2018年高考数学专题28基本不等式及其应用热点题型和提分秘籍理

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2018年高考数学总复习 7.2 基本不等式及其应用

解析:由 32x-(k+1)·3x+2>0,解得 k+1<3x+32��.
∵3x>0,∴3x+32��≥2 2(当且仅当 3x=32��,
即 x=lo 2.
又当 x∈R 时,32x-(k+1)3x+2>0 恒成立,
小值为 6
.
解析: (1)∵x,y 都是非负实数,且 x+y=2,∴x+2+y+4=8.
∴8≥2 (�� + 2)(�� + 4),
∴1
(��+2)(��+4)
≥
116,当且仅当
x=2,y=0
时等号成立.
则8
(��+2)(��+4)
≥
8 16
=
12.其最小值为12.故选
考点一
考点二
考点三
-11-
对点训练
1 已知
a>0,b>0,a+b=1,求证:
1
+
1 ��
1
+
1 ��
≥9.
证明 (方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+1��=1+��+�� =2+��.
同理,1+1��=2+��.
B.
-16-
考点一
考点二
考点三
(2)(方法一)由已知得 x=91-+3��.

高考数学热点题型和提分秘籍专题28 基本不等式及其应用理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全

2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题28 基本不等式及其应用理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【热点题型】题型一利用基本不等式证明简单不等式【例1】已知x ＞0，y ＞0，z ＞0.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8. 证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x≥2yz x＞0，x y ＋z y≥2xz y＞0， x z ＋y z ≥2xy z＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．【提分秘籍】利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【举一反三】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.题型二利用基本不等式求最值【例2】解答下列问题：(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值； (3)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(4)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值．(3)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(4)∵f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即4x 2＝a 时f (x )取得最小值．又∵x ＝3，∴a ＝4×32＝36. 【提分秘籍】(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．【举一反三】(1)设a ＞0，若关于x 的不等式x ＋a x≥4在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．16 D ．1(2)设0＜x ＜52，则函数y ＝4x (5－2x )的最大值为______．(3)设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值为________．【答案】 (1)A (2)252 (3)9【解析】题型三基本不等式的实际应用【例3】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【提分秘籍】有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值X 围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【举一反三】首届世界低碳经济大会在某某召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损. 【高考风向标】1.【2015高考某某，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B 【解析】2.【2015高考某某，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>【答案】C【解析】()ln p f ab ab ==，()ln22a b a bq f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>，所以q p r >=，故选C ． 3．（2014·某某卷）对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．【答案】－2 【解析】4．（2014·某某卷）若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．【答案】2【解析】T r ＋1＝C r6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.5．(2014·某某卷)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元【答案】C【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.6．(2014·某某卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．【答案】7＋4 3【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab 得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a b＋4b a ≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b＝4ba时取等号．5．（2014·某某卷）已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.10【答案】B 【解析】【高考押题】1．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab ＞0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件，故选B.2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4C.92D ．5【答案】C【解析】依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0，即a ＝23， b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.3．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C ．2D.54【答案】C【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.4．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.5．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ． 160元D ．240元【答案】C 【解析】6．已知向量m ＝(2，1)，n ＝(1－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为________．【答案】18【解析】依题意得2a ＝1－b ，即2a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因此1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤18，当且仅当2a ＝b ＝12时取等号，因此ab 的最大值是18.7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】 6【解析】由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.8．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．【答案】 7＋4 3 【解析】9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 10．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)。

2018届高三数学(文理通用)不等式选讲解题方法规律技巧详细总结版

2018届高三理科数学不等式选讲解题方法规律技巧详细总结版【简介】不等式选讲是新课标的新增内容，也是选考内容.从能力要求上看，主要考查学生了解不等式、应用不等式的能力，分析问题和解决问题的能力.（1）考查含绝对值不等式的解法与含绝对值符号的函数的最值、恒成立问题;（2）考查了不等式的证明，会用综合法，分析法等证明不等式，往往难度不大，加以适当的训练是完全可以掌握的.【3年高考试题比较】不等式选讲内容，在高考题中以选作的形式出现，难度一般不大，比较这三年的高考题，出现频率较高的有：解绝对值不等式，作含绝对值的函数图像，含参的绝对值恒成立有解问题，不等式证明，一般以分析法证明为主.【必备基础知识融合】1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.3.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法.②求商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法. (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法. (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.4.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立.③柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2.④柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. (2)算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.【解题方法规律技巧】典例1：(1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值. (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值.【规律方法】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法.典例2：设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥ 3.(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c).【规律方法】当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.典例3：已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4b a ×ab＋4＝8. ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立). (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.【规律方法】(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.典例4：已知x ，y ，z 均为实数.(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值.【规律方法】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.典例5：已知不等式.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）是【解析】试题分析：试题解析：（1）由已知，可得当时，若，则，解得若，则，解得若，则，解得综上得，所求不等式的解集为；（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，由（1）可得点，由此可得，即. 所以，所求实数的范围为.【规律方法】(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.典例6：（1）解关于的不等式（2）关于的不等式有解，求实数的范围。

2018届高考数学二轮复习基本不等式及其应用专题

基本不等式及其应用专题[基础达标](20分钟45分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.已知a，b∈R*且a+b=1，则ab的最大值等于()A.1B.14C.12D.22B【解析】由于a，b∈R*，则1=a+b≥2ab，得ab≤14，当且仅当a=b=12时等号成立.2.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则() A.a<v<ab B.v=abC.<v<a+b2D.v=a+b2A【解析】设甲、乙两地相距S，则平均速度v=2S S+S =2aba+b，又∵a<b，∴v=2aba+b >2abb+b=a.∵a+b>2ab，∴2aba+b−2ab<0，即v<ab，∴a<v<ab.3mx+ny+2=0(m>0，n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2，则1m +3n的最小值为()A. 4B. 12C. 16D. 6D【解析】直线mx+ny+2=0(m>0，n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2，则直线过圆心，即3m+n=2，则1 m +3n=1m+3n3m2+n2=3+n2m+9m2n≥3+2n2m·9m2n=6，当且仅当n2m=9m2n，m=13，n=1时取等号，则1m +3n的最小值为6.4x，y满足x+4y=4，则x+28y+4xy的最小值为()A.852B.24C.20D.18D【解析】由题意可得x=4-4y>0，y>0，则0<y<1.令2+6y=t，t∈(2，8)，则y=t-26，所以x+28y+4xy=8+24y(4-4y)y=2+6y(1-y)y=t8-t×t-2=36t10t-t2-16=3610- t+16≥3610-8=18，当且仅当t=4时取等号，则x+28y+4xy的最小值为18.二、填空题(每小题5分，共25分)5.当x>1时，函数y=x+1x-1的最小值是.3【解析】因为x>1，y=x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2(x-1)·1x-1+1=3，当且仅当x-1=1x-1，且x>1，即x=2时等号成立，故函数y的最小值为3.6.实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是.6【解析】利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥23x·32y=23x+2y，∵x+2y=2，∴3x+9y≥23x+2y=232=6，当且仅当3x=32y，即x=1，y=12时，取等号，即3x+9y 的最小值为6.7P，Q分别是曲线y=x+4x与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为.717 17【解析】由y=x+4x可得y=1+4x，若PQ长取最小值，则点P在与直线4x+y=0平行的切线上，且PQ垂直于直线4x+y=0，由y'=-4x2=-4，解得x=1或-1.当x=1时，点P(1，5)，则点P到直线4x+y=0的距离为17=91717，即此时PQ=91717；当x=-1时，P(-1，-3)，则点P到直线4x+y=0的距离为17=71717，即此时PQ=71717<91717，则线段PQ长的最小值为71717.8(a，b)在直线2x+3y-1=0上，则代数式2a +3b的最小值为.25【解析】由题意可得2a+3b=1，a>0，b>0，则2a +3b=2a+3b(2a+3b)=13+6ba+6a b ≥13+26ba·6ab=25，当且仅当a=b=15时取等号，所以代数式2a+3b的最小值为25.9.若不等式1x +41-x≥a对任意的x∈(0，1)恒成立，则a的最大值是.9【解析】由x∈(0，1)，得1-x>0，1x +41-x=x+1-xx+4(x+1-x)1-x=5+1-xx+4x 1-x ≥5+21-xx×4x1-x=5+4=9，当且仅当1-xx=4x1-x，即x=13时，取等号，所以1x+41-x的最小值为9，所以a≤9，所以a的最大值为9.[高考冲关](15分钟30分)1.(5分f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f(x)的“上确界”，若a，b∈R*且a+b=1，则-12a −2b的“上确界”为()A.-92B.92C.14D.-4A【解析】因为12a +2b=12a+2b(a+b)=52+b2a+2ab≥52+2b2a·2ab=92，当且仅当b=2a=23时取等号，所以-12a−2b≤-92，即-12a−2b的“上确界”为-92.2.(5分S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S12-S6 S6-7·S6-S3S3-8=0，且正整数m，n满足a1a m a2n=2a53，则1m+8n的最小值是()A.75B.53C.95D.157B【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，则S12-S6S6=q6，S6-S3S3=q3，q6-7q3-8=0，解得q=2(舍负)，则a1a m a2n=a13×2m+ 2n-2=2a53=a13×213，化简得m+2n=15，则1 m +8n=1151m+8n(m+2n)=11517+2nm+8mn≥11517+22nm·8mn=53，当且仅当m=3，n=6时取等号，所以1m +8n的最小值是53.3.(5分)若a>0，b>0，且1a +1b=ab，则a3+b3的最小值为.42【解析】因为a>0，b>0，所以1a +1b=ab≥ab，则ab≥2，所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥2·(2ab-ab)=2()3≥2(2)3=42，当且仅当a=b 时取等号，即a3+b3的最小值为42.4.(5分)已知△ABC的面积S和三边a，b，c满足：S=a2-(b-c)2，b+c=6，则△ABC 面积S的最大值为.36 17【解析】由S=a2-(b-c)2得b2+c2-a2+S=2bc，则2bc cos A+12bc sin A=2bc，所以cos A=1-14sin A，代入cos2A+sin2A=1中解得sin A=817.又b+c=6≥2bc，则bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号，所以△ABC面积S的最大值为12bc sin A≤12×9×817=3617.5.(5分x，y均为正数，且方程(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2成立，则a的取值范围是.1 3，1【解析】由(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2可得a=x2-xy+y2x+xy+y=1-2xyx+xy+y=1-2xy+1+yx，又x，y均为正数，所以xy +yx+1≥2+1=3，0<2xy+yx+1≤23，13≤1-2xy+yx+1<1，则a的取值范围是13，1.6.(5分2ax+by-1=0(a>-1，b>0)经过曲线y=cosπx+1(0<x<1)的对称中心，则1a+1+2b的最小值为.3+222【解析】曲线y=cosπx+1(0<x<1)的对称中心12，1在直线2ax+by-1=0上，则a+b=1，1a+1+2b=121a+1+2b[(a+1)+b]=123+ba+1+2(a+1)b≥1 23+2ba+1·2(a+1)b=3+222，当且仅当ba+1=2(a+1)b时取等号，则1a+1+2b的最小值为3+222.。

高考数学专题28 基本不等式及其应用热点题型和提分秘

专题28 基本不等式及其应用1.了解基本不等式的证明过程。

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

热点题型一利用基本不等式求最值例1、 (1)若x <32，则y ＝x ＋82x －3的最大值为________。

(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为________。

(2)∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，∴x 1＋y 2＝x2＋y2＝2x 2·1＋y 22≤2×x 2＋1＋y 222＝2×x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x ＝32，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫即x 2＝1＋y 22时，x 1＋y 2取得最大值324。

【提分秘籍】利用基本不等式求最值的常用技巧(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式。

(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。

(3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致。

提醒：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解。

【举一反三】已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，则3x ＋4y的最小值是________。

答案：7＋4 3热点题型二基本不等式的实际应用例2、某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)。

如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件。

已知2015年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。

(1)将该厂家2015年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2015年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解析：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2015年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)。

高考数学理科热点题型 28 基本不等式及其应用

专题28 基本不等式及其应用1．设x >0，y >0，且2x ＋y ＝6，则9x ＋3y 有( ) A ．最大值27 B ．最小值27 C ．最大值54 D ．最小值54 【答案】D【解析】因为x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，所以9x ＋3y ≥2＝2＝2＝54，当且仅当x ＝23，y ＝3时，9x ＋3y 有最小值54。

2．已知a ，b 为正实数，函数y ＝2ae x ＋b的图象过点(0,1)，则a 1＋b 1的最小值是( )A ．3＋2B ．3－2C ．4D ．2 【答案】A【解析】因为函数y ＝2ae x ＋b 的图象过(0,1)点，所以2a ＋b ＝1，所以a 1＋b 1＝a 2a ＋b ＋b 2a ＋b＝3＋a b ＋b 2a ≥3＋2，当且仅当a b ＝b 2a ，即b ＝a 时，取等号，所以a 1＋b 1的最小值是3＋2。

3．若正数a ，b 满足a 1＋b 1＝1，则a －11＋b －19的最小值为( ) A ．1 B ．6C ．9D ．16 【答案】B4．设a ＞1，b ＞0，若a ＋b ＝2，则a －11＋b 2的最小值为( ) A ．3＋2 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】A【解析】由a ＋b ＝2可得，(a －1)＋b ＝1。

因为a ＞1，b ＞0，所以a －11＋b 2＝b 2(a －1＋b )＝a －1b ＋b 2(a －1＋3≥2＋3。

当且仅当a －1b ＝b 2(a －1，即a ＝，b ＝2－时取等号。

5．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得＝4a 1，则m 1＋n 4的最小值为( )A.23B.35C.49D.625 【答案】A6．正数a ，b 满足a 1＋b 9＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞) 【答案】D【解析】因为a ＞0，b ＞0，a 1＋b 9＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )b 9＝10＋a b ＋b 9a≥10＋2＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6。

2016年高考文数热点题型和提分秘籍专题28 基本不等式

【高频考点解读】1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【热点题型】题型一通过配凑法利用基本不等式求最值例1、(1)已知x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值；(3)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．(2)因为x >0，所以x 1＋y 2＝2x 212＋y 22 ≤2[x 2＋ 12＋y 22 ]2，又x 2＋(12＋y 22)＝(x 2＋y 22)＋12＝32，所以x 1＋y 2≤2(12×32)＝324，即(x 1＋y 2)max ＝324.(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．【提分秘籍】(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【举一反三】(1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 答案 (1)B (2)C题型二通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值例2、(1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________． (2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 (1)18 (2)6 解析 (1)(常数代换法) ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy ＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18. (2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y· 3y ＋3 －6＝6，当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 【提分秘籍】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【举一反三】(1)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 (1)D (2)5解析 (1)x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋xy ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，即m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2. (2)方法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x ) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.题型三基本不等式与函数的综合应用例3、(1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．【提分秘籍】(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ， a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．【举一反三】已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．答案 94解析由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.题型四基本不等式的实际应用例4、某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m 2；材料工程费在建造第一层时为400 元/m 2，以后每增加一层费用增加40元/m 2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．答案 10【提分秘籍】对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值．【举一反三】(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________．答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20.当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B. (2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)，方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为 1＋p % 1＋q % ≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以 1＋p % 1＋q % <1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙．【高考风向标】1.【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B 、2 C 、 D 、4 【答案】C 【解析】121200a b ab a b a b +=∴=+≥=∴≥ ＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为 C.2.【2015高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,________. 【答案】233.【2015高考福建，文5】若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C 【解析】由已知得111a b +=，则11=()()a b a b a b +++2+b aa b=+，因为0,0a b >>，所以+b a a b ≥，故4a b +≥，当=b aa b ，即2a b ==时取等号．4．（2014·辽宁卷）对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．【答案】－25．（2014·山东卷）若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．【答案】2【解析】T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫b x r＝C r6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.6．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.【答案】C7．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab 得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a b＋4b a ≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号．【答案】7＋4 38．（2014·四川卷）已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.10【答案】B【解析】由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 9．(2013年高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94【答案】C10．（2013·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.3 22【答案】B 【解析】因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时等号成立，故选B.【高考押题】1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R )答案 C解析当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．2．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是() A.14 B ．1 C ．4 D ．8答案 C解析由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a >0，b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1 a ＋b 22＝1 12 2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”． 3．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B ．2 2 C. 2 D ．2 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D ．v ＝a ＋b 2答案 A5．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94答案 C解析由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2. 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.6．若对于任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 a ≥15解析 x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x ，因为x >0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 7．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________．答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．答案 209．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0<x <2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值．解 (1)y ＝x ＋82x －3＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32.当x <32时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52. 故函数的最大值为－52. (2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x 2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x 4－2x 的最大值为 2.10．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？。

2018年高考数学—不等式专题

不等式(必修 5P80A3 改编 )若对于 x 的一元二次方程 x2－(m＋ 1)x－ m＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ________.分析由题意知＝ [(m＋ 1)]2＋＞即2＋＋＞，4m 0. m 6m 1 0解得 m＞－ 3＋2 2或 m＜－ 3－2 2.答案(－∞，－ 3－2 2)∪(－3＋2 2，＋∞ )x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅱ卷 )若x，y 知足拘束条件x＋ y－3≥0，则z＝x－ 2y 的最小值为x－ 3≤ 0，________.分析画出可行域，数形联合可知目标函数的最小值在直线x＝ 3与直线 x－y＋1＝0 的交点 (3， 4)处获得，代入目标函数z＝x－2y获得－ 5.答案－52x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅲ卷 )设 x， y 知足拘束条件x－2y－1≤0，则＝z 2x x≤1，＋3y－5 的最小值为 _____.分析画出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示.由题意可知，2 5 z当直线 y＝－3x＋3＋3过点 A(－1，－1)时，z获得最小值，即 z min＝2×(－ 1)＋3×(－1)－5＝－ 10.2x － y ≤ 0，(2017 ·西安检测 )已知变量 x ， y 知足 x －2y ＋ 3≥ 0，x ≥0，则 z ＝( 2)2x ＋y的最大值为 ________.分析作出不等式组所表示的平面地区，如图暗影部分所示.令 m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线 y ＝－ 2x ＋ m 经过点 A 时，直线 y ＝－ 2x ＋m 的纵截距最大，此时 m 最大，故 z 最大 .由2x －y ＝0，x ＝1，x － 2y ＋3＝0，解得y ＝2，即 A(1，2).代入目标函数 z ＝( 2)2x ＋y得， z ＝ ( 2)2×1＋2＝4.答案42x －y ≤0， (2016·北京卷若，知足 x ＋ y ≤ 3，则 2x ＋ y 的最大值为 ())x yx ≥0，A.0B.3C.4D.5分析画出可行域，如图中暗影部分所示，令 z ＝ 2x ＋y ，则 y ＝－ 2x ＋ z ，当直线 y ＝－ 2x ＋ z 过点 A(1，2)时， z 最大， z max ＝ 4.答案 Cx ＋y ≤2， (2016 ·山东卷 )若变量 x ，y 知足 2x －3y ≤ 9，则 x 2＋ y 2的最大值是 ()x ≥0，A.4B.9C.10D.12分析作出不等式组所表示的平面地区，如图(暗影部分 )所示，x 2＋y 2 表示平面地区内的点到原点的距离的平方，由图易知平面地区内的点 A(3，－1)到原点的距离最大 .因此 x 2＋y 2 的最大值为32＋(－1)2＝10.答案Cx y(2015 ·福建卷 )若直线 a ＋ b ＝ 1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，则a ＋b 的最小值等于()A.2B.3C.4D.5x y1 1分析由于直线 a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，因此 a ＋b ＝1.因此＋＝＋ 1 1 a b a b ＝＝时取 · ＋ ≥2＋2 ·＝，当且仅当 2a b (a b) a b ＝2＋b ＋a b a4a b“＝”，应选 C.答案 Cb 4a的最小值为 () (2016 ·合肥二模 )若 a ， b 都是正数，则 1＋a · 1＋ b A.7 B.8 C.9 D.10分析 ∵a ，b 都是正数，∴ 1＋ b 1＋ 4a b 4ab 4a a b ＝5＋＋ b ≥5＋2 · ＝9，当且仅a a b当 b ＝ 2a>0 时取等号 .应选 C.答案 C1 2(2015 ·湖南卷 )若实数 a ，b 知足 a ＋ b ＝ ab ，则 ab 的最小值为 ()A. 2B.2C.2 2D.4分析1 2 2 2 2依题意知 a ＞0，b ＞0，则＋ ≥ 2 ＝，a babab1 2当且仅当a＝b，即 b＝ 2a 时，“ ＝”建立 .1 2 2 22，由于＋＝ ab，因此ab≥，即 ab≥2a b ab因此 ab 的最小值为 2 2，应选 C 答案 C。

2018届高考第七章第3讲基本不等式及其应用

t t (2)令 t＝ x－1≥0，则 x＝t ＋1，所以 y＝ 2 ＝ . t ＋1＋3＋t t2＋t＋4 1 当 t＝0，即 x＝1 时，y＝0；当 t＞0，即 x＞1 时，y＝ 4 ， t ＋ t ＋1
2
4 因为 t＋ t ≥2 4＝4(当且仅当 t＝2 时取等号)， 1 1 1 所以 y＝ ≤ ，即 y 的最大值为 (当 t＝2， 4 5 5 t＋ t ＋1 即 x＝5 时 y 取得最大值).
x－1 (2)求函数 y＝的最大值. x＋3＋ x－1
5 1 解 (1)因为 x＜4，所以 5－4x＞0，则 f(x)＝4x－2＋＝ 4x－5 1 1 5 － 4 x ＋－＋3≤－2 （5－4x）＋3＝－2＋3＝1. 5－4x 5－4x 1 当且仅当 5－4x＝，即 x＝1 时，等号成立. 5－4x 1 故 f(x)＝4x－2＋的最大值为 1. 4x－5
解析设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x＋2y＝30， 1 1 x＋2y2 225 所以 S＝xy＝2x· (2y)≤2 ＝ 2 ，当且仅当 x＝2y， 2 15 即 x＝15，y＝ 2 时取等号.
15 答案 15 2
考点一配凑法求最值 5 1 【例 1】 (1)已知 x＜4，求 f(x)＝4x－2＋的最大值； 4x－5
x y 解析因为直线a＋b＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)， 1 1 1 1 a b ＋＝2＋＋ ≥ 所以a＋b＝1.所以 a＋b＝(a＋b)· b a a b ab 2＋2 b· a＝4，当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”，故选 C.
答案 C
1 4.若函数 f(x)＝x＋ (x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于( x－2 A.1＋ 2

圆的方程数学(理)热点题型和提分秘籍

专题36 圆的方程2018年高考数学（理)热点题型和提分秘籍1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

热点题型一求圆的方程例1、（1)若圆心在x轴上、半径为错误!的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是（)A．（x－5）2＋y2＝5或（x＋5）2＋y2＝5B．(x＋错误!)2＋y2＝5C．（x－5）2＋y2＝5D．(x＋5）2＋y2＝5(2）如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y －2＝0,x＋y－4＝0，则该三角形的外接圆方程为________。

解析：（1）设圆心坐标为(a，0)（a<0),因为圆与直线x＋2y＝0相切,所以错误!＝错误!,解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5）2＋y2＝5。

（2)因为三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，解方程组可得三个顶点的坐标,分别设为A（1,2），B（2,2），C(3,1）.因为AB的垂直平分线方程为x＝错误!，BC的垂直平分线方程为：x －y－1＝0，解方程组错误!得错误!即圆心坐标为错误!，半径r＝错误!＝错误!,因此，所求圆的方程为错误!2＋错误!2＝错误!。

即x2＋y2－3x－y＝0.【提分秘籍】1．求圆的方程的两种方法(1）直接法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。

（2）待定系数法：①若已知条件与圆心（a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。

2．确定圆心位置的方法（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上.（2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上。

(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线。

提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质。

2018高考数学(理)专题突破—不等式

不等式【考点梳理】1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx ＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间.(2)简单分式不等式的解法.f（x）①>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0).g（x）f（x）②≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.g（x）(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.2.几个不等式(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b).⎛a＋b⎫2(2)ab≤ 2⎪(a，b∈R).⎝⎭(3)a2＋b2a＋b2ab2≥2≥ab≥a＋b(a>0，b>0).(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立).3.利用基本不等式求最值(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值).12(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值4s(简记为：和定，积有最大值).4.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.【题型突破】题型一、不等式的性质及解法【例1】(1)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为()A.{x |x >2或x <－2}C.{x |x <0或x >4} B.{x |－2<x <2}D.{x |0<x <4}1(2)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.1⎤⎡【答案】(1)C (2)⎢－1，2⎥⎣⎦【解析】(1)∵f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，∴(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，则(2a －b )x ＝0恒成立.因此2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2).又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.1(2)f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e x ≥3x 2－2＋2为单调递增函数.1又f (－x )＝－x 3＋2x ＋e －x －e x ＝－(x 3－2x ＋e x －e x)＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a )，1∴2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤2，1⎤⎡故实数a 的取值范围是⎢－1，2⎥.⎣⎦【类题通法】1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化.(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.【对点训练】1e x ·e x ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )(1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________.(2)已知不等式21≥5|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立，则a 的取值范围是________.x －1【答案】(1)R (2)[－1，2]【解析】(1)因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的一次函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，2⎧g （－2）＝x ＋2x ＋1≥0，由题意可知⎨解之得x ∈R .2⎩g （2）＝x －2x ＋1≥0，22(2)设y ＝，y ′＝－<0，x －1（x －1）2故y ＝222在x ∈[2，6]上单调递减，则y min ＝＝5，x －16－121故不等式≥5|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立等价于x －12⎧a －a －2≤0，122⎨5|a －a |≤5恒成立，化简得⎩a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1，2].题型二、基本不等式及其应用x y 【例2】(1)若直线a ＋b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.⎛1⎫x (2)已知函数f (x )＝2＋ 2⎪，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，⎝⎭x 则实数m 的最大值为________.【答案】(1)8(2)4x y 【解析】(1)∵直线a ＋b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，12∴a ＋b ＝1(a >0，且b >0)，⎛12⎫则2a ＋b ＝(2a ＋b ) a ＋b ⎪⎝⎭b 4a ＝4＋a ＋b ≥4＋2b 4a a ·b＝8.b 4a 当且仅当a ＝b ，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立.因此2a ＋b 的最小值为8.(2)由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，（f （x ））2＋4∴m ≤对于x ∈R 恒成立.f （x ）（f （x ））2＋44又＝f (x )＋≥2f （x ）f （x ）∴m ≤4，故实数m 的最大值为4.【类题通法】1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错.【对点训练】32(1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则x ＋y 的最小值是()5A.38B.3 C.8 D.24（f （0））2＋44f （x ）·＝4，且＝4，f （x ）f （0）12(2)若实数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则ab 的最小值为()A.2 B.2 C.22 D.4【答案】(1)C (2)C【解析】(1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝3.∵x ＞0，y ＞0，32⎛32⎫1∴x ＋y ＝ x ＋y ⎪·3(2x ＋3y )⎝⎭9y 4x ⎫11⎛＝3 6＋6＋x ＋y ⎪≥3(12＋2×6)＝8.⎝⎭当且仅当3y ＝2x 时取等号.12(2)依题意知a >0，b >0，则a ＋b ≥2222ab ＝ab ，12当且仅当a ＝b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.12∵a ＋b ＝ab ，∴ab ≥22，即ab ≥22，ab∴ab 的最小值为2 2.题型三、简单的线性规划问题⎧x ＋2y －2≥0，【例3】(1)设变量x ，y 满足约束条件⎨则目标函数z ＝x ＋y 的最大x ≤0，⎩y ≤3，值为()2A.3 B.13C.2 D.32x ＋y ≥0，⎧x ＋2y ≤1，(2)设x ，y 满足约束条件⎨2x ＋y ≥－1，则z ＝3x －2y 的最小值为________.⎩x －y ≤0，【答案】(1)D (2)－5【解析】(1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，3z 3z 由z ＝3x －2y 得y ＝2x －2，求z 的最小值，即求直线y ＝2x －2的纵截距的最大值，⎧2x ＋y ＝－1，3z 当直线y ＝2x －2过图中点A 时，纵截距最大，由⎨解得A 点坐标为⎩x ＋2y ＝1(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.⎧2x －y －4≥0，y ＋1【例4】已知实数x ，y 满足⎨x －2y －2≤0，则z ＝的取值范围是________.x ＋2⎩y ≤6，⎡1⎤【答案】⎢4，1⎥⎣⎦【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，⎧2x －y －4＝0，联立⎨得A (2，0).⎩x －2y －2＝0，⎧y ＝6，联立⎨得点B (5，6).⎩2x －y －4＝0，y ＋1z ＝的几何意义为可行域内的动点与定点P (－2，－1)连线的斜率，x ＋2y ＋11⎡1⎤∵k P A ＝，k PB ＝1，∴z ＝的取值范围为⎢4，1⎥.4⎣⎦x ＋2⎧x －y －2≤0，【例5】已知x ，y 满足约束条件⎨ax ＋y ≥4，目标函数z ＝2x －3y 的最大值是⎩x －2y ＋3≥0，2，则实数a ＝()1A.2 B.13C.2 D.4【答案】A【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵目标函数z ＝2x －3y 的最大值是2，由图象知z ＝2x －3y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2.⎧x －y －2＝0，由⎨解得A (4，2)，⎩2x －3y ＝2，同时A (4，2)也在直线ax ＋y －4＝0上，1∴4a ＝2，则a ＝2.【类题通法】1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【对点训练】⎧x －y ＋3≤0，(1)已知x ，y 满足约束条件⎨3x ＋y ＋5≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值是(⎩x ＋3≥0，A.0B.2C.5D.6)2x－y＋2≥0，5(2)若实数x，y 满足2x＋y－6≤0，且z＝mx －y(m <2)的最小值为－2，则m 等0≤y≤3，于()5A.45B.－6 C.11D.3【答案】(1)C (2)C【解析】(1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z＝x＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，y＝3，5z＝mx －y(m <2)的最小值为－2，可知目标函数的最优解过点A，由2x－y＋2＝0，1解得A 2，3，5m ∴－2＝2－3，解得m ＝1.。

2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破基本不等式及其应用

考点二十四基本不等式及其应用知识梳理1．重要不等式：a2＋ b2≥ 2ab(a，b∈R) ，当且仅当a＝ b 时取等号．a＋ b2．基本不等式：ab≤2( a≥ 0， b≥ 0)，当且仅当a＝ b 时取等号．a＋ b此中2称为a，b的算术均匀数，ab称为 a， b 的几何均匀数 .所以基本不等式可表达为两个非负数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数；也能够表达为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．3.基本不等式的几个常有变形(1)a＋ b≥2 ab (a， b＞ 0)．(2)x＋1≥2(x＞0)，b＋a≥ 2(a，b 同号 )．xa b(3)ab≤a＋b2(a， b∈R)． 2(4)a2＋b2≥a＋b2 (a，b∈R)．224.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指知足等号成立的条件．5.利用基本不等式求最值问题已知 x>0 ， y>0，则s2(1)和定积最大：若 x＋ y＝ s(和为定值 )，则当 x＝ y 时，积 xy 获得最大值4；(2)积定和最小：若 xy＝ p(积为定值 )，则当 x＝ y 时，和 x＋y 获得最小值 2 p.典例分析题型一例 1基本不等式成立条件问题若 a，b∈R，且 ab>0，则以下不等式中，恒成立的是________．① a2＋ b2>2ab②a＋ b≥ 2ab③1＋ 1≥a b 2ab④ b＋ a≥2a b分析∵ a 与 b 可能相等，∴a2＋b2≥ 2ab，故①不正确；关于②、③，当a<0，b<0 时不等式不行立，故②、③不正确；关于④，因为ab>0，∴b a a b a b成立 (当且仅当 a＝ b 时等号a>0，>0，＋≥ 2·＝2b b a b a成立 )．变式训练以下不等式中必定成立的是 ________．①x＋1≥ 2②b＋a≥2③sin x＋1 x a b sin x≥ 2(x≠ kπ， k∈Z )④ x＋1≥ 2(x>0) x答案④分析关于选项①，当x<0 时明显不行立；b关于选项②，当<0 时明显不行立；对选项③，当sin x<0 时明显不行立；只有选项④正确.解题重点在应用基本不等式时，“一正二定三相等”这三者缺一不行.题型二利用基本不等式求最值例 2 (1)若x>0，则x＋2的最小值是________．x(2)当 x>1 时，函数 y＝ x＋1的最小值是 ________．x－ 1答案(1)2 2(2) 3分析(1)由基本不等式可得2222时取等号，故最小值是x＋≥ 2x·＝2 2，当且仅当x＝即 x＝x x x2 2.(2)y＝ x＋1＝ x－ 1＋1＋ 1≥2x－ 1 ·1＋ 1＝3 x－ 1x－ 1x－ 1当且仅当 x－ 1＝1，即 x＝ 2时等号成立. x－ 1变式训练(1) 当 x>1 时， x＋4的最小值为 ________；x－ 1(2)当 x≥ 4 时， x＋4的最小值为 ________．x － 116答案(1)5 (2) 3分析(1)∵ x>1，∴ x－ 1>0.∴ x＋4＝ x－1＋4＋1≥24＋ 1＝ 5. x－ 1x－ 1(当且仅当 x－ 1＝4.即 x＝3 时“＝”号成立)∴ x＋4的最小值为 5.x－1x－ 1 (2)∵ x≥ 4，∴ x－ 1≥ 3.4∵函数 y＝ x＋在 [3，＋∞ )上为增函数，∴当 x － 1＝ 3 时， y ＝ (x － 1)＋4＋1 有最小值16x －13.例 3 设 0<x<2，求函数 y ＝ x 4－ 2x 的最大值分析∵ 0<x<2 ，∴ 2－x>0，x ＋2－ x∴ y ＝ x 4－2x ＝ 2· x 2－x ≤ 2· 2 ＝ 2，当且仅当 x ＝ 2－ x ，即 x ＝1 时取等号，∴当 x ＝ 1 时，函数 y ＝ x 4－ 2x 的最大值为 2.变式训练若 a ， b 均为大于 1 的正数，且 ab ＝ 100，则 lg a ·lg b 的最大值是 ________．答案 1分析∵ a>1， b>1 ，∴ lg a>0， lg b>0.22 lg a ·lg b ≤ lg a ＋ lg b ＝ lg ab ＝ 1.4 4 当且仅当 a ＝b ＝ 10 时取等号．解题重点在利用基本不等式求最值时，要依据式子的特点灵巧变形，配凑出积、和为常数的形式，而后再利用基本不等式．题型三利用 1 的代换求值例 4 已知 a ＞ 0， b ＞0， a ＋ b ＝ 1，则1a ＋1b 的最小值为 ________．答案 4分析∵ a ＞0， b ＞ 0，a ＋ b ＝ 1，1 1 a ＋ b a ＋ b ba≥2＋ 2b a∴ ＋ b ＝＋＝2＋＋·＝ 4，aaba ba b即 1＋ 1的最小值为4，当且仅当 a ＝ b ＝1时等号成立．ab2变式训练已知 x>0， y>0 且 x ＋ y ＝ 1，则 8＋ 2的最小值为 ________．x y答案 18分析∵ x>0， y>0，且 x ＋ y ＝ 1，8 2 8 28y 2x≥ 10＋2 8y 2x ＝ 18. ∴ ＋ y＝ ( ＋ )(x ＋ y)＝ 10＋＋y · xxyxx y当且仅当8y ＝ 2x，即 x ＝ 2y 时等号成立，xy∴当 x ＝ 2， y ＝1时， 8＋2有最小值 18.33 x y解题重点解决这种条件最值问题往常有两种方法：一是消元法，即依据条件成立两个量之间的函数关系，而后辈入代数式转变为函数的最值求解；二是将条件灵巧变形，利用常数代换的方法结构和或积为常数的式子，而后利用基本不等式求解最值．当堂练习1．若 0< x<3，则 y＝ x(3－ 2x)的最大值是 ________．2答案98142．已知 a>0，b>0， a＋b＝ 2，则 y＝a＋b的最小值是 ________．答案9 2分析依题意得1＋4 1 1 41 b 4a)] ≥1 b 4a 9＝(＋)( a＋ b)＝× [5＋ ( ＋×(5＋2×) ＝，当且仅当a b 2 a b2 a b2 a b2a＋ b＝ 2，b ＝4a即 a＝2， b＝4时取等号，即1＋4的最小值是9a b ，33 a b2.a>0，b>0，3. 已知 f(x)＝ x＋1－ 2(x<0)，则 f(x)有 ________．x答案最大值为－ 4分析∵ x<0，∴－ x>0 ，∴ x＋1－ 2＝－ (－x＋1)－ 2≤－ 2－ x ·1－ 2＝－ 4，x－ x－ x当且仅当－ x＝1，即 x＝－ 1 时，等号成立．－xa4．已知函数 f(x)＝ 4x＋x( x>0， a>0) 在 x＝ 3 时获得最小值，则a＝ ______.答案36分析∵ a>0， x>0，∴ f(x)＝a a4x＋≥ 24x·＝ 4 a x xa2当且仅当 4x＝即 a＝ 4x 时等号成立，又 x＝3 时函数获得最小值，∴a＝ 4× 9＝ 36.5．若 2x＋ 2y＝ 1，则 x＋ y 的取值范围是 ________．答案(－∞，－ 2]分析∵ 1＝2x＋ 2y≥ 2 2x·2y＝22x＋y，∴ 2x ＋ y≤ 1，∴ x ＋ y ≤－2. 4课后作业一、填空题1．若 0＜ x ＜ 1，则当 f(x)＝ x(4－ 3x)获得最大值时， x 的值为 ________．答案23分析∵ 0＜x ＜1，∴ f(x)＝ x(4－ 3x)＝ 1·3x(4－ 3x)≤ 1×3x ＋4－3x 2＝4，3323当且仅当 3x ＝4－ 3x ，即 x ＝ 23时，获得“＝”．2．已知 a>0，b>0， ln( a ＋ b)＝ 0，则 ab 的最大值为 ________．答案14分析∵ ln(a ＋ b)＝ 0，∴ a ＋ b ＝ 1，又 a>0， b>0，∴ a ＋ b ≥ 21 ab ，∴ ab ≤ .43．函数 y ＝x 2＋ 2x ＋ 2x ＋ 1(x>－ 1)的图象最低点的坐标为 ________．答案(0,2)x ＋ 1 2＋ 1 1≥2，分析 y ＝x ＋ 1 ＝ x ＋1＋x ＋ 1当 x ＋1＝ 1，即 x ＝ 0 时， y 最小值为 2．x ＋15，则 f(x)＝ 4x ＋1 的最小值为 ________． 4．若 x ＞ 4 4x －5答案 7分析f(x)＝ 4x ＋1 ＝ 4x － 5＋ 1 ＋ 5.4x － 5 4x － 5∵ x ＞5，∴ 4x －5＞ 0，∴ 4x － 5＋1 ≥ 2.44x －5故 f(x)≥ 2＋ 5＝7，等号成立的条件是3x ＝ .2a bx ， y 恒成立，则实数 m 的5．已知 a ， b 为正实数且 ab ＝ 1，若不等式 (x ＋ y)(＋ )>m 对随意正实数x y取值范围是 ________．答案(－∞， 4)分析因为 (x ＋ y)(a ＋ b)＝ a ＋ b ＋ay ＋bx≥ a ＋ b ＋ 2≥2 ab ＋ 2＝ 4，当且仅当 a ＝ b ，ay ＝bx时等号成x yxyx y立，即 a ＝ b ，x ＝ y 时等号成立，故只需 m<4 即可 .6．以下不等式：① a 2＋ 1>2a ；②a ＋ b≤ 2；③ x 2＋ 2 1≥ 1，此中正确的个数是 ________．abx ＋ 1答案 1分析①②不正确，③正确， x 2＋ 21＝(x 2＋1) ＋ 2 1 －1≥2－ 1＝1.x ＋ 1 x ＋11＋2＝ ab ，则 ab 的最小值为 ________． 7．(2015 湖南文 )若实数 a ，b 知足 ab答案 2 2分析由条件 1＋ 2＝ ab 知 a ，b 均为正数．因此可利用基本不等式求解．a b1 2由 1＋ 2＝ ab 知 a>0，b>0，所以 ab ＝ 1＋ 2≥ 2 2 ，即 ab ≥ 2 2，当且仅当a ＝b ，即 aa ba b ab 1 2a ＋b ＝ ab ，＝ 42， b ＝ 2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 22.8．若向量 a ＝( x － 1,2)， b ＝ (4， y)互相垂直，则 9x ＋3y的最小值为 ________．答案 6分析依题意得 4(x － 1)＋ 2y ＝0，即 2x ＋y ＝ 2,9x ＋ 3y ＝ 32x ＋ 3y ≥2 32x ×3y ＝ 232x ＋y ＝ 232＝ 6，当且仅当 2x ＝ y ＝1 时取等号，所以9x ＋ 3y 的最小值是 6.a9．已知函数 f(x)＝ 4x ＋ x ( x>0， a>0) 在 x ＝ 3 时获得最小值，则 a ＝ ________.答案 36分析因为 x>0， a>0，所以 f(x)＝ 4x ＋ a≥ 2 4a ＝ 4 a ，x当且仅当 4x ＝a，即 a ＝4x 2 时取等号．由题意可得a ＝4× 32＝ 36.x10． (2014 年上海卷 )若实数 x ， y 知足 xy ＝1，则 x 2＋ 2y 2 的最小值为 ________．答案 2 2分析x 2＋ 2y 2≥ 2 x 2·2y 2＝ 2 2·xy ＝ 2 2，当且仅当 x 2＝ 2y 2 时等号成立．11．已知 x>0， y>0 ，且 3x ＋ 4y ＝12，则 xy 的最大值为 ______ ．答案 3分析∵ 12＝3x ＋ 4y ≥ 2 3x ·4y ，∴ xy ≤3.二、解答题11 12．已知 a>0， b>0， a＋ b＝ 1，求证： (1＋a)(1 ＋b) ≥ 9.证明方法一∵ a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1＝ 1＋a＋b＝ 2＋b，a a a同理， 1＋1＝2＋a，b b∴ (1＋1)(1 ＋1b a b a)≥ 5＋4＝ 9.a b)＝ (2＋ )(2＋ )＝ 5＋ 2(＋a b a b∴ (1＋1)(1＋1)≥ 9(当且仅当 a＝ b＝1时等号成立 )．a b2方法二1111111＋1≥ 8，(1＋ )(1 ＋)＝1＋＋＋.由 (1)知，a＋a b a b ab b ab故 (1＋1)(1＋1)＝ 1＋1＋1＋1≥ 9.a b a b ab13．(2015 湖南理节选 )设 a＞0， b＞ 0，且 a＋ b＝1＋1.a b证明： a＋ b≥2；证明由 a＋b＝1＋1＝a＋ b， a＞ 0， b＞ 0，得 ab＝1.a b ab由基本不等式及ab＝ 1，有 a＋ b≥ 2ab＝ 2，即 a＋ b≥2.。

不等式(热点难点突破)-2018年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破+Word版含解析【KS5U+高考】

专题03 不等式（热点难点突破）2018年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破1.若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln bB ．0.3a >0.3bC ．a >bD.3a >3b2.设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<lg e<1，即0<a <1，b ＝(lg e)2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lg e ＝12a <a ，又b ＝(lg e)2<lg 10lg e ＝12lg e ＝c ，因此a >c >b .故选B.答案 B3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析 (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立． ∴x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴－12<a <32，故选C.答案 C4．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4} D ．{x |0<x <4} 解析由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 答案 C5．已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2D.655解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D6．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值，故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B7．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 解析由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.答案 B8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 29．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域，选C.答案 C10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.答案 C11．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜ba B.b －ac ＞0 C.b 2c <a 2c D.a －c ac＜0 解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －a c >0，a －c ac <0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c不一定成立．答案：C12．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎨⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝⎛⎭⎫－13，即⎩⎨⎧ba ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，解得2<x <3.答案：A13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．4，＋∞)C ．(0,1]D ．1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)．15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b ，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32时，等号成立．故选B. 答案：B16．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13B.⎣⎡⎦⎤－12，13 C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫－12，1 解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为k MA,1)，即⎣⎡⎭⎫－12，1.答案：D17．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3. 答案：C19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( ) A ．－4,2] B ．(－4,2) C ．－4,1] D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B20．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：x 2＋ax －2>0，即ax >2－x 2. ∵x ∈1,5]，∴a >2x－x 成立．∴a >⎝⎛⎭⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x－x 在1,5]上是减函数，∴⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.故选A. 答案：A21．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y 的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y ，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x ·2y 的最大值为29＝512.答案：51222．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪1，＋∞) 23．已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围．解由⎩⎨⎧1≤lg xy ≤2，2≤lg x3y ≤3变形，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤3lg x －12lg y ≤3，令⎩⎪⎨⎪⎧lg x －lg y ＝a ，3lg x －12lg y ＝b ，解得⎩⎨⎧lg x ＝2b －a5，lg y ＝2b －6a5.∴lgx 33y ＝3lg x －13lg y＝3·2b －a 5－13·2b －6a 5＝1615b －15a . 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤2，2≤b ≤3，得⎩⎨⎧－25≤－15a ≤－15，3215≤1615b ≤165.∴2615≤1615b －15a ≤3，即2615≤lg x 33y ≤3. ∴lgx 33y的取值范围是⎣⎡⎦⎤2615，3.24．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据统计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000 a 元(a >0为常数)．+网(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？解 (1)据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000，即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x >0，故x 的取值范围是(0，50]．(2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则y ＝（100－x ）×3 000×（1＋2x %）＋3 000ax100＝－60x 2＋3 000（a ＋1）x ＋300 000100＝－35x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0<x ≤50)．①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1，则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值；②若25(a ＋1)>50，即a >1，则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．25．某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？26．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解 (1)设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x＋60×200＝800×(x ＋225x)＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000 ＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低．(2)记g (x )＝x ＋225x(0<x ≤14.5)，显然是减函数， ∴x ＝14.5时，g (x )有最小值，相应造价f (x )有最小值，此时宽也不超过14.5米．25．设函数f (x )＝x ln x (x >0)．(1)求函数f (x )的最小值；(2)设F (x )＝ax 2＋f ′(x )(a ∈R )，讨论函数F (x )的单调性；(3)斜率为k 的直线与曲线y ＝f ′(x )交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，求证：1x 2<k <1x 1. (1)解 f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0. ∴当x ＝1e 时，f (x )min ＝1e ln 1e ＝－1e. (2)解 F (x )＝ax 2＋ln x ＋1(x >0)，F ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)，当a ≥0时，恒有F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，令F ′(x )>0，得2ax 2＋1>0，解得0<x <－12a；令F ′(x )<0，得2ax 2＋1<0，解得x >－12a. 综上，当a ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，F (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在 ⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (3)证明由题意k ＝f ′（x 2）－f ′（x 1）x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1. 要证明不等式1x 2<k <1x 1成立，即证x 1<1k<x 2成立，也就是证明x 1<x 2－x 1ln x 2－ln x 1<x 2成立，等价于证明不等式1<x 2x 1－1ln x 2x 1<x 2x 1成立．令t ＝x 2x 1(t >1)，则只要证明1<t －1ln t<t 成立即可，由t >1，知ln t >0，故等价于证明不等式ln t <t －1<t ln t (t >1)恒成立．(*)①令函数g (t )＝t －1－ln t (t ≥1)，则g ′(t )＝1－1t≥0(t ≥1)，故g (t )在1，＋∞)上是增函数，∴当t >1时，g (t )＝t －1－ln t >g (1)＝0，即t －1>ln t (t >1)成立．②令函数h (t )＝t ln t －(t －1)(t ≥1)，则h′(t)＝ln t≥0(t≥1)，故h(t)在1，＋∞)上是增函数，∴当t>1时，h(t)＝t ln t－(t－1)>h(1)＝0，即t－1<t ln t(t>1)．+网由①②知(*)成立，得证。

2018年高考数学专题27应用基本不等式求最值的求解策略黄金解题模板

专题27 应用基本不等式求最值的求解策略【高考地位】基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。

应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。

【方法点评】方法一凑项法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件；第二步使用基本不等式对其进行求解即可；第三步得出结论.例1 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=,则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222-【变式演练1】已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

【答案】max 1y =. 【解析】试题分析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=，当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

【变式演练2】求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

【答案】8.方法二分离法使用情景：某一类函数的最值问题解题模板：第一步首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；第二步把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；第三步将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.例2 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

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