数学北师大版九年级上册中点的妙用(中点模型)课堂导学案

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教学案精编中考一轮复习中点的用法

中点的妙用【方法指导】与中点有关的图形问题，是初中数学的重要题型，除了线段的中点的定义，我们又学过很多与中点有关的重要结论。

联想是一种非常重要的数学思想，善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？当你看到这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么？下面介绍四种在做题过程中最常用又使很多学生纠结的方法:1、等腰三角形+底边的中点，“三线合一”要出现。

2、直角三角形+斜边的中点，“斜边上的中线等于斜边的一半”要出现。

3、三角形+两边的中点，“三角形的中位线”要应用。

4、线段的中点+平行线，“八字型的全等”要出现。

意思是：遇到两条平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形；这个方法来源于梯形的一种作辅助线方法：“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。

（如图）5、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；6、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”【知识回顾】等腰三角形的底边上的、和顶角的三线合一。

直角三角形斜边上的中线等于。

三角形中位线定理：【题型赏析】一、等腰三角形+底边的中点，“三线合一”要出现。

例1：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．点拨：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．解答该题的关键一步是根据等腰直角三角形ABC 的“三线合一”的性质推知OA=OB=OC ．练习：如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点， MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（）A ．65 B ．95 C ．125 D ．165二、直角三角形+斜边的中点，“斜边上的中线等于斜边的一半”要出现例2：如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC 与BD 相交于点O ，M 、N 分别是边BD 、AC 的中点．（1）求证：MN ⊥AC ；（2）当AC=8cm ，BD=10cm 时，求MN 的长．点拨：本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理．解题时，通过作辅助线AM 、MC 构建了直角三角形斜边上的中线，然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题．三、三角形+两边的中点，“三角形的中位线”要运用。

九年级中考数学中点问题教学教案4篇

九年级中考数学中点问题教学教案4篇九年级中考数学中点问题教案1二次根式的乘除法教学目标1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。

2、使学生掌握积的算术平方根的性质、会根据这一性质熟练地化简二次根式.3、培养学生合情推理能力。

教学过程一、复习提问1、什么叫做二次根式?下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根式?2、二次根式有哪些性质?计算下列各题：()2二、提出问题，导入新知1、试一试计算： (1) _=( )=( )=( )=( )(2) _=( )=( )=( )=( )提问：观察以上计算结果，你能发现什么?2、思考_与是否相等?提问：(1)你将用什么方法计算?(2)通过计算，你发现了什么?是否与前面试一试的结果一样?3、概括让学生观察以上计算结果、归纳得出结论：_=(a≥0，b≥0)注意，a，b必须都是非负数，上式才能成立。

三、举例应用例1、计算。

__说明：二次根式运算的结果，应该尽量化简、如(2)结果不要写成，而应化简成4。

等式_=(a≥0，b≥0)，也可以写成=_(a≥0，b≥0)利用它可以进行二次根式的化简，例如：=_==a2例2、化简说明：(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简;(2)在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出方来。

四、课堂练习1、计算下列各式，将所得结果化简：_ _2、P12页练习1(1)、(2)、2五、想一想1、__与是否相等?a、b、c有什么限制?请举一个例子加以说明。

2、等于__吗?3、化简：六、小结这节课我们学习了以下知识：1、二次根式的乘法运算法则，即_= (a≥0，b≥0)2、积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即=_ (a≥0，b ≥0)……)要特别注意，以上(1)、(2)中，a、b必须都是非负数，如果a、b中出现了负数，等式就不成立、想一想，=_成立吗?为什么?3、应用(1)、(2)进行计算和化简，在计算和化简中，复习了性质=a(a≥ 0)，加深了对非负数a的算术平方根的性质的认识七、作业习题22.2第2、(1)，(2)题，第3、(1)、(2)题、第4题九年级中考数学中点问题教案2圆经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念.重点经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念.难点理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义.活动1创设情境，引出课题1.多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体.2.提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象?活动2动手操作，形成概念在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆.教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗?画的圆的位置和大小分别由什么决定?九年级中考数学中点问题教案3配方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.重难点关键1.重点：运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.2.难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1.填空(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+___ __=(x+____)2.问题1：根据完全平方公式可得：(1)16 4;(2)4 2;(3)()2 .问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程于一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?二、探索新知上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x 换元为2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3即2t+1=3，2t+1=-3方程的两根为t1=1，t2=--2例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解：(2)由已知，得：(x+3)2=2直接开平方，得：x+3=±即x+3=，x+3=-所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3-例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率.分析：设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1+x)2=14.4(1+x)2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么?共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.三、巩固练习教材练习.四、应用拓展例3.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是(1+x)，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是(1+x)2.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31把(1+x)当成一个数，配方得：(1+x+)2=2.56，即(x+)2=2.56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)，那么x=±转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)，那么mx+n=±，达到降次转化之目的.若p0则方程无解六、布置作业1.教材复习巩固1、2.九年级中考数学中点问题教案4配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.重点讲清直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x=±或mx+n=±(p≥0).如：4x2+16x+16=(2x+4)2，你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少?(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例1用配方法解下列关于x的方程：(1)x2-8x+1=0(2)x2-2x-21=0三、巩固练习教材第9页练习1，2.(1)(2).四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.五、作业教材第17页复习巩固2，3.(1)(2).。

九年级数学第9讲几何问题探究_与中点相关问题教案

教学过程一、课堂导入几何在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的探究问题占到20%到30%的比重。

主要考查了图形的一些基本性质，借助图形的变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行线段和角的一些相关问题的探讨，主要考查了学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力。

解决几何综合问题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧“模型间的关联，明确努力方向，才能进一步探究综合问题。

注重对基本模型及辅助线的积累是非常必要的。

二、复习预习三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线。

三角形中线的相关定理：1. 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

2. 等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）。

中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见。

三、知识讲解考点1 三角形的中位线1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。

3. 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边。

考点2 全等三角形的概念及其性质1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2.性质定理：（1）全等三角形的对应角相等。

（2）全等三角形的对应边相等。

（3）能够完全重合的顶点叫对应顶点。

（4）全等三角形的对应边上的高对应相等。

（5）全等三角形的对应角的角平分线相等。

（6）全等三角形的对应边上的中线相等。

（7）全等三角形面积和周长相等。

（8）全等三角形的对应角的三角函数值相等。

考点3 全等三角形的解题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

九年级数学上册教案(北师大版)

九年级数学上册教案（北师大版）一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握九年级数学上册的基本概念、公式、定理，提高学生的数学运算能力和解决问题的能力。

2. 过程与方法：通过自主学习、合作探究、实践操作等活动，培养学生独立思考、创新能力和团队协作精神。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养积极的学习态度，提高学生的自主学习能力。

二、教学内容1. 第一章：实数与方程1.1 实数的概念与性质1.2 一元一次方程1.3 不等式与不等式组2. 第二章：多边形的计算2.1 三角形的面积计算2.2 四边形的面积计算2.3 多边形的面积计算3. 第三章：数据的整理与分析3.1 数据的收集与整理3.2 数据的描述与分析3.3 数据的处理与展示4. 第四章：函数的初步认识4.1 函数的概念与性质4.2 一次函数的图象与性质4.3 二次函数的图象与性质5. 第五章：几何图形的证明5.1 平行线的性质与判定5.2 三角形的性质与判定5.3 四边形的性质与判定三、教学方法1. 启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生的创新能力和解决问题的能力。

2. 合作学习：组织学生进行小组讨论、探究，培养学生的团队协作精神和沟通能力。

3. 实践操作：引导学生动手操作，提高学生的实践能力和数学运算能力。

4. 信息技术辅助教学：利用多媒体课件、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。

四、教学评价1. 过程性评价：关注学生在学习过程中的表现，如态度、参与度、合作能力等。

2. 终结性评价：通过考试、测验等方式，检测学生对知识与技能的掌握程度。

3. 自我评价：鼓励学生进行自我反思，提高学生的自主学习能力。

五、教学资源1. 教材：九年级数学上册（北师大版）2. 教辅资料：习题集、解析、教学课件等。

3. 网络资源：相关数学教学网站、视频、论坛等。

4. 教学仪器：黑板、粉笔、多媒体设备等。

六、教学计划1. 第六章：概率初步6.1 随机事件与概率6.2 排列组合6.3 概率的计算与应用2. 第七章：初中数学综合应用7.1 数学与生活7.2 数学与科学7.3 数学与社会科学3. 第八章：数学阅读与写作8.1 数学阅读8.2 数学写作8.3 数学语言表达4. 第九章：数学思想方法9.1 化归思想9.2 数形结合思想9.3 分类讨论思想5. 第十章：总复习10.1 复习要点与方法10.2 中考数学考试大纲解析10.3 模拟测试与真题演练七、教学策略1. 第六章：概率初步运用实例引入概率的概念，通过实践活动让学生体验概率的计算过程，培养学生的实际应用能力。

初中数学中点模型

初中数学中点模型
中点模型是初中数学中的一个重要概念，它在解决几何问题时经常被使用。

中点模型指的是利用线段的中点来研究线段的性质和几何图形的性质的模型。

其基本思想是：在一个线段上找到中点，从而将原本的线段分成两个相等的部分，这两个部分之间具有一些特殊的性质。

中点模型可以应用于多种几何问题，如证明线段的平分线垂直于线段、证明三角形的垂心、证明四边形的对角线相等等。

此外，中点模型还可以用来求解一些有趣的几何题目，如如何用直线把正方形分成相等的两部分、如何用直线把正六边形分成相等的三部分等。

在学习中点模型时，学生需要掌握线段的中点的定义和性质，了解如何利用中点模型解决几何问题，同时还需要掌握一些基本的几何定理和推理方法。

通过练习和实践，学生可以逐渐掌握中点模型的应用技巧，提高几何证明和问题解决的能力。

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数学北师大版九年级上册中点的妙用(中点模型)

2、体验数学活动中的探索性和创造性，培养学生的数学建模的思维。
学情分析
在本节课学习之前，学生已经学习了中点相关辅助线的知识，可以根据已有的经验和知识去理解和解决有关问题，已经掌握利用辅助线解题的基本技能，能够从观察图像，分析问题中发现一些数学规律，学生具有一定的表达能力和归纳总结的能力，因此在教学活动中教师做好引导作用，指引学生进行合作学习，自主探究继而让学生自己发现中点模型。
本节课整个教学过程以“课前热身—建立模型（一）—应用模型—发现问题—探究问题—建立模型（二）—真题再现—能力提升—课堂小结—课后练习”的思路贯穿，学生活动较多，学生积极性较高，学生对知识的掌握较好生带动组内成员学习，参与度很高，帮助了组内学困生，增强了这部分学生的自信心和表达能力，结合实物投影让学生展示学习成果，注重了学生的个性发展；教师充分尊重学生自主探索，合作交流学习的过程，通过问题的巧妙设计，引导学生探究问题，教师注重“精引”，引导学生“精练”，从而最终让学生达到了掌握中点模型知识的目的。
（3）DC的中点
学生思考继续建立中点模型
学生尝试总结归纳：
平行线间夹中点
延长中线与平行线相交，即“延长中线交平行”
在原由的图象中抽象出验证图形，让学生很好的过度到验证环节
虽然他们讲的不是很完整，但着对于他们运用数学语言进行抽象、概括是有益的，培养他们的数学表达能力.
总结模型用模型，加深对模型的认识和理解
学生再次利用今天学习的模型提升自我，先独立思考辅助线做法。
先找模型，发现题中没有平行线，但有中线DE。
方法1：倍长DF至N，连接BN、CN，构造“8字型相似”
方法二：构造平行线，作DN║BC，交BA延长线与N；
方法三：添平行线，作FM║AB，构造“A字型相似”

2022北师大版九年级数学上册教案

2022北师大版九年级数学上册教案我们虽然还不能低估教案的作用，但更应当将教学的着力点放在备课上。

老师备课应将重点放在学生和教材上，备学生备教材，而不是抄教参。

这一点相识无疑是特别重要的。

今日我在这里整理了一些20xx最新北师大版九年级数学上册教案，我们一起来看看吧!20xx最新北师大版九年级数学上册教案1本学期是初中学习的关键时期，教学任务特别艰难。

因此，要完成教学任务，必需紧扣教学大纲，结合教学内容和学生实际，把握好重点、难点，努力把本学期的任务圆满完成。

九年级毕业班总复习教学时间紧，任务重，要求高，如何提高数学总复习的质量和效益，是每位毕业班数学老师必需面对的问题。

下面特制定以下教学复习打算。

一、学情分析经过前面五个学期的数学教学，本班学生的数学根底和学习看法已经明晰可见。

通过上个学期屡次摸底测试及期末检测发觉，本班的特点是两极分化现象极为紧要。

虽然涌现了一批学习刻苦，成果优异的优秀学生，但后进学生因数学成果非常低下，厌学心情特别紧要，根本放弃对数学的学习了。

其次是局部中等学生对前面所学的一些根底学问记忆不清，驾驭不牢。

二、指导思想坚持贯彻党的十八大教育方针，接着深化开展新课程教学改革。

立足中考，把握新课程改革下的中考命题方向，以课堂教学为中心，针对近年来中考命题的改变和趋势进展探究，踊跃探究高效的复习途径，夯实学生数学根底，提高学生做题解题的实力，和解答的精确性，以期在中考中取得优异的数学成果。

并通过本学期的课堂教学，完成九年级下册数学教学任务及整个初中阶段的数学复习教学。

三、教学内容分析本学期，除了要完成规定的所学内容，就将起先进入初中数学总复习，将九年制义务教育数学课本教学内容分成代数、几何两大局部，其中初中数学教学中的六大版块即：“实数与统计”、“方程与函数”、“解直角三角形”、“三角形”、“四边形”、“圆”是学业考试考中的重点内容。

在《课标》要求下，造就学生创新精神和实践实力是当前课堂教学的目标。

初中数学中点的5大用法

初中数学中点的5大用法
在初中数学中，点是基本的几何概念，有着广泛的应用。

以下是初中数学中点的五大用法：
表示位置：点是表示空间中一个确定位置的数学工具。

在坐标系中，一个点通常由坐标（x，y）表示，其中x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

这有助于几何图形的绘制和定位。

线段的中点：点常用于表示线段的中点。

中点是线段上距离两端相等的点。

通过中点，可以进行线段的等分、划分和相关计算。

图形的顶点：在图形中，点被用来表示多边形的顶点。

多边形是由一系列连接的线段组成，其中每个顶点都是一个点。

函数图像上的点：在函数图像上，点表示函数在特定输入值处的输出值。

这有助于可视化函数的性质、变化趋势和关键点。

平面图形的构造：点用于平面几何图形的构造。

通过在平面上标记点，可以绘制线段、角、多边形等图形。

点的位置和关系是几何构造的基础。

这些用法涵盖了初中数学中点的主要应用领域，帮助学生理解和运用几何概念。

通过点的概念，学生能够更好地理解和分析几何图形，同时点也是引入坐标系和代数概念的重要媒介。

1。

中点定理应用

中点定理应用一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握中点定理的基本概念，建立中点与线段关系的数学模型。

2. 学生能够运用中点定理解决实际问题，如计算线段长度、确定线段中点位置等。

3. 学生了解中点定理在不同数学领域中的应用，如平面几何、立体几何等。

技能目标：1. 学生能够通过实际操作和画图，提高空间想象能力和图形分析能力。

2. 学生能够运用中点定理，进行几何图形的构造和证明，培养逻辑思维和解决问题的能力。

3. 学生能够运用数学语言准确表达解题过程，提高数学表达和交流能力。

情感态度价值观目标：1. 学生在学习过程中，培养对几何学的兴趣和热情，树立正确的数学学习态度。

2. 学生通过小组合作、讨论交流，培养团队协作精神，增强克服困难的信心。

3. 学生能够认识到数学知识在实际生活中的应用价值，提高学以致用的意识。

分析课程性质、学生特点和教学要求：1. 课程性质：本课程属于中学数学领域，以几何学为主要内容，强调理论与实践相结合。

2. 学生特点：学生处于初中阶段，具有一定的几何基础和空间想象力，但需加强对中点定理的理解和应用。

3. 教学要求：注重启发式教学，引导学生主动探究和发现，关注学生的个体差异，提高教学效果。

二、教学内容1. 教学大纲：a. 引入中点定理概念，讲解中点定义及其性质。

b. 通过实际例题，展示中点定理在线段划分、长度计算等方面的应用。

c. 进行中点定理相关练习，巩固所学知识，提高解题能力。

d. 拓展中点定理在平面几何、立体几何等领域的应用，激发学生思考。

2. 教学内容安排与进度：a. 第一节课：引入中点定理概念，讲解中点的定义及其性质。

- 教材章节：第二章第三节《线段的中点》b. 第二节课：通过实际例题讲解中点定理的应用。

- 教材章节：第二章第四节《中点定理的应用》c. 第三节课：进行中点定理相关练习，巩固所学知识。

- 教材章节：第二章练习题d. 第四节课：拓展中点定理在平面几何、立体几何等领域的应用。

北师大版九年级数学上册优秀教学案例：1.3正方形的性质与判定中点四边形

4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。让学生意识到数学与生活的紧密联系，从而培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示正方形的中点四边形，让学生直观地观察其结构和性质。通过生动形象的展示，激发学生的兴趣和好奇心。
2.设计现实生活中的问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。例如，可以让学生思考正方形中点四边形在建筑设计、电路布局等方面的应用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和好奇心。通过观察、操作、证明等环节，让学生感受到数学的美丽和魅力，从而激发他们对数学的热爱。
2.培养学生的团队合作精神。在课堂上，鼓励学生互相讨论、交流，共同解决问题。从而培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.培养学生坚持不懈的精神。在解决具有挑战性问题过程中，学生可能会遇到困难和挫折。引导他们保持积极的心态，坚持不懈地追求数学的真谛。
3.设计评价量表，让学生评价自己的学习效果。例如，可以设计一个评价量表，让学生评价自己在观察、操作、证明等方面的表现。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示正方形的中点四边形，让学生直观地观察其结构和性质。通过生动形象的展示，激发学生的兴趣和好奇心。
2.设计现实生活中的问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。例如，可以让学生思考正方形中点四边形在建筑设计、电路布局等方面的应用。
（二）过程与方法
1.观察与操作：让学生观察正方形的中点四边形，引导学生发现其中的性质。通过实际操作，让学生体验到数学的直观性和生动性。
2.证明与验证：引导学生运用已知的正方形性质，证明中点四边形的性质。在这个过程中，培养学生逻辑思维能力和证明能力。
3.挑战性问题解决：设计一些具有挑战性的问题，激发学生的思考，提高他们解决问题的能力。通过解决这些问题，使学生感受到数学的趣味性和实用性。

第07讲模型构建专题：中点模型之斜边中线、中点四边形-2024年新九年级数学提升讲义(北师大版)

第07讲模型构建专题：中点模型之斜边中线、中点四边形中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后两类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt ABC△斜边上的中线，则：（1）12AD BC=BD DC==；（2）ABD△，ACD△为等腰三角形；（3）2ADB C∠=∠，2ADC B∠=∠．图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）AM MD=；（2）2AMD ABD∠=∠．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）模型2：中点四边形模型中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．如图1，已知点M 、N 、P 、Q 是任意四边形ABCD 各边中点，则四边形MNPQ 为平行四边形.图1图2图3图4结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）如图2，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为矩形.结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）如图3，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，则四边形MNPQ 为菱形.结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．如图4，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为正方形.推广与应用1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的12.【题型一利用斜边的中线等于斜边的一半求角度】例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在ABC 中，32A ∠=︒，大于12AC 长为半径画弧，直线MN 与AC 相交于点E ，过点C 作CD AB ⊥，CD 与BE 相交于点F ，若BD CE =，则BFC ∠的度数是．【答案】106︒/106度【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接DE ，如图，利用基本作图得到E 点为AC 的中点，则根据斜边上的中线性质得到DE CE AE ==，则32EDA A ∠=∠=︒，再证明BD ED =得到DBE DEB ∠=∠，然后根据三角形外角性质计算出16DBE ∠=︒，接着计算出BFC ∠．【详解】解：连接DE ，，由作法得MN 垂直平分AC ，∴E 点为AC 的中点，∵CD AB ⊥，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，∴DE CE AE ==，∴32EDA A ∠=∠=︒，∵BD CE =，∴BD ED =，∴DBE DEB ∠=∠，∵EDA DBE DEB ∠=∠+∠，∴1162DBE ADE ∠=∠=︒，∴BFC DBF BDF ∠=∠+∠=故答案为：106︒．【变式1-1】（2024八年级下则BCD ∠=度．【答案】70【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质．在Rt ABC △中，根据CD 是斜边AB 上的中线，得CD AD =，可求出20ACD ∠=︒即可解决问题．【详解】解：在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，CD AD ∴=，20A ACD ∴∠=∠=︒，902070BCD ACB ACD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：70．【变式1-2】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在Rt AEB 和Rt AFB 中，90AEB AFB ∠=∠=︒，O为AB 的中点，连接EF ，OE ，若50EAF ∠=︒，则OEF ∠=．∵90AEB AFB ∠=∠=︒，O 为∴12OE OF AB OA OB ====∴,EAO OEA OAF OFA ∠=∠∠=∠∴EOB FOB OAE ∠+∠=∠+∠即：100EOF ∠=︒∵OE OF =，∴()1180100402OEF ∠=︒-︒=故答案为：40︒．【变式1-3】（23-24八年级下·全国点E ，F 分别为AC ，CD 的中点，12BE AC =，D α∠=，则BEF ∠的度数为（用含α的式子表示）．【答案】2703α︒-【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形中位线定理、直角三角形的性质、等边对等角，求出90DAC α∠︒=-，结合角平分线的定义得出90CAB DAC α∠=∠=︒-，由直角三角形的性质得出BE AE EC ==，由等边对等角得出90EAB EBA α∠=∠=︒-，推出1802CEB α∠=︒-，由三角形中位线定理得出90CEF DAC α∠=∠=︒-，即可得出答案．【详解】解：∵=90ACD ∠︒，D α∠=，∴9090DAC D α∠=︒-∠=︒-，∵AC 平分BAD ∠，∴90CAB DAC α∠=∠=︒-，∵90ABC ∠=︒，E 为AC 的中点，12BE AC =，∴BE AE EC ==，∴90EAB EBA α∠=∠=︒-，∴1802CEB EAB EBA α∠=∠+∠=︒-，∵点E ，F 分别为AC ，CD 的中点，∴EF AD ∥，∴90CEF DAC α∠=∠=︒-，∴1802902703BEF BEC CEF ααα∠=∠+∠=︒-+︒-=︒-，故答案为：2703α︒-．【题型二利用斜边的中线等于斜边的一半求线段长】例2.（23-24八年级下·北京·期中）如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为2.4km ，则MC =km ．【答案】1.2【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由AC BC ⊥，得出90ACB ∠=︒，由点M点F 在线段DE 上，且AF BF ⊥．若4AB =，7BC =，则EF 的长为．连接BE ，点F 为BE 上一动点，连接HF DF DF 、，的延长线交AB 于点P ，若PB PF =，则HF 的长为．【答案】3【分析】延长BE CD 、，交于点G ，连接CF ，如图所示，结合矩形性质，利用两个三角形全等的判定得到()AAS ABE DGE ≌，从而得到AB DG =，进而由矩形性质得到GD CD =，再由等腰三角形的判定与性质得到12FD GD CD GC ===，再由直角三角形的判定确定90CFG ∠=︒，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．【详解】解：延长BE CD 、，交于点G ，连接CF ，如图所示：在矩形ABCD 中，AB CD ∥，则,G ABE GDA BAD ∠=∠∠=∠，点E 为边AD 的中点，AE DE ∴=，()AAS ABE DGE ∴ ≌，AB DG ∴=，在矩形ABCD 中，AB CD =，则GD CD =，PB PF =，ABE PFB ∴∠=∠，GFD PFB ∠=∠，ABE G ∠=∠，GFD G ∴∠=∠，FD GD ∴=，则12FD GD CD GC ===，DFC DCF ∴∠=∠，在CFG △中，()()180G GFC GCF DFC DCF GFD G ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，即90G GFD CF F D C ∠︒+=，∴90CFB ∠=︒，点H 为边BC 的中点，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中6AB =，2BC =．运动过程中点D 到点O 的最大距离是．∵90MON ∠=︒，矩形ABCD ∴13,2OE AE AB AD ===∴2213DE AE AD =+=∵OD OE DE ≤+，∴当点D ，点E ，点O 共线时，∴点D 到点O 的最大距离故答案为：313+．【题型三利用斜边的中线等于斜边的一半证明】∥交DC的延长线于点E．过点D作例3.（2024·北京·三模）如图，矩形ABCD，过点B作BE AC⊥于F，G为AC中点，连接FG．DF BE=．(1)求证：BE AC(2)若24，，求FG的长．==AB BCA作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF BE=，连接DF．(1)求证：四边形AEFD 是矩形；(2)连接OE ，若10AD =，6OE =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)485【分析】（1）根据菱形的性质可得AD BC ∥且AD BC =，等量代换得到AD EF =，推出四边形AEFD 是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得出结论；（2）由菱形的性质可得AC BD ⊥，AO CO =，10AB BC AD ===，由直角三角形斜边上的中线的性质可得212AC OE ==，由勾股定理可得22222AB BE AC CE AE -=-=，计算出BE 的长，最后再由勾股定理计算出AE 的长即可．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，AD BC ∴∥且AD BC =，BE CF = ，BC EF ∴=，AD EF ∴=，AD EF ∥ ，∴四边形AEFD 是平行四边形，AE BC ⊥ ，90AEF ∴∠=︒，∴四边形AEFD 是矩形；（2）解：四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，AO CO =，10AB BC AD ===，AE BC ⊥ ，90AEB AEC ∴∠=∠=︒，212AC OE ∴==，22222AB BE AC CE AE -=-= ，()2222101210BE BE ∴-=--，145BE ∴=，AO OC =，OB OD =．(1)直接．．写出AB 与CD 的数量关系和位置关系；(2)当CD AD =时，四边形ABCD 是什么特殊四边形？并说明理由；(3)在（2）的基础上，过点A 作AE BC ⊥于点E ，连接OE ，若10AD =，4EC =，求OE 的长．点E 在AB 上，连接DE 交AC 于点K ，EF AD ⊥于点F ，EF 交AC 于点U ，G 为AC 的中点，连接DG ，且2DGC FED ∠=∠．(1)如图1，求证：DE AC ⊥；(2)如图2，当ED AU =时，求BCD ∠的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BD ，BD =2CK =，求BC 的长．【题型四中点四边形中的规律探究问题】例4.（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在菱形ABCD 中，边长为1，60A ∠=︒．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形1111D C B A ；顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，可得四边形2222A B C D ，顺次连接四边形2222A B C D 各边中点，可得四边形3333A B C D ；…；按此规律继续下去．四边形2024202420242024A B C D 的面积是．【答案】202532/2025132【分析】本题考查了菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解题的关键．根据菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，依次求出四边形的面积，得出规律，即可解答．【详解】解：菱形ABCD ，ADB ∴ ，CDB △为等边三角形，1BD ∴=，【变式4-1】（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，顺次连接矩形11112222，再顺次连接四边形2222A B C D 四边的中点得四边形3333A B C D ，…，按此规律得到四边形n n n n A B C D ，若矩形1111D C B A 的面积为15，那么四边形n n n n A B C D 的面积为．【题型五与中点四边形有关的证明问题】例5.（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG GH HE、、，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．(1)四边形EFGH的形状是__________，证明你的结论．(2)如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足__________条件时，四边形EFGH是正方形，证明你的结论．∴EH BD∥，12 EH BD=同理，FG BD∥，FG∴EH FG∥，EH FG=∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：互相垂直且相等（如图2，连结AC BD、同理（1）可知，四边形∵AC BD⊥，∴EH HG⊥，∴平行四边形EFGH是矩形，∵AC BD=，∴EH HG=，∴四边形EFGH是正方形．【变式5-1】（23-24八年级下的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”．(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________；A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形(2)如图1，以锐角ABC 的两边,AB AC 为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结,,BE EG GC ，求证：四边形BCGE 是“中方四边形”；(3)如图2，四边形ABCD 是“中方四边形”，若2AC 的值为32，则AB CD +的最小值是________．（不需要解答过程）∵四边形BCGE 各边中点分别为∴MN NR RL LM 、、、分别是BCG ∴1,,2MN BG MN BG RL BG =∥∥∴,,MN RL MN RL RN ML =∥∥∥∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABCD 是“中方四边形∴四边形ENFM 是正方形，∴,90FM FN MFN =∠=︒，∴222MN FM FN FM =+=的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．【答案】概念理解：D ；性质探究：①AC BD =，②AC CD ⊥；问题解决：见解析；拓展应用：（1）22MN AC =，理由见解析；（2）22【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案；性质探究：由四边形ABCD 是“中方四边形”，可得EFGH 是正方形且E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；问题解决：如图2，取四边形BCGE 各边中点分别为P 、Q 、R 、L 并顺次连接成四边形MNRL ，连接CE 交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL 是平行四边形，再证得△EAC ≌△BAG （SAS ），推出▱MNRL 是菱形，再由∠LMN =90°，可得菱形MNRL 是正方形，即可证得结论；拓展应用：（1）如图3，分别作AD 、BC 的中点E 、F 并顺次连接EN 、NF 、FM 、ME ，可得四边形ENFM 是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；（2）如图4，分别作AD 、BC 的中点E 、F 并顺次连接EN 、NF 、FM 、ME ，连接BD 交AC 于O ，连接OM 、ON ，当点O 在MN 上（即M 、O 、N 共线）时，OM +ON 最小，最小值为MN 的长，再结合（1）的结论即可求得答案．【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，故选：D ；性质探究：①AC =BD ，②AC ⊥BD ；理由如下：如图1，∵四边形ABCD 是“中方四边形”，∴EFGH 是正方形且E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∵四边形BCGE 各边中点分别为∴MN 、NR 、RL 、LM 分别是△∴MN ∥BG ，MN =12BG ，RL ∥BG ，RL =12BG ，RN ∥CE ，RN =12CE ，ML ∥CE ，ML =12CE ，∴MN ∥RL ，MN =RL ，RN ∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABDE 和四边形∴AE =AB ，AG =AC ，∠EAB 又∵∠BAC =∠BAC ，∴∠EAB +∠BAC =∠GAC 即∠EAC =∠BAG ，在△EAC 和△BAG 中，AE AB EAC BAG AC AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△BAG （SAS ∴CE =BG ，∠AEC =∠ABG 又∵RL =12BG ，RN =12CE ∴RL =RN ，∴▱MNRL 是菱形，∵M，F分别是AB，BC∴FM=12 AC，∴MN=22 AC；（2）如图4，分别作AD 连接BD交AC于O，连接当点O在MN上（即M得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【性质探究】：（2）如图1，四边形ABCD 是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的关系；【问题解决】：（3）如图2．以锐角ABC 的两边AB ，AC 为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接BE ，EG ，GC ．求证：四边形BCGE 是“中方四边形”；【拓展应用】：如图3，已知四边形ABCD 是“中方四边形”，M ，N 分别是AB ，CD 的中点．（4）试探索AC 与MN 的数量关系，并说明理由．（5）若2AC =，求AB CD +的最小值．【答案】（1）D ；（2）AC BD =，AC BD ⊥；（3）证明见解析；（4）22MN AC =，理由见解析；（5）AB CD +的最小值为22．【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案；（2）由中位线的性质可得：12EF AC =，EF AC ∥，12FG BD =，FG BD ∥，结合正方形的性质可得结论；（3）如图，取四边形BCGE 各边中点分别为M 、N 、R 、L 并顺次连接成四边形MNRL ，连接CE 交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL 是平行四边形，再证得EAC BAG △≌△，推出MNRL 是菱形，再由90LMN ∠=︒，可得菱形MNRL 是正方形，即可证得结论；（4）如图，记AD 、BC 的中点分别为E 、F ，可得四边形ENFM 是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；（5）如图，记AD 、BC 的中点分别为E 、F ，连接BD 交AC 于O ，连接OM 、ON ，当点O 在MN 上（即M 、O 、N 共线）时，OM ON +最小，最小值为MN 的长，再结合（1）（4）的结论即可求得答案．【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形；（2）AC BD =，AC BD ⊥．理由如下：∵四边形ABCD 是“中方四边形”，∴四边形EFGH 是正方形，∴EF FG HG EH ===，90EFG FGH GHE HEF ∠=∠=∠=∠=︒，∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，∴12EF AC =，EF AC ∥，12FG BD =，FG BD ∥，∴AC BD =，AC BD ⊥．（3）如图，设四边形BCGE 的边BC CG GE BE 、、、的中点分别为M 、N 、R 、L ，连接CE 交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，∵四边形BCGE 各边中点分别为M ∴MN 、NR ，RL ，LM 分别是BCG ∴MN BG ∥，12MN BG =，RL ∥∴MN RL ∥，MN RL =，RN CE ∥∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形，∴AE AB =，AG AC =，EAB GAC ∠=∠∴EAC BAG ∠=∠，∴()SAS EAC BAG ≌，∴CE BG =，AEC ABG ∠=∠，又∵12RL BG =，12RN CE =，∴RL RN =，∴平行四边形MNRL 是菱形，∵90EAB ∠=︒，∴90AEP APE ∠+∠=︒．又∵AEC ABG ∠=∠，APE BPK ∠=∠∴90ABG BPK ∠+∠=︒，∴90BKP ∠=︒，又∵MN BG ∥，ML CE ∥，∴90LMN ∠=︒．∴菱形MNRL 是正方形，即原四边形（4）如图，记AD 、BC 的中点分别为∵四边形ABCD 是“中方四边形∴四边形ENFM 是正方形，∴FM FN =，MFN ∠∴22MN FM FN =+=∵M ，F 分别是AB ，BC ∴12FM AC =，∴22MN AC =；（5）如图，连接BD 当点O 在MN 上（即M 、∴()2OM ON +的最小值由性质探究（1）知：AC 又∵M ，N 分别是AB ，∴2AB OM =，2CD ON =∴()2OM ON AB CD +=+∴AB CD +的最小值2MN =由拓展应用（4）知：MN 又∵2AC =，∴2MN =，∴AB CD +的最小值为2【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．一、单选题1．（2024·广东深圳·模拟预测）一技术人员用刻度尺（单位，cm ）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知90ACB ∠=︒，点D 为边AB 的中点，点A B 、对应的刻度为17、，则CD =（）A ．3.5cmB ．3cmC ．4.5cmD ．6cmFD GH 、上，若斜边AB 与直线GH 交于AB 的中点E ，则EAD ∠的大小为（）A ．60︒B ．55︒C ．45︒D ．30︒的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（）A ．AB CD=B ．AC BD ⊥C ．CD BC =D ．AC BD=【答案】B 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形EFGH 为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可．【详解】解：应添加的条件是AC BD ⊥，理由为：证明：E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，EH BD ∴∥，FG BD ∥，HG AC ∥，EF AC ∥，∴EH FG ∥，HG EF ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，A 、添加的条件是AB CD =时，四边形EFGH 为平行四边形，故此选项不符合题意；B 、添加的条件是AC BD ⊥，则EH EF ⊥，所以四边形EFGH 为矩形，故此选项符合题意；C 、添加的条件是CD BC =，四边形EFGH 为平行四边形，故此选项不符合题意；D 、添加的条件是AC BD =，是边BC 的中点，连接EF ，若16AC =，菱形ABCD 的面积96，则EF BD 的值是（）A ．12B ．13C ．712D ．512一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q，在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形．其中，所有正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【答案】A【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂直的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断．【详解】①AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，所以①正确；②AC与BD相等且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形，故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，所以②正确；③AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形，故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形，所以③正确；④如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形，故存在两个中点四边形MNPQ 是正方形，所以④错误．故选A．【点睛】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在ABC 中，90,BAC D ∠=︒是BC 的中点，若5AD =，则BC =．点O ，DH AB ⊥于H ，连接OH ，则DHO ∠=度．为AB ，BC 的中点，若C α∠=，则DEF ∠的度数为（用含α的式子表示）．【答案】290α-︒【分析】根据三角形中位线的性质求出EF AC ∥，根据平行线的性质得出BFE C a ∠=∠=，90BEF BAC ∠=∠=︒，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出DE BE =，根据等腰三角形的性质得出90BDE B a ∠=∠=︒-，根据三角形外角的性质得出()90290DEF BFE EDF a aa ∠=∠-∠=-︒-=-︒．【详解】解：∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，∴BFE C a ∠=∠=，90BEF BAC ∠=∠=︒，∴9090B BFE a ∠=︒-∠=︒-，∵AD 是高，∴90ADB ∠=︒，∵E 为AB 的中点，∴DE BE =，∴90BDE B a ∠=∠=︒-，∵BFE DEF EDF ∠=∠+∠，∴()90290DEF BFE EDF a aa ∠=∠-∠=-︒-=-︒．故答案为：290α-︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．9．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，将四边形ABCD 各边中点依次相连，得到四边形1111D C B A ，若四边形1111D C B A 的面积为15，则四边形ABCD 的面积为．【答案】30【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形1111D C B A 是矩形，从而根据矩形的面积和三角形的每件公式进行计算．此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目．【详解】解：1A ，1B ，1C ，1D 是四边形ABCD 的中点四边形，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，∴四边形1111D C B A 为矩形，设AC x =，BD y =，11A D ∴是ABD △的中位线，111122A D BD x ∴==，同理可得1112A B y =，∴四边形1111D C B A 的面积为11111154A D AB xy ⨯==．60xy ∴=，∴四边形ABCD 的面积1302xy ==，故答案为：30．10．（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 上的动点，连接EF ，P 是线段EF 的中点，PG BC ⊥，PH CD ⊥，G ，H 为垂足，连接GH ．若12AB =，9AD =，6EF =，则GH 的最小值是．【答案】12【分析】本题考查了矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质与判定，求出GH 的最小值是解本题的关键．连接AP ，CP ，AC ，由勾股定理得到AC ，再根据直角三角形斜边上的中线性质得AP ，然后证四边形PGCH 是矩形，得HG PC =，当A ，P ，C 三点共线时，∴9BC AD ==，DC AB ==2215AC AB BC ∴=+=，P 是线段EF 的中点，∴132AP EF ==， PG BC ⊥，PH CD ⊥，90PHC PGC ∴∠=∠=︒=∴四边形PGCH 是矩形，HG PC ∴=，当A ，P ，C 三点共线时，此时，15PC AC AP =-=∴GH 的最小值是12，故答案为：12．三、解答题11．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，AB CD =．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)点E 是AD 上一点，点F 是BC 的中点，连接BE CE EF ，，，若10AD =，8BE =，6CE =，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)5EF =．【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理的逆定理；解决本题的关键是掌握矩形的性质．（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；AB AD =，AC 平分BAD ∠．(1)求证：四边形ABCD 是菱形．(2)过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE 交BC 于点F ，若20ACB ∠=︒，求CFE ∠的度数．垂足为O ，顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ；再顺次连接四边形1111D C B A 各边的中点，得到四边形2222A B C D ，…如此下去得到四边形n n n n A B C D ．(1)判断四边形1111D C B A 的形状，并说明理由．(2)求四边形1111D C B A 的面积．(3)直接写出四边形n n n n A B C D 的面积（用含n 的式子表示）．【答案】(1)四边形1111D C B A 是矩形，理由见解析两个三角形组成四边形ABCD（如图1），这是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形．(1)首先请你给出筝形的一种定义：______；（文字语言描述）(2)如图1，在边、角、对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想（定义除外）；，，，边的中点．求证：四边形PQRT是矩(3)如图2，在筝形ABCD中，P，Q，R，T分别为AB BC CD AD形．【答案】(1)把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”(2)见解析(3)见解析【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．（1）根据折叠的性质得出答案；（2）先判断出ABC ADC△≌△，即可得出结论；（3）利用三角形中位线定理证明即可．【详解】（1）解：根据观察可得，两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．故答案为：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；（2）解：如图2，①筝形的一条对角线平分一组对角；②筝形的一组对角相等；证明：①由折叠知，ABC ADC△≌△，PQ AC∴∥，12PQ= AT TD=，CR RD=TR AC ∴∥，12 RT AC=PQ RT∴=，PQ RT∥∴四边形PQRT是平行四边形，AB AD=，CB CD=AC∴垂直平分线段BDAP PB=，AT TD=PT BD∴∥，PT AC∴⊥，AC PQ∥，PT PQ∴⊥，90TPQ∴∠=︒，∴四边形PQRT是矩形．15．（23-24八年级下·G是线段CE上的点（不与C E，重合），连接FG交AC于点H，连接AE CF EH，，．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)求证：CGF AEH ∠=∠；(3)当610AB BC AH AE ===，，时，求EH 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)10【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由平行四边形的性质得出AD BC =，AB CD ，AD BC ∥，由平行线的性质得出90ACD BAC ∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质得出AE CE CF AF ===，即可得证；（2）由菱形的性质得出AE AF =，FAH EAH ∠=∠，证明()SAS AEH AFH ≌得出AEH AFH ∠=∠，再由平行线的性质得出AFH CGF ∠=∠，即可得证；（3）连接EF 交AC 于点O ，由（1）可得152BE AE EC BC ====，由勾股定理可得8AC =，由菱形的性质可得142AO OC AC ===，求出1OH =，再由勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：BA AC ⊥ ，90BAC ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，AD BC ∥，AD BC =，90ACD BAC ∠∠∴==︒，E F ，分别是BC AD ，的中点，12AE CE BC ∴==，12CF AF AD ==，AE CE CF AF ∴===，∴四边形AECF 是菱形；（2）证明：四边形AECF 是菱形，∴AE AF =，FAH EAH ∠=∠，在AEH △和AFH 中，由（1）可得BE AE EC ==∵BA AC ⊥2222106AC BC AB ∴=-=- 四边形AECF 是菱形，142AO OC AC ∴===，EF 5AH AE == ，541OH AH AO ∴=-=-=2225OE AE AO ∴=-=-2223EH OE OH ∴=+=+16．（22-23八年级下·湖南益阳使PC PA =，PD PB =，APC BPD ∠=∠，连接CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AC ，AB ，BD ，CD 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．(1)猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；(2)点P 在线段AB 的上方时，如图2，在APB △的外部作APC △和BPD △，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，90APC BPD ∠=∠=︒，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．∵APC BPD∠=∠∴∠+∠=∠+APC CPD BPD 又∵PC PA =，PD PB =，∴PAD PCB ≌，∴AD BC =，∵点E ，F ，G ，H 分别是∴1,2EH PG AD EF HG ===∴EH PG EF HG ===，∴四边形EFGH 是菱形．（2）成立．理由：连接AD ，BC ．APC CPD BPD ∴∠+∠=∠+判断四边形EFGH是正方形．理由：连接AD，BC．（2）中已证：APD≌△PAD PCB∴∠=∠．，∠=︒90APC∴∠+∠=︒．PAD190又12，∠=∠PCB∴∠+∠=︒，290∴∠=︒．390（2）中已证GH，EH分别是∴∥，EH ADGH BC∥．EHG∴∠=︒．90又（2）中已证四边形EFGH∴菱形EFGH是正方形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的判定，三角形中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

中点的妙用(中点模型)课堂导学案.docx

中点的妙用(中考数学中的基本模型一中点模型)成都市双庆中学杨双复习目标：理解中点在几何图形中的应用，并学会利用中点模型解决问题；教学重点：让学生掌握用总结出的中点模型解决与之有关的几何问题；教学难点：学会认识中点模型，如何巧妙、灵活地添加辅助线解题。

教学过程：一、知识回顾：线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和几何图形中的中线，中位线、直角三角形斜边中线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？二、课前热身：1、如图，AD为△ABC的中线.(1)求证：AB+AC >2AD. (2)若 AB=3, AC=5,求 AD 的取值范围.2、如图，在△ABC中，AB>AC, E为BC边的中点，AD为/BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F, 交CA的延长线于G.求证：BF=GC.三、构建模型模型一如图1：在AABC中, AD是BC边上的中线. 如图2：在AABC中，D是BC边中点.方法提炼：1. 当题中出现中线时，我们经常根据需要将,使得与相等，这种方法叫做""。

2. 当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题，这种方法叫做 a n四、模型应用例1、(2017成华区八年级下半期检测28题)(1) 在ZXABC 中，若AB=5, AC=8,则BC 边上的中线AD 的取值范围是 .(2) 如图2,在AABC 中，点D 是BC 边上的中点，DE1DF 与点D, DE 交AB 于E, DF 交AC 于点F,连接 EF,求证：BE+CF>EF.变式练习、如图，已知在梯形ABCD 中，AD 〃BC, AB=AD+BC, E 是CD 的中点. 求证：AE_LBE.小结： ________________________________________________________________________模型二如图：AB//CD,点E 是BC 的中点.图1 图2C D当题中出现平行线，且平行线间有中点，我们把这种情况叫做。

专题：中点的妙用

中点的妙用教学目标:运用三角形的中位线,延长过中点的线段构造全等三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质，或直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解决有关中点的问题重点：中点方法的灵活运用难点：解决中点问题的能力【方法指导】与中点有关的图形问题,是初中数学的重要题型,除了线段的中点的定义,我们又学过很多与中点有关的重要结论。

联想是一种非常重要的数学思想，善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？当你看到这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么?下面介绍四种在做题过程中最常用又使很多学生纠结的方法：1、等腰三角形+底边的中点，“三线合一”要出现。

2、直角三角形+斜边的中点,“斜边上的中线等于斜边的一半”要出现。

3、三角形+两边的中点，“三角形的中位线”要应用。

4、线段的中点+平行线，“八字型的全等"要出现.意思是:遇到两条平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形;这个方法来源于梯形的一种作辅助线方法：“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。

直角三角形斜边上的中线等于。

三角形中位线定理：【题型赏析】一、等腰三角形+底边的中点,“三线合一”要出现.例1:如图，在△ABC中,∠A=90°，AB=AC,O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动,且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状,并说明理由．点拨：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．解答该题的关键一步是根据等腰直角三角形ABC的“三线合一”的性质推知OA=OB=OC．练习:如图1所示,在△ABC中,AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．165二、直角三角形+斜边的中点,“斜边上的中线等于斜边的一半"要出现例2:如图，在四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．点拨：本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理．解题时,通过作辅助线AM、MC 构建了直角三角形斜边上的中线，然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题．三、三角形+两边的中点,“三角形的中位线”要运用。

北师大版九年级上册数学第五章复习导学案3

第五章投影与视图【知识网络】【知识点纲要】一、中心投影1、中心投影：灯光的光线可以看成是从一点发出的（即为点光源），像这样的光线所形成的投影称为.2、产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为的位置.二、平行投影1、平行投影太阳光线可以看成光线，像这样的光线所形成的投影称为.2、太阳光与影子的关系物体在太阳光照射的不同时刻，不但影子的大小在变化，而且影子的也在变化. 在早晨太阳位于正东方，此时的影子较，位于方；在上午，影子随着太阳位置的变化，其长度逐渐变，方向向方向移动；中午，影子最短，方向；到了下午，影子的长度又逐渐变，其方向向移动三、如何判断平行投影与中心投影分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线，则为平行投影；若两直线，则为中心投影，其是光源的位置.四、视图1、三种视图的内在联系主视图反映的是物体的；俯视图反映的是物体的；左视图反映的是物体的 . 因此，在画三种视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，俯、左视图要宽相等.2、三种视图的位置关系一般地，首先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图的下面画出俯视图，在主视图的右边画出左视图.3、三种视图的画法首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见部分的轮廓线通常画成，看不见部分的轮廓线通常画成 .【例题讲解】例1、由几个小立方体搭成的一个几何体如图所示，它的主（正）视图见图2，那么它的俯视图为（）例2、如果某物体的三视图是如图所示的三个图形，那么该物体的形状是（）A 、正方体；B 、长方体；C 、三棱柱；D 、圆锥.左视图俯视图第11题主视图例3、下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）例4、（1）如图3是同一时刻两棵小树的影子，请你在图中画出形成树影的光线，并判断它是太阳光还是灯光的光线？若是灯光，请确定光源的位置.（2）请判断如图4的两棵小树影子是太阳光还是灯光下形成的？并画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示）.（2）如图4所示，是太阳光的光线. 原因是过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线平行. 然后再过旗杆的顶端作一条与已知光线平行的直线，交地面于一点，连结这点与旗杆底端的线段就是旗杆的影子.例5、如图5，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影长度（）（A ）变长3.5米（B ）变长1.5米（C ）变短3.5米（D ）变短1.5米·A (图3) (图4) C D F OB N A M （第7题）图5【巩固训练】1．如图，该几何体的主视图是（）2. 如图,是一个水管的三叉接头，它的左视图是（）A B C D3．如图，空心圆柱的左视图是（）4．如图2，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是AB 、BB 1、BC 的中点，沿EG 、EF 、FG 将这个正方体切去一个角后，得到的几何体的俯视图是（）5.如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体,那么其三种视图中面积最小的是__________. A ． B ． C ． D ．BADC正面图2 A B C D6．如图，是有几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个7．小明家楼房旁边立了一根长4米的竹竿，小明在测量竹竿的影长时，发现影子不全落在地面上，有一部分落在楼房的墙壁上，小明测出它落在地面上的影子长为2米，落在墙壁上的影子长为1米．此时小明想把竹竿移动位置，使其影子刚好不落在墙上．试问：小明应把竹竿移到什么位置（要求竹竿移动距离尽可能小）？。

专题——中点地妙用初三数学

方法专题:中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（）A ．65B ．95C ．125D ．165二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中，∠A=90°,AC=AB,M 、N 分别在AC 、AB 上。

且AN=BM.O 为斜边BC 的中点.试判断△OMN 的形状，并说明理由.3、如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（） A. 2 B. 4－π C.πD.1π-三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点？7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于点O ，60ACD ∠=︒，点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.求证：△SPQ 是等边三角形。