2019届高考数学专题一函数的图象与性质精准培优专练(理科)
2019高考数学《函数的图像》题型专题汇编
2019高考数学《函数的图像》题型专题汇编题型一 作函数的图象1、分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|； (2)y ＝2x ＋1－1； (3)y ＝x 2－|x |－2； (4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．题型二 函数图象的辨识1、函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案 D解析 从题设解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D.2、设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |) 答案 C解析 题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C. 3、函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在同一直角坐标系下的图象大致是( )答案 B解析 因为函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B. 4、函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1·sin x 的图象的大致形状为( )答案 A解析 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·sin(－x ) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x )，且f (x )的定义域为R ， ∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ；当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin 2<0，故排除B ， 只有A 符合．5、若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x 的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2解析：选B.令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a ＞1，又当x ＞－ba 时，f (x )＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.6、如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分)，若函数y ＝f (t )的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是( )解析：选C.由y ＝f (t )的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C ，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.7、函数f (x )＝|x |＋ax2(其中a ∈R )的图象不可能是( )解析：选C.当a ＝0时，函数f (x )＝|x |＋ax 2＝|x |，函数的图象可以是B ；当a ＝1时，函数f (x )＝|x |＋a x 2＝|x |＋1x2，函数的图象可以是A ；当a ＝－1时，函数f (x )＝|x |＋a x 2 ＝|x |－1x 2，x >0时，|x |－1x 2＝0只有一个实数根x ＝1，函数的图象可以是D ；所以函数的图象不可能是C.故选C.8、已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )解析：选D.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.9、如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22<1＋5， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2<f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B.10、已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1 D ．f (x )＝x －1x答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.11、函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e >32，排除C 选项．故选B.12、已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 D解析 方法一 先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法二 先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 方法三 当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D.题型三 函数图象的应用命题点1 研究函数的性质1、已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 C解析 将函数f (x )＝x |x |－2x ，去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．2、已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________. 答案 9解析 作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2， ∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm＝9.3、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于___解析：由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.答案：－14、已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值答案 C解析 画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．5、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是____________． 答案 (3，＋∞)解析 在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.6、不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为________．答案 2解析 不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －12log x <0，即3sin ⎝⎛⎭⎫π2x <12log x .设f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，g (x )＝12log x ，在同一坐标系中分别作出函数f (x )与g (x )的图象，由图象可知，当x 为整数3或7时，有f (x )<g (x )，所以不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为2.7、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是__________． 答案 (2,2 021)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 020，所以2<a ＋b ＋c <2 021.8、已知点A (1，0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为________．解析：设B (x 0，ln x 0)，x 0＞0，线段AB 的中点为C ，则C ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋12，ln x 02，又点C 在曲线M 上，故ln x 02＝2x 0＋1，即ln x 0＝4x 0＋1.此方程根的个数可以看作函数y ＝ln x 与y ＝4x ＋1的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点． 答案：19、已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x . (1)求当x ＜0时，f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间； (3)求f (x )在[－2，5]上的最小值，最大值．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，因为x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .所以f (－x )＝(－x )2－2·(－x )＝x 2＋2x .因为y ＝f (x )是R 上的偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝x 2＋2x . (2)函数f (x )的图象如图所示：由图可得：函数f (x )的单调递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1)． (3)由(2)中函数图象可得：在[－2，5]上，当x ＝±1时，取最小值－1，当x ＝5时，取最大值15. 10、已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4，f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2，4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)． 命题点2 解不等式1、 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2 解析 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝cos x >0.当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1， 所以f (x )cos x<0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. 2、定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf (x )＞0的解集为________． 解析：因为函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减，因为当x ＜0，若－12＜x ＜0时，f (x )＜0，此时xf (x )＞0，当x ＞0，若0＜x ＜12时，f (x )＞0，此时xf (x )＞0，综上xf (x )＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 命题点3 求参数的取值范围1、已知函数()12log ,020x x x f x x >⎧⎪⎨⎪≤⎩，＝，，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1]解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．2、已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.3、设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [－1，＋∞)解析 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．4、给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4，5)． 答案：(4，5)5、直线y ＝k (x ＋3)＋5(k ≠0)与曲线y ＝5x ＋17x ＋3的两个交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝________．解析：因为y ＝5x ＋17x ＋3＝2x ＋3＋5，其图象关于点(－3，5)对称．又直线y ＝k (x ＋3)＋5过点(－3，5)，如图所示．所以A ，B 关于点(－3，5)对称，所以x 1＋x 2＝2×(－3)＝－6，y 1＋y 2＝2×5＝10. 所以x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝4.答案：46、函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )(x ≠0)，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，即y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x2.因为g (x )在(0，2]上为减函数，所以1－a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3， 故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．《函数的图像》课后作业1、y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C.故选D.2、如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )答案 C解析 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.3、已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为( )答案 A解析 方法一 先作出函数f (x )＝log a x (0<a <1)的图象，当x >0时，y ＝f (|x |＋1)＝f (x ＋1)，其图象由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f (|x |＋1)为偶函数，所以再将函数y ＝f (x ＋1)(x >0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x <0时的图象，故选A. 方法二 因为|x |＋1≥1,0<a <1， 所以f (|x |＋1)＝log a (|x |＋1)≤0，故选A.4、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1 的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2答案 C解析 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5、函数f (x )的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e－x ＋1D ．f (x )＝e－x －1答案 D解析与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到． ∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.6、已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(0,1) D ．(－∞，＋∞)答案 A解析 当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．7、设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________． 答案 {x |x ≤0或1<x ≤2}解析 画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎨⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎨⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}． 8、设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝________.答案 －2解析 由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.9、已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点， 故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.10、给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为__________． 答案 (4,5)解析 作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11、数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是_____答案 [1，3]解析 先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1， 由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.12已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0 答案 D解析 函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数， 又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.13、函数f (x )＝x|x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1＋52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x －1，x >1，－1＋11－x ，x <1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ≥0，1，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x ＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x ＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞. 14、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，则实数k 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，16解析 由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )，x ∈[0,6]的图象如图所示，由图知k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，16.15、已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解； 当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．16、数()2131log 1,x x x f x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩－＋，，＝，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数k 的取值范围．解 对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )＝2131log 1,x x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩－＋，，，的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74∪⎣⎡⎭⎫94，＋∞.。
【高考专题】最新2019年高考数学 函数图象 专题复习(含答案)文理通用版
2019年高考数学函数图象 文理通用一．选择题（共40小题）1．函数4()|41|x x f x =-的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．2．已知22(2)(2sin 1)(4)f x x ln x =-，则数()f x 的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ． 3．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，()[]f x x x =-，若()f x 的图象上恰好存在一个点与2()(1)(20)g x x a x =+--剟的图象上某点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．1(1,)4--C ．1(0,1)(1,)4--D ．1(0,1](1,]4--⋃ 4．函数sin31cos x y x=+，(,)x ππ∈-图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．5．函数()cos sin f x x x x =-，[x π∈-，]π的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．6．函数1(1)y ln x x =-+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．7．函数(1)cos ()1x x e x f x e -=+的部分图象大致为( ) A ． B ．C ． D ．8．函数1()(1)x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．9．函数2()(1)f x ln x x =+-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．函数2()sin cos f x x x =+的部分图象符合的是( )A ．B ．C ．D ．11．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则()f x 可能是下列函数中的哪个函数？( )A ．1()1f x x =+B ．11()x x f x e e --=-C ．2()f x x x=+ D ．2()log (1)1f x x =++ 12．函数sin y x x π=-的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．13．如图，在直角坐标系xOy 中，边长为1的正方形OMNP 的两个顶点在坐标轴上，点A ，B 分别在线段MN ，NP 上运动．设PB MA x ==，函数()f x OA BA =，()g x OA OB =，则()f x 与()g x 的图象为( )A ．B ．C ．D ．14．函数2()sin f x x x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ． 15．函数2(1)21ln x y x x +=-+的部分图象大致是( ) A ． B ． C ． D ．16．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T ．若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．17．函数3()cos f x x x x =-的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．18．已知函数2|1()|23x f x x e x -=--+，则()f x 的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．19．函数()f x =( ) A ．B ．C ．D ． 20．函数1(1)y x ln x =-+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．21．函数2()(41)x f x x x e =-+的大致图象是( )A ．BC ．D ．22．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．||()cos x f x e x =B ．()||cos f x ln x x =C ．||()cos x f x e x =+D ．()||cos f x ln x x =+23．函数1()sin 1x f x x ln x -=+的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．24．函数3()||y x x ln x =-的图象是( )A ．B ．C ．D ．25．函数||sin 2()2x x f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．26．函数2()()x f x x tx e =+（实数t 为常数，且0)t <的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．27．函数2()(2)||f x x ln x =-的图象为( )A ．B ．C ．D ．28．函数()1ln xf x x =+，的图象大致是( ) A ． B ．C ． D ．29．函数()cos sin f x x x x =-在[3x π∈-，3]π的大致图象为( )A ．B ．C ．D ． 30．函数233()sin ()22f x x x x ππ=-剟的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．31．函数2||8x y ln x =-的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．32．反映函数2()||f x x x -=-基本性质的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．33．函数433()x xf x x --=的大致图象为( ) A ． B ． C ． D ．34．函数2()22x x f x x -=--的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．35．函数()|1||1|f x ln x ln x =+--的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．36．函数11x y lnx -=+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ．37．设函数2()1xx xe f x e =+的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ． 38．函数()||cos f x x x =的部分图象为( )A．B．C．D．39．函数()sin2cosf x x x x=+的大致图象有可能是() A．B．C．D．40．函数1()()cosf x x xx=+在[3-，0)(0⋃，3]的图象大致为()A．B．C．D．参考答案一．选择题（共40小题）【解答】解：4()()()|41|x x f x f x f x --=≠≠--， 故()f x 为非奇非偶函数，故排除A ，B ．当x →+∞时，()0f x →，当x →-∞时，()f x →+∞，故排除C ，故选：D ．【解答】解：2(2)cos2(2)f x xln x =-，令2x t =，则2()cos f t t lnt =-，(0)t ≠2()cos f x xlnx ∴=-，(0)x ≠．cos y x =为偶函数，2y lnt =为偶函数，2()cos f x xlnx ∴=-，(0)x ≠．为偶函数．排除B ，C ．当(0,1)x ∈时，cos 0x -<，20lnx <．所以当(0,1)x ∈时，()0f x >，排除A ．故选：D ．【解答】解：设()h x 与()g x 关于y 轴对称，则2()()(1)h x g x x a =-=--，(02)x 剟．()f x 的图象上恰好存在一个点与2()(1)(20)g x x a x =+--剟的图象上某点关于y 轴对称，可以等价为()f x 与()h x 在[0，2]上有一个交点，①当0a <时，()f x 与()h x 图象如图：当()h x 与()f x 在[1，2]的部分相切时，联立()h x 与()f x 在[1，2]的部分2(1)1y x a y x ⎧=--⎨=-⎩， 得2320x x a -+-=，由△0=得，14a =-， 当1a -…时，()h x 始终在1y =上方，与()f x 无交点．故此时1(1,)4a ∈--． ②0a =时，有两个交点，不成立．③当0a >时，()f x 与()h x 图象如图：要使()f x 与()h x 在[0，2]上有一个交点，需满足：(0)0(2)(0)1h h h ⎧⎨=⎩……，即(0a ∈，1]． 综上，1(0,1](1,]4--⋃． 故选：D ．【解答】解：函数sin31cos x y x =+满足sin3()()1cos x f x f x x--==-+，函数为奇函数，排除A ， 由于3sin2()121cos 2f πππ==-+，sin ()031cos 3f πππ==+，2sin 2()0231cos 3f πππ==+ 故排除B ，C故选：D ．【解答】解：()cos sin (cos sin )()f x x x x x x x f x -=-+=--=-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C()cos sin 102222f ππππ=-=-<，排除B ， 故选：D ．【解答】解：由于函数1(1)y ln x x=-+在(1,0)-，(0,)+∞单调递减，故排除B ，D ， 当1x =时，120y ln =->，故排除C ，故选：A ．【解答】解：(1)cos()(1)cos ()()11x x x x e x e x f x f x e e ------==-=-++， ∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，D ，当x →+∞时，()0f x →，故排除C ，故选：A ．【解答】解：当0x >时，1x e >，则()0f x <；当0x <时，1x e <，则()0f x <，所以()f x 的图象恒在x 轴下方，排除B ，C ，D ， 故选：A ．【解答】解：代0x =，知函数过原点，故排除D ．代入1x =，得0y <，排除C ．带入0.0000000001x =-，0y <，排除A ．故选：B ．【解答】解：函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，(0)sin0cos01f =+=排除C ，22()sin cos sin 02424f ππππ=+=>，排除A ，D ， 故选：B ．【解答】解：A ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度得到12y x =+，图象关于原点不对称，不是奇函数，不满足条件． B ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到x x y e e -=-，则此时函数为奇函数，满足条件． C ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到211y x x =+++，(0)1230f =+=≠，则函数不是奇函数，D ．将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到2log (2)1y x =++，定义域关于原点不对称，不是奇函数，故选：B ．【解答】解：()sin (sin )()f x x x x x f x ππ-=-+=--=-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，C ，当x →+∞，()f x →+∞，排除A ，故选：D ．【解答】解：由已知可得(1,)A x ，(,1)B x ，[0x ∈，1]，则(1,1)BA x x =--，(1,)OA x =，(,1)OB x =，所以2()1(1)(1)f x OA BA x x x x ==-+-=-，()2g x OA OB x ==，故选：A ．【解答】解：函数2()sin f x x x x =+是偶函数，关于y 轴对称，故排除B ， 令()sin g x x x =+，()1cos 0g x x ∴'=+…恒成立，()g x ∴在R 上单调递增，(0)0g =，()()0f x xg x ∴=…，故排除D ，当0x >时，()()f x xg x =单调递增，故当0x <时，()()f x xg x =单调递减，故排除C ． 故选：A ．【解答】解：当2x =时，f （2）330441ln ln ==>-+，故排除C ， 当12x =时，3132()401224lnf ln ==>，故排除D ， 当x →+∞时，()0f x →，故排除B ，故选：A ．【解答】解：函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快， 故对应的图象为B ，【解答】解：函数33()cos()()cos ()f x x x x x x x f x -=----=-+=-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，33()cos ()()022222f πππππ=-=-<，排除B ， 故选：A ．【解答】解：由题意知2|12|1()|2323|x x f x x e x x x e --=--+=-+-，223y x x =-+对称轴为1x =，|1|x y e -=对称轴为1x =，所以知()f x 的对称轴为1x =，排除B ，D ． 代特殊值3x =得0y <，排除C ，选A ．故选：A ．【解答】解：1(0)02ln f ==，排除C ，Df （1）11)0ln e e -=<+，排除B 故选：A ．【解答】解：f （1）1012ln =>-，排除C ，D ， 由10(1)y x ln x ==-+，则方程无解，即函数没有零点，排除B ， 故选：A ．【解答】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ； 当2x =时，f （2）230e =-<，故可排除D ．故选：A ．【解答】解：由图可知()02f π>，故可排除A ，B ； 对于||:()cos x C f x e x =+，当(0,1)x ∈时()0f x >，故可排除C ．故选：D ．【解答】解：111()sin sin sin ()111x x x f x x lnx ln x ln f x x x x --+--=-=-==-+-+，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，C ，f （3）1sin302ln =<，排除B ，【解答】解：3()()||()f x x x ln x f x -=--=-，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 函数的定义域为{|0}x x ≠，由()0f x =，得3()||0x x ln x -=，即2(1)||0x ln x -=，即1x =±，即函数()f x 有两个零点，排除D ， f （2）620ln =>，排除A ，故选：C ．【解答】解：||||sin(2)sin 2()()22x x x x f x f x ----===-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ， ||44sin(2)14()0422f ππππ⨯==>，排除C ， 故选：D ．【解答】解：由()0f x =得20x tx +=，得0x =或x t =-，即函数()f x 有两个零点，排除A ，C ， 函数的导数22()(2)())[(2)]x x x f x x t e x tx e x t x t e '=+++==+++，当x →-∞时，()0f x '>，即在x 轴最左侧，函数()f x 为增函数，排除D ， 故选：B ．【解答】解：22()(2)||(2)||()f x x ln x x ln x f x -=--=-=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ，当x →+∞时，()f x →+∞，排除C ，故选：B ．【解答】解：||||()()1||1||ln x ln x f x f x x x --===+-+，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，D f （1）0=，则f （e ）1011lne e e ==>++，排除A ， 故选：C ．【解答】解：()cos sin (cos sin )()f x x x x x x x f x -=-+=--=-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D()cos sin 0f πππππ=-=-<，排除C ，故选：A ．【解答】解：因为233,()sin ()22x f x x x f x ππ--=-=-剟，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C ， 又因为()333222x f x f πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭时剟?，排除B 故选：D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠， 则22()()||||()88x x f x ln x ln x f x --=--=-=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ， 当x →+∞时，y →+∞，排除A ，2222()2088e e f e lne =-=-<， ∴函数在0x >时，存在负值，排除C ，故选：D ．【解答】解：函数22()||()||()f x x x x x f x ---=---=-=，则()f x 是偶函数，排除C 且在(0,)+∞上是增函数，排除B 、D ，故选：A ．【解答】解：443333()()x x x xf x f x x x -----==-=-，则()f x 是奇函数，则图象关于原点对称，排除A ， f （1）183033=-=>，排除D ， 当x →+∞，3x →+∞，则()f x →+∞，排除C ，故选：B ．【解答】解：2()22()x x f x x f x --=--=，则()f x 是偶函数，排除C ，f （3）1798088=--=>，排除A ， f （5）112532703232=--=--<，排除D ， 故选：B ．【解答】解：()|1||1|(|1||1|)()f x ln x ln x ln x ln x f x -=--+=-+--=-，即()f x 是奇函数， 图象关于原点对称，排除A ，C ，f （2）3130ln ln ln =-=>，排除B ，故选：D ．【解答】解：当x →+∞时，y →+∞，排除D ，由0y =得101x lnx -=+，得10x -=，即1x =， 即函数只有一个零点，排除A ，B ，故选：C ．【解答】解：f （1）201e e =>+，排除D ，122(1)011e ef e e ----==-<++，排除B ，C 故选：A ．【解答】解：()||cos()||cos ()f x x x x x f x -=--==，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，B ，1()cos 33362f ππππ==>，故排除D ， 故选：C ．【解答】解：()sin(2)cos()sin2cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，则函数()f x 是偶函数，排除D ， 由()2sin cos cos 0f x x x x x =+=，得cos (2sin 1)0x x x +=， 得cos 0x =，此时2x π=或32π， 由2sin 10x x +=得1sin 2x x =-， 作出函数sin y x =和12y x=-，在(0,2)π内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点， 综上()f x 在(0,2)π有四个零点，排除B ，C ，故选：A ．【解答】解：11()()cos()()cos ()f x x x x x f x x x-=---=-+=-，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，f （1）2cos10=>，排除C ，故选：A ．。
2019届高考数学专题一函数的图象与性质精准培优专练理
培优点一函数的图象与性质
.单调性的判断
例１：（）函数的单调递增区间是（）
．．．．
（）的单调递增区间为．
【答案】（）；（），
【解析】（）因为，在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为．
（）由题意知，当时，；当时，
，二次函数的图象如图．
由图象可知，函数在，上是增函数．
．利用单调性求最值
例：函数的最小值为．
【答案】
【解析】易知函数在上为增函数，∴时，．
．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式
例：（）已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，当时，
恒成立，设，，，则，，的大小关系为
（）
．．．．
（）定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的集合为．
【答案】（）；（）
【解析】（）根据已知可得函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，
因为，且，所以．
（）由题意知，，由得或
解得或．
４．奇偶性
例４：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（）
．．．．
【答案】
【解析】因为是偶函数，所以其图象关于轴对称，又在上单调递增，
，所以，所以．
５．轴对称
例５：已知定义域为的函数在上只有和两个零点，且与
都是偶函数，则函数在上的零点个数为（）
．．．．
【答案】
【解析】，为偶函数，，
关于。
2019年高考数学(理科_重点生)高考专题辅导专题跟踪检测(六)三角函数的图象与性质
专题跟踪检测（六） 三角函数的图象与性质、全练保分考法一一保大分1. （2019届高三 广州调研）将函数y = 2sin x + 3 sin 6— x 的图象向左平移0（卩0）个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则0的最小值为（ ）该函数的图象向左平移0个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g （x ）=sin 2（x + 0片 2n - sin|2x + 2 0+ 気，,因为 g （x ）= sinjx + 2 0+ 手」为奇函数，所以 2 0+ 2^ =k nn r r r r t=t t t nk n k^z ）, 0= y -3（k^z ）,又 0>o ,故 0的最小值为 6-n n I 1 i2.函数y = cosx — cos 2x , x € — ?, ?〔的图象大致为（）解析：选 B 因为函数 y = cosx — cos 2x =— 2cos^x + cosx + 1, x €— ~［，所以此函 数为偶函数，故排除 A ;y =— 2cos^x + cosx + 1 = — 2 ［cosx — * + 9 ,x € —寸,寸］，因为 0 < cos1 9x < 1，所以当 cos x -4时，y max = §，当 cos x - 1 时，y min = 0,故排除 C ; y ' -4sin xcos x—0, 得 sin x = 0或 cosx -~, 而 cosx —1在4 4两解；sin x = 0在—2, 2上有一解，经验证，这些解均为极值点，所以y = cos x — cos 2x解析：选A 由y = 2sin x +扌x + 3(—sin x — sin x(4cos x — 1)，令 yn ，n 上有冗os x + 3 = sinD在—2, 2上有三个极值点，排除 D.故选B.2 23. (2018 全国卷 I )已知函数 f(x)= 2cosx — sin x + 2,贝U ( )A . f(x)的最小正周期为 n 最大值为3B . f(x)的最小正周期为 n 最大值为44. (2018唐山模拟)把函数y = sin^x — f 的图象向左平移f 个单位长度后，所得函数图 象的一条对称轴的方程为()nA . x = 0B . x =nnC . x = 6D . X =— 12解析：选C 将函数y = sin 2x — n 的图象向左平移;个单位长度后得到y = sin 2 x + 6 — 6 = sin2x + f 的图象，令2x +才专十k n k 題)，得x =骨+号化題),令k = 0,得 x =6.2 34cosx — 2与h(x)= 的交点的横坐标. 3x — n21 込V3 3 t- ( n x '+ 4cos x — 2= — Q C OS 2X + ? sin 2x + 2cos 2x = ? sin 2x + qcos 2x = 3sin 2x + 3 , h(x)=1解析： 丄 2 2 1 — cos 2x 3 5 选 B .f(x) — 2co$x — sin x + 2= 1+ cos 2x — ? + 2= qCos 2x + ?, - -f(x)D . f(x)的最小正周期为2 n 最大值为4最小正周期为n ,最大值为4.故选B.C . f(x)的最小正周期为2 n 最大值为3x €解析：选B 函数f(x) = cos2x —育 + 4cosx — 2— -3- 卷,詈所有零点之和为19 n12 的零点可转£ 0对称.作出函数g(x), h(x)的图象5 .函数 f(x) = cos 2x —4cos 2x — 2 — 3~ 3x — n 化为函数 g(x)= cos 2x — g(x) = 2n 3—,可得函数g(x) , h(x)的图象都关于点3x— n x nx— 3如图所示.n ，0对称.所以所有零点之和为 2Xn + 24n6. (2018全国卷n )若f(x) = cosx -sin x 在［0 , a ］是减函数，则 a 的最大值是()n A.;3 n CO解析：选 C 法一：：f(x)= cosx — sin x =— 2sinn 3 n ,4，匚时，的单调减区间,3 n 口r 3 n ,,, •'a W —，即 a max =玄.故选 C.法二：f ' (x)=— sin x — cosx=— 2sin 〉r一 r% % 当 x €0 , a ］时，X +4,所以a +:三罵即a < ¥， 故所求a 的最大值是予故选C.结合图，函数 g(x), h(x)的图象有 4个交点，且关于点n B.nn n rr,2，?，即 x €y = sin x —才单调递增，f(x)=-2sin x - n 单调递减,n ,号5是f(x)在原点附近结合条件得［0，a ］? n 3n "j r，曰 由题设得f ' (x)W 0,即sin x + 疋，na +n ，11 n 12，0在区间［0，a ］上恒成立.解析：法一:n= sin a,为第三象限角，,则 cos1 7. (2018惠州调研)已知tan a= ?为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 y = g(x)的图象，求y = g(x)在 -，一 ， 2 联立得5sin a= 1，故sin a.2 . _ 2 ,—1)为a 终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin a=—严.5答案：-半5 8.(2018福州模拟)将函数y = 2sin x + cosx 的图象向右平移 $个单位长度，得到函数y=2sin x — cosx 的图象，贝U sin $的值为 ___________ .解析：因为 y = 2sin x + cosx = 5sin(x + 0, y = 2sin x — cosx = 5sin(x — 0),其中 cos 0 2 • A 1 =.5, sin 0= 5，4 由题意可知 $= 2 0,所以 sin $=sin 2 0= 2sin 0cos 0=~. 5答案：459. (2019届高三 福州四校联考)函数f(x)= sin ®x (3>0)的图象向右平移 ㊁个单位长度得 到函数y =g(x)的图象，并且函数g(x)在区间6，，n 上单调递增，在区间n ，n 上单调递减， 则实数3的值为 __________ .n解析：因为将函数f(x) = sin wxX 3>0)的图象向右平移12个单位长度得到函数 y = g(x)的图象，所以g(x)=sin 3 [x —n ,又函数g(x)在区间n ，n 上单调递增，在区间n ，n 上单0< 3三 6，答案：2(1)求函数f(x)的最小正周期；sin 2 a+ COS 2 a= 1,3nn，Ta 为第三象限角，由tan a= ?,可知点(一 2,3= 8k + 2 k 題，所以3= 2.法二：COS助詈=1且牛；，所以]10.已知函数f(x) = sin 2sin xcosx.⑵先将函数y= f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长=2sin 2x + -^cos 2c + 〒cos 2x — 2sin 2x + sin 2x =sin 2x +』3cos 2x =2sin 2x + n,所以函数f(x)的最小正周期T = 2n= n.(2)由⑴知f(x) = 2sin 2x + 3，先将函数y = f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数 y = 2sin 2x + f 的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得1 n令t = ^x + 6，则函数y = g(x)可转化为y = 2sin t. 因为和x < 2n,所以fw t < 7n，3 3 6所以当t =2，即卩x =争寸，y max = g = 2 ；7 n当 t = ，即 x = 2n 时，y min = g(2 n 手一 1.6 所以函数y = g(x)在3，2n 上的值域为[—1,2]. 11.已知函数 f(x)= sin n — x sin x — 3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； ⑵讨论心)在n ，竽上的单调性. 解：(1)f(x)= sin T — x sin x — ,3cosx=cosxsin x — ~(1 + cos 2x) 1 J3 _3 =2Sin 2x — 2 cos 2x — 2 解：(1)f(x)= sin 2x +到函数g(x)= 2sin=sin2 — ^3因此f(x)的最小正周期为 n,最大值为 一2—从而当O w 2x — 3w 2,52时，f(x)单调递增,5 n 2 n当 2 w 2x — 3W n,即 12 w x w -3 时，f(x)单调递减.12.已知函数 f(x) = 4sin x —扌 cosx + 3. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;两个不同的零点 X t , x 2，求实数m 的取值范围,并计算tan(x i + X 2)的值.=4 ^sin x — "^cosx cosx + , 3 =2sin xcosx — 2 3coS 2x + 3 =sin 2x — 3cos 2x =2sin 2x — n.所以f(x)的最小正周期 T = n . 冗 冗 冗由 2k n — w 2x — 3w 2k n+ ?(k 題), 得 k —表 wx w k n+ 12(k 題).所以函数f(x)的单调递增区间为 5kL i2，k n+12 (k .(2)方程 g(x)= 0 等价于 f(x)= m ,冗,0w 2x — 3 w n5n 12,解：(1)f(x)= 4sinx — ncosx + J 3t%(2)当 x €单调递增，在%综上可知，f(x)在6, 单调递减.(2)若函数 g(x) = f(x)— m 在 0,的图象，如图所示，由图象在平面直角坐标系中画出函数f(x)= 2sin、强化压轴考法——拉开分 n 2. (2018郑州质检)若将函数f(x)= 3sin(2x +妨(0＜拆n)图象向左平移3个单位长度, 得到g(x)的图象，若函数 g(x)是奇函数，则函数 g(x)的单调递增区间为( ) A. k n — n k 冗+* € Z)解析：选B 由题意知g(x) = 3sin 2 x + f 0 = 3sin 2x + 2^n + 0 ,因为 g(x)是奇函数,2 n 2 n n所以 ~ + $= k n k ^Z)，即 0=— ~ + k n k 題)，又 0< 护 n,所以 $= 3，所以 g(x) = 3sin(2x + 3 3 3n 3 n n 3 nn = — 3sin 2x ,由 2 + 2k n< 2x < 2 + 2k n k 題)，解得 k n+ 4 < x < k n+ 4(k 題)，所以函数 g(x)B. k n+ ^，k n+ 于 k € Z) 2 n . n C. k n-3, k n — 6 k € Z) n . , D. k n ——i2， k n + € Z) 可知, 当且仅当 mq ・3, 2)时，方程f(x) = m 有两个不同的解 x i , 5 n 且 X i + X 2= 2X 12 = 故 tan(x i + X 2)= tan 5 n n =—tan =— 6 6 1. (2019届高三 武汉调研)将函数y = sin 2x 的图象上的点 P 7 t 按向量 a = (m,0)(m>0) 平移后得到点 P '.若点P '在函数 y = singx —审的图象上，贝U ( A . t = £ m 的最小值为n 2 6 B . t = 2，m C . t = 3, m 的最小值为n 2 6 D . tn -^，m 的最小值为 解析：选C 由题可得P ' m , t , 又P '在y = sin 2x —的图象上，所以 t = 函数y = sin 2x 的图象上，所以t^^3, 此时m 的最小值为 n ，故选C .即 t = sin 2m(m>0),因为3.已知函数f(x) = 1+ 2cos xcos(x + 3 0是偶函数，其中 能0 , 2，则下列关于函数 g(x)=cos(2x -妨的正确描述是( ) 是减函数f(x)在忖，¥上是增函数解析：选 B 由题图知 A = 2,设 m q a , b]，且 f(0) = f(m),则 f(0 + m) = f(m) = f(0) = -. 3, •'2sin 0= 3 , sin 0=亡，的单调递增区间为k n+ n ，k n+ 3n (k^Z). B . g(x)在区间 冗 12，的最小值为一1 n .. g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移 2个单位长度，再向右平移 3个单位长度得g(x)的图象的一个对称中心是 一 n , 0g(x)的一个单调递减区间是 o , n解析：选C T 函数f(x) = 1 + 2cos xcosX + 3妨是偶函数，y = 1, y = 2cosx 都是偶函数, k n n n.•y = cos(c + 3 0)是偶函数，-'3^= kn k^Z , •••©= ~, k^Z ，又 0< 护2, - '4= 3，- '9(x)= 当-存 x W ,-nW 2x ―扌三 n ，cosgx —扌」€[0,1],故 A 错误；f(x)= 1 + 2cosxcos(x + n) =1 — 2cosx =- cos 2(,显然 B 错误；当 x =— $时，g(x) =n n 2 n时，—3W 2x — 3W "3"，g(x)= cos4. (2018惠州调研)函数f(x)= Asin(2x + 0 A>0 , |晴寸的部分图象如图所示,且f(a)=f(b) =0,对不f(x)在 -身，i n 上是减函数B . f(x)在[-卷i n 上是增函数 (n A n n n 2x + -，令一2 + 2k nW 2x +^3w 2 + - n .又I 耳三2，•&= 3,5 n n2k n, k €，解得—k nW x < 石+ k n, k^Z ，此时 f(x)单调递增. •••选项B 正确. 2 5.已知函数f(x)= 2cos2x — 2.给出下列命题: 氏R , f(x + B)为奇函数； € 0, 3-5 , f(x) = f(x + 2 a 对 x € R 恒成立; n X i , X 2€ R ，右 |f(X i ) — f(X 2)|= 2，则 |X i — X 2|的最小值为 4； x i , X 2^ R ，若 f(x i ) = f(X 2)= 0，贝y x i — X 2= knk € Z). 其中的真命题是 __________ (填序号). 解析：由题意，f(x)= 2coS J 2x - 2 = cos 4x — 1，作出函数f(x)= cos 4x — 1的图象如图所 示.T 2 n n 对于③，|f(X i ) — f(X 2)| = |cos 4x i — cos 4X 2|= 2 时，|x i — X 2|的最小值为 2 = 2^4 = 4 所以 ③正确; 对于④，？ x i , X 2€R ,当 f(x i )= f(x 2)= 0 时，x i — X 2= kT = k^ k n (k 題),所以④错误. 综上，真命题是②③. 答案：②③ 6.已知函数f(x)= sin 3x + — cos wx (w>0).若函数f(x)的图象关于直线且在区间是奇函数，故①错误; 对于②，f(x) = f(x + 2 a,所以 cos 4c — i = cos(4x + 8 a)— i ,所以 8 a= 2k n k 題)，所以 a k n (k 題).又0,护，所以取a= n 或 n 寸，f(x) = f(x + 2 a 对X €R 恒成立，故②正确; x = 2 n 对称, 对于①, 它不会n n 4’ 4 解析：f(x) = _23sin 3x+ ^cos 3x — cos wx = ^sin wx — fcos wx= sin wx — 是单调函数，则3的取值集合为n ，因为f(x)的图象关于直线 x = 2n 对称， 所以 f(2 n= ± ,贝V 2 n (^ — ~= k n+ £, k 題,6 2 k 1所以 3=~2+3, k^z.因为函数f(x)在区间 n n I —n , 4上是单调函数,1 5 4 11 所以 3= 3或 3 = 6或 3= 4 或 3= ~. 1 3= 3时，f(x) = sin5 「 5 n 3= 6时，f(x) = sin 6x —6 ,4 3= 3时，f(x) = sin 3 3x -三€ -匚 3 6 - 「ii 「 ii y 时，f(x)= sin 6 x — 此时f(x)在区间不是单调函数;所以最小正周期 n n x j — n ，n 时，fx - 5 n 7 n 8，24x T :,：时, 1x —n €_—n3x 6」n 12 此时f(x)在区间 n n x €「4，4 n 时，6x -n 此时f(x)在区间 此时f(x)在区间 11 3= 1T 增函数; 增函数; 增函数;综上，3 1 5 答案:>3 6，5 4[一 —. 6，3/4〔 -A 3。
2019届高考数学专题一函数的图象与性质精准培优专练理
培优点一函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y x x +-+=的单调递增区间为________．【答案】（1）D ；（2）(],1-∞-，[]0,1【解析】（1）因为12log y t =，0t >在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数24t x =-的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(),2-∞-．（2）由题意知，当0x ≥时，222314()y x x x =-+=--++；当0x <时，222314()y x x x =-+=-+-+，二次函数的图象如图．由图象可知，函数223y x x +-+=在(],1-∞-，[]0,1上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数y x =________．【答案】1【解析】易知函数y x =[1,)+∞上为增函数，∴1x =时，min 1y =．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则，，的大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的的集合为________________．【答案】（1）D ；（2）1|0133x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎭⎩或 【解析】（1）根据已知可得函数()f x 的图象关于直线对称，且在(1,)+∞上是减函数， 因为1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且52<<32，所以b a c >>． （2）由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭得191log 2x >或191log 02x -<< 解得103x <<或13x <<．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以其图象关于轴对称，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1|21|3x -<，所以1233x <<．５．轴对称例５：已知定义域为的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】C【解析】()2f x +，()7f x +为偶函数()()22f x f x ∴+=-+，()()77f x f x +=-+，()f x ∴关于。
2019年高考数学总复习 专题01 函数的图象、性质及综合应用强化突破 理(含解析)新人教版
2019年高考数学总复习 专题01 函数的图象、性质及综合应用强化突破理（含解析）新人教版1．(xx·唐山模拟)函数y ＝log 0.54x －3的定义域为A ，全集为R ，则∁R A 为( ) A ．⎝⎛⎦⎤34，1B ．⎣⎡⎭⎫34，1C ．⎝⎛⎦⎤－∞，34∪(1，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[1，＋∞) 解析：选C 由log 0.5(4x －3)≥0，得0<4x －3≤1.∴34<x ≤1.所以函数y ＝log 0.54x －3的定义域A ＝⎝⎛⎦⎤34，1，所以∁R A ＝⎝⎛⎦⎤－∞，34∪(1，＋∞)．选C. 2．(xx·佛山模拟)定义运算a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b 2， 则f (x )＝2⊕xx ⊗2－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．常函数D ．非奇非偶函数 解析：选A 由题意得f (x )＝4－x 2x －22－2.∵4－x 2≥0且x －22－2≠0，即x ∈[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x 2x (x ∈[－2,0) ∪(0,2])，∴f (－x )＝4－x 2x ，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数，故选A.3．(xx·邯郸摸底)函数f (x )＝log 2 |x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是( )解析：选C 因为函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2均为偶函数，所以f (x )g (x )是偶函数，且定义域为{x ∈R |x ≠0}，排除A ，D.又当x →0时，f (x )＝log 2|x |→－∞，g (x )＝－x 2＋2→2，即f (x )g (x )→－∞，故选C.4．(xx·广东六校联考)若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．lg x >x 12>2xB ．2x>lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．2x >x 12>lg x解析：选D 当x ∈(0,1)时，2x ∈(1,2)，x 12∈(0,1)，lg x ∈(－∞，0)，所2x >x 12>lg x ．故选D.5．已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选C 依题意得f (3)＝log 12 2＝－1<0，log 12 2<f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 12 32<log 121，即－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0，又f (0)＝log 121＝0，因此有f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)． 6．(xx·吉林一中模拟)2013年8月30日到银行存入a 元，若年利率为x ，且按复利计算，到2021年8月30日可取回( )A ．a (1＋x )8元B ．a (1＋x )9元C ．a (1＋x 8)元D ．a ＋(1＋x )8元解析：选A 2013年8月30日存入银行a 元，年利率为x 且按复利计算，则xx 年8月30日本利和为a (1＋x )元，xx 年8月30日本利和为 a (1＋x )2元，……，则2021年8月30日本利和为a (1＋x )8元，故选A.7．(xx·温州模拟)已知2a ＝3b ＝6c ，则有( ) A ．a ＋bc ∈(2,3)B ．a ＋b c ∈(3,4)C ．a ＋b c∈(4,5)D ．a ＋b c∈(5,6)解析：选C 设2a ＝3b ＝6c ＝k ，则a ＝log 2 k ，b ＝log 3 k ，c ＝log 6 k ， ∴a ＋bc ＝log 2 k log 6 k ＋log 3 k log 6 k ＝log k 6log k 2＋log k 6log k 3＝log 2 6＋log 3 6 ＝1＋log 2 3＋1＋log 3 2>2＋2＝4，又2＋log 2 3＋log 3 2<2＋2＋1＝5.故选C.8．(xx·安徽高考)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2， 即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解， 因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2 x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：{x |－1<x ≤0或x >2} ①当x ≤0时，3x ＋1>1∴x ＋1>0，∴－1<x ≤0；②当x >0时，log 2 x >1∴x >2，综上所述，x 的取值范围为{x |－1<x ≤0或x >2}．10．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0； ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ； ④2a ＋2c <2.解析：④ 画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图所示)， 由图象可知：a <0，b 的符号不确定，1>c >0，故①②错； ∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1， 故2a ＋2c <2，④成立．又2a ＋2c >22a ＋c ∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0∴－a >c ， ∴2－a >2c ，③不成立．11．(xx·成都模拟)已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，记g (x )＝f (x )[f (x )＋f (2)－1]．若y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：⎝⎛⎦⎤0，12 由已知可得y ＝f (x )＝log a x ，∴g (x )＝log a x ·(log a x ＋log a 2－1)＝(log a x )2＋log a 2a ·log a x ．当a >1时，y ＝log a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，且log a x ∈⎣⎡⎦⎤log a 12，log a 2，若g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则必有log a 12≥－12log a 2a ，解得a ≤12(舍去)；当0<a <1时，y ＝log a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是减函数，且log a x ∈⎣⎡⎦⎤log a 2，log a 12，若g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则必有log a 12≤－12log a 2a ，解得0<a ≤12. 12．(xx·沈阳监测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x ＋1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则函数f (x ＋1)的图象关于点A (1,0)对称； ④函数f (x )＝3x －2x －3，则方程f (x )＝0有2个实数根． 其中正确命题的序号是________．解析：①②④ 对于①，y ＝x －1在(0，＋∞)上单调递减，其他三个函数均为增函数，故①正确；对于②，结合对数函数的图象可知，底数小于1时，图象越靠近x 轴底数越小， 则0<n <m <1，故②正确；对于③，根据图象平移的左加右减的规律可知，f (x ＋1)的图象是由f (x )的图象向左平移了一个单位长度，故对称中心变为(－1,0)，故③不正确；对于④，令f (x )＝3x ，g (x )＝2x ＋3，作出它们的图象可以发现有两个交点，故④正确，正确命题的序号是①②④.13．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；或不存在，说明理由． 解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4 (a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3， 函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减， 又y ＝log 4 x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.14．设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，∴f (－x )＝－f (x )， 即e x a ＋a e x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x a ＋a e －x ，整理得⎝⎛⎭⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0， 即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0显然无解．∴f (x )不可能是奇函数． (2)∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， 即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ， 整理得⎝⎛⎭⎫a －1a (e x －e －x )＝0， 又∵对任意x ∈R 都成立， ∴有a －1a＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x ，以下讨论其单调性， 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2) ＝e x 1＋e －x1－e x 2－e －x 2∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )＝e －x a ＋ae－x ，当a ＝1时，在(0，＋∞)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数．15．(xx·陕西调研)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵x ∈[－1,1]，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3，若t ＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3.则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .∴h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．∵m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2， ①12－6n ＝m 2， ② ②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾， ∴满足题意的m ，n 不存在．16．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)若F (x )＝g (x )－λf (x )在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n .∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n ＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m ＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1， f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n ＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n ＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1. 又f (－1＋x )＝f (－1－x )， ∴m －2＝2－m ，即m ＝2. 又f (x )的图象过点(1,3)， ∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2， ∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称， ∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )，∴g(x)＝－x2＋2x.(2)∵F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x，当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝2－2λ21＋λ＝1－λλ＋1，又∵F (x )在(－1,1]上是增函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ<01－λ1＋λ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>01－λ1＋λ≥1∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数． 综上λ的取值范围为(－∞，0]．.。
全国卷一专用2019年高考理科数学总复习函数的图象
8. (2017陕西师范附属二模)已知直线y=x 与函数 则实数m 的取值范围是 ________________ . (2,x > m 2 f (x )= - 的图象恰有三个公共点，)全国卷一专用2019年高考理科数学总复习函数的图象 一、基础巩固组1.已知f (x ) =2x ,则函数y=f (|x- 1|)的图象为(3. 为了得到函数 y=log 2仇*•一的图象，可将函数y=log 次的图象上所有的点的( 1 ,横坐标不变，再向右平移1个单位长度1■,纵坐标不变，再向左平移1个单位长度2倍,纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 2倍,横坐标不变，再向右平移1个单位长度 A.纵坐标缩短到原来的 B. 横坐标缩短到原来的 C. 横坐标伸长到原来的D. 纵坐标伸长到原来的,则函数F (x )=f (x ) • g (x )的大致图象为 ,则a 的取值范4. 已知函数 f (x ) =-x +2, g ( x ) =log 2|x|5. 已知函数 围是( ) A. "：• " 2 B.( - yV ) C. 一 = D. ■ " ~6. 已知函数f (x )( x € R)满足f (x ) =f (2 -x ),若函数y=|x -2x-3|与y=f (x )图象的交点为(X 1,y 1),( X 2,y 2),…,(x m , yn),则- .x =( ) A.0 B. m C.2m D.4m 卩唯片>0, 7. (2017河南洛阳统考)已知函数f (x )= - 则实数a 的取值范围是 _____________ .关于x 的方程f (x ) +x-a=O 有且只有一个实根,(lg|x|5x 丰 0±9.已知定义在R 上的函数f (x )= - 若关于x 的方程f (x )=c (c 为常数)恰有3个不同的实数根 X i , X 2, X 3,贝U X l +X 2+X 3=.二、综合提升组三、创新应用组14. (2017山东潍坊一模，理10)已知定义在 R 上的奇函数f (x )满足f (x+2) =f (2 -x ),当x € [0,2] m-12一一 一 一 E 时,f (x )=-4x +8x.若在区间[a , b ]上,存在mm>3)个不同整数X i (i= 1,2,…，n ),满足::h.|f (X i )-f (x i+1) | >72,则b-a 的最小值为( )110.已知函数f (X )=H ：L .I ；“「则y=f ( x )的图象大致为(111.函数 f ( X ) =| In X |-flgxIQO,12. 已知f (x )= - 贝U 函数y=2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数是f|H|显 £ m,13.(2017安徽淮南一模)已知函数f (x )丈.其中m 0若存在实数的方程f (x ) =b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ___________ .b ,使得关于XA. 15B.16C.1715. (2017广东、江西、福建十校联考)已知函数方程f 一' =a的实根个数为()D.18 d0g5(l*X)(X <1), f(x)= ••当1<a<2时，则关于X的D.8函数的图象1. D f (|x- 1|)=2lx-11.当x=0时,y=2.可排除选项A,C.当x=-1时,y=4.可排除选项B.故选D2. D 设f(x)=sin( x2).因为y=f(-x)=sin(( -x)2)=sin( x2)=f(x),所以y=f(x)为偶函数,所以函数y=f (x)的图象关于y轴对称，故排除A,C;当x= 而时，y=0,故排除B,故选D.3. A y=log 2血-J=log 2(x-1 一jog 2( x-1).将y=log 2x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的_,横1 1坐标不变，可得y=_log 2X的图象，再向右平移1个单位长度，可得y=_log 2( x-1)的图象，也即y=log 2—1的图象.4. B易知函数F(x)为偶函数，故排除选项A,D;当x=_时,F - log更=「<0,故排除选项C, 选B.5. B由已知得与函数f (x)的图象关于y轴对称的图象的解析式为h(x) =x2+e-x-」(x>0).x 1 x 1令h(x) =g(x),得ln( x+a)=e= ，作函数Mx^e：一的图象，显然当a<0时，函数y=ln( x+a)的图象与Mx)的图象一定有交点.1当a>0时，若函数y=ln( x+a)的图象与Mx)的图象有交点，则ln a< ",则0<a< 二综上a< 「故选B.6. B由题意可知y=f (x)与y=|x2-2x- 3|的图象都关于直线x=1对称，所以它们的交点也关于直线x=1对称.y m当m为偶数时，—_X i=2 -=my m*l当m为奇数时，-.x i =2 - +仁m故选B.7. (1,+8)问题等价于函数y=f (x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点，画出两个函数的大致图象如图所示，结合函数图象可知a>1.8. [-1,2) 画出函数图象如图所示由图可知，当m=-1时,直线y=x 与函数图象恰好有 3个公共点，当m=2时，直线y=x 与函数图象只有2个公共点，故m 的取值范围是［-1,2).9. 0函数f (x )的图象如图，方程f (x )=c 有3个不同的实数根， 即y=f (X )与y=c 的图象有3个交点，易知c=1,且一根为 由lg |X |= 1知另两根为-10和10,故X i +X 2+X 3=0. 10. B 当X =1时,y= ____ <0,排除A;当X =0时，y 不存在，排除11.C 由函数的定义域为 X >0,可知排除选项 A;当X >1时,f 当X>2时,f' (X )<0,即f (x )在(1,2)内递增,在(2, +R)内递减,排除选项B,D,故选C 112.5 方程2f 2(X ) -3f (X ) +1=0的解为f (x )=_或1.作出y=f (x )的图象，由图象知零点的个数为 5.\\x\^ < 阻13.(3,)当m ：0时，函数f (X )JC F • im ：：的图象如图所示2 2 2 2■/ 当 x>m 时,f (X ) =X - 2mx+4m= x-m ) +4m-m>4m-m,二要使得关于X 的方程f (X ) =b 有三个不同的根，必须4m-m<mm ：0), 即 m>3mm»),解得 m ：3,故m 的取值范围是(3, +R).14. D 由题意得 f (X )的图象关于直线 X =2 对称,f (X +2+2) =f (2 -X - 2) =f ( -X ) =-f ( X ),即 f ( X +4)=- f (x ),则f (X +8) =-f (X +4) =f (x ). ••• f (X )的周期为8,函数f (X )的图象如图所示.0. (4去諾D;f 】：:'<0,故选 B . 1 _ 1 4-x 2 (X )=— "X =—,当 1<X <2 时，f (X ) >0,T f(-1)=-4,f(0) =0,f(1) =4,f (2) =0,f(3) =4,f (4) =0,……，|f (-1)-f (0) |= 4, |f (0)-72f(1) |=4, |f (1) -f ⑵ |=4, |f ⑵-f (3) |=4,……, 匸=18,故b-a 的最小值为18,故选D.115. B 令x+_-2=t,则f(t)=a,作出y=f(x)的函数图象如图所示.由图可知，当1<a<2时，关于t的方程f (t)=a有3个解. 不妨设3个解分别为t 1, t2, t 3,且t 1<t 2<t3,则-24<t1<-4,1 <t2<2,2 <t 3<3.1当x+ _- 2=t 1,即x2-(2+tJx+1=0,2•/-24<t1<-4, A △ =(2 +t1) -4>0,1A方程x+ ■- 2=t 1有2解，1 1同理方程x+ _-2=t2有2解,x+ _-2=t3有2解，•••当1<a<2时，关于x的方程f 一=a有6解.故选B.。
2019届高考数学专题一函数的图象与性质精准培优专练理 - 副本
培优点一 函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值例2：函数y x =+________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________． ４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804C ．806D ．402６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．无一、选择题1．若函数()2||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．6-D ．62．已知函数2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（ ）A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ ）7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（ ） A ．()1e x f x +=B ．()1e x f x -=C ．()1e x f x -+=D ．()1e x f x --=9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的， 则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（ ） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-<D ．()10()( 6.5)f f f -<<-11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =， 则()()20152016f f +=（ ）A ．0B ．2C ．3D ．412．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（ ） A ．[0,3] B ．(1,3) C．2⎡+⎣D．(2二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______． 14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取 值范围是________．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数． （1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值； （3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-． （1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．。
2019年高考数学(理科_重点生)高考专题辅导专题跟踪检测(一)函数的图象与性质
专题跟踪检测(一) 函数的图象与性质、全练保分考法一一保大分1下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,+^ )上单调递减的函数是()3A . y =— xB . y = In |x|C . y = cosxD . y = 2— |x|解析：选D显然函数y = 2—|x|是偶函数，当x>0时，y = 2—|x|= 2 |x|=舟x ,函数y =2 x 在区间(0,+^)上是减函数.故选 D.2. (2018贵阳模拟)若函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0时，f(x)= Iog 2(x + 2)—1,则 f(-6)=()A . 2B . 4C . — 2D . — 4解析：选 C 根据题意得 f(— 6) =— f(6) = 1 — Iog 2(6 + 2) = 1 — Iog 28=— 2.故选 C. X 2— 2, x< — 1,3. (2018长春质检)已知函数f(x)= x “ “ 贝V 函数f(x)的值域为()2x — 1, x >— 1,解析：选 B 法一：当 x< — 1 时，f(x)= x 2— 2€ (— 1,+ )；当 x > — 1 时，f(x) = 2x—1€ — 2，+ m；综上可知，函数 f(x)的值域为(一1,+ g ).故选B.法二：作出分段函数f(x)的图象(图略)可知，该函数的值域为(一1,+ g )，故选B.1, x>0 ,4. (2018陕西质检 股x € R ,定义符号函数 sgn x = 0, x = 0, 贝U 函数f(x)=[-1, x<0,解析：选C 由符号函数解析式和绝对值运算，可得 f(x)= x ，选C.5. (2018濮阳二模)若f(x) = 23' x>0' 是奇函数，则f(g( — 2))的值为( )lg(x , x<0A . [— 1 ,+s )B . (— 1,+^ )D . R|x|sgn x 的图-1 C.「25C . 1D . - 12x -3, x>0,解析：选C •/ f(x)=是奇函数,g(x ), x<0z 1••• x<0 时，g(x)= —尹 3,1• g( — 2)=—六+ 3=— 1,f(g(— 2)) = f( — 1) = — f(1) = 1•故选 C.—2]时,f(x)= 4x ，贝U f(107.5)=() —e —x ) -x — x = f(x),所以f(x)是偶函数，排除选项 A 、C ;因为函数f(x)在(0,+R )上是增 函数，所以排除选项 B ，故选D.8.点P 在边长为1的正方形 ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，贝U 当P 沿A-B-C-M 运动时，点P 经过的路程x 与厶APM 的面积y 的函数y = f(x)的图象的形状大致是图中的 ( )6.(2018葫芦岛一模)设偶函数 f(x)对任意 x € R ,都有 f(x + 3)=—1fx ， 且当x € [— 3,A . 10 C . — 101 10解析：选B因为 f(x + 3)=—所以 f(x + 6)=—1 =f(x + 3 )=1丄1 = f(x),所以函数fxf(x)是以6为周期的函数,f(107.5) = f(6 X 17+ 5.5) = f(5.5) = —1 f ― 2.5 -1 1厂苕=心故选B.-x ——x = (ex1D .1 (7. e x)解析：选A 根据题意得1f 2X , 0 w x<1, 3 1f(x)=4— 4x , 1 wx<2, 5 1c 54- 2x ，2w x w2，画出分段函数图象可知 A 正确.9. (2018河北“五个一名校联盟”模拟)已知奇函数f(x)满足f(x + 1)= f(1 — x),若当x1 + x€ (— 1,1)时，f(x) = lg ，且 f(2 018 — a)= 1,则实数 a 的值可以是()119_ 11解析：选 A T f(x + 1) = f(1 — x),「. f(x) = f(2 — x).又函数 f(x)为奇函数，••• f( — x)= —f(x),.・.f(— x)=— f(2 — x),.・.f(2 + x)=— f(x),.・.f(x + 4) =— f(x + 2) = f(x),•函数 f(x)1 + x94.当 x € (— 1,1)时，令 f(x)= lg = 1,得 x =，又 f(2 018 — a)=1 — x11f(2 — a) = f(a) ,• a 可以是們.2x , x w 0,10•已知函数 f(x)=则 f(1) + f(2) + f(3) + , + f(2 018)=()f(x — 2), x>0 ,A . 2 018B . 1 5132x , x w 0,解析：选D T 函数f(x) = fx — 2 , x>0,• f(1) = f(— 1) = 2—1, f(2) = f(0)= 20, f(3) = f(1) = 2—1,,,• f(1) + f(2) + f(3) + , + f(2 018) = 1 009 X f(— 1) + 1 009 X f(0) = 1 009 X 2—1+ 1 009 X 2011 9为周期函数，且周期为C . 1 009 D. 3 02723 0272 .故选D.11. (2018郴州二模)已知函数f(x) = e x—責，其中e是自然对数的底数.则关于x的不e••• f(x)为奇函数且是单调递增函数,关于 x 的不等式 f(2x — 1) + f( — x — 1)>0 , 即为 f(2x — 1)>f(x + 1), • 2x — 1>x + 1, 解得x>2，故选B.12. (2018陕西二模)已知函数f(x) = e x + 2(x<0)与g(x)= ln(x + a)+ 2的图象上存在关于y 轴对称的点，贝U a 的取值范围是( )B . ( — 8, e)解析：选B 由题意知，方程f( — x) — g(x) = 0在(0, +8 )上有解, 即 e —x + 2— ln(x + a)— 2=0 在(0,+ 8)上有解， 即函数y = e 一x 的图象与y = ln(x + a) 的图象在(0,+ 8 )上有交点,函数y = ln(x + a)的图象是由函数 y = In x 的图象向左平移 a 个单位得到的，当 y = In x 向左平移且平移到过点(0,1)后开始, 两函数的图象有交点,把点(0,1)代入 y = ln(x + a)得,1= In a ,• a = e ,「. a<e.故选 B.13.已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且f(x + 4) = f(x — 2).6一x ,贝U f(919) = _______ .解析：•/ f(x + 4) = f(x — 2), • f(x + 6) = f(x), • f(x)的周期为6,•/ 919= 153X 6+ 1,「. f(919) = f(1). 又f(x)为偶函数，• f(919) = f(1) = f(— 1) = 6. 答案：63r2/-1O Z1 23*-1A. 一 8, (2,+s )C.—8, 4 U (2 , +8 )解析：选B •••函数f(x)= e xe x — e一x满足 f(— x)=— f(x), A.C.e ，e 若当 x € [ — 3,0]时，f(x)=14. (2018陕西质检)若函数f(x)= ax + b , x € ［a — 4, a ］的图象关于原点对称，则函数 g(x)= bx + X , x € ［— 4,— 1］的值域为 ____ .解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a — 4+ a = 0，即a = 2,则函数f(x)= 2x2+ b ,其定义域为［—2,2］,所以f(0) = 0,所以b = 0,所以g(x)=-,易知g(x)在［—4,— 1］上 单调递减，故值域为［g ( — 1), g (— 4)］,即一2,— 2 .答案：—2,— 1 115. (2018青岛一模)定义在 R 上的函数f(x)满足f(x)= "Iog2(1 — x )x w 0, f (x — 1 — f(x — 2)x>0,解析：•/ f(2 009) = f(2 008) — f(2 007) = [f(2 007) — f(2 006)] — f(2 007) = — f(2 006), 即当x>3时满足f(x) = — f(x — 3)= f(x — 6)，函数f(x)的周期为6. ••• f(2 009) = f(334X 6 + 5)= f(5) = f( — 1).•••当 x w 0 时 f(x)= log 2(1 — x),「. f(— 1) = 1, • f(2 009) = f(— 1)= 1.答案：1—2) w g(x)，贝U m 的取值范围是 _________解析：作出函数y = h(x) = e |x 2|和y = g(x)的图象，如图所示，由图 可知当 x = 1 时，h(1) = g(1)，又当 x = 4 时，h(4)= e 2<g(4) = 4e ,当 x>4 时，由 e x —2w 4e 5—x,得 e 2x —7w 4，即 2x — 7w ln 4,解得 x wln 2,又7 . c m>1, • 1<m w ?+ ln 2.答案：1, 7 + ln 2r ( x)log 2「2 卜 x w —1, f(x) =12 i 4丄 2 x > 1则f(2 009)的值为16.已知函数 f(x) =e |x|,函ex , x w4, 4e 5x ,对任意的 x € [1, m ](m>1)，都有 f(x17•设函数若函数f(x)在区间［m,4］上的值域为［—1,2］,—3x+ 3x+ 3, x>—1.则实数m的取值范围为___________解析：画出函数f(x)的图象如图所示，结合图象易得，当m€ ［—8,—1］时，f(x) €[—1,2],故实数m的取值范围为[—8,—1].答案：[—8,—1]18. 设函数f(x)= 1—X2+ 1, g(x)= ln(ax2—2x+ 1),若对任意的X i € R，都存在实数X2,使得f(x1)= g(X2)成立，则实数a的取值范围为___________ .解析：设g(x)= ln(ax2—2x+ 1)的值域为A,••• f(x)= 1—x2+ 1 在R 上的值域为(—a, 0],•••(—R, 0]? A,••• h(x) = ax2—2x+ 1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h(0) = 1,a>0,•实数a需要满足a w 0或* 解得a w 1.A= 4—4a > 0,•实数a的取值范围是(一a, 1].答案：(—a, 1]%+ m19. 已知函数f(x) = P5+m(p>1)，若对于任意a, b, c€ R,都有f(a) + f(b)>f(c)成立，P十1则实数m的取值范围是___________ .解析：因为f(x)= P x+m = 1+乌十1,p + 1 p + 1所以当m>1时，函数f(x)在R上是减函数，函数f(x)的值域为(1, m),所以f(a) + f(b)>2 , f(c)<m.因为f(a) + f(b)>f(c)对任意的a, b, c€ R恒成立，所以m w 2,所以1<m w 2.当m= 1 时，f(x)= 1, f(a) + f(b)= 2>f(c)= 1,满足题意.当m<1时，函数f(x)在R上是增函数，函数f(x)的值域为(m,1),所以f(a) + f(b)>2m, f(c)<1，所以2m > 1,1 1所以m> -，所以~w m<1.2 2综上可知，2< m W 2，故所求实数 m 的取值范围是 2 2~［ 答案：1 2~\fa — 1 x + 4— 2a , x<1 ,20.已知函数f(x)=， 广 若f(x)的值域为R ,则实数a 的取值范围1 + lOg 2X ， X > 1. 是 ________ .解析：依题意，当X > 1时，f(x) = 1+ lOg 2X 单调递增，f(x) = 1+ log 2x 在区间［1 ,+8 ) 上的值域是［1 ,+^).因此，要使函数f(x)的值域是R ,则需函数f(x)在(—8, 1)上的值域M ? (—8, 1).①当a — 1<0,即卩a<1时，函数f(x)在(一8, 1)上单调递减，函数f(x)在(—8, 1)上的值域M = (— a + 3,+a )，显然此时不能满足 M ? (-8, 1)，因此a<1不满足题意;②当a — 1= 0,即卩a = 1时，函数f(x)在(—8, 1)上的值域 M = {2}，此时不能满足 M ? (—8, 1)，因此a = 1不满足题意；③当a — 1>0,即卩a>1时，函数f(x)在(一8, 1)上单调递增，函数 f(x)在(—8, 1)上的值域 M = (—8,— a + 3)，由 M ? (—8, 1)得■:综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2］.答案：(1,2］1.(2018惠州第一次调研)已知定义域为 R 的偶函数f(x)在(一a, 0］上是减函数，且f(1) =2,则不等式f(log 2x)>2的解集为()B. 0, 2 U (2, +8 ) D . ( 2,+a )解析：选B 因为f(x)是R 上的偶函数，且在(—8, 0］上是减函数，所以f(x)在［0,+a>1, 解得1<a W 2. —a + 3》1, 二、强化压轴考法拉开分A . (2 ,+8 )(2,+8)C. 0,2. (2019届高三 太原模拟)已知函数f(x)是偶函数，f(x + 1)是奇函数，且对于任意 警)，b=-fX 2 [0,1],且 X 1^ X 2,都有(X 1 — X 2)[f(x 1) — f(X 2)]v0 ,设 a = f8 )上是增函数•因为 f(1) = 2,所以 f(— 1) = 2,所以 f(lOg 2X)>2 ? f(|log 2x|)>f(1) ? |log 2x|>1 ?1lOg 2X>1 或 lOg 2X< — 1? X>2 或 0<X<2.故选 B.c = fX 1,A . a>b>cC . b>c>aD . c>a>b解析：选B 法一：因为函数f(x)是偶函数，f(x + 1)是奇函数，所以f( — x)= f(x), f(-x + 1)= — f(x + 1)，所以 f(x — 1) =— f(x + 1)，所以 f(x)=— f(x + 2)，所以 f(x)= f(x + 4), 所以a = f 器=f -1 = f 1 , b =_f 詈=f 彳,c = f 学=f 4 ,又对于任意X 1,4 6 4X 2€ [0,1],且 X 1^ X 2,都有(X 1— X 2) [f(X 1) — f(X 2)]V0,所以 f(x)在[0,1]上是减函数，因为-<^^, 所以b>a>c ,故选B.法二：因为函数f(X)是偶函数，f(X + 1)是奇函数，且对于任意 X 1, X 2^ [0,1],且X j M X 2, 都有(X 1 — x 2)[f(x 1)— f(x 2)]<0 ,即 f(x)在[0,1]上是减函数，不妨取 f(x)= cos^c ，则 a = f 器 = cos = cos , b =— f =— cos = co 匸,c = f = cos= co 匚，因为函数 y 11 11 19 丿 9 9 \7 /7 7.. ,. 2 n 3 n 2 n=cosx 在［0,1］上是减函数，且，所以b>a>c ,故选B.2 X , x < 0,3. (2018全国卷I )设函数f(x)= <1, x>0,( )A . ( — m,— 1]B . (0,+^ )C . (— 1,0)D . ( — m, 0) x + 1 w 0,解析：选D 法一：①当 即x w — 1时，2x w 0, f(x + 1)<f(2x),即为 2— (X +1)<2— 2X,即一(x + 1)< — 2x ，解得 x<1. 因此不等式的解集为(一m ,— 1]. rx I 1 w 0② 当殳 w,时，不等式组无解.l2x>0 x + 1>0, ③ 当F即一1<x w 0时，2x w 0,一 2xf(x + 1)<f(2x),即为 1<2 ，解得 X<0. 因此不等式的解集为(—1,0). x + 1>0, ④ 当F即x>0时，f(x + 1) = 1, f(2x)= 1,不合题意.l2x>0,B . b>a>c 则满足f(x + 1)<f(2x)的 x 的取值范围是综上，不等式f(x+ 1)<f(2x)的解集为(―m, 0).2 , x w 0,法二：•/ f(x) =11，x>0,•••函数f(x)的图象如图所示.结合图象知，要使f(x+ 1)<f(2x),x+ 1<0, rx + 1》0, 则需」2x<0, 或j|2x<0，Fxvx + 1• x<0 ,故选 D.4. 已知函数y= f(x)是R上的偶函数，对于x€ R都有f(x+ 4) = f(x)+ f(2)成立，且f(3)=-1,当X1, X2€ ［0,2］,且X1^ X2 时，都有下列命题：① f(221) = - 1;X1 —x2②函数y= f(x)图象的一条对称轴方程为x= —4;③函数y= f(x)在［—6,—4］上为减函数；④方程f(x) = 0在［—6,6上有4个根.其中正确的命题个数为()A. 1B. 2C . 3D . 4解析：选D 令x =—2,由f(x+ 4)= f(x) + f(2)得f(—2)= 0.因为函数y= f(x)是R上的偶函数，所以f(2) = f( —2) = 0,所以f(x+ 4)= f(x),即函数y= f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(221) = f(55 X 4+ 1)= f(1).因为f(3) = —1,所以f(—3) = f(1) =—1,从而f(221) = —1,①正确.因为函数图象关于y轴对称，函数的周期为4,所以函数y= f(x)图象的一条对称轴方程为X =—4,②正确.因为当X1 , X2 € ［0,2］,且X1工X2时，都有恥1—f(X2 Lo，设X1<X2,X1—X2则f(x1)vf(x2),易知函数y= f(x)在［0,2］上是增函数.根据图象的对称性，易知函数y= f(x)在［—2,0］上是减函数，又根据周期性，易知函数y= f(x)在［—6, —4］上为减函数，③正确.因为f(2) = f(—2)= 0,由函数f(x)的单调性及周期性，可知在［—6,6］上有且仅有f(2) = f(—2)= f(6) = f(—6) = 0,即方程f(x)= 0在［—6,6］上有4 个根.综上所述，四个命题都正确•故选 D.x, xy> 0,5. (2018长沙模拟)定义运算：x y= 例如：3 4= 3, (—2) 4 = 4,则解析：由已知得f(x) = x2(2x—x2) =y xy<0,函数f(x) = x2 (2x—x2)的最大值为__________ .解析：由已知得f(x) = x2(2x—x2) =2 2 2 2x , x 2x — x > 0, x , 0 w x w 2, 2x — x 2, x 2 2x — x 2 <02x — x 2, x<0或 x>2,画出函数f(x)的大致图象(图略)可知，函数f(x)的最大值为4. 答案：46. (2019届高三石家庄检测)已知定义域为 R 的函数f(x)是奇函数，当 x > 0时，f(x)=|x — a 2| — a 2,且对x € R ，恒有f(x + 1)>f(x),则实数a 的取值范围为 ______________ .解析：定义域为R 的函数f(x)是奇函数,2 、 2x — 2a , x— a,■ 2 —x , 0w x<a ,作出函数f(x)的图象如图所示.•••对 x € R ，恒有 f(x + 1) > f(x),要满足f(x + 1)>f(x), 1要大于等于［—a 2,3a 2］的区间长度3a 2— (— a 2),2 2 11 --1》3a — (— a),解得一2w a W?.答案：-1〉7.已知函数y = f(x)与 y = F(x)的图象关于y 轴对称，当函数y = f(x)和y = F(x)在区间［a, b ］同时递增或同时递减时，把区间 ［a, b ］叫作函数y = f(x)的“不动区间”.若区间［1,2］为函 数f(x)= 12*—1|的“不动区间"，则实数 t 的取值范围是 __________________________ .解析：•••函数y = f(x)与y = F(x)的图象关于y 轴对称，二F(x)= f(— x)= |2—x —1|. •••区间［1,2］为函数f(x)= |2x —1|的“不动区间”，•••函数f(x)= |2x — q 和函数F(x)= |2—x — 11在［1,2］上单调性相同.T y = 2x — t和函数y = 2—x — t 的单调性相反.•- (2x —1)(2 —x — t) w 0 在［1,2］上恒成立， 即2 —x w t w 2x 在［1,2］上恒成立，1即—w t w 2.当 x > 0 时，f(x)=|x — a 2|— a 2= 当x<0时，函数的最大值为 a ,3sin x + 1 — m>0, 即彳 sin x — 1+ m<0 3sin x + 1 — m<0 , 或］ sin x — 1 + m>0,3sin x>m — 1, 即 sin x<1 — m 3sin x<m — 1,或计 sin x>1 — m,m — 1< — 3,即，1 — m>1或 F 一 1>3,1 — m<—1,即 m< — 2 或 m>4,故实数 m 的取值范围为(一a,— 2) U (4,+).答案:8.定义在R 上的函数f(x)在(一^，― 2)上是增函数, 且f(x — 2)是偶函数，若对一切实数x ,不等式f(2sin x — 2)>f(sin x — 1— m)恒成立，则实数 m 的取值范围为 解析：因为f(x — 2)是偶函数, 所以函数f(x)的图象关于x =— 2对称. 又f(x)在(一8,— 2)上为增函数, 则f(x)在(—2,+)上为减函数,所以不等式f(2sin x — 2)>f(sin x — 1 — m)恒成立等价于|2sin x — 2 + 2|v|sin x — 1 — m +2|,即|2sin x|v|sin x +1 — m|,两边同时平方, 得 3sin x — 2(1 — m)sin x — (1 — m) <0, 即(3sin x + 1 — m)(sin x — 1 + m)<0,答案：(一a, —2) U (4,+a )。
高考理科数学真题练习题函数的图象理含解析
高考数学复习 课时作业10 函数的图象一、选择题1．函数y ＝－e x的图象( D ) A ．与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B ．与y ＝e x的图象关于坐标原点对称 C ．与y ＝e －x的图象关于y 轴对称 D ．与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析：由点(x ，y )关于原点的对称点是(－x ，－y )，可知D 正确． 2．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( C ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图．观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．3．(2019·重庆六校联考)函数f (x )＝sinπxx2的大致图象为( D )解析：易知函数f (x )＝sinπx x2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足，故选D.4．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( B )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：解法1：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.解法2：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，故选B.5．(2019·福建晋江检测)如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( D )解析：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)．显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.6．下图是1953～2018年我国年平均气温变化图．根据上图，下列结论正确的是( D )A．1953年以来，我国年平均气温逐年增高B．1953年以来，我国年平均气温在2018年再创新高C．2002年以来，我国年平均气温都高于1983～2012年的平均值D．2002年以来，我国年平均气温的平均值高于1983～2012年的平均值解析：由1953～2018年我国年平均气温变化图可以看出，年平均气温有升高的也有降低的，所以选项A不正确；2018年的年平均气温不是最高的，所以选项B不正确；2014年的年平均气温低于1983～2012年的平均值，所以选项C不正确；2002年以来，只有2012年的年平均气温低于1983～2012年的平均值，所以2002年以来，我国年平均气温的平均值高于1983～2012年的平均值，故选项D正确，故选D.7．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是( D )A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．[－1，＋∞)解析：作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，如图所示，观察图象可知，当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．二、填空题8．(2019·长沙模拟)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14x －22－1，x ∈0，＋∞.解析：当x ∈[－1,0]时，设y ＝kx ＋b ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，k ×0＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以y ＝x ＋1；当x ∈(0，＋∞)时，设y ＝a (x －2)2－1，由图象得0＝a ·(4－2)2－1，解得a ＝14，所以y ＝14(x －2)2－1.综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14x －22－1，x ∈0，＋∞.9．(2019·内蒙古包头调研)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x <0化为f xx<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．10．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝0.解析：方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.11．(2019·河南濮阳一模)设x 1，x 2，x 3均为实数，且π－x 1＝log 2(x 1＋1)，π－x 2＝log 3x 2，π－x 3＝log 2x 3，则( A )A ．x 1<x 3<x 2B ．x 3<x 2<x 1C ．x 3<x 1<x 2D ．x 2<x 1<x 3解析：画出函数y ＝π－x，y ＝log 2(x ＋1)，y ＝log 2x ，y ＝log 3x 的图象，如图．∵π－x 1＝log 2(x 1＋1)，π－x 2＝log 3x 2，π－x 3＝log 2x 3，∴由图象可得x 1<x 3<x 2，故选A.12．(2019·河南信阳高三一模)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，函数g (x )＝4x ＋3x －2，若函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，记作P i (x i ，y i )(i ＝1，2，…，168)，则(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)的值为1_008.解析：函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，可得f (－x )＋f (4＋x )＝8，即函数f (x )的图象关于点(2,4)对称，由函数g (x )＝4x ＋3x －2＝4x －2＋11x －2＝4＋11x －2，可知其图象关于点(2,4)对称，∵函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)＝(4＋8)×84＝1 008.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用13．(2019·湖北重点高中联考)已知a ＝(－cos x ，sin x ＋f (x ))，b ＝(1，－sin x )，且a ∥b ，则函数f (x )在[－π，π]上的大致图象为( A )解析：解法1：因为a ∥b ，所以sin x cos x ＝sin x ＋f (x )，所以f (x )＝sin x cos x －sin x ＝sin x (cos x －1)．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2(cos π2－1)＝－1<0，所以排除B ，C ，D.解法2：因为a ∥b ，所以sin x cos x ＝sin x ＋f (x )，所以f (x )＝sin x cos x －sin x ＝sin x (cos x －1)．当x ∈(－π，0)时，sin x <0，cos x －1<0，所以sin x (cos x －1)>0，所以排除B ，C ，D.14．直线y ＝m (m >0)与函数y ＝|log 2x |的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，下列结论正确的是①②④(填序号)．。
2019年高考数学(理科)专题一函数的图象与性质精准培优专练(含答案)
培优点一 函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y x x +-+=的单调递增区间为________．【答案】（1）D ；（2）(],1-∞-，[]0,1【解析】（1）因为12log y t =，0t >在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数24t x =-的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(),2-∞-．（2）由题意知，当0x ≥时，222314()y x x x =-+=--++；当0x <时，222314()y x x x =-+=-+-+，二次函数的图象如图．由图象可知，函数223y x x +-+=在(],1-∞-，[]0,1上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数y x =的最小值为________．【答案】1【解析】易知函数y x =+[1,)+∞上为增函数，∴1x =时，min 1y =．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b>>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．b a c>>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．【答案】（1）D ；（2）1|0133x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎭⎩或【解析】（1）根据已知可得函数()f x 的图象关于直线=1x 对称，且在(1,)+∞上是减函数，因为1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且52<<32，所以b a c >>．（2）由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭得191log 2x >或191log 02x -<<解得103x <<或13x <<．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1|21|3x -<，所以1233x <<．５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】C【解析】()2f x + ，()7f x +为偶函数()()22f x f x ∴+=-+，()()77f x f x +=-+，()f x ∴关于2x =，7x =轴对称，()f x ∴为周期函数，且()27210T =⋅-=，∴将[]0,2013划分为[)[)[)[]0,1010,202000,20102010,2013 ()f x 关于2x =，7x =轴对称()()4f x f x ∴=-，()()14f x f x =-()()160f f == ，()()()814860f f f =-==，()()()34310f f f =-==∴在[)0,10中只含有四个零点，而[)[)[)0,1010,202000,2010 共201组所以2014804N =⨯=；在[]2010,2013中，含有零点()()201110f f ==，()()201330f f ==共两个，所以一共有806个零点６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看()f x 的性质，由()1f x +，()1f x -为奇函数分别可得到：()()11f x f x +=--+，()()11f x f x -=---，所以()f x 关于()1,0，()1,0-中心对称，双对称出周期可求得()2114T =⋅--=⎡⎤⎣⎦，所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合A ，B ．对于D 选项，因为4T =，所以()()()511f x f x f x +=+=--+，进而可推出()f x 关于()3,0中心对称，所以()3f x +为()f x 图像向左平移3个单位，即关于()0,0对称，所以()3f x +为奇函数，D 正确．７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．无法计算【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+，∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4，∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-，又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．一、选择题1．若函数()2||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．6-D ．6【答案】C【解析】由图象易知函数()2||f x x a =+的单调增区间是,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，令=32a -，∴6a =-．2．已知函数2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】C【解析】要使2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则0a >且10a -≥，即1a ≥．3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（ ）A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数【答案】A【解析】易知()f x 的定义域为()1,1-，且()()()ln 1l (n 1)f x x x f x -+-=-=-，则()y f x =为奇函数，又ln 1ln 1()()y x y x =+=--与在(0,1)上是增函数，所以()()()ln 1ln 1f x x x =-+-在(0,1)上是增函数．4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．a b c<<【答案】B【解析】∵函数图象关于1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()y f x =在(1,)+∞上单调递增，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<，故选B ．5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B对点增分集训【解析】由已知得()()11f f -=-，()()11g g -=，则有()()()()112114f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()13g =，故选B ．6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ ）【答案】D【解析】因为11()cos()cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x -π≤≤π且0x ≠，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ．当x =π时，1()cos 0f x ⎛⎫=π-π< ⎪π⎝⎭，排除C ，故选D ．7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】A【解析】∵()1f x +为偶函数，∴1()()1f x f x -=++，则(()2)f x f x +-=，又()y f x =为奇函数，则()2()()f x f x f x -=+-=，且()00f =．从而()2(()4)f x f x f x -+=+=，()y f x =的周期为4．∴()()()()4501022f f f f +=+=+=，故选A ．8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（ ）A ．()1e x f x +=B ．()1e x f x -=C ．()1e x f x -+=D ．()1e xf x --=【答案】D【解析】与e x y =的图象关于y 轴对称的函数为e x y -=．依题意，()f x 的图象向右平移一个单位，得e x y -=的图象．∴()f x 的图象由e x y -=的图象向左平移一个单位得到．∴()1)1(e e x x f x +---==．9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-【答案】A【解析】在同一坐标系内作出2(log )y x -=，1y x =+的图象，知满足条件的,0()1x ∈-，故选A ．10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（ ）A ．()0 6.5()()1f f f <-<-B ．()6.5()()01f f f -<<-C ．()()(60)1.5f f f -<-<D ．()10()( 6.5)f f f -<<-【答案】A【解析】由()()1f x f x +=-，得()1(()2)f x f x f x -+=+=，∴函数()f x 的周期是2．∵函数()f x 为偶函数，∴ 6.50.5()()(0.)5f f f -=-=，()()11f f -=．∵()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，∴()()00.5(1)f f f <<，即()0 6.5()()1f f f <-<-．11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】(1)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()y f x =的图象关于0x =对称，即函数()f x 是偶函数，令1x =-，则()121(12)()f f f --=+-，∴()()()11210f f f -==，即()10f ＝，则()()2(210)f x f x f -=+=，即()2()f x f x +=，则函数的周期是2，又()02f =，则()()()()2015201610022f f f f +=+=+=．12．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（ ）A ．[0,3]B ．(1,3)C ．2⎡+⎣D ．(2+【答案】D【解析】由题可知()e 11x f x =->-，()2243211()g x x x x -=---++≤=，若()()f a g b =，则(),1(]1g b -∈，即2431b b -->-+，即2420b b +<-，解得22b <<b 的取值范围为(2，故选D ．二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______．【答案】[0,1)【解析】由题意知()22111g x x x x xx ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，()g x 的减区间是[0,1)．14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以294137373724244646435si 64n 161666f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⎝⎭．15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)1,-+∞【解析】如图作出函数()||f x x a =+与()1g x x =-的图象，观察图象可知：当且仅当1a -≤，即1a ≥-时，不等式()()f x g x ≥恒成立，因此a 的取值范围是[)1,-+∞．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．【解析】依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11021102121212f f f ⎛⎫=++=-++= ⎪⎝⎭--三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值；（3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）ln2a；（3）(2,)+∞．【解析】（1）由20a x x +->，得220x x ax-+>，当1a >时，220x x a +>-恒成立，定义域为(0,)+∞，当1a =时，定义域为0{|}1x x x >≠且，当01a <<时，定义域为{|011x x x <<->+．（2）设()2a g x x x =+-，当4()1,a ∈，,[)2x ∈+∞时，∴222()10a x ag x x x -'=-=>．因此()g x 在[2,)+∞上是增函数，∴()f x 在[2,)+∞上是增函数．则min ()(2)ln 2af x f ==．（3）对任意,[)2x ∈+∞，恒有()0f x >．即21ax x+->对,[)2x ∈+∞恒成立．∴23a x x >-．令()23h x x x =-，,[)2x ∈+∞．由于239()24h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在[2,)+∞上是减函数，∴()()max 22h x h ==．故2a >时，恒有()0f x >．因此实数a 的取值范围为(2,)+∞．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．【答案】（1）()f x 是偶函数；（2）()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．【解析】（1）∵()1()1f x f x =+-，∴(()2)f x f x =+-．又()2()f x f x +=，∴()()f x f x -=．又()f x 的定义域为R ，∴()f x 是偶函数．（2）当1[]0,x ∈时，1,[]0x --∈，则()()f x f x x =-=；进而当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()2()2()2f x f x x x ==-=---+．故()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．。
全国卷一专用2019年高考理科数学总复习 三角函数的图象与性质
全国卷一专用2019年高考理科数学总复习三角函数的图象与性质一、基础巩固组1.函数y=|2sin x|的最小正周期为( )A.πB.2πC.D.π2π42.已知函数f (x )=2sin(ωx+φ)对任意x 都有f =f ,则f 等于( )(π6+x )(π6-x )(π6)A.2或0B.-2或2C.0D.-2或03.已知函数f (x )=sin(ω>0),点A (m ,n ),B (m+π,n )(|n|≠1)都在曲线y=f (x )上,且线段(ωx -π3)AB 与曲线y=f (x )有五个公共点,则ω的值是( )A.4B.2C.D.12144.若函数f (x )=3cos(1<ω<14)的图象关于x=对称,则ω等于( )(ωx -π4)π12A.2 B.3C.6D.95.已知曲线f (x )=sin 2x+cos 2x 关于点(x 0,0)成中心对称,若x 0∈,则x 0=( )3[0,π2]A. B.π12π6C. D.π35π126.函数y=x cos x-sin x 的部分图象大致为( )7.已知函数f (x )=sin(ωx+φ),A 为f (x )图象的对称中心,B ,C 是该图3(ω>0,-π2<φ<π2)(13,0)象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f (x )的单调递增区间是( )A.,k ∈Z (2k -23,2k +43)B.,k ∈Z (2kπ-2π3,2kπ+4π3)C.,k ∈Z (4k -23,4k +43)D.,k ∈Z (4kπ-2π3,4kπ+4π3)8.(2017辽宁大连一模,理10)若方程2sin=n 在x ∈上有两个不相等的实数解x 1,x 2,(2x +π6)[0,π2]则x 1+x 2=( )A. B.π2π4C. D.π32π39.(2017全国Ⅲ,理6)设函数f (x )=cos,则下列结论错误的是( )(x +π3)A.f (x )的一个周期为-2πB.y=f (x )的图象关于直线x=对称8π3C.f (x+π)的一个零点为x=π6D.f (x )在单调递减(π2,π)10.若函数y=2sin(3x+φ)图象的一条对称轴为x=,则φ= . (|φ|<π2)π1211.已知函数y=cos x 与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值π3是 .二、综合提升组12.已知函数①y=sin x+cos x ,②y=2sin x cos x ,则下列结论正确的是( )2A.两个函数的图象均关于点成中心对称(-π4,0)B.两个函数的图象均关于直线x=-对称π4C.两个函数在区间内都是单调递增函数(-π4,π4)D.可以将函数②的图象向左平移个单位长度得到函数①的图象π413.若函数f (x )=cos(2x+φ)的图象关于点成中心对称,且-<φ<,则函数y=f 为( )(4π3,0)π2π2(x +π3)A.奇函数且在内单调递增(0,π4)B.偶函数且在内单调递增(0,π2)C.偶函数且在内单调递减(0,π2)D.奇函数且在内单调递减(0,π4)14.方程=|log 18x|的解的个数为 .(用数值作答) |cos (x +π2)|三、创新应用组15.已知函数f (x )=sin,若x 1,x 2∈,且满足x 1≠x 2,f (x 1)=f (x 2),则f (x 1+x 2)=( )(2x +π6)(-π12,5π12)A.1B.12C. D.-13216.已知函数f (x )=2m sin x-n cos x ,直线x=是函数f (x )图象上的一条对称轴,则= .π3n m 三角函数的图象与性质1.A 由图象(图象略)知T=π.2.B 由f =f 知,函数图象关于x=对称,f 是函数f (x )的最大值或最小值.故选B .(π6+x )(π6-x )π6(π6)3.A 由题意,2T=π,∴T=,π2=2πω∴ω=4,故选A .4.B ∵f (x )=3cos (1<ω<14)的图象关于x=对称,(ωx -π4)π12-=k π,k ∈Z ,即ω=12k+3.∵1<ω<14,∴由此求得ω=3,故选B .∴π12ωπ45.C 由题意可知f (x )=2sin ,其对称中心为(x 0,0),则2x 0+=k π(k ∈Z ),∴x 0=-(2x +π3)π3(k ∈Z ),π6+kπ2又x 0,∴k=1,x 0=,∈[0,π2]π3故选C .6.C 函数y=f (x )=x cos x-sin x 满足f (-x )=-f (x ),即函数为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;当x=π时,y=f (π)=πcos π-sin π=-π<0,故排除A,D,故选C .7.D 由题意,得(2)2+=42,3(T 2)2即12+=16,求得ω=π2ω2π2.再根据+φ=k π,k ∈Z ,且-<φ<,可得φ=-,π2·13π2π2π6∴f (x )=sin 3(π2x -π6).令2k π-x-2k π+,π2≤π2π6≤π2求得4k π-x ≤4k π+,故f (x )的单调递增区间为,4k π+,k ∈Z ,故选D .2π3≤4π3(4kπ-2π34π3)8.C ∵x ,∈[0,π2]∴2x+,方程2sin =n 在x 上有两个不相等的实数解x 1,x 2,π6∈[π6,7π6](2x +π6)∈[0,π2],∴2x 1+π6+2x 2+π62=π2则x 1+x 2=π3.9.D 由f (x )=cos 的解析式知-2π是它的一个周期,故A 正确;将x=代入f (x )=cos ,得(x +π3)8π3(x +π3)f =-1,故y=f (x )的图象关于直线x=对称,故B 正确;(8π3)8π3f (x+π)=cos ,当x =时,f (x+π)=cos =0,故C 正确;(x +4π3)π6(π6+4π3)当x 时,x+,显然f (x )先单调递减再单调递增,故D 错误.∈(π2,π)π3∈(5π6,4π3)10 因为y=sin x 图象的对称轴为x=k π+(k ∈Z ),.π4π2所以3+φ=k π+(k ∈Z ),×π12π2得φ=k π+(k ∈Z ).又|φ|<,π4π2所以k=0,故φ=π4.11 由题意cos =sin ,.π6π3(2×π3+φ)即sin ,(2π3+φ)=12+φ=k π+(-1)k (k ∈Z ),2π3·π6因为0≤φ<π,所以φ=π6.12.C ∵函数①y=sin x+cos x=sin ,②y=2sin x cos x=sin 2x ,2(x +π4)22由于②的图象不关于点成中心对称,故A 不正确.(-4,0)由于函数①的图象不可能关于直线x=-成轴对称,故B 不正确.π4由于这两个函数在区间内都是单调递增函数,故C 正确.(-π4,π4)由于将函数②的图象向左平移个单位得到函数y=sin 2,而y=sin π42(x +π4)22sin ,故D 不正确,故选C .(x +π4)≠2(x +π4)13.D 因为函数f (x )=cos(2x+φ)的图象关于点成中心对称,(4π3,0)则+φ=k π+,k ∈Z .8π3π2即φ=k π-,k ∈Z ,13π6又-<φ<,则φ=-,π2π2π6则y=f (x +π3)=cos =cos =-sin 2x ,所以该函数为奇函数且在内单调递减,故选D .[2(x +π3)-π6](2x +π2)(0,π4)14.12 =|log 18x|,∵|cos (x +π2)|∴|sin x|=|log 18x|.作出y=|sin x|与y=|log 18x|在(0,+∞)上的函数图象如图所示:由图象可知y=|sin x|与y=|log 18x|有12个交点,故答案为12.15.B 当x 时,f (x )=sin 的图象如下:∈(-π12,5π12)(2x +π6)满足x 1≠x 2,f (x 1)=f (x 2),可得x 1,x 2是关于x=对称.π6即,x 1+x 22=π6那么x 1+x 2=,得f (x 1+x 2)=f =sin 故选B .π3(π3)(π3×2+π6)=12.16.- 若x=是函数f (x )图象上的一条对称轴,则x=是函数f (x )的极值点.f'(x )=2m cos 233π3π3x+n sin x ,故f'=2m cos +n sin =m+n=0,所以=-(π3)π3π332n m 233.。
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题15三角函数的图象和性质(题型专练)含解析
1.在(0，2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为()A.∪B.C. D.∪【解析】选B.画出y=sinx，y=cosx在(0，2π)内的图象，它们的交点横坐标为，由图象可知x的取值范围为.2.下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是()A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos3.函数f(x)=sin在区间上的最小值是()A.-1B.-C.D.0【解析】选B.因为x∈，所以2x-∈，根据正弦曲线可知，当2x-=-时，f(x)取得最小值-.4.已知函数f(x)=sin(x-φ)，且f(x)dx=0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=5. y=1+sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y=2交点的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.作出y=1+sinx在[0，2π]上的图象，可知只有一个交点.6.下列函数中，周期为1的奇函数是()A.y=1-2sin2πxB.y=sinC.y=tan xD.y=sinπxcosπx【解析】选D.化简函数表达式y=1-2sin2πx=cos是偶函数，周期为1，y=sin的周期为1，是非奇非偶函数，y=tan x是奇函数，周期为2，y=sinπxcosπx=sin2πx是奇函数，周期为1.7.已知函数y=2cosx的定义域为，值域为[a，b]，则b-a的值是()A.2B.3C.+2D.2-8.已知函数f(x)=2sin，x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()A. B. C.π D.2π【解析】选C.由f(x)=1，得sin=，所以ωx1+=，或ωx2+=，所以ω(x2-x1)=.又因为x2-x1=，故ω=2，所以T==π.9.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是()A. B. C.[1，2] D.[0，2]10.关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A.是奇函数B.在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π【解析】函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误.∵当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝0，∴⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心. 【答案】C11.若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N +)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.8【解析】由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N +，∴ωmin ＝2. 【答案】B12.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③【答案】A13.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3 【解析】∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.【答案】B14.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，2π3B.⎝⎛⎭⎫π3，5π6C.⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎝⎛⎭⎫2π3，π 【解析】因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z .不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3<x <k π＋56π(k ∈Z ).取k ＝0，得函数f (x )的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π3，56π.【答案】B15.若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.【解析】因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.【答案】5π616.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________.【解析】由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ).【答案】⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )17.已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x ∈R ，给出下面四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )的图象的一条对称轴是x ＝2π3；③函数f (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，则正确结论的序号为________.【答案】②③④18.函数y=sin2x+cos 2x 的最小正周期为 .【解析】y=sin2x+cos 2x=sin2x+cos2x+=sin +， 所以T==π.【答案】π19.设常数a 使方程sinx+cosx=a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3= .【答案】20.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在同一周期内当x=时取最大值，当x=时取最小值，与y 轴的交点为(0，)，则f(x)的解析式为 .【解析】由题设知T=2=π，又T=，所以ω=2， 由2×+φ=得φ=;由=Asin ，得A=2，所以f(x)=2sin .【答案】f(x)=2sin21.若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________. 【解析】f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4.【答案】(－∞，－4]22.已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.23.已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值. 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，24.已知函数y=cos.(1)求函数的最小正周期.(2)求函数的对称轴及对称中心.(3)求函数的单调增区间.【解析】(1)由题可知ω=，T==8π，所以函数的最小正周期为8π.(2)由x+=kπ(k∈Z)，得x=4kπ-(k∈Z)，所以函数的对称轴为x=4kπ-(k∈Z);又由x+=kπ+(k∈Z)，得x=4kπ+(k∈Z);所以函数的对称中心为(k∈Z).(3)由2kπ+π≤x+≤2kπ+2π(k∈Z)，得8kπ+≤x≤+8kπ(k∈Z);所以函数的单调递增区间为，k∈Z.25.已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.。
2019年高考数学(理)：专题05-函数﹑基本初等函数的图像与性质(仿真押题)(含答案和解析)
1．已知f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3解析：因为f (x )＝x ＋1x －1，所以f (a )＝a ＋1a －1＝2，所以a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4，故选A. 答案：A2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B. 答案：B3．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ，1x x 其中定义域与值域相同的函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( )A.23B.38 C.32 D.83解析：易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3,4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.答案：D5．函数f (x )＝e xx的图象大致为( )解析：由f (x )＝e xx ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝x －xx 2，则当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，故选B. 答案：B6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.24.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a .因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 25.已知函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，且g (x )≠0，设p ：函数f (x )＝g (x )⎝⎛⎭⎫11－2x －12是偶函数；q ：函数g (x )是奇函数，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析 令h (x )＝11－2x －12(x ≠0)，易得h (x )＋h (－x )＝0，则h (x )为奇函数，又g (x )是奇函数，所以f (x )为偶函数；反过来也成立.因此p 是q 的充要条件. 26.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数.记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.c ＜b ＜a答案 C27.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，ax ＋1，x ≤0，若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( )A.{x |x >－1}B.{x |－1<x ≤0}C.{x |x >－1且x ≠0}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x ≤0或x >12 答案 D解析 因为f (4)＝2＋a ＝3，所以a ＝1.所以不等式f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＋1>0，即x >12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1>0，即－1<x ≤0，所以f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x ≤0或x >12.28.已知函数f (x ＋2)(x ∈R )为奇函数，且函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x2 018，则f (2 018)等于( ) A.2 018 B.12 018 C.11 009 D.0答案 D解析 由题意知，f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)，∴f (x )＝－f (－x ＋4)，又f (x )＝f (－x ＋2)，∴－f (－x ＋4)＝f (－x ＋2)，∴－f (－x ＋2)＝f (－x )，∴f (－x ＋4)＝f (－x )，∴f (x )的周期为4，故f (2 018)＝f (2 016＋2)＝f (2)＝f (0)＝0.29.已知函数f (x )＝x 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π＋12，则∑2 018k ＝1f⎝⎛⎭⎫k 2 019＝________. 答案 1 009解析 由所给函数知，f (x )＋f (1－x )＝x2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π＋12＋1－x 2(1－x )－1＋cos ⎝⎛⎭⎫1－x －π＋12＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π＋12＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π－12＝1，所以∑2 018k ＝1f⎝⎛⎭⎫k 2 019＝2 0182＝1 009. 30.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论.当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立.当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立.综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 31.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为______________________.答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 当a >0时，a 2＋a －[－3(－a )]>0⇒a 2－2a >0⇒a >2；当a ＜0时，－3a －[(－a )2＋(－a )]<0⇒a 2＋2a >0⇒a <－2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).32.能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________.(填序号) ①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x5＋x ；③f (x )＝tan x2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中，f (0)＝ln5－05＋0＝ln 1＝0，f (x )的定义域为(－5，5)，且f (－x )＝ln5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，f (x )的定义域为{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，且f (－x )＝tan－x 2＝－tan x2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )的定义域为R ，f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”.33．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ， x >1，－x －2， x ≤1，则f [f (2)]＝________；函数f (x )的值域是________．解析：由题意得f (2)＝12，f [f (2)]＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－12－2＝－52.因为当x >1时，1x ∈(0,1)；当x ≤1时，－x －2∈[－3，＋∞)，所以函数f (x )的值域为[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)34．若函数f (x )＝2x ＋a ·2－x 为奇函数，则实数a ＝________.解析：依题意得f (0)＝1＋a ＝0，所以a ＝－1. 答案：－135．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2 017)＋f (－2 016)＋f (0)＋f (2 016)＋f (2 017)＝________.解析：因为f (x )＝22x ＋1＋sin x ，所以f (－x )＝22－x ＋1－sin x ＝2·2x2x ＋1－sin x ，所以f (x )＋f (－x )＝2.则f (2 017)＋f (－2 017)＝2，f (2 016)＋f (－2 016)＝2.而f (0)＝220＋1＋sin 0＝1，所以f (－2 017)＋f (－2 016)＋f (0)＋f (2 016)＋f (2017)＝5. 答案：536．已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称； ②∀x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫34－x ＝f ⎝⎛⎭⎫34＋x ；③当x ∈⎝⎛⎦⎤－32，－34时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)． 则f (2 017)＝________.解析：由①知f (x )为奇函数．又由②可得f (x )是以3为周期的周期函数，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 2[－3×(－1)＋1]＝－log 24＝－2. 答案：－237.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.解析 当x ＞0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x， 因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0，1]38.已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立.当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4，4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________.解析 令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，说明函数f (x )在[0，2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0，2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2，0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2，4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在[－4，4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确. 答案 ①②④39.定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R).(1)写出f (x )在[0，1]上的解析式； (2)求f (x )在[0，1]上的最大值.解 (1)∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴a ＝1，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14－12.设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]， ∴f (－x )＝14－x －12－x ＝4x －2x，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2x－4x. ∴f (x )在[0，1]上的解析式为f (x )＝2x－4x. (2)f (x )＝2x－4x，x ∈[0，1]，令t ＝2x，t ∈[1，2]，g (t )＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，∴g (t )在[1，2]上是减函数，∴g (t )max ＝g (1)＝0，即x ＝0，f (x )max ＝0.40.已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－2mx 在[2，4]上单调，求m 的取值范围. 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a ＞0时，f (x )在[2，3]上为增函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f （3）＝5，f （2）＝2⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ②当a ＜0时，f (x )在[2，3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f （3）＝2，f （2）＝5⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2，4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m＋22≥4，∴2m ≤2或2m≥6，即m ≤1或m ≥log 26.故m 的取值范围是(－∞，1]∪[lo g 26，＋∞).41.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0).(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根. 解 (1)∵x ＞0，∴g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根.故m ∈[2e ，＋∞).(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点， 作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)的大致图象.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞). 42．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R)． (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数； 当a ≠0时，f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)解法一设x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0，即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，则a≤16.学-科网故a的取值范围是(－∞，16]．解法二f′(x)＝2x－ax2，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－ax2≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．故a的取值范围是(－∞，16]．43．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)证明：f(x)是奇函数；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．解析：(1)函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R，∴f(x)是奇函数．44．已知函数f(x)＝e x－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性．(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，且y ＝e x是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是增函数，∴f (x )是增函数． ∵f (x )的定义域为R ， 且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数， 由f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对x ∈R 恒成立， 则f (x －t )≥f (t 2－x 2)．∴t 2－x 2≤x －t ⇔x 2＋x ≥t 2＋t 对x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12. 即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。
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培优点一 函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y x x +-+=的单调递增区间为________． 【答案】（1）D ；（2）(],1-∞-，[]0,1【解析】（1）因为12log y t =，0t >在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数24t x =-的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(),2-∞-．（2）由题意知，当0x ≥时，222314()y x x x =-+=--++；当0x <时，222314()y x x x =-+=-+-+，二次函数的图象如图．由图象可知，函数223y x x +-+=在(],1-∞-，[]0,1上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数y x =+________． 【答案】1【解析】易知函数y x =[1,)+∞上为增函数，∴1x =时，min 1y =．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．【答案】（1）D ；（2）1|0133x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎭⎩或【解析】（1）根据已知可得函数()f x 的图象关于直线=1x 对称，且在(1,)+∞上是减函数，因为1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且52<<32，所以b a c >>．（2）由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭得191log 2x >或191log 02x -<<解得103x <<或13x <<．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1|21|3x -<，所以1233x <<．５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402【答案】C 【解析】()2f x +，()7f x +为偶函数()()22f x f x ∴+=-+，()()77f x f x +=-+，()f x ∴关于2x =，7x =轴对称，()f x ∴为周期函数，且()27210T =⋅-=，∴将[]0,2013划分为[)[)[)[]0,1010,202000,20102010,2013()f x 关于2x =，7x =轴对称()()4f x f x ∴=-，()()14f x f x =-()()160f f ==，()()()814860f f f =-==，()()()34310f f f =-==∴在[)0,10中只含有四个零点，而[)[)[)0,1010,202000,2010共201组所以2014804N =⨯=；在[]2010,2013中，含有零点()()201110f f ==，()()201330f f ==共两个， 所以一共有806个零点６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看()f x 的性质，由()1f x +，()1f x -为奇函数分别可得到：()()11f x f x +=--+，()()11f x f x -=---，所以()f x 关于()1,0，()1,0-中心对称，双对称出周期可求得()2114T =⋅--=⎡⎤⎣⎦，所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合A ，B ．对于D 选项，因为4T =，所以()()()511f x f x f x +=+=--+，进而可推出()f x 关于()3,0中心对称， 所以()3f x +为()f x 图像向左平移3个单位，即关于()0,0对称，所以()3f x +为奇函数，D 正确．７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+， ∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4， ∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-，又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．一、选择题1．若函数()2||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a 的值为（ ） A ．2- B ．2C ．6-D ．6【答案】C【解析】由图象易知函数()2||f x x a =+的单调增区间是,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，令=32a -，∴6a =-．2．已知函数2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】C【解析】要使2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则0a >且10a -≥，即1a ≥． 3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数 【答案】A【解析】易知()f x 的定义域为()1,1-，且()()()ln 1l (n 1)f x x x f x -+-=-=-，则()y f x =为奇函数， 又ln 1ln 1()()y x y x =+=--与在(0,1)上是增函数，所以()()()ln 1ln 1f x x x =-+-在(0,1)上是增函数． 4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】∵函数图象关于1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()y f x =在(1,)+∞上单调递增，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<，故选B ．对点增分集训5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由已知得()()11f f -=-，()()11g g -=，则有()()()()112114f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()13g =，故选B ．6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ ）【答案】D【解析】因为11()cos()cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x -π≤≤π且0x ≠，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ．当x =π时，1()cos 0f x ⎛⎫=π-π< ⎪π⎝⎭，排除C ，故选D ．7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】A【解析】∵()1f x +为偶函数，∴1()()1f x f x -=++，则(()2)f x f x +-=， 又()y f x =为奇函数，则()2()()f x f x f x -=+-=，且()00f =． 从而()2(()4)f x f x f x -+=+=，()y f x =的周期为4． ∴()()()()4501022f f f f +=+=+=，故选A ．8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（ ） A ．()1e x f x += B ．()1e x f x -= C ．()1e x f x -+= D ．()1e x f x --=【答案】D【解析】与e x y =的图象关于y 轴对称的函数为e x y -=．依题意，()f x 的图象向右平移一个单位， 得e x y -=的图象．∴()f x 的图象由e x y -=的图象向左平移一个单位得到．∴()1)1(e e x x f x +---==．9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()1,0- B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-【答案】A【解析】在同一坐标系内作出2(log )y x -=，1y x =+的图象，知满足条件的,0()1x ∈-，故选A ．10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的， 则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（ ） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-< D ．()10()( 6.5)f f f -<<-【答案】A【解析】由()()1f x f x +=-，得()1(()2)f x f x f x -+=+=，∴函数()f x 的周期是2． ∵函数()f x 为偶函数，∴ 6.50.5()()(0.)5f f f -=-=，()()11f f -=．∵()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，∴()()00.5(1)f f f <<，即()0 6.5()()1f f f <-<-．11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =， 则()()20152016f f +=（ ） A ．0 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】(1)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()y f x =的图象关于0x =对称， 即函数()f x 是偶函数，令1x =-，则()121(12)()f f f --=+-， ∴()()()11210f f f -==，即()10f ＝，则()()2(210)f x f x f -=+=，即()2()f x f x +=，则函数的周期是2，又()02f =， 则()()()()2015201610022f f f f +=+=+=．12．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（ ） A ．[0,3]B ．(1,3)C ．2⎡+⎣D ．(22-+【答案】D【解析】由题可知()e 11x f x =->-，()2243211()g x x x x -=---++≤=， 若()()f a g b =，则(),1(]1g b -∈，即2431b b -->-+，即2420b b +<-，解得22b <+b的取值范围为(2，故选D ．二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______． 【答案】[0,1)【解析】由题意知()22111g x x x x xx ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，函数的图象如图所示的实线部分， 根据图象，()g x 的减区间是[0,1)．14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以294137373724244646435si 64n 161666f f f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⎝⎭．15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取 值范围是________． 【答案】[)1,-+∞【解析】如图作出函数()||f x x a =+与()1g x x =-的图象，观察图象可知：当且仅当1a -≤，即1a ≥-时，不等式()()f x g x ≥恒成立，因此a 的取值范围是[)1,-+∞．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．【解析】依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， ∴()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11021102121212f f f ⎛⎫=++=-++= ⎪⎝⎭--三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数． （1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值； （3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）ln 2a；（3）(2,)+∞．【解析】（1）由20a x x +->，得220x x ax-+>，当1a >时，220x x a +>-恒成立，定义域为(0,)+∞， 当1a =时，定义域为0{|}1x x x >≠且，当01a <<时，定义域为{|011x x x <<>．（2）设()2a g x x x =+-，当4()1,a ∈，,[)2x ∈+∞时，∴222()10a x ag x x x-'=-=>．因此()g x 在[2,)+∞上是增函数，∴()f x 在[2,)+∞上是增函数．则min ()(2)ln 2a f x f ==． （3）对任意,[)2x ∈+∞，恒有()0f x >．即21ax x+->对,[)2x ∈+∞恒成立． ∴23a x x >-．令()23h x x x =-，,[)2x ∈+∞．由于239()24h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在[2,)+∞上是减函数，∴()()max 22h x h ==．故2a >时，恒有()0f x >．因此实数a 的取值范围为(2,)+∞．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．【答案】（1）()f x 是偶函数；（2）()[]()[]1,00,121,2x x x x x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．【解析】（1）∵()1()1f x f x =+-，∴(()2)f x f x =+-．又()2()f x f x +=，∴()()f x f x -=．又()f x 的定义域为R ，∴()f x 是偶函数． （2）当1[]0,x ∈时，1,[]0x --∈，则()()f x f x x =-=；进而当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()2()2()2f x f x x x ==-=---+．故()[]()[]1,00,121,2x x x x x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．。