3.1.1～3.1.2 变化率问题 导数的概念40
变化率问题 及导数的概念
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1)
表示.
x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是相对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代替 x2同样Δy=f(x2)-f(x1)
y f (x2 ) f ( x1)
x x 0
x0
x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数,
记作 f (x0 ) 或 y |xx0 , 即
f
( x0
)
lim
x0
y x
=
lim
x0
f (x0 Δx) x
f ( x0 )
.
总结提升
1.f (x0 )与x0的值有关，不同的x0,其导数值一般也不相同. 2.f (x0 )与x的具体取值无关. 3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称 .
1 0
当V从1L增加到2L时,气球半径增加了r(2) r(1) 0.16(dm)
气球的平均膨胀率为 r(2) r(1) 0.16(dm / L)
21
显然 0.62>0.16
思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
解析： r(V2 ) r(V1)
V2 V1
lim x0
x2( x2 2x x x2 )x
8x x 4x 2
8x 4x
lim x0 x2 ( x2 2x x x2 ) x
lim
x 0
x2(
x2
2x
x
最新高考一轮总复习《3.1 导数的概念、意义及运算》
∴切线方程为 y-(-2)=(302 -8x0+5)(x-2),
又切线过点 P(x0,03 -402 +5x0-4),
∴03 -402 +5x0-2=(302 -8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1.
A.y=-2x
B.y=-x
C.y=2x
D.y=x
(方法一)∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax,∴f'(x)=3x2+2(a-1)x+a.
又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)恒成立,
即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,∴a=1,∴f'(x)=3x2+1,∴f'(0)=1,
B.-ln 2
C.
D.2
2
函数 f(x)=ex+ae-x 的导函数是 f'(x)=ex-ae-x.
因为 f'(x)是奇函数,所以 f'(x)=-f'(-x),
即 ex-ae-x=-(e-x-aex),则 ex(1-a)=e-x(a-1),
所以(e2x+1)(1-a)=0,解得 a=1,
所以 f'(x)=ex-e-x.
于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点
的纵坐标.
3.已知切线方程(斜率)求参数的值(取值范围)的关键是能利用函数的导数
等于切线斜率列出方程.
对点训练2
(1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1的全部内容。
3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
导数几何含义
o x0 X0+△xx
2.导数的概念 函数 y f (x) 在 x x0 处的导数可以表示为
lim lim f (x0)'＝ x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
类比平均变化率的几何意义， f ( x0 ) 的几何意义又是什么呢？
从代数的角度： 当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，
y=f(x)
kPQ
y ＝ x
f
( x0
x) x
f
(x0 )
y
Q(x1,y1)
即：当△x→0时，割线
△y
PQ的斜率的极限，就是曲线
P(x0,y0)
△x
M
在点P处的切线的斜率，
o
x
lim lim 所以：k切线＝ x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 )
x
f x0
归纳小结
导数的几何意义
2、切线的斜率：
lim lim k切线＝f (x0)
y x0 x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
3、求切线方程的步骤：
(1)求切线斜率 k f (x0 ) (2)切线方程为：y y0 f (x0 )(x x0 )
4.求曲线的切线方程时,要注意区分“过”一点与 “在”某点求切线问题
讲授新课
问题探究
观 察 如图
3 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2,3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0, f x0
时, 割线PPn的 变 化 趋势是
什么?
y
y fx
P1
T
P
O
x
21-22版：3.1.1 变化率问题~3.1.2 导数的概念（步步高）
学核心素养.
3 随堂演练
PART THREE
1.f(x)＝2x＋1在[1,2]内的平均变化率为
A.0
B.1
√C.2
D.3
解析 f(x)＝2x＋1 在[1,2]上的平均变化率为ΔΔxy＝f22－－1f1＝2.
12345
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是
√A.－1
B.1
C.2
D.－2
反思 感悟
求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点
B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则
2 题型探究
PART TWO
一、函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为 1，哪一点附
3 近的平均变化率最大？
解 在x＝1附近的平均变化率为 k1＝f1＋ΔΔxx－f1＝1＋ΔΔxx2－1＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为 k2＝f2＋ΔΔxx－f2＝2＋ΔΔxx2－22＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝f3＋ΔΔxx－f3＝3＋ΔΔxx2－32＝6＋Δx. 若 Δx＝13，则 k1＝2＋31＝37，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝139， 由于k1<k2<k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.
lim
Δt→0
ΔΔst＝Δlitm→0
(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念新人教A版选修
探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定 义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的 物理意义分别是什么？
提示 瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运 动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平 均速度．
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？ 提示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点 处的导数．
课堂探究案·核心素养提升
题型一 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的
平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的 值．
【自主解答】 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0
【答案】
1 (1)2
(2)见自主解答
●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
2．瞬时变化率的几种变形形式
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
2×12＝5.
题型二 求函数在某点处的导数
例2 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位 移函数为 y＝f(t)＝t3＋3，
①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
【自主解答】 (1)Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔxy＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋Δ1 x＋1，
＋
Δ
x]
上
的
平
均
变
化
率
为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0
＝
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2） Δx
导数的运算法则公式
导数的运算法则公式1. 导数的概念导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，其在x点的导数表示为f'(x)，可以理解为x点处的瞬时变化率。
2. 导数的意义导数有很多实际应用，例如物理学中的速度和加速度，经济学中的边际效应等，都可以通过导数来计算。
此外，导数还可以用于求解函数的极值和函数的图像特征等问题。
3. 导数的计算导数的计算有多种方法，最基本的方法是使用极限定义。
对于f(x)在x点的导数f'(x)，可以用以下极限定义来计算：f'(x) = lim (f(x + h) - f(x)) / h, h->0其中，h为一个无限趋近于0的数。
这个公式的意思是将x点的函数值和x+h点的函数值的差，除以h的值，即得到函数在x点的变化率。
随着h趋近于0，这个差值越来越接近于瞬时变化率，也就是导数。
除了极限定义外，还有一些常见函数的导数公式，如下：(1) 常数函数f(x) = c的导数为0，即f'(x) = 0；(2) 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)；(3) 指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x·ln(a)；(4) 对数函数f(x) = logₐx的导数为f'(x) = 1/(x·ln(a))。
另外，还有一些重要的导数计算法则，如下：(1) 基本运算法则：导数具有线性性质，即（f(x)±g(x))' =f'(x)±g'(x)；(2) 乘法法则：（f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)；(3) 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)) / [g(x)]^2；(4) 复合函数法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)。
变化率与导数的概念、导数的运算
03 高阶导数及其应用
高阶导数的定义与计算
高阶导数的定义
函数一阶导数的导数称为二阶导数，二阶导 数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶 导数的导数称为n阶导数。
高阶导数的计算
高阶导数的计算可以通过连续求导得到，每 求一次导，阶数增加一阶。对于常见的基本 初等函数，其高阶导数有特定的公式或规律 可循。
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。当函数在某一点处的导数大于0时，表示函数在该点处单调增加； 当导数小于0时，表示函数在该点处单调减少；当导数等于0时，表示函数在该点处可能达到极值点或拐点。
可导与连续的关系
可导必连续
如果一个函数在某一点处可导，则该函数在该点处必定连续。这是因为可导的定义中已经包含了函数 在该点处的极限存在且等于函数值这一条件。
成本最小化
企业在给定产量下追求成本最小化时，需要找到使得边际 成本等于平均成本的产量，即求解成本函数的一阶导数等 于零的点。
效用最大化
消费者追求效用最，即求解效用函数的一阶导数等于 零的点。
05 导数在工程学中的应用
曲线拟合与最小二乘法中的导数应用
工程优化问题中的导数应用
优化算法
在工程设计和制造过程中，经常需要解决各种优化问 题，如最小化成本、最大化效率等。导数在这些优化 算法中发挥着重要作用，它们被用来计算目标函数的 梯度或方向导数，以确定搜索方向或步长。
敏感性分析
在工程经济学中，敏感性分析是一种评估项目风险的 方法。它通过计算项目效益指标（如净现值、内部收 益率等）对于各个不确定因素的导数或偏导数，来量 化各因素对项目效益的影响程度。
变化率与导数的概念、导数的运算
目 录
• 变化率与导数的基本概念 • 导数的运算规则 • 高阶导数及其应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程学中的应用 • 数值计算中的导数逼近方法
高中数学选修1课件：3.1.2导数的几何意义
t0 t t0 2
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
物体在时刻 t 的瞬时速度为 v ,
就是物体在 t 到 t+△t 这段时间内,
当△t→0 时平均速度的极限 ，即
v lim s lim st t st
t0 t
内解的：平设均在速[3，度3（.1位]内移的的平单均位速为度m为）v。1，则 △t1=3.1-3=0.1(s) △s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g× 3.12-0.5g×32
=0.305g(m)
所以
v1
s1 t1
0.305 g 0.1
3.05 g(m /
s)
同理v2
s2 t2
0.03005 0.01
t 0
t
例２、 y
y f (x)
相交
oP
x
再来一次
y f (x)
y
Q
Q
Q
P
o
x3 x2x1
T
再来一次
x
上面我们研究了切线的斜率问题, 可以将以上的过程概括如下：
设曲线C是函数 y=f(x) 的图象，
在曲线C上取一点 P及P点邻近的任一点
Q(x0+△x,y0+△y) , 过P,Q两点作割线，
h t
v0
gt0
1 2
gt
当t
0时，h
t
v0
gt0
所以
物体在时刻t0处的瞬时速度为v0-gt0.
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在
点x0处的导数的方法是：
(1)求函数的增量 y f x0 x f x0
3.1.2导数的概念
3.1.2导数的概念【知识点总结】1.瞬时变化率的概念：物体在运动中，在不同的时刻其速度是不同的。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
2.在上一节课中， 我们学习了求函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率： 00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆ 当0x ∆→时，区间00[,]x x x +∆→点0x ，此时函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆上的平均变化率→函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率。
可以表示如下：0x ∆→，00()()=f x x f x y x x +∆-∆∆∆→函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率 或表示如下：函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆ 注意：由以上说法，我们可以求函数在任一时刻0x 的瞬时变化率.（‘→’表示无限趋近于）3.定义导数的概念：一般地，函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率是0000()()lim =lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆∆∆， 我们称它为函数函数()y f x =在点0=x x 处的导数，记作：0()f x '或0=x x y '.即：00000()()()lim=lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆ 或记作： 000=00()()=lim =lim x x x x f x x f x y y x x ∆→∆→+∆-∆'∆∆ 注意1：导数的概念，初听起来有些玄乎，其实就是函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率，或者说就是0x ∆→时00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值。
这样我们可以利用求极限的方法去求函数()y f x =在点0=x x 处的导数，也即函数()y f x =在点0=x x 处的瞬时变化率. 注意2：一般情况下0()f x '反映的是函数()y f x =在点0=x x 附近的变化情况.4.利用导数定义，求函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）的步骤： 第一步：计算函数的增量：00=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）:00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆； 第三步：当0x ∆→时，计算00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆的极限值 （即计算：0000()()lim =lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆∆∆）； 第四步：写出函数函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（导数）.5.区分0()f x 与0()f x '：0()f x 是函数()f x 当0=x x 时的函数值；而0()f x '是函数()f x 在0=x x 处的导数，同时也是函数()f x 在0=x x 处的瞬时变化率.【典型例题】例题一：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是2() 4.9 6.510h t t t =-++，求运动员1t s =时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.解：=(1)(1)h h t h ∆+∆-22[ 4.9(1) 6.5(1)10][ 4.91 6.5110]t t =-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9 3.3t t =-∆-∆ 24.9 3.3= 4.9 3.3h t t t t t∆-∆-∆=-∆-∆∆ 00(1)lim lim( 4.9 3.3) 3.3t t h h t t ∆→∆→∆'==-∆-=-∆ 所以，运动员1t s =时的瞬时速度为 3.3-，这说明运动员在1t s =附近以3.3m s 的速度下降。
导数的定义
解析: (1)f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2,f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71,所以
������(-0.9)-������(-1) 平均变化率为 -0.9-(-1) -1.71-(-2) = =2.9,故应选 D. 0. 1 ������(3.3)-������(3) (2)s(3)=9,s(3.3)=9.6,所以平均速度������ = 3.3-3 0. 6 =2. 0. 3
=
答案: 12 m/s
-5-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.1 变化率与导数
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当堂检测
3.导数的概念 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim ������������������
Δ������ ,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数.记作 f'(x0)或 y'|������ =������ , 0 ������x →0 Δ������ ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) 即 f'(x0)= lim . Δ������ Δ������ →0 ������(������0 +Δ������)-������(������0) Δ������ Δ������ →0
Δ������ 解析: (2)平均变化率 Δ������
.
=
=
11 4-2
������(4)-������(2) 4-2
4-2
=- .
1 8
1 8
答案: (1)D (2)-
-4-
3.1 变化率与导数
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函数与导数的变化率问题
函数与导数的变化率问题函数与导数的变化率问题是微积分中一个重要的概念。
在实际应用中，我们经常需要了解函数随着自变量的变化而产生的变化情况，而导数则提供了函数变化的工具。
本文将探讨函数与导数之间的关系，以及如何通过导数来描述函数的变化率。
一、函数的导数函数的导数是描述函数变化率的重要工具。
对于给定的函数$f(x)$，它在某一点$x=a$处的导数，记作$f'(a)$或$\frac{df}{dx}(a)$，表示函数在该点处的变化速率。
导数的几何意义是函数某一点上切线的斜率。
导数的存在意味着函数在这一点上具有变化率。
简单来说，导数正值表示函数上升，导数负值表示函数下降。
导数的绝对值越大，函数变化的速率越快。
导数还可以为零，这意味着函数在这一点上达到了极值。
二、导数的计算导数的计算有多种方法，常用的方法包括基本的求导法则、链式法则和求极限法。
具体的计算方法取决于函数的形式和性质。
基本的求导法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则和除法法则。
这些法则可以帮助我们根据函数的表达式来计算其导数。
对于更复杂的函数，可以利用链式法则将其分解为基本函数的组合。
同时，求导也需要运用极限的概念，通过逐渐逼近来确定导数的值。
三、导函数的性质导函数具有一些重要的性质，这些性质有助于我们理解函数的变化规律。
1. 可导函数的导函数连续。
如果一个函数在某点可导，那么它在该点的导函数存在且连续。
2. 导函数为0的点可能是函数的极值点。
如果一个函数在某点处导函数为0，那么该点可能是函数的极值点。
但需要注意的是，导函数为0并不意味着一定是极值点。
3. 函数递增的充要条件是导函数大于0。
如果一个函数在某一区间上的导函数始终大于0，那么该函数在该区间上递增。
4. 函数递减的充要条件是导函数小于0。
如果一个函数在某一区间上的导函数始终小于0，那么该函数在该区间上递减。
四、应用举例导数的应用广泛存在于数学和物理等领域。
以下是一些导数在实际问题中的应用举例：1. 曲线的切线和法线：导数可以用来计算曲线在某一点处的切线和法线方程。
1.1 变化率问题 1.2 导数的概念
§3．1.1 变化率问题§3．1.2 导数的概念【学情分析】：本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
【教学目标】：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学过程设计】：气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)hto时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．f附近的变化情况．注：一般地，'(。
导数的概念
不能为0.
(2)一定存在．因为x1，x2属于导数的定义域且x1≠x2. (3)不一定．当且仅当y＝f(x)在x0到x0＋Δx的平均变化率的极 限存在时，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率存在．
0
小结
由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2) 求平均变化率 （3）求极限
'
y x
y f ( x0 ) lim x 0 x
想一想 1.(1)x0＋Δx一定比x0大吗？ (2)导数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率一定存在吗？ (3)导数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率一定存在吗？ 提示：(1)不一定．Δx是一个相对于x的变化量，可正可负,但
从物理的角度看 , 时间间隔 | t | 无限变小时 , 平均 速度v就无限趋近于 t 2时的瞬时速度 .因此, 运动 员在 t 2时的瞬时速度是 13.1m / s.
h ( t t ) h ( t ) 0 0 lim t 0 t
h2 t h2 为了表述方便 , 我们用 lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 13.1".
2．设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是( B )
fx0－fx0－2Δx ① lim ； 2Δx Δx→0 fx0＋Δx－fx0－Δx ② lim ； Δx Δx→0 fx0＋2Δx－fx0＋Δx ③ lim ； Δx Δx→0 fx0＋Δx－fx0－2Δx ④ lim . Δx Δx→0 A．①② B．①③ C．②③
o t
65 探究 计算运动员在0 t 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :
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※高二文科班数学课堂学习单40※班级 姓名 小组3．1.1～3.1.2 变化率问题 导数的概念 一，学习目标:1、 理解函数的变化率、瞬时变化率的意义2、 能求简单函数的导数。
二，自学导航：p72-p76[例1] 求y ＝f (x )＝2x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．小结：1,若函数f (x )在[x 1，x 2]内平均变化率大于0，能否说明函数f (x )在区间[x 1，x 2]上是增函数？2．Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？3．求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，4．求平均变化率的主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.[例2] 求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．若y ＝2x 2＋4x 在x ＝x 0处的导数是8，求x 0的值．小结：1．“Δx →0”的意义是什么？2.求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤为：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.[例3] 建造一栋面积为x m 2的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x 10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．小结：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况导数可以描述任何事物的瞬时变化率．4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．2．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.14．若f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝________.3．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． 5．已知函数f (x )＝4x 2，求f ′(2)．6．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3作直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度．(时间单位：s ，位移单位：m.)7．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，那么它在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－0.88 m/s B ．0.88 m/s C ．－4.8 m/s D ．4.8 m/s 8．物体自由落体的运动方程为：s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝lim Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，下列说法中正确的是( ) A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速度． B ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的速度．C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速率． 9．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.,五，作业一、选择题1．将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( ) A ．8πR ·ΔR B ．8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2 C ．4πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：Δs ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2. 答案：B2．一物体的运动方程是s ＝t ＋1t ，则在t ＝2时刻的瞬时速度是( )A.52B.34 C ．1D ．2解析：Δs ＝2＋Δt ＋12＋Δt －2－12＝Δt －Δt2(2＋Δt )Δs Δt ＝1－12(2＋Δt )t ＝2时的瞬时速度为lim Δt →Δs Δt ＝lim Δt →0[1－12(2＋Δt )]＝34. 答案：B3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定．答案：D4．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim x →f (1＋x )－f (1)x＝( ) A ．2 B ．1 C.12D.14解析：lim x →f (1＋x )－f (1)x＝f ′(1)＝1. 答案：B 二、填空题5．当h 无限趋近于0时，lim h →0 (3＋h )2－32h ＝________.解析：lim h →0 (3＋h )2－32h ＝lim h →0 6h ＋h 2h ＝lim h →0 (6＋h )＝6.答案：66．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________(g ＝10 m/s 2)．解析：Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt ＝30＋5Δt .答案：30＋5Δt8.如图是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 答案：34三、解答题9．利用定义求函数y ＝x 3在x ＝1处的导数． 解：Δy ＝(1＋Δx )3－1＝(1＋Δx )2(1＋Δx )－1 ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx ΔyΔx＝(Δx )2＋3Δx ＋3 y ′|x ＝1＝lim Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋3]＝3. 10．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2，(s 的单位是：m ，t 的单位是：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2 s 时的瞬时速度； (3)求t ＝0 s 到t ＝2 s 时的平均速度． 解：(1)s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt .当Δt →0时，s (Δt )－s (0)Δt →3，所以v 0＝3.(2)s (2＋Δt )－s (2)Δt＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)Δt＝－Δt －1.当Δt →0时，s (2＋Δt )－s (2)Δt →－1，所以t ＝2时的瞬时速度为－1. (3)v ＝s (2)－s (0)2＝6－4－02＝1.[读教材·填要点]1．函数的变化率定义实例作用平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，简记作：ΔyΔx.①平均速度； ②曲线割线的斜率.刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →ΔyΔx. ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率.刻画函数值在x 0点附近变化的快慢.2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. [小问题·大思维]※高二文科班数学课堂学习单40※班级 姓名 小组3．1.1～3.1.2 变化率问题 导数的概念 一，学习目标:2、 理解函数的变化率、瞬时变化率的意义 2、 能求简单函数的导数。
二，自学导航：p72-p76[例1] 求y ＝f (x )＝2x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[自主解答] 当自变量从x 0变到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝[2(x 0＋Δx )2＋1]－(2x 20＋1)Δx＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×1＋2×12＝5.小结：1,若函数f (x )在[x 1，x 2]内平均变化率大于0，能否说明函数f (x )在区间[x 1，x 2]上是增函数？提示：不能说明．理由：函数的平均变化率只描述函数在整个区间内的变化趋势，增量Δx 取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．求出的平均变化率大于0，并不一定说明函数是增函数．如函数f (x )＝x 2在[－1,2]上的平均变化率大于0，但f (x )的图像在[－1，2]上先减后增．2．Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示：Δx ，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为0，平均变化率ΔyΔx 可正、可负、可为零．3．求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，4．求平均变化率的主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.[例2] 求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．[自主解答] Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. y ′|x ＝3＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 再思考：在本例中，若函数在x ＝x 0处的导数是8，求x 0的值．解：根据导数的定义f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝lim Δx →0 4x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝lim Δx →0 (4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴4x 0＋4＝8.解得x 0＝1.小结：1．“Δx →0”的意义是什么？提示：“Δx →0”的意义是：|Δx |无限变小，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，但始终Δx ≠0.2.求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤为：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.[例3] 建造一栋面积为x m 2的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x 10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．[自主解答] 根据导数的定义，得f ′(100)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝lim Δx →100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx ＝lim Δx →0 (110＋100＋Δx －1010Δx )＝lim Δx →0[110＋110(100＋Δx ＋10)]＝0.105(万元/m 2)． f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m 2时，成本增加的速度为1 050元/m 2，也就是说当建筑面积为100 m 2时，每增加1 m 2的建筑面积，成本就要增加1 050元．小结：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况导数可以描述任何事物的瞬时变化率．4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点 四，课堂检测：1．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率． 解：∵Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5) ＝－8Δx －2(Δx )2，∴函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为 Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx＝－8－2Δx . 2．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3 C ．4D ．4.1解析：Δs Δt ＝3＋2.12－(3＋22)2.1－2＝4.1.答案：D3．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． 解：由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数 f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx，而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，又lim Δx →11＋Δx ＋1＝12，所以f ′(1)＝12.4．若f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝________.解析：f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2－3ΔxΔx＝lim Δx →(Δx －3)＝－3. 答案：－35．已知函数f (x )＝4x2，求f ′(2)．解：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4(2＋Δx )2－1＝－4Δx ＋(Δx )2(2＋Δx )2，∴ΔyΔx ＝－4＋Δx (2＋Δx )2. ∴f ′(2)＝lim Δx →0ΔyΔx＝－1.6．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3作直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度．(时间单位：s ，位移单位：m.)解：设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，ΔsΔt＝8＋2Δt ， lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(8＋2Δt )＝8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.7．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，那么它在1.2 s 末的瞬时速度为( )A ．－0.88 m/sB ．0.88 m/sC ．－4.8 m/sD ．4.8 m/s解析：在1.2 s 时的瞬时速度即为s 在t ＝1.2处的导数，由于s ′(t 0)＝li m Δt →02[1－(t 0＋Δt )2]－2(1－t 20)Δt＝－4t 0，∴s ′(1,2)＝－4×1.2＝－4.8(m/s)． 答案：C9．物体自由落体的运动方程为：s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8m/s ，那么下列说法中正确的是( )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速度．B ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的速度．C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt ) s 这段时间内的平均速率． 解析：由于s (t )＝12gt 2，所以由导数的定义可得即s ′(1)＝lim Δt →s (1＋Δt )－s (1)Δt＝9.8 (m/s)．所以9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．答案：C8．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →a (1＋Δx )＋4－(a ＋4)Δx＝a又∵f ′(1)＝2，∴a ＝2. 答案：2,五，作业一、选择题1．将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( ) A ．8πR ·ΔR B ．8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2 C ．4πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：Δs ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2. 答案：B2．一物体的运动方程是s ＝t ＋1t ，则在t ＝2时刻的瞬时速度是( )A.52B.34 C ．1D ．2解析：Δs ＝2＋Δt ＋12＋Δt －2－12＝Δt －Δt2(2＋Δt )Δs Δt ＝1－12(2＋Δt )t ＝2时的瞬时速度为lim Δt →Δs Δt ＝lim Δt →0[1－12(2＋Δt )]＝34. 答案：B3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定．答案：D4．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim x →f (1＋x )－f (1)x＝( ) A ．2 B ．1 C.12D.14解析：lim x →f (1＋x )－f (1)x＝f ′(1)＝1. 答案：B 二、填空题5．当h 无限趋近于0时，lim h →0 (3＋h )2－32h ＝________.解析：lim h →0 (3＋h )2－32h ＝lim h →0 6h ＋h 2h ＝lim h →0 (6＋h )＝6.答案：66．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________(g ＝10 m/s 2)．解析：Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt ＝30＋5Δt .答案：30＋5Δt7.如图是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 答案：34三、解答题8．利用定义求函数y ＝x 3在x ＝1处的导数． 解：Δy ＝(1＋Δx )3－1＝(1＋Δx )2(1＋Δx )－1 ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx ΔyΔx＝(Δx )2＋3Δx ＋3 y ′|x ＝1＝lim Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋3]＝3. 9．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2，(s 的单位是：m ，t 的单位是：s)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2 s 时的瞬时速度； (3)求t ＝0 s 到t ＝2 s 时的平均速度． 解：(1)s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt .当Δt →0时，s (Δt )－s (0)Δt →3，所以v 0＝3.(2)s (2＋Δt )－s (2)Δt＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)Δt＝－Δt －1.当Δt →0时，s (2＋Δt )－s (2)Δt →－1，所以t ＝2时的瞬时速度为－1. (3)v ＝s (2)－s (0)2＝6－4－02＝1.[读教材·填要点]1．函数的变化率定义实例作用平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1，简记作：ΔyΔx.①平均速度；②曲线割线的斜率.刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx.①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.刻画函数值在x0点附近变化的快慢.2．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[小问题·大思维]7．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则起跳后1 s的瞬时速度是________．解析：h′(1)＝limΔt→0Δh Δt＝limΔt→0[－4.9(1＋Δt)2＋6.5(1＋Δt)＋10]－(－4.9×12＋6.5×1＋10)Δt＝limΔt→0－3.3Δt－4.9(Δt)2Δt＝limΔt→0(－3.3－4.9Δt)＝－3.3. 答案：－3.3 m/s。