝2＝2，显然≠2；C 选项，取x ＝y ＝1.6，则＝＝3，＋＝＋＝2，显然>＋．排除A ，B ，C ，故选D.14．已知三个正数a ，b ，c 满足b <a ＋c ≤2b ，a 23，b a <32，∴23<a b <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

2018高三大一轮复习数学文课时规范训练：第七章不等

2018高三大一轮复习数学文教师用书：第七章不等式含

§7.1 不等关系与不等式的性质1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质3(1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x b >0，m >0，则 ①b a b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)1a >1b⇔a b ，c >d ⇒ac >bd .( ) (4)若1a <1b<0，则|a |>|b |.( )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√1．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ；②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③答案：D2．若a <0，－11>b ，下列不等式中不一定成立的是( ) A ．a －b >1－b B ．a －1>b －1 C ．a －1>1－bD ．1－a >b －a解析：选C.由a >1知a －b >1－b ，故A 正确；由a >b 知a －1>b －1，故B 正确；由1>b 知1－a >b －a ，故D 正确，C 项错误，如当a ＝3，b ＝－3时，不成立．4．x ＋y <2m 的一个充分不必要条件是( ) A ．x <m 或y <m B ．x <m 且y <m C ．x <m 且y >mD ．x <m 或y >m解析：选B.由不等式的性质知，当x <m 且y <m 时必有x ＋y <2m ，但当x ＋y <2m 时，不一定有x <m 且y <m ，如当x ＝1，y ＝5，m ＝4时就不成立．5．(教材改编)若0<a 1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0， ∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b解析 ∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2， ∴2b ＝2＋2a 2， ∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a . 答案 A(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.答案 B比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．1．(1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：选B.M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.(2)设a>0，且a≠1，P＝log a(a3－1)，Q＝log a(a2－1)，则P与Q的大小关系是________．解析：由题意可知a>1.∴(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)>0，∴a3－1>a2－1，∴log a(a3－1)>log a(a2－1)，即P>Q.答案：P>Q类型二不等式的性质(1)设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．答案 A(2)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．ab 0，ab >0，故1a －1b ＝b －aab>0，1a >1b，故A 项错误；对于B 项，由a 0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a 0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a 0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．(方法二)(特殊值法)令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>1b ＝－1，ab ＝2>b 2＝1，－ab ＝－2>－a 2＝－4，－1a ＝12<－1b＝1.故A 、B 、C 项错误，D 项正确．答案 D解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．2．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.(方法一)∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )， ∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故④正确，故选C. (方法二)取特殊值．类型三不等式性质的应用(1)下列命题中为真命题的是________． ①若a >b ，则a lg 12>b lg 12；②若a >b >0，c >d >0，则a 2－d >b 2－c ；③若a >b ，且a ，b ∈R ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b；④若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，23π，则1－sin α>0. 解析由于lg 12<0，所以①是错误的；由于a >b >0，c >d >0，所以a 2>b 2>0，c >d >0，所以a 2＋c >b 2＋d ，故a 2－d >b 2－c ，所以②正确；由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数，a >b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，故③正确；当α＝π2时，1－sin α＝0，故④不正确．答案 ②③(2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．解析因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，于是－4<－|β|≤0，又1<α<3，所以－3<α－|β|<3.答案 (－3,3)(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．3．(1)若a 1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n>b n解析：选C.(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③解析：选D.由不等式性质及a >b >1知1a <1b，又c <0，所以c a >c b，①正确；构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a cb >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．不等式变形中扩大变量范围致误(七)典例设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．(方法一)由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝a －b ，f ＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f ，b ＝12[f－f －∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. (方法二)由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10.(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．思想方法感悟提高1．用同向不等式求差的范围．⎩⎪⎨⎪⎧a <x 0，a >b ⇒1a <1b ；⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b⇒1a >1b.3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．1．a >b ⇒ac >bc 或a b ⇒1a <1b或a 1b，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n>b n对于正数a ，b 才成立． 4.ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．课时规范训练(时间：35分钟)1．已知a ＜b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a ＞1bB ．a 2＞b 2C ．2－a ＞2－bD ．2a＞2b解析：选C.a ＜0，b ＞0时，A 不成立，0＜a ＜b 时，B 不成立，由y ＝2x是增函数，知2a＜2b，故D 不成立，故选C.2．“a 2＋b 2ab≤－2”是“a ＞0且b ＜0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.a 2＋b 2ab ≤－2⇔a 2＋b 2ab ＋2＝a ＋b2ab≤0⇔ab ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b ＜0，故选A.3．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨b ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≤2解析：选C.不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c . 若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾， ∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故选C.4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B ．a c b cD ．a d －d >0.∵a >b >0，∴－ac >－bd ，∴－ac cd >－bd cd ，∴a d <bc.故选D.5．已知b >a >0，且a ＋b ＝1，则( )A ．2ab <a 4－b 4a －b <a ＋b2<bB ．2ab <a ＋b 2<a 4－b 4a －b <bC.a 4－b 4a －b <2ab <a ＋b2a >0，且a ＋b ＝1，∴2a <1＝a ＋b <2b ，∴1>b >12>a ，a 4－b 4a －b ＝(a ＋b )(a2＋b 2)＝a 2＋b 2>a ＋b22＝12＝a ＋b 2.又a ＋b 2>ab ，∴ab <14，即2ab <12＝a ＋b 2.a 4－b4a －b－b ＝(a ＋b )(a 2＋b 2)－b ＝a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －342－18<2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－18＝0，∴a 4－b 4a －b b >c >0，x ＝a 2＋b ＋c2，y ＝b 2＋c ＋a2，z ＝c 2＋a ＋b2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)解析：(方法一)y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x . 同理，z >y ，∴z >y >x .(方法二)令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .答案：z >y >x8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题 ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．解析：∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －adab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －db>0，即bc －adab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －adab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．答案：①②③9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c2>e b －d2.证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1a －c2<1b －d2.又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2.10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解：设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s v 1＋v 22v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝v 1＋v 224v 1v 2≥v 1v 224v 1v 2＝1.∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙． ∴乙先到教室．(时间：20分钟)11．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：选A.由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.12．已知0<a 1aB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b C ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析：选D.因为0<a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，(lg a )2>(lg b )2，lg a <lg b <0.由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b ，因此只有D 项正确．13．设表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ) A ．＝－ B ．＝2 C ．≤＋D ．≤－解析：选D.A 选项，取x ＝1.5，则＝＝－2，－＝－＝－1，显然≠－；B 选项，取x ＝1.5，则＝＝3,2＝2＝2，显然≠2；C 选项，取x ＝y ＝1.6，则＝＝3，＋＝＋＝2，显然>＋．排除A ，B ，C ，故选D.14．已知三个正数a ，b ，c 满足b <a ＋c ≤2b ，a 23，b a <32，∴23<a b <32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3215．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．§7.2 一元二次不等式1．“三个二次”的关系(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)不等式x －2x ＋1≤0的解集是．( ) (3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(5)不等式ax 2＋bx ＋c <0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×1．(2016·高考全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2<9}，则A ∩B ＝( ) A ．{－2，－1,0,1,2,3} B ．{－2，－1,0,1,2} C ．{1,2,3}D ．{1,2}解析：选D.先化简集合B ，再利用交集定义求解． ∵x 2<9，∴－3<x <3，∴B ＝{x |－3<x <3}．又A ＝{1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2,3}∩{x |－3<x <3}＝{1,2}，故选D.2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A.由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．3．不等式4x 2－mx ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意，应有Δ＝(－m )2－4×4×1≤0，即m 2－16≤0，解得－4≤m ≤4. 答案：4．某种产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是________．解析：要使生产者不亏本，则应满足25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故最低产量是150台．答案：150台5．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．解析：由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1.答案：(－1,1)类型一一元二次不等式的求解题点1 不含参的不等式求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集．解化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.题点2 含参不等式解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0 得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．解：若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．1．(1)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图像为( )解析：选B.由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图像开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94.(2)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0. 解：原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，方程(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根是2，1a .当0＜a ＜12时，2＜1a ，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ，当a ＝12时，不等式的解集是∅，当a ＞12时，1a ＜2，不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2； ②当a ＝0时，原不等式即为－(x －2)＜0，解得x ＞2，解集为{x |x ＞2}；③当a ＜0时，不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2.综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2. 类型二一元二次不等式恒成立问题题点1 在R 上恒成立(1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．D ．(－3,0)解析 2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解之得－3<k <0.答案 D(2)设a 为常数，任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解要使f (x )<－m ＋5在x ∈上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈上恒成立．则令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈．当m >0时，g (x )在上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 题点3 给定参数范围的恒成立问题对任意的k ∈，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3. 答案 {x |x <1或x >3}(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．(1)(2017·山东济宁模拟)已知函数f (x )＝1＋2x＋4xa 在(－∞，1]上有意义，则a 的取值范围是________．解析：函数f (x )在(－∞，1]上有意义，等价于1＋2x＋4x a ≥0在区间(－∞，1]上恒成立，即a ≥－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈(－∞，1]恒成立，记g (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈(－∞，1]，即等价于a ≥g (x )max ，因为g (x )在(－∞，1]上是增函数，因此g (x )的最大值为g (1)，所以a ≥g (x )max ＝g (1)＝－34，于是a 的取值范围为a ≥－34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ (2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 类型三一元二次不等式的应用某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．3．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C.设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)，依题意有，(x －8)>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应为12元到16元之间．转化与化归思想在不等式中的应用(十三)典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为 (1)9 (2){a |a >－3}(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．(2)注意函数f (x )的值域为1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2．f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图像在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．课时规范训练(时间：30分钟)1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6， x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.2．不等式1－x 2＋x ≥0的解集为( )A ．B ．(－2,1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞)解析：选B.1－x2＋x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋x ，2＋x ≠0⇒－2<x ≤1.3．已知一元二次不等式f (x )≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，则f (e x )>0的解集为( )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3}解析：选D.由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图像开口向下，故f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，又∵f (e x)>0，∴12<e x<3，解得－ln 2＜x ＜ln 3. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≥0，x 2－1，x <0，则满足不等式f (3－x 2)<f (2x )的x 的取值范围为( )A ．D ．解析：选D.由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，解得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3，则3<a ≤4；当a <1时，解得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a <－1，故a ∈．6．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2] B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪解析：选A.原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2,2]．7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式即(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a，∴a <x <1a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 8．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a <0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴－12＝－b a ，∴－12＝ca ，且a <0，∴b ＝12a ，c ＝－12a .∴不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a <0化为－12a (lg x )2＋b lg x ＋a <0，即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a <0.∴(lg x )2－lg x －2<0， ∴－1<lg x <2， ∴110<x <100. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪110<x <1009．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围是________．解析：∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1. ∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，23 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)，设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0B ．⎝⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52解析：选A.f (x )＝x (1＋a |x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x ，x ≥0，－ax 2＋x ，x <0，若不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上，函数y ＝f (x＋a )的图像应在函数y ＝f (x )的图像的下边．(1)当a ＝0时，显然不符合条件．(2)当a >0时，画出函数y ＝f (x )和y ＝f (x ＋a )的图像大致如图(1)．图(1)由图(1)可知，当a >0时，y ＝f (x ＋a )的图像在y ＝f (x )图像的上边，故a >0不符合条件．(3)当a <0时，画出函数y ＝f (x )和y ＝f (x ＋a )的图像大致如图(2)．图(2)由图可知，若f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12即可，则有－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a <－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12(a <0)，整理得a 2－a －1<0，解得1－52<a <1＋52.又∵a <0，∴a ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0.12．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋4，若存在实数t ，当x ∈时，f (x ＋a )≤4x 恒成立，则实数t 的最大值是( )A ．4B ．7C ．8D ．9解析：选D.1，t 是方程f (x ＋a )＝4x 的两个根，整理方程，得(x ＋a )2＋4(x ＋a )＋4＝4x ，即x 2＋2ax ＋a 2＋4a ＋4＝0. 根据根与系数之间的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋t ＝－2a ， ①1×t ＝a 2＋4a ＋4， ②由②，得t ＝a 2＋4a ＋4，代入①中，得1＋a 2＋4a ＋4＝－2a ，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或－5.当a ＝－1时，t ＝－2a －1＝1，而由x ∈，可知t >1，所以不满足题意；当a ＝－5时，t ＝－2a －1＝9.所以实数t 的最大值为9. 13．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A.不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.14．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．答案：{x |－7<x <3}15．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意， 200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是． (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．§7.3 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C.∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B ．1a ＋1b≤1C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8解析：选D.4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立．3．已知实数x ，y 满足x －x ＋1＝y ＋3－y ，则x ＋y 的最大值为________．解析：∵x －x ＋1＝y ＋3－y ，∴x ＋y ＝x ＋1＋y ＋3≤2x ＋y ＋42，则(x ＋y )2≤2(x ＋y ＋4)，解得－2≤x ＋y ≤4.∴x ＋y 的最大值为4.答案：44．(教材改编)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．解析：1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.答案：1165．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．解析：把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值． (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900.当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000.当且仅当v ＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．答案：(1)1 900 (2)100类型一利用基本不等式求最值题点1 配凑法求最值(1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．解析因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．。

2018高三大一轮复习数学(文)课时规范训练第七章不等式7-4Word版含答案

课时规范训练(时间：35分钟)1．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞解析：选D.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12解析：选C.画出可行域(图略)，根据可行域知，x 2＋y 2的最大值为(0,2)，(0，－3)，(3，－1)三点到原点距离的平方中的最大值．3．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.14 B ．15 C.16D ．17解析：选A.根据题意画出如图所示的可行域．平移直线l ：2x ＋y ＝0，当l 过点A (m ，m )时z 最小，过点B (1,1)时z 最大，由题意知，z max ＝4z min ，即3＝4×3m ，∴m ＝14.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y －1≥0，则S ＝y ＋1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．解析：选C.作出可行域为含边界的三角形区域(如图)，顶点分别是A (1,0)，B (0,1)，C (2,2)．S ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点与定点P (－1，－1)连线的斜率，则S min ＝k PA ＝12，S max ＝k PB ＝2，故选C.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析：选C.设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y .画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.6．若函数y ＝2x图像上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2解析：选B.在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图像及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x的图像上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1. 7．已知x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2解析：选B.先正确作出可行域，运用平移直线法确定出关于a ，b 的等式，再进一步求出a 2＋b 2的最小值．(方法一)线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.(方法二)画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B. 8．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选D.作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π.9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 答案：1510．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为________．解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x －4y －13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x －4y －13＝0的距离最近的点是(1,0)．又点(1,0)到直线3x －4y －13＝0的距离等于|3×1－4×0－13|5＝2，即点P 到直线 3x －4y －13＝0的距离的最小值为2.答案：2(时间：15分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－3解析：选C.作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f －，f，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2，故选C.12．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)．若点N (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，2x －y >0，y >0，则·ON →的最大值为( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3解析：选B.如图，点N 在图中阴影区域内，当O ，M ，N 共线，且|ON →|＝2时，OM →·ON →最大，此时N (2，2)，∴OM →·ON →＝(1,1)·(2，2)＝22，故选B.13．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：选C.由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界． ∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.答案：1015．若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是 ________. 解析：满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x－2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45处取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45处取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.答案：3。

2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测第七章不等式7-1Word版含答案

A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2016·安徽庐江六校第四次联考)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c【解析】 ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. ∵a ＞b ＞0，∴－ac ＞－bd ，∴－ac cd ＞－bd cd ，∴a d ＜b c.故选D. 【答案】 D2．(2016·江西南昌二中上学期模拟)设a ＝log 0.22，b ＝log 0.23，c ＝20.2，d ＝0.22，则这四个数的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c ＜dB ．d ＜c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜c ＜dD ．b ＜a ＜d ＜c【解析】由指数函数和对数函数的性质得log 0.23＜log 0.22＜0＜0.22＜1＜20.2，所以选D.【答案】 D3．(2016·内蒙古包头九中期中)若6＜a ＜10，a 2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．9≤c ≤18B ．15＜c ＜30C ．9≤c ≤30D ．9＜c ＜30 【解析】 ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a 2≤c ≤3a .∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30.故选D.【答案】 D4．(2016·西安八校联考)“x 1＞3且x 2＞3”是“x 1＋x 2＞6且x 1x 2＞9”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 x 1＞3，x 2＞3⇒x 1＋x 2＞6，x 1x 2＞9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.【答案】 A5．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( )A ．若a ＞b ，则|a |＞|b |B ．若a ＞b ，则1a ＜1bC ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2【解析】当a ＝1，b ＝－2时，A ，B ，C 均不正确；对于D ，a ＞|b |≥0，则a 2＞b 2.【答案】 D6．(2016·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( )A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若ac ＞bc ，则a ＞bC ．若a c 2＜b c 2，则a ＜bD ．若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d【解析】取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴B 错误；∵a c 2＜b c 2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．【答案】 C7．设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋（b ＋c ）2，y ＝b 2＋（c ＋a ）2，z ＝c 2＋（a ＋b ）2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“＞”连接)【解析】方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )＞0，∴y ＞x .同理，z ＞y ，∴z ＞y ＞x .方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z ＞y ＞x .【答案】 z ＞y ＞x8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －d b ＞0；②若ab ＞0，c a －d b ＞0，则bc －ad ＞0；③若bc －ad ＞0，c a －d b＞0，则ab ＞0.其中正确的命题是________．【解析】 ∵ab ＞0，bc －ad ＞0，∴c a －d b ＝bc －ad ab＞0，∴①正确； ∵ab ＞0，又c a －d b ＞0，即bc －ad ab ＞0， ∴bc －ad ＞0，∴②正确；∵bc －ad ＞0，又c a －d b ＞0，即bc －ad ab＞0， ∴ab ＞0，∴③正确．故①②③都正确．【答案】 ①②③9．设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．【解析】 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )＝－2xy (x －y )．∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0，∴－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？【解析】设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2， t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s （v 1＋v 2）2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝（v 1＋v 2）24v 1v 2≥（2v 1v 2）24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1＞v 2，∴t 甲＞t 乙．∴乙先到教室．B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．(2016·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，3)D ．(0，3)【解析】由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a ≤3，1＋b a ＞c a，1＋c a ＞b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a ≤3，－1＜c a －b a ＜1，两式相加得，0＜2×c a ＜4， ∴c a 的取值范围为(0，2)．【答案】 B12．(2016·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a ＞b ＞1”是“a ＋1a ＞b ＋1b”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝（a －b ）（ab －1）ab ，若a ＞b ＞1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝（a －b ）（ab －1）ab ＞0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a ＞b ＋1b 成立，但a ＞b ＞1不成立，所以必要性不成立．【答案】 A13．(2016·重庆一中调研)设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a ＞b 2 B.1a ＞1bC.1a ＜1bD ．a 2＞2b 【解析】对于A ，∵－1＜b ＜1，∴0≤b 2＜1，又∵a ＞1，∴a ＞b 2，故A 正确；对于B ，若a ＝2，b ＝12，此时满足a ＞1＞b ＞－1，但1a ＜1b ，故B 错误，对于C ，若a ＝2，b ＝－12，此时满足a ＞1＞b ＞－1，但1a ＞1b ，故C 错误；对于D ，若a ＝98，b ＝34，此时满足a ＞1＞b ＞－1，但a 2＜2b ，故D 错误．【答案】 A14．(2016·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( ) A ．mn ≥4且p ＋q ≤4 B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4【解析】结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m ＞n ，即n ≥m ≥2或m ＞n ≥2，所以mn≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p ＞q ，或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q ＜p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.【答案】 A15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．【解析】设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

高三数学一轮复习第七章《不等式》71不等式性质及解法精品练习.doc

第7章第1节一、选择题1．(文)(·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1且x ＝－2}D ．{x |x ≥1或x ＝－2}[答案] D[解析] 不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0，∴x ≥1或x ＝－2，故选D.(理)(·天津文，7)设集合A ＝{x |x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |≤2，或a ≥4}C ．{a |a ≤0，或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4} [答案] C[解析] |x －a |<1⇒a －1<x <a ＋1，又∵A ∩B ＝∅， ∴a ＋1≤1或a －1≥5，∴a ≤0或a ≥6.2．(·湖南株洲二中)已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表．f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若实数a 满足f (2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 [答案] D[解析] 由f ′(x )的图象知，f (x )在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f (2a ＋1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32<a <32.3．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2)<f (－1) C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定 [答案] A[分析] 比较函数值的大小，一般可考虑应用函数的单调性，故可先用导数研究f (x )的单调性，再在单调区间内比较大小．[解析] 由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73上的最大值，又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．4．(·河北唐山)若a 2＋b 2>1，则下列不等式成立的是( ) A ．|a |＋|b |>1 B ．|a ＋b |>1 C ．|ab |>1D ．|a |>1且|b |>1[答案] A[解析] 取a ＝0，b ＝2，排除C 、D ；取a ＝－1，b ＝1，排除B ，故选A.5．(·重庆南开中学)已知实数x 满足x 2＋x <0，则x 2，x ，－x 的大小关系是( ) A ．－x <x <x 2B ．x <－x <x 2C ．x 2<x <－xD ．x <x 2<－x[答案] D[解析] ∵x 2＋x <0，∴－1<x <0， ∴0<x 2<1,0<－x <1，又x 2－(－x )＝x 2＋x <0， ∴x 2<－x ，故x <x 2<－x .[点评] 可取特值检验，由x 2＋x <0得－1<x <0，取x ＝－13知，x <x 2<－x .6．(文)(·河南南阳市调研)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x >x 1－x的解集为( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |x <0或x >1}C ．{x |x >0}D ．{x |x <1}[答案] B[解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x >x 1－x，∴x 1－x <0，∴x (x －1)>0，∴x <0或x >1. (理)(·重庆市)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x 的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <12}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >12}[答案] B[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1x >2－1x ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1x >2－1x ，∴2－1x <0，∴0<x <12.[点评] a ≥0时，|a |＝a ；a <0时，|a |＝－a >a .由1x >2不要仅得出x <12，应注意1x>2隐含x >0.7．(·金华十校)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln 1xx >01x x <0，则f (x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，e )B ．(－∞，－1)∪(e ，＋∞)C ．(－1,0)∪(e ，＋∞)D ．(－1,0)∪(0，e ) [答案] A[解析] 不等式f (x )>－1化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >0ln 1x >－1或⎩⎪⎨⎪⎧x <01x>－1，∴1x >1e或x <－1，∴0<x <e 或x <－1.8．(文)(·山东肥城联考)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3[答案] A[解析] 由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，选A.(理)(·山东肥城联考)关于x 的不等式x 2－ax －<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1[答案] C[解析] 方程x 2－ax －＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0，故选C.9．(·浙江杭州质检)设函数f (x )＝ln(x －1)(2－x )的定义域是A ，函数g (x )＝ln(a x－2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 5[答案] B[解析] 由(x －1)(2－x )>0得：1<x <2，∴A ＝{x |1<x <2}；由a x －2x －1>0得a x －2x>1，∴a x>2x＋1，其解集为B ，∴A ⊆B ，∴a ≥3.[点评] 显然当0<a <1时，a x>2x＋1在(1,2)上不成立，∴a >1，在同一坐标系中作出y ＝a x 与y ＝2x ＋1的图象，要使A ⊆B ，须使y ＝a x 在(1,2)上的图象位于y ＝2x ＋1的上方，当a ＝1时，y ＝21＋1＝3，故a ≥3.10．(文)(·北京顺义一中月考)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x －3在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是( )A ．[1,4]B ．[2,4]C ．[3,4]D ．[2,3][答案] D[解析] 对任意x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|＝|x 2－3x ＋4－(2x －3)|＝|x 2－5x ＋7|＝|(x －52)2＋34|＝(x －52)2＋34≤1成立，∴(x －52)2≤14，∴2≤x ≤3，因此选D.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －xx，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－xx 1＋xx，若g [f (x )]≥a恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[0,1]D ．[－1,1][答案] B[解析] ①x ≥0时，f (x )＝－x ≤0， ∴g [f (x )]＝g (－x )＝1－(－x )＝1＋x ； ②当x <0时，f (x )＝x 2>0， ∴g [f (x )]＝g (x 2)＝1＋x 2；∴g [f (x )]min ＝g [f (0)]＝1，由g [f (x )]≥a 恒成立，得a ≤1. 二、填空题11．(文)(·芜湖十二中)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )是单调递增的，则不等式f (x ＋1)>f (1－2x )的解集是________．[答案] (－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] ∵f (x )在(－∞，0)上单调增，f (x )是偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调减， ∵f (x )为偶函数，∴不等式f (x ＋1)>f (1－2x )化为f (|x ＋1|)>f (|1－2x |) ∴|x ＋1|<|1－2x |，∴(x ＋1)2<(1－2x )2， ∴x <0或x >2.(理)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 0x，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．[答案] (－∞，1][解析] 原不等式化为①⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤2x ≥0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x <0它们的解集分别为[0,1]，(－∞，0)，取并集得原不等式的解集为(－∞，1]． 12．若命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题，则实数x 的取值范围是________．[答案] x <－1或x >23[分析] 本题解题时要注意，“∃a ∈[1,3]，使……为真命题”与“∀a ∈[1,3]，使……为真命题”含义的不同．然后进行等价转化．[解析] 令m (a )＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x )a －2x －2，m (a )是关于a 的一次函数， ∵命题“∃a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”为真命题，∴m (1)>0或m (3)>0，即x 2－x －2>0 ①或3x 2＋x －2>0 ②，由①得x <－1或x >2；由②得x <－1或x >23.所以，所求实数x 的取值范围是x <－1或x >23.13．(·湖北黄冈)若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc |，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x <0的解集为________．[答案] (0,1)∪(1,2) [解析] 据题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x ＝|x －1|， ∴不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪111x<0化为log 2|x －1|<0， ∴0<|x －1|<1，∴1<x <2或0<x <1.14．(·上海奉贤区调研)不等式|x |≥a (x ＋1)对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,0][解析] 如图，当直线l 逆时针旋转到与x 轴重合时，直线l 总在y ＝|x |的图象的下方，∴－1≤a ≤0.三、解答题15．(文)已知关于x 的不等式：a ＋x －3x －1<1.(1)当a ＝1时，解该不等式； (2)当a >0时，解该不等式．[解析] (1)当a ＝1时，不等式化为2x －3x －1<1，化为x －2x －1<0，∴1<x <2，解集为{x |1<x <2}．(2)a >0时，a ＋x －3x －1<1⇔ax －2x －1<0⇔(ax －2)(x －1)<0，方程(ax －2)(x －1)＝0的两根x 1＝2a，x 2＝1.①当2a ＝1即a ＝2时，解集为∅②当2a >1即0<a <2时，解集为{x |1<x <2a}．③当2a<1即a >2时，解集为{x |2a<x <1}．(理)(·山师大附中模考)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对一切实数x 都成立．求实数a 的取值范围．[解析] 由已知：(x －a )⊗(x ＋a )<1， ∴(x －a )(1－x －a )<1，即a 2－a －1<x 2－x .令t ＝x 2－x ，只需a 2－a －1<t min .t ＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－14，∵x ∈R ，∴t ≥－14.∴a 2－a －1<－14，即4a 2－4a －3<0，解得：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 16．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －x10.2 x，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －x ，8.2－x x(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7，∴1<x ≤5.当x >5时，解不等式8.2－x >0，得 x <8.2， ∴5<x <8.2综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于8范围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．17．已知函数f (x )＝12x 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e (x ∈R )在x ＝0和x ＝1处取得极值．(1)求d 的值及b ，c 的关系式(用c 表示b )，并指出c 的取值范围； (2)若函数f (x )在x ＝0处取得极大值． ①判断c 的取值范围；②若此时函数f (x )在x ＝1时取得最小值，求c 的取值范围． [解析] (1)∵f ′(x )＝2x 3＋3bx 2＋2cx ＋d ，又∵f ′(0)＝f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝02＋3b ＋2c ＋d ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0b ＝－2c ＋23.∵f ′(x )＝2x 3－2(c ＋1)x 2＋2cx ，即f ′(x )＝2x (x －1)(x －c )， ∵f (x )在x ＝0和x ＝1处取得极值． ∴c ≠0且c ≠1，即c 的取值范围是{c ∈R |c ≠0且c ≠1}． (2)①∵f ′(x )＝2x (x －1)(x －c )，∴若c <0.当x ∈(c,0)时f ′(x )>0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )在x ＝0处取得极大值；若0<c <1，当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，当x ∈(0，c )时f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值；若c >1，当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，当x ∈(0,1)时f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值．综上，若f (x )在x ＝0处取得极大值，则c 的范围为(－∞，0)．②若c <0，当x ∈(－∞，c )时f ′(x )<0，x ∈(c,0)时f ′(x )>0，x ∈(0,1)时f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时f ′(x )>0，∴函数f (x )只能在x ＝c 或x ＝1处取得最小值．要使f (x )在x＝1处取得最小值，只要使得f(c)≥f(1)．∴12c4－c＋c33＋c3＋e≥12－2c＋23＋c＋e.∴c4－2c3＋2c－1≤0，即(c－1)3(c＋1)≤0.∵c<0，∴－1≤c<0，即c的取值范围是[－1,0)．。

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