北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编——集合与不等式

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北京市西城区2014 — 2015学年高三(文)第一学期期末试卷

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B = （）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-【答案】B 【解析】“0x ∀>”的否定为“0x ∃>”，“2log 2x x >”的否定为“2log 2x x ≤” 所以，p ⌝为：2log 0,2x x x ∃>≤ 故答案为：B 【考点】全称量词与存在性量词【难度】 13．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A 为锐角，2a b =，sin B =，则（）【答案】B 【解析】{}01B x x x =<>或，所以{}1,2A B =-故答案为：B 【考点】集合的运算【难度】 12．设命题p ：2log 0,2x x x ∀>>，则p ⌝为（）（A ）2log 0,2x x x ∀>< （B ）2log 0,2x x x ∃>≤ （C ）2log 0,2x x x ∃>< （D ）2log 0,2x x x ∃>≥（A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin 3A =（D ）2sin 3A =【答案】A 【解析】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin 2sin A aB b==，所以sin A =。

因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=故答案为：A【考点】正弦定理【难度】 14．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】C【解析】3x =时，328y ==，833<； 4x =时，4216y ==，1643<； 5x =时，5232y ==，3253<；6x =时，6264y ==，6463>，输出6x =。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三第一学期期末统一考试数学(文史类)试卷

北京市朝阳区2014-2015学年度高三第一学期期末统一考试数学（文史类）试卷2015.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =A. 1B. C. 2D. 2. 已知全集U =R ，若集合{}20A x x x =-<，则U A =ðA. {0x x ≤，或}1x ≥B. {0x x <，或}1x > C. }{01x x << D.{}1x x ≥ 3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4正视图侧视图俯视图4.执行如右图所示的程序框图,则输出的i 的值是A.3B.4C.5D.65.若,a b 是两个非零的平面向量，则 “a =b ”是“()()=0⋅a +b a b -”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，塔AB 底部为点B ，若,C D 两点相距为100m 并且与点B 在同一水平线上，现从,C D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45o 和30o ，则塔AB 的高约为（精确到0.1m1.73≈1.41≈）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57.已知定义在R 上的函数(1)1,()221,x x x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,28. 如图，在正方体中1111ABCD A B C D -，M 为BC 的中点，点N 在四边形11CDDC 及其内部运动．若11MN AC ⊥，则N 点的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D.双曲线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9. 双曲线22:14x C y -=的离心率是；渐近线方程是． 10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表如下:则这80户居民中, 家庭人均月收入在[)2800,3400元之间的有户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 . ACD A 1B 1C 1D 1 M N .11. 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是______.12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢，则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有人.13. 在平面直角坐标系中，若关于,x y 的不等式组0,,(1)y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是______.14. 设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分13分）已知平面向量a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --，x ∈R ，函数()()f x =⋅-a b c .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin α的值. 17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF //平面PBC ；（Ⅱ）求证： CE BF ⊥；（Ⅲ）若2AB =，3PD =，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由.18.（本小题满分13分）已知公比为q 的等比数列{}n a ()n *∈N 中，22a =，前三项的和为7.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若01q <<，设数列{}n b 满足12...n n b a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ,求使01n b <<的n 的最小值.19. （本小题满分13分）已知函数()e ln x f x a x =-，a ∈R . （I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值： DAPCEFB（Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥.20. （本小题满分14分）已知离心率为的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）2015.1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则61 ()==305 P A.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15. ………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B 3，C ），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D ，则D 中的结果共有12个，它们是：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C ），（B 1，C ），（B 2，C ），（B 3，C ），故所求概率为124()==155P D ．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45. ………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）因为a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --，所以()()sin cos ,sin cos x x x x -=+-b c ，()()f x =⋅-a b c =sin (sin cos )cos (sin cos )x x x x x x ++-.则()f x =22sin 2sin cos cos x x x x +-=sin 2cos 2x x -)4x π=-.则当222242k x k ππ3ππ+≤-≤π+时，即88k x k 3π7ππ+≤≤π+时，函数()f x 为减函数，k ∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间是,88k k 3π7π⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())4f x x π=-，又22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，)42απ-=，1sin()42απ-=.因为 22sin ()cos ()144ααππ-+-=，所以cos()4απ-=. sin sin ()44ααππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos cos()sin 4444αα=-+-.所以当cos()42απ-=时，sin α=122224⨯+⨯=；当cos()42απ-=时，sin α=1(22224⨯+-⨯=. ………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PDB ∆中，因为点E 是BD 中点，点F 是PD 中点，所以EF //PB ．又因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以EF //平面PBC ．…………4分（Ⅱ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ，所以PD CE ⊥．又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点，所以CE BD ⊥．因为BDPD D =，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PBD ，所以CE BF ⊥． …………9分（Ⅲ）点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．说明如下：由（Ⅱ）可知， CE ⊥平面PBF ．又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 设PF x =．由2AB =得BD =CE =，所以11123263P BCF C BPF V V PF BD CE x --==⨯⨯⋅⋅=⨯=．由已知2433x =，所以2x =．因为3PD =，所以点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．…………14分18. （本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得，212327a a a a =⎧⎨++=⎩，解得2q =，11a =或12q =，14a =．DAPCEF B则数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或31()2n n a -=，n *∈N ……………5分（Ⅱ）因为01q <<，所以31()2n n a -=，n *∈N .(5)210...(3)21211...()()22n n n n n b a a a ---+++-=⋅⋅⋅==，n *∈N . 由01n b <<，即(5)210()12n n -<<，即(5)02n n ->，即即5n >.则使01n b <<的最小的n 的值为6． …………………13分19. （本小题满分13分）（I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为()e xaf x x'=-, 又1x =是()f x 的极值点,所以(1)e 0f a '=-=，解得e a =. 经检验，1x =是()f x 的极值点，所以a 的值为e . ………5分（Ⅱ）证明：方法1：当e a =时，()e eln x f x x =-.所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 若01x <<，则1<e e x <，所以e e x x <，所以e e<0x x -. 所以函数()f x 在(0,1)单调递减.若1x >，则e >e x ，所以e >e x x ，所以e e>0x x -. 所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增. 所以当1x =时，min ()(1)e f x f ==.(0x →时， e eln x x -→+∞;x →+∞时， e eln x x -→+∞.)所以()e f x ≥. ………13分方法2：当e a =时，()e eln x f x x =-，所以e e e ()e x xx f x x x -'=-=. 设()e e x g x x =-，则()e (1)x g x x '=+，所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(0,1)单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞单调递增.（接下来表述同解法1相应内容）所以()e f x ≥. ………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=> 由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114b b+=．解得22b =．故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分（Ⅱ）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立.即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-.因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+．所以2288214A k k x k --=+．当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k----+-==+-+．由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠，且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++ 21614k k =+ 由于12k >，故 216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k <<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t =+在1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增.则当12t>时，()(4,)f t∈+∞，即S∈()0,4.)所以四边形APBQ面积S的取值范围是()0,4.………14分。

《解析》北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析

北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4B．2C．D．18．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1C．|m| D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．12．（4分）设α是第二象限角，，则cosα=．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．16．（4分）关于函数，给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有；②对于任意的x∈R，都有；③对于任意的x∈R，都有．其中，全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f （f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．22．（4分）函数f（x）=的零点是．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f的值．北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：直接由sinα＜0，cosα＞0可得α为第四象限的角，结合α∈（0，2π）得到选项．解答：解：由sinα＜0，cosα＞0，可得α为第四象限的角，又α∈（0，2π），∴α∈．故选：D．点评：本题考查了三角函数的象限符号，是基础的会考题型．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的加减和数乘坐标运算，计算即可得到所求向量．解答：解：向量=（2，8），=（﹣4，2），若=2﹣，则=（4，16）﹣（﹣4，2）=（8，14）．故选B．点评：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量的加减和数乘运算，属于基础题．3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解答：解：由于角α的终边经过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，故选：B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的平行四边形法则、中点的性质即可得出．解答：解：∵D是BC的中点，∴=，故选：A．点评：本题考查了向量的平行四边形法则，属于基础题．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：化简可得y=1﹣sin2x，由周期公式可得答案．解答：解：化简可得y=（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x，∴由周期公式可得T==π，故选：C点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性，属基础题．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据余弦函数的性质即可得到结论．解答：解：若y=cos（x+φ）的一个零点是，则cos（+φ）=0，即+φ=kπ+，k∈Z即φ=kπ+，当k=0时，φ=，故选：A点评：本题主要考查余弦函数的求值，根据函数零点的定义结合余弦函数的性质是解决本题的关键．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4B．2C．D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件即数量积为0，计算即可得到．解答：解：=（+）•=+=+=0+==2．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的垂直的条件和向量的平方与模的平方的关系，考查运算能力，属于基础题．8．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简解析式可得f（x）=2cos（x+），当x∈[0，π]时，x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]．解答：解：∵f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）∴当x∈[0，π]时，x+∈[，]∴由正弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]故选：A．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：将y=sinx化为y=cos（x﹣），再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．解答：解：y=sinx=cos（x﹣），，故只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位．故选C．点评：本题考查了三角函数的图象变换，中间用到了诱导公式，属于常考题型．10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1C．|m| D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，配方整理，再由二次函数的最值求法，即可得到所求最值．解答：解：，为单位向量，且•=m，则|+t|2=+t2+2t=1+t2+2tm=（t+m）2+1﹣m2，当t=﹣m时，|+t|2取得最小值1﹣m2，则|+t|（t∈R）的最小值为．故选D．点评：本题考查平面向量的数量积的性质，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：利用向量共线的充要条件列出方程，解方程求出λ的值．解答：解：∵∴﹣1=2λ∴故答案为：．点评：解决有关向量共线的问题，应该利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等．12．（4分）设α是第二象限角，，则cosα=．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用sin2α+cos2α=1，结合α是第二象限角，即可求得cosα．解答：解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，属于基础题．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是（，）．考点：三角函数线；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正切函数的图象特征求得θ的取值范围．解答：解：若，且tanθ＞1，则θ∈（，），故答案为：（，）．点评：本题主要考查正切函数的图象特征，属于基础题．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的线性运算、向量相等即可得出．解答：解：∵向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解得，∴=．故答案为：．点评：本题考查了向量运算性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得其最大值．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinx•cosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴当sin（2x﹣）=1时函数取最大故答案为：点评：本题考查三角函数的最值，属基础题．16．（4分）关于函数，给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有；②对于任意的x∈R，都有；③对于任意的x∈R，都有．其中，全部正确结论的序号是①②③．．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象和性质进行判断即可．解答：解：①f（x）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），故①正确，②f（x+）=sin[2（x+）﹣）]=﹣sin（2x﹣）]，f（x﹣）=sin[2（x﹣）﹣）]=﹣sin（2x﹣），则f（x+）=f（x﹣）故②正确③f（）=sin（2×﹣）=sin=1为最大值，故x=是函数的对称轴，故③正确，故答案为：①②③．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式以及三角函数变换是解决本题的关键．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）原式利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入计算即可求出值；（Ⅱ）由tanα的值求出sinα与cosα的值，原式利用二倍角的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵tanα=﹣2，∴tan（α﹣）===3；（Ⅱ）∵α∈（，π），tanα=﹣2，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）当α=30°时，求得+的坐标，可得|+|的值．（Ⅱ）由条件求得（+）•（﹣）=0，从而证得向量+与﹣垂直．（Ⅲ）若向量与夹角为60°，根据两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得，从而得到角α的值．解答：（Ⅰ）解：当α=30°时，=（，），所以，+=（，），所以，|+|==．（Ⅱ）证明：由向量=（cosα，sinα），=（﹣，），得+=（cosα﹣，sinα+），﹣=（cosα+，sinα﹣），由，得向量+，﹣均为非零向量．因为（+）•（﹣）=﹣=（cos2α+sin2α）﹣（+）=0，所以向量+与向量﹣垂直．（Ⅲ）解：因为||=||=1，且向量与夹角为60°，所以=||•||•cos60°=，所以，即．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的条件，根据三角函数的值求角，属于基础题．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f （f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．考点：集合的相等．专题：集合．分析：（Ⅰ）利用集合相等得到f（0）=0，从而求b；（Ⅱ）讨论a与0的关系，在a≠0时，因为A=B，对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立，结合正弦函数的有界性得到，求得a的最大值．解答：（Ⅰ）证明：显然集合A≠∅．设x0∈A，则f（x0）=0．（1分）因为A=B，所以x0∈B，即f（f（x0））=0，所以f（0）=0，（3分）所以b=0．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=asinx，a∈Z．①当a=0时，显然满足A=B．（5分）②当a≠0时，此时A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，即B={x|asinx=kπ，k∈Z}．（6分）因为A=B，所以对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立．（7分）所以对于任意x∈R，，所以，（8分）即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．所以|a|＜π，（9分）所以整数a的最大值是3．（10分）点评：本题考查集合相等的运用以及正弦函数的有界性的运用，属于中档题．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是4．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和并集的运算，按照B中元素的个数依次写出满足条件的集合即可．解答：解：因为集合A={a，b}，满足A∪B={a，b，c}，所以B={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}共4个，故答案为：4．点评：本题考查并集及其运算，注意列举时按一定的顺序做到不重不漏，属于基础题．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的图象过点（4，2），代入幂函数的解析式求得即可．解答：解：∵4α=2，解得，故答案为：点评：本题主要考查幂函数的图象和性质，属于基础题．22．（4分）函数f（x）=的零点是﹣2或1．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：转化为或求解即可．解答：解：∵函数f（x）=∴或解得：x=1，或x=﹣2故答案：﹣2，1；点评：本题考查了分段函数的解析式的求解，函数的零点的求解属于中档题．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是（﹣2，2）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴不等式f（m）＞f（2），等价为f（|m|）＞f（2），即|m|＜2，解得﹣2＜m＜2，故答案为：（﹣2，2）；点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为2．考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由g（x）=x，D=[0，1]，代入即可得到答案．解答：解：根据已知中关于函数g（x）在D上的几何平均数为C的定义，结合g（x）=3x+1在区间[0，1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C==2，故答案为：2．点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的对称轴，得到，解出即可；（Ⅱ）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而得到答案．解答：（Ⅰ）解法一：因为f（x）=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，所以，f（x）的图象的对称轴方程为．由，得a=0．解法二：因为函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以必有f（0）=f（2）成立，所以﹣2a=0，得a=0．（Ⅱ）解：函数f（x）的图象的对称轴方程为．①当，即a≥2时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣2a．②当，即0＜a＜2时，因为f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为．③当，即a≤0时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递减，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=﹣（1+a）．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的最值问题，是一道中档题．．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．再利用函数的单调性的定义进行证明．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得，再分类讨论求得它的解集．解答：（Ⅰ）解：当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．证明如下：当a＞0，b＞0时，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，则．因为；又，所以△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，所以，当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，同理可得，f（x）在R上是减函数．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得．（*）①当a＜0，b＞0时，（*）式化为，解得．②当a＞0，b＜0时，（*）式化为，解得．点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解指数、对数不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f的值．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过g（x）=f（x）﹣x，利用x+2，x+3分别代替x推出方程，由条件①，②转化，即可推出g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）g（x+2）≥g（x），然后推出g（x+3）≤g（x），说明g（x）是以6为周期的周期函数所然后求解函数值．解答：（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为g（x）=f（x）﹣x，所以g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2，g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3．由条件①，②可得g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2≥f（x）+2﹣x﹣2=f（x）﹣x=g（x）；【（2分）】③g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3≤f（x）+3﹣x﹣3=f（x）﹣x=g（x）．④【（4分）】所以g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．（Ⅱ）解：由③得g（x+2）≥g（x），所以g（x+6）≥g（x+4）≥g（x+2）≥g（x）．【（6分）】由④得g（x+3）≤g（x），所以g（x+6）≤g（x+3）≤g（x）．【（7分）】所以必有g（x+6）=g（x），即g（x）是以6为周期的周期函数．【（8分）】所以g=g（335×6+4）=g（4）=f（4）﹣4=1．【（9分）】所以f=g+2014=2015．【（10分）】点评：本题考查抽象函数的应用，函数的周期性以及不等式的证明，难度比较大．。

北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试数学理-含答案

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（）（A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（）（A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）（A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（）（A ）(4,8) （B ）(4,)+? （C ）(0,4)（D ）(8,)+?侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12．如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B CD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值；（Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 1设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<；（Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤，解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ，所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p +13+q =1. ……………… 2分又因为14p =，所以q =512． ……………… 3分（Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立. 由上表可知， 1()2P A =，()P B p =.所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+?? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分（Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合），所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=，解得22e a =，3e b =. …………………5分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. …………………8分设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->，所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分（Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。

【数学】北京市西城区(普通校)2014-2015学年高一上学期期末考试

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟 A 卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（）（A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （）（A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（）（A ）35（B ）45-（C ）34（D ）34-4．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =（）（A ）1()2AB AC + （B ）1()2AB AC - （C ）1()2AB BC +（D ）1()2AB BC -5．函数2(sin cos )y x x =-的最小正周期为（）（A ）2π（B ）3π2（C ）π（D ）π26．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（）（A ）6π （B ）6π-（C ）3π（D ）3π-7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（）（A ）4（B ）2（C （D ）18．当[0,π]x ∈时，函数()cos f x x x =的值域是（）（A ）[2,1]-（B ）[1,2]-（C ）[1,1]-（D ）[-9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（）（A ）向左平移π3个单位（B ）向右平移π3个单位（C ）向左平移2π3个单位（D ）向右平移2π3个单位10．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（）（A （B ）1（C ）||m（D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 12．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_____． 14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()sin sin cos f x x x x =+⋅的最大值是_____． 16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 对于任意的x ∈R ，都有2()cos(2)3f x x π=-； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x ππ+=-；③ 对于任意的x ∈R ，都有()()33f x f x ππ-=+．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，其中(,)2π∈πα．（Ⅰ）求πtan()4-α的值；（Ⅱ）求sin 2α的值． 18．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa，1(2=-b ，其中α是锐角．（Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ；（Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直；（Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α． 19．（本小题满分10分）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ∈Z ，b ∈Z ．设集合{|()0}A x f x ==，{|(())0}B x f f x ==，且A B =．（Ⅰ）证明：0b =；（Ⅱ）求a 的最大值．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．已知集合{,}A a b =，则满足{,,}AB a b c =的不同集合B 的个数是_____．2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若()(2)f m f >，则实数m 的取值范围是_____．5．已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得M =成立，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．已知函数()31([0,1])g x x x =+∈，则()g x 在区间[0,1]上的几何平均数为_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值． 7．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数．（Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>． 8．（本小题满分10分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件： ① 对任意x ∈R ，有(2)()2f x f x +≥+；② 对任意x ∈R ，有(3)()3f x f x +≤+．设()()g x f x x =-．（Ⅰ）证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+；（Ⅱ）若(4)5f =，求(2014)f 的值．北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1A 卷 [必修模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.B ；3.B ；4.A ；5.C ；6.A ；7.B ；8.A ；9.C ； 10.D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12-； 12.1213-； 13. (,)42ππ； 14.32；15.12+； 16. ① ② ③. 注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-，得sin α=，【 8分】cos α=. 【10分】所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】 18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当30︒=α时，1)2=a ，【 1分】所以+a b =，【 2分】所以||+=a b = 【 4分】（Ⅱ）证明：由向量(cos sin )αα=，a，1(,22=-b ，得 1(cos ,sin 22+=-+ααa b ，1(cos ,sin 22-=+-ααa b ，由 π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 5分】因为 222213()()||||(sin cos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ，【 7分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 8分】（Ⅲ）解：因为||||1==a b ，且向量a 与b 夹角为60︒，所以 1||||cos 602︒⋅=⋅=a b a b . 【10分】所以 11cos 22-=αα，即 π1sin()62-=α. 【12分】因为 π02<<α，所以 πππ663-<-<α，【13分】所以 ππ66-=α，即3π=α. 【14分】 19.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：显然集合A ≠∅．设 0x A ∈，则0()0f x =．【 1分】因为 A B =，所以 0x B ∈，即 0(())0f f x =，所以 (0)0f =，【 3分】所以 0b =．【 4分】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin f x a x =，a ∈Z ．① 当0a =时，显然满足A B =．【 5分】 ② 当0a ≠时，此时{|sin 0}A x a x ==；{|sin(sin )0}B x a a x ==，即{|sin ,}B x a x k k ==π∈Z ．【 6分】因为 A B =，所以对于任意x ∈R ，必有sin a x k ≠π (k ∈Z ，且0)k ≠成立．【 7分】所以对于任意x ∈R ，sin k x a π≠，所以 1k aπ>，【 8分】即 ||||a k <⋅π，其中k ∈Z ，且0k ≠．所以 ||a <π，【 9分】所以整数a 的最大值是3．【10分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. 4；2.12； 3. 2-，1； 4. (2,2)-； 5. 2. 注：3题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--，所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】由212a-=，得0a =. 【 4分】解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立，【 2分】所以 20a -=，得0a =. 【 4分】（Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】 ② 当2012a-<<，即 02a <<时，因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】 7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数；【 1分】证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->，则 212121()()(22)(33)x x x x y f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0x x x x a a <>⇒->；又122133,0(33)0x x x xb b <>⇒->，所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】（Ⅱ）解：由(1)()2230x xf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*）【 6分】① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->，解得32log ()2ax b>-.【 8分】 ② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xa b-<，解得32log ()2ax b<-.【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为()()g x f x x =-，所以(2)(2)2g x f x x +=+--，(3)(3)3g x f x x +=+--．由条件①，②可得(2)(2)2()22()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≥+--=-=；③ 【 2分】 (3)(3)3()33()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≤+--=-=． ④ 【 4分】所以(3)()(2)g x g x g x +≤≤+．（Ⅱ）解：由③得 (2)()g x g x +≥，所以(6)(4)(2)()g x g x g x g x +≥+≥+≥．【 6分】由④得 (3)()g x g x +≤，所以(6)(3)()g x g x g x +≤+≤．【 7分】所以必有(6)()g x g x +=，即()g x 是以6为周期的周期函数．【 8分】所以(2014)(33564)(4)(4)41g g g f =⨯+==-=．【 9分】所以(2014)(2014)20142015f g =+=．【10分】。

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编-集合与不等式

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——集合与不等式（2015年1月·房山期末·1）已知集合{|1}M x x =>-，则（A ）0M ⊆（B ）1M -∉ （C ）{1}M -⊆ （D ）{1}M ∈（2015年1月·密云期末·1．已知集合}9,7,5,3,1{=U ，}7,5,1{=A ，则=A C UA ．}3,1{B ．}9,7,3{C ．}9,5,3{D ．}9,3{（2015年1月·顺义期末·1．设集合[]5.1A =-,(],0B =-∞, 则A B I 为A.[]5,0-B.[]0,1C.[)5,-+∞D.[)1,+∞（2015年1月·海淀期末·1.已知集合{}|1A x x =>，{}|2B x x =<，则集合A B =BA. ∅B. RC. {|12}x x <<D. {|12}x x ≤≤（2015年1月·石景山期末·3．设集合,A B 为全集U 的子集，则右图中阴影部分表示的集合是( )A ．AB ⋂C ．U B A ⋂ð B ．U A B ⋂ðD ． ()()U U A B ⋃痧（2015年1月·东城期末·1. 若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝A ．{0，1，2，3，4}B ．{1，2}C ．{0，4}D ．{3}（2015年1月·昌平期末·1）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,5,1,3,6U A B ===，则()U A B =ð（A ）{}4 （B ）φ （C ）{}1,2,4,5,6 （D ）{}1,2,3,5,6 （2015年1月·丰台期末·1．已知集合{}{}1,2,1,02===x x B A ，则集合A B 等于（）A ．{}2,1,0,1-B ．{0,2}C ．{1}D ．{0,1,2}（2015年1月·丰台期末·11．已知全集R,{|0},U A x x ==>则=A U C ；{|0}x x ≤（2015年1月·延庆期末·1．已知全集},4,3,2,1,0{=I ，集合}3,2,1{=M ，]3,0{=N ，则=N M C I )(A ．}4,3,0{B ． }0{C ．}3,2,1,0{D ．}4,3,2,1,0{（2015年1月·顺义期末·1.设集合{}2|20A x x x =-=, {}2,0,2B =-, 则A B =IA.{}0,2B.{}0,2-C.{}2,2-D.{}2,0,2-（2015年1月·密云期末·10已知集合{}{}2|1,|230=>=--<A x x B x x x ，则=A B . (1,3)（2015年1月·石景山期末·7. 设方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，0a <，那么20ax bx c ++>的解集是（）A ．1{|}x x x <C ．12{|}x x x x << B ．2{|}x x x >D ．12{|}x x x x x <>或（2015年1月·东城期末·11．已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么U P =ð {}11x x x ><-或．（2015年1月·西城期末·1．已知集合{,}A a b =，则满足{,,}AB a b c =的不同集合B 的个数是_____． 4（2015年1月·房山期末·17）（本小题共10分）设全集是实数集R ，集合{|42}A x x =-<<，{|11}B x m x m =-<<+．（Ⅰ）当2m =时，求A B ，B R ð；（Ⅱ）若A B =∅，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）当2m =时，{|13}B x x =<<，则 }{43A B x x =-<< ------------------3分{|13}B x x x =≤≥R 或ð， ------------------3分（Ⅱ）若A B =∅，则有12m -≥或14m +≤- ------------------2分即3m ≥或5m ≤-所以m 的取值范围为3m ≥或5m ≤-. ------------------2分（2015年1月·石景山期末·15.（本题满分8分）已知集合{|37}A x x =≤≤，{|0}B x x a =<<.（Ⅰ）若5a =，求A B ⋃和A B ⋂；（Ⅱ）若A B φ⋂≠，求a 的取值范围.解：2{|10210}{|37}A x x x x x =-+≤=≤≤ …………2分（Ⅰ）5a =，{|05}B x x ∴=<<{|07}A B x x ∴⋃=<≤， …………4分 {|35}A B x x ⋂=≤< …………5分（Ⅱ）若A B φ⋂≠，则3a > …………8分（2015年1月·东城期末·17．（本题满分10分）已知集合2{|560}, {|10}A x x x B x mx =-+==-= ，且A B A ⋃=，求实数m 的值组成的集合.17．（本题满分10分）解：2{|560}{2,3}A x x x =-+==，A B A ⋃=Q ，B A ∴⊆.当m =0时，B =∅Q ，B A ∴⊆.故m =0.当0m ≠时，由1{}B A m =⊆，得12m =或13m = 所以，实数m 的值组成的集合是11{0,,}32.（2015年1月·昌平期末·17）(本小题共12分) 已知全集{}{},13,0U A x x B x x a ==-≤≤=-≥R .（I ）当2a =时，求,U A B A B U I ð；（II ）若0,A B ∈I 求a 的取值范围.（写出解答过程）（17）(本小题共12分)解：（Ⅰ）当2a =时，{2}B x x =≥. 所以{1}A B x x =≥-. …………………………………2分因为{2}U B x x =<ð, …………………………………4分所以()={12}U A B x x -≤<ð. ………………………………6分（Ⅱ）当1a ≤-时，{13}A B x x =-≤≤,0A B ∈. ………………7分当13a -<<时，{3}AB x a x =≤≤. . ………………8分要使0A B ∈，只需10a -<≤. .……………9分当3a =时，{}3AB =，此时，0AB ∉. 当3a >时. A B φ=， . ……………10分此时，0A B ∉. ……………11分综上所述，当0a ≤时，0A B ∈I . ………12分（2015年1月·延庆期末·20．（本题8分）设全集为R ，集合}3|{+≤≤=a x a x A ，}51|{≤≤-=x x B C R .（Ⅰ）若4=a ，求B A ；（Ⅱ）若A B A = ，求实数a 的取值范围.解：解：（Ⅰ）当4=a 时，}74|{≤≤=x x A ，1|{-<=x x B 或}5>x ，∴}75|{≤<=x x B A . ………………………………4分（Ⅱ）若A B A = ，则B A ⊆，∴13-<+a 或5>a ，解得4-<a 或5>a . ∴实数a 的取值范围),5()4,(+∞--∞ . …………………………………8分（2015年1月·顺义期末·15．（本小题共13分）已知集合{}|23A x x =-<< ，{}|9B x m x m =<<+.（Ⅰ）若A B B =U ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若A B φ≠I ，求实数m 的取值范围.解：（Ⅰ）Q A B B =U ，∴A B ⊆，利用数轴可得293m m ≤-⎧⎨+≥⎩，解得62m -≤≤-∴实数m 的取值范围是[]6,2--————6分（Ⅱ）解法一：若A B φ=I ，利用数轴可得92,m +≤-或3m ≥，∴满足A B φ≠I 应取其补集，∴实数m 的取值范围是()11,3-————13分解法二：Q A B φ≠I ，利用数轴可得392m m <⎧⎨+>-⎩ 解得113m -<< ∴实数m 的取值范围是()11,3-（2015年1月·顺义期末·20．(本小题满分14分)设集合{1,2,3,...,}n S n =，若X 是n S 的子集，把X 中所有元素的和称为X 的“容量”（规定空集的容量为0），若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集． (Ⅰ) 写出4S 的所有奇子集；(Ⅱ) 求证：n S 的奇子集与偶子集个数相等；（Ⅲ）求证：当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．解：（Ⅰ）{1},{3}，{1,2},{1,4},{2,3},{3,4}，{1,2,4},{2,3,4}. --------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）对于n S 的每个奇子集A ，当1A ∈时，取{1}A B =ð，当1A ∉时，取{1}B A =，则B 为n S 的偶子集.反之，若B 为n S 的偶子集，当1B ∈时，取{1}B A =ð，当1B ∉时，取{1}A B =，则A 为n S 的奇子集.n S 的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应，所以n S 的奇子集与偶子集的个数相等. ---------------------------------------10分（Ⅲ）对于任意n i S ∈，（1）当1i >时，含i 的n S 的子集共有12n -个，由（Ⅱ）可知，对每个数i （1i >），在奇子集与偶子集中，i 所占的个数是相等的；（2）当1i =时，将（Ⅱ）中的1换成3即可，可知1i =在奇子集与偶子集中占的个数是相等的.综合（1）（2），每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等.所以n S 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.------------14分。

北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编：不等式

北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编不等式一、选择题1、（昌平区2015届高三上学期期末）已知0a b >>，则下列不等式成立的是A. 22a b <B.11a b> C. a b < D. 22a b > 2、（昌平区2015届高三上学期期末）在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人3、（大兴区2015届高三上学期期末）已知不等式组210,2,10x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥表示的平面区域为D ，若函数1y x m =-+的图像上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是（A ）1[0,]2（B ）1[2,]2-（C ）3[1,]2-（D ）[2,1]-4、（海淀区2015届高三上学期期末）设不等式组220,10,10x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D . 则区域D 上的点到坐标原点的距离的最小值是（）（A ）1（B（C ）12（D ）55、（石景山区2015届高三上学期期末）如果实数满足不等式组30,230,1.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（） A.1 B.2 C.3 D.4y x ,k6、（西城区2015届高三上学期期末）设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（）（A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）37、（朝阳区2015届高三上学期期中）某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为A. 3000B.3300C.3500D.40008、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）设集合()∅≠⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-=0,0,012,m y m x y x y x P ，集合(){}22|,<-=y x y x Q ，若Q P ⊆，则实数m 的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,B. ⎪⎭⎫⎝⎛∞+-,32 C. )31,32[-D. ),32[∞+-二、填空题1、（昌平区2015届高三上学期期末）若x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .2、（朝阳区2015届高三上学期期末）设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为3、（东城区2015届高三上学期期末）若实数,x y 满足10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最大值为_______4、（丰台区2015届高三上学期期末）若变量x ，y 满足条件210,0,,x y x y y k +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩且z x y =+的最大值是10，则k的值是_____5、（北京四中2015届高三上学期期中）已知实数,x y 满足221xy+=，则x y +的最大值是6、（北京四中2015届高三上学期期中）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的取值范围为 .7、（朝阳区2015届高三上学期期中）已知x ，y 满足条件3260,20,20.x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(2,0) 处取得最大值，则a 的取值范围是参考答案一、选择题1、D2、B3、D4、B5、B6、A7、B8、C提示：由图可知，不等式组所表示的区域非空当且仅当点（m m ,-）位于直线012=+-y x 的下方，即()12+-<m m ，由此解得31<m 。

2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题

2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（每小题4分，共40分） 1．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（）A.),31(+∞- B.)1,31(- C. )31,31(- D.)31,(--∞2．已知21{|log ,2},{|(),1}2x A y y x x B y y x ==<==<，则A∩B ＝( )A.1(,)2+∞ B.（2,21） C. )21,0( D.1(,1)23．设α、β为钝角且sin α=，cos β=,则αβ+的值为( ) A.π43B.π45C. π47D.π45或π474．设函数)(x f 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若33)2013(,1)2(-+=>a a f f ，则a 的取值范围是（）A.)0,(-∞B.)3,0(C.),0(+∞D.),3()0,(+∞-∞ 5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位6．设函数()1()cos 2f x x ωϕ=+，对任意x ∈R 都有33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()()3sin 2g x x ωϕ=+-，则3g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ( )A. B. 5-或3 C. 2- D.217．设()f x 为定义在R 上的奇函数，且0x >时，()()12xf x =，则函数()()sin F x f x x=-在[]ππ-，上的零点个数为 ( ) A.2 B.3 C. 4 D.58．已知函数)1,0)(3(log )(2≠>+-=a a ax x x f a 且满足：对任意实数21,x x ，当221ax x ≤<时，总有,0)()(21>-x f x f 则实数a 的取值范围是（）A.（0，3）B.（1，3）C.（2，23）D.（1，23）二、填空题(每小题4分，共20分)11．sin168sin 72sin102sin198-=12．已知函数f x x x x x ()()c o s ()=≤<<⎧⎨⎪⎩⎪2020π，若f f x (())02=，则x 0的值是____________ 13．已知=-+--=-<<αααααπαtan 112cos 2sin ,55sin cos ,20则____________ 14．设为实常数,是定义在R 上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________15. 设,40,2cos ,2sin πθθθ<<==b a 给出)4tan(πθ+值的四个答案；①a b -1；②ba-1； ③a b +1；④ba+1. 其中正确的是 .三、解答题（本大题共4题，共40分）数学答题卷2015.1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）11. 12. 13._________________14. _____________ 15.三、解答题（本大题共4小题，共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．函数12--=x xy 的定义域为集合A ，关于x 的不等式)0)(lg(2lg >+<a x a ax 的解集为B ，求使A B A =成立的实数a 的取值范围.19．已知函数a xax x f -+=)( （1）若方程0)(=x f 有正根，求实数a 的取值范围；（2）设函数|)(sin sin |)(x f x x g ⋅=，且)(x g 在区间]2,0[π上不单调，求实数a 的取值范围。

2015年北京市各区高三理科数学分类汇编----不等式

2015年北京高三理科数学试题分类汇编----不等式2015一模试题（理科）（6）（15年海淀一模理）若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则下列不等式恒成立的是（）（A ）1y ≥ （B ）2x ≥ （C ）220x y ++≥ （D ）210x y -+≥3. （15年房山一模理）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（） A ．2 B ．3C ．4D ．913. （15年朝阳一模理）设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若z 的最大值为5，则实数t 的值为______，此时z 的最小值为______.11．（15年丰台一模理）若变量x ，y 满足约束条件40,40,0,y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值是____．11．（15年石景山一模理）设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．abc7.（15年顺义一模理）若,x y 满足42400kx y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且5z y x =-的最小值为8-，则k 的值为 1.2A -1.2B .2C - .2D5.（15年顺义一模理）若441x y+=，则x y +的取值范围是（）.[0,1]A .[1,0]B - .[1,)C -+∞ .(,1]D -∞-12.（15年延庆一模理）已知1,0x y ≥≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤,{(,)|1}B x y y kx ==-，如果A B φ⋂≠,则k 的取值范围是 .2015二模试题（理科）（6）（15年东城二模理）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（）（A ）[1,3]- （B ）[1,11]（C ）]3,1[（D ）]11,1[-（14）（15年海淀二模理）设关于,x y 的不等式组340,(1)(36)0x y x y -≥⎧⎨-+-≤⎩表示的平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点. OA OM OM ⋅=λ，则λ的取值范围是 .5. （15年西城二模理）某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （10）（15年东城二模理）已知正数,x y 满足x y x y +=，那么x y +的最小值为．9．（15年丰台二模理）已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是．7．（15年丰台二模理）某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：则每周最高产值是(A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5。

北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编—向量

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——向量（2015年1月·延庆期末·6．已知向量)0,1(),2,1(=-=b a，那么向量a b -3的坐标是A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-（2015年1月·西城期末·2．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （）（A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-（2015年1月·西城期末·4．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =（）（A ）1()2AB AC + （B ）1()2AB AC - （C ）1()2AB BC +（D ）1()2AB BC -（2015年1月·西城期末·7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =， E 是CD的中点，那么AE DC ⋅=（）（A ）4（B ）2（C （D ）1（2015年1月·西城期末·10．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（）（A （B ）1（C ）||m（D （2015年1月·石景山期末·4．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么||a b -等于（）A ．1B C D ．2（2015年1月·石景山期末·6．已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）A ．,,A C DB ．,,A B CC ．,,B C DD ．,,A B D（2015年1月·顺义期末·3．已知(0,3)AB =，那么AB 等于A .2B .3C .4D .5（2015年1月·顺义期末·6．已知向量(42)=，a ，(1)m =-，b ，若a ⊥b ，则m 的值为 A ．21 B ．2 C ．21- D ．2-（2015年1月·房山期末·4）在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +等于（A ）12AD （B ）AD （C ）DA （D ）2AD（2015年1月·海淀期末·3.若向量(0,1)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ，则BA.()//-a b cB. ()-⊥a b cC. ()0-⋅>a b cD. |||-=a b c |（2015年1月·顺义期末·5．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是CA .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC +=0（2015年1月·顺义期末·2.若向量(0,1)a =-r ，(3,2)b =r，，则向量2a b -r r 的坐标是A. (3,4)-B.(3,4)-C. (3,4)--D. (3,4)（2015年1月·顺义期末·6．已知向量(42)=，a ，(1)m =-，b ，若a ⊥b ，则m 的值为B A ．21 B ．2 C ．21- D ．2- （2015年1月·密云期末·3.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(2,2)B ，(0,)C c ，若AB BC ⊥，那么c 的值是A.1-B.3C.3-D.4（2015年1月·顺义期末·8. 设向量2222(cos ,sin ),(cos ,sin )x x x x ==-a b ，函数()f x =⋅a b ，则函数()f x 的图象CA. 关于点(π,0)中心对称B. 关于点π(,0)2中心对称C. 关于点π(,0)4中心对称 D. 关于点(0,0)中心对称（2015年1月·密云期末·9如果向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ，且a ，b 共线，那么实数x = . -2（2015年1月·密云期末·13已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是__________.2λ>（2015年1月·顺义期末·10.已知()4,2a =-r ，(),5b x =r 且//a b r r，则x 的值为10-_________.（2015年1月·顺义期末·13．已知||4a =u r ，||3b =r ，a r 与b r 的夹角为0120，则||________.a b +=r r（2015年1月·延庆期末·15．已知向量),3(),3,1(x b a -=-=，若b a //，则=x _____；若b a⊥，则x =_____.9;1-（2015年1月·西城期末·11．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ__12-___．（2015年1月·西城期末·14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_32_．（2015年1月·房山期末·11）设向量(,1)m =a ，(2,3)=-b ，若满足//a b ，则m =（2015年1月·海淀期末·15.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 是线段DC 上的动点（含端点），则BP AC ⋅的取值范围是_[0,4]__.（2015年1月·石景山期末·16.（本题满分9分）已知向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ．（I ）若a ,b 共线，求x 的值；（II ）若a ⊥b ，求x 的值；（III ）当2x =时，求a 与b 的夹角θ的余弦值. 解：（I ）a ,b 共线，412x ∴⨯=-，2x ∴=-； …………3分（II ）a ⊥b ，420x ∴-=，12x ∴=； …………6分（III ）当2x =时，42216b ⋅=⨯-⨯=a ，||25,||5==a b ，3cos 5||||a b a b θ⋅∴==. …………9分（2015年1月·顺义期末·16. （本小题满分13分）已知非零向量a 、b 满足1=a ，且1()()2-=a b a +b ⋅. （Ⅰ）求b ；（Ⅱ）当12a b =⋅时，求向量a 与b 的夹角θ的值. 解：（Ⅰ）因为1()()2-=a b a +b ⋅ ，即2212-=a b ，所以221111222=-=-=b a ，故=b . ---------------------6分（Ⅱ）因为cos θ=a ba b⋅=22，又0180θ≤<︒，故45θ=. -----------------------------------------------------------------------------13分（2015年1月·密云期末·17. （本小题满分13分）已知向量(cos )θθ=a ，(sin ,0)θ=b ，其中θ∈R .（Ⅰ）当π3θ=时，求⋅a b 的值；（Ⅱ）当π[0,]2θ∈时，求2(+)a b 的最大值.解：（Ⅰ）当π3θ=时，163(,),(,0)2a b ==，---------------2分1302a b ∴⋅=⨯+= ----------------5分（Ⅱ）由题: 2()a b +222a a b b =+⋅+2222cos )2(cos sin 0)sin 0θθθθθθ=++⋅⋅++22cos sin 2sin 1θθθ=⋅++ sin 22cos 2θθ=+-)24πθ=-+. ----------------10分02πθ≤≤，32444πππθ∴-≤-≤. ∴当242ππθ-=即38πθ=时， ----------------11分2()a b +2. --------------- ----13分（2015年1月·西城期末·18．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(2=-b ，其中α是锐角．（Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ；（Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直；（Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α．（Ⅰ）解：当30︒=α时，1()22=a ，【 1分】所以 11(,)22+a b =，【 2分】所以 ||+=a b = 【 4分】（Ⅱ）证明：由向量(cos sin )αα=，a ，1(2=-b ，得 1(cos ,sin 2+=-+ααa b ，1(cos ,sin 2-=+-ααa b ，由 π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 5分】因为 222213()()||||(sin cos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ，【 7分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 8分】（Ⅲ）解：因为||||1==a b ，且向量a 与b 夹角为60︒，所以 1||||cos 602︒⋅=⋅=a b a b . 【10分】所以 11cos 22-=αα，即 π1sin()62-=α. 【12分】因为 π02<<α，所以 πππ663-<-<α，【13分】所以 ππ66-=α，即3π=α. 【14分】（2015年1月·顺义期末·16．（本小题共13分）在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(1,3)A ，(2,5)B , (5,2)C -OP OA t AB =+uu u r uu r uu u r.（Ⅰ）当1,t =- 1时分别求点P 的坐标；（Ⅱ）证明：当1t =时OP OC ⊥uu u r uu u r.解：（Ⅰ）()1,3OA =uur ()1,2AB =uu u r ()()1,31,2OP OA t AB t =+=+uu u r uu r uu u rQ ————４分 ∴当1t =-时()0,1OP =uu u r即：()0,1P ——————————６分同样可求当1t =时 ()2,5P —————８分∴所求P 点坐标分别为：()()0,1,2,5———————１０分（Ⅱ）当1t =时，(2,5)OP =u u u r ，又(5,2)OC =-uu u r，∴255(2)0OP OC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r，∴OP OC ⊥uu u r uu u r —————１３分（2015年1月·房山期末·18）（本小题共12分）如图，矩形A B C D 中，1AB =，2BC =，P 是BC 的中点，Q 是CD 上的动点．（Ⅰ）求AP AQ ⋅的最小值；（Ⅱ）求()AP AQ AD +⋅的值．解：法一：（Ⅰ）如图，以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系， ------------------1分因为1AB =，2BC =，P 是BC 的中点，所以(1,1)P ------------------1分设(,2)Q x ，01x ≤≤ ------------------1分(1,1)(,2)2AP AQ x x ⋅=⋅=+ ------------------ 2分当0x =时，AP AQ ⋅取得最小值2 ------------------1分所以，AP AQ ⋅的最小值为2B（Ⅱ）因为2AD =，所以(0,2)D ------------------1分()AP AQ AD AP AD AQ AD +⋅=⋅+⋅(1,1)(0,2)(,2)(0,2)246x =⋅+⋅=+= ------------------5分法二：（Ⅰ）由||||cos AP AQ AP AQ PAQ ⋅=∠ ------------------2分要使APAQ ⋅最小，则需||cos AQ PAQ ∠最小，可知当点Q 与点D 重合时，||AQ 最小，cos PAQ ∠最小 ------------------1分 ||||c o s 2222A P A D A P A D P ⋅=∠⨯⨯=所以，AP AQ ⋅的最小值为2 ------------------3分（直接求AP AD ⋅，未说明理由扣2分）（Ⅱ）()AP AQ AD AP AD AQ AD +⋅=⋅+⋅ 2||||cos AQ AD DAQ =+⋅∠22||6AD =+= ------------------6分或()()()AP AQ AD AB BP AD AD DQ AD +⋅=+⋅++⋅246BP AD AD AD =⋅+⋅=+= ------------------ 6分（2015年1月·延庆期末·23．（本题12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，)0(2>=a a AB .（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近点B 的三等分点时，求AB AP ⋅的值；（Ⅱ）求P O '⋅的最大值和最小值. 解：B23．（本题12分）解法一：（Ⅰ）连接OP ,PB ,∵P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，)0(2>=a a AB ∴a AP PAB 3,6==∠π. ……………………2分∴232336cosa a a AB OP =⨯⨯=⋅=⋅π………………………4分（Ⅱ）设θ=∠PAB , 则θθcos 2,2a AP POB ==∠，此时向量与的夹角为θ3， ………………………6分 ∴)2cos(cos 23cos cos 222θθθθθ+=⋅='⋅a a P O )sin 2sin cos 2(cos cos 22θθθθθ-=a )cos sin 22sin cos 22(cos 22θθθθθ⨯-⨯=a ]2sin )12(cos 2[cos 22θθθ-+=a )12cos 2cos 2(22-+=θθa89)412(cos 2[22-+=θa ， ………………………10分 ∴ 当412cos -=θ时，P O AP ⋅的最小值为289a -.当12cos =θ时，P O '⋅的最大值为22a . ………………12分解法二：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系. ∵P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，连接OP ，则3BOP π∠=， …………1分 ∴点P坐标为1(,)22a a .又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，∴3(,)22AP a =，(2,0)AB a =，∴23AP AB a ⋅=. …………4分（Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'- ∴(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. ………………6分 ∴22222coscos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+-2221192(cos cos )2168a a θθ=++-222192(cos )48a a θ=+-. ………10分当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅有最小值298a -，当cos 1θ=时，AP OP '⋅有最大值22a . …………………12分。

北京101中学2014-2015学年上学期高一年级期末考试数学试卷后有答案

北京101中学2014－2015学年上学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题：（满分40分，每小题5分）1. 已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则AB =（）A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或2. 若1sin 2x =，则x 可能取值为（） A.56π B. 76πC. 53πD.3π3. 已知270180<<α，且54)270sin(=+α，则=2tan α（） A. 3 B. 2 C. －2 D. －34. 设sin34,tan35,cos55a b c =︒=︒=︒，则（）A. c a b >>B. c b a >>C. b c a >>D. a b c >> 5. 函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（） A. ()1,2 B. ()2,3 C. ()3,4 D. ()e,36. 点E 、F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则=∠ECF tan （）A.2716 B. 32 C. 33 D. 43 7. 函数()()ϕω+=x A x f sin⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的部分图象如图所示，若1x ，2x ,63ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12+f x x =（）A. 1B.12 C.2 D.8. 设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数），若存在[]0,1b ∈，使()()1f b f b -=，则a 的取值范围是（）A. [1,]eB. 1[1]e --，0C. [,1]e e +D. [0,1]二、填空题：（满分30分，每小题5分） 9. 函数y =的定义域是。

北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试理科数学(含答案)

北京市西城区2014－2015学年度高三第一学期期末试数学理第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin 4B =，则（）（A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b（D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面x O 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（）（A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）（A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（）（A ）(4,8) （B ）(4,)+ （C ）(0,4)（D ）(8,)+侧(左)视图正(主)视图俯视图11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12．如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____． 13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B C D ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1BCE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值；（Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）B CDA B 1C 1E FA 1 D 1已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)Pm m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.20．（本小题满分13分）设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<；（Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤，解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ，所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p +13+q =1. ……………… 2分又因为14p =，所以q =512． ……………… 3分（Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A =，()P B p =. 所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A BC D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分又因为1A F ⊄平面1BCE ，EC ⊂平面1BCE ，所以1A F ∥平面1BCE . …………………4分（Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10AE m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A BCD ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合），所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=，解得22e a =，3e b =. …………………5分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. …………………8分设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->，所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分（Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。

2014 — 2015西城区学年度第一学期期末试卷高三【数学理】

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，，则集合（）1,0,1{}A -=2{|2}B x x x =-<A B = （A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若，，则∆2a b=sin B =（）（A ）3A π=（B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =2．设命题：平面向量和，，则为（）p ∀a b ||||||-<+a b a b p ⌝ （A ）平面向量和，∀a b ||||||-+≥a b a b （B ）平面向量和，∃a b ||||||-<+a b a b （C ）平面向量和，∃a b ||||||->+a b a b （D ）平面向量和，∃a b ||||||-+≥a b a b4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4（B ）5（C ）6（D ）75．设函数，，则“”是“函数为奇函数”的（）()3cos f x x b x =+x ∈R 0b =()f x （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）（A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线，点，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点，使得2:4C y x =(,0)P m Q ，则实数m 的取值范围是（）90OQP Ð= （A ）(4,8)（B ）(4,)+¥侧(左)视图正(主)视图俯视图8. 设D 为不等式组表示的平面区域，点为坐标平面内一点，若对于区域D1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤(,)B a b xOy 内的任一点，都有成立，则的最大值等于（）(,)A x y 1OA OB ⋅≤a b +（A ）2（B ）1（C ）0（D ）3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数，则 _____．2i12iz -=+||z =10．设为双曲线C ：的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12,F F 2221(0)16x y a a -=>，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.12||||4PF PF -=11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么______．x y z ++=12．如图，在中，以为直径的半圆分别交，于ABC ∆BC AB AC 点，，且，那么____； _____．E F 2AC AE =AFAB =A ∠=13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小（C ）(0,4)（D ）(8,)+¥2x3ya321258z品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能θ0<θ<2π与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数, x ∈R 的部分图象如图所示.()cos cos 442x x xf x =+（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；()f x （Ⅱ）设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求的值.BAO ∠tan 16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率121838（2）购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p13q（Ⅰ）当时，求q 的值；14p =（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围； 45p（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学12p =16q =期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，，BC AD //，且90BAD ∠= ，点E 在棱AB 上，平面与棱相交于点F .122A A AB AD BC ====1A EC 11C D （Ⅰ）证明：∥平面；1A F 1B CE （Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角的余弦值；1A EC D --（Ⅲ）求三棱锥的体积的最大值.11B A EF -18．（本小题满分13分）已知函数和的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.2()(0)f x ax bx a =->()ln g x x =（Ⅰ）若点P 的坐标为，求的值；1(,1)e-,a b （Ⅱ）已知，求切点P 的坐标.a b =19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点满足条件2211612x y +=(,0)(4)P m m >B D 1.||||FA e AP =（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记和的面积分别为，PMF ∆PNF ∆1S ，求证：.2S 12||||S PM S PN =20．（本小题满分13分）设函数，对于任意给定的位自然数（其中是个位数字，()(9)f x x x =-m 0121m m n a a a a -= 1a 2a 是十位数字，），定义变换：. 并规定．记 A 012()()()()m A n f a f a f a =+++ (0)0A =10()n A n =，，，，．21()n A n = 1()k k n A n -= （Ⅰ）若，求；02015n =2015n （Ⅱ）当时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<；3m ≥ （Ⅲ）如果，写出的所有可能取值.（只需写出结论）*010(,3)m n m m <∈≥N m n 北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C2．D3．A4．C5．C 6．D 7．B 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9． 10．1221416x y -=11．12．17412π313．14．9613注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+……………… 2分cos 22x x=+=，……………… 4分π2sin()26x +所以 .2π4π12T ==故函数的最小正周期为. ……………… 6分()f x 4π由题意，得，πππ2π2π2262x k k -++≤≤解得，4π2π4π4π+33k x k -≤≤所以函数的单调递增区间为. ……………… 9分()f x 4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z （Ⅱ）解：如图过点作线段垂直于B BC x 由题意，得，，33π4TAC ==2=BC 所以.2tan 3πBC BAO AC ∠==16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以++=1. ……………… 2分p 13q又因为， 14p = 所以=． ……………… 3分q 512（Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，……………… 4分则，且A ，B 独立. C AB AB AB = 由上表可知，，. 1()2P A =()P B p = 所以 ……………… 5分()()()()P C P AB P AB P AB =++111(1)222p p p =´-+´+ . ……………… 6分1122p =+ 因为，114()225P C p =+> 所以.……………… 7分35p > 又因为，，113p q ++=0q ≥ 所以.23p ≤ 所以.……………… 8分3253p ≤<（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：X X402 P121838…………… 9分则. ……………10 分113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：Y Y201-P121316…………… 11分则. …………… 12分111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯= 因为，EX EY >所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面平面.ABCD ∥1111A B C D 又因为平面平面，平面平面，ABCD 1A ECF EC =1111A B C D 11A ECF A F =所以∥. …………………2分1A F EC 又因为平面，平面，1A F ⊄1B CE EC ⊂1B CE 所以∥平面. …………………4分1A F 1B CE （Ⅱ）解：因为⊥底面ABCD ，，1AA 90BAD ∠= 所以，，两两垂直，以A 为原点，以，，分别为轴、轴和1AA AB AD AB AD 1AA x y z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则，，，1(0,0,2)A (1,0,0)E (2,1,0)C 所以 ,.1(1,0,2)A E =- 1(2,1,2)AC =- 设平面的法向量为(,,),m x y z =1A ECF由，,10A E m ⋅= 10AC m ⋅= 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令,得. …………………7分1z =(2,2,1)m =-又因为平面的法向量为， …………………8分DEC (0,0,1)n =所以，1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅由图可知，二面角的平面角为锐角，1A EC D --所以二面角的余弦值为. …………………10分（Ⅲ）1A EC D --13解：过点F 作于点,11FM A B ⊥M 因为平面⊥平面，平面,11A ABB 1111A B C D FM ⊂1111A B C D 所以平面,FM ⊥11A ABB 所以 …………………12分11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯.1222323FM FM ⨯=⨯⨯=因为当F 与点重合时，取到最大值2（此时点E 与点B 重合），1D FM 所以当F 与点重合时，三棱锥的体积的最大值为. ………………14分1D 11B A EF -4318.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得， …………………1分21(1e e ea bf =-=- 且，， …………………3分()2f x ax b '=-1()g x x'=由已知，得，即，11()(e ef g ''=2e eab -=解得，. …………………5分22e a =3e b =（Ⅱ）解：若，则，，a b =()2f x ax a '=-1()g x x'=设切点坐标为，其中,(,)s t 0s >由题意，得， ①2ln as as s -= ， ②…………………6分12as a s -= 由②，得，其中，1(21)a s s =-12s ≠代入①，得 .（*） …………………7分1ln 21s s s -=- 因为，且，1(21)a s s =>-0s > 所以 . …………………8分12s >设函数，，1()ln 21x F x x x -=--1(,)2x ∈+∞ 则 .…………………9分2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=- 令，解得或(舍).…………………10分()0F x '=1x =14x =当变化时，与的变化情况如下表所示，x ()F x '()F x x1(,1)21(1,)+∞()F x '+0-()F x ↗↘…………………12分所以当时，取到最大值，且当时.1x =()F x (1)0F =1(,1)(1,)2x ∈+∞ ()0F x < 因此，当且仅当时. 1x =()0F x = 所以方程（*）有且仅有一解.1s = 于是，ln 0t s ==因此切点P 的坐标为.…………………13分(1,0)19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为，2211612x y +=所以 ,,, ………………2分4a=b=2c ==则，，. ………………3分12c e a ==||2FA =||4AP m =-因为，||21||42FA AP m ==-所以 . ………………5分8m =（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有，，符合题意. …………6分21S S =||||PM PN =若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为，，.)2(-=x k y ),(11y x M ),(22y x N 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得， ……………… 7分2222(43)1616480k x k x k +-+-= 可知恒成立，且，. ……………… 8分0>∆34162221+=+k k x x 3448162221+-=k k x x 因为 ……………… 10分8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM)8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx，0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k 所以 . ……………… 12分MPF NPF ∠=∠ 因为和的面积分别为，PMF ∆PNF ∆11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， ……………… 13分21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠ 所以. ……………… 14分12||||S PM S PN =20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：，，，，114082042n =+++=2201434n =+=3182038n =+=418826n =+=，，……5141832n =+=6181432n =+= 所以．……………… 3分201532n =（Ⅱ）证明：因为函数，2981()(9)(24f x x x x =-=--+所以对于非负整数，知.（当或5时，取到最大值）… 4分x ()(9)20f x x x =-≤4x = 因为， 12()()()()m A n f a f a f a =+++ 所以． ……………… 6分()20A n m ≤ 令，则．1()1020m g m m -=-31(3)102030g -=-⨯> 当时，，3m ≥11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯-> 所以，函数，（，且）单调递增．(1)g()0g m m +->()g m m ∈N 3m ≥ 故，即．g()g(3)0m >≥11020()m m A n ->≥ 所以当时，对于任意的位自然数均有.…………………9分3m ≥m n 1()10m A n -<（Ⅲ）答：的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．m n …………………14分。

北京市海淀区2014-2015学年高一上学期期末练习数学试题(含答案)

高一上学期期末练习数学试题1.已知集合{}|1A x x =>，{}|2B x x =<，则集合A B =A.∅B.RC.{|12}x x <<D. {|12}x x ≤≤ 2.7sin6π=B. C.12D. 12- 3.若向量(0,1)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ，则A.()//-a b cB.()-⊥a b cC.()0-⋅>a b cD. |||-=a b c | 4.下列函数中，既是奇函数又是(1,1)-上的增函数的是A.2x y =B.tan y x =C.1y x -=D.cos y x = 5.函数1,0,1,0x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩的值域是A.RB.[0,)+∞C.[1,)-+∞D. (1,)-+∞ 6.若直线x a =是函数()sin f x x =的一条对称轴，则()f a =A.0B.1C.1-D.1或1- 7．设10.52,e ,a b c -===，其中e 2.71828≈，则,,a b c 的大小顺序为A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.b c a >>8.已知集合{|(),}M λλ==+∈R a a m n ，{|,}N μμ==+∈R b b m n ，其中,m n 是一组不共线的向量，则M N 中元素的个数为A ．0B ．1C ．大于1但有限D ．无穷多 9.已知函数()f x ax b =+的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象可能是A. B.C. D.10.为了得到函数sin(2)2y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象A.向右平移4π个单位长度 B.向左平移4π个单位长度 C.向右平移2π个单位长度 D. 向左平移2π个单位长度11.已知(,)αππ∈-，且sin cos 7πα=-，则α=A.514π-或914π-B. 914π-或914πC. 514π或514π-D. 514π或914π12.右图中有五个函数的图象，依据图象用“<”表示出以下五个量,,,,1a b c d 的大小关系，正确的是 A.1a c b d <<<< B.1a d c b <<<< C. 1a c b d <<<< D.1a c d b <<<<二．填空题（本大题共5小题，每空3分，共27分，把答案填写在题中横线上） 13. 函数22y x x =-在区间[1,2)-上的值域为_____________.14.方程3221x x +=的解的个数为_____，若有解，则将其解按四舍五入精确到个位，得到的近似解为___________. 15.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 是线段DC 上的动点（含端点），则BP AC ⋅的取值范围是____________.16.已知函数：2y x =，2log y x =，2x y =，sin y x =，cos y x =，tan y x =.从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()(F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =_____________.17.已知函数sin()y A t ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如右图所示，它刻画了质点P 做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线l 的位置值y （||y 是质点与直线l 的距离（米），质点在直线l 上方时，y 为正，反之y 为负）随时间t （秒）的变化过程. 则（1）质点P 运动的圆形轨道的半径为________米；（2）质点P 旋转一圈所需的时间T =_________秒；（3）函数()f t 的解析式为：__________________；（4）图2中，质点P 首次出现在直线l 上的时刻t =_______秒.（米）三．解答题（本大题共2小题，共25分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.本题满分13分已知函数2()2sin()36f x x ππ=+. 列（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在一个周期上的图象（先表，再画图）；（Ⅱ）求()f x 的单调增区间；（Ⅲ）求()f x 在13[,]24-上的取值范围.19.本题满分12分已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：“对于区间(0,)+∞上的任意,a b ，都有()()f a b f b +>成立”. （Ⅰ）求(0)f 的值，并指出()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）用增函数的定义证明：函数()f x 是(,0)-∞上的增函数；（Ⅲ）判断()f x 是否为R 上的增函数，如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例.。

2014-2015学年北京市延庆县高一(上)期末数学试卷含参考答案

2014-2015学年北京市延庆县高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3]，则（∁M）∪N=（）IA．{0，3，4}B．{0}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4}2．（5分）已知α∈[0，2π），与角终边相同的角是（）A．B． C． D．3．（5分）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．（5分）若角α的终边经过点P（﹣3，4），则tanα=（）A．B．C．D．5．（5分）函数的定义域为（）A．（1，3） B．[1，3]C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（1，0）∪（0，+∞）6．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（1，0），那么向量的坐标是（）A．（﹣4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（4，2） D．（4，﹣2）7．（5分）函数y=log a（x+2）+1的图象过定点（）A．（﹣2，1）B．（2，1） C．（﹣1，1）D．（1，1）8．（5分）若f（cosx）=cos3x，则f（sin）的值为（）A．﹣1 B．C．0 D．19．（5分）设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．sin（A+B）=sinC B．cos（A+B）=cosC C．tan（A+B）=tanC D．10．（5分）已知向量，满足||=1，||=4且•=﹣2，则与的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°11．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向右平移单位D．向左平移单位12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=．15．（5分）已知向量=（﹣1，3），=（﹣3，x），若∥，则x=；若，则x=．16．（5分）已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，OA=2，则劣弧AB长度是．17．（5分）已知，则a，b，c大小关系是．18．（5分）设函数y=sin（x+），若对任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f （x）≤f（x2）恒成立，则|x1﹣x2|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19．（8分）求下列各式的植：（Ⅰ）；（Ⅱ）log327+lg4+lg25+10lg2．20．（8分）设全集为R，集合A={x|a≤x≤a+3}，∁R B={x|﹣1≤x≤5}．（Ⅰ）若a=4，求A∩B；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．21．（10分）设函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）已知，且f（α）=，求的值．22．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sin2x+3cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调减区间；（Ⅲ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值．23．（12分）如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，P'是点P关于AB的对称点，AB=2a（a＞0）．（Ⅰ）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值．24．（12分）设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|．（1）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象；（2）当k＞2时，求证：在区间[﹣1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．2014-2015学年北京市延庆县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3]，则（∁M）∪N=（）IA．{0，3，4}B．{0}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4}【解答】解：∵全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3]，∴∁I M={0，4}，则（∁I M）∪N={0，3，4}，故选：A．2．（5分）已知α∈[0，2π），与角终边相同的角是（）A．B． C． D．【解答】解：∵与终边相同的角的集合为{α|α=+2kπ，k∈Z}．∴取k=1时，α=∈[0，2π]，故选：D．3．（5分）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．∴取交集可得，α是第二象限角．故选：B．4．（5分）若角α的终边经过点P（﹣3，4），则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴tanα==．故选：C．5．（5分）函数的定义域为（）A．（1，3） B．[1，3]C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（1，0）∪（0，+∞）【解答】解：要使函数有意义，则，即，则1≤x≤3，故函数的定义域为[1，3]，故选：B．6．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（1，0），那么向量的坐标是（）A．（﹣4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（4，2） D．（4，﹣2）【解答】解：∵=（﹣1，2），=（1，0），∴向量=3（1，0）﹣（﹣1，2）=（4，﹣2）故选：D．7．（5分）函数y=log a（x+2）+1的图象过定点（）A．（﹣2，1）B．（2，1） C．（﹣1，1）D．（1，1）【解答】解：令x+2=1得，x=﹣1，y=1；故函数y=log a（x+2）+1的图象过定点（﹣1，1）；故选：C．8．（5分）若f（cosx）=cos3x，则f（sin）的值为（）A．﹣1 B．C．0 D．1【解答】解：令cosx=sin，则x的值可以取，所以f（sin）=f（cos）=cos=0，故选：C．9．（5分）设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．sin（A+B）=sinC B．cos（A+B）=cosC C．tan（A+B）=tanC D．【解答】解：∵A、B、C是三角形的三个内角∴A+B=π﹣C对于A，sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，故对对于B，cos（A+B）=cos（π﹣C）=﹣cosC，故错对于C，tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，故错对于D，sin=cos，故错故选：A．10．（5分）已知向量，满足||=1，||=4且•=﹣2，则与的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：由于||=1，||=4且•=﹣2，则cos＜，＞===﹣，由于0°≤＜，＞≤180°，则与的夹角为120°．故选：B．11．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向右平移单位D．向左平移单位【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），故只要将函数y=sin2x的图象相左平移个单位，即可得到函数y=sin（2x+）的图象，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log 2a）=f（log2a），则f（log 2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 13．（5分）不等式的解集是{x|x＞﹣1} ．【解答】解：∵2x＞=2﹣1，y=2x为R上的增函数，∴x＞﹣1，∴原不等式的解集为{x|x＞﹣1}．故答案为：{x|x＞﹣1}．14．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=﹣1．【解答】解：将sinα﹣cosα=两边平方得：（sinα﹣cosα）2=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α=1﹣sin2α=2，∴sin2α=﹣1．故答案为：﹣115．（5分）已知向量=（﹣1，3），=（﹣3，x），若∥，则x=9；若，则x=﹣1．【解答】解：向量=（﹣1，3），=（﹣3，x），若∥，﹣3×3=﹣x则x=9．若，3+3x=0则x=﹣1故答案为：9；﹣1．16．（5分）已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，OA=2，则劣弧AB长度是4．【解答】解：A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，OA=2，则劣弧AB长度：2×2=4．故答案为：4．17．（5分）已知，则a，b，c大小关系是c＞a ＞b．【解答】解：∵0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜0，c=20.3＞1，∴c＞a＞b，故答案为：c＞a＞b．18．（5分）设函数y=sin（x+），若对任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f （x）≤f（x2）恒成立，则|x1﹣x2|的最小值是2．【解答】解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）和f（x2）分别是函数的最大值和最小值，∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期，∵T==4，∴|x1﹣x2|的最小值为2，故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19．（8分）求下列各式的植：（Ⅰ）；（Ⅱ）log327+lg4+lg25+10lg2．【解答】解：（Ⅰ）原式==2．（Ⅱ）原式=3log33+lg100+2=3+2+2=7．20．（8分）设全集为R，集合A={x|a≤x≤a+3}，∁R B={x|﹣1≤x≤5}．（Ⅰ）若a=4，求A∩B；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，A={x|4≤x≤7}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，∴A∩B={x|5＜x≤7}；（Ⅱ）∵A∩B=A，∴A⊆B，∴a+3＜﹣1或a＞5，解得a＜﹣4或a＞5．∴实数a的取值范围（﹣∞，﹣4）∪（5，+∞）．21．（10分）设函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）已知，且f（α）=，求的值．【解答】（本题10分）解：（Ⅰ）要使函数f（x）有意义，只要使tanx≠0，∴函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且．…（3分）（Ⅱ）由，得f（x）=cosx，∴．…（5分）∵，∴．…（7分）∴=．…（10分）22．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sin2x+3cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调减区间；（Ⅲ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值．【解答】（本题10分）解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x=，…（2分）∴f（x）的最小正周期．…（4分）（Ⅱ）由得（k∈Z）∴函数的单调减区间（k∈Z）．…（7分）（Ⅲ）由．∴当时，即时，f（x）取得最小值﹣1．…（10分）23．（12分）如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，P'是点P关于AB的对称点，AB=2a（a＞0）．（Ⅰ）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）以直径AB所在直线为x轴，以O为坐标原点建立平面直角坐标系．∵P是弧AB靠近点B的三等分点，连接OP，则，点P坐标为．又点A坐标是（﹣a，0），点B坐标是（a，0），∴，，∴．（Ⅱ）设∠POB=θ，θ∈[0，2π），则P（acosθ，asinθ），P'（acosθ，﹣asinθ），∴，．∴=a2（2cos2θ+cosθ﹣1）==．当时，有最小值，当cosθ=1时，有最大值2a2．24．（12分）设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|．（1）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象；（2）当k＞2时，求证：在区间[﹣1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．【解答】解（1）如图，（2）[解法一]当x∈[﹣1，5]时，f（x）=﹣x2+4x+5．g（x）=k（x+3）﹣（﹣x2+4x+5）=x2+（k﹣4）x+（3k﹣5）=，∵k＞2，∴．又﹣1≤x≤5，①当，即2＜k≤6时，取，g（x）=．min∵16≤（k﹣10）2＜64，∴（k﹣10）2﹣64＜0，则g（x）min＞0．②当，即k＞6时，取x=﹣1，g（x）min=2k＞0．由①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[﹣1，5]．因此，在区间[﹣1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．[解法二]当x∈[﹣1，5]时，f（x）=﹣x2+4x+5．由得x2+（k﹣4）x+（3k﹣5）=0，令△=（k﹣4）2﹣4（3k﹣5）=0，解得k=2或k=18，在区间[﹣1，5]上，当k=2时，y=2（x+3）的图象与函数f（x）的图象只交于一点（1，8）；当k=18时，y=18（x+3）的图象与函数f（x）的图象没有交点．如图可知，由于直线y=k（x+3）过点（﹣3，0），当k＞2时，直线y=k（x+3）是由直线y=2（x+3）绕点（﹣3，0）逆时针方向旋转得到．因此，在区间[﹣1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．。

北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编向量

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——向量（2015年1月·延庆期末·6．已知向量)0,1(),2,1(=-=b a，那么向量a b -3的坐标是A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-（2015年1月·西城期末·2．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （）（A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-（2015年1月·西城期末·4．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =（）（A ）1()2AB AC + （B ）1()2AB AC - （C ）1()2AB BC +（D ）1()2AB BC -（2015年1月·西城期末·7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =， E 是CD的中点，那么AE DC ⋅=（）（A ）4（B ）2（C ）3（D ）1（2015年1月·西城期末·10．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（）（A ）21m +（B ）1（C ）||m（D ）21m -（2015年1月·石景山期末·4．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么||a b -等于（）A ．1B ．2C ．3D ．2（2015年1月·石景山期末·6．已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）A ．,,A C DB ．,,A B CC ．,,B C DD ．,,A B D（2015年1月·顺义期末·3．已知(0,3)AB =，那么AB 等于A .2B .3C .4D .5（2015年1月·顺义期末·6．已知向量(42)=，a ，(1)m =-，b ，若a ⊥b ，则m 的值为 A ．21 B ．2 C ．21- D ．2- （2015年1月·房山期末·4）在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +等于（A ）12AD（B ）AD （C ）DA（D ）2AD（2015年1月·海淀期末·3.若向量(0,1)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ，则BA.()//-a b cB. ()-⊥a b cC. ()0-⋅>a b cD. |||-=a b c |（2015年1月·顺义期末·5．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是CA .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC +=0（2015年1月·顺义期末·2.若向量(0,1)a =-，(3,2)b =，，则向量2a b -的坐标是 A. (3,4)- B.(3,4)- C. (3,4)-- D. (3,4)（2015年1月·顺义期末·6．已知向量(42)=，a ，(1)m =-，b ，若a ⊥b ，则m 的值为B A ．21 B ．2 C ．21- D ．2- （2015年1月·密云期末·3.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(2,2)B ，(0,)C c ，若AB BC ⊥，那么c 的值是A.1-B.3C.3-D.4（2015年1月·顺义期末·8. 设向量2222(cos ,sin ),(cos ,sin )x x x x ==-a b ，函数()f x =⋅a b ，则函数()f x 的图象CA. 关于点(π,0)中心对称B. 关于点π(,0)2中心对称C. 关于点π(,0)4中心对称 D. 关于点(0,0)中心对称（2015年1月·密云期末·9如果向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ，且a ，b 共线，那么实数x = . -2（2015年1月·密云期末·13已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是__________.2λ>（2015年1月·顺义期末·10.已知()4,2a =-，(),5b x =且//a b ，则x 的值为10-_________.（2015年1月·顺义期末·13．已知||4a =，||3b =，a 与b 的夹角为0120，则||________.a b +=（2015年1月·延庆期末·15．已知向量),3(),3,1(x b a -=-=，若b a //，则=x _____；若b a ⊥，则x =_____.9;1-（2015年1月·西城期末·11．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ__12-___．（2015年1月·西城期末·14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_32_．（2015年1月·房山期末·11）设向量(,1)m =a ，(2,3)=-b ，若满足//a b ，则m =（2015年1月·海淀期末·15.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 是线段DC 上的动点（含端点），则BP AC ⋅的取值范围是_[0,4]__.（2015年1月·石景山期末·16.（本题满分9分）已知向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ．A B（I ）若a ,b 共线，求x 的值；（II ）若a ⊥b ，求x 的值；（III ）当2x =时，求a 与b 的夹角θ的余弦值. 解：（I ）a ,b 共线，412x ∴⨯=-，2x ∴=-； …………3分（II ）a ⊥b ，420x ∴-=，12x ∴=； …………6分（III ）当2x =时，42216b ⋅=⨯-⨯=a ，||25,||5==a b ，3cos 5||||a b a b θ⋅∴==. …………9分（2015年1月·顺义期末·16. （本小题满分13分）已知非零向量a 、b 满足1=a ，且1()()2-=a b a +b ⋅. （Ⅰ）求b ；（Ⅱ）当12a b =⋅时，求向量a 与b 的夹角θ的值. 解：（Ⅰ）因为1()()2-=a b a +b ⋅ ，即2212-=a b ，所以221111222=-=-=b a ，故2=b . ---------------------6分（Ⅱ）因为cos θ=a ba b ⋅=22，又0180θ≤<︒，故45θ=. -----------------------------------------------------------------------------13分（2015年1月·密云期末·17. （本小题满分13分）已知向量(cos )θθ=a ，(sin ,0)θ=b ，其中θ∈R .（Ⅰ）当π3θ=时，求⋅a b 的值；（Ⅱ）当π[0,]2θ∈时，求2(+)a b 的最大值.解：（Ⅰ）当π3θ=时，163(,),(,0)2a b ==，---------------2分1302224a b ∴⋅=⨯+= ----------------5分（Ⅱ）由题: 2()a b +222a a b b =+⋅+2222cos )2(cos sin 0)sin 0θθθθθθ=++⋅⋅++22cos sin 2sin 1θθθ=⋅++sin 22cos2θθ=+-)24πθ=-+. ----------------10分02πθ≤≤，32444πππθ∴-≤-≤. ∴当242ππθ-=即38πθ=时， ----------------11分2()a b +2. --------------- ----13分（2015年1月·西城期末·18．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(2=-b ，其中α是锐角．（Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ；（Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直；（Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α．（Ⅰ）解：当30︒=α时，1)2=a ，【 1分】所以 +a b =，【 2分】所以 ||+=a b = 【 4分】（Ⅱ）证明：由向量(cos sin )αα=，a ，1(,22=-b ，得 1(cos ,sin )22+=-+ααa b ，1(cos ,sin )22-=+-ααa b ，由 π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 5分】因为 222213()()||||(sincos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ，【 7分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 8分】（Ⅲ）解：因为||||1==a b ，且向量a 与b 夹角为60︒，所以 1||||cos 602︒⋅=⋅=a b a b . 【10分】所以 11cos 22-=αα，即 π1sin()62-=α. 【12分】因为 π02<<α，所以 πππ663-<-<α，【13分】所以 ππ66-=α，即3π=α. 【14分】（2015年1月·顺义期末·16．（本小题共13分）在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(1,3)A ，(2,5)B , (5,2)C -OP OA t AB =+.（Ⅰ）当1,t =- 1时分别求点P 的坐标；（Ⅱ）证明：当1t =时OP OC ⊥. 解：（Ⅰ）()1,3OA =()1,2AB =()()1,31,2OP OA t AB t =+=+————４分∴当1t =-时()0,1OP = 即：()0,1P ——————————６分同样可求当1t =时 ()2,5P —————８分∴所求P 点坐标分别为：()()0,1,2,5———————１０分（Ⅱ）当1t =时，(2,5)OP =，又(5,2)OC =-，∴255(2)0OP OC ⋅=⨯+⨯-=，∴OP OC ⊥—————１３分（2015年1月·房山期末·18）（本小题共12分）如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，P 是BC 的中点，Q 是CD 上的动点．（Ⅰ）求AP AQ ⋅的最小值；（Ⅱ）求()AP AQ AD +⋅的值．解：法一：（Ⅰ）如图，以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系， ------------------1分因为1AB =，2BC =，P 是BC 的中点，所以(1,1)P ------------------1分设(,2)Q x ，01x ≤≤ ------------------1分(1,1)(,2)2AP AQ x x ⋅=⋅=+ ------------------ 2分当0x =时，AP AQ ⋅取得最小值2 ------------------1分所以，AP AQ ⋅的最小值为2（Ⅱ）因为2AD =，所以(0,2)D ------------------1分()AP AQ AD AP AD AQ AD +⋅=⋅+⋅(1,1)(0,2)(,2)(0,2)246x =⋅+⋅=+= ------------------5分法二：（Ⅰ）由||||cos AP AQ AP AQ PAQ ⋅=∠ ------------------2分要使AP AQ ⋅最小，则需||cos AQ PAQ ∠最小，可知当点Q 与点D 重合时，||AQ 最小，cos PAQ ∠最小------------------1分||||cos 222AP AD AP AD PAD ⋅=∠=⨯= 所以，AP AQ ⋅的最小值为2 ------------------3分（直接求AP AD ⋅，未说明理由扣2分）（Ⅱ）()AP AQ AD AP AD AQ AD +⋅=⋅+⋅ 2||||cos AQ AD DAQ =+⋅∠22||6AD =+= ------------------6分或()()()AP AQ AD AB BP AD AD DQ AD +⋅=+⋅++⋅246BP AD AD AD =⋅+⋅=+= ------------------ 6分B（2015年1月·延庆期末·23．（本题12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，)0(2>=a a AB .（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近点B 的三等分点时，求⋅的值；（Ⅱ）求P O '⋅的最大值和最小值.解：23．（本题12分）解法一：（Ⅰ）连接OP ,PB ,∵P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，)0(2>=a a AB ∴a AP PAB 3,6==∠π. ……………………2分∴232336cosa a a AB OP AB AP =⨯⨯=⋅=⋅π………………………4分（Ⅱ）设θ=∠PAB , 则θθcos 2,2a AP POB ==∠，此时向量AP 与OP 的夹角为θ3， ………………………6分 ∴)2cos(cos 23cos cos 222θθθθθ+=⋅='⋅a a P O )sin 2sin cos 2(cos cos 22θθθθθ-=a )cos sin 22sin cos 22(cos 22θθθθθ⨯-⨯=a ]2sin )12(cos 2[cos 22θθθ-+=a )12cos 2cos 2(22-+=θθa]89)412(cos 2[22-+=θa ， ………………………10分 ∴ 当412cos -=θ时，P O '⋅的最小值为289a -. 当12cos =θ时，P O '⋅的最大值为22a . ………………12分解法二：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系. ∵P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，连接OP ，则3BOP π∠=， …………1分 ∴点P坐标为1(,)22a a .又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，∴3(,)22AP a a =，(2,0)AB a =， ∴23AP AB a ⋅=.（Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'- ∴(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. ………………6分 ∴22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+-2221192(cos cos )2168a a θθ=++-222192(cos )48a a θ=+-. ………10分当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅有最小值298a -，当cos 1θ=时，AP OP '⋅有最大值22a . …………………12分。

北京市各地高三数学上学期考试试题分类汇编不等式理

北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编不等式一、选择题1、（昌平区2015届高三上学期期末）已知0a b >>，则下列不等式成立的是A. 22a b <B.11a b> C. a b < D. 22a b > 2、（昌平区2015届高三上学期期末）在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人3、（大兴区2015届高三上学期期末）已知不等式组210,2,10x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥表示的平面区域为D ，若函数1y x m =-+的图像上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是（A ）1[0,]2（B ）1[2,]2-（C ）3[1,]2-（D ）[2,1]-4、（海淀区2015届高三上学期期末）设不等式组220,10,10x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D . 则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是（）（A ）1（B ）22（C ）12（D ）55、（石景山区2015届高三上学期期末）如果实数满足不等式组30,230,1.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（）A.1B.2C.3D.4y x ,k6、（西城区2015届高三上学期期末）设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（）（A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）37、（朝阳区2015届高三上学期期中）某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 A. 3000 B.3300 C.3500 D.40008、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）设集合()∅≠⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-=0,0,012,m y m x y x y x P ，集合(){}22|,<-=y x y x Q ，若Q P ⊆，则实数m 的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,B. ⎪⎭⎫⎝⎛∞+-,32 C. )31,32[-D. ),32[∞+-二、填空题1、（昌平区2015届高三上学期期末）若x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值是 .2、（朝阳区2015届高三上学期期末）设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为3、（东城区2015届高三上学期期末）若实数,x y 满足10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最大值为_______4、（丰台区2015届高三上学期期末）若变量x ，y 满足条件210,0,,x y x y y k +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩且z x y =+的最大值是10，则k 的值是_____5、（北京四中2015届高三上学期期中）已知实数,x y 满足221xy+=，则x y +的最大值是6、（北京四中2015届高三上学期期中）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的取值范围为 .7、（朝阳区2015届高三上学期期中）已知x ，y 满足条件3260,20,20.x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(2,0) 处取得最大值，则a 的取值范围是参考答案一、选择题1、D2、B3、D4、B5、B6、A7、B8、C提示：由图可知，不等式组所表示的区域非空当且仅当点（m m ,-）位于直线012=+-y x 的下方，即()12+-<m m ，由此解得31<m 。