2016-2017年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

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2016-2017学年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二上学期数学期中试卷带解析(文科)

2016-2017学年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（）A．（1，0，0）B．（1，0，1）C．（1，1，1）D．（1，1，0）2．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）A． B． C． D．3．（5分）与直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为（）A．3x+5y+4=0 B．3x﹣5y﹣4=0 C．5x﹣3y+4=0 D．5x+3y+4=04．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．5．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB 相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣6．（5分）已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线的一支C．抛物线D．圆7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y+3=08．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣ B．﹣ C．D．9．（5分）已知椭圆C 1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1和双曲线C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知下列选项，其中错误的是（）①过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4外一点M（3，1），且与圆相切的直线方程为3x ﹣4y﹣5=0；②方程Ax2+By2=1（A＞0，B＞0）表示椭圆方程；③平面内到点F1（0，4），F2（0，﹣4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线；④方程﹣=1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线．A．①②③④B．①②③C．③④D．②④11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．12．（5分）已知点P（m，n）在椭圆+=1上，则直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x=．14．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是．15．（5分）已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是．16．（5分）已知点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0（1）若l1⊥l2，求m的值，；（2）若l1∥l2，且它们的距离为，求m、n的值．18．（12分）某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．19．（12分）已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）．（Ⅰ）求圆的方程；（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量（O为坐标原点），求实数k．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C 有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该椭圆的离心率与双曲线=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆的方程；（II）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求y0的值．2016-2017学年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（）A．（1，0，0）B．（1，0，1）C．（1，1，1）D．（1，1，0）【解答】解：根据题意，可得∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴点B1在x轴上的射影点为A（1，0，0），可得B1的横坐标为1；点B1在y轴上的射影点为C（0，1，0），可得B1的纵坐标为1；点B1在z轴上的射影点为D1（0，0，1），可得B1的竖坐标为1．由此可得点B1的坐标是（1，1，1）．故选：C．2．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）A． B． C． D．【解答】解：∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是=0，整理得y=±x．故选：B．3．（5分）与直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为（）A．3x+5y+4=0 B．3x﹣5y﹣4=0 C．5x﹣3y+4=0 D．5x+3y+4=0【解答】解：直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称，设坐标（x，y）是所求直线方程上的点，那么：坐标（x，y）关于原点对称为（﹣x，﹣y）在直线l上，则有：﹣3x+5y+4=0，化简可得：3x﹣5y﹣4=0．故选：B．4．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时z最大，最大值为9，故选：A．5．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．6．（5分）已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线的一支C．抛物线D．圆【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a，|PQ|=|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a．∴|F1Q|=2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，∴动点Q的轨迹是圆．故选：D．7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y+3=0【解答】解：设过点A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），由中点坐标公式可知：，则，两式相减得：+=0，∴=﹣，∴直线EF的斜率k==﹣，∴直线EF的方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），整理得：2y+x﹣3=0，故选：A．8．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：根据反射定律，圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为=，故选：C．9．（5分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1和双曲线C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，∵|PF2|=2，∴|PF1|=6，∴2a=|PF2|+|PF2|=8，∴a=4．∵双曲线C2：x2﹣y2=4可化为=1，∴c==2∵椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，∴c=2，∴椭圆C1的离心率为e==，故选：B．10．（5分）已知下列选项，其中错误的是（）①过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4外一点M（3，1），且与圆相切的直线方程为3x ﹣4y﹣5=0；②方程Ax2+By2=1（A＞0，B＞0）表示椭圆方程；③平面内到点F1（0，4），F2（0，﹣4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线；④方程﹣=1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线．A．①②③④B．①②③C．③④D．②④【解答】解：①过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4外一点M（3，1），且与圆相切的直线方程为3x﹣4y﹣5=0或x=3，错误；②方程Ax2+By2=1（A＞0，B＞0）表示椭圆方程，A=B，表示圆，错误；③平面内到点F1（0，4），F2（0，﹣4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是射线，错误；④方程﹣=1（m＞0，n＞0）表示焦点在x轴上的双曲线，错误．故选：A．11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选：B．12．（5分）已知点P（m，n）在椭圆+=1上，则直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【解答】解：∵P（m，n）在椭圆+=1上，∴，，圆x2+y2=的圆心O（0，0）到直线mx+ny+1=0的距离：d==，∴直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为相交或相切．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x=3．【解答】解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，，，⇒1×（﹣10）=﹣5（x﹣1）⇒x=3故答案为314．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是（2，3）．【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0，根据k的任意性可得，解得，∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都经过一个定点（2，3）．故答案为：（2，3）．15．（5分）已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是x=﹣4和4x+3y+25=0．【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5，弦长m=8，设弦心距是d，则由勾股定理，r2=d2+（）2d=3，若l斜率不存在，直线是x=﹣4，圆心和它的距离是﹣3，符合题意，若l斜率存在，设直线方程y+3=k（x+4），即kx﹣y+4k﹣3=0，则d==3，即9k2﹣6k+1=9k2+9，解得k=﹣，所以所求直线方程为x+4=0和4x+3y+25=0，故答案为：x=﹣4和4x+3y+25=0．16．（5分）已知点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C 1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于．【解答】解：取双曲线的一条渐近线：，联立解得，故A．∵点A到抛物线的准线的距离为p，∴，化为．∴双曲线C2的离心率．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0（1）若l1⊥l2，求m的值，；（2）若l1∥l2，且它们的距离为，求m、n的值．【解答】解：（1）直线l1：y=﹣2x﹣2，斜率是﹣2，直线l2：y=﹣x﹣，斜率是：﹣，若l1⊥l2，则﹣2•（﹣）=﹣1，解得：m=﹣2；（2）若l1∥l2，则﹣2=﹣，解得：m=8，∴直线l1：y=﹣2x﹣2，直线l2：y=﹣2x﹣，在直线l 1上取点（0，﹣2），则（0，﹣2）到l 2的距离是： d==，解得：n=28或﹣12．18．（12分）某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：分别用x ，y 表示搭载新产品A ，B 的件数．总收益用Z 表示（Ⅰ）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问分别搭载新产品A 、B 各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．【解答】解：（Ⅰ）解：由已知x ，y 满足的数学关系式为，且x∈N ，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分．…（6分）（Ⅱ）解：设最大收益为z万元，则目标函数z=80x+60y．作出直线l a：4x+3y=0并平移，由图象知，当直线经过M点时，z能取到最大值，由解得且满足x∈N，y∈N，即M（9，4）是最优解，所以z max=80×9+60×4=960（万元），答：搭载A产品9件，B产品4件，能使总预计收益达到最大值，最大预计收益为960万元．…（12分）19．（12分）已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）．（Ⅰ）求圆的方程；（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量（O为坐标原点），求实数k．【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣4a）2=r2因为直线相切，圆心到直线的距离，且圆心与切点连线与直线l 垂直可得a=0，r=，所以圆的方程为：x2+y2=2…（6分）（II）直线与圆联立：得：（1+k2）x2+6kx+7=0，△=8k2﹣28＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2），，M代入圆方程：，求得k=…（12分）20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C 有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，由得y2+2y﹣2t=0，∵直线l与抛物线有公共点，∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1∵t≥﹣∴t=1∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=021．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意得e==，a2=2b，a2﹣b2=c2，解得a=，b=c=1故椭圆的方程为x2+=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x 0，y0）．联立直线y=x+m与椭圆的方程得，即3x2+2mx+m2﹣2=0，△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即m2＜3，x 1+x2=﹣，所以x0==﹣，y0=x0+m=，即M（﹣，）．又因为M点在圆x2+y2=5上，可得（﹣）2+（）2=5，解得m=±3与m2＜3矛盾．故实数m不存在．22．（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该椭圆的离心率与双曲线=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆的方程；（II）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求y0的值．【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为，所以…（1分）双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率e==，解得：a=2，所以b2=1…（3分）∴椭圆方程为：；…（4分）（2）由（1）知A（﹣2，0），且直线l的斜率必存在，设斜率为k，则直线方程为：y=k（x+2），设点B的坐标为（x1，y1），联立方程，方程消去y整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0…（5分）A，B两点坐标满足上述方程，由韦达定理得，所以，所以A（﹣2，0），B的坐标为，…（6分）线段AB的中点为M，则M点坐标为…（7分）以下分两种情况：①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是，…（8分）②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为，令x=0，解得，由…（9分）∴•=﹣2x1﹣y0（y1﹣y0），=﹣2×+（+），==4…（10分）整理得：…（11分）综上所述，或．…（12分）。

2016-2017学年四川省成都市温江区高二(上)期末数学试卷(理科)

2016-2017学年四川省成都市温江区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）过点M（﹣3，2），N（﹣2，3）的直线倾斜角是（）A． B．C．D．2．（5分）如图是2016年某学生进行舞蹈比赛环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和众数依次是（）A．85.84 B．84.85 C．85.87 D．84.863．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣24．（5分）已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0 B．C．∀x＜0，x3≤0 D．5．（5分）实验测得五组（x，y）的值是（1，2）（2，4）（3，4）（4，7）（5，8），若线性回归方程为=0.7x+，则的值是（）A．1.4 B．1.9 C．2.2 D．2.96．（5分）“a≤2”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）两直线3x+y﹣3=0与3x+my+=0平行，则它们之间的距离是（）A．4 B．C．D．8．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入n=2017，则输出的S值是（）A．B．C．D．9．（5分）曲线y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．[，+∞） B．（，]C．（0，）D．（，]10．（5分）温江某农户计划种植蒜台和花菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植蒜台和菜花的产量、成本和价格如表所示：那么一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大为（）A．50万B．48万C．47万D．45万11．（5分）设集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x﹣t）2+（y ﹣at+2）2=1}，如果命题“∀t∈R，A∩B=∅”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（0，]C．[0，]D．（﹣∞，0]∪[，+∞）12．（5分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A．B．C．D．1二、填空题13．（5分）空间中点A（2，3，5）与B（3，1，4），则|AB|=．14．（5分）某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取10%的工人进行调查，首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是．15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2=1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于．16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣4，0），（4，0）连线的斜率之乘积为﹣，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0），F2（5，0）；（2）曲线C上存在一点M，使得S△F1MF2=9；（3）P为曲线C上一点，P，F1，F2是直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，的值为；（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|PA|+|PF1|的最大值为8+；其中正确命题的序号是．三、解答题17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3）．（1）求AC边上的中线所在直线方程；（2）求AB边上的高所在直线方程．18．（10分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其英语成绩分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据补充完整频率分布直方图估计出本次考试的平均分数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？19．（12分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（12分）某公司2017年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动．（1）现需要从第一排就座的6位嘉宾A、B、C、D、E、F中随机抽取2人上台抽奖，求嘉宾A和嘉宾B至少有一人上台抽奖的概率；（2）抽奖活动的规则是：嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该嘉宾中奖的概率．21．（12分）已知圆F的圆心坐标为（1，0），且被直线x+y﹣2=0截得的弦长为．（1）求圆F的方程；（2）若动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程；（3）直线l与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点，且•=﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．22．（14分）以椭圆C：+=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．（1）若椭圆C的离心率为，其“伴随”与直线x+y﹣2=0相切，求椭圆C的方程．（2）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于AB两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．2016-2017学年四川省成都市温江区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2016秋•温江区期末）过点M（﹣3，2），N（﹣2，3）的直线倾斜角是（）A． B．C．D．【解答】解：设直线倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ==1，∴θ=．故选：B．2．（5分）（2016秋•温江区期末）如图是2016年某学生进行舞蹈比赛环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和众数依次是（）A．85.84 B．84.85 C．85.87 D．84.86【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84，84，86，84，87，∴所剩数据的平均数为：=（84+84+86+84+87）=85，所剩数据众数为：84．故选：A．3．（5分）（2016秋•温江区期末）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【解答】解：由x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线x2=4y的准线方程是y=﹣1，故选A．4．（5分）（2016秋•温江区期末）已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0 B．C．∀x＜0，x3≤0 D．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是．故选：D．5．（5分）（2016秋•温江区期末）实验测得五组（x，y）的值是（1，2）（2，4）（3，4）（4，7）（5，8），若线性回归方程为=0.7x+，则的值是（）A．1.4 B．1.9 C．2.2 D．2.9【解答】解：根据五组（x，y）的值，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（2+4+4+7+8）=5，且线性回归方程=0.7x+过样本中心点，则=﹣0.7=5﹣0.7×3=2.9．故选：D．6．（5分）（2016秋•温江区期末）“a≤2”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则4+4﹣4a＞0，∴a＜2，∵“a≤2”是a＜2的必要不充分条件，∴“a≤2”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆”的必要不充分条件，故选B．7．（5分）（2016秋•温江区期末）两直线3x+y﹣3=0与3x+my+=0平行，则它们之间的距离是（）A．4 B．C．D．【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与3x+my+=0平行，∴m=1．因此，直线3x+y﹣3=0与3x+y+=0之间的距离为d==，故选：D．8．（5分）（2016秋•温江区期末）阅读如图所示的程序框图，若输入n=2017，则输出的S值是（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得：n=2017，k=1，S=0执行循环体，S=0+，k=2；满足条件k＜2017，执行循环体，S=0++，k=3；…满足条件k＜2017，执行循环体，S=0+++…+，k=2017；此时，不满足条件k＜2017，退出循环，输出S的值．由于：S=0+++…+=×[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：A．9．（5分）（2016秋•温江区期末）曲线y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y=k（x ﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．[，+∞） B．（，]C．（0，）D．（，]【解答】解：y=1+可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个．且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=，则实数k的取值范围为，故选B．10．（5分）（2016秋•温江区期末）温江某农户计划种植蒜台和花菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植蒜台和菜花的产量、成本和价格如表所示：那么一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大为（）A．50万B．48万C．47万D．45万【解答】解：设农户计划种植蒜台和花菜各x亩，y亩；则由题意可得，；一年的种植总利润z=0.55×4x+0.3×6y﹣（1.2x+0.9y）=x+0.9y；作平面区域如下，结合图象可知，；解得x=30，y=20；此时一年的种植总利润最大为30+0.9×20=48；故选：B．11．（5分）（2016秋•温江区期末）设集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1}，如果命题“∀t∈R，A∩B=∅”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（0，]C．[0，]D．（﹣∞，0]∪[，+∞）【解答】解：∵集合A、B分别表示两个圆，圆心M（4，0），r1=1，N（t，at﹣2），r2=1，∃t∈R，A∩B≠∅，则两圆一定有公共点，|MN|=，0≤|MN|≤2，即|MN|2≤4，化简得，（a2+1）t2﹣（8+4a）t+16≤0．∵a2+1＞0，∴△=（8+4a）2﹣4（a2+1）×16≥0，即3a2﹣4a≤0，∴0≤a≤．故选：C．12．（5分）（2016秋•温江区期末）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A．B．C．D．1【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则：在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22=4c2，又因为，∴e1e2≥，故选：C二、填空题13．（5分）（2016秋•温江区期末）空间中点A（2，3，5）与B（3，1，4），则|AB|=．【解答】解：∵A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|==，故答案为．14．（5分）（2016•南通模拟）某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取10%的工人进行调查，首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是617．【解答】解：第一步：将624名职工用随机方式进行编号，第二步：从总体中剔除4人（剔除方法可用随机数法），将剩下的620名职工重新编号，分别为000，001，002，…，619，并分成62段，第三步：在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码007，第四步：将编号为7，7+10，7+20，i 0+20，…，7+610=617的个体抽出，组成样本．故样本中的最大编号是617，故答案为：617．15．（5分）（2016秋•温江区期末）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2=1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于．【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d，则⇒p=8，所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为（1，4）；又双曲线的左顶点为，渐近线为，所以，由题设可得，解得．故答案为：16．（5分）（2016秋•温江区期末）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣4，0），（4，0）连线的斜率之乘积为﹣，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0），F2（5，0）；（2）曲线C上存在一点M，使得S△F1MF2=9；（3）P为曲线C上一点，P，F1，F2是直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，的值为；（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|PA|+|PF1|的最大值为8+；其中正确命题的序号是③④．【解答】解：设M（x，y），则k MA•k MB=，化简得曲线C是以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点的椭圆，对于（1），曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0），F2（5，0）错；对于（2），因为b2=9，要使S△F1MF2=9，必须要存在点M，使∠F1MF2=900∵c==3，∴不存在M，使得S△F1MF2=9，故错；对于（3），由（2）得，P为曲线C上一点，P，F1，F2是直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则必有PF1⊥F1F2|PF1|=，|PF2|=2a﹣|PF1|=，∴的值为，正确；对于（4），则|PA|+|PF1|=2a+|PA|﹣|PF2|≤2a+|PA|=8+，故正确；故答案为：③④三、解答题17．（10分）（2016秋•温江区期末）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3）．（1）求AC边上的中线所在直线方程；（2）求AB边上的高所在直线方程．【解答】解：（1）线段AC的中点D坐标为（1，4）AC边上的中线BD所在直线的方程是：，即2x+y﹣6=0；（2），AB边上高的斜率是﹣，AB边上的高所在直线方程是y﹣3=（x+6），即4x+7y+3=0．18．（10分）（2016秋•温江区期末）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其英语成绩分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据补充完整频率分布直方图估计出本次考试的平均分数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．又=0.03，补出的图形如下图所示；（2）根据频率分布直方图，计算平均分为：=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，估计这次考试的平均分是71；又0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4＜0.5，0.4+0.03×10=0.7＞0.5，∴中位数在[70，80）内，计算中位数为70+≈73.3；（3）根据分层抽样原理，[40，50）分数段应抽取人数为0.10×20=2人；[50，60）分数段应抽取人数为0.15×20=3人；[60，70）分数段应抽取人数为0.15×20=3人；[70，80）分数段应抽取人数为0.3×20=6人；[80，90）分数段应抽取人数为0.25×20=5人；[90，100]分数段应抽取人数为0.05×20=1人．19．（12分）（2016秋•温江区期末）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．20．（12分）（2016秋•温江区期末）某公司2017年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动．（1）现需要从第一排就座的6位嘉宾A、B、C、D、E、F中随机抽取2人上台抽奖，求嘉宾A和嘉宾B至少有一人上台抽奖的概率；（2）抽奖活动的规则是：嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该嘉宾中奖的概率．【解答】解：（1）6位嘉宾，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件，得到的区域为图中的阴影部分，由2x﹣y﹣1=0，令y=0，可得x=，令y=1，可得x=1，=（1+）×1=．∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为S阴∴该代表中奖的概率为=．21．（12分）（2016秋•温江区期末）已知圆F的圆心坐标为（1，0），且被直线x+y﹣2=0截得的弦长为．（1）求圆F的方程；（2）若动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程；（3）直线l与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点，且•=﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．【解答】解：（1）设圆F的方程为（x﹣1）2+y2=r2，r＞0，由圆心到直线x+y﹣2=0的距离为d==，由弦长公式可得=2，解得r=1，可得圆F的方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）设M的坐标为（x，y），由动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，可得M到点F的距离比它到y轴的距离大1，即为M到点F的距离比它到直线x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心M的轨迹方程为y2=4x；（3）证明：设l：x=ty+b代入抛物线y2=4x，消去x得y2﹣4ty﹣4b=0设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=﹣4b，∴•=x1x2+y1y2=（ty1+b）（ty2+b）+y1y2=t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2=﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b=b2﹣4b令b2﹣4b=﹣4，∴b2﹣4b+4=0∴b=2．∴直线l过定点（2，0）．22．（14分）（2016秋•温江区期末）以椭圆C：+=1（a＞b＞0）的中心O 为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．（1）若椭圆C的离心率为，其“伴随”与直线x+y﹣2=0相切，求椭圆C的方程．（2）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于AB两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其“伴随”与直线x+y﹣2=0相切，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）由（1）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），|=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以λ=2，即|=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0可得m2＜1+4k2，②由①②可得0＜t＜1，则S=2在（0，1）递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；zlzhan；双曲线；qiss；742048；lcb001；w3239003；changq；陈远才；whgcn；豫汝王世崇；maths（排名不分先后）胡雯2017年4月7日。

2016-2017学年四川省成都市龙泉实验中学高二(上)入学数学试卷(解析版)

2016-2017学年四川省成都市龙泉实验中学高二（上）入学数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9）和B（10，﹣1，6）为端点的线段长是（）A．49B．45C．7D．32．（5分）设a，b，c∈R，且b＞a，则下列命题一定正确的是（）A．bc＞ac B．b3＞a3C．b2＞a2D．＜3．（5分）已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]4．（5分）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则k 的值是（）A．1或3B．1或5C．3或5D．1或25．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出A的值为（）6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a3•a7＝9，则log3a4+log3a5+log3a6＝（）A．1B．2C．3D．47．（5分）若，是两个单位向量，且（2+）•（﹣2+3）＝2﹣1，则，的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）设A为圆（x﹣1）2+y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2＝4B．（x﹣1）2+y2＝2C．y2＝2x D．y2＝﹣2x9．（5分）函数y＝sin（2x+）的单调减区间为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）10．（5分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P，若＝λ+μ，则λ等于（）A．B．﹣1C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x＝对称12．（5分）三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC且P A＝2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）已知x、y∈R+，且满足+＝2，则8x+y的取值范围是．14．（5分）将一根长为10cm的细铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，则所围成矩形的面积大于6cm2的概率为．15．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）＝2，则不等式f（x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝A sin x+cos x，A＞0．（1）若A＝1，求f（x）的单调递增区间；（2）函数f（x）在x＝x0处取得最大值，求cos x0 的值．18．（12分）如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM＝3km，且∠AOM＝β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα＝2，cosβ＝，AO＝15km．（1）求大学M在站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB．19．（12分）在△ABC中，直线AB的方程为3x﹣2y﹣1＝0，直线AC的方程为2x+3y﹣18＝0．直线BC的方程为3x+4y﹣m＝0（m≠25）．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．20．（12分）已知{a n}是各项均为正数的数列，{b n}是等差数列，且a1＝b1＝1，a5﹣3b2＝7.+（2﹣a n+1）a n﹣a n+1＝0（n∈N*）（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠ABC＝60°，P A⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，点H在PD上，且EH⊥PD，P A＝AB＝2．（1）求证：EH∥平面PBA；（2）求三棱锥P﹣AFH的体积．22．（12分）已知A，B分别是直线y＝x和y＝﹣x上的两个动点，线段AB的长为2，D 是AB的中点．（1）求动点D的轨迹C的方程；（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，①当|PQ|＝3时，求直线l的方程；②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省成都市龙泉实验中学高二（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．【解答】解：|AB|＝＝＝7．故选：C．2．【解答】解：∵b＞a，当c≤0时，bc≤ac，故A错误；y＝x3为增函数，故b3＞a3，故B正确；b＝1，a＝﹣1时，满足b＞a，但b2＝a2，故C错误；b＞0＞a时，＞，故D错误；故选：B．3．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．4．【解答】解：由两直线平行得，当k﹣3＝0时，两直线的方程分别为y＝﹣1 和y＝，显然两直线平行．当k﹣3≠0时，由＝≠，可得k＝5．综上，k的值是3或5，故选：C．5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得A＝1，i＝1A＝，i＝2满足条件i≤10，A＝，i＝3满足条件i≤10，A＝，i＝4满足条件i≤10，A＝，i＝5满足条件i≤10，A＝，i＝6满足条件i≤10，A＝，i＝7满足条件i≤10，A＝，i＝8满足条件i≤10，A＝，i＝9满足条件i≤10，A＝，i＝10满足条件i≤10，A＝，i＝11不满足条件i≤10，退出循环，输出A的值为，故选：C．6．【解答】解：∵在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3•a7＝9，∴a3•a7＝（a5）2＝9，∴a5＝3，∴log3a4+log3a5+log3a6＝log3（a4×a5×a6）＝log3a53＝＝3．故选：C．7．【解答】解：∵（2+）•（﹣2+3）＝2﹣1，∴﹣4+3+4＝2﹣1．∵＝＝1，∴＝．∴cos＜，＞＝＝．∴＜，＞＝．故选：A．8．【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，其轨迹方程为（x﹣1）2+y2＝2．故选：B．9．【解答】解：令：，t＝sin（2x+）根据对数函数的定义域可得sin（2x+）＞0，∴2kπ＜2x+＜2kπ+π，由复合函数的单调性可知，∴2kπ＜2x+≤2kπ+∴kπ＜x≤kπ+∴函数的单调减区间为（k∈Z）故选：B．10．【解答】解：以BC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB＝，则：A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）；根据正切的二倍角公式：设tan22.5＝x，则，且x＞0；∴解得x＝；∴直线BE的方程为；∴令x＝0，y＝，即；∴，；∴；∴；解得．故选：D．11．【解答】解：由题意可得＝π，解得ω＝2，故函数f（x）＝sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin[2（x﹣）+φ]＝sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ＝﹣，故函数f（x）＝sin（2x﹣），故当x＝时，函数f（x）＝sin＝1，故函数f（x）＝sin（2x﹣）关于直线x＝对称，故选：D．12．【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为的正三角形，P A⊥底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以P A为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r＝＝1，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，故球的半径R＝＝，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4πR2＝8π，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．【解答】解：∵x、y∈R+，且满足+＝2，∴8x+y＝（+）（8x+y）＝（10++）≥（10+8）＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝3时，取等号，∴8x+y的取值范围是[9，+∞）．故答案为：[9，+∞）．14．【解答】解：10厘米剪成两段，设为x，10﹣x（0＜x＜10）．S＝x（10﹣x）＞6，∴4＜x＜6所以概率为＝．故答案为：．15．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E＝2EB，CF＝2FC1，所以BE：CF＝1：2所以SB：SC＝1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS＝a，BP＝，BE＝，在RT△PBE中，tan∠EPB ＝＝＝，故答案为：16．【解答】解：因为f（x）是在R上的奇函数，f（﹣1）＝2，所以f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x﹣1）+2≤0为：f（x﹣1）≤﹣2＝f（1），所以0＜x﹣1≤1，解得1＜x≤2，所以不等式f（x﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为（1，2]，故答案为：（1，2]．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）∵由题意可得：f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），∴由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．（2）∵f（x）＝A sin x+cos x＝sin（x+φ），其中tanφ＝，且函数f（x）在x＝x0处取得最大值，∴sin（x0+φ）＝1，其中tanφ＝，＝，∴由A＞0，解得：A＝2，sinφ＝＝，x0+φ＝2kπ+，k∈Z，∴x0＝2kπ+﹣φ，k∈Z，∴cos x0 ＝cos（2kπ+﹣φ）＝sinφ＝．18．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△AOM中，A0＝15，∠AOM＝β，且cosβ＝，OM＝3，由余弦定理可得：AM2＝OA2+OM2﹣2OA•OM•cos∠AOM＝（3）2+152﹣2××15×＝72．所以可得：AM＝6，大学M在站A的距离AM为6km．…6分（2）∵cos，且β为锐角，∴sinβ＝，在△AOM中，由正弦定理可得：＝，即＝，∴sin∠MAO＝，∴∠MAO＝，∴∠ABO＝α﹣，∵tanα＝2，∴sin，cosα＝，∴sin∠ABO＝sin（）＝，又∵∠AOB＝π﹣α，∴sin∠AOB＝sin（π﹣α）＝．在△AOB中，AO＝15，由正弦定理可得：＝，即，∴解得AB＝30，即铁路AB段的长AB为30km．…12分19．【解答】解：（1）∵直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，k AB k AC＝﹣1，∴直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形．（2）解方程组，得，即A（3，4）．设点A到直线BC的距离为d，则．由题意知d＝1，即，即m＝20或30．20．【解答】解：（1）由得：a n+1（a n+1）＝2a n（a n+1）．∵因为{a n}的各项都为正数，∴．故{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，因此数列{a n}的通项公式为．设数列{b n}的公差为d，由a5﹣3b2＝7，b1＝1得d＝2，∴数列{b n}的通项公式为b n＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知c n＝（2n﹣1）•2n﹣1，设{c n}的前n项和为S n，则S n＝1×20+3×21+5×22+…+（2n﹣3）×2n﹣2+（2n﹣1）×2n﹣1，2S n＝1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）×2n，上述两式相减，得﹣S n＝1+22+23+…+2n﹣（2n﹣1）×2n＝2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n＝﹣（2n﹣3）×2n﹣3，所以S n＝（2n﹣3）•2n+3，n∈N*．21．【解答】（1）证明：∵平面ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵P A＝AB，∴P A＝AD，∵AB＝BC，∠B＝60°，BE＝EC，∴∠BAE＝30°，∴∠EAD＝90°，∵P A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴P A⊥AE，即∠P AE＝90°，∴△P AE≌△DAE，∴PE＝PD，∵EH⊥PD，∴H为PD的中点，∵FH∥CD∥AB，∴FH∥平面P AB，∵E，F分别为BC，PC的中点∴EF∥AB，∵AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB，∵EF∩FH＝H，EF⊂平面EFH，FH⊂平面EFH，∴平面EFH∥平面P AB，∵EH⊂平面EFH，∴EH∥平面P AB．（2）∵F，H为中点，∴V P﹣AFH＝V P﹣ACD＝•••2•2•sin60°•2＝22．【解答】解：（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），∵D是AB的中点，∴x＝，y＝，∵|AB|＝2，∴（a﹣b）2+（a+b）2＝12，∴（2y）2+（2x）2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2+y2＝3．（2）①当直线l与x轴垂直时，P（1，），Q（1，﹣），此时|PQ|＝2，不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为，由＝，解得k＝±．故直线l的方程为y＝±（x﹣1）．②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k（x﹣1），由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则由韦达定理得x1+x2＝，x1x2＝，则＝（m﹣x1，﹣y1），＝（m﹣x2，﹣y2），∴•＝（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2＝m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2＝m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝m2﹣++k2（﹣+1）＝要使上式为定值须＝1，解得m＝1，∴•为定值﹣2，当直线l的斜率不存在时P（1，），Q（1，﹣），由E（1，0）可得＝（0，﹣），＝（0，），∴•＝﹣2，综上所述当E（1，0）时，•为定值﹣2．。

四川省成都市龙泉一中2016-2017学年高二(上)入学数学试卷(文科)

2016-2017学年四川省成都市龙泉一中高二（上）入学数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．经过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为4，则直线l的方程为（）A．x﹣2y+9=0或x+2y+3=0 B．2x﹣y+9=0或2x+y+3=0C．x+2y+3=0或x﹣2y+9=0 D．x+2y+9=0或2x﹣y+3=02．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.54．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，1）5．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0}，U=R，则∁U M=（）A． B．（﹣∞，23，+∞）C． D．6．已知向量=（2，1），=（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣17．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A． B． C．D．以上都不对8．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（）A．B．C．D．19．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°10．已知函数f（x）=ln（cosx），则下列说法中，错误的是（）①f（x）在定义域上存在最小值；②f（x）在定义域上存在最大值③f（x）在定义域上为奇函数；④f（x）在定义域上为偶函数．A．①③B．②④C．①②D．③④11．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为______．14．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ______．15．将一个总体分为A，B，C三个层次，已知A，B，C的个体数之比为5：3：2，若用分层抽样法抽取容量为150的样本，则B中抽取的个体数应该为______个．16．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，在矩形ABCD内随机取一点M，则BM＜BC的概率为______．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．（1）求集合B及∁R A；（2）若C={x|x≤a}，（∁R A）∩C=C，求实数a的取值范围．18．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC 边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），a=，求f（A）的最大值及此时△ABC的外接圆半径．20．如图所示，圆O的半径为R，A、B、C为圆O上不同的三点，圆心O在线段AC上．（1）当AB=4，BC=3时，在圆O内任取一点P，求所取点P恰好位于△ABC内的概率；（2）当R=1，B点为圆O上的动点时，此时在圆O内任取一点Q，求点Q位于△ABC内的概率的取值范围．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．2016-2017学年四川省成都市龙泉一中高二（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．经过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为4，则直线l的方程为（）A．x﹣2y+9=0或x+2y+3=0 B．2x﹣y+9=0或2x+y+3=0C．x+2y+3=0或x﹣2y+9=0 D．x+2y+9=0或2x﹣y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线l的距离d，利用弦长公式：=r2即可得出．【解答】解：圆x2+y2+4y﹣21=0配方可得：x2+（y+2）2=25，可得圆心C（0，﹣2），半径r=5．设经过点M（﹣3，﹣3）的直线l的方程为：y+3=k（x+3），化为：kx﹣y+3k﹣3=0．圆心到直线l的距离d==，∴+=52，化为：2k2﹣3k﹣2=0，解得k=2或﹣．∴直线l的方程为x+2y+9=0或2x﹣y+3=0．故选：D．2．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=30°，则cosC=（）A．B．C．﹣D．±【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinC=，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC的值．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=30°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB＜AC，C为锐角，∴cosC==．故选：A．3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.5【考点】众数、中位数、平均数．【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，求出的平均数与实际平均数的差可以求出．【解答】解：∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，而=3∴平均数少3，∴求出的平均数减去实际的平均数等于﹣3．故选B．4．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，1）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数必要（1，0）点，结合函数图象的平移变换法则，可得答案．【解答】解：对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象由对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象向上平移一个单位得到，故函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，1），故选：D．5．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0}，U=R，则∁U M=（）A． B．（﹣∞，23，+∞）C． D．【考点】补集及其运算．【分析】先求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】解：x2﹣5x﹣6＞0即（x﹣6）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞6，∴M=（﹣∞．﹣1）∪（6，+∞），∴∁U M=，故选：C6．已知向量=（2，1），=（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．【解答】解：∵；∴；∴k=2．故选：A．7．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A． B． C．D．以上都不对【考点】二分法求方程的近似解．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由f（2）＜0，f（2.5）＞0 知，f（x）零点所在的区间为．【解答】解：设f（x）=x3﹣2x﹣5，f（2）=﹣1＜0，f（3）=16＞0，f（2.5）=﹣10=＞0，f（x）零点所在的区间为，方程x3﹣2x﹣5=0有根的区间是，故选A．8．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（）A．B．C．D．1【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据正方体的结构特征，可证，N在B1D1上，过N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，设NG=x，利用勾股定理构造关于x的函数，求函数的最小值．【解答】解：∵平面ACD1⊥平面BDD1B1，又MN⊥平面ACD1，∴MN⊂平面BDD1B1，∴N∈B1D1过N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，将平面A1B1C1D1展开，如图：设NG=x，（0≤x≤1），∴AN===≥，当x=时最小．故选B．9．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．由BD∥PN，∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．∴，，而AN≠DN，PN=MN，∴BD≠AC．B错误．故选：B．10．已知函数f（x）=ln（cosx），则下列说法中，错误的是（）①f（x）在定义域上存在最小值；②f（x）在定义域上存在最大值③f（x）在定义域上为奇函数；④f（x）在定义域上为偶函数．A．①③B．②④C．①②D．③④【考点】命题的真假判断与应用；复合函数的单调性；对数函数的图象与性质．【分析】根据已知中函数f（x）=ln（cosx），分析出函数的最值及奇偶性，可得答案．【解答】解：由cosx＞0得：x∈（﹣+2kπ， +2kπ），k∈Z，此时f（x）=ln（cosx）≤ln1=0，即f（x）在定义域上存在最大值，无最小值，故①错误，②正确；又由f（x）=ln=ln（cosx）=f（x），故函数为偶函数，故③错误，④正确，故选：B11．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数y=2cos2x=2•=cos2x+1，∴要得到得函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选：B．12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥β，进而可得l⊥m，故A不正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故B不正确当l∥m有直线m⊥平面α，因为直线m⊂平面β，α⊥β，故C正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故D不正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为﹣．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2θ的值．【解答】解：将sinθ+cosθ=左右两边平方得：（sinθ+cosθ）2=，整理得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ=，则sin2θ=﹣1=﹣．故答案为：﹣14．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．【解答】解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=sin（πx+φ﹣α），其中sinα=，cosα=．∵函数的图象关于直线x=1对称，∴π+φ﹣α=+kπ，即φ=α﹣+kπ，则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2××=，故答案为：15．将一个总体分为A，B，C三个层次，已知A，B，C的个体数之比为5：3：2，若用分层抽样法抽取容量为150的样本，则B中抽取的个体数应该为45个．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样原理，每个个体被抽到的比例相等，即可求出结果．【解答】解：根据分层抽样原理，抽取容量为150的样本，在B中应抽取的个体数为：150×=45．故答案为：45．16．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，在矩形ABCD内随机取一点M，则BM＜BC的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题为几何概型，由题意通过圆和矩形的知识确定满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：四边形ABCD的面积为2．BM＜BC表示以B为圆心，1为半径的圆在矩形ABCD内部的部分，面积为，∴BM＜BC的概率为=．故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．（1）求集合B及∁R A；（2）若C={x|x≤a}，（∁R A）∩C=C，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）化简集合B，求出集合A在R中的补集即可；（2）根据交集的定义，计算得出C⊆∁R A，再求出a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵B={x|3x﹣1＜x+5}，∴B={x|x＜3}，又∵A={x|1＜x＜4}，∴∁R A={x|x≤1或x≥4}；（2）∵（∁R A）∩C=C，∴C⊆∁R A={x|x≤1或x≥4}，又C={x|x≤a}，∴a≤1．18．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC 边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，B=．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），a=，求f（A）的最大值及此时△ABC的外接圆半径．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用余弦定理即可得解c的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（A）=sin（2A+）﹣，利用正弦函数的性质可求f（A）的最大值，利用正弦定理进而可求得此时△ABC的外接圆半径．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b2=a2+c2﹣2accosB，a=3，b=，，∴7=9+c2﹣2×，整理可得：c2﹣3c+2=0，解得：c=1或2…4分（2）由二倍角公式得f（A）=sin2A+cos2A﹣，∴f（A）=sin（2A+）﹣，∴当A=时，f（A）最大值为，此时△ABC为直角三角形，此时△ABC的外接圆半径：…12分20．如图所示，圆O的半径为R，A、B、C为圆O上不同的三点，圆心O在线段AC上．（1）当AB=4，BC=3时，在圆O内任取一点P，求所取点P恰好位于△ABC内的概率；（2）当R=1，B点为圆O上的动点时，此时在圆O内任取一点Q，求点Q位于△ABC内的概率的取值范围．【考点】几何概型．【分析】（1）根据题意，求出圆O的面积与△ABC的面积，计算点P恰好位于△ABC内的概率值；（2）建立适当的直角坐标系，求出对应△ABC的面积，计算点Q位于△ABC内的概率与取值范围．【解答】解：（1）记“所求点恰好位于△ABC内”为事件A，∵AC为原O的直径，∴2R==5，半径R=，=π•=；∴圆O的面积为S圆O又∵△ABC的面积为S△ABC=×3×4=6，∴点P恰好位于△ABC内的概率为P（A）===；（2）以O为原点，直线AC为x轴，以过O点并垂直于直线AC的直线为y轴建立直角坐标系，则有A（﹣1，0），C（1，0），设B（x，y）；记“所取点Q位于△ABC内”为事件B，则由题设知﹣1＜x＜1，R2=x2+y2=1，∵=（x+1，y），=（x﹣1，y），∴||==，||==，∴△ABC的面积为S△ABC=|AB|•||=×•=；又∵﹣1＜x＜1，∴0＜4﹣4x2＜4，∴0＜S△ABC＜1；=π×12=π，又∵S圆O∴P（B）=，∴点Q位于△ABC内的概率取值范围为0＜P（B）＜．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．【考点】三点共线；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，∴∵，∴cosx∈当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得（舍）当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得综上所述，为所求．22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）由中位线定理得出MN∥BC，由MN∥AD，故MN∥AD，得出MN∥平面PAD；（II）由∠PAD=45°得出PD=AD，于是棱锥体积V=．【解答】（Ⅰ）证明：∵M、N分别是棱PB、PC中点，∴MN∥BC，又ABCD是正方形，∵AD∥BC，∴MN∥AD．∵MN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成的角为∠PAD，∴∠PAD=45°．∴PD=AD=2，故四棱锥P﹣ABCD的体积V==．2016年9月25日。

2017年四川省成都市龙泉中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A．[5，e2）B．[5，7]C．{5，6，7}D．{5，6，7，8}2．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣74．（5分）若cosθ+sinθ=﹣，则cos（﹣2θ）的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 B．f（）＜f（）C．x1f（x2）＞x2f（x1） D．x2f（x2）＞x1f（x1）6．（5分）已知a，b∈R+，函数f（x）=alog2x+b的图象经过点（4，1），则+的最小值为（）A．6﹣2B．6 C．4+2D．87．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．28．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．23 D．249．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若=，=，则=（）A．+ B．﹣+C．﹣D．﹣﹣11．（5分）设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（）A．B．2 C．D．112．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程为必过点．14．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．15．（5分）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+=．16．（5分）已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．19．（12分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．20．（12分）为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量=（2sinA，cos（A﹣B）），=（sinB，﹣1），且•=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，求b﹣a的取值范围．选做题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（），直线C的极坐标方程为ρsinθ=1，射线θ=φ，θ=+φ（φ∈[0，π]）与曲线C1分别交异于极点O的两点A，B．（I）把曲线C1和C2化成直角坐标方程，并求直线C2被曲线C1截得的弦长；（II）求|OA|2+|OB|2的最小值．23．已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|＜4的解集为M．（1）设Z是整数集，求Z∩M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A．[5，e2）B．[5，7]C．{5，6，7}D．{5，6，7，8}【解答】解：集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}={x|2＜x＜8，x∈Z}={3，4，5，6，7}，B={x|5≤x＜9}，∴A∩B={5，6，7}．故选：C．2．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．3．（5分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣7【解答】解：函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得≥4，得a≥9．故选：A．4．（5分）若cosθ+sinθ=﹣，则cos（﹣2θ）的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：将cosθ+sinθ=﹣两边平方得：（cosθ+sinθ）2=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则cos（﹣2θ）=sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选：D．5．（5分）已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 B．f（）＜f（）C．x1f（x2）＞x2f（x1） D．x2f（x2）＞x1f（x1）【解答】解：对于A，函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，∴（x1﹣x2）＜0，f（x1）﹣f（x2）＜0，∴（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，A错误；对于B，函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象是下凹型的，故有f（）＞f（），B错误；对于C，函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，∴[]′==＞0，∴函数在（0，+∞）上是增函数，∴＞，即x1f（x2）＞x2f（x1），C正确，D错误．故选：C．6．（5分）已知a，b∈R+，函数f（x）=alog2x+b的图象经过点（4，1），则+的最小值为（）A．6﹣2B．6 C．4+2D．8【解答】解：a，b∈R，函数f（x）=alog2x+b的图象经过点（4，1），+可得2a+b=1，则+=（+）（2a+b）=2+2+≥=8，当且仅当b=2a=时取等号，表达式的最小值为8．故选：D．7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=e x（x2+），∴f′（x）=e x（x2+）+x•e x，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．8．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．23 D．24【解答】解：作出几何体的直观图如图所示，则几何体为四棱锥C﹣ABNM和三棱锥M﹣ACD组合体．由三视图可知BC⊥平面ABNM，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，NB=2，MA=4，∴几何体的体积V=+=．故选：A．9．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等．以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ．大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，故点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选A．10．（5分）在△ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若=，=，则=（）A．+ B．﹣+C．﹣D．﹣﹣【解答】解：=．∵AP=AB，BQ=BC，∴==，==．∴=．故选：A．11．（5分）设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设m＞n，由||=||，可知∠F1PF2=90°∴m2+n2=4c2，∵，∴∴=故选：A．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程为必过点（2.5，2）．【解答】解：由题意可知：==2.5．=3．y与x的线性回归方程为必过点（2.5，3）．故答案为：（2.5，3）．14．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．15．（5分）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+=．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴S n==n（n+1），∴==．则+++…+=++…+=1﹣=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=﹣x+a的图象只有一个交点，画出函数的图象如右图，观察函数的图象可知当a＞1时，y=f（x）与y=﹣x+a的图象只有一个交点，即有a＞1．故答案为：（1，+∞）三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．从而f（x）在单调递减，在单调递增．所以，当时，f（x）取得最小值．（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立，即不等式对于x∈[1，+∞）恒成立．令，则．当x＞1时，因为，故g（x）是[1，+∞）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值范围是（﹣∞，1]．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（I）∵，①当n=1时，a1=a1﹣，∴a1=1，=a n﹣1﹣，②当n≥2时，∵S n﹣1①﹣②得：a n=a n﹣a n﹣1，即：a n=3a n﹣1（n≥2），又∵a1=1，a2=3，∴对n∈N*都成立，故{a n}是等比数列，∴．（II）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n=．19．（12分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，此时点P的横坐标为﹣，代入y=kx+m得点P的纵坐标为﹣k•+m=，∴点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故m＞0，故m=，故点P的坐标为P（，）．（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．20．（12分）为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．【解答】解：（I）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数…（3分）（I I）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小．所以，乙校学生的成绩较好．…（7分）（III）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6．则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1，2）、（13）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），总共有15个基本事件．其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A，则A 包含9个基本事件，如下：（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）．…（10分）所以，…（12分）21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量=（2sinA，cos（A﹣B）），=（sinB，﹣1），且•=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，求b﹣a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由•=，得，…（1分），…（2分）∴，即，…（4分）∵0＜C＜π，∴．…（6分）（Ⅱ）∵，且，∴，∴a=2sinA，b=2sinB．…（7分）∴b﹣a=2sinB﹣2sinA=…（8分）==…（9分）=，…（10分）∵，∴，∴，…（11分）∴．…（12分）选做题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（），直线C 的极坐标方程为ρsinθ=1，射线θ=φ，θ=+φ（φ∈[0，π]）与曲线C1分别交异于极点O的两点A，B．（I）把曲线C1和C2化成直角坐标方程，并求直线C2被曲线C1截得的弦长；（II）求|OA|2+|OB|2的最小值．【解答】解：（I）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（），∴ρ=2sinθ+2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，∴x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2为圆C的直角坐标方程；直线C2的极坐标方程为ρsinθ=1，直角坐标方程为y=1y=1，x=1±，∴直线C 2被曲线C 1截得的弦长=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II ）|OA |=2sin （φ+），|OB |=2sin （+φ+）=2cosφ﹣﹣（6分）|OA |2+|OB |2=8sin 2（φ+）+8cos 2φ=4sin （2φ+）+8，∵φ∈[0，π]， ∴2φ+∈[，]，∴|OA |2+|OB |2的最小值为8﹣4﹣﹣﹣（10分）23．已知关于x 的不等式|x +1|+|x ﹣1|＜4的解集为M ．（1）设Z 是整数集，求Z ∩M ；（2）当a ，b ∈M 时，证明：2|a +b |＜|4+ab |．【解答】（1）解：|x +1|+|x ﹣1|=当x ＜﹣1时，由﹣2x ＜4，得﹣2＜x ＜﹣1；当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=2＜4；当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2．所以M=（﹣2，2），故Z ∩M={﹣1，0，1}}．（2）证明：当a ，b ∈M 即﹣2＜a ，b ＜2，∵4（a +b ）2﹣（4+ab ）2=4（a 2+2ab +b 2）﹣（16+8ab +a 2b 2）=（a 2﹣4）（4﹣b 2）＜0，∴4（a +b ）2＜（4+ab ）2，∴2|a +b |＜|4+ab |．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

四川省成都市龙泉20162017学年高二上学期10月月考试题数学理Word版含答案

成都龙泉第二中学高2015级高二上期10月月考试题数学（理）．3 B ．23 C ．33 D ．433. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为21时，则输入的x 值为A ．2B ．1- C ．1-或2 D ．1-或10．25πB．50πC．125πD．都不对5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α6．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为A． B．2π C．3π D．4π7．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是．若a，b与α所成的角相等，则a∥b．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b8. 若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为A ．06=--y xB ．06=++y xC ．06=+-y xD ．06=-+y x9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为．－45 B. 35 C.34 D ．－3510. 如图给出了计算19753++++ 的值的一个程序框图，其中空白处应填入A ．9>iB ．10>iC ．19>iD ．20>i11.如右图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是．平面ABD ⊥平面ABC B ．平面ADC ⊥平面BDC．平面ABC ⊥平面BDC D ．平面ADC ⊥平面ABC12. ,0≠=b a ，且关于x 的方程02=•++a x 有实根，则与夹角的取值范围是A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π，B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，3C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡323ππ，D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，63.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_______厘米．14．如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是__________________平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.16. 单位圆上三点A ，B ，C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则向量OA →，OB →的夹角为________．17 (本小题满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB +bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．18、(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．1)求证：BE ∥平面PAD ；2)若AP ＝2AB ，求证：BE ⊥平面PCD .19. (本小题满分12分)已知圆C ：022=++++F Ey Dx y x 的圆心在第二象限，半径为2，且圆C 与直线043=+y x 及y 轴都相切.（1）求F E D 、、；（2）若直线022=+-y x 与圆C 交于B A 、两点，求||AB .20、(本小题满分12分)一个四棱锥的三视图如图所示．1)求证：PA⊥BD；2)在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q－AC－D的平面角为30°？若存在，求|DQ||DP|的值；若不存在，说明理由．21、(本小题满分12分)如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G 分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(图(2))．1)求证：AP∥平面EFG；2)若点Q是线段PB的中点，求证：PC⊥平面ADQ；3)求三棱锥C－EFG的体积．22. (本小题满分12分)已知曲线C的方程：x2+y2﹣2x+4y+k=0（1）若方程表示圆，求k的取值范围；（2）当k=﹣4时，是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过原点．若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．成都龙泉第二中学高2015级高二上期10月月考试题数学（理）参考答案一、选择题1—5 CADBB 6—10 ADDBA 11—12 DB二、填空题13. 12 14.2ππ- 15. 3(0]， 16. 1200 三、解答题17、（本题满分10分）解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC （sinAcosB +sinBcosA ）=sinC ，整理得：2cosCsin （A +B ）=sinC ，∵sinC ≠0，sin （A +B ）=sinC∴cosC=，又0＜C ＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a 2+b 2﹣2ab •，∴（a +b ）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a +b ）2﹣18=7，∴a +b=5，∴△ABC 的周长为5+．18、(本小题满分12分)解：(1)取PD 的中点F ，连结AF ，FE ，又∵E 是PC 的中点，∴在△PDC 中，EF ∥DC ，且EF ＝DC 2，由条件知AB ∥DC ，且AB ＝DC2，∴ EFAB ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴BE ∥AF ，又AF ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .(2)由(1)FE ∥DC ，BE ∥AF ，又∵DC ⊥AD ，DC ⊥PA ，∴DC ⊥平面PAD ，∴DC ⊥AF ，DC ⊥PD ，∴EF ⊥AF ，在Rt △PAD 中，∵AD ＝AP ，F 为PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又AF ⊥EF 且PD ∩EF ＝F ，∴AF ⊥平面PDC ，又BE ∥AF ，∴BE ⊥平面PDC .19.（本题满分12分）解：（1）由题意，圆C 方程为2)()(22=-+-b y a x ，且0,0><b a ，∵圆C 与直线043=+y x 及y 轴都相切，∴2-=a ，25|43|=+b a ，∴22=b ， ∴圆C 方程为2)22()2(22=-++y x ，化为一般方程为08242222=+-++y x y x ，∴22=D ，24-=E ，8=F .（2）圆心)22,2(-C 到直线022=+-y x 的距离为12|22222|=+--=d ， ∴21222||22=-=-=d r AB .20、（本题满分12分）解： (1)由三视图可知P －ABCD 为四棱锥，底面ABCD 为正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO .为BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊥PA .2)由三视图可知，BC ＝2，PA ＝22，假设存在这样的点Q ，因为AC ⊥OQ ，AC ⊥OD ，以∠DOQ 为二面角Q －AC －D 的平面角， △POD 中，PD ＝22，OD ＝2，则∠PDO ＝60°， △DQO 中，∠PDO ＝60°，且∠QOD ＝30°.以DP ⊥OQ .所以OD ＝2，QD ＝22. 以DQDP ＝14.21．（本题满分12分）(1)证明：∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点，EF ∥CD ∥AB .EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB . 理，EG ∥平面PAB ，∴平面EFG ∥平面PAB .∵AP ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG .(2)解：连接DE ，EQ ，E 、Q 分别是PC 、PB 的中点，∴EQ ∥BC ∥AD .平面PDC ⊥平面ABCD ，PD ⊥DC ，∴PD ⊥平面ABCD . PD ⊥AD ，又AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥PC .△PDC 中，PD ＝CD ，E 是PC 的中点，DE ⊥PC ，∴PC ⊥平面ADEQ ，即PC ⊥平面ADQ .(3)V C －EFG ＝V G －CEF ＝13S △CEF ·GC ＝13×12×1=1622．（本题满分12分）解：（1）∵曲线C 的方程：x 2+y 2﹣2x +4y +k=0表求圆， ∴（﹣2）2+42﹣4k ＞0，解得k ＜5．∴k 的取值范围是（﹣∞，5）．（2）直线m 方程为y=x +b根据题意，直线与圆两交点分别与原点连线相互垂直把y=x +b 代入x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4=0，得：2x 2+2（b +1）x +（b 2+4b ﹣4）=02y 2﹣2（b ﹣3）y +（b 2+2b ﹣4）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=b 2+4b ﹣4，y 1y 2=b 2+2b ﹣4，，=﹣1，解得b=﹣4，或b=1，∴直线m 的方程为y=x ﹣4或y=x +1．。

【数学】2016-2017年四川省成都市龙泉中学高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．2．（5分）若复数Z的实部为1，且|Z|=2，则复数Z的虚部是（）A．﹣B．±C．±i D．i3．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．4．（5分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B 地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．5．（5分）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i的结果为（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A．x=0 B．x=C．x=﹣D．x=7．（5分）已知直线l与直线2x﹣3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣8=0 B．3x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣5=0 D．3x+2y﹣7=08．（5分）函数f（x）=x3+2ax2+x在（0，+∞）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣，）C．（﹣）D．（﹣∞，0）9．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β10．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）12．（5分）设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（）A．B．2 C．D．1二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}的前n项和S n=a•3n﹣2，则a2=．14．（5分）已知正数x，y满足x+y﹣xy=0，则3x+2y的最小值为．15．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是．16．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1•k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD．AD ∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，F为PC上一点，且CF=2FP．（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABF与三棱锥F﹣EBC的体积之比．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．20．（12分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？21．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．选做题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，曲线C的参数方程为：（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（﹣1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L （P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．【解答】解：log2x＜﹣1，即log2x＜log2，解得0＜x＜，即P=（0，），Q={x||x|＜1}=（﹣1，1）则P∩Q=（0，），故选：A．2．（5分）若复数Z的实部为1，且|Z|=2，则复数Z的虚部是（）A．﹣B．±C．±i D．i【解答】解：复数Z的实部为1，设Z=1+bi．|Z|=2，可得=2，解得b=．复数Z的虚部是．故选：B．3．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图和题意知，三棱锥的底面是等腰直角三角形，底边和底边上的高分别为、，三棱锥的高是2，∴几何体的体积V==，故选：D．4．（5分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B 地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．故选：A．5．（5分）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i的结果为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：第一次执行循环体后，S=lg，不满足退出循环的条件，i=3；再次执行循环体后，S=，不满足退出循环的条件，i=5；再次执行循环体后，S=，不满足退出循环的条件，i=7；再次执行循环体后，S=，不满足退出循环的条件，i=9；再次执行循环体后，S=，满足退出循环的条件，故输出的i值为9，故选：C．6．（5分）把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A．x=0 B．x=C．x=﹣D．x=【解答】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，可得y=sin （2x﹣）=﹣cos2x 的图象，再令2x=kπ，求得x=，k∈Z，函数所得函数图象的一条对称轴为x=0，故选：A．7．（5分）已知直线l与直线2x﹣3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣8=0 B．3x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣5=0 D．3x+2y﹣7=0【解答】解：设P（x，y）为直线l上的任意一点，则点P关于直线x=1的对称点为P′（2﹣x，y），代入直线2x﹣3y+4=0可得：2（2﹣x）﹣3y+4=0，化为2x+3y﹣8=0，故选：A．8．（5分）函数f（x）=x3+2ax2+x在（0，+∞）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣，）C．（﹣）D．（﹣∞，0）【解答】解：求导函数，可得f′（x）=3x2+4ax+1∵函数f（x）=x3+2ax2+x在（0，+∞）有两个极值点，∴方程3x2+4ax+1=0在（0，+∞）上有两个不等的根∴∴a＜﹣故选：C．9．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．10．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选：A．11．（5分）已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．12．（5分）设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设m＞n，由||=||，可知∠F1PF2=90°∴m2+n2=4c2，∵，∴∴=故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}的前n项和S n=a•3n﹣2，则a2=12．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和S n=a•3n﹣2，分别令n=1，2，3，可得：a1=3a﹣2，a1+a2=9a﹣2，a1+a2+a3=27a﹣2，解得a1=3a﹣2，a2=6a，a3=18a，∴（6a）2=（3a﹣2）（18a），解得a=2．则a2=12．故答案为：12．14．（5分）已知正数x，y满足x+y﹣xy=0，则3x+2y的最小值为5+2．【解答】解：∵x+y﹣xy=0，∴+﹣=1，故3x+2y=（3x+2y）（+）=++5≥2+5=5+2，当且仅当=时“=”成立，故答案为：5+2．15．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是50．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故答案为：5016．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1•k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为．【解答】解：由题意，可设点M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．∴，且．两式相减得．再由斜率公式得：k1k2=．∵|k1|+|k2|根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知，∴，故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD．AD ∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，F为PC上一点，且CF=2FP．（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABF与三棱锥F﹣EBC的体积之比．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，连接FM．由AD∥BC，BC=ED，得BCDE为平行四边形，则EM∥CD，∴．∴FM∥AP．∵FM⊂平面BEF，PA⊄平面BEF，∴PA∥平面BEF；（Ⅱ）．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（I）∵，①当n=1时，a1=a1﹣，∴a1=1，=a n﹣1﹣，②当n≥2时，∵S n﹣1①﹣②得：a n=a n﹣a n﹣1，即：a n=3a n﹣1（n≥2），又∵a1=1，a2=3，∴对n∈N*都成立，故{a n}是等比数列，∴．（II）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n=．20．（12分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？【解答】解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示；（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：×6=3人；第4组：×6=2人；第5组：×6=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．（3）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，具体如下：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C；其中第4组的2位同学B1，B2至少有一位同学入选的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，B1C，B2C共9种可能；所以其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学入选的概率为P==．21．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．【解答】解：（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．（II）设，则h'（x）=﹣，当x=1时，h（1）=0，即，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）＜0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即．（III）由（I）知g（x）的最小值为1，所以，g（a）﹣g（x）＜，对任意x＞0，成立⇔g（a）﹣1＜，即Ina＜1，从而得0＜a＜e．选做题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，曲线C的参数方程为：（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（﹣1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，展开可得：ρ（sinθ+cosθ）=，可得直角坐标方程：x+y﹣1=0．曲线C的参数方程为：，x2=4（1+sin2t）=y，x∈．（2）直线l的参数方程为：，代入曲线C的方程可得：t﹣2=0，∴t1+t2=﹣，t1•t2=﹣2．∴|AB|=|t1﹣t2|===，|PA|•|PB|=|t1t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L （P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．【解答】解：（1）由定义得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，即|x﹣1|＞|x﹣5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3，（2）当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，法一：令函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣5|=，所以f（x）max=4，要使原不等式恒成立只要t≥4即可，故t min =4．法二：运用绝对值不等式性质．因为|x ﹣1|﹣|x ﹣5|≤|（x ﹣1）﹣（x ﹣5）|=4，所以t ≥4，t min =4．故t 的最小值为：4．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2016-2017学年四川省成都市龙泉一中高二(上)入学数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年四川省成都市龙泉一中高二（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）若点（1，a）到直线y＝x+1的距离是，则实数a为（）A．﹣1B．5C．﹣1或5D．﹣3或32．（5分）已知平面向量，，，下列命题正确的是（）A．若＝，＝，则＝B．若||＝||，则＝C．若λ＝0（λ为实数），则λ＝0D．若∥，∥，则∥3．（5分）如图所给的程序运行结果为S＝35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k＝7B．k≤6C．k＜6D．k＞64．（5分）已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（）A．a＞b⇒am2＞bm2B．C．D．5．（5分）登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）A．﹣10B．﹣8C．﹣4D．﹣66．（5分）过点（﹣2，5）且垂直于直线2x﹣4y+15＝0的直线方程为（）A．2x+y﹣1＝0B．2x+y﹣5＝0C．x+2y﹣5＝0D．x﹣2y+7＝0 7．（5分）已知⊙C的圆心在曲线y＝上，⊙C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B 两点，则△OAB的面积是（）A．2B．3C．4D．88．（5分）若sinα＝，α∈[，π]，则sin（+α）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．9．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y＝2cos2x B．y＝2sin2xC．D．y＝cos2x10．（5分）如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′＝3，AB＝4，AD＝5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5分）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12B．13C．14D．1512．（5分）已知函数f（x）＝cos（x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知b cos C+c cos B＝2b，则＝．14．（5分）已知为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足+＝λ（+）（λ∈R），则的最小值为．15．（5分）已知数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n}满足b n（a n+a n+1）＝1，则数列{bn}的前32项的和为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin2ωx﹣cos2ωx+（其中ω为常数，且ω＞0），函数g （x）＝f（x）﹣的部分图象如图所示．则当x∈[﹣]时，函数f（x）的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝2sin x•cos x+2cos2x﹣（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f（﹣）＝，且sin B+sin C＝，求bc的值．18．（12分）已知＝（sin x，2cos x），＝（3，﹣），x∈R．（1）若f（x）＝•，试求f（x）的值域；（2）若x＝，且满足2﹣与+相互垂直，求λ的值．19．（12分）某电子原件生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：（1）2件都是一级品的概率；（2）至少有一件二级品的概率．20．（12分）如图在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知AD ＝PD，P A＝6，BC＝8，DF＝5，求证：（1）直线P A∥平面DEF；（2）平面DEF⊥平面ABC．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC ＝2，．M，N分别为BC和CC 1的中点，P为侧棱BB1上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：A1N∥平面APM；（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．22．（12分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）＝0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式；函数（其中）．（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．（2）若记集合M＝{m|恒有g（θ）＞0}，N＝{m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．2016-2017学年四川省成都市龙泉一中高二（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．【解答】解：点（1，a）到直线y＝x+1的距离是，∴＝，即|a﹣2|＝3，解得a＝﹣1，或a＝5，∴实数a的值为﹣1或5．故选：C．2．【解答】解：根据向量相等的定义，显然时，得出，∴A正确；向量包括大小和方向，∴得不出，∴B错误；时，λ＝0，或，∴C错误；若，与不平行，满足，而得不出，∴D错误．故选：A．3．【解答】解：当k＝10时，S＝1+10＝11，k＝9，当k＝9时，S＝11+9＝20，k＝8，当k＝8时，S＝20+8＝28，k＝7，当k＝7时，S＝28+7＝35，k＝6，此时不满足条件输出，∴判断框中应填入的关于k的条件是k＞6，故选：D．4．【解答】解：A、当m＝0时，有am2＝bm2，故A不对；B、当c＜0时，有a＜b，故B 不对；C、∵a3＞b3，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）3的倒数，得到，故C正确；D、∵a2＞b2，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）2的倒数，得到，故D不对．故选：C．5．【解答】解：由题意，，，代入到线性回归方程，可得a＝60，∴y＝﹣2x+60，由﹣2x+60＝72，可得x＝﹣6．故选：D．6．【解答】解：∵直线2x﹣4y+15＝0的斜率为，∴由垂直关系可得所求直线的斜率为﹣2，∴所求直线的方程为y﹣5＝﹣2（x+2），化为一般式可得2x+y﹣1＝0，故选：A．7．【解答】解：设圆心坐标为（a，），则r＝，∴⊙C的方程为（x﹣a）2+（y﹣）2＝a2+，令x＝0，可得y＝，令y＝0，可得x＝2a，∴三角形OAB的面积为×||×|2a|＝4；故选：C．8．【解答】解：∵sinα＝，α∈[，π]，∴cosα＝﹣＝﹣，∴sin（+α）＝cosα＝﹣．故选：C．9．【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到函数＝cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1+cos2x＝2cos2x，故选：A．10．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，），F（2，，0），C（4，5，0），D′（0，5，3），＝（2，，﹣），＝（﹣4，0，3），∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴异面直线EF与CD′所成的角45°．故选：B．11．【解答】解：由1000÷50＝20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n＝8+（n﹣1）20＝20n﹣12．由751≤20n﹣12≤1000 解得38.2≤n≤50.6．再由n为正整数可得39≤n≤50，且n∈Z，故做问卷C的人数为12，故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝cos（x）的周期为T＝，∵函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6，∴a＝1、2、3、5、6．共计5个，故函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．【解答】解：将b cos C+c cos B＝2b，利用正弦定理化简得：sin B cos C+sin C cos B＝2sin B，即sin（B+C）＝2sin B，∵sin（B+C）＝sin A，∴sin A＝2sin B，利用正弦定理化简得：a＝2b，则＝2．故答案为：214．【解答】解：由得，（1﹣λ）①，∵为平面内两个互相垂直的单位向量，∴≠，即λ≠1，且，且||＝||＝1，由①得，＝，将上式两边平方得，＝+＝，令y＝＝得，（y﹣1）x2﹣2yx+y﹣1＝0，此方程有实根，由△＝4y2﹣4（y﹣1）2≥0得，2y﹣1≥0，解得y，即，即，则的最小值为：．15．【解答】解：∵数列{a n}是首项为4、公差为3的等差数列，∴a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1，∵b n（a n+a n+1）＝1，∴b n＝＝•＝（﹣），∴数列{b n}的前n项和为（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝（﹣），故所求值为（﹣）＝，故答案为：．16．【解答】解：函数f（x）＝sin2ωx﹣cos2ωx+＝2sin（2ωx﹣）+（其中ω为常数，且ω＞0），根据函数g（x）＝f（x）﹣的部分图象，可得＝•＝﹣，∴ω＝1，f（x）＝2sin（2x﹣）+，则当x∈[﹣]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（x﹣）∈[﹣1，]，∴f（x）的取值范围是[﹣，+1]，故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x•cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵ω＝2，∴f（x）的最小正周期T＝π，∵2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）由f（﹣）＝2sin[2（﹣）+]＝2sin A＝，即sin A＝，∵A为锐角，∴A＝，由正弦定理可得2R＝＝＝，sin B+sin C＝＝，∴b+c＝×＝13，由余弦定理可知：cos A＝＝＝，整理得：bc＝40．18．【解答】解：（1）f（x）＝•＝sin x×3+2cos x×（﹣）＝sin x﹣cos x，＝2sin（x﹣），由正弦函数的性质可知：﹣1≤sin（x﹣）≤1，∴﹣2≤sin（x﹣）≤2，f（x）的值域[﹣2，2]；（2）当x＝，＝（，1），∴2﹣＝（﹣2，）+＝（，），∵（2﹣）⊥（+），∴（2﹣）•（+）＝0，×（﹣2）+×＝0，解得：λ＝，λ的值．19．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，设2件都是一级品为事件A．…（1分）从10件产品中抽取2件，共有C102＝45个基本事件，且都是等可能的（2分）而事件A的结果有C82＝28种，…（4分）则P（A）＝．…（5分）（2）设至少有一件二级品为事件B，…（6分）则B是两个互斥事件：“抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为B1）”与“抽取的2件产品均为二级品（B2）”的和．…（7分）而P（B1）＝，P（B2）＝，…（8分）∴P（B）＝P（B1+B2）＝P（B1）+P（B2）…（10分）＝．…（11分）答：2件都是一级品的概率为；至少有一件二级品的概率为．（12分）20．【解答】证明：（1）因为D，E是PC，AC中点，∴P A∥DE∵DE⊂平面DEF，P A⊄平面DEF，∴P A∥平面DEF；（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，∴P A＝2DE，BC＝2FE∵P A＝6，BC＝8，DF＝5∴DE＝3，EF＝4，DF＝5，∴DE2+EF2＝DF2∴DE⊥EF，∵PD＝AD，D为PC的中点∴AD＝DC∵E为AC的中点，∴DE⊥AC∵AC∩EF＝E，∴DE⊥平面ABC，∵DE⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABC．21．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB＝AC，所以AM⊥BC．又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．因为AM⊂底面ABC，所以BB1⊥AM，又BB1∩BC＝B，所以AM⊥平面BB1C1C．又因为AM⊂平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C．…（5分）（Ⅱ）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C．由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DM∥A1A，且DM＝A1A．则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM．又A1D⊄平面APM，AM⊂平面APM，所以A1D∥平面APM．由于D，N分别为C1B1，C1C的中点，所以DN∥B1C．又P，M分别为B1B，CB的中点，所以MP∥B1C．则DN∥MP．又DN⊄平面APM，MP⊂平面APM，所以DN∥平面APM．由于A1D∩DN＝D，所以平面A1DN∥平面APM．由于A1N⊂平面A1DN，所以A1N∥平面APM．…10分解：（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，由PM⊂平面APM，则BC1⊥PM．设PB＝x，．当BC1⊥PM时，∠BPM＝∠B1C1B，所以Rt△PBM∽Rt△∠B1C1B，所以．由已知MB＝，所以，得x＝．由于x＝，因此直线BC1与平面APM不能垂直．…（14分）22．【解答】解：（1）f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，又f（x）是奇函数，∴f（x）在（0，+∞）也是增函数，g（θ）＝sin2θ﹣m（3﹣cosθ）＝﹣cos2θ+m cosθ﹣3m+1＝﹣，∵θ∈[0，]，∴cosθ∈[0，1]，g（θ）的最大值只可能在cosθ＝0（），cosθ＝1（），处取得，若cosθ＝0，g（θ）＝4，则有1﹣3m＝4，m＝﹣1，此时，符合；若cosθ＝1，g（θ）＝4，则有﹣2m＝4，m＝﹣2，此时，不符合；若，g（θ）＝4，则有，m＝6+4或m＝6﹣4，此时或3，不符合；综上，m＝﹣1．（2）∵f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且满足f（2）＝0，∴f （﹣2）＝0，又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上均是增函数，由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，又M＝{m|恒有g（θ）＞0}，N＝{m|恒有f[g（θ）]＜0}＝{m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g （θ）＞0}，∴M∩N＝{m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜﹣cos2θ+m cosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0，]恒成立，当m＞＝＝﹣（3﹣cosθ）﹣（）+6＝﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6，∵θ∈[0，]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，∴7≥（3﹣cosθ）+（），﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6∈[﹣1，﹣]，此时，m＞﹣；当m＜＝﹣（3﹣cosθ）﹣（）+6＝﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6，∴6≥（3﹣cosθ）+（），﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6∈[0，6﹣4]，此时，m＜0；综上，m∈（﹣，0）．。

2016-2017年四川省成都市龙泉二中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B．C．1 D．2．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．（5分）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l1和l2有交点（s，t）C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合6．（5分）已知（x2﹣）n的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A．﹣1 B．1 C．﹣45 D．457．（5分）若按如图算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值可以等于（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A．﹣ B．C．﹣D．9．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为k1、k2，若k1•k2=，则双曲线离心率为（）A．B．C．2 D．10．（5分）已知f（x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥011．（5分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）=的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．14．（5分）若集合A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，给出下列四个命题：①f（﹣2）=0；②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，6]上为增函数；④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d＞0，且a1•a6=11，a3+a4=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．（1）求常数k的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）设g（x）=f（x）+c，且∀x∈[﹣1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．19．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E 是CD中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．（I）证明：平面PBE⊥平面PAB；（II）求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值．20．（12分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．21．（12分）设函数f（x）=﹣2cosx﹣x+（x+1）ln（x+1），g（x）=k（x2+）．其中k≠0．（1）讨论函数g（x）的单调区间；（2）若存在x1∈（﹣1，1]，对任意x2∈（，2]，使得f（x1）﹣g（x2）＜k﹣6成立，求k的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作本小题满分10分．（共1小题，满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0．（1）分别写出曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|2x﹣4|+|x+2|（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，故选：B．2．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：a、b都是不等于1的正数，∵3a＞3b＞3，∴a＞b＞1，∵log a3＜log b3，∴，即＜0，或求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的充分条不必要件，故选：B．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为1的正方体中一三棱锥P﹣ABC，如图所示；∴该三棱锥的体积为××12×1=．故选：A．5．（5分）为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l1和l2有交点（s，t）C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合【解答】解：∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点都是（s，t）∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上，∴回归直线l1和l2都过点（s，t）∴两条直线有公共点（s，t）故选：B．6．（5分）已知（x2﹣）n的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A．﹣1 B．1 C．﹣45 D．45【解答】解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，由第三项与第五项的系数之比为可得n=10展开式的通项为为=，令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C108=45，故选：D．7．（5分）若按如图算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值可以等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟执行程序框图，可得K=1，S=0，第1次循环，S=，满足条件K＜N，K=2，S=，满足条件K＜N，K=3，S=，满足条件K＜N，K=4，S=，满足条件K＜N，K=5，S=，由题意，此时应该不满足条件K＜N，退出循环，输出S的值为，故输入的N的值可以等于5．故选：B．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：∵=，又∵由正弦定理可得：，∴=，解得：cosB=sinB，∴tanB=，0＜B＜π，∴B=，cosB=．故选：B．9．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为k1、k2，若k1•k2=，则双曲线离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（﹣x1，﹣y1）∴k PM•k PN=•=，∵=1，﹣=1，∴两式相减可得=∵k PM•k PN=，∴=，∴b=a，∴c==a，∴e==．故选：B．10．（5分）已知f（x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0【解答】解：由三角函数线的性质可知，当x∈（0，）时，sinx＜x∴3sinx＜3x＜πx∴f（x）=3sinx﹣πx＜0即命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0为真命题根据全称命题的否定为特称命题可知￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0故选：D．11．（5分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得3a+2b=2，=（）×=故选：D．12．（5分）函数f（x）=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）=，==f（x），∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，．∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，∴f（x）→+∞．故可排除B；而A均满足以上分析．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3] ．【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．14．（5分）若集合A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是﹣3．【解答】解：由题意可得9∈A，且9∈B．①当2a﹣1=9时，a=5，此时A={﹣4，9，25}，B={0，﹣4，9}，A∩B={﹣4，9}，不满足A∩B={9}，故舍去．②当a2=9时，解得a=3，或a=﹣3．若a=3，A={﹣4，5，9}，B={﹣2，﹣2，9}，集合B不满足元素的互异性，故舍去．若a=﹣3，A={﹣4，﹣7，9}，B={﹣8，4，9}，满足A∩B={9}．综上可得，a=﹣3，故答案为﹣3．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=﹣2．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则有f（﹣1）=f（1）且f（﹣1）=﹣f（1），即f（1）=﹣f（1），则f（1）=0，f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣（）=﹣2，则f（﹣）+f（1）=﹣2+0=﹣2；故答案为：﹣2．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，给出下列四个命题：①f（﹣2）=0；②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，6]上为增函数；④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为①②④．【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f （2）成立，令x=﹣2，则f（﹣2+4）=f（﹣2）+f （2）=f（2），即f（﹣2）=0，即①正确；②：由（1）知f（x+4）=f （x），则f（x）的周期为4，又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x+4）=f（﹣x），而f（x）的周期为4，则f（x+4）=f（﹣4+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣4），∴f（﹣4﹣x）=f（﹣4+x），则直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；③：当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，∴函数y=f（x）在[0，2]上为减函数，而f（x）的周期为4，∴函数y=f（x）在[4，6]上为减函数，故③错误；④：∵f（2）=0，f（x）的周期为4，函数y=f（x）在[0，2]上为增函数，在[﹣2，0]上为减函数，∴作出函数在（﹣8，6]上的图象如图：则函数y=f（x）在（﹣8，6]上有4个零点，故④正确．故答案为．①②④三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d＞0，且a1•a6=11，a3+a4=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a1•a6=11，a3+a4=12=a1+a6．∴a1，a6是x2﹣12x+11=0方程的两根，且a1＜a6，解得a1=1，a6=11．∴11﹣1=5d，即d=2，∴a n=2n﹣1．（2）=﹣．∴数列{}的前n项和T n=++…+=﹣．18．（12分）已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．（1）求常数k的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）设g（x）=f（x）+c，且∀x∈[﹣1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，∴f'（0）=0，f'（4）=0，可求得…（2分）（2）由（1）可知，f'（x）=x2﹣4x=x（x﹣4），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数；…（4分）∴极大值为，极小值为…（5分）（3）要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1由（2）得：…（6分）∴，∴…（8分）19．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E 是CD中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．（I）证明：平面PBE⊥平面PAB；（II）求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，∴BD=BC=DC=1，∵E是CD中点，∴BE⊥DC，∵AB∥DC，∴BE⊥AB，∵PA⊥底面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥PA，∵PA∩AB=A，∴BE⊥平面PAB，∵BE⊂平面PAB，∴平面PBE⊥平面PAB．解：（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，以过点E且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则P（，﹣1，2），C（0，，0），B（，0，0），E（0，0，0），=（﹣，，﹣2），=（，0，0），=（，﹣1，2），设平面PBE的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），设直线PC与平面PBE所成的角为θ，则sinθ===．∴直线PC与平面PBE所成的角的正弦值为．20．（12分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．【解答】解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…（6分）由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…（6分）故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故（**）…（11分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（12分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（14分）方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（12分）故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（14分）21．（12分）设函数f（x）=﹣2cosx﹣x+（x+1）ln（x+1），g（x）=k（x2+）．其中k≠0．（1）讨论函数g（x）的单调区间；（2）若存在x1∈（﹣1，1]，对任意x2∈（，2]，使得f（x1）﹣g（x2）＜k ﹣6成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）g′（x）=2kx﹣=，…（1分）当k＞0时，令g′（x）＞0，得x＞1，∴g（x）的递增区间为（1，+∞）．…（2分）令g′（x）＜0，得x＜1，x≠0，∴g（x）的递减区间为（﹣∞，0），（0，1）．…（3分）k＜0时，同理得g（x）的递增区间为（﹣∞，0），（0，1）；递减区间为（1，+∞）．…（5分）（2）f′（x）=2sinx﹣1+ln（x+1）+1=2sinx+ln（x+1），…（6分）∵当x∈（﹣1，1]时，y=2sinx及y=ln（x+1）均为增函数，∴f′（x）在（﹣1，1]为增函数，又f′（0）=0，…（7分）∴当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，1]时，f′（x）＞0，从而，f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，1]上递增，…（8分）∴f（x）在（﹣1，1]上的最小值为f（0）=﹣2．…（9分）∵f（x1）﹣g（x2）＜k﹣6，∴f（x1）＜k﹣6+g（x2），∴f（x）min＜k﹣6+g（x）min，当k＞0时，∴g（x）min=g（1）=3k，∴4k﹣6＞﹣2，∴k＞1，当k＜0时，g（x）min=g（2）=5k，∴6k﹣6＞﹣2，∴k＞，又k＜0，∴k＜0时不合题意．综上，k∈（1，+∞）．…（12分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作本小题满分10分．（共1小题，满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0．（1）分别写出曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求线段AB的长．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），消去参数θ可得：曲线．曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，可得直角坐标方程：曲线C2：x﹣y+1=0．（2）联立，得7x2+8x﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，于是．故线段AB的长为．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|2x﹣4|+|x+2|（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=|2x﹣4|+|x+2|=可得当x＜﹣2时，﹣3x+2＞8，当﹣2≤x＜2时，4＜6﹣x≤8，当x≥2时，3x﹣2≥4，所以函数的最小值为f（2）=4．（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立，则|a+4|﹣|a﹣3|≤f（x）min=4，又解不等式|a+4|﹣|a﹣3|≤4可解得a≤．所以a的取值范围为a≤。

四川省成都市高二数学上学期期中试题理

成都七中 2015-2016 学年上期2017 届半期考试数学试卷（理科）考试时间：120 分钟总分：150 分一．选择题（每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案凃在答题卷上.）1. 直线y x 的倾斜角为（）A. B.C. 2D. 3 4 2 3 42. 平面平面的条件可以是（）A. 内有无穷多条直线都与平行 B. 直线a, a, 且a , a C．内的任何直线都与平行 D. 直线a , 直线b ，且a, b 3 . 与直线3 x4 y5 0 关于原点对称的直线方程为（）A. 3 x 4 y 5 0C. 3 x 4 y 5 04 . A B C 中，A 4 ，0 , B 8 ，7 , C 0 ，3 ，则B C边上的高所在直线的方程（）A. 2 x y 8 0C. x 2 y 4 05 . 棱长为 2 ，各面均为等边三角形的四面体的表面积为（） A. 4B. 4 2C. 4 3D. 4 66 .三棱锥的三条侧棱互相垂直，三条侧棱的长分别为 3 、4 、5 ，则它的外接球的体积为（） A.1 2 5 2 B.1 2 5 2C.1 2 5 2 D . 2 5 0 27 . 过点 P2 ，3 ，并且在两轴上的截距为相反数的直线方程为（）A ．3 x 2 y0 或 xy 1 0B. x y 1 0C．3x 2 y 0 或x y 5 0D. 3 x 2 y 0 或 3 x 2 y 1 08 . 在一个平面上，机器人甲到与点C 2 ， 3 距离为5 的地方绕C 点顺时针而行，在行进过程中保持与点C 的距离不变，机器人乙在过点A 8 ，0 与B 0 ，6 的直线上行进，机器人甲与机器人乙的最近距离是（）A.67552 42 17B. C. D.5 5 59 . 直线m 2 x 1 m y 6 0 与圆x 22y 21 1 11= 1 的位置关系是（）A. 相交B.相离C. 相切D. 以上都有可能D 1C1 0 . 在棱长为2 的正方体 A B C D A B C D 中， M 为 A B 的中点，经过点 A 1B 1A 作 D M 的垂面，该垂面被正方体截得部分的面积是（）DC224A M B1 1 . 已知长度为 4 的线段 A B 在平面内，线段 A C 、B D 不在平面内，A CB D 3 ，C A 平面且与平面交于A , BD A B , B D 与它在内的射影成30 角，则C D 的（）A. 5B. 5 或3 4C. 5 或4 3D. 3 4 或 4 31 2 . 设 f ( x ) 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1 x )f (1 x ) 0 恒成立，如果实数2 22f ( a a、b 满足不等式组6 a 2 3 )f ( b8 b ) 0那么ab 的取值范围是（）f (b 1)f ( 5 )A. 1 7 , 4 9二、填空题（本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横）13 .一个腰长为 2 的等腰直角三角形绕着斜边上的高所在直线旋转 180 形成的封闭曲面所围成的图形的体积为 1 4 . 一根弹簧，挂 4 N 的物体时，长 2 0 c m . 在弹性限度内，所挂物体的重量每增加 1 N ，弹簧就伸长 1 .5 c m , 则弹簧的长度 l ( c m )与所挂物体重量 G ( N )的关系方程为 1 5 . A B C 中， B C 4， A B 2 A C , 则 SABC的最大值为16.已知O : x y 4 （注：横、纵坐标都是有理数的点称为有理点,）2①O 上只有四个有理点；②O 上有无数个有理点；③O 上只有有限个无理点；④以O 上点 1 , 3为圆心，半径为 4 的圆上最多只有两个有理点。

四川省成都市龙泉中学2016-2017学年高二10月月考数学(理)试题含答案

龙泉中学高2015级高二(上）10月月考试题数学（理)一、选择题：本大题共12小题每小题5分,共60分。

每小题只有一个选项符合题意1。

已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为（D) A．30° B．45°C．60° D．135°2。

若三点A(3，1)，B（－2，b),C(8,11）在同一直线上，则实数b 等于（D）A．2 B．3 C．9 D．－93。

直线y＝ax－错误!的图象可能是（B)4.两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为（C）A．－24 B．6 C．±6 D．24 5.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心,则a的值为（B）A．－1 B．1 C．3 D．－36。

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β。

其中正确的命题有( C)A。

①②B。

②④ C.①③D。

③④7.若实数x，y满足不等式组错误!则该约束条件所围成的平面区域的面积是（ C )A.3 B。

错误!C。

2 D。

2错误!8。

直线l经过点A（1,2）,在x轴上的截距的取值范围是（－3,3）,则其斜率的取值范围是（ D ）A．－1<k<错误!B．k〉1或k<错误!C．k〉错误!或k〈1 D．k>错误!或k<－19.直线x sin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是（ D ）A。

错误!B．(0,π） C.错误! D.错误!∪错误!10。

已知:平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4,AC、BD 分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度（ A )A．13 B。

错误!C．12错误!D．1511。

已知｛（x，y）｜（m+3)x+y=3m-4｝∩{(x,y）|7x+（5—m）y-8=0｝= ,则直线（m+3）x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是( B）A。

四川省成都市龙泉驿区第一中学校2016-2017学年高二上

成都龙泉高中高2015级高二（上）入学考试试题数学（理）（满分150分，时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项． 1．若点()a ,1到直线1+=x y 的距离是223，则实数a 为（） A ．－1 B ．5 C ．－1或5 D ．－3或32．已知平面向量，，，下列命题正确的是（）A．若=，=，则= B ．若||=||，则= C ．若λ=0（λ为实数），则λ=0 D．若∥，∥，则∥3．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（）A ．k=7B ．k ≤6C ．k ＜6D ．k ＞64．已知a ，b ，c ∈R ，则下列推证中正确的是（） A ．a ＞b ⇒am 2＞bm 2 B．C． D．5．登山族为了了解某山高y （km ）与气温x （°C ）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km ）处气温的度数为（） A ．﹣10 B ．﹣8 C ．﹣4 D ．﹣66．过点（﹣2，5）且垂直于直线2x﹣4y+15=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=07．已知⊙C的圆心在曲线y=上，⊙C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．88．若sinα=，α∈[，π]，则sin（+α）的值为（）A．﹣ B． C．﹣ D．9．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C． D．y=cos2x．10．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（）A．30° B．45°C．60° D．90°11．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12 B．13 C．14 D．1512．已知函数f（x）=cos（x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=b，则．14．已知为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（λ∈R），则的最小值为．15．已知数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n}满足b n（a n+a n+1）=1，则数列{b n}的前32项的和为．16．已知函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+（其中ω为常数，且ω＞0），函数g（x）=f（x）﹣的部分图象如图所示．则当x∈[﹣]时，函数f（x）的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos2x﹣（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f（﹣）=，且sinB+sinC=，求bc的值．18．（12分）已知=（sinx，2cosx），=（3，﹣），x∈R．（1）若f（x）=•，试求f（x）的值域；（2）若x=，且满足2﹣与+相互垂直，求λ的值．19．（12分）某电子原件生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：（1）2件都是一级品的概率；（2）至少有一件二级品的概率．20．（12分）如图在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面DEF⊥平面ABC．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：A1N∥平面APM；（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．22．（12分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式；函数（其中）．（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．成都龙泉高中高2015级高二（上）入学考试试题数学（理）（解析版）（满分120分，时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项． 1．若点()a ,1到直线1+=x y 的距离是223，则实数a 为（ C ） A ．－1 B ．5 C ．－1或5 D ．－3或32．已知平面向量，，，下列命题正确的是（ A ）A ．若=， =，则=B ．若||=||，则=C ．若λ=0（λ为实数），则λ=0 D ．若∥，∥，则∥3．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ D ）A ．k=7B ．k ≤6C ．k ＜6D ．k ＞64．已知a ，b ，c ∈R ，则下列推证中正确的是（ C ） A ．a ＞b ⇒am 2＞bm 2B．C．D．5．登山族为了了解某山高y （km ）与气温x （°C ）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km ）处气温的度数为（ D ） A ．﹣10 B ．﹣8C ．﹣4D ．﹣66．过点（﹣2，5）且垂直于直线2x ﹣4y+15=0的直线方程为（ A ） A ．2x+y ﹣1=0B ．2x+y ﹣5=0C ．x+2y ﹣5=0D ．x ﹣2y+7=07．已知⊙C的圆心在曲线y=上，⊙C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是（C）A．2 B．3 C．4 D．88．若sinα=，α∈[，π]，则sin（+α）的值为（ C ）A．﹣ B． C．﹣ D．9．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（A）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C． D．y=cos2x．10．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（C）A．30° B．45°C．60° D．90°11．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（A）A．12 B．13 C．14 D．1512．已知函数f（x）=cos（x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（B）A． B． C． D．．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=b，则．14．已知为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（λ∈R），则的最小值为．15．已知数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n}满足b n（a n+a n+1）=1，则数列{b n}的前32项的和为．16．已知函数f （x ）=sin2ωx ﹣cos2ωx+（其中ω为常数，且ω＞0），函数g （x ）=f（x ）﹣的部分图象如图所示．则当x ∈[﹣]时，函数f （x ）的取值范围是 [﹣，+1] ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f （x ）=2sinx •cosx+2cos 2x ﹣（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足f （﹣）=，且sinB+sinC=，求bc 的值．【分析】（1）f （x ）解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性确定出f （x ）的单调递减区间即可；（2）由f （x ）解析式，以及f （﹣）=，求出A 的度数，将sinB+sinC=，利用正弦定理化简，求出bc 的值即可．【解答】解：（1）f （x ）=2sinx •cosx+2cos 2x ﹣=sin2x+cos2x=2sin （2x+），∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=π，∵2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）由f（﹣）=2sin[2（﹣）+]=2sinA=，即sinA=，∵A为锐角，∴A=，由正弦定理可得2R===，sinB+sinC==，∴b+c=×=13，由余弦定理可知：cosA===，整理得：bc=40．18．（12分）已知=（sinx，2cosx），=（3，﹣），x∈R．（1）若f（x）=•，试求f（x）的值域；（2）若x=，且满足2﹣与+相互垂直，求λ的值．【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，即可求得f（x）的解析式，由正弦函数性质即可求得f（x）的值域；（2）当x=，代入求得，根据向量的坐标运算分别求得2﹣与+，利用向量垂直的定义，代入即可求得λ的值．【解答】解：（1）f（x）=•=sinx×3+2cosx×（﹣）=sinx﹣cosx，=2sin（x﹣），由正弦函数的性质可知：﹣1≤sin（x﹣）≤1，∴﹣2≤sin（x﹣）≤2，f（x）的值域[﹣2，2]；（2）当x=， =（，1），∴2﹣=（﹣2，）+=（，），∵（2﹣）⊥（+），∴（2﹣）•（+）=0，×（﹣2）+×=0，解得：λ=，λ的值．19．（12分）某电子原件生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：（1）2件都是一级品的概率；（2）至少有一件二级品的概率．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，从10件产品中抽取2件，共有C102个基本事件，而满足条件的事件的结果有C82，根据等可能事件的概率公式得到结果．（2）至少有一件二级品包括抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品与抽取的2件产品均为二级品，这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，设2件都是一级品为事件A．…从10件产品中抽取2件，共有C102=45个基本事件，且都是等可能的而事件A的结果有C82=28种，…则P（A）=．…（2）设至少有一件二级品为事件B，…则B是两个互斥事件：“抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为B1）”与“抽取的2件产品均为二级品（B2）”的和．…而P（B1）=，P（B2）=，…∴P（B）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）…=．…答：2件都是一级品的概率为；至少有一件二级品的概率为．20．（12分）如图在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面DEF⊥平面ABC．【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可【解答】证明：（1）因为D，E是PC，AC中点，∴PA∥DE∵DE⊂平面DEF，PA⊄平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，∴PA=2DE，BC=2FE∵PA=6，BC=8，DF=5∴DE=3，EF=4，DF=5，∴DE2+EF2=DF2∴DE⊥EF，∵PD=AD，D为PC的中点∴AD=DC∵E为AC的中点，∴DE⊥AC∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC，∵DE⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABC．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：A1N∥平面APM；（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知推导出AM⊥BC，BB1⊥底面ABC，BB1⊥AM，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明平面APM⊥平面BB1C1C．（Ⅱ）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C，则四边形A1AMD为平行四边形，从而A1D∥AM，进而A1D∥平面APM；进一步推导出DN∥B1C，MP∥B1C，则DN∥MP，从而DN∥平面APM，进而平面A1DN∥平面APM，由此能证明A1N∥平面APM．（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，则BC1⊥PM．设PB=x，．推导出，从而得到直线BC1与平面APM不能垂直．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．因为AM⊂底面ABC，所以BB1⊥AM，又BB1∩BC=B，所以AM⊥平面BB1C1C．又因为AM⊂平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C．…（Ⅱ）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C．由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DM∥A1A，且DM=A1A．则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM．又A1D⊄平面APM，AM⊂平面APM，所以A1D∥平面APM．由于D，N分别为C1B1，C1C的中点，所以DN∥B1C．又P，M分别为B1B，CB的中点，所以MP∥B1C．则DN∥MP．又DN⊄平面APM，MP⊂平面APM，所以DN∥平面APM．由于A1D∩DN=D，所以平面A1DN∥平面APM．由于A1N⊂平面A1DN，所以A1N∥平面APM．…10分解：（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，由PM⊂平面APM，则BC1⊥PM．设PB=x，．当BC1⊥PM时，∠BPM=∠B1C1B，所以∽Rt△∠B1C1B，所以．由已知，所以，得．由于，因此直线BC1与平面APM不能垂直．…22．（12分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式；函数（其中）．（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．【分析】（1）由已知可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由定义表示出g（θ），根据二次函数的性质分类讨论可表示出其最大值，令其为4可求m值；（2）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，则M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，从而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，转化为不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0，]恒成立，分离出参数m后，转化为求函数的最值即可，变形后借助“对勾函数”的性质可求得最值；【解答】解：（1）f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，又f（x）是奇函数，∴f（x）在（0，+∞）也是增函数，g（θ）=sin2θ﹣m（3﹣cosθ）=﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1=﹣，∵θ∈[0，]，∴cosθ∈[0，1]，g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（），cosθ=1（），处取得，若cosθ=0，g（θ）=4，则有1﹣3m=4，m=﹣1，此时，符合；若cosθ=1，g（θ）=4，则有﹣2m=4，m=﹣2，此时，不符合；若，g（θ）=4，则有，m=6+4或m=6﹣4，此时或3，不符合；综上，m=﹣1．（2）∵f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且满足f（2）=0，∴f（﹣2）=0，又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上均是增函数，由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0，]恒成立，当m＞==﹣（3﹣cosθ）﹣（）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6，∵θ∈[0，]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，∴7≥（3﹣cosθ）+（），﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6∈[﹣1，﹣]，此时，m＞﹣；当m＜=﹣（3﹣cosθ）﹣（）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6，∴6≥（3﹣cosθ）+（），﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6∈[0，6﹣4]，此时，m＜0；综上，m∈（﹣，0）．。

四川省成都市龙泉二中2016-2017学年高二(上)10月月考数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=7，c=5，则的值是（）A．B．C．D．2．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．43．二进制数10101化为十进制数的结果为（）（2）A．15 B．21 C．33 D．414．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，±2）D．（1，±2）5．如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC=60m，塔顶B的仰角α=45°，塔底C的仰角15°，则井架的高BC为（）A．m B．m C．m D．m6．若不等式x2﹣ax+1≤0和ax2+x﹣1＞0对任意的x∈R均不成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β8．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（）A．6 B．9 C．12 D．1810．四个实数﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，五个实数﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．11．已知一个圆柱的底面半径和高分别为r和h，h＜2πr，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．12．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．14．命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是．15．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△F1PF2的内心，若2（S﹣S）=S，则该双曲线的离心率是．16．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．17．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．设直线l1：（a﹣1）x﹣4y=1，l2：（a+1）x+3y=2，l3：x﹣2y=3．（1）若直线l1的倾斜角为135°，求实数a的值；（2）若l2∥l3，求实数a的值．19．在物理实验中，为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响．某学生通过实验测量（2）利用公式（公式见卷首）求y对x的回归直线方程；（3）预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．20．已知曲线C上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（，F2（，（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线与曲线C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．如图为了测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测定，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，求A、B两点的距离．22．如图1，已知四边形ABFD为直角梯形，AB∥DF，∠ADF=，BC⊥DF，△AED为等边三角形，AD=，DC=，如图2，将△AED，△BCF分别沿AD，BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，连接EF，DF，设G为AE上任意一点．（1）证明：DG∥平面BCF；（2）若GC=，求的值．23．以下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋在六次训练中抢得篮板球数记录，由于教练一时疏忽，忘了记录乙球员其中一次的数据，在图中以X表示．（1）如果乙球员抢得篮板球的平均数为10时，求X的值和乙球员抢得篮板球数的方差；（2）如果您是该球队的教练在正式比赛中您会派谁上场呢？并说明理由（用数据说明）．2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高二（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=7，c=5，则的值是（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】根据题意和正弦定理直接求出的值．【解答】解：由题意得，a=7，c=5，由正弦定理得，==，故选：A．2．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的前n项和．【分析】由S1，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．【解答】解：由S1，S2，S4成等比数列，∴（2a1+d）2=a1（4a1+6d）．∵d≠0，∴d=2a1．∴===3．故选C3．二进制数10101化为十进制数的结果为（）（2）A．15 B．21 C．33 D．41【考点】进位制．【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24=21，【解答】解：10101（2）故选：B．4．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，±2）D．（1，±2）【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线y2=4x的准线方程，利用抛物线的定义，可求A点的横坐标，即可得出A的坐标．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，F（1，0）．设A（x，y），∵|AF|=3，∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1，∴x=2，∴y=，∴A的坐标为（2，）．故选：C，5．如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC=60m，塔顶B的仰角α=45°，塔底C的仰角15°，则井架的高BC为（）A．m B．m C．m D．m【考点】正弦定理；任意角的三角函数的定义．【分析】由图和测得的仰角求出∠BAC和∠ABC，放在△ABC中利用正弦定理求出BC的长度．【解答】解：由题意得，∠BAC=45°﹣15°=30°，∠ABC=α=45°，且AC=60m，在△ABC中，由正弦定理得，，即，解得BC=30（m），故选B．6．若不等式x2﹣ax+1≤0和ax2+x﹣1＞0对任意的x∈R均不成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【分析】题目可化为：不等式x2﹣ax+1＞0和ax2+x﹣1≤0对任意的x∈R均成立，进而得到答案．【解答】解：若不等式x2﹣ax+1≤0对任意的x∈R均不成立，即不等式x2﹣ax+1＞0对任意的x∈R均成立，即△=a2﹣4＜0，解得：a∈（﹣2，2）；若不等式ax2+x﹣1＞0对任意的x∈R均不成立，即不等式ax2+x﹣1≤0对任意的x∈R均成立，即，解得：a∈（﹣∞，]，故a∈（﹣2，]，故选：D．7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C8．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】①由正方体的性质得BD∥B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得答案；②由正方体的性质得AC⊥BD，再由三垂线定理可得答案．③由正方体的性质得BD∥B1D1，并且结合②可得AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，进而结合线面垂直的判定定理得到答案．【解答】解：由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面CB1D1；所以①正确．由正方体的性质得AC⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得：AC1⊥BD，所以②正确．由正方体的性质得BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，进而结合线面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1 ，所以③正确．故选D．9．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=6102，b=2016，执行循环体，r=54，a=2016，b=54，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18．故选：D．10．四个实数﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，五个实数﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】设等差数列的公差为d，比数列的公比为q，由题意可得d和q，代入要求的式子化简可得．【解答】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有﹣9+3d=﹣1，﹣9•q4=﹣1，解之可得d=，q=，∴b2（a2﹣a1）=﹣9××=﹣8故选B．11．已知一个圆柱的底面半径和高分别为r和h，h＜2πr，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知可得h=πr，计算出圆柱的表面积和侧面积，可得答案．【解答】解：∵圆柱的底面半径和高分别为r和h，h＜2πr，若侧面展开图的长是宽的2倍，则h=πr，故圆柱的表面积为：2πr（r+h）=2πr（r+πr），圆柱的侧面积为：2πrh=2πr•πr，故该圆柱的表面积与侧面积的比为，故选：A12．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．【考点】余弦定理；等比数列的性质．【分析】根据三角形三边长成公比为的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a，a，2a，根据2a为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ==﹣．故答案为：﹣14．命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．【考点】命题的否定．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．15．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△F1PF2的内心，若2（S﹣S）=S，则该双曲线的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由I为△F1PF2的内心，可知I到三角形三边距离都相等，由2（﹣）=，根据三角形的面积公式可得2（丨PF1丨•r﹣丨PF2丨•r）=丨F1F2丨•r，求得2（丨PF1丨﹣丨PF2丨）=丨F1F2丨，根据双曲线的定义可得：丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，丨F1F2丨=2c，则c=2a，利用离心率公式e=即可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵I为△F1PF2的内心，∴I到三角形三边距离都相等，设内切圆半径r，∴2（﹣）=，∴2（丨PF1丨•r﹣丨PF2丨•r）=丨F1F2丨•r，2（丨PF1丨﹣丨PF2丨）=丨F1F2丨，∵丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，丨F1F2丨=2c，∴2a=c，即c=2a，∴离心率e==2，故答案为：2．16．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，关键是掌握P=【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A∴P（A）===平方米∴S不规则图形故答案为：17．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．设直线l1：（a﹣1）x﹣4y=1，l2：（a+1）x+3y=2，l3：x﹣2y=3．（1）若直线l1的倾斜角为135°，求实数a的值；（2）若l2∥l3，求实数a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的倾斜角．【分析】（1）直线化为斜截式，利用直线l1的倾斜角为135°，得，即可求实数a的值；（2）若l2∥l3，则，即可求实数a的值．【解答】解：（1）l1的方程可化为，由直线l1的倾斜角为135°，得=﹣1，解得a=﹣3．（2）∵l2∥l3，∴，即．19．在物理实验中，为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响．某学生通过实验测量（2）利用公式（公式见卷首）求y对x的回归直线方程；（3）预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．【考点】回归分析的初步应用．【分析】（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式计算b，a，可得y对x的回归直线方程；（3）利用（2）的结论，可以预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．【解答】解：（1）散点图，如图所示（2）∵，=4，，∴=1.2，a=4﹣1.2×3=0.4∴=1.2x+0.4；（3）当x=8g时，=1.2×8+0.4=10cm．∴预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度为10cm．20．已知曲线C上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（，F2（，（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线与曲线C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用曲线C上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（，F2（，求出几何量，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及x1x2+y1y2=0，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得a=2，c=，所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，故所求椭圆C的方程为．（Ⅱ）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，并整理，得．（*）则，．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即x1x2+y1y2=0．又，于是，解得，经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．21．如图为了测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测定，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，求A、B两点的距离．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】在△BCD中，利用正弦定理，可求BC，在△ABC中，由余弦定理，可求AB．【解答】解：由题意，AD=DC=AC=，在△BCD中，∠DBC=45°，∴∴在△ABC中，由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos45°，∴答：A、B两点距离为km．22．如图1，已知四边形ABFD为直角梯形，AB∥DF，∠ADF=，BC⊥DF，△AED为等边三角形，AD=，DC=，如图2，将△AED，△BCF分别沿AD，BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，连接EF，DF，设G为AE上任意一点．（1）证明：DG∥平面BCF；（2）若GC=，求的值．【考点】构成空间几何体的基本元素．【分析】（1）根据题意证明CD⊥平面AED，CD⊥平面BCF，得出平面AED∥平面BCF，即可证明DG∥平面BCF；（2）根据空间中的垂直关系，利用直角三角形的边角关系，即可求出的值．【解答】解：（1）由题意可知AD⊥DC，因为平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，所以CD⊥平面AED，同理CD⊥平面BCF，所以平面AED∥平面BCF；又DG⊂平面AED，所以DG∥平面BCF；（2）取AD的中点O，连接OE，则OE⊥AD，过G作GH⊥OA，垂足为G，设GH=h；∵∠EAD=60°，∴；∵GC2=GH2+HD2+DC2，∴，化简得h2﹣5h+6=0，∴h=3或h=2；又∵，当h=3时，在Rt△AOE中，，∴；当h=2时，同理可得，综上所述，的值为或．23．以下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋在六次训练中抢得篮板球数记录，由于教练一时疏忽，忘了记录乙球员其中一次的数据，在图中以X表示．（1）如果乙球员抢得篮板球的平均数为10时，求X的值和乙球员抢得篮板球数的方差；（2）如果您是该球队的教练在正式比赛中您会派谁上场呢？并说明理由（用数据说明）．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）由茎叶图数据，根据平均数公式，构造关于X方程，解方程可得答案．（2）分别计算两人的均值与方差，作出决定．【解答】解：乙球员抢得篮板球的平均数为10，，解得x=9，乙球员抢得篮板球数的方差= [（9﹣10）2+（8﹣10）2+（9﹣10）2+（8﹣10）2+（14﹣10）2+（12﹣10）2]=5（2）由（1）得=10，=5，，= [（6﹣10）2+（9﹣10）2+（9﹣10）2+（14﹣10）2+（11﹣10）2+（11﹣10）2]=6∵∴由数据结果说明，乙球员发挥地更稳定，所以选派乙球员上场．…2017年1月6日。

四川省龙泉中学、温江中学、新津中学等五校高三上学期第一次联考——数学理数学(理)

四川省龙泉中学、温江中学、新津中学等五校2017届高三上学期第一次联考数学（理）试题时间120分钟总分150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是 A ． B ． C ． D ．2．已知集合{}|2,0x M y y x ==>，{}2|lg(2)N x y x x ==-，则为 A ．（1，2）B ．（1，+∞）C ．[2，+∞）D ．[1，+∞）3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④4．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．5．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数 A ． B ． C ． D ．6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝A ．4B ．5C ．6D ．77．下列命题中是假命题的是 A ．，使函数是偶函数;B ．，使得cos()cos cos αβαβ+=+;C ．，使243()(1)mm f x m x -+=-⋅是幂函数，且在上递减;D ．,,lg()lg lg a b R a b a b +∀∈+≠+． 8．若函数),,,()(2R d c b a cbx ax dx f ∈++=的图象如图所示，则 A ． B ． C ． D ．9．已知函数()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的一条对称轴为直线，则要得到函数()'()()12F x f x f x π=-+的图象，只需把函数的图象A ．沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B ．沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C ．沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D ．沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍10．若直线ax ﹣by +2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2+2x ﹣4y +1=0截得的弦长为4，则的最小值为（）A .B ．C ．D ．11．若点P 是曲线上任意一点，则点P 到直线的最小距离为A ．1B ．C ．D ．12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=0)3()4(0)1()(2222x a x a a x x a k kx x f ，，，其中，若对，，使得成立，则实数的最小值为A ．B ．C ．6D ．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）． 13．计算=+25.0log 10log 255__ ▲▲▲ ． 14．已知2()1log (14)f x x x =+≤≤，设函数，则__ ▲▲▲ ．15．若函数的定义域为，其值域为，则这样的函数有__ ▲▲▲ ．个．（用数字作答）16．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点……,则123(AF AP AP AP +++=__ ▲▲▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（本小题满分12分）已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222xx x m n =-=，函数．（1）若，，求的值；（2）在中，角的对边分别是，且满足，求角B 的取值范围．18．（本小题满分12分）在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为的函数：2123()1,(),()sin f x x f x x f x x =+==，42()log )f x x =56()cos ,()sin 2.f x x x f x x x =+=-（1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件A 为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件A 的概率；（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为，写出的分布列，并求其数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =2，P A =1，P A ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．（1）求证：BE ∥平面PDF ；（2）求证：平面PDF ⊥平面P AB ；（3）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的大小．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点、都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上．求面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点，求证：请考生在第22～24三题中任选一题做答。

四川省成都市龙泉二中2017届高三(上)9月月考数学试卷+(理科)(解析版)

2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．2．设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）•|=（）A． B．2 C．D．13．已知直线l：xcosθ+ysinθ=1，且0P⊥l于P，O为坐标原点，则点P的轨迹方程为（）A．x2+y2=1 B．x2﹣y2=1 C．x+y=1 D．x﹣y=14．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．645．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．36．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1＜0”D ．命题“若x=y ，则sinx=siny ”的逆否命题为真命题8．“等式sin （α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．执行图题实数的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a 值为（）A ．44B ．16C ．256D ．log 31610．函数y=（0＜a ＜1）的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则中最大的是（）A ．B ．C ．D ．12．将函数y=sin （2x ﹣）图象上的点P （，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y=sin2x 的图象上，则（）A ．t=，s 的最小值为B ．t=，s 的最小值为C ．t=，s 的最小值为D ．t=，s 的最小值为二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知O 是锐角△ABC 的外心，B=30°，若+=λ，则λ= ． 14．已知函数f （x ）=|2x +1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a 的取值范围． 15．若S n 是数列[a n }的前n 项的和，且S n =﹣n 2+6n +7，则数列{a n }的最大项的值为．16．已知n =（2x +1）dx ，数列{}的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n =n ﹣35，n ∈N *，则b n S n 的最小值为．三、解答题：本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f （x ）=sin （2x ﹣）+2sin 2（x ﹣）（x ∈R ）．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求使函数f （x ）取得最大值的x 的集合．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD ．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；（2）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．19．为了让学生更多的了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对l道，则获得二等奖．某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率值相同．（i）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；（ii）设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及X的数学期望．20．如图，已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探求λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点．21．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4—1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．[选修4-4极坐标与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线c1：（α为参数）．（Ⅰ）求曲线c1的普通方程；（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．[选修4－5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2；（2）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求的最小值．2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．2．设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1﹣z）•|=（）A． B．2 C．D．1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【分析】给出z=﹣1﹣i，则，代入整理后直接求模．【解答】解：由z=﹣1﹣i，则，所以=．故选A．3．已知直线l：xcosθ+ysinθ=1，且0P⊥l于P，O为坐标原点，则点P的轨迹方程为（）A．x2+y2=1 B．x2﹣y2=1 C．x+y=1 D．x﹣y=1【考点】轨迹方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用0P⊥l于P，可得点O到直线l的距离等于|OP|，从而可得点P的轨迹方程．【解答】解：设P（x，y），则∵0P⊥l于P∴点O到直线l的距离等于|OP|∴==1∴x2+y2=1故选A．4．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．112 B．80 C．72 D．64【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，代入数据分别求棱柱与棱锥的体积即可．【解答】解：由三视图可知，此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，棱柱的体积为4×4×4=64；棱锥的体积为×4×4×3=16；则此几何体的体积为80；故选B．5．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．【解答】解：∵f（x）=∴f（1）=2若f（a）+f（1）=0∴f（a）=﹣2∵2x＞0∴x+1=﹣2解得x=﹣3故选A6．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且其渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标和抛物线的焦点关系，得到c=5，根据双曲线的渐近线方程得到=，联立方程组求出a，b即可．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（5，0），双曲线焦点在x轴上，且c=5，∵又渐近线方程为y=±x，可得=，即b=a，则b2=a2=c2﹣a2=25﹣a2，则a2=9，b2=16，则双曲线C的方程为﹣=1，故选A7．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．8．“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的（）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由正弦函数的图象及周期性：当sinα=sinβ时，α=β+2kπ或α+β=π+2kπ，k∈Z，而不是α=β．【解答】解：若等式sin（α+γ）=sin2β成立，则α+γ=kπ+（﹣1）k•2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin（α+γ）=sin2β成立，所以“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件．故选A．9．执行图题实数的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）A．44 B．16 C．256 D．log316【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，依次运行，直到满足条件即可得到结论．【解答】解：若a=2，则log3a=log32＞4不成立，则a=22=4，若a=4，则log3a=log34＞4不成立，则a=42=16，若a=16，则log3a=log316＞4不成立，则a=162=256若a=256，则log3a=log3256＞4成立，输出a=256，故选：C10．函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分x＞0与x＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当x＞0时，|x|=x，此时y=a x（0＜a＜1）；当x＜0时，|x|=﹣x，此时y=﹣a x（0＜a＜1），则函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是：，故选：D．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＞0，S10＜0，则中最大的是（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】由，可得，a5＞0，a6＜0结合等差数列的通项可得，a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0＞a6＞…即可得，，则可得【解答】解：∵，∴a 5＞0，a 5+a 6＜0，a 6＜0∴等差数列{a n }中，a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5＞0＞a 6＞…∴则故选B12．将函数y=sin （2x ﹣）图象上的点P （，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y=sin2x 的图象上，则（）A ．t=，s 的最小值为B ．t=，s 的最小值为C ．t=，s 的最小值为D ．t=，s 的最小值为【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P ′的坐标，进而得到s 的最小值．【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin （2x ﹣）图象上的点P 向左平移s 个单位，得到P ′（﹣s ，）点，若P ′位于函数y=sin2x 的图象上，则sin （﹣2s ）=cos2s=，则2s=+2k π，k ∈Z ，则s=+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k=0时，s 的最小值为，故选：A ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知O 是锐角△ABC 的外心，B=30°，若+=λ，则λ= 1 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】作出图形，根据三角形外心的定义以及向量数量积的计算公式及三角函数的定义即可得出，这样在的两边同乘以，便可得出，可设△ABC的外接圆半径为R，从而由正弦定理便可得到，再根据正弦定理便可得出2sin（A+C）=λ，而A+C=150°，从而便可得出λ的值．【解答】解：如图，由得：；∴；即=；设△ABC外接圆半径为R，则；在△ABC中由正弦定理得：；∴；∴；∴2RsinCcosA+2RcosCsinA=λR；∴2sin（C+A）=2sin150°=λ；∴λ=1．故答案为：1．14．已知函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围[0，1] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】利用换元法，令2x=t，，是单调增函数，转化求勾勾函数在是单调增区间，可得a的范围．【解答】解：函数f（x）=|2x+1+|在[﹣，3]上单调递增，当a=0时，函数在[﹣，3]上单调递增恒成立；当a≠0时，令2x=t，，则函数t在[﹣，3]上是单调递增．那么：函数f（x）=|2x+1+|转化为g（t）=||在是单调递增，根据勾勾函数的性质可知：①当a＞0时，函数g（t）在（，+∞）单调递增，故得：，解得：0＜a≤1．②当a＜0时，g（t）=||的零点为t=，函数y=2t是定义域R上的增函数，∵，∴只需，解得：0＜a≤1．故无解；综上所得：实数a的取值范围是[0，1]．15．若S n是数列[a n}的前n项的和，且S n=﹣n2+6n+7，则数列{a n}的最大项的值为12．【考点】数列的应用．【分析】将数列{a n}的前n项和进行配方，根据二次函数的特性可求出相应的n．然后求解数列的最大值．【解答】解：=﹣（n﹣3）2+16∴当n=3时，S n取最大值16．a1=S1=﹣1+6+7=12，a2=S2﹣S1=﹣4+12+7﹣12=3．此时a3=S3﹣S2=﹣9+18+7+4﹣12﹣7=1．数列{a n}的最大值的值为：12．故答案为：12．16．已知n=（2x+1）dx，数列{}的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣35，n∈N*，则b n S n的最小值为﹣25．【考点】定积分；数列的求和．【分析】由题意，先由微积分基本定理求出a n再根据通项的结构求出数列{}的前n项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案【解答】解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{}的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，b n=n﹣35，n∈N*，则b n S n=×（n﹣35）=n+1+﹣37≥2×6﹣37=﹣25，等号当且仅当n+1=，即n=5时成立，故b n S n的最小值为﹣25．故答案为：﹣25三、解答题：本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2sin2（x﹣）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）先将函数f（x）化简为：f（x）=2sin（2x﹣）+1，根据T==π得到答案．（2）因为f（x）取最大值时应该有sin（2x﹣）=1成立，即2x﹣=2kπ+，可得答案．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x﹣）+1﹣cos2（x﹣）=2[sin2（x﹣）﹣cos2（x﹣）]+1=2sin[2（x﹣）﹣]+1=2sin（2x﹣）+1∴T==π（2）当f（x）取最大值时，sin（2x﹣）=1，有2x﹣=2kπ+即x=kπ+（k∈Z）∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+，（k∈Z）}．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）令AD=1，求出BD=，从而AD⊥BD，进而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PBD．（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，令AD=1，则BD==，在△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，BD⊂平面PBD，∴平面PAD⊥平面PBD．解：（2）由（1）得AD⊥BD，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，令AD=1，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（，0，），=（﹣1，，0），=（﹣），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），，取b=1，得=（0，1，2），∴cos＜＞===，由图形知二面角A﹣PB﹣C的平面角为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．19．为了让学生更多的了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对l道，则获得二等奖．某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率值相同．（i）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；（ii）设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及X的数学期望．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率的意义可知，从上到下各个小组的频率之和是1，同时每小组的频率=，由此计算填表中空格；（2）由题意知：该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，第4道也能够答对才获得一等奖，根据二项分布的概率公式计算即可得其分布列，进而求得X 的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由图中数据知，样本容量为50，根据频率=，①处=0.16×50=8；②处=；③处填：50﹣44=6；④处填：．故有：①8②0.44③6④0.12．（Ⅱ）由（Ⅰ），得p=0.4（i）该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，第4道也能够答对才获得一等奖，则有C31×0.4×0.62×0.4=0.1728．（ii）由题设可知，该同学答题个数为2、3、4．即X=2、3、4，P（X=2）=0.42=0.16，P（X=3）=C21×0.4×0.6×0.4=0.192，P（X=4）=C31×0.4×0.62+0.63=0.648，分布列为：E（X）=2×0.16+3×0.192+4×0.648=3.488．20．如图，已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探求λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点．【考点】椭圆的应用；椭圆的定义．【分析】（Ⅰ）由题设条件能够求出c=1，b=，从而求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，由根与系数的关系推导λ1+λ2的值．（Ⅲ）由题设条件想办法证明点在既直线l AE上，又在直线l BD上，∴当m变化时，AE与BD相交于定点．【解答】解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，抛物线的焦点坐标，∴∴b2=3∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于，设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0∴又由∴同理∴∵∴所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）方法1）∵当时，==∴点在直线l AE上，同理可证，点也在直线l BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点方法2）∵=∴k EN=k AN∴A、N、E三点共线，同理可得B、N、D也三点共线；∴当m变化时，AE与BD相交于定点．21．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域，通过讨论a的范围结合g（x）的单调性，求出a的具体范围即可．【解答】解：（1）因为f（x）=，所以f′（x）=，…令f′（x）=0，得x=1．…当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．所以f（x）在x=1时取得极大值f（1）=1，无极小值．…（2）由（1）知，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，e]时，f（x）单调递减．又因为f（0）=0，f（1）=1，f（e）=e•e1﹣e＞0，所以当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域为（0，1]．…当a=0时，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上单调，不合题意；…当a≠0时，g′（x）=，x∈（0，e]，故必须满足0＜＜e，所以a＞．…x g′x g x所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2使得g（x1）=g（x2）=f（x0），当且仅当a满足下列条件，即，…令m（a）=2﹣a﹣2ln，a∈（，+∞），m′（a）=﹣，由m′（a）=0，得a=2．当a∈（2，+∞）时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减；当a∈（，2）时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增．所以，对任意a∈（，+∞）有m（a）≤m（2）=0，即2﹣a﹣2ln≤0对任意a∈（，+∞）恒成立．由a（e﹣1）﹣2≥1，解得a≥，综上所述，当a∈[，+∞）时，对于任意给定的x0（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4—1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解答】解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∵AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB又因为CF=GF∴BF=FG[选修4-4极坐标与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线c1：（α为参数）．（Ⅰ）求曲线c1的普通方程；（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式．【分析】（1）用x，y表示出cosα，sinα利用cos2α+sin2α=1消参数得到曲线C1的普通方程；（2）先求出曲线C的普通方程，使用参数坐标求出点M到曲线C的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴cosα=，sinα=，∴曲线C1的普通方程是：．（Ⅱ）曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0．点M到曲线C的距离为，（）．∴α﹣φ=0时，，此时．[选修4－5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2；（2）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，求解即可．（2）求出m+n=2，利用1的代换，结合基本不等式求的最小值．【解答】解：（1）由f（x）＜2知|2x﹣1|＜2，于是﹣2＜2x﹣1＜2，解得，故不等式f（x）＜2的解集为．（2）由条件得g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，当且仅当时，其最小值a=2，即m+n=2．又，所以，故的最小值为，此时，．2017年1月2日。

四川省成都市龙泉驿区高二上期末数学理科试卷

2016-2017学年四川省成都市龙泉驿区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣2017=0的倾斜角为（）A．0 B．C．D．不存在2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．20123．已知p1：直线l1：x﹣y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行，q：a=﹣1，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．B．2 C．D．15．已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过的范围内对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．B．C．D．6．若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）7．某班对一模考试数学成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按00，01，02，…，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第10个样本中第8个样本的编号是（）（注：如表为随机数表的第8行和第9行）63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．A．07 B．44 C．38 D．518．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（）A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合9．如图，边长为a的正方形最长的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则（）A．e1=e2＜e3B．e1＜e2=e3C．e1=e2＞e3D．e2=e3＜e110．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣5x﹣6=0”则“x=2”的逆否命题是“若x≠2”则“x2﹣5x﹣6≠0”B．若命题p：存在，则￢p：对任意x∈R，x2+x+1≥0C．若x，y∈R，则x=y是“”的充要条件D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p和q中必一真一假11．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围为（）A．[2，8]B．[4，13]C．[2，13]D．12．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A、B不同两点，若5|AF|=4|EF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若直线ax+2y+4=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，那么a的值为．14．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m=．15．如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=．16．下列结论：①一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；②设k＜3，k≠0，则与必有相同的焦点；③点P（m，3）在圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的外部；④已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by﹣c=0通过第一、三、四象限．其中正确的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．18．（12分）“双节”期间，告诉公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．19．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8x=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求直线l方程及△POM的面积．20．（12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2=8x 的焦点．直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．22．（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．（Ⅰ）若AP⊥AQ，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标；（Ⅱ）假设直线PQ过点T（5，﹣2），请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数？如果不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省成都市龙泉驿区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣2017=0的倾斜角为（）A．0 B．C．D．不存在【考点】直线的倾斜角．【分析】直线x﹣2017=0与x轴垂直，由此能求出直线x﹣2017=0的倾斜角．【解答】解：∵直线x﹣2017=0与x轴垂直，∴直线x﹣2017=0的倾斜角为．故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线方程的性质的合理运用．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．2012【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808故选B．【点评】本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．3．已知p1：直线l1：x﹣y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行，q：a=﹣1，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线平行的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若两直线平行则≠，得a=﹣1，即p是q的充要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．B．2 C．D．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：A【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．5．已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过的范围内对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】作出图形，以长度为测度，即可求出概率【解答】解：如图示：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．故选：D．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键．6．若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B．C．D．（2，2）【考点】抛物线的定义．【分析】求出焦点坐标和准线方程，把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入抛物线y2=2x 解得x值，即得M的坐标．【解答】解：由题意得F（，0），准线方程为x=﹣，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣（﹣）=．把y=2代入抛物线y2=2x 得x=2，故点M的坐标是（2，2），故选D．【点评】本题考查抛物线的定义和性质得应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想．7．某班对一模考试数学成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按00，01，02，…，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第10个样本中第8个样本的编号是（）（注：如表为随机数表的第8行和第9行）63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．A．07 B．44 C．38 D．51【考点】简单随机抽样．【分析】根据题意，写出从随机数表选出的10个样本数中第8个样本的编号即可．【解答】解：70个同学按00，01，02，…，69进行编号，从随机数表第9行第9列的数开始向右读，选出的第10个样本数分别是29，（78舍去），64，56，07，（82舍去），52，42，（07舍去），44，38，15，51；第8个样本的编号是38．故选：C．【点评】本题考查了简单随机抽样的应用问题，解题时应会使用随机数表，是基础题目．8．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（）A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用．【分析】根据算法中三种逻辑结构的定义，顺序结构是最基本的结构，每个算法一定包含顺序结构；选择结构是算法中出现分类讨论时使用的逻辑结构，循环结构一定包含一个选择结构；分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：算法有三种逻辑结构最基本的是顺序结构一个算法一定包含有顺序结构，但是可以含有上述三种逻辑结构的任意组合，故选D．【点评】本题考查的知识点是算法的概念及算法的特点，是对概念的直接考查，属基础题，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．9．如图，边长为a的正方形最长的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则（）A．e1=e2＜e3B．e1＜e2=e3C．e1=e2＞e3D．e2=e3＜e1【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据图形，利用椭圆的离心率计算公式即可得出结论．【解答】解：先看椭圆C1，长轴2a1=4a，短轴2b1∈（2a，4a），∴离心率e1==∈（0，）．椭圆C2，长轴2a1=8a，短轴2b2=4a，∴离心率e2===．同理可得椭圆C3的离心率e3=．∴e1、e2、e3的关系为e1＜e2=e3．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣5x﹣6=0”则“x=2”的逆否命题是“若x≠2”则“x2﹣5x﹣6≠0”B．若命题p：存在，则￢p：对任意x∈R，x2+x+1≥0C．若x，y∈R，则x=y是“”的充要条件D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p和q中必一真一假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．写出命题“若x2﹣5x﹣6=0”则“x=2”的逆否命题，即可判断其正误；B．写出命题p：存在，的否定，即可判断其正误；C．利用充分必要条件的定义，从正反两个方面推理，即可判断其正误；D．利用若“p或q”为假命题，则命题p和q都假可判断其正误．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣5x﹣6=0”则“x=2”的逆否命题是“若x≠2”则“x2﹣5x ﹣6≠0”，故A正确；对于B，若命题p：存在，则￢p：对任意x∈R，x2+x+1≥0，故B 正确；对于C，若x，y∈R，则x=y⇒“”成立，反之，也成立，故x=y是“”的充要条件，故C正确；对于D，已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p和q中必都假，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，熟练掌握命题及其否定、特称命题与全称命题之间的关系是解决问题的关键，属于中档题．11．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围为（）A．[2，8]B．[4，13]C．[2，13]D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，则z=x2+y2的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，则当动点P位于A时，OA的距离最大，当直线x+y=2与圆x2+y2=z相切时，距离最小，即原点到直线x+y=2的距离d=，即z的最小值为z=d2=2，由，解得，即A（3，2），此时z=x2+y2=32+22=9+4=13，即z的最大值为13，即2≤z≤13，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A、B不同两点，若5|AF|=4|EF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义求出|BE|=10a，|BF|=8a，结合抛物线的定义求出交点B的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可．【解答】解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=|BE|，∵|BE|﹣|BF|=2a，∴|BE|﹣|BE|=|BE|=2a，则|BE|=10a，|BF|=8a，∵抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，∴=c，且x=﹣c是抛物线的准线，则|BD|=|BF|=8a，设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a﹣c，代入抛物线方程y2=2px=4cx得y2=4c（8a﹣c），则|DE|2=y2=4c（8a﹣c），在直角三角形BDE中，BE2=DE2+BD2，即100a2=64a2+4c（8a﹣c），即36a2﹣32ac+4c2=0，即c2﹣8ac+9a2=0，解e2﹣8e+9=0，得e==4±，∵0＜a＜b，∴e==＞，∴e=4+，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的定义建立方程关系，求出a，c的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若直线ax+2y+4=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，那么a的值为﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【解答】解：由于直线x+y﹣2=0的斜率存在，且直线ax+2y+4=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则﹣1×（﹣）=﹣1，解得a=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m=8或﹣18．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1故圆的圆心为（1，0），半径为1直线与圆相切∴圆心到直线的距离为半径即=1，求得m=8或﹣18故答案为：8或﹣18【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．解题的过程充分利用数形结合的思想和直线与圆相切的性质．15．如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=4．【考点】循环结构．【分析】计算循环中x，与i的值，当x＜1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前x=3.5，不满足判断框条件，第1次循环，i=2，x=2.5，第2次判断后循环，i=3，x=1.5，第3次判断并循环i=4，x=0.5，满足判断框的条件退出循环，输出i=4．故答案为：4．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．16．下列结论：①一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；②设k＜3，k≠0，则与必有相同的焦点；③点P（m，3）在圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的外部；④已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by﹣c=0通过第一、三、四象限．其中正确的序号是②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的；②，设k＜3，k≠0，当0＜k＜3，则0＜3﹣k＜3，表实轴为x轴的双曲线，a2+b2=3=c2．当k＜0时，﹣k＞0，且3﹣k＞﹣k，表实轴为x轴焦点在x轴上的椭圆．a2=3﹣k，b2=﹣k．③，（m﹣2）2+（3﹣1）2＞2，可判定④把直线的方程化为斜截式，判断斜率及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置【解答】解：对于①，∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．故正确对于②，设k＜3，k≠0，当0＜k＜3，则0＜3﹣k＜3，表实轴为x轴的双曲线，a2+b2=3=c2．∴二曲线有相同焦点；当k＜0时，﹣k＞0，且3﹣k＞﹣k，表实轴为x轴焦点在x轴上的椭圆．a2=3﹣k，b2=﹣k．∴a2﹣b2=3=c2与已知椭圆有相同焦点．故正确；对于③，∵（m﹣2）2+（3﹣1）2＞2，∴点P（m，3）在圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的外部，故正确；对于④，由ab＜0，bc＜0得，则直线ax+by﹣c=0的斜率k＞0，直线在y轴上的截距为，故直线第一、三、四象限，正确．故答案为：②③④【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及了大量的基础知识，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（2016秋•龙泉驿区期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【考点】待定系数法求直线方程；两条直线的交点坐标．【分析】（1）先求直线AC的方程，然后求出C的坐标．（2）设出B的坐标，求出M代入直线方程为2x﹣y﹣5=0，与直线为x﹣2y﹣5=0．联立求出B的坐标然后可得直线BC的方程．【解答】解：直线AC的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣5），即2x+y﹣11=0，解方程组得则C点坐标为（4，3）．设B（m，n），则M（，），，整理得，解得则B点坐标为（﹣1，﹣3），y﹣3=（x﹣4），即6x﹣5y﹣9=0．【点评】本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题．18．（12分）（2016秋•龙泉驿区期末）“双节”期间，告诉公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这40辆小型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出[60，75）对应的频率为0.35，[75，80）对应的频率为0.3，由此能求出中位数的估计值．（2）车速在[60，70）内频率为0.15，从而车速在[60，70）内的车辆有6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有2辆，车速在[65，70）内的车辆有4辆，由此能求出从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，∴这40辆小型汽车车速的众数为：=77.5（km/h）．由频率分布直方图知[60，75）对应的频率为：（0.010+0.020+0.040）×5=0.35，[75，80）对应的频率为：0.060×5=0.3，∴中位数的估计值为：=77.5（km/h）．（2）车速在[60，70）内频率为（0.010+0.020）×5=0.15，∴车速在[60，70）内的车辆有0.15×40=6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有：0.010×5×40=2辆，车速在[65，70）内的车辆有：0.020×5×40=4辆，∴从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数n=，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数m==8，∴车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率p==．【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．19．（12分）（2016秋•龙泉驿区期末）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8x=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求直线l方程及△POM的面积．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）圆C的方程可化为（x﹣4）2+y2=16，由此能求出圆心为C（4，0），半径为4，设M（x，y），求出向量CM，MP的坐标，由=0，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理求出M的轨迹方程；（2）由（1）知M的轨迹是以点N（3，1）为圆心，为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，可得ON⊥PM，由直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由点斜式方程可得直线l的方程．利用点到直线距离公式结合已知条件能求出△POM的面积【解答】解：（1）圆C的方程可化为（x﹣4）2+y2=16，所以圆心为C（4，0），半径为4，设M（x，y），则=（x﹣4，y），=（2﹣x，2﹣y），由题设知=0，故（x﹣4）（2﹣x）+y（2﹣y）=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=2．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x﹣3）2+（y﹣1）2=2．（2）由（1）可知M的轨迹是以点N（3，1）为圆心，为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为，所以l的斜率为﹣3，故l的方程为y﹣2=﹣3（x﹣2），即为3x+y﹣8=0．又|OP|=|OM|=2，O到l的距离为，|PM|=，所以△POM的面积为．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20．（12分）（2016•广元二模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．（3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案．【解答】解：（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．21．（12分）（2015•丰台区一模）已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2=8x的焦点．直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）确定椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，确定M的坐标，进一步可得MN中点坐标，由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，即可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=8x，所以焦点坐标为（2，0），即A（2，0），所以a=2．又因为e==，所以c=．所以b=1，所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，所以=（x1+x2﹣4，y1+y2），所以M（x1+x2﹣2，y1+y2）．由直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，得x1+x2﹣2=﹣，y1+y2=，即M（﹣，）．设N（0，y3），则MN中点坐标为（﹣，），因为M，N关于直线l对称，所以MN的中点在直线l上，所以=k（﹣﹣1），解得y3=﹣2k，即N（0，﹣2k）．由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，所以，解得k=±．…（14分）【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2012•武昌区模拟）如图，已知抛物线C：y2=4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．（Ⅰ）若AP⊥AQ，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标；（Ⅱ）假设直线PQ过点T（5，﹣2），请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数？如果不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【分析】（I）设直线l的方程与抛物线方程联立，利用AP⊥AQ，结合韦达定理，即可证明直线PQ过定点，并可求出定点的坐标；（II）先求出PQ的中点坐标，再结合三角形APQ为等腰三角形求出关于m的等式，借助于函数的单调性求出m的取值个数即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：设直线PQ的方程为x=my+n，点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程代入抛物线方程，消x得y2﹣4my﹣4n=0．由△＞0，得m2+n＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4n．∵AP⊥AQ，∴，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=0．∴（y1﹣2）（y2﹣2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0，∴（y1﹣2）（y2﹣2）=0或（y1+2）（y2+2）+16=0．∴n=2m﹣1或n=2m+5，∵△＞0恒成立，∴n=2m+5．∴直线PQ的方程为x﹣5=m（y+2），∴直线PQ过定点（5，﹣2）．（Ⅱ）解：假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，由第（Ⅰ）问可知，将n用2m+5代换得直线PQ的方程为x=my+2m+5．设点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入抛物线方程，消x得y2﹣4my﹣8m﹣20=0．∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣8m﹣20．∴PQ的中点坐标为（2m2+2m+5，2m）．由已知得，即m3+m2+3m﹣1=0．设g（m）=m3+m2+3m﹣1，则g′（m）=3m2+2m+3＞0，∴g（m）在R上是增函数．又g（0）=﹣1＜0，g（1）=4＞0，∴g（m）在（0，1）内有一个零点．∴函数g（m）在R上有且只有一个零点，即方程m3+m2+3m﹣1=0在R上有唯一实根．所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合问题．解决第一问的巧妙之处在于直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+n的形式．。

四川省成都市2016-2017学年高二上学期10月月考试题数学Word版含答案

高2021级第三期10月时期性考试数学试题一、选择题（每题5分，共60分） 1、直线3x +3y ＋a ＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°2、两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3、假设实数x ，y 知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，那么该约束条件所围成的平面区域的面积是( ) A ．3B.52C ．2D ．224、若是直线y ax =+2与直线y x b =-3关于直线y = x 对称, 那么( )A ．a b ==136,B ．a b ==-136,C ．a = 3, b = －2D ．a = 3, b =65、假设直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π26、原点在圆C ：x 2＋y 2＋2y ＋a －2＝0外，那么a 的取值范围是( ) A ． 2a >B ． 23a <<C ． 2a <D ． 02a <<7、假设曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，那么实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞/8、过点P(1，1)作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，那么直线l 有( )条条条条9、x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，那么实数a 的值为( ) A.12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－110、已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是（） A 、相离B 、相切C 、相交D 、不确信11、某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的打算中，要求天天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产打算，从天天生产的甲、乙两种产品中，公司共可取得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元12、已知点(),P t t ，点M 是圆O 1：x 2＋(y －1)2＝14上的动点，点N 是圆O 2：(x －2)2＋y 2＝14上的动点，那么|PN |－|PM |的最大值是( ) A.1 B.5－2 C ．2+ 5 D ．2二、填空题（每题5分，共20分）13、已知点A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于 . 14、已知实数x 、y 知足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，那么yx的最大值为_______15、已知O 是坐标原点，点()1,0A -，假设()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，那么 OA OM +的取值范围是16、A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪m 2≤x －22＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．假设A ∩B ≠∅，那么实数m 的取值范围是________三、解答题（共70分）17、（10分）已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0,求知足以下条件的a 值（1）12l l ；（2）12l l ⊥18、（12分）已知直线l 通过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)假设点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．19、（12分）设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －4＝0.(1)若是不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点，求b 的取值范围； (2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．20、（12分）设约束条件021(01)y y x y x t x t t ≥⎧⎪≤⎪⎨≤-⎪⎪≤≤+<<⎩所确信的平面区域为D .（1）记平面区域D 的面积为S ＝f (t )，试求f (t )的表达式．（2）设向量()()1,1,2,1a b =-=-，(),Q x y 在平面区域D （含边界）上，,OQ ma nb =+(,)m n R ∈，当面积S 取到最大值时，用y x ,表示3m n +，并求3m n +的最大值.21、（12分）已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 别离切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．22、（12分）已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若6tan MON S MON ∆=∠,其中O 为坐标原点，求|MN |.高2021级第三期10月时期性考试数学试题答案一、选择题C B C A B B BD D B C D二、填空题 13.53214.3 15.[]51，16.17.解：（1）1a =-；（2）13a =18.解:(1)易知l 不可能为l 2，可设通过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∵点A(5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P(2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，那么d≤PA(当l⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.19.解:圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5，∴圆心M 的坐标为(1,0)，半径为r ＝ 5. (1)∵不论k 取何值，直线l 总过点P(0，b)，∴欲使l 与圆M 总有两个不同的交点，必需且只需点P 在圆M 的内部，即|MP|<5，即1＋b 2<5，∴－2<b<2，即b 的取值范围是(－2,2)．(2)当l 过圆心M 时，|AB|的值最大，最大值为圆的直径长2 5.当l ⊥MP 时，现在|MP|最大，|AB|的值最小，|MP|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k ＋1k≤1＋22k ·1k＝2，当且仅当k ＝1时取等号．最小值为2r 2－|MP|2＝25－2＝2 3.20.解：（1）由约束条件所确信的平面区域是五边形ABCEP ，如下图，其面积S ＝f(t)＝S △OPD －S △AOB －S △ECD ，而S △OPD ＝12×1×2＝1.S △OAB ＝12t 2，S △ECD ＝12(1－t)2，因此S ＝f(t)＝1－12t 2－12(1－t)2＝－t 2＋t ＋12.（2）由OQ ma nb =+得()()(),1,12,1,x y m n =-+-因此223x m n x y m n y m n =+⎧⇒+=+⎨=--⎩S ＝f(t)＝－t 2＋t ＋12，01t <<那么当12t =时面积S 取到最大值. 点E 坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭由线性计划知识，直线2z x y =+通过可行域中点31,22E ⎛⎫⎪⎝⎭时2x y +取到最大值72，因此3m n +的最大值为7221.解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，那么圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程别离为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)设AB 与MQ 交于P ，那么MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP|＝ 1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13.在Rt △MBQ 中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝13|MQ|，∴|MQ|＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q(x,0)，那么x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q(±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝022.解:(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为直线l 与圆C 交于两点，因此|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k<4＋73.因此k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 21＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k1＋k 2l 上，因此|MN|＝2.。