(新)高一数学方程的根与函数的零点教案

课题: 《方程的根与函数的零点》

一、教学目的: 1、知识与技能：

(1)、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一次函数、二次方程、复合函数……），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系；

(2)、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；

(3)、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间； (4)、体会函数与方程和数形结合的思想。 2、过程与方法：

培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。

3、情感态度与价值观：

在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。

二、教学重难点

重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点判断方法； 难点：探究并发现零点存在性定理及其应用

三、教学过程

1、创设问题情境，引入新课 问题1 求下列方程的根

(1)、3x +2=0； (2)、0322=--x x ； (3)、062=-+x Inx ；

师生互动:问题1让学生通过自主解前2小题，复习一元一次方程与一元二次方程根情形。第3小题学生自主完成遇到困难，合作交流用所学的知识也无法解决

设计意图:问题1（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。

问题2

设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。并通过上表得出：

一元二次方程的实数根=二次函数图像与x 轴交点的横坐标（方程根的个数是对应函数图像与X 轴交点的个数）。

问题3：完成表格，并观察一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根与相应二函数

)0(2≠++=a c bx ax y 图象与x 轴交点的关系？

师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。 设计意图: 采用表格有利于帮助学生对知识进行疏理，从而初步体会利用二次函数图像判断相应方程根的存在性和个数，体现数形结合的思想方法。问题2到问题3创设符合学生从特殊到一般的认知过程，注重数形结合。以学生已有的认知为生长点，得到函数零点新知识，使新旧知识顺利的衔接并有机联系起来。并得到结论：一元二次方程的实根就是相应二次函数图像与X 轴的交点的横坐标。

2、建构函数零点概念

函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

等价关系 (1)方程f(x)=0有实数根⇔(2)函数y=f(x)有零点⇔(3)函数y=f(x)的图

象与x 轴有交点

问题4：（1）、函数)3)(2)(1()(-+-=x x x x f 的零点为（） A 、（1,0），（-2,0），（3,0） B 、1,3 C 、（0,1）（0,-2）(0,3) D 、1，-2,3 （2）、求函数的零点：32)(-=x x f

师生互动:让学生思考回答，并请两位同学回答。

设计意图: 为了帮助学生正确理解并掌握零点概念问题设置2个问题（1）强调：零点指的是

一个实数（2）揭示函数()

x f 的零点0x ()0

0=⇔x f 并把概念符号化（3）让学生从数与

形两个方面去寻找零点，既能让学生巩固零点的概念又经历三个等价的过程，从而很自然得出3个命题的等价关系，让学生体会到由具体到抽象的数学思想，并学会求函数零点的步骤格式。

问题5：(1)、思考现有两组图，哪一组图能说明他的行程一定曾渡河第一组第二组

(2)、第一组情况，若将河流抽象成X轴，前后的两个位置视为A、B两点。请大家用连续不断的曲线画出他的可能路径。

若所画曲线能表示为函数，设A点的横坐标为a,B点的横坐标为b,问：函数在区间（a，b）内一定存在零点么？

3、发现零点存在性定理

如果函数

()x f

y=

在区间

[]b a,

上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

()()0<

•b

f

a

f

，那么，函数

()x f

y=

在区间

()b a,

内有零点，即存在

()b a

c,

∈

使得()0=

c

f

这个c也就是方程

()0=

x

f

的根。

思考1：你能说出应用零点存在性定理应注意哪几个条件？

思考2：如何判断闭区间上零点存在且唯一？

师生互动:

借助以上4个图形，引导学生注意应用定理时三个条件缺一不可（1）闭区间；（2）图像连续；（3）端点函数值异号。注意强调区间中零点不一定唯一。通过观察图（3）（4）完成思考2通过图（2）B点的运动让学生明白零点存在性定理不可逆。（若函

()x f

在

()b a,

内有

(4)

零点，不一定得出()0)(<•b f a f 的结论）

设计意图: 引导学生理解函数零点存在性定理，分析其中各条件的作用，并通过特殊图象来帮助学生理解,将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质．从而突出本节的重点，突破难点。

思考：当定理增加什么条件时，函数在区间（a,b ）上只有一个零点？

4、零点存在性定理应用

问题6：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数？

思考：试判断这个函数的单调性并加以证明。

师生互动:给学生充分的时间让学生先独立思考再合作交流，教师利用几何画板作出函数图象让学生直观感知零点的存在性及零点存在的大概区间，学生利用计算器列表找出大概的区间，利用函数的单调性判断零点存在且唯一。

设计意图: 本道例题让学生体会如何运用零点存在性定理及函数图象和函数基本性质（特别是函数单调性）在确定零点 中的作用，学生用计算器得出大致区间，既培养学生的估算能力也为下节课用二分法求方程近似解做好准备，思考题为了进一步让学生体会：用零点存在性定理判断零点存在，用单调性证明零点唯一。

四、归纳小结

1、函数零点的概念；

2、方程的根与函数的零点等价关系；

3、函数的零点判断方法:(1)、方程法；(2)、图像法；(3)、定理法；

4、函数零点的存在性定理；

5、体会函数与方程和数形结合的思想。