2017-2018年江苏省南通市如东市高二(上)期中数学试卷及参考答案

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江苏省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(三)

江苏省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（三）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是．2．已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=．3．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）4．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为5．抛物线x2+y=0的焦点坐标为．6．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．7．已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为．8．双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．9．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共11小题，共110分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．12．已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．14．已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．15．倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．16．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．19．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20．若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM （O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．21．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题：1．答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．2．答案为：2+e．3．答案为：充分不必要．4．答案为：5.55．答案为：（0，﹣）．6．答案为：1．7．答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．8．答案为：2，y=．9．答案为：3．10．答案为：0≤a≤1．二、解答题11．解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．12．解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．13．解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，∴a==，∴该双曲线的标准方程为=1．14．解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得m≥9．15．解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=8．16．解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．17．解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f （﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．∴椭圆方程为：=1．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．∵P（﹣1，1），解得M（，）．当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，∴△PMN的面积为=2．19．解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．20．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．∴=，=1﹣=．∴M（，）．∵k OM=2，∴a=2b．①∵OA⊥OB，∴=﹣1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2=1﹣+=．∴=0．∴a+b=2．②由①②得a=，b=．21．解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。

2017-2018年江苏省南通市高二上学期期中数学试卷及答案

2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=．3．（5分）抛物线x2=2y的准线方程是．4．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为．7．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不整数n，a2n﹣1充分条件、即不充分也不必要条件”）8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n+1﹣a n}是等比数列，则=．i13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．（5分）设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n﹣1）b n﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB 的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n1）≥2（1﹣n）恒成立，求a+1的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=3．【解答】解：a4=8=﹣1+3d，解得d=3．故答案为：3．3．（5分）抛物线x2=2y的准线方程是．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=﹣．故答案为：y=﹣．4．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是真命题．（选填“真”或“假”之一）【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2＞4”∵a＞2∴a2＞4∴否命题为真命题故答案为：真5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF 1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为5．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，∴，∴（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，∴a3=1+2×2=5．故答案为：5．7．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的必要不充分条件．（填“充要条件、充分不必要条件、整数n，a2n﹣1必要不充分条件、即不充分也不必要条件”）【解答】解：∵{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，∴当a1=1，q=﹣时，满足q＜0，但此时a1+a2=1﹣=＞0，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0反之若a2n﹣1∵a1＞0，∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要不充分条件，﹣1故答案为：必要不充分8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为12．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，=2，S4=4，∴，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q），∴S8===12．故答案为：12．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n+1﹣a n}是等比数列，则i=3049．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，{a n+1﹣a n}是等比数列，∴a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴{a n+1∴a4﹣a3=12，a4=12+10=22，a5﹣a4=24，a5=24+22=46，a6﹣a5=48，a6=48+46=94，a7﹣a6=96，a7=96+94=190，a8﹣a7=192，a8=192+190=382，a9﹣a8=384，a9=384+382=766，a10﹣a9=768，a10=768+766=1534，∴i=1+4+10+22+46+94+190+382+766+1534=3049．故答案为：3049．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．（5分）设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．∴a2+a6=2a4=20，解得a4=10，S5=5a3=40，解得a3=8．∴d=a4﹣a3=10﹣8=2，a1=a3﹣2d=8﹣4=4，∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×2=2n+2．（2）∵等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．∴b2=8，b3=16，∴q=，∴b6=a k=2k+2=8×24=128，解得k=63．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．满足（2n﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．=2﹣a n+1，得到：S n+1则：a n=a n﹣a n+1，+1整理得：所以：数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），数列{b n}满足（2n﹣1）b n+1则：，所以：数列{}是常数列．则：{b n}的通项公式为：b n=2n﹣1．（2）由（1）得：c n=a n•b n=，则：+…+①所以：+…+②则：①﹣②得：）﹣，整理得：T n=．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB 的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．【解答】解：（1）由条件得：，解得a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得：+=0，即=﹣•=﹣•，∵k1=，k=，∴k1=﹣，即k1k=﹣．∵e==，∴==，∴k1k=﹣．（3）设Q（s，t）（s＞0，t＞0），则P（﹣s，﹣t），R（﹣s，0），∴k QR==，∵直线AB和直线QR倾斜角互补，∴=﹣k1，又k1k=﹣，且k＞0，∴k=，又S=st=2，=k=，△PQR∴s=2，t=，即Q（2，），∴=1，又，∴a=2，b=3，∴椭圆方程为．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n+1（n∈N*）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；1）≥2（1﹣n）恒成立，求a ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n+1的取值范围．﹣b n=a n+2﹣a n=3，【解答】解：（1）由已知可得：b n+1∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．∴a1=1，a2=2．∴S2n=+=3n2．（2）①由T n=n2，n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．n=1时，b1=T1=1．∴b n=a n+a n+1=2n﹣1．﹣n=﹣[a n﹣（n﹣1）]，化为：a n+1∴数列{a n﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．∴a n﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n ﹣1）（a n +11）≥2（1﹣n ）化为：a n a n +1﹣（a n +a n +1）+1≥2（1﹣n ），由a n +a n +1=2n ﹣1．∴不等式化为：a n a n +1≥0．当n 为奇数时，a n =a +（n ﹣1），a n +1=﹣a +n ，∴a n a n +1=[a +（n ﹣1）]（﹣a +n ）=﹣a 2+a +n （n ﹣1）≥0，即﹣a 2+a ≥﹣n （n ﹣1）对∀n ∈N *，且n ≥2恒成立． ∴﹣a 2+a ≥﹣6，解得﹣2≤a ≤3．当n 为偶数时，a n =﹣a +（n ﹣1），a n +1=a +n ，∴a n a n +1≥0，即﹣a 2+a ≥﹣n （n ﹣1）对∀n ∈N *，且n ≥2恒成立． ∴﹣a 2+a ≥﹣2，解得﹣2≤a ≤1．又a ＞0，可得a 的取值范围为：0＜a ≤1．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

江苏省南通市2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(Word版含答案解析)

2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=．3．抛物线x2=2y的准线方程是．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）5．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为．7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、﹣1即不充分也不必要条件”）8．设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M 为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为．10．已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n﹣a n}是等比数列，则+1=．i13．已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n ﹣1）b n﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．20．已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n（n∈N*）．+1（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；1）≥2（1﹣n）恒成立，求a ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n+1的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【考点】2J：命题的否定．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=3．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：a4=8=﹣1+3d，解得d=3．故答案为：3．3．抛物线x2=2y的准线方程是．【考点】K7：抛物线的标准方程．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=﹣．故答案为：y=﹣．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是真命题．（选填“真”或“假”之一）【考点】21：四种命题．【分析】利用否命题的形式写出否命题，判断出否命题是真命题．【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2＞4”∵a＞2∴a2＞4∴否命题为真命题故答案为：真5．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程求出a的值，结合双曲线的定义分析可得||PF1|﹣|PF2||=2a=6，解可得|PF2|的值，取舍即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为5．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式和等比中项性质列出方程，由此能求出a3的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，∴，∴（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，∴a3=1+2×2=5．故答案为：5．7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要不充分条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不﹣1充分条件、即不充分也不必要条件”）【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，∴当a1=1，q=﹣时，满足q＜0，但此时a1+a2=1﹣=＞0，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0反之若a2n﹣1∵a1＞0，∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，+a2n＜0”的必要不充分条件，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1故答案为：必要不充分8．设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由已知中M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，由等腰三角形三线合一可得△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，进而得到答案．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为12．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列{a n}的前n项和公式、通项公式求出q4=2，a1=﹣4（1﹣q），由此能求出S8．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，=2，S4=4，∴，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q），∴S8===12．故答案为：12．10．已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（3，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意列方程组求出a，b的值即可．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n﹣a n}是等比数列，则i=+13049．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，得{a n+1﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，从而依次求出数列的前10项，由此能求出i．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，{a n+1﹣a n}是等比数列，∴a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴{a n+1∴a4﹣a3=12，a4=12+10=22，a5﹣a4=24，a5=24+22=46，a6﹣a5=48，a6=48+46=94，a7﹣a6=96，a7=96+94=190，a8﹣a7=192，a8=192+190=382，a9﹣a8=384，a9=384+382=766，a10﹣a9=768，a10=768+766=1534，∴i=1+4+10+22+46+94+190+382+766+1534=3049．故答案为：3049．13．已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】令Q为MN中的中点，可得CQ=，结合C为椭圆+=1的焦点，|PC|∈[2，6]，可得PQ|的范围，结合|+|=|2|，可得答案．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【考点】8H：数列递推式．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，因此0∈{a n}，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据双曲线的性质求出p为真时m的范围，根据二次函数的性质求出￢q为真时的m的范围，取交集即可．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式求出a4=10，利用等差数列前n项和公式求出a3=8．由此能求出{a n}的通项公式．（2）求出等比数列{b n}中b2=8，b3=16，从而q=2，b6=a k=2k+2=128，由此能求出k．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．∴a2+a6=2a4=20，解得a4=10，S5=5a3=40，解得a3=8．∴d=a4﹣a3=10﹣8=2，a1=a3﹣2d=8﹣4=4，∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×2=2n+2．（2）∵等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．∴b2=8，b3=16，∴q=，∴b6=a k=2k+2=8×24=128，解得k=63．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的定义列出方程组求出a，b的值即可；（2）设M（x0，y0），根据抛物线的性质列方程组求出M点坐标，从而得出抛物线方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n ﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．得到：S n+1=2﹣a n+1，则：a n+1=a n﹣a n+1，整理得：所以：数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．数列{b n}满足（2n﹣1）b n+1﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），则：，所以：数列{}是常数列．则：{b n}的通项公式为：b n=2n﹣1．（2）由（1）得：c n=a n•b n=，则： +…+①所以： +…+②则：①﹣②得：）﹣，整理得：T n=．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）列方程组求出a，b的值即可得出椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程化简，从而得出k1，k关于A，B坐标的表达式，结合e=即可得出kk1的值；（3）设Q（s，t）（s＞0，t＞0），根据倾斜角互补和面积公式计算Q的坐标，从而得出椭圆方程．【解答】解：（1）由条件得：，解得a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得： +=0，即=﹣•=﹣•，∵k1=，k=，∴k1=﹣，即k1k=﹣．∵e==，∴==，∴k 1k=﹣．（3）设Q （s ，t ）（s ＞0，t ＞0），则P （﹣s ，﹣t ），R （﹣s ，0），∴k QR ==，∵直线AB 和直线QR 倾斜角互补，∴=﹣k 1，又k 1k=﹣，且k ＞0，∴k=，又S △PQR =st=2， =k=，∴s=2，t=，即Q （2，），∴=1，又，∴a=2，b=3，∴椭圆方程为．20．已知数列{a n }的首项a 1=a （a ＞0），其前n 项和为S n ，设b n =a n +a n +1（n ∈N*）．（1）若a 2=a +1，a 3=2a 2，且数列{b n }是公差为3的等差数列，求S 2n ；（2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，满足T n =n 2．①求数列{a n }的通项公式；②若对∀n ∈N*，且n ≥2，不等式（a n ﹣1）（a n +11）≥2（1﹣n ）恒成立，求a 的取值范围．【考点】8K ：数列与不等式的综合．【分析】（1）由已知可得：b n +1﹣b n =a n +2﹣a n =3，数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．利用a 3﹣a 1=2a 2﹣a=2（a +1）﹣a=3，解得a ．即可得出S 2n ．（2）①由T n =n 2，n ≥2时，b n =T n ﹣T n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2=2n ﹣1．n=1时，b 1=T 1=1．b n =a n +a n +1=2n ﹣1．化为：a n +1﹣n=﹣[a n ﹣（n ﹣1）]，利用等比数列的通项公式可得a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．不等式化为：a n a n+1≥0．对分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由已知可得：b n+1﹣b n=a n+2﹣a n=3，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．∴a1=1，a2=2．∴S2n=+=3n2．（2）①由T n=n2，n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．n=1时，b1=T1=1．∴b n=a n+a n+1=2n﹣1．化为：a n+1﹣n=﹣[a n﹣（n﹣1）]，∴数列{a n﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．∴a n﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．∴不等式化为：a n a n+1≥0．当n为奇数时，a n=a+（n﹣1），a n+1=﹣a+n，∴a n a n+1=[a+（n﹣1）]（﹣a+n）=﹣a2+a+n（n﹣1）≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣6，解得﹣2≤a≤3．当n为偶数时，a n=﹣a+（n﹣1），a n+1=a+n，∴a n a n+1≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣2，解得﹣2≤a≤1．又a＞0，可得a的取值范围为：0＜a≤1．。

2017-2018学年高二(上)期中数学试卷带答案精讲

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期阶段测试(二)数学试题

江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期阶段测试（二）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1．命题R x ∈∃，使得012≤+x 的否定为 . 2．抛物线y x 82=的准线方程为 .3．在等差数列}{n a 中，已知1182=+a a ，则1133a a +的值为 .4．下列命题：①45>或54>；②命题“若b a >，则c b c a +>+”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 . 5．能够使“设x 是实数，若1>x ，则311>-+x x ”是假命题的一个实数x 的值为 . 6．“3≥+y x ”是“1≥x 或2≥y ”的条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）7．已知双曲线1922=-ay x 的右焦点为)0,13(，则该双曲线的渐近线方程为 . 8．关于x 的不等式0>-b ax 的解集是)1,(-∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集是 .9．设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤>1||||0y x x y y ，则y x 3+的最大值为 .10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆与双曲线称为一对“相关曲线”，已知21,F F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，若02160=∠PF F ，则这一对相关曲线中椭圆的离心率为 .11．在等比数列}{n a 中，1041=<<a a ，则能使不等式0)1()1()1(2211≤-++-+-nn a a a a a a 成立的最大正整数n 是 .12．已知实数y x ,满足322=+y x ，||||y x ≠，则22)2(4)2(1y x y x -++的最小值为 .13．各项均为正数的等比数列}{n a 中，),2(881211+∈>=⋅⋅⋅=N m m a a a a m m ，若从中抽掉一项后，余下的1-m 项之积为1)24(-m ，则被抽掉的是第项．14．设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x （其中0>a ），命题q ：实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-0232|1|x x x .（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为)0,4(1-F ，)0,4(2F ，且经过点)1,3(P . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M 在椭圆上，且2121PF PF OM λ+=，求λ的值. 17．已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且满足：),0(*1111N n a a a a S a S a n n n n n n n n ∈≠=-+-++++λλ.（1）若321,,a a a 成等比数列，求实数λ的值；（2）若21=λ，求证：数列}1{n n a S +为等差数列；（3）在（2）的条件下，求n S .18．如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和C 平行.当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）.（1）设MN与AB之间的距离为25 0(<≤xx且)1≠x米，试将通风窗的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数)(xSy=；（2）当MN与AB之间的距离为多少时，通风窗的通风面积S取得最大值？19．已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax的左焦点为)0,1(-F，左准线方程为2-=x. （1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于BA,两点.①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足AFPAλ=，BFPBμ=.求证：μλ+为定值；②若OBOA⊥（O为原点），求AOB∆面积的取值范围.20.若存在常数)2,(*≥∈kNkk、q、d，使得无穷数列}{na满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉+=+**1,,NknqaNkndaannn，则称数列}{na为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差.设数列}{nb为“段比差数列”.（1）若}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3. ①当0=q 时，求2016b ；②当1=q 时，设}{n b 的前n 3项和为n S ，若不等式133-⋅≤n n S λ对*N n ∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设}{n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的}{n b 并说明理由.试卷答案一、填空题1．R x ∈∀，使得012>+x 2．2-=y 3．22 4．1 5．2 6．充分不必要 7．x y 32±= 8．)2,1(- 9．2 10．3311．7≤n 12．5313．13 14．212-二、解答题15．（1）解：由03422<+-a ax x 得0))(3(<--a x a x ，又0>a ，所以a x a 3<<，当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的取值范围是31<<x ，由⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-0232|1|x x x 得⎩⎨⎧>-≤≤≤-2331x x x 或，解得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x ，若q p ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是)3,2(.（2）由（1）知p ：a x a 3<<，则p ⌝：a x ≤或a x 3≥，q ：32≤<x ，则q ⌝：2≤x 或3>x因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q p ⌝⇒⌝，所以⎩⎨⎧>≤<3320a a 解得21≤<a ，故实数a 的取值范围是]2,1(.16.（1）依题意，设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x261)43(1)43(||||2222221=+-+++=+=PF PF a ，∴23=a椭圆C 的标准方程为121822=+y x （2）)212,272()1,0()1,7(212121+--=-+--=+=λλλλPF PF 点M 的坐标为)212,272(+--λλM∵点M 在椭圆上，∴1)212(21)272(18122=+-+-⨯λλ即074202=-+λλ，解得21=λ或107-=λ.17.（1）令1=n ，得λ+=122a令2=n ，得32322332a a a a S a S a λ=-+-，所以)12)(1(423+++=λλλa由3122a a a =，得)12)(1(42)12(2+++=+λλλλ，因为0≠λ，所以1=λ.（2）当21=λ时，1111++++=-+-n n n n n n n n a a a a S a S a λ，所以21111111=-+-++++n n n n n n a a a S a S ，即211111=+-+++n n n n a S a S 所以数列}1{n n a S +是以2为首项，公差为21的等差数列，所以21)1(21⋅-+=+n a S n n ，即2321+=+n a S n n .（3）n n a nS )232(1+=+，①当2≥n 时，11)2321(1--+-=+n n a n S ，② ①-②得，12223-+-+=n n n a n a n a 即1)2()1(-+=+n n a n a n ，所以)2(121≥+=+-n n an a n n ，所以}2{+n a n 是首项为31的常数列，所以)2(31+=n a n ，代入①得651)232(2n n a n S n n +=-+=.18.解：（1）当10<≤x 时，过A 作CD AK ⊥于K （如图）则x HM ABCD DK AK -==-==1,212,1，由2==DHMH DK AK ，得212xHM DH -==， ∴x DH HG +=-=223，∴2)2)(1()(2+--=+-=⋅=x x x x HG HM x S ；当251<<x 时，过E 作MN ET ⊥于T ，连结EN （如图），则1-=x ET ，222)1(49)1()23(2--=--==x x MNTN ，∴2)1(492--=x MN ， ∴)1()1(492)(2-⋅--=⋅=x x ET MN x S ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<<-⋅--<≤+--=251),1()1(49210,2)(22x x x x x x x S ；（2）当10<≤x 时，49)21(2)(22++-=+--=x x x x S 在)1,0[上递减， ∴2)0()(max ==S x S ；当251<<x 时，492)1(49)1(2)1()1(492)(222=--+-⋅≤-⋅--=x x x x x S ，当且仅当2)1(491--=-x x ，即)25,1(1423∈+=x 时取“=”， ∴49)(max =x S ，此时249)(max >=x S ，∴)(x S 的最大值为49.答：当MN 与AB 之间的距离为1423+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值. 19.(1)由题设知c a ca c 2,2,122===， ∴1,22222=-==c a b a ，∴C ：1222=+y x （2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，则),0(k P 设),(),,(2211y x B y x A ，直线l 代入椭圆得2)1(2222=++x k x ，整理得，0224)21(2222=-+++k x k x k ，∴222122212122,214k k x x k k x x +-=+-=+由λ=，μ=知22111,1x x x x +-=+-=μλ， ∴4142122214121442142122222222*********-=---=+-++-++-++--=+++++-=+k k k k k k k k x x x x x x x x μλ（定值）②当直线OB OA ,分别与坐标轴重合时，易知AOB ∆的面积22=S ，当直线OB OA ,的斜率均存在且不为零时，设OA ：kx y =，OB ：x ky 1-=，设),(),,(2211y x B y x A ，将kx y =代入椭圆C 得到22222=+x k x ，∴2221221212,212k k y k x +=+=，同理222222222,22k y k k x +=+=， AOB ∆的面积)2)(12()1(22222+++=⋅=k k k OB OA S ，令),1[12+∞∈+=k t ，221121)1)(12(tt t t t S -+=+-=，令)1,0(1∈=tμ，则)22,32[49)211(12122∈+--=++-=μμμS 综上所述，)22,32[∈S . 20.(1)∵}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3 ∴0020132014=⨯=b b ，3320142015=+=b b ，∴6320152016=+=b b ∵}{n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3 ∴n n b b 313=+，∴621333333==-=-+++d b b b b n n n n ， ∴}{3n b 是首项为73=b ，公差为6的等差数列， ∴n n n n n b b b n 4362)1(72363+=⨯-+=+++ ，易知}{n b 中删除}{3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列， ∴n n n n n b b b b b b n n -=-+⨯=+++++++-21323542162)12(212 ， ∴n n n n n n S n 39)6()43(2223+=-++=， ∵133-⋅≤n n S λ，∴λ≤-133n n S ，设133-=n nn S c ，则max )(n c ≥λ，又1212213)223(23393)1(3)1(9--+---=+-+++=-n n n n n n n n n n n c c当1=n 时，02232<--n n ，21c c <，当2≥n 时，02232>--n n ，n n c c <+1∴ >><321c c c ，∴14)(2max ==c c n ， ∴14≥λ，得),4[+∞∈λ.（2）设}{n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2=k ，则d q d b b q d b b d b b b b ++=+=+==)(,)(,,4321，由2231b b b =，得bq d b =+，由2342b b b =，得d q d b q d b ++=+)()(2，联立两式，得⎩⎨⎧==10q d 或⎩⎨⎧-=-=12q b d ，则b b n =或b b n n 1)1(--=，经检验均合题意②若3≥k ，则b b =1，d b b +=2，d b b 23+=，由2231b b b =，得)2()(2d b b d b +=+，得0=d ，则b b n =，经检验均合题意综上①②，满足条件的}{n b 的通项公式为b b n =或b b n n 1)1(--=.。

2017_2018学年高二数学上学期期中联考试题

年高二上学期期中考试数学试题2017.11本试卷分I 卷选择题（60分）II 卷非选择题（90分）,满分150分，时间120分钟第I 卷（选择题60分）一．选择题：本大题共12个小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝()A.15B.59C.53D ．1 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于()A ．8B ．10C ．12D ．144. 如图从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于()1)m －2180(．B 1)m －3240(．A 1)m＋330(．1)m D －3120(．C 5.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，则A ＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π66．已知等差数列{a n }的公差为－2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，则a 2＝()A ．－4B ．－6C ．－8D ．87．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟8．若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有()A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d9.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝()A ．15B ．12C ．－12D ．－1510. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11. 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则()A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞012. 若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0的周长，则2a ＋1b 的最小值是()A ．2－2B.2－1C ．3＋22D ．3－2 2第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题横线上 13. 已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.14.已知不等式(k －2)x 2－2(k －2)x －4＜0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 15. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．16．在△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，则B 的取值范围是________．三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解不等式f (1)>0 ,求a 的范围(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 18.（本小题满分12分）。

精选2017-2018学年高二数学上学期期中试题(含解析)

2017-2018学年第一学期期中试卷高二数学第一卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上．．．．．．．．.1. 已知直线的斜率为，则它的倾斜角为__________．【答案】【解析】斜率为，设倾斜角为，则，有.2. 已知圆的方程为，则它的圆心坐标为__________．【答案】【解析】，圆心坐标为.3. 若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为__________．【答案】平行或异面【解析】若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为平行或异面.4. 已知直线：和：垂直，则实数的值为_________．【答案】【解析】当时，，两条直线不垂直；当时，，两条直线垂直，则，.综上：.5. 已知直线和坐标轴交于、两点，为原点，则经过，，三点的圆的方程为_________．【答案】【解析】直线和坐标轴交于、两点，则，设圆的方程为：，则，解得，圆的方程为，即.6. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为_________．【答案】【解析】由题得扇形得面积为：，根据题意圆锥的侧面展开图是半径为3即为圆锥的母线，由圆锥侧面积计算公式：所以圆锥的高为7. 已知，分别为直线和上的动点，则的最小值为_________．【答案】【解析】由于两条直线平行，所以两点的最小值为两条平行线间的距离.8. 已知，是空间两条不同的直线，，是两个不同的平面，下面说法正确的有_________．①若，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则.【答案】①④【解析】①若，，符合面面垂直的判定定理，则真确；②若，，，则可能平行，也可能相交，故②不正确；③若，，，则可能平行，也可能异面；③不正确；④若，，，符合线面平行的性质定理，则.正确；填①④.9. 直线关于直线对称的直线方程为_________．【答案】【解析】由于点关于直线的对称点位，直线关于直线对称的直线方程为，即.10. 已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_________．【答案】【解析】∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为，又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径，根据球的体积公式，得此球的体积为，故答案为.点睛：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题；由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.11. 若直线：和：将圆分成长度相同的四段弧，则_________．【答案】【解析】两条直线：和：平行，把直线方程化为一般式：和，圆的直径为，半径，直线被圆所截的弦所对的圆心角为直角，只需两条平行线间的距离为4，圆心到直线的距离为2，圆心到则的距离为，若，则，同样，则，则.12. 已知正三棱锥的体积为，高为，则它的侧面积为_________．【答案】【解析】设正三棱锥底面三角形的边长为，则，底面等边三角形的高为，底面中心到一边的距离为，侧面的斜高为，.13. 已知，，若圆（）上恰有两点，，使得和的面积均为，则的范围是_________．【答案】【解析】，使得和的面积均为，只需到直线的距离为2，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，当时，圆（）上恰有一点到AB的距离为2，不合题意；若时，圆（）上恰有三个点到AB的距离为2，不合题意；当时，圆（）上恰有两个点到AB的距离为2，符合题意，则................14. 已知线段的长为2，动点满足（为常数，），且点始终不在以为圆心为半径的圆内，则的范围是_________．【答案】第二卷二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，．．．．．．．．．．．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：证明线面可以利用线面平行的判定定理，借助证明平行四边形，寻求线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.试题解析：证：（1）四边形为平行四边形（2）【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.16. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）在中，求边上的高所在直线方程；（3）求四边形的面积.【答案】（1）（2）（3）20【解析】试题分析：首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.试题解析：。

2017～2018上如东期中考试卷(正卷教师版).doc

2018届高三年级第二次学情检测语文I试题一、语言文字运用（15分）1.在下面一段话的空缺处依次填入词语，恰当的一组是（3分）（）中华几千年的文明史中，___________ 的文人多如牛毛，被后人格外喜欢的诗人亦不计其数。

但往往诗文作得好的，人并不可爱；人品相当不错的，诗文却__________________ 。

而像苏东坡这样诗文书画和人品道德都趋于完美都富于魅力者实在也是_______________ o所以，我总觉得自从有了苏东坡后，除去李白之外的其他中国文人都在他的光照对比下黯然失色。

A.名垂青史不过尔尔风毛麟角B.彪炳史册不足挂齿凤毛麟角C.名垂青史不足挂齿雪泥鸿爪D.彪炳史册不过尔尔雪泥鸿爪【参考答案】（3分）A2.下列句子中，没有语病的一句是（3分）（)A.面部识别技术的应用，确实有“芝麻开门”的便捷效应，但任何新技术与生俱来的双刃剑属性，也让面部识别技术的应用不可避免地存在隐私安全。

B.—些地方依托大数据、云计算创新扶贫开发新手段，通过打造“智慧扶贫”云平台，探索“互联网+ ”扶贫新模式，增强群众发展经济的内生动力。

C.国家天文台近日宣布，经过一年紧张调试，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜，指向、跟踪、漂移扫描等观测模式目前运行状态良好。

D.中国民用航空局日前发布消息称，据初步统计，国庆长假期间民航共运送旅客1295万人次，与去年同期相比，同比增长14. 6%；平均客座率超过80%。

【参考答案】（3分）C （A.成分残缺，应在“隐私安全”后补上“风险”或“隐患”。

B.成分赘余，应删去第一句话中“手段”前的“新”字。

D•句式杂，应删去“同比” o）3.依次填入下面一段文字横线上的语句，衔接最恰当的一项是（3分）（）黄昏来时，翠翠坐在家中屋后白塔下，看天空被夕阳烘成桃红色的薄云。

, , , , ,翠翠看着天上的红云，听着渡口飘来生意人的杂乱声音，心中有些薄薄的凄凉。

%1祖父在溪中渡船上，忙个不息%1石头泥土为白日哂了一整天，到这时节各放散出一种热气%1天快枚了，别的雀子似乎都休息了，只杜鹃叫个不停%1空气中有泥土气味，有草木气味，还有各种甲虫类气味%1十四中寨逢场，城中生意人过中寨收买山货的很多，过渡人也特别多A.②④③①⑤B.②⑤①③④C.⑤①③②④D.⑤③④②①【参考答案】（3分）C4.下列四首诗中，不是以“雪”为吟咏对象的一项是（3分）（）A.怪得北风急，前庭如月辉。

数学---江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期期中考试试题(解析版)

江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期期中考试试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置..1. 命题：“，”的否定为__________.2. 不等式的解集是__________．3. 已知数列的前项和为，且，则数列的首项为__________．4. 关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________．5. 若正项等比数列满足，则的最大值为__________．6. 若直线上存在点满足条件，则实数的取值范围为__________．7. 等比数列的前项和为，已知，，则公比__________．8. 设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么__________．10. 下列说法中所有正确命题的序号是__________．①“”是“”成立的充分非必要条件；②、，则“”是“”的必要非充分条件；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.11. 设是数列的前项和，且，，则__________．12. 已知实数，满足约束条件，若（）的最大值为，则的最小值为__________．13. 对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．14. 已知，均为正数，且，则的最小值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 设（，）（1）若不等式的解集为，求，的值；（2）记，若且，求的取值范围．16. 命题：已知实数，满足约束条件，二元一次不等式恒成立，命题：设数列的通项公式为，若，使得．（1）分别求出使命题，为真时，实数的取值范围；（2）若命题与真假相同，求实数的取值范围.17. 设数列的前项和，满足（）；（1）记，求数列的前和.（2）记，且数列的前和为，若不等式，对任意恒成立，求实数的最小值.18. 服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2017年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时，利润最大？19. 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，（），设（1）若，求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，又数列满足：：①求数列的前和；②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积.20. 已知函数.（1）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对任意，，都有成立；（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使得整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式.附加题（共4小题，每小题10分共40分，解答对应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21. 矩阵的逆矩阵为，矩阵满足，求，.22. 已知矩阵的两个特征向量，，若，求.23. 解关于的不等式：.24. 已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.（3）设，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.参考答案一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置.1.【答案】，【解析】由题意得，根据全称命题与特称命题的关系可知，命题“”的否定为“”2.【答案】【解析】由题意得，不等式可化为，所以不等式的解集为.3.【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由，得，所以.4.【答案】【解析】由题意得，不等式的解集为，要使得不等式成的充分不必要条件是，则，解得，所以不存在这样的实数，所以实数的取值范围为.5.【答案】2【解析】根据等比中项可知，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.6.【答案】【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，因为过坐标原点，其中表示直线的斜率，所以可行域内能使得斜率取得最大值，可行域内能使得斜率取得最小值，由，解得，此时，由，解得，此时，所以实数的取值范围是.7.【答案】或【解析】∵，①当时,，满足条件。

江苏省南通中学2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．“直线l在平面α内”用数学符号表示为．2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则点Q直线PR（用符号表示它们的位置关系）．3．直线y=x+m的倾斜角为．4．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于．5．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是．6．棱长都是1的三棱锥的表面积为．7．已知{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，则a，b所满足的条件是．8．两直线l1：ax+2y+b=0；l2：（a﹣1）x+y+b=0．若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a•b=．9．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点．10．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．11．光线从点M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是．①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β．13．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则•的最大值是．14．已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|x﹣t|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k ＞1），则m s﹣n p=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l的垂线，若垂足为A（﹣2，3），求直线l的方程；（2）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求AB边上的高所在的直线方程．16．求经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF ⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．18．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．当OM多长时，点M到直线BC的距离最小？19．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=上一点．（1）若点P在第一象限，且OP=，求过点P圆O的切线方程；（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．“直线l在平面α内”用数学符号表示为l⊂．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由题意，由于直线与面之间的关系两个点集之间的关系，故易得“直线l在平面α内”用数学符号表示【解答】解：“直线l在平面α内”用数学符号表示为“l⊂α”故答案为l⊂α2．若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则点Q∈直线PR（用符号表示它们的位置关系）．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】通过证明这三点是两个相交平面的公共点，证明三点共线，从而得解．【解答】解：由已知条件易知，平面α与平面ABC相交．设交线为l，即l=α∩面ABC．如图：设P∈AB，则P∈面ABC．又P∈AB∩α，则P∈α，即P为平面α与面ABC的公共点，∴P∈l．同理可证点R和Q也在交线l上．故P、Q、R三点共线于l，即Q∈直线PR．故答案为：∈．3．直线y=x+m的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线的倾斜角为α，α∈[0，π），则tanα=1，即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，∴α=．故答案为：．4．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于90°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角即为异面直线所成角，再求出该角即可．【解答】解：∵在长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，A1D1∥AD，∴AB与AD所成角∠DAB 即为异面直线AB与A1D1所成的角．∵∠DAB=90°，∴异面直线AB与A1D1所成的角等于90°．故答案为：90°．5．点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是在圆外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可判断点P与圆的位置关系．【解答】解：由圆的方程x2+y2=24，得圆心坐标为原点O（0，0），半径r=．点P与圆心O的距离．∵m4≥0，∴．∴点P在圆外．故答案为：在圆外6．棱长都是1的三棱锥的表面积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，利用棱长是1，求出一个面的面积乘以4可得答案．【解答】解：棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，且等边三角形的边长为1，∴每个面的面积都是×1×1×=，∴表面积S=．故答案是．7．已知{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，则a，b所满足的条件是a=1且b ≠1．【考点】交集及其运算．【分析】由已知得直线ax+y+b=0与x+y+1=0平行，由此能求出结果．【解答】解：∵{（x，y）|ax+y+b=0}∩{（x，y）|x+y+1=0}=∅，∴直线ax+y+b=0与x+y+1=0平行，∴=，∴a=1且b≠1．故答案为：a=1且b≠1．8．两直线l1：ax+2y+b=0；l2：（a﹣1）x+y+b=0．若l1∥l2，且l1与l2的距离为，则a•b=±4．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线平行的条件求出a，利用且l1与l2的距离为，求出b，即可求出a•b．【解答】解：由题意，a=2（a﹣1），∴a=2，∴直线l1：2x+2y+b=0；l2：2x+2y+2b=0，∵l1与l2的距离为，∴=，∴b=±2，∴ab=±4．故答案为±4．9．不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y﹣1）+（﹣x ﹣3y+11）=0令解得：，故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）故答案为：（2，3）．10．如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．11．光线从点M（﹣2，3）射到x轴上一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】利用点P（﹣2，3）关于x轴的对称点N（﹣2，﹣3）在反射光线上再由两点式写出反射光线所在的直线方程即可．【解答】解：∵点P（﹣2，3）关于x轴的对称点N（﹣2，﹣3）∴根据反射定律可得p，N两点都在反射光线上∴反射光线所在直线的方程为=即x﹣y﹣1=0．12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是③．①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、垂直的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，不正确；②若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交、异面，不正确；③若m⊥α，α∥β，则m⊥β，∵n∥β∴m⊥n，正确；④若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，不正确．故答案为③．13．已知两点A（﹣1，0）、B（0，2），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则•的最大值是3+．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），根据向量数量积的定义求出表达式，然后利用两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：设P（x，y），则•=（﹣1﹣x，﹣y）•（﹣x，2﹣y）=（1+x）x﹣y（2﹣y）=x2+x+y2﹣2y=（x+）2+（y﹣1）2﹣，设z=（x+）2+（y﹣1）2，则z的几何意义是P到定点D（﹣，1）的距离的平方，圆心C（1，0），半径R=1，则CD==，则PD的最大值为CD+r=+1，则PD的平方得（+1）2=++1，则•的最大值为++1﹣=3+，故答案为：3+14．已知圆O：x2+y2=4与曲线C：y=3|x﹣t|，曲线C上两点A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均为正整数），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k ＞1），则m s﹣n p=0．【考点】函数恒成立问题．【分析】设p（x0，y0），则x02+y02=4，结合且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），m、n、s、p均为正整数，求出m、n、s、p的值，可得答案．【解答】解：设p（x0，y0），则x02+y02=4，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1），=k（k＞1），⇒4+m2+n2﹣2mx0﹣2ny0=k2（4+s2+p2﹣2sx0﹣2py0）⇔消去m，n得s2+p2=＜4所以s=p=1，k=，此时m=n=2，此时m s﹣n p=0，故答案为：0二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）过原点作直线l的垂线，若垂足为A（﹣2，3），求直线l的方程；（2）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），求AB边上的高所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）求出l的斜率，即可求直线l的方程；（2）k AB=，设所求直线方程2x+7y+m=0，代入点C坐标得AB边上的高所在的直线方程．【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），且OA⊥l，∴l的斜率为k=．于是l的方程为y﹣3=（x+2）．整理得2x﹣3y+13=0．（2）∵k AB=，∴设所求直线方程2x+7y+m=0，代入点C坐标得m=﹣21．∴AB边上的高所在的直线方程为2x+7y﹣21=0．16．求经过P（﹣2，4）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】求出线段PQ的垂直平分线为y=x+1，设圆心C的坐标为（a，a+1），求出半径r的表达式，利用圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，由题意得32+d2=r2，解得a，求出圆的方程即可．【解答】解：因为线段PQ的垂直平分线为y=x+1，…所以设圆心C的坐标为（a，a+1），半径r=|PC|==，圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，…由题意得32+d2=r2，即32+（a+1）2=2a2﹣2a+13，整理得a2﹣4a+3=0，解得a=1或a=3．…当a=1时，圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13；…当a=3时，圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．…综上得，所求的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13或（x﹣3）2+（y﹣4）2=25…17．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF ⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC 中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．18．如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）当点M与A重合时，求圆形保护区的面积；（2）若古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．当OM多长时，点M到直线BC的距离最小？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，当点M 与A重合时，求出圆形保护区半径，即可求圆形保护区的面积；（2）求出保护区的边界圆M的半径，利用，可得结论．【解答】解：（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．由条件知A（0，60），C，直线BC的斜率﹣又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率设点B的坐标为（a，b），则k BC==﹣，k AB==，解得a=80，b=120所以圆形保护区半径r=AB==100则圆形保护区面积为10000πm2．（2）设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m（0≤d≤60）由条件知，直线BC的方程为y=﹣（x﹣170），即4x+3y﹣680=0由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d）到直线BC的距离是r即r=因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以，解得10≤d≤35则当d=10，即OM=10m时，M到直线BC的距离最小．19．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．（1）求证：A1D1∥平面AB1D；（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）欲证A1D1∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1∥AD 又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高，求出三棱锥A﹣B1BC的体积，从而求出三棱锥B1﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：连接DD1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵D、D1分别是BC和B1C1的中点．∴B1D1∥BD，且B1D1=BD∴四边形B1BDD1为平行四边形∴BB1∥DD1，且BB1=DD1又因AA1∥BB1，AA1=BB1所以AA1∥DD1，AA1=DD1所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1∥AD又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D故A1D1∥平面AB1D；（2）在△ABC中，棱长均为4，则AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2在△B1BC中，B1B=BC=4，∠B1BC=60°所以△B1BC的面积为4∴三棱锥B1﹣ABC的体积即为三棱锥A﹣B1BC的体积V=××=820．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=上一点．（1）若点P在第一象限，且OP=，求过点P圆O的切线方程；（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆的切线方程；直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出设点P的坐标．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k=0，利用点到直线间的距离公式可解得k，从而可得过点P的圆O的切线方程．（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；（3）存在，点A的坐标为（，0）．【解答】解：（1）设点P的坐标为（，y0）．因OP=，所以（）+y02=（）2，解得y0=±1．又点P在第一象限，所以y0=1，即P的坐标为（，1）．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，则切线为y﹣1=k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k=0，于是有=1，解得k=0或k=．因此过点P的圆O的切线方程为：y=1或24x﹣7y﹣25=0．（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2=1与圆（x+）2+（y+y0）2=4有公共点．于是1≤≤3，解得﹣≤y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[﹣，]．（3）存在，点A的坐标为（，0）．（写出存在两字给2分）2016年12月16日。

2017-2018年江苏省南通市如东市高二上学期期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年江苏省南通市如东市高二（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，ax﹣2＞0”的否定为．2．（5分）不等式≥1的解集是．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2S3﹣3a3=10，则数列{a n}的首项为．4．（5分）关于x的不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜4，则实数m的取值范围是．5．（5分）若正项等比数列{a n}满足a2015+a2017=4，则a2016的最大值为．6．（5分）若直线y=ax上存在点（x，y）满足条件，则实数a的取值范围为．7．（5分）若等比数列{a n}的前n项和为S n，，则公比q=．8．（5分）设{a n}与{b n}是两个等差数列，它们的前n项和分别为S n和T n，若=，那么=．9．（5分）某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用年报废最合算（即平均每年费用最少）．10．（5分）下列说法中所有正确的命题的序号是①“x＜2”是“x2＜4”成立的充分非必要条件②已知a，b∈R，则“ab＞0”是“”的必要非充分条件③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真④设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＜0”是“S3＜S2”成立的充要条件．11．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．12．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（b＞a＞0）的最大值为2，则的最小值为．13．（5分）对于数列{a n}，定义H n=为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n=3n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S5对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是．14．（5分）已知a，b均为正数，且ab=a+4b，则的最小值为．二、解答题（共10小题，满分130分）15．（14分）设f（x）=ax2+bx+6（a，b∈R）（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求a，b的值（2）记b=a2，若f（﹣1）＞0且f（﹣2）＜0，求a的取值范围．16．（14分）命题p：已知实数x，y满足约束条件，二元一次不等式2x+y﹣2a≤0恒成立，命题q：设数列{a n}的通项公式为a n=若∃n∈N*，使得a n≤a（1）分别求出使命题p，q为真时，实数a的取值范围（2）若命题p与q真假相同，求实数a的取值范围．17．（14分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=n2（n∈N*）（1）记b n=2，求数列{b n}的前n项和T n（2）记c n=，且数列{c n}的前项n和为M n，若不等式M n＜k，对任意恒n∈N*成立，求实数k的最小值．18．（16分）某服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x≤a）万元满足m=3﹣，已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数（2）该服装厂2017年的促销费用太投入多少万元时，利润最大？19．（16分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*），设a1=1（1）若△a n﹣a n=1，求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式（2）若△a n﹣a n=2n，又数列{b n}满足a n+1=2a n b n①求数列{a n}的前n项和S n②求证：数列{b n}中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣2ax（1）若任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤3恒成立，求实数x的取值范围（2）求证：对任意x1，x2∈R，都有f（）[f（x1）+f（x2）]成立（3）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立，求出M（a）的解析式．21．（10分）矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求A﹣1，B．22．（10分）已知矩阵M=的两个特征向量α1=，α2=，若β=，求M2β23．（10分）解关于x的不等式：ax2+（2﹣a）x﹣2＞0．24．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n与2a n的等差中项为3（n ∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式（2）是否存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由（3）设=•（）n，n∈N*，若集合M={n|b n≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市如东市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，ax﹣2＞0”的否定为∀x∈R，ax﹣2≤0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题：“∃x∈R，ax﹣2＞0”的否定为：∀x∈R，ax﹣2≤0．故答案为：∀x∈R，ax﹣2≤02．（5分）不等式≥1的解集是{x|0＜x≤1} ．【解答】解：不等式≥1可化为﹣1≥0，通分可得≥0，即≤0，解得0＜x≤1，故答案为：{x|0＜x≤1}．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2S3﹣3a3=10，则数列{a n}的首项为．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2S3﹣3a3=10，∴2﹣3（a1+2d）=10，解得：a1=．故答案为：．4．（5分）关于x的不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜4，则实数m的取值范围是∅．【解答】解：关于x的不等式|x﹣m|＜1，解得m﹣1＜x＜m+1，关于x的不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜4，可得（1，4）⊊（m﹣1，m+1），即为m﹣1＜1，且m+1＞4，即m＜2且m＞3，则m∈∅．故答案为：∅．5．（5分）若正项等比数列{a n}满足a2015+a2017=4，则a2016的最大值为2．【解答】解：正项等比数列{a n}满足a2015+a2017=4，即有a 2015+a2017=≥2=2a2016，则2a2016≤4，可得a2016≤2，当且仅当a2015=a2017=2时取得等号，即最大值2．故答案为：2．6．（5分）若直线y=ax上存在点（x，y）满足条件，则实数a的取值范围为[﹣1，2] ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，解得x=1，y=2，即交点坐标A（1，2）．解得B（1，﹣1）要使直线y=ax上存在点（x，y）满足约束条件，可得﹣1≤a≤2，故实数a的取值范围为[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．7．（5分）若等比数列{a n}的前n项和为S n，，则公比q=1或．【解答】解：∵∴a1+a2+a3=则a1+a2=3∴化简得2q2﹣q﹣1=0解得q=1或故答案为：1或8．（5分）设{a n}与{b n}是两个等差数列，它们的前n项和分别为S n和T n，若=，那么=．【解答】解：=，不妨设：S n=n（3n﹣1），T n=n（4n﹣3）．则a6=S6﹣S5=6×（3×6﹣1）﹣5×（3×5﹣1）=32．b5=T5﹣T4=5×（4×5﹣3）﹣4×（4×4﹣3）=33．∴=．故答案为：．9．（5分）某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用10年报废最合算（即平均每年费用最少）．【解答】解：设这种汽车最多使用x年报废最合算，用x年汽车的总费用为10+1.5x+=10+1.5x+0.1x2万元，故用x年汽车每年的平均费用为y=0.1x++1.5≥2+1.5=3.5万元．当且仅当x=10成立．故答案为：10．10．（5分）下列说法中所有正确的命题的序号是②③④①“x＜2”是“x2＜4”成立的充分非必要条件②已知a，b∈R，则“ab＞0”是“”的必要非充分条件③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真④设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＜0”是“S3＜S2”成立的充要条件．【解答】解：①由于x2＜4⇔﹣2＜x＜2，可得“x＜2”是“x2＜4”成立的必要非充分条件，故①错；②已知a，b∈R，ab＞0即有＞0，且＞0，则+≥2，当且仅当a=b时，取得等号，“ab＞0”是“”的必要非充分条件，故②对；③一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，故③对；④“a1＜0”可得““a1q2=a3＜0”即有“S3＜S2”；反之，若“S3＜S2”即“a1q2=a3＜0”，可得“a1＜0”，则“a1＜0”是“S3＜S2”成立的充要条件，故④对．故答案为：②③④．11．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．=S n S n+1，∴S n+1﹣S n=S n S n+1，【解答】解：∵a n+1∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，解得S n=﹣．故答案为：．12．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=ax+by（b＞a＞0）的最大值为2，则的最小值为．【解答】解：作出约束条件表示的平面区域：得到如图的四边形OAB及其内部，其中A（1，1），B（1，0），O（0，0），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l与直线重合时，目标函数z达到最大值，=F（1，1）=2，即a+b=2．∴z最大值因此，=（）×（a+b）=[1+2+（）]，∵a＞0，b＞0，可得≥2≥2，∴当且仅当a=b，a+b=2时，则的最小值为：．故答案为：．13．（5分）对于数列{a n}，定义H n=为{a n}的“优值”，现在已知某数列{a n}的“优值”H n=3n+1，记数列{a n﹣kn}的前n项和为S n，若S n≤S5对任意的n恒成立，则实数k的取值范围是[] ．【解答】解：由题意可得：H n==3n+1，则a1+3a2+…+3n﹣1a n=n•3n+1，当n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=（n﹣1）•3n，两式相减可得：3n﹣1a n=n•3n+1﹣（n﹣1）•3n，则a n=6n+3，当n=1时，a1=9，上式对a1也成立，故a n=6n+3，n∈N+，则a n﹣kn=（6﹣k）n+3，则数列{a n﹣kn}为等差数列，故S n≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立可化为a5≥0，a6≤0，即，解得≤k≤，故答案为：[]．14．（5分）已知a，b均为正数，且ab=a+4b，则的最小值为6．【解答】解：∵a，b均为正数，且ab=a+4b，∴+=1，则=+b2﹣2（+）=+b2﹣2，+b=（+）（+b）=2++≥2+2=4，当且仅当a=4b时，取得等号，即最小值4，由（+b2）（1+1）≥（+b）2≥16，当且仅当a=8，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴+b2﹣2≥8﹣2=6，则的最小值为6．故答案为：6．二、解答题（共10小题，满分130分）15．（14分）设f（x）=ax2+bx+6（a，b∈R）（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求a，b的值（2）记b=a2，若f（﹣1）＞0且f（﹣2）＜0，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+6（a，b∈R），若不等式f（x）＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则2和3是方程ax2+bx+6=0的两个实数根，由根与系数的关系知，解得a=﹣1，b=5；（2）记b=a2，∴f（x）=ax2+a2x+6，由f（﹣1）＞0且f（﹣2）＜0，得，解得﹣2＜a＜﹣1，∴a的取值范围是﹣2＜a＜﹣1．16．（14分）命题p：已知实数x，y满足约束条件，二元一次不等式2x+y﹣2a≤0恒成立，命题q：设数列{a n}的通项公式为a n=若∃n∈N*，使得a n≤a（1）分别求出使命题p，q为真时，实数a的取值范围（2）若命题p与q真假相同，求实数a的取值范围．【解答】解：约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数z=2x+y过点A时，目标函数取得最大值．由，解得A（4，2），则z=2x+y的最大值为10．可得a≥5；命题q：设数列{a n}的通项公式为a n=若∃n∈N*，使得a n≤a，可得：n+≥6，当且仅当n=3时取等号，所以a≥6．（2）两个命题都是真命题可得：，∴a≥6．两个命题都是假命题时可得可得a＜5，综上：a＜5或a≥6．17．（14分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=n2（n∈N*）（1）记b n=2，求数列{b n}的前n项和T n（2）记c n=，且数列{c n}的前项n和为M n，若不等式M n＜k，对任意恒n∈N*成立，求实数k的最小值．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n，满足S n=n2（n∈N*）则：当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1．（n=1符合该式），所以：a n=2n﹣1．记b n=2=22n﹣1=2•4n﹣1，所以：，=．（2）记c n==，则：M n=+…+]，=所以：，即k的最小值为．18．（16分）某服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x≤a）万元满足m=3﹣，已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数（2）该服装厂2017年的促销费用太投入多少万元时，利润最大？【解答】解：（1）∵由题意知，每件产品的销售价格为2×．∴利润y=m×2×﹣（8+16m+x）=8+16m﹣x=8+16（3﹣）﹣x=56﹣﹣x，x∈[0，a}，即y=56﹣﹣x，x∈[0，a}，（2）∵y=56﹣﹣x=57﹣[+（x+1）]≤57﹣2=49，当且仅当=x+1时，即x=3时取等号，∵x∈[0，a]，∴当a≥3时，当象时，y有最大值，当a＜3时，易知y关于x为增函数，∴当x=a时，y最大，答：当a≥3时，服装厂2017年的促销费用太投入3万元时，利润最大，当a＜3时，服装厂2017年的促销费用太投入a万元时，利润最大，19．（16分）数列{a n}，定义{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*），设a1=1（1）若△a n﹣a n=1，求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式（2）若△a n﹣a n=2n，又数列{b n}满足a n+1=2a n b n①求数列{a n}的前n项和S n②求证：数列{b n}中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积．【解答】解：（1）证明：△a n﹣a n=1，=2a n+1，即为a n+1+1=2（a n+1），可得a n+1则{1+a n}是首项和公比均为2的等比数列，可得1+a n=2n，即a n=2n﹣1；（2）△a n﹣a n=2n，即a n+1=2a n+2n，可得=+，则数列{}是首项和公差均为的等差数列，则=n，即a n=n•2n﹣1，①前n项和S n=1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣1，2S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减可得﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，可得S n=1+（n﹣1）•2n；=2a n b n，且a n=n•2n﹣1，②证明：由a n+1可得b n=，对给定的n∈N*，若存在k，t≠n，k，t∈N*，只需=•，即t=，取k=n+1，则t=n（n+2），故对于数列{b n}中的任意一项b n=，总存在b n+1=，=，使得b n=b n+1•b n（n+2），与b n（n+2）则数列{b n}中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣2ax（1）若任意a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤3恒成立，求实数x的取值范围（2）求证：对任意x1，x2∈R，都有f（）[f（x1）+f（x2）]成立（3）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立，求出M（a）的解析式．【解答】解：（1）∵任意a∈[﹣1，1]，x2﹣2ax≤3恒成立，令g（a）=﹣2ax+x2，a∈[﹣1，1]，则g（a）max≤3，故，解得：﹣1≤x≤1；（2）对任意x1，x2∈R，2f（）﹣[f（x1）+f（x2）]=2﹣4a﹣+2ax1﹣+2ax2=﹣﹣=﹣≤0，故f（）≤[f（x1）+f（x2）]；（3）由a＞0，f（x）=x2﹣2ax=（x﹣a）2﹣a2，当﹣a2＜﹣5，即a＞时，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=﹣5的较小的根，即M（a）=a﹣；当﹣a2≥﹣5，即0＜a≤时，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是x2﹣2ax=5的较大的根，即M（a）=a+；所以M（a）=．21．（10分）矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求A﹣1，B．【解答】解：∵矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，∴由逆矩阵公式，得：A﹣1==，∴B=A﹣1AB==．22．（10分）已知矩阵M=的两个特征向量α1=，α2=，若β=，求M2β【解答】解：设矩阵Mr特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由，解得m=n=0，λ1=2，λ2=1，∵β==α1+2α2，∴M2=4．23．（10分）解关于x的不等式：ax2+（2﹣a）x﹣2＞0．【解答】解：不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＞0化为（ax+2）（x﹣1）＞0，当a=0时，不等式化为x﹣1＞0，解得x＞1；当a＞0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＞0，且﹣＜1，解不等式得x＜﹣或x＞1；当a＜0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，若a＜﹣2，则﹣＜1，解不等式得﹣＜x＜1；若a=﹣2，则﹣=1，不等式化为（x﹣1）2＜0，解得x∈∅；若﹣2＜a＜0，则﹣＞1，解不等式得1＜x＜﹣；综上，a=0时不等式的解集为{x|x＞1}；a＞0时不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}；a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}；a=﹣2时，不等式的解集为∅；﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|1＜x＜﹣}．24．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n与2a n的等差中项为3（n ∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式（2）是否存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由（3）设=•（）n，n∈N*，若集合M={n|b n≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n与2a n的等差中项为3（n ∈N*）则：4S n+2a n=6①，当n≥2时，4S n﹣1+2a n﹣1=6②，①﹣②得：，所以数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．（2）存在正整数k，使不等式k（﹣1）n a n2＜S n（n∈N*）恒成立，即：恒成立，当n为奇数时，对任意的正整数k不等式恒成立，当n为偶数时，等价于恒成立，设，（0）则：2kt2+t﹣3＜0对于0恒成立，故：f（t）=2kt2+t﹣3在单调递增，故：＜0，解得：k＜12，所以k的最大值为11．（3）设=•（）n，n∈N*，，所以：，，当n=1时，b2＞b1，当n≥2时，b n+1＜b n，，b2=2，，，．集合M={n|b n≥λ，n∈N*}恰有4个元素，所以：．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试(二)数学试题 Word版含解析

2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）数学试题（解析版）一、填空题1．命题:p x R ∃∈，使得210x +≤的否定为___________. 【答案】x R ∀∈，使得210x +>【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：命题:p x R ∃∈，使得210x +≤的否定为x R ∀∈，使得210x +>.2．抛物线28x y =的准线方程为_______.【答案】2y =-【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为2y =-,填2y =-3．在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 【答案】22 【解析】试题分析：因为28511211a a a +=⇒=，所以31153422.a a a +==考点：等差数列性质4．下列命题：①54>或45>；②命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为______. 【答案】1【解析】①真，因为p 或q 命题是，p,q 中，只要一个为真即为真。

②真，否命题为：“若ab ，则a cb c ++”，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式方向不变。

③错，逆命题为：“若两上四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”，为错，如等腰梯形的对角线相等，但不是矩形。

所以填1.5．能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为________．【答案】2【解析】因为，故，等号成立的条件为，故当时函数值等于3.此时不满足题干。

故答案为2 。

点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。

6．“3x y +≥”是“1x ≥或2y ≥”的________条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）【答案】充分不必要【解析】不妨设P:“3x y +≥”,q:“1x ≥或2y ≥”p ⌝： 3x y +<， :1q x ⌝<且2y <，显然,q p ⌝⇒⌝而且p ⌝推不出q ⌝，所以p q ⇒，且推不回去，即“3x y +≥”是“1x ≥或2y ≥”的充分不必要条件，填充分不必要。

2017-2018学年江苏省如东高级中学

2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．命题:p x R ∃∈，使得210x +≤的否定为___________. 2．抛物线28x y =的准线方程是______．3．在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______.4．下列命题：①54>或45>；②命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为______.5．能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为________．6．“3x y +≥”是“1x ≥或2y ≥”的________条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）7．已知双曲线2219x y a-=的右焦点为)，则该双曲线的渐近线方程为_______.8．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),1-∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是________.9．设,x y 满足0{ 1y y x x y >≤+≤，则3x y +的最大值为______.10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知，是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是____．11．在等比数列{}n a 中， 1401a a <<=，则能使不等式12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数n 是______.12．已知实数满足，，则的最小值为______．13．各项均为正数的等比数列{}n a 中， 11218(2,)8m m a a a a m m N +=⋅⋅⋅=>∈，，若从中抽掉一项后，余下的1m -项之积为(1m -，则被抽掉的是第________项．14．设,,a b c 是正实数，满足b c a +≥，则b c c a b++的最小值为________．二、解答题15．命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），命题q ：实数x 满足12{ 302x x x -≤+≥-. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为()14,0F -， ()24,0F ，且经过点()3,1P . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M 在椭圆上，且1212OM PF PF λ=+，求λ的值. 17．已知各项均为正数的数列{}n a 的首项11a =， n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足：()*11110,n n n n n n n n a S a S a a a a n N λλ++++-+-=≠∈.（1）若123,,a a a 成等比数列，求实数λ的值；（2）若12λ=，求证：数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等差数列；（3）在（2）的条件下，求n S .此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号18．如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米， CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点. MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行.当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）.（1）设MN 与AB 之间的距离为x （502x ≤<且1x ≠）米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线交椭圆C 于A ， B 两点.（i ）若直线经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=， PB BF μ=.求证：λμ+为定值；（ii ）若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB ∆面积的取值范围.20．若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N k a n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩ 则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”.（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期阶段测试（二）数学试题数学答案参考答案1．x R ∀∈，使得210x +>【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：命题:p x R ∃∈，使得210x +≤的否定为x R ∀∈，使得210x +>. 2．2y =-【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为2y =-,填2y =- 3．22 【解析】试题分析：因为28511211a a a +=⇒=，所以31153422.a a a +==考点：等差数列性质 4．1【解析】①真，因为p 或q 命题是，p,q 中，只要一个为真即为真。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。

2017-2018学年江苏省南通市如东高级中学高二数学上期中考试试题

2017-2018学年度第一学期期中学情检测高二数学第I卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置..1•命题：“ x WR，ax _2 .0 ”的否定为_______________ .12.不等式一 A 1的解集是_________ •x3•已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且2S3 -3a3 =10，则数列3｝的首项为_________________________ •4.关于X的不等式〔x-m.：1成立的充分不必要条件是1：：：X :：; 4，则实数m的取值范围是___________ •5. ______________________________________________________________ 若正项等比数列g｝满足玄2015 ^2017 =4，则a2016的最大值为_____________________________________ •J x :: y _3 < 06.若直线y r ax上存在点x , y满足条件x _2 y _3迄0，则实数a的取值范围x A 1为___________ •3 97.等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知a3 , S3 ，则公比q = •2 2S 3 n —18.设｛a.｝与｛b n｝是两个等差数列，它们的前n项和分别为S n和T n，若,那么T 4n _3n---- ----------------------------------------- •b59.某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险，养路费，汽油费共 1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用_______________ 年报废量合算（即年平均费用最少）10. _______________________________________ 下列说法中所有正确命题的序号是•①“ x ：：：2 ”是“ x2：：：4 ”成立的充分非必要条件；b a②a、b • R，则“ ab .0 ”是“ —一 .2”的必要非充分条件；a b③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④设等比数列｛ a”｝的前n项和为S n ,则“ a1 ：：： 0 ”是“ S3 ::: S? ”成立的充要条件.11.设S n是数列｛a n｝的前n项和，且a^-1, a* ’二,，则S n二__________________________。