浙江专用版2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象学案新人教A版必修2

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(浙江专版)高中数学第一章三角函数1.4.2第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4

预习课本P34～37，思考并完成以下问题 (1)周期函数的定义是什么？(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？[新知初探]1．周期函数 (1)周期函数的概念条件 ①对于函数ƒ(x )，存在一个非零常数T②当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x ) 结论函数ƒ(x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期条件周期函数ƒ(x )的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做ƒ(x )的最小正周期[点睛] 对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期，则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数 y ＝sin xy ＝cos x周期 2k π(k ∈Z 且k ≠0)2k π(k ∈Z 且k ≠0)最小正周期 2π 2π 奇偶性奇函数偶函数[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝sin π3，则π3是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( ) (2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N *也是函数f (x )的周期．( )(3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) (4)函数y ＝－cos π3x 是偶函数．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．函数ƒ(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 是( )A ．T ＝2π的奇函数B ．T ＝2π的偶函数C ．T ＝π的奇函数D ．T ＝π的偶函数答案：B3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数ƒ(x )＝sin x cos x 是______(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇三角函数的周期[典例] 求下列函数的周期．(1)ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)ƒ(x )＝|sin x |. [解] (1)[法一定义法]∵ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2π ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π3＝ƒ(x ＋π)，即ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π.[法二公式法]∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴ω＝2. 又T ＝2π|ω|＝2π2＝π.∴函数ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π. (2)[法一定义法] ∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π. [法二图象法]∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π.求函数最小正周期的常用方法除了定义法外，求三角函数的周期，一般还有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．求下列函数的周期． (1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋3；(2)y ＝|cos x |. 解：(1)T ＝2ππ2＝4，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋3的周期为4. (2)函数y ＝|cos x |的图象如图所示，由图象知T ＝π.三角函数的奇偶性[典例] (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2的奇偶性．(1)[解析] ∵f (x )的定义域是R.且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． [答案] A(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2为偶函数．判断函数奇偶性的方法[活学活用]判断下列函数的奇偶性： (1)ƒ(x )＝x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝sin(cos x )．解：(1)函数ƒ(x )的定义域为R ， ∵ƒ(x )＝x cos(π＋x )＝－x cos x ，∴ƒ(－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x cos x ＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x )为奇函数．(2)函数ƒ(x )的定义域为R ，∴ƒ(－x )＝sin []cos －x ＝sin(cos x )＝ƒ(x )，∴ƒ(x )为偶函数.三角函数的奇偶性与周期性的应用[典例] 定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．[解] ∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数，∴ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.∴ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝32.[一题多变]1．[变条件]若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．解：ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32.2．[变设问]若本例条件不变，求ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6的值．解：ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫19π6＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6 ＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12.3．[变条件]若本例条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫5π3的值．解：∵ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，ƒ ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ƒ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．层级一学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2.4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称．5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．即是奇函数也是偶函数解析：选A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 2＝sin x 2，故为奇函数． 6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的周期为________．解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性．(1)ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )．∴该函数ƒ(x )是奇函数． (2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R.∵ƒ(－x )＝1＋sin －x ＋1－sin －x＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )， ∴该函数是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z，0，x ∈[2k π－π，2k π]k ∈Z ，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.层级二应试能力达标1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B.2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π2＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数，且T ＝2π23＝3π，故选A.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 解析：选D ∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案：226．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期是________．解析：∵y ＝sin x2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为T ＝2π.答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sinx ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2) ＝－1ƒx(ƒ(x )≠0)．(1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒx， ∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒx ＋2＝－1－1ƒx＝ƒ(x )，∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是ƒ(x )的一个周期． ∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5， ∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ－1＋2＝－1ƒ1＝15.。

(浙江专用版)2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课件

达标检测
问题导学
知识点一
函数的周期性
思考1 如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？答案不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋3)＝
f(x)，才可以说3是f(x)的周期. 思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有
第一章 §1.4
三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
学习目标
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.
3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的
奇偶性.
内容索引
问题导学题型探究
∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数.
解答
(2)f(x)＝ 1－2cos x＋ 2cos x－1. 解
1－2cos x≥0， 1 由得 cos x＝2. 2cos x－1≥0，
π ∴f(x)＝0，x＝2kπ±3，k∈Z.
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
解答
反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f(x)与f(－x)的关系. 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
跟踪训练2 若函数y＝cos(ωx＋φ)是奇函数，则 A.ω＝0 C.ω＝kπ(k∈Z)
解析
y＝sin x 及 y＝sin x＋2 的周期为 2π，y＝cos 2x＋2 的周期为 π，y

浙江专版2018年高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理学案新人教A版

1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C .[点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( ) 解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B.预习课本P2～3，思考并完成以下问题(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)³ 2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa的值相等的是( )A.b cB.sin Bsin AC.sin CcD.csin C解析：选C 由正弦定理得，asin A ＝csin C，所以sin A a ＝sin C c.3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2 B ．10 3 C.1033D ．5 6解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10³3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝π6，b ＝2，以下错误的是( )A ．若a ＝1，则c 有一解B ．若a ＝3，则c 有两解C ．若a ＝45，则c 无解D ．若a ＝3，则c 有两解解析：选D a ＝2 sin π6＝1时，c 有一解；当a <1时，c 无解；当1<a <2时，c 有两个解；a >2时，c 有一解．故选D.[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8³sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8³sin 75°sin 45°＝8³2＋6422＝4(3＋1)．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232³22＝23，故选B.[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32. ∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22.综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6²sin 75°sin 60°＝3＋1.[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－B ，判断△ABC 的形状．解：[法一化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ²a2R ＝b ²b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二化边为角] ∵a cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B.由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．[活学活用]在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以a cos A ＝b cos B 可化为sin A cos A ＝sin B cos B ，sin 2A ＝sin 2B ，又△ABC 中，A ，B ，C ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 的形状为等腰或直角三角形．层级一学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37D.57解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝bsin B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，b ＝2，则a 等于( )A ．1B ．2 C. 3D ．2 3解析：选A 由正弦定理得asin π6＝2sinπ4， ∴a ＝1，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sin B ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________．解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A ＝________.解析：由正弦定理及已知得1sin A ＝AC sin 2A ，∴ACcos A＝2. 答案：29．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝1³sin 45°sin 75°＝3－1，所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22³2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二应试能力达标1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：选A ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ，∴tan C ＝－ 3.又0°<C <180°，∴C ＝120°.故选A.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4 2＋1 ，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C.3．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.833 B.2393C.2633D ．2 3解析：选B 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝asin A ＝13sin 60°＝2393. 4．在△ABC 中，若A <B <C ，且A ＋C ＝2B ，最大边为最小边的2倍，则三个角A ∶B ∶C ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．4∶5∶6解析：选A 由A <B <C ，且A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，可得B ＝π3，又最大边为最小边的2倍，所以c ＝2a ，所以sin C ＝2sin A ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A ⇒tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6，从而C ＝π2，则三个角A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，故选A.5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)．答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A ，即sin C ＝AB ²sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114.∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°²cos C －cos 60°²sin C ＝3314.答案：33147．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且asin A＝c3cos C. (1)求角C 的大小；(2)4，求△ABC 的面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a sin A ＝c sin C ，a sin A ＝c3cos C ，得sin C ＝3cos C ，故tan C ＝3，又C ∈(0，π)，所以 C ＝π3.(2)C ＝12ba ＝4得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12³8³32＝2 3.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0.(1)求B ；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理知：sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0，∵sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C 代入上式得： 3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C >0，∴3sin B －cos B －1＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由(1)得：2R ＝bsin B＝2，a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6.∵C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴23sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6∈(3，23]， ∴a ＋c 的取值范围为(3，23]．1．1.2 余弦定理[新知初探] 余弦定理[点睛] 余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形( ) (2)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 一定为钝角三角形( ) (3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一( )解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(2)正确．当a 2>b 2＋c 2时，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0.因为0<A <π，故A 一定为钝角，△ABC 为钝角三角形．(3)错误．当△ABC 已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC 唯一确定．答案：(1)√ (2)√ (3)³2．在△ABC 中，已知a ＝9，b ＝23，C ＝150°，则c 等于( ) A.39 B ．8 3 C ．10 2D ．7 3解析：选D 由余弦定理得：c ＝92＋ 23 2－2³9³23³cos 150°＝147 ＝7 3.3．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120°D ．30°解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°.4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24D.23解析：选B 由b 2＝ac 且c ＝2a 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 22a ²2a ＝34.故选 B.已知两边与一角解三角形[典例] (1)在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝6，则a ＝________cm ；(2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.[解析](1)由余弦定理得：a ＝602＋ 603 2－2³60³603³cos π6＝4³602－3³602＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC 2－2³5³BC ³910，所以BC 2－9BC ＋20＝0，解得BC ＝4或BC ＝5. [答案] (1)60 (2)4或5[活学活用]在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2³23³(6＋2)³cos 45°＝8，∴b ＝2 2.又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋ 6＋2 2－ 23 22³22³ 6＋2＝12，∴A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，c ＝3＋3，解此三角形． [解] 法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ 6 2＋ 3＋3 2－ 23 22³6³ 3＋3＝22，∴A ＝45°.同理可求B ＝30°，故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－30°＝105°. 法二：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ 6 2＋ 3＋3 2－ 23 22³6³ 3＋3 ＝22，∴A ＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B 知23sin 45°＝6sin B，得sin B ＝6²sin 45°23＝12. 由a >b 知A >B ，∴B ＝30°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－30°＝105°.[活学活用]已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )²(a ＋b ＋c )＝ab ，则C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：选C ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－ a 2＋b 2＋ab 2ab ＝－ab 2ab ＝－12，∵0°<C <180°，∴C ＝120°，故选C.[典例] 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断△ABC 的形状．解：[法一化角为边] 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C .由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ³a 2＋c 2－b 22ac ³a 2＋b 2－c 22ab，∴b 2＋c 2＝[ a 2＋b 2－c 2＋ a 2＋c 2－b 2]24a 2＝4a 44a2＝a 2. ∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形． [法二化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sin 2C sin 2B ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sinC cos B cos C . 又sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又∵0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．[活学活用]在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得a ²b 2＋c 2－a 22bc ＋b ²c 2＋a 2－b 22ca ＋c ²c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.题点一：利用正、余弦定理解三角形1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB.(1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B. 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故由正弦定理得a ＝b ²sin Asin B ＝1＋ 3.由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°，c ＝b ²sin C sin B ＝2³sin 60°sin 45°＝ 6. 题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 证明：法一：(化为角的关系式)a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝(2R ²sin A )2²2sin B ²cos B ＋(2R ²sin B )2²2sin A ²co s A＝8R 2sin A ²sin B (sin A ²cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2²2R sin A ²2R sinB ²sinC ＝2ab sin C .∴原式得证．法二：(化为边的关系式)左边＝a 2²2sin B cos B ＋b 2²2sin A cos A ＝a 2²2b 2R ²a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2²2a 2R ²b 2＋c 2－a 22bc＝ab 2Rc (a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2)＝ab 2Rc ²2c 2＝2ab ²c 2R＝2ab sin C ＝右边， ∴原式得证．题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用3．已知△ABC 的周长为4(2＋1)，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边长a 的值；(2)若△ABC 的面积为S ＝3sin A解：(1)由正弦定理，得b ＋c ＝2a .① 又a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，② 联立①②，解得a ＝4. (2)∵S △ABC ＝3sin A ，∴12bc sin A ＝3sin A ，即bc ＝6. 又∵b ＋c ＝2a ＝42， ∴由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ b ＋c 2－2bc －a 22bc ＝13.bc cos A ＝2.层级一学业水平达标1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2³8³7³1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822³7³3＝－17.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cosC ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3或2π3C.π3D.π6或5π6解析：选B 因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以2ac cos B tan B ＝3ac ，即sin B ＝32，所以B ＝π3或B ＝2π3，故选 B.6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：07．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ³1³cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. 答案：18．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2³2³(7－b )³⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：49．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . 解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2³15－2³15³12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C . 解：∵a >c >b ，∴A 为最大角．由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722³3³5＝－12.又∵0°<A <180°， ∴A ＝120°， ∴sin A ＝sin 120°＝32. 由正弦定理，得sin C ＝c sin A a＝5³327＝5314. ∴最大角A 为120°，sin C ＝5314.层级二应试能力达标1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C .一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB ＝sinC sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A 在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .3．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，则△ABC 是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c，∴cos B ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b 2＋c 2＋bc －a 2＝0，则a sin 30°－Cb －c＝( )A.12B.32C ．－12D ．－32解析：选A 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，又b 2＋c 2＋bc －a 2＝0，则cos A ＝－12，又0°<A <180°，则A ＝120°，有B ＝60°－C ，所以a sin 30°－Cb －c＝sin A sin 30°－C sin 60°－C －sin C ＝34cos C －34 sin C 32cos C －32sin C ＝12.故选A.5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ²AC ＝22，∴sin C ＝22，∴AD ＝AC sin C ＝ 3. 答案： 36．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2³5³AC ³cos 120°，整理得：AC 2＋5²AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)，再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：357．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sinC －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B ，所以cos A －2cos Ccos B ＝2sin C －sin Asin B ，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2³14＝4a 2，所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.8．如图，D 是直角三角形△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求B ；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC .解：(1)在△ADC 中，根据正弦定理，有AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC ，∵AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32，又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠C ＝180°－120°－30°＝30°，∴∠B ＝60°.(2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x ，∴sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x ，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ²BD ²cos B ，即(22)2＝6x 2＋4x 2－2³6x ³2x ³63＝2x 2，得x＝2.故DC＝2.。

2018_2019高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象课件新人教A版必修4p

正弦线
x y＝sinx
0
π 2
π
3π 2
2π
0
1
0
－1
0
②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)，___(_π2_，__1_) ___，(π，0)，(32π，－1)，(2π，0)．
③用___光__滑__的__曲__线___顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图． y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向__左____、___右___平行移动(每次 2π 个单位长度)，就可以得到正弦函数 y＝sinx，x∈R 的图象．
(1)列表：
x sinx 或 cosx
0 0或1
π 2 1或0
π 0 或－1
3 2π －1 或 0
2π 0或1
y
y1
y2
y3
y4
y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(π2，y2)，(π，y3)，
(32π，y4)，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
单击此处编辑母版文本样式
正弦
余弦
单击此处编辑母版文本样式
2．正弦曲线和余弦曲线的关系 y＝sinx，向左平移π2个单位 y＝cosx， x∈R的图象向右平移2π个单位 x∈R的图象
1．用五点法画 y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点 ( A )
A．(π6，12)
新课标导学
数学
必修④ ·人教A版
第一章
三角函数 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案

(浙江专用版)2018-2019学年高中数学第一章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)讲义新人教A版必修2

12345
解答
内容索引
问题导学题型探究达标检测
问题导学
知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.
解答
反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.
跟踪训练4 求下列各式的值： (1)cos253π＋tan－154π；解原式＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝ sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
跟踪训练3 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第__二____象限角. 解析由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角.
解析答案
类型三诱导公式一的应用
例4 求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的. 故正弦、余弦、正切都
是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，
统称为三角函数
.
知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值

(浙江版)2018年高中数学第一章解三角形 11 正弦定理和余弦定理学案新人教A版必修

（浙江版）2018年高中数学第一章解三角形11 正弦定理和余弦定理学案新人教A版必修1、11、1、1 正弦定理预习课本P2～3，思考并完成以下问题(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝、[点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立、(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式、(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化、2、解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形、1、判断下列命题是否正确、(正确的打“√”，错误的打“”)(1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立()(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解()解析：(1)正确、正弦定理适用于任意三角形、(2)正确、由正弦定理知＝，即bsin A＝asinB、(3)错误、在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定、答案：(1)√(2)√(3)2、在△ABC中，下列式子与的值相等的是()A、B、C、D、解析：选C 由正弦定理得，＝，所以＝、3、在△ABC 中，已知A＝30，B＝60，a＝10，则b等于()A、5B、10C、D、5解析：选B 由正弦定理得，b＝＝＝10、4、在△ABC中，A＝，b＝2，以下错误的是()A、若a＝1，则c有一解B、若a＝，则c有两解C、若a＝，则c无解D、若a＝3，则c有两解解析：选D a＝2 sin＝1时，c有一解；当a<1时，c无解；当1<a<2时，c有两个解；a>2时，c 有一解、故选D、已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60，C＝75，求A，b，c、[解] A＝180－(B＋C)＝180－(60＋75)＝45，由正弦定理＝，得b＝＝＝4，由＝，得c＝＝＝＝4(＋1)、已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角、(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边、[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75＝45＋30)，再根据上述思路求解、[活学活用]在△ABC中，若A＝60，B＝45，BC＝3，则AC＝( )A、4B、2C、D、解析：选B 由正弦定理得，＝，即＝，所以AC＝＝2，故选B、已知两边及其中一边的对角解三角形[典例] 在△ABC 中，a＝，b＝，B＝45，求A，C，c、[解] 由正弦定理及已知条件，有＝，得sin A＝、∵a>b，∴A>B＝45、∴A＝60或120、当A＝60时，C＝180－45－60＝75，c＝＝＝；当A＝120时，C＝180－45－120＝15，c＝＝＝、综上可知：A＝60，C＝75，c＝或A＝120，C＝15，c＝、已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值、(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一、(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论、[活学活用]在△ABC中，c＝，C＝60，a＝2，求A，B，b、解：∵＝，∴sin A＝＝、∴A＝45或A＝135、又∵c>a，∴C>A、∴A＝45、∴B＝75，b＝＝＝＋1、三角形形状的判断[典例] 在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状、解：[法一化角为边]∵acos＝bcos，∴asin A ＝bsinB、由正弦定理可得：a＝b，∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形、[法二化边为角]∵acos＝bcos，∴asin A＝bsinB、由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，∴A＝B、(A＋B＝π不合题意舍去)故△ABC为等腰三角形、利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边、将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状、利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝、(2)化边为角、将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状、利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C、[活学活用]在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断△ABC 的形状、解：由正弦定理，＝＝＝2R，所以acos A＝bcos B可化为sin A cos A＝sin Bcos B，sin2A＝sin2B，又△ABC中，A，B，C∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B ＝，所以△ABC的形状为等腰或直角三角形、层级一学业水平达标1、在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是()A、B、C、D、解析：选A 根据正弦定理得＝＝、2、在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是()A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形解析：选B 由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形、3、在△ABC中，若＝，则C的值为()A、30B、45C、60D、90解析：选B 由正弦定理得，＝＝，则cos C＝sin C，即C＝45，故选B、4、△ABC中，A＝，B＝，b＝，则a等于()A、1B、2C、D、2解析：选A 由正弦定理得＝，∴a＝1，故选A、5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝()A、B、D、－解析：选B 由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝、6、下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)、①a＝8，b＝16，A＝30，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90，无解；④a＝40，b＝30，A＝120，有一解、解析：①中a＝bsin A，有一解；②中csin B<b<c，有两解；③中A＝90且a>b，有一解；④中a>b且A＝120，有一解、综上，④正确、答案：④7、在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________、解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，所以2－2＝2，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2、所以△ABC是直角三角形、答案：直角三角形8、在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则＝________、解析：由正弦定理及已知得＝，∴＝2、答案：29、已知一个三角形的两个内角分别是45，60，它们所夹边的长是1，求最小边长、解：设△ABC中，A＝45，B＝60，则C＝180－(A＋B)＝75、因为C>B>A，所以最小边为a、又因为c＝1，由正弦定理得，a＝＝＝－1，所以最小边长为－10、在△ABC中，已知a＝2，A＝30，B＝45，解三角形、解：∵＝＝，∴b＝＝＝＝4、∴C＝180－(A＋B)＝180－(30＋45)＝105，∴c＝＝＝＝4sin(30＋45)＝2＋2、层级二应试能力达标1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c ＝a，B＝30，那么角C等于()A、120B、105C、90D、75解析：选A ∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180－30－C)＝sin(30＋C)＝，即sin C＝－cos C，∴tan C＝－、又0<C<180，∴C＝120、故选A、2、已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝( )A、B、2C、4D、2解析：选C 根据正弦定理，sin B＋sin C＝sin A可化为b＋c＝a，∵△ABC的周长为4(＋1)，∴解得a＝4、故选C、3、在△ABC中，A＝60，a＝，则等于()A、B、C、D、2解析：选B 由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 得＝2R＝＝＝、4、在△ABC中，若A<B<C，且A＋C＝2B，最大边为最小边的2倍，则三个角A∶B∶C＝()A、1∶2∶3B、2∶3∶4C、3∶4∶5D、4∶5∶6解析：选A 由A<B<C，且A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，可得B＝，又最大边为最小边的2倍，所以c＝2a，所以sin C＝2sin A，即sin＝2sin A⇒tan A＝，又0<A<π，所以A＝，从而C＝，则三个角A∶B∶C＝1∶2∶3，故选A、5、在△ABC中，A＝60，B＝45，a＋b＝12，则a＝________、解析：因为＝，所以＝，所以b＝a，①又因为a＋b＝12，②由①②可知a＝12(3－)、答案：12(3－)6、在△ABC中，若A＝120，AB＝5，BC＝7，则sin B＝_______、解析：由正弦定理，得＝，即sin C＝＝＝、可知C为锐角，∴cos C＝＝、∴sin B＝sin(180－120－C)＝sin(60－C)＝sin60cos C－cos60sin C＝、答案：7、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且＝、(1)求角C的大小；(2)如果＝4，求△ABC的面积、解：(1)由得sin C＝cos C，故tan C＝，又C∈(0，π)，所以 C＝、(2)由＝||||cos C＝ba＝4得ab＝8，所以S△ABC＝absin C＝8＝2、8、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋bsin C－a－c＝0、(1)求B；(2)若b＝，求a＋c的取值范围、解：(1)由正弦定理知：sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0，∵sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C代入上式得：sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0、∵sin C>0，∴sin B－cos B－1＝0，即sin ＝，∵B∈(0，π)，∴B＝、(2)由(1)得：2R＝＝2，a＋c＝2R(sin A＋sin C)＝2sin、∵C∈，∴2sin∈(，2]，∴a＋c的取值范围为(，2]、1、1、2 余弦定理预习课本P5～6，思考并完成以下问题 (1)余弦定理的内容是什么？(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？(3)已知三角形的三边如何解三角形？余弦定理余弦定理公式表达a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍推论cosA＝c os B＝，cos C＝[点睛] 余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立、(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量、1、判断下列命题是否正确、(正确的打“√”，错误的打“”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形( )(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形( )(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()解析：(1)正确、余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形、(2)正确、当a2>b2＋c2时，cos A＝<0、因为0<A<π，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形、(3)错误、当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定、答案：(1)√(2)√(3)2、在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150，则c等于()A、B、8C、10D、7解析：选D 由余弦定理得：c＝＝＝7、3、在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A、60B、45C、120D、30解析：选C 由cos A＝＝－，∴A＝120、4、在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于()A、B、C、D、解析：选B 由b2＝ac且c＝2a得cos B＝＝＝、故选B、已知两边与一角解三角形[典例] (1)在△ABC中，已知b ＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________、[解析](1)由余弦定理得：a＝＝＝60(cm)、(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－25BC，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5、[答案] (1)60 (2)4或5已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解、若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好、[活学活用]在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45，解这个三角形、解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－22(＋)cos45＝8，∴b＝2、又∵cos A＝＝＝，∴A＝60，C＝180－(A＋B)＝75、已知三角形的三边解三角形[典例] 在△ABC中，已知a ＝2，b＝，c＝3＋，解此三角形、[解] 法一：由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，∴A＝45、同理可求B＝30，故C＝180－A－B＝180－45－30＝105、法二：由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，∴A＝45、由正弦定理＝知＝，得sin B＝＝、由a>b知A>B，∴B ＝30、故C＝180－A－B＝180－45－30＝105、(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一、(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解、[活学活用]已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为()A、60B、90C、120D、150解析：选C ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab，由余弦定理可得，cos C＝＝＝－＝－，∵0<C<180，∴C＝120，故选C、利用余弦定理判断三角形形状[典例] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状、解：[法一化角为边]将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos BcosC、由余弦定理并整理，得b2＋c2－b22－c22＝2bc，∴b2＋c2＝＝＝a2、∴A＝90、∴△ABC是直角三角形、[法二化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sin Bsin Ccos BcosC、又sin Bsin C≠0，∴sin Bsin C＝cos Bcos C，即cos(B＋C)＝0、又∵0<B＋C<180，∴B＋C＝90，∴A＝90、∴△ABC是直角三角形、利用余弦定理判断三角形形状的两种途径(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断、(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断、[活学活用]在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状、解：由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知条件得a＋b＋c＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4、∴a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2、根据勾股定理知△ABC是直角三角形、正、余弦定理的综合应用题点一：利用正、余弦定理解三角形1、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsinB、(1)求角B的大小；(2)若A＝75，b＝2，求a，c、解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2、由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB、故cos B＝，因此B＝45、(2)sin A＝sin (30＋45)＝sin30cos45＋cos30sin45＝、故由正弦定理得a＝b＝1＋、由已知得，C＝180－45－75＝60，c＝b＝2＝、题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式2、在△ABC中，求证a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC、证明：法一：(化为角的关系式)a2sin2B＋b2sin2A＝(2Rsin A)22sin Bcos B＋(2Rsin B)22sin Acos A＝8R2sin Asin B(sin Acos B＋cos Asin B)＝8R2sin Asin Bsin C＝22RsinA2Rsin Bsin C＝2absinC、∴原式得证、法二：(化为边的关系式)左边＝a22sin Bcos B＋b22sin Acos A＝a2＋b2＝(a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2)＝2c2＝2ab＝2absin C＝右边，∴原式得证、题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用3、已知△ABC的周长为4(＋1)，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有sin B＋sin C＝sinA、(1)求边长a的值；(2)若△ABC的面积为S＝3sin A，求的值、解：(1)由正弦定理，得b＋c＝a、①又a＋b＋c＝4(＋1)，②联立①②，解得a＝4、(2)∵S△ABC＝3sin A，∴bcsin A＝3sin A，即bc＝6、又∵b＋c＝a＝4，∴由余弦定理得cos A＝＝＝、∴＝bccos A＝2、正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180、大边对大角等、层级一学业水平达标1、在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于()A、30B、60C、120D、150解析：选B ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，∴A＝60、2、在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是()A、－B、－C、－D、－解析：选C 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－287＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－、3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC()A、一定是锐角三角形B、一定是直角三角形C、一定是钝角三角形D、是锐角或直角三角形解析：选C 由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形、4、若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60，则ab的值为()A、B、8－4C、1D、解析：选A 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos60＝ab，则ab ＋2ab＝4，∴ab＝、5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为( )A、B、或C、D、或解析：选B 因为(a2＋c2－b2)tan B＝ac，所以2accos Btan B＝ac，即sin B＝，所以B＝或B＝，故选B、6、已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120，则a2＋c2＋ac－b2＝________、解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos120＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0、答案：07、在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________、解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴()2＝a2＋12－2a1cos ，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)、∴a＝1、答案：18、在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________、解析：因为b＋c＝7，所以c＝7－b、由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，即b2＝4＋(7－b)2－22(7－b)，解得b ＝4、答案：49、在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b、解：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180，∴B＝60、由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝82－215－215＝19、∴b＝、10、在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC、解：∵a>c>b，∴A为最大角、由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝－、又∵0<A<180，∴A＝120，∴sin A＝sin120＝、由正弦定理，得sin C＝＝＝、∴最大角A为120，sin C＝、层级二应试能力达标1、在△ABC中，有下列关系式：①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asinC、一定成立的有()A、1个B、2个C、3个D、4个解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立、对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，知显然成立、对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos Csin A＋cos Asin C，与上式不一定相等，所以④不一定成立、故选C、2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120，c＝a，则a，b的大小关系为()A、a>bB、a<bC、a＝bD、不能确定解析：选A 在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos120＝a2＋b2＋ab、∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b、3、在△ABC中，cos2＝，则△ABC 是()A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形解析：选B ∵cos2＝，∴＝，∴cos B ＝，∴＝，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形、4、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c、若b2＋c2＋bc－a2＝0，则＝()A、B、C、－D、－解析：选A 由余弦定理得cos A＝，又b2＋c2＋bc－a2＝0，则cos A＝－，又0<A<180，则A＝120，有B＝60－C，所以＝＝＝、故选A、5、在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________、解析：∵cos C＝＝，∴sin C＝，∴AD＝ACsin C＝、答案：6、在△ABC中，A＝120，AB＝5，BC＝7，则的值为________、解析：由余弦定理可得49＝AC2＋25－25ACcos120，整理得：AC2＋5AC－24＝0，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，再由正弦定理可得＝＝、答案：7、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c、已知＝、(1)求的值；(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长、解：(1)由正弦定理可设＝＝＝k，则＝＝，所以＝，即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)、又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，因此＝2、(2)由＝2，得c＝2a、由余弦定理及cos B＝，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2＝4a2，所以b＝2a、又a＋b＋c ＝5，所以a＝1，因此b＝2、8、如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC＝DC、(1)若∠DAC＝30，求B；(2)若BD＝2DC，且AD＝2，求DC、解：(1)在△ADC中，根据正弦定理，有＝，∵AC＝DC，所以sin∠ADC＝sin∠DAC＝，又∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋60>60，∴∠ADC＝120，∴∠C＝180－120－30＝30，∴∠B＝60、(2)设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC＝x，∴sin B＝＝，cos B＝，AB＝x，在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2ABBDcos B，即(2)2＝6x2＋4x2－2x2x＝2x2，得x＝2、故DC＝2、。

(浙江专用版)2018-2019学年高中数学第一章三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)讲义新人教A

[思考辨析判断正误] 1.把函数 y＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数 y＝sin2x＋π4 的图象.( × ) 提示得到 y＝sin 2x＋π4＝sin2x＋π2的图象. 2.要得到函数 y＝sin－x＋π3的图象，可把函数 y＝sin(－x)的图象向左
梳理如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到.
知识点四函数y＝sin x的图象与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象关系
答案
类型三图象变换的综合应用例 3 把函数 y＝f(x)的图象上的各点向右平移π6个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的 2 倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是 y ＝2sin12x＋π3，求 f(x)的解析式.
解答
反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法. (2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.
解析答案
2.要得到 y＝sin2x＋π3的图象，只要将函数 y＝sin 2x的图象 A.向左平移π3个单位长度 B.向右平移π3个单位长度
√C.向左平移23π个单位长度
D.向右平移23π个单位长度
12345
答案
3.要得到函数 y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数 y＝sin 2x 的图象
√D.y＝2sin2x－π3
解析函数 y＝2sin2x＋π6的周期为 T＝22π＝π，向右平移14个周期，即向

浙江专用版2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案新人教A版必

1．4.3正切函数的性质与图象学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点一正切函数的性质思考1正切函数的定义域是什么？答案Error!.π思考2诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？2答案周期性．π思考3诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？2答案奇偶性．π思考4从正切线上看，在(0，2)上正切函数值是增大的吗？答案是．π梳理函数y＝tan x (x ∈R且x ≠kπ＋，k ∈Z)的图象与性质见下表：2解析式y＝tan x1图象定义域Error!值域R 最小正周期π奇偶性奇单调性ππ在开区间(kπ－，kπ＋(k∈Z)内都是增2)2函数知识点二正切函数的图象思考1利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？ππ 答案根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－2)上的图象．作法如下：，2(1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆．(2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．(3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)．(4)连线，得到如图①所示的图象．(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y＝tan x，x∈Rπ且x≠＋kπ(k∈Z)的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相2π互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．22思考 2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函π π ，数 y ＝tan x ，x ∈(－2)的简图吗？怎样画？2ππππ 答案能，三个关键点：( ，1)，(0,0)，(－，－1)，两条平行线：x ＝，x ＝－ .4422梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征π正切曲线是被相互平行的直线 x ＝＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．21．函数 y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )ππ提示y ＝tan x在开区间(k π－，k π＋(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数．2)22．函数 y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × )1提示y ＝tan x 图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．23．正切函数 y ＝tan x 无单调递减区间．( √ )π π4．正切函数在区间[－，上单调递增．( × ) 2]2π ππ提示正切函数在区间(－，上是增函数，不能写成闭区间，当 x ＝± 时，y ＝tan x 无2)22意义.类型一正切函数的定义域、值域问题πx例1(1)函数y＝3tan ( －4)的定义域为________．63考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域答案 Error!π x π 4π解析由－ ≠ ＋k π，k ∈Z ，得 x ≠－－4k π，k ∈Z ， 6 4 2 3 即函数的定义域为Error!.ππ(2)求函数 y ＝tan 2(3x ＋ 3)＋tan (3x ＋ 3)＋1的定义域和值域．考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的值域 π π解由 3x ＋ ≠k π＋，k ∈Z ， 3 2 k π π得 x ≠ ＋，k ∈Z ， 3 18 所以函数的定义域为Error!.π 设 t＝tan(3x ＋ 3)，13 3 则 t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋2 )2＋ ≥ ，4 43 所以原函数的值域是[，＋∞).4反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为 R ，将问题转化为某种函数的值域求解．跟踪训练 1 求函数 y ＝ tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域解由题意得Error!即－1≤tan x <1.π ππ π 在(－， 2)内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－4).， 24又 y ＝tan x 的周期为 π，ππ 所以函数的定义域是[k π－，k π＋ 4)(k ∈Z )．4类型二正切函数的单调性问题命题角度 1 求正切函数的单调区间1 π例 2 求函数 y ＝tan (－ x ＋ 4)的单调区间及最小正周期．24考点正切函数的单调性题点判断正切函数的单调性1 π1 π解y ＝tan(－＝－tan，x ＋ 4) (4)x － 22π 1 π π由 k π－ < x － <k π＋ (k ∈Z )， 2 2 4 2 π 3得 2k π－ <x <2k π＋ π(k ∈Z )， 2 21 ππ 3π所以函数 y ＝tan (－的单调递减区间是π)，k ∈Z ，周期 T ＝x ＋4)(2k π－，2k π＋ 22 21|－2 |＝2π.π 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把 ωx ＋φ 看成一个整体，解－2π＋k π<ωx ＋φ< ＋k π，k ∈Z 即可．当 ω<0时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区间．2π跟踪训练 2(2017·太原高一检测)求函数 y ＝3tan( －2x )的单调区间．4考点正切函数的单调性题点判断正切函数的单调性ππ 解y ＝3tan( －2x )＝－3tan (2x － 4)，4π π π由－＋k π<2x － < ＋k π，k ∈Z ，得 2 4 2 π k π 3π k π－＋ <x < ＋ (k ∈Z )， 8 2 8 2ππ k π 3π k π所以 y ＝3tan(的单调递减区间为(k ∈Z )．－2x)(－＋，＋ 2)4828命题角度 2 利用正切函数的单调性比较大小例 3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°；18π28π(2)tan 5 ________tan(－9 ).考点正切函数的单调性题点正切函数的单调性的应用答案(1)<(2)<解析(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，∴tan32°<tan35°＝tan 215°.518π2π2π(2)tan ＝tan ＝tan ，5 (4π－5 )(－5 )28πππtan(－9 )＝tan(－3π－9)＝tan(－9 )，ππ2ππ∵y＝tan x在(－上单调递增，且－<－，，2)2 5 92ππ18π28π∴tan(－5 )<tan(－9 )，即tan 5 <tan(－9 ).反思与感悟运用正切函数的单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小关系．7π9π 跟踪训练3比较大小：tan(－4 )_______tan(－5 ).考点正切函数的单调性题点正切函数的单调性的应用答案>7πππ 解析∵tan(－4 )＝－tan(2π－4)＝tan ，49πππtan(－5 )＝－tan(2π－5)＝tan .5ππππ又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，5 42 (0，2)ππ7π9π∴tan＜tan 4，∴tan(－4 )＞tan(－5 ).5类型三正切函数综合问题xπ例4设函数f(x)＝tan( .－3)2(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用1 ππ解(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝2π.2 ω 12xπkπ2π令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，2 3 2 32π(kπ＋，0)(k∈Z)．∴f(x)的对称中心是36xπ2πxππ7π(2)令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；2 3 3 2 3 4 6xπππxππ5π令－＝－，则x＝；令－＝，则x＝；2 3 4 6 2 3 2 3xπππ令－＝－，则x＝－.2 3 2 3xπ2π∴函数y＝tan( 的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻－3) ( ，0)2 3π5ππ5π的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝3 ，从而得到函数y＝f(x)在一个周期(－ 3 )内，3 3的简图(如图)．反思与感悟熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被π相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为2kπ( ，0)，k∈Z.27跟踪训练4画出f(x)＝tan |x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用解f(x)＝tan |x|化为f(x)＝Error!根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan |x|的图象，如图所示，ππ3π由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，2)，(kπ＋，kπ＋2 )2π3ππ(k∈N)；单调减区间为(－，，kπ－(k＝0，－1，－2，…).，0] (kπ－2)2 2π1．函数f(x)＝tan(x＋4)的单调递增区间为()ππA.(kπ－，kπ＋2)，k∈Z2B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z3ππC.(kπ－，kπ＋4)，k∈Z4π3πD.(kπ－，k∈Z，kπ＋4)4考点正切函数的单调性题点判断正切函数的单调性答案 C12．函数y＝tan x＋是()tan xA．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数考点正切函数的周期性、对称性8题点正切函数的奇偶性答案 A11 1 解析函数的定义域是Error!，且 tan(－x )＋＝－tan x －＝－，tan x(tan x ＋tan x )tan －x1 所以函数 y ＝tan x ＋是奇函数． tan x5 πx －3．(2017·绍兴柯桥区期末)函数 y ＝3tan (6)的最小正周期是( )22π 5π A. B. 5 2 4π C. D ．5π5考点正切函数的单调性题点正切函数单调性的应用答案 A4．将 tan 1，tan 2，tan 3按大小顺序排列为________．(用“<”连接) 考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的周期性答案 tan 2<tan 3<tan 1π3π π5．函数 y ＝tan x(≤ x ≤ ，且x ≠ 2)的值域是________________．44考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的值域答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)π ππ 3π解析函数 y ＝tan x 在[ ， 2)上单调递增，在(4 ]上也单调递增，所以函数的值域是， 42(－∞，－1]∪[1，＋∞)．91．正切函数的图象π 正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x ＝k π＋，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一2 支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数 y ＝tan x 的定义域是Error!，值域是 R .(2)正切函数 y ＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为 T π ＝ . |ω|ππ(3)正切函数在(－＋k π， (k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调＋k π)22减区间.一、选择题π31．函数 y ＝tan (x ＋ 5)，x ∈R 且 x ≠π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( )10π4 A ．(0,0) B.( ，0) C.(π，0) D ．(π，0)55考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的对称性答案 C2．函数 f (x )＝2tan(－x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的奇偶性答案 A解析因为 f (－x )＝2tan x ＝－2tan(－x )＝－f (x )，且 f (x )的定义域关于原点对称，所以函数 f (x )＝2tan(－x )是奇函数．π π3．已知函数 y ＝tan ωx 在(－内是减函数，则( )，2)210A．0<ω≤1B．－1≤ω<0C．ω≥1D．ω≤－1考点正切函数的单调性题点正切函数单调性的应用答案 Bπππ解析∵y＝tan ωx在(－，内是减函数，∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0.2 |ω|2)π4．下列各点中，不是函数y＝tan( －2x)的图象的对称中心的是()4ππA.( ，0)B.(－，0)8 8π 3C.( ，0)D.(－π，0)4 8考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的对称性答案 Cπkππkπ解析令－2x＝，k∈Z，得x＝－.4 2 8 4π 令k＝0，得x＝；8π 令k＝1，得x＝－；83π令k＝2，得x＝－.故选C.8πππ 5．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f4 (4 )4的值是()πA．0 B．1 C．－1 D.4考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的周期性答案 Aππ解析由题意，得T＝＝，∴ω＝4.ω 4π∴f(x)＝tan 4x，f(4 )＝tan π＝0.11π3π6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间( 2 )内的图象是()，2考点正切函数的图象题点正切函数的图象答案 Dπ解析当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0；2当x＝π时，y＝0；3π当π<x< 时，tan x>sin x，y＝2sin x<0.故选D.21 π7．(2017·舟山模拟)已知函数f(x)＝|tan( 6)|，则下列说法正确的是()2x－πA．f(x)的周期是2B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}5πC．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴32ππD．f(x)的单调递减区间是(2kπ－，k∈Z，2kπ＋3]3考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用答案 D5π 1 π解析函数f(x)的周期为2π，A错；f(x)的值域为[0，＋∞)，B错；当x＝时，x－＝3 2 6 2πkπ≠，k∈Z，3 25π∴x＝不是f(x)的对称轴，C错；3π1 π令kπ－< x－≤kπ，k∈Z，2 2 6122ππ可得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z，3 32ππ∴f(x)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋3]，k∈Z，D正确．3二、填空题ππ8．函数f(x)＝tan(ωx＋6)(ω>0)的最小正周期为2π，则f(6 )＝________.考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的周期性答案 1π 1解析由已知＝2π，所以ω＝，ω 21 π所以f(x)＝tan (x＋6)，2π 1 πππ所以f( ＝tan ×＋＝tan ＝1.6 ) ( 6)2 6 42ππ9．比较大小：tan(－7 )________tan (－5 ).考点正切函数的单调性题点正切函数单调性的应用答案<2π5ππ4π 解析tan(－7 )＝tan 7 ，tan(－5 )＝tan ，5π又y＝tan x在( ，π)内单调递增，25π4π所以tan <tan ，7 52ππ即tan(－7 )<tan (－5 ).ππ10．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈[－，4]的值域为____________．4考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的值域答案[－4,4]ππ解析∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.4 4令tan x＝t，则t∈[－1,1]，∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.13π∴当t＝－1，即x＝－时，y min＝－4，4π当t＝1，即x＝时，y max＝4.4故所求函数的值域为[－4,4]．ππ11．已知函数f(x)，任意x1，x2∈(－，(x1≠x2)，给出下列结论：2)2①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)；③f(0)＝1；f x1 －f x2 f x1 ＋f x2x1＋x2④x1－x2 >0；⑤f( 2 )> .2当f(x)＝tan x时，正确结论的序号为________．考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用答案①④解析由于f(x)＝tan x的周期为π，故①正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故②不正确；ππf(0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间(－，上的2)2πx1＋x2 增函数，故④正确；⑤由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间(－，0)上有f( 2 )>2f x1 ＋f x2 πx1＋x2f x1 ＋f x22 (0，2) ( 2 )，在区间上有f< ，故⑤不正确．2三、解答题tan x＋112．判断函数f(x)＝lg 的奇偶性．tan x－1考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的奇偶性tan x＋1解由>0，得tan x>1或tan x<－1.tan x－1ππππ∴函数定义域为(kπ－，kπ－4)∪(kπ＋，kπ＋2)(k∈Z)，关于原点对称．2 4tan －x ＋1 f(－x)＋f(x)＝lg ＋lgtan －x －1 tan x＋1 tan x－1－tan x＋1 tan x＋1＝lg ( ·tan x－1)＝lg 1＝0.－tan x－1∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．13．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用14解由 y ＝|tan x |，得y ＝Error!其图象如图所示．由图象可知，函数 y ＝|tan x |是偶函数，π 单调递增区间为[k π，k π＋ 2)(k ∈Z )，π单调递减区间为(－＋k π，k π](k ∈Z )，周期为 π.2四、探究与拓展14．函数 y ＝sin x 与 y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？考点正切函数的图象题点正切函数的图象π解因为当 x ∈(0， 2)时，tan x >x >sin x ，π所以当 x ∈(0， 2)时，y ＝sin x 与 y ＝tan x 没有公共点，因此函数 y ＝sin x 与 y ＝tan x 在区间[0,2π]内的图象如图所示，观察图象可知，函数 y ＝tan x 与 y ＝sin x 在区间[0,2π]上有 3个交点．π15．设函数 f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω > 0，0 < φ < 2)，已知函数 y ＝f (x )的图象与 x 轴相ππ 邻两个交点的距离为，且图象关于点 M对称．2(－，0)8(1)求 f (x )的解析式； (2)求 f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤ 3的解集．考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用π 解 (1)由题意知，函数 f (x )的最小正周期为 T ＝，215π π 即＝ . |ω| 2因为 ω>0，所以 ω＝2，从而 f (x )＝tan(2x ＋φ)．π 因为函数 y ＝f (x )的图象关于点 M (－，0)对称，8πk π所以 2×(－ 8 )＋φ＝，k ∈Z ， 2k π π即 φ＝＋，k ∈Z . 2 4 π π 因为 0<φ< ，所以 φ＝， 2 4π故 f (x )＝tan(2x ＋ 4).π π π(2)令－＋k π<2x ＋ < ＋k π，k ∈Z ， 2 4 2 3π π得－＋k π<2x <k π＋，k ∈Z ， 4 4 3π k π π k π即－＋ <x < ＋，k ∈Z . 8 2 8 23π k π π k π所以函数的单调递增区间为(－2 )，k ∈Z ，无单调递减区间．＋，＋8 2 8 π (3)由(1)知，f (x )＝tan(2x ＋ 4).π由－1≤tan(2x ＋ 4)≤ 3，π π π得－＋k π≤2x ＋ ≤ ＋k π，k ∈Z ， 4 4 3 π k π π k π即－＋ ≤x ≤ ＋，k ∈Z . 4 2 24 2 所以不等式－1≤f (x )≤ 3的解集为Error!.16。

浙江专用版2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.1.2蝗制学案新人教A版必修2201808

1．1.2弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？1答案周角的等于1度．360思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？答案把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．梳理(1)角度制和弧度制1角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的360 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度制弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角的弧度数的计算1l 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.r 知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？π180答案利用1°＝rad和1 rad＝°进行弧度与角度的换算．180 (π)梳理(1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad 2πrad＝360°180°＝πrad πrad＝180°π1°＝rad≈0.017_45rad 1801801 r ad＝(π)°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系120 135 150 180 270 360 度0°1°30°45°60°90°°°°°°°弧度0 π180π6π4π3π22π33π45π6π3π22π知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则：α为度数α为弧度数απR 扇形的弧长l＝180 l＝αRαπR2扇形的面积S＝3601 1S＝lR＝αR22 21．1 rad的角和1°的角大小相等．(×)π提示 1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝rad.1802．用弧度来表示的角都是正角．(×)提示弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数．3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(√)提示“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径2大小无关．类型一角度与弧度的互化例1将下列角度与弧度进行互化．7π11π(1)20°；(2)－15°；(3) ；(4)－.12 5考点弧度制题点角度与弧度的互化20ππ解(1)20°＝＝.180 915ππ(2)－15°＝－＝－.180 127π7(3) ＝×180°＝105°.12 1211π11(4)－＝－×180°＝－396°.5 5反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°180即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以(π)°即可．跟踪训练1(1)把下列角度化成弧度：①－150°＝________；②2100°＝________；③11°15′＝________；④112°30′＝________.(2)把下列弧度化成角度：π5π①＝________；②－＝________；6 39π5π③＝________；④－＝________.20 12考点弧度制题点角度与弧度的互化5π35 π5π答案(1)①－②π③④6 3 16 8(2)①30°②－300°③81°④－75°类型二用弧度制表示终边相同的角例2把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．23π(1)－1 500°；(2) ；(3)－4.63考点弧度制的应用题点弧度制的应用解(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.5π∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角．323π11π(2)∵＝2π＋，6 623π11π∴与终边相同，是第四象限角．6 6π(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.2∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．反思与感悟用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；2π(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角．5考点弧度制的应用题点弧度制的应用π74π解(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－，180 974π16π16π而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝.9 9 916π∴－1 480°＝＋2×(－5)π.92π2π180(2)∵＝5 ×(π)°＝72°，52π∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，5当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.2π∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°.5类型三扇形的弧长及面积公式的应用例3(1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为()5π3π 2 3πA．π B. C. D.4 3 9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为()2 4A．2 B. C．2sin 1 D.sin 1 sin 14考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用答案(1)A(2)D2π解析(1)扇形的中心角为120°＝，半径为3，31 1 2π所以S扇形＝|α|r2＝××()2＝π.32 2 3(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角2 2 形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2×sin 1 sin 1 4＝.sin 11 1反思与感悟联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝2 2|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．跟踪训练3一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，1 ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，21得1＝(4－2R)·R，2l 2∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，R 1即扇形的圆心角为2 rad.1．下列说法正确的是()A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小考点弧度制5题点弧度制的定义答案 D解析由弧度的定义可知D正确．8π2．把化为角度是()5A．270°B．280°C．288°D．318°考点弧度制题点角度与弧度的互化答案 C8π8π180解析＝×°＝288°.5 (π)53．若θ＝－5，则角θ的终边在()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案 D解析2π－5与－5的终边相同，π∵2π－5∈(0，2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．4．(2017·浙江省91联盟联考)如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，边AB的长为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的面积公式π答案2－2解析设正方形的边长为a，∠EAD＝α，1 1 π由已知可得a2－πa2＝αa2，∴α＝2－.4 2 22π5．已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：3(1)弧AB的长；6(2)扇形所含弓形的面积．考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用2解(1)l＝α·R＝π×6＝4π，3所以弧AB的长为4π.1 1(2)S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.2 22 如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，3所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，1 于是有S△OAB＝×AB×OD21＝×2×6cos30°×3＝9 3.2所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9 3.所以弓形的面积是12π－9 3.1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝πrad”这一关系式．π180 易知：度数×rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．180 (π)3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．一、选择题1．下列说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位1 1B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的360 2π7C．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关考点弧度制题点弧度制的定义答案 D解析根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.2．－240°化为弧度是()4 5A．－πB．－π3 37 7C．－πD．－π4 6考点弧度制题点角度与弧度的互化答案 Aπ 4解析－240°＝－240×＝－π.180 33．(2017·潍坊检测)圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是()π3πA. cm2B. cm2 C．πcm2 D．3πcm22 2考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的面积公式答案 Bπππ解析因为15°＝，所以l＝×6＝(cm)，12 12 21 1 π3π所以S＝lr＝××6＝(cm2)．2 2 2 24．设角α＝－2弧度，则α所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案 Cπ 解析∵－π<－2<－，2π∴2π－π<2π－2<2π－，23 即π<2π－2< π，28∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角．115．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是() 43A．－πB．－2π4C．πD．－π考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案 A11 3 解析∵－4π＝－2π＋(－π)4 3 ＝2×(－1)π＋(－π)，43∴θ＝－π.4π6．若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为()3A．1∶3B．2∶3C．4∶3D．4∶9考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的面积公式答案 B解析设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，r则R＝r＋＝r＋2r＝3r.∴S内切圆＝πr2.πsin61 1 π 1 π 3 S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2.2 23 2 3 2∴S内切圆∶S扇形＝2∶3.7.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验1公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆22π 弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的3弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A．6 m2 B．9 m29C．12 m2 D．15 m2考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用答案 Bπ解析根据题设，弦＝2×4sin＝4 3(m)，3矢＝4－2＝2(m)，1 1故弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(43×2＋22)2 2＝4 3＋2≈9(m2)．二、填空题278．－π是第________象限的角．4考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案三27 3 3 27解析因为－π＝－6π－π，而－π是第三象限的角，所以－π是第三象限的角．4 4 4 49．(2017·宁波期末)弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位．已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是________．考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长公式答案 1l 解析设扇形的弧长和半径长为l，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是α＝＝l 1.10．时针经过一小时，转过了________．考点弧度制的应用题点弧度制的应用π 答案－rad6解析时针经过一小时，转过－30°，10π 又－30°＝－rad.6π11．已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的直径是________ c m，这条弧4所在的扇形面积是________ cm2.考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用答案82π6412. π是第________象限角．3答案三64π4π解析＝20π＋.3 364π4π∵与终边相同，3 34π又∵是第三象限角，364π∴是第三象限角．3三、解答题13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是a，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，π10π∵α＝60°＝，R＝10(cm)，∴l＝αR＝(cm)．3 31 10π 1 πππ 3S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin×10×cos＝50 －(cm2)．6 ( 2)2 3 2 6 3(2)∵l＋2R＝a，∴l＝a－2R，1 1从而S＝·l·R＝(a－2R)·R2 2a a a2＝－R2＋2R＝－(R－4 )2＋.16a a a∴当半径R＝时，l＝a－2·＝，4 4 2a2 l扇形面积的最大值是，这时α＝＝2(rad)．16 R11a a2∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为时，扇形面积最大，为.4 16四、探究与拓展14．如图，已知一个长为3 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用ππ 解AA1所在圆弧的半径是2 dm，圆心角为；A1A2所在圆弧的半径是1 dm，圆心角为；A2A32 2πππ所在圆弧的半径是 3 dm，圆心角为，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋3 2 2π9＋2 3 1 1 π 1 3π3×＝π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π＋×＋×3×＝3 6 2 2 2 2 37π(dm2)．412。

创新设计浙江专用2016_高中数学第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象课件新人教版必修4

2.对于余弦函数 y＝cos x 的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限伸展；
②与 x 轴有无数多个交点；
③与 y＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同.
其中正确的有( )
A.0 个
B.1 个 C.2 个 D.3 个
解析如图所示为 y＝cos x 的图象.可知三项描述均正确.
答案 D
3.函数 y＝sin x，x∈[0，2π ]的图象与直线 y＝－12的交点有
【训练1】利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π) 的简图.
解 (1)取值列表如下：
X
π 02
π
3π 2
2π
cos x 1 0 －1 0
1
－1－－2 －1 0
cos x
－1 －2
(2)描点连线，如图所示.
类型二正、余弦曲线的应用(互动探究) 【例 2】求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x2的定义域.
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
目标定位 1.能画出y＝sin x，y＝cos x的图象；2.会用 “五点法”画正弦函数、余弦函数的图象；3.了解y＝ cos x的图象与y＝sin x的图象之间的联系.
自主预习
1.正弦函数、余弦函数实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角对应着唯一确定的正弦(或余弦)值，这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值sin x或(cos x)与之对应.由这个对应法则所确定的函数y＝sin x(或y＝cos x)叫作正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R.
()
A.1 个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
解析如图所示.

浙江专用版2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象二学案

§1.5 函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)学习目标 1.会用“五点法”画函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据 y ＝A sin(ωx ＋φ) 的部分图象，确定其解析式.3.了解 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．知识点一 “五点法”作函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象思考 1 用“五点法”作 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？ π 3π答案依次为 0，，π，，2π. 2 2思考 2 用“五点法”作 y ＝A sin(ωx ＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？答案用“五点法”作函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令 t ＝ωx ＋φ，再由 t 取 0， π 3π φ φ π φ π φ ，π，，2π 即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－，－＋，－＋，－ 2 2 ω ω 2ω ω ω ω 3π φ 2π ＋，－＋ . 2ω ω ω梳理用“五点法”作 y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤第一步：列表： ωx ＋φ 0π 2 π 3π 2 2πφωx －π φ － 2ω ωπ φ － ω ω3π φ － 2ω ω2π φ － ω ω1y 0 A 0 －A 0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．知识点二函数y＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质名称性质定义域R值域[－A，A]2π周期性T＝ωkπ－φ对称性对称中心( ，0)(k∈Z)ωπkπ－φ对称轴x＝＋(k∈Z)2ωω当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；奇偶性π当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数2单调性通过整体代换可求出其单调区间知识点三函数y＝A sin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义π1．函数y＝－2sin(x＋5)的振幅是－2.(×)提示振幅是2.3 ππ2．函数y＝sin 4)的初相是.(×)2 (2x－4π提示初相是－.4ππ3．函数y＝sin (x＋4)的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.(√)4πππ提示令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，即f(x)的图象的对称轴方程是x＝4 2 42π＋kπ，k∈Z.4类型一用“五点法”画y＝A sin(ωx＋φ)的图象x π例1已知函数f(x)＝3sin(＋＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图6)2象．考点正弦函数的图象题点五点法作正弦函数图象解(1)列表：πx －3 2π35π38π311π3x π＋2 6 0π2π3π22πf(x) 3 6 3 0 3(2)描点画图：π3π反思与感悟(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2 2 2π，解出x，从而确定这五点．(2)作给定区间上y＝A sin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象．πππ跟踪训练1已知f(x)＝1＋2sin(2x－，画出f(x)在x∈上的图象．4) [－，2]2考点正弦函数的图象题点五点法作正弦函数图象πππ 5 3解(1)∵x∈[－，∴2x－∈.，2] 4 [－π，π] 24 4列表如下：3π x－ 2 3 － π 8 π － 8 π 8 3 8 π π 2π 2x －45 － π 4 π －π －2 0π 2 3 4 πf (x )211－ 211＋ 22(2)描点，连线，如图所示．类型二由图象求函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式π例 2 如图是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜ 2)的图象，求 A ，ω，φ 的值，并确定其函数解析式．考点求三角函数的解析式题点根据三角函数的图象求解析式解方法一 (逐一定参法) 由图象知振幅 A ＝3，5ππ2π 又 T ＝ 6 －(－ 6 )＝π，∴ω＝＝2.Tππ由点(－，0)可知，－×2＋φ＝2k π，k ∈Z ，66π∴φ＝＋2k π，k ∈Z .3πππ又|φ|<，得 φ＝ 3，∴y ＝3sin(2x ＋ 3).2方法二 (待定系数法)π5π由图象知 A ＝3，又图象过点( ，0)和(，0)，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点364法”中的第三点和第五点)，有Error!解得Error!π∴y＝3sin(2x＋3).方法三(图象变换法)π由T＝π，点(－，0)，A＝3可知，6π图象是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，6ππ∴y＝3sin[2(x＋6)]，即y＝3sin(2x＋3).5反思与感悟若设所求解析式为 y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定 A ，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.2π (2)由函数图象与 x 轴的交点确定 T ，由 T ＝，确定 ω. |ω| (3)确定函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相 φ 的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A ，ω 已知)或代入图象与 x 轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)φ ②五点对应法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)作为突破口．“五ω点”的 ωx ＋φ 的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx ＋φ＝0； π “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx ＋φ＝；2“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx ＋φ＝π； 3π “第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx ＋φ＝；2“第五点”为 ωx ＋φ＝2π.跟踪训练 2 (2018·牌头中学月考 )函数 f (x )＝ A sin(ωx ＋ φ)(x ∈ R ，A > 0，ω > 0，|φ| <π2)的图象(部分)如图，则 f (x )的解析式是( )πA ．f (x )＝2sin (πx ＋ 6)(x ∈R )πB ．f (x )＝2sin (2πx ＋ 6)(x ∈R )πC ．f (x )＝2sin (πx ＋ 3)(x ∈R )πD ．f (x )＝2sin (2πx ＋ 3)(x ∈R ) 考点求三角函数的解析式题点根据三角函数的图象求解析式答案 A6π类型三函数 y ＝A sin (ωx ＋φ)，|φ|< 性质的应用2例 3 设函数 f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数 y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线 x ＝ π . 8(1)求 φ 的值；(2)求函数 y ＝f (x )的单调区间及最值．考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用 π 解 (1)由 2x ＋φ＝k π＋，k ∈Z ，2k π π φ得 x ＝＋－，k ∈Z ， 2 4 2k π π φ π π令＋－＝，k ∈Z ，得 φ＝k π＋，k ∈Z . 2 4 2 8 4 3π ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－. 4 3π(2)由(1)知，f (x )＝sin (2x － 4 ).π 3π π π 5π由 2k π－ ≤2x － ≤2k π＋ (k ∈Z )，得 k π＋ ≤x ≤k π＋ (k ∈Z )，故函数的单调递2 4 2 88π5π5π9π 增区间是[k π＋8 ](k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是[k π＋ 8]，k π＋，k π＋ 88 (k ∈Z )．3π π 5π当 2x －＝2k π＋ (k ∈Z )，即 x ＝k π＋ (k ∈Z )时，函数取得最大值 1； 4 2 8 3π π π当 2x －＝2k π－ (k ∈Z )，即 x ＝k π＋ (k ∈Z )时，函数取得最小值－1. 4 2 8反思与感悟有关函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．π跟踪训练 3 已知曲线 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A > 0，ω > 0，|φ| ≤ 2)上最高点为(2， 2)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与 x 轴交于点(6,0)． (1)求函数的解析式；(2)求函数在 x ∈[－6,0]上的值域．考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用T解 (1)由题意可知 A ＝ 2，＝6－2＝4，472ππ∴T＝16，即＝16，∴ω＝，ω8π∴y＝2sin ( x＋φ).8π 又图象过最高点(2，2)，∴sin( ×2＋φ)＝1，8πππ故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，4 2 4ππππ 由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin x＋.2 ( 4)2 4 8ππππ(2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，2 8 4 4ππ∴－2≤2sin( 4)≤1.x＋8即函数在x∈[－6,0]上的值域为[－2，1].ππ1．已知简谐运动f(x)＝2sin( x＋φ)(|φ| < 2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小3正周期T和初相φ分别为()ππA．T＝6，φ＝B．T＝6，φ＝6 3ππC．T＝6π，φ＝D．T＝6π，φ＝6 3考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案 Aππ2π解析由题意知f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|< ，所以φ＝，T＝＝6，故选A.2 6 π32．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是()5π5πA．A＝3，T＝B．A＝3，T＝6 383 5π 3 5πC．A＝，T＝D．A＝，T＝2 6 23 考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案 D1 3解析由题图可知A＝(3－0)＝，2 21 ππ5π5π 设周期为T，则T＝－＝，得T＝.2 (－3 )2 6 3ππ3．下列表示函数y＝sin (2x－3)在区间[－，π]上的简图正确的是()2考点正弦函数的图象题点五点法作正弦函数图象答案 A1 π解析将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所有点向右平移个单位长2 6π度即可得到y＝sin(2x－3)的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的．也可以分别ππ3ππ令2x－＝0，，π，2 ，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin(2x－3)的图象．3 2π4．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()12kππkππA．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)2 6 2 6kππkππC．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)2 12 2 12考点三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点三角函数图象的平移变换答案 B9π解析由题意将函数 y ＝2sin 2x 的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为 y ＝12π2sin (2x ＋ 6)，π π由 2x ＋＝k π＋，k ∈Z ， 6 2k π π得函数的对称轴为 x ＝＋ (k ∈Z )，故选 B. 2 63π5．关于函数 f (x )＝2sin (3x － 4 )，以下说法： 2π ①其最小正周期为；3π②图象关于点( ，0)对称；4π③直线 x ＝－是其一条对称轴．4 其中正确说法的序号是________．考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案 ①②③2π 2π π π3π3π 3π解析 T ＝＝；当 x ＝时，f ＝2sin＝2sin＝0，所以图象关ω 344(4 )(3x － 4 )(－4)ππ3π3π 3π 于点(对称，x ＝－ 4时，f (x )＝2sin (3x － 4 )＝2sin (－－＝2，所以直线 x ＝－，0) 4)44π是其一条对称轴． 41．利用“五点法”作函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次 π 3取 0，，π， π，2π，再求出 x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确2 2 定 x 的值，后求“ωx ＋φ”的值．2．由函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A ，ω，φ 的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.2π(2)因为 T ＝，所以往往通过求得周期 T 来确定 ω，可通过已知曲线与 x 轴的交点从而确定ωTT，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.2φ(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，以y＝A sin(ωx＋ω10φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．3．在研究 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在 ωx π3π＋φ＝＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在 ωx ＋φ＝＋2k π(k ∈Z )时取得最小值． 22一、选择题1 π x ＋1．函数 y ＝2sin (4)的周期、振幅、初相分别是( )2π π πA. ，2， B ．4π，－2，－4 4 4 π πC ．4π，2，D ．2π，2，44考点求三角函数的解析式题点函数中参数的物理意义答案 C1 π 2π解析由函数解析式，得 A ＝2，ω＝，φ＝，T ＝＝4π. 2 4 ω 2．如图所示，函数的解析式为( )ππA ．y ＝sin (x ＋ 6)B ．y ＝sin (2x － 6)ππC ．y ＝cos (4x － 3)D ．y ＝cos (2x － 6)考点求三角函数的解析式题点根据三角函数的图象求解析式答案 Dπ π2π解析由图知 T ＝4×(＝π，∴ω＝＝2.＋ 6)12Tπ又当 x ＝时，y ＝1，经验证，可得 D 项解析式符合题目要求．12π3．已知函数 f (x )＝sin (ωx ＋ 3)(ω>0)的最小正周期为 π，则该函数的图象()11ππA ．关于点( ，0)对称B ．关于直线 x ＝对称3 4ππC ．关于点( ，0)对称D ．关于直线 x ＝对称43考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案 Aππ π4．若函数 f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意 x 都有 f ( ＋x )＝f ( －x )，则有 f (6 )等于( )66A ．3或 0B ．－3或 0C ．0D ．－3或 3考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案 Dππ ππ解析由 f( ＋x )＝f ( －x )知，x ＝ 6是函数的对称轴，解得 f(6 )＝3或－3，故选 D.665．把函数 f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的 2倍， π纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为 2π 的奇函数 g (x )，则 ω6 和 φ 的值分别为( ) π π1 π 1 π A ．1， B ．2，C. ，D. ， 332 62 3考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案 Bω 解析依题意得 f (x )第一次变换得到的函数解析式为 m (x )＝2cos( x ＋φ)，2ωx ωπ则函数 g (x )＝2cos(＋ .＋φ)212因为函数的最小正周期为 2π，所以 ω＝2，π 则 g (x )＝2cos(x ＋＋φ).6ππ又因为函数为奇函数，所以φ＋＝kπ＋，k∈Z，6 2π又0<φ<π，则φ＝.36.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()1213A.(k π－4)，k ∈Z，k π＋ 4 13B.(2k π－，2k π＋，k ∈Z4)4 1 3C.(k －4)，k ∈Z ，k ＋ 4 13D.(2k －，2k ＋，k ∈Z4)4考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案 D5 1 解析由图象知，周期 T ＝2( 4 )＝2，－ 42π∴ ＝2，∴ω＝π. ω1 π π 由 π× ＋φ＝＋2k π，k ∈Z ，不妨取 φ＝， 42 4π∴f (x )＝cos (πx ＋ 4).π由 2k π<πx ＋ <2k π＋π，k ∈Z ，得4 1 32k － <x <2k ＋，k ∈Z ， 4 413∴f (x )的单调递减区间为(2k －，2k ＋4)，k ∈Z .4 故选 D.π7．(2018·金华东阳中学检测)函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|< )的部分图象如图所2 示，为了得到函数 f (x )的图象，只需将 g (x )＝sin ωx 的图象( )πA．向右平移个单位长度65πB．向右平移个单位长度613πC ．向左平移个单位长度6 5πD ．向左平移个单位长度6 考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案 Cπ解析根据函数图象可得 f (x )＝sin(2x ＋ 3)，为了得到函数 f (x )的图象，只需将 g (x )＝sinπ2x 的图象向左平移个单位长度．6π2π8．设函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠ 0，ω > 0，|φ| < 2)的图象关于直线 x ＝对称，3它的周期是 π，则( )1A ．f (x )的图象过点(0，2)5π 2πB ．f (x )在[，上是减函数 3]125πC ．f (x )的一个对称中心是(，0)12D ．f (x )的最大值是 A考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案 C2π π解析由题意得 ω＝2，且 2× ＋φ＝＋k π，k ∈Z ， 3 2 5π π 即 φ＝－＋k π，k ∈Z ，又∵|φ|< ， 6 2 ππ 故当 k ＝1时，φ＝，则 f (x )＝A sin.6(2x ＋ 6)1则 f (0)＝ A ，故 A 错；对于 B 和 D ，由于 A 的符号不能确定，所以 B 和 D 都错；对于 C ，当 x ＝2 5π π时，2x ＋＝π，故 C 正确． 12 6 二、填空题2π9．把函数 y ＝2sin (x ＋ 3 )的图象向左平移 m 个单位长度，所得的图象关于 y 轴对称，则 m的最小正值是________．考点三角函数图象的综合应用14题点三角函数图象的综合应用5π答案62π2π(x＋3 )的图象向左平移m个单位长度，则y＝2sin(x＋m＋3 )，其图象关解析把y＝2sin于y轴对称，2πππ∴m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ－，k∈Z.3 2 65π ∴取k＝1，m的最小正值为.610．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用9π答案10解析由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为3π5π2π5π 42(2π－4 )＝，∴＝，∴ω＝.2 ω 2 53π∵当x＝时，y有最小值－1，44 3ππ∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，5 4 29π又－π≤φ<π，∴φ＝.10π 2(2 )＝－，则f(0)＝________.11．已知函数f(x)＝A cos(ωx＋φ)的图象如图所示，f3考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用2答案3T11π7ππ2π解析由题图可知＝－＝，T＝，2 12 123 315π 2π ＋2π2 3 7ππ 2π 7π 2π∴f (0)＝f (3 )，注意到＝，也即和关于 12对称，于是 f (0)＝f (3 )＝－2 12 2 3π2 f (2)＝ .3三、解答题π12．已知曲线 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为( ， 2)，此点到相邻83π π 最低点间的曲线与 x 轴交于点(，若 φ∈ 2).π，0)(－， 82(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用3π 解 (1)由题意知 A ＝ 2，T ＝4×(8)＝π，π－ 82πω＝＝2，∴y ＝ 2sin(2x ＋φ)．Tππ π又∵sin(× 2＋φ)＝1，∴＋φ＝2k π＋，k ∈Z ，84 2π π ππ，∴φ＝2k π＋ 4，k ∈Z ，又∵φ∈(－2)，∴φ＝，24π ∴y＝ 2sin(2x ＋ 4).π π 9π (2)∵0≤x ≤π，∴ ≤2x ＋ ≤ ， 4 4 4 列出 x ，y 的对应值表： x0 π8 3 8 π 5 8 π 7 8 π ππ 2x ＋4π 4 π 2 3 π π 2 2π 9π 4 y12－ 21描点，连线，如图所示．16π13．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A> 0，ω> 0，|φ| < 2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用解(1)由题意作出f(x)的简图如图．T由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π.22π 1 1∴4π＝，即ω＝，∴f(x)＝2sin x＋φ)，ω 22 (∴f(0)＝2sin φ＝1，ππ又∵|φ|< ，∴φ＝，2 61 πx＋∴f(x)＝2sin ( 6).21 π∵f(x0)＝2sin( ＝2，x0＋6)21 ππ∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z，2 6 22π∴x0＝4kπ＋，k∈Z，3又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，2π∴x0＝.3π 1 ππ(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，2 2 6 2174π 2π得－＋4k π≤x ≤ ＋4k π，k ∈Z ， 3 34π2π ∴f (x )的单调递增区间为[－＋4k π，＋4k π](k ∈Z )． 3 3 (3)∵－π≤x ≤π，π 1 π 2π ∴－ ≤ x ＋ ≤ ， 3 2 6 33 1 π∴－ 2≤sin (x ＋ ≤1，6)2∴－ 3≤f (x )≤2，故 f (x )的值域为[－ 3，2]．四、探究与拓展14．已知函数 f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为 2的等边三角形，则 f (1)的值为( )36 A ．－ B ．－ C. 3 D ．－ 32 2 考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用答案 Dπ 解析由函数 f (x )是奇函数，且 0<φ<π，可得 φ＝ .由图象及已知可得函数的最小正周期2ππ π 为 4，得 ω＝ .由△EFG 的边 FG 上的高为 3，可得 A ＝ 3，所以 f (x )＝ 3cos( x ＋ 2)，所 22 以 f (1)＝ 3cos π＝－ 3.π15．(2018·牌头中学月考)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A > 0，ω > 0，|φ| < 2)的最小值为－2，周期为 π，且它的图象经过点(0，－ 2)．求：(1)函数 f (x )的表达式；(2)求其单调递增区间．考点三角函数图象的综合应用题点三角函数图象的综合应用π解 (1)∵函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A > 0，ω > 0，|φ| < 2)的最小值为－2，周期是π，且它的图象经过点(0，－2)，182π∴A＝2，ω＝＝2，－2＝2sin φ，π2∴sinφ＝－，2ππ又|φ|< ，∴φ＝－，2 4π(2x－4)，∴f(x)＝2sinπ 综(2x－4).上所述，f(x)＝2sinπππ(2)当－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z时，函数单调递增，2 4 2π3π此时－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，8 8π3π综上所述，函数的单调递增区间是[－，k∈Z.＋kπ，＋kπ]8 819。

(浙江专用高中数学第1章三角函数滚动训练新人教A版必修4(2021年整理)

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第1章三角函数滚动训练一（§1。

1～§1。

6)一、选择题1．下列函数中，最小正周期为4π的是( )A．y＝sin x B．y＝cos xC．y＝sin 错误!D．y＝cos 2x考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案C解析A项，y＝sin x的最小正周期为2π,故A项不符合题意；B项,y＝cos x的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项,y＝sin 错误!的最小正周期为T＝错误!＝4π,故C项符合题意；D项，y＝cos 2x的最小正周期为T＝错误!＝π，故D项不符合题意．故选C。

2．已知函数f(x）＝sin错误!(x∈R,ω＞0）的最小正周期为π,为了得到函数g(x）＝cos ωx 的图象，只需将y＝f（x)的图象上所有的点( ）A．向左平移错误!个单位长度B．向右平移错误!个单位长度C．向左平移错误!个单位长度D．向右平移错误!个单位长度考点三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点三角函数图象的平移变换答案A解析由T＝π＝错误! ,得ω＝2,g（x)＝cos 2x＝sin错误!，f（x）＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位长度，得到y＝sin错误!＝sin错误!＝g(x)的图象．3．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )A．120° B．－120° C．－60° D．60°考点任意角的概念题点任意角的概念答案B解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－错误!×360°＝－120°，故选B.4．给出下列各函数值：①sin（－1 000°)；②cos（－2 200°)；③tan 5；④错误!。

创新设计浙江专用高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一课件新人教版必修411040

∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.
第二十页，共29页。
(3)函数定义域为 R.
f(－x)＝lg(－sin x＋
1＋sin2
x)＝lg sin
x＋
1 1＋sin2 x
＝－lg(sin x＋ 1＋sin2 x)＝－f(x)，
∴函数 f(x)＝lg(sin x＋ 1＋sin2 x)为奇函数.
(4)由
第二十四页，共29页。
2.对三角函数(sānjiǎhánshù)奇偶性的两点说明 (1)判断三角函数的奇偶性首先要看定义域是否关于原点对称(duìchèn)，否则不具有奇偶性. (2)若三角函数式比较复杂，可先利用三角公式先化简，再判断.
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1.函数 f(x)＝2sinπ2 －x是(
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类型一求正、余弦(yúxián)函数的周期【例1】求下列函数(hánshù)的最小正周期：
(1)y＝sin2x＋π3 ； (2)y＝|cos x|.
π 解 (1)法一令 z＝2x＋ 3 ，则函数 y＝sin z 是周期函数，且周期为 2π，即 y＝sin(z＋2π)＝sin z，亦即 sin2x＋π3 ＋2π＝sin2x＋π3 ∴sin2x＋π＋π3 ＝sin2x＋π3 ∴y＝sin2x＋π3 的周期为π.
的__每__一__个__值_时，都有_____f_(x_＋__T__)＝__f，(x那) 么函数f(x)就叫做周期函数，非
零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在(cúnzài)一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__________.
最小正周期
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解 (1)∵f(x)的最小正周期是π，∴f5π 3 ＝f5π 3 －2π＝f－π3 ∵f(x)是 R 上的偶函数，

[精品课件](浙江专用版)2018-2019学年高中数学第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(一)课件新

4.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.( × )
提示在角度制和弧度制下，公式都成立.
提示答案
题型探究
类型一利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°；解 cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－ 23.
解答
(2)sin 114π；解 sin 141π＝sin2π＋34π ＝sin 34π＝sinπ－π4
＝sin
π4＝
2 2.
解答
(3)sin－436π；解 sin－436π＝－sin6π＋76π ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12.
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二公式三
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～
π 2
之间的角求值
2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”.
[思考辨析判断正误]
1.诱导公式中角α是任意角.( × )
提示正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱
导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
2.sin(α－π)＝sin α.( × )