高考领航新一轮数学理科总复习基础盘点AB演练专题一函数图象与性质的综合应用(含答案详析)
2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
高考第一轮复习——函数图象、函数的综合应用(理)
【本讲教育信息】一. 本周教学内容：函数图象、函数的综合应用二. 本周教学重、难点：1. 掌握利用描点法和图象变换作出函数图象的一般方法；掌握函数图象变化的一般规律；能够利用函数的图象来观察分析函数的性质。
2. 掌握函数与其它数学知识，实际问题的综合，掌握数学模型的构造，函数关系式的建立。
【典型例题】[例1] 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为（ ）A. 1B. 1-C.251-- D. 251+-解：∵ 0>b ∴ 不是前两个图形，从后两个图形看02>-ab∴ 0<a ，故应是第3个图形 ∵ 图象过原点 ∴ 012=-a ，结合0<a∴ 1-=a[例2] 在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称，现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得到的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数)(x f 的表达式为（ ）A. ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x fB. ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x x x x x fC. ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x fD. ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x x x x x f解：由图象求得解析式⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=10,1202,12)(x x x xx h 将)(x h 图象向右平移2个单位，向下平移1个单位得到)(x g 图象∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x xx g ∵ )(x f 与)(x g 的图象关于x y =对称∴ )(x f 与)(x g 互为反函数∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+==-20,221,22)()(1x x x x x g x f[例3] 关于x 的方程x a x x =-+-342恰有三个不相等的实数根，则实数a 的值是 。
高考数学一轮复习函数性质的综合应用-教学课件
时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于( )
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 (2)设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值
为
.
(3)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减
函数,若 f(a)≥f(2),3;1=2-x 得 x= 1 . 2
由图象可以看出,
当 x= 1 时,f(x)取到最小值 3 .
2
2
答案:(1) 1 +2 1 + 1 (2)1 (3) 3
a a2
2
反思归纳 (1)求函数值域与最值的常用方法:
①先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.
②图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低 点,求出最值. ③配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方 法求解. ④换元法:对较复杂的函数可通过换元法转化为熟悉的函数,再用 相应的方法求值域或最值. ⑤基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等” 的条件后,再用基本不等式求出最值. ⑥导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,
2
4
4
(D) 1 2
(2)(2013 年高考天津卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若
实数 a 满足 f(log2a)+f( log 1 a)≤2f(1),则 a 的
2
取值范围是( )
(A)[1,2] (B)(0, 1 ](C)[ 1 ,2](D)(0,2]
3.函数 f(x)= 1 的最大值是( D )
1 x 1 x
(A) 4 5
高考第一轮复习——函数的图象及其变换(理科)
一、学习目标：1. 了解函数图象的基本变换，能画出简单的函数图象。
（一次函数、二次函数、初等函数等）2. 认识函数图象，并能根据函数图象理解函数的性质。
3. 能利用函数图象解决简单的问题。
二、重点、难点：重点：作图→识图→用图难点：函数图象的应用三、考点分析：函数图象是新课标高考命题的重点之一，考查的题型多以选择、填空题出现。
根据新课标高考知识点的要求：只要求掌握对简单的函数图象的认识、应用等。
通过对函数图象这一知识点的考查，进一步考查学生分析问题、解决问题的能力及数形结合的思想方法。
知识网络结构：知识要点解析：（一）作图：1. 一般作图方法：（列表、描点、连线）确定函数定义域、化简函数解析式、讨论函数性质、画出函数图象。
2. 变换作图（1）平移变换：函数)0y的图象可由函数)f(xfxy=的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）(),(≠+a=a平移|a|个单位得到。
（此平移过程中：函数的值域不变）函数)0y的图象可由函数)f(xxfy=的图象向上（b＞0）或向下（b＜0）(≠(,)+b=b平移|b|个单位得到。
（此平移过程中：函数的定义域不变）（2）对称变换函数)(x f y -=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于x 轴对称变换得到。
函数)(x f y -=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于y 轴对称变换得到。
函数)(x f y --=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于原点对称变换得到。
函数)(1x fy -=的图象可由函数)(x f y =的图象作关于直线y ＝x 对称变换得到。
函数|)(|x f y =的图象可通过作函数)(x f y =的图象，然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴的上方，其余部分不变得到。
函数|)(|x f y =的图象可由函数)(x f y =的图象在y 轴右边的部分及该部分关于y 轴对称的部分组成。
（3）伸缩变换：函数)10(),(≠>=A A x Af y 且的图象可由函数)(x f y =的图象上的各点纵坐标伸长（A ＞1）或缩短（0＜A ＜1）原来的A 倍得到。
高考领航新一轮数学理科总复习专题讲练课件一：函数图象与性质的综合应用
• 3．作图、识图和用图是函数图象中的基本 问题．作图的基本途径：求出函数的定义 域；尽量求出值域；变换(化简、平移、对 称、伸缩等)出图象的形状；描点作图．识 图就是从图形中发现或捕捉所需信息，从 而使问题得到解决．用图就是根据需要， 作出函数的图形，使问题求解得到依据， 使函数、方程、不等式中的许多问题化归 为函数图象问题．
1－x 2 ， f(x)＝ 1－log2x，
x≤1 则满足 f(x)≤2 的 x 的 x>1， ( )
【解析】 当 x≤1 时，由 21 x≤2，知 x≥0，即 0≤x≤1.当 x>1
－
1 时，由 1－log2x≤2，知 x≥2，即 x>1，所以满足 f(x)≤2 的 x 的取 值范围是[0，＋∞)． 【答案】 D
且 x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数 y＝f(x)的图象与函数 g(x) lg xx>0 ＝ 1 的图象在(－12,12)内交点的个数为 － x<0 x A．18 C．21 B．20 D．22 ( )
【解析】 因为 f(x＋2)＝f(x)，所以 f(x)的周期为 2，x∈[－1,1]时， lgxx>0 f(x)＝x2， 画出函数 f(x)与 g(x)＝ 1 在(－12,12)内的图象如 － x<0 x 图所示， 发现 f(x)＝x2 在 x 轴右侧的图象与 g(x)＝lg x 有 9 个交点， 1 f(x)＝x 在 x 轴左侧的图象与 g(x)＝－ x在(－12,0)内有 11 个交点，
则
4 4 f3＋f－3的值等于(
)
A．－2 C．2
B．1 D．3
4 1 4 1 2 5 4 4 解析：f( )＝ ，f(－ )＝f(－ )＋1＝f( )＋2＝ ，f( )＋f(－ )＝ 3 2 3 3 3 2 3 3 3. 答案：D
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。
在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。
一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。
判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。
定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。
导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。
2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。
若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。
判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。
3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。
常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。
4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。
高考数学一轮复习知识点归纳总结
高考数学一轮复习知识点归纳总结在高考备考过程中，数学是一个重要的科目。
为了能够顺利地完成高考数学科目的复习备考，有必要对之前学习过的知识点进行归纳总结，以便于加深理解和记忆。
本文将对高考数学一轮复习的知识点进行归纳总结，帮助考生进行有效的复习。
1. 函数与方程1.1 函数的定义和性质1.2 一次函数及其图像1.3 二次函数及其图像1.4 指数函数与对数函数1.5 三角函数及其图像1.6 方程与不等式的解法2. 数列与数列的应用2.1 等差数列2.2 等比数列2.3 数列的通项公式与前n项和公式2.4 等差数列和等比数列的应用3. 三角函数与解三角形3.1 三角函数的定义和基本性质3.2 三角函数的基本关系式3.3 解三角形的基本方法4. 平面向量与坐标系4.1 平面向量的定义和运算4.2 向量的坐标表示与方向角表示 4.3 向量共线与平行4.4 坐标系与平面几何5. 空间几何与立体几何5.1 空间几何中的点、直线和面5.2 空间几何中的位置关系5.3 立体几何中的体积与表面积计算6. 概率与统计6.1 随机事件与概率6.2 条件概率和独立事件6.3 统计与抽样调查7. 导数与微分7.1 导数的概念和性质7.2 常见函数的导数计算7.3 函数的极值与最值7.4 微分与应用8. 积分与定积分8.1 定积分的概念和性质8.2 定积分的计算方法8.3 曲线的长度与旋转体的体积以上是高考数学一轮复习的主要知识点。
在复习过程中，考生可以根据自己的掌握情况，有针对性地选择学习重点，并结合相关题目进行练习和巩固。
同时，复习过程中要注重总结归纳，将重要的公式和解题方法进行整理，以便于在考试中能够快速准确地运用到。
此外，做题时要注重思路和方法的灵活运用，培养解决问题的能力和思维能力。
希望本文所提供的高考数学一轮复习知识点归纳总结对考生们进行复习备考有所帮助，祝愿各位考生能够取得优异的成绩！。
高考领航新一轮数学理科总复习基础盘点AB演练2.12导数的应用(二)(含答案详析)
A 组 基础演练1．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞－22 B ．m ≥－2 2 C ．m ＜2 2D ．m ≤2 2解析：依题意知，x ＞0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x ，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m4≤0时，g (0)＝1＞1恒成立，∴m ≥0成立， 当－m4＞0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m ≤0， 综上，m 的取值范围是m ≥－2 2. 答案：B2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)，80 000 (x ＞400)，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析：由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ， 总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x ＞400)，又P ′(x )＝⎩⎨⎧300－x (0≤x ≤400)，－100 (x ＞400)，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大． 答案：D3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2＞0， ∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )＞0的解集为{x |x ＞－1}， 即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)． 答案：B4．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号)解析：①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对，④不对，由于f ′(3)≠0. 答案：②③5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0， 当x ＞0时，有x ·f ′(x )－f (x )x 2＞0成立，则不等式f (x )＞0的解集为________．解析：设y ＝f (x )x ，y ′＝x ·f ′(x )－f (x )x 2由于f (x )为奇函数，故y ＝f (x )x 为偶函数，且f (－1)＝－f (1)＝0， y ＝f (x )x 在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数， ∴f (x )＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (x )x＞0＝f (1)1，x ＞0，或⎩⎨⎧f (x )x ＜0＝f (－1)－1，x ＜0.∴x ＞1或－1＜x ＜0.答案：(－1,0)∪(1，＋∞)6．(2014·扬州模拟)曲线y ＝3－x 2(x ＞0)上与定点P (0,2)距离最近的点的坐标为________．解析：设曲线上任一点Q (x ，y )，则|PQ |2＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(1－x 2)2＝x 4－x 2＋1(x ＞0)，令f (x )＝x 4－x 2＋1(x ＞0)， 则f ′(x )＝4x 3－2x ＝2x (2x 2－1)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0(舍)，x 2＝22，x 3＝－22(舍)． 令f ′(x )＞0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞；令f ′(x )＜0，得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22.∴f (x ) 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，∴当x ＝22时，f (x )取得极小值，也是最小值．此时y ＝52. ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，527．(2014·聊城三模)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解：设火车的速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km. 由题意，令40＝k ·203，∴k ＝1200， 则总费用f (x )＝(kx 3＋400)·a x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋400x .∴f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋400x (0＜x ≤100)．由f ′(x )＝a (x 3－40 000)100x2＝0，得x ＝2035. 当0＜x ＜2035时，f ′(x )＜0；当2035＜x ＜100时，f ′(x )＞0. ∴当x ＝2035时，f (x )取最小值，即速度为2035km/h 时，总费用最少． 8．(2014·泰安二模)设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax . 求f (x )的单调区间． 解：因f (x )＝ln x －ax ，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞) 且f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x .当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当a ＞0时，若0＜x ＜1a ，f ′(x )＞0， f (x )单调递增；若x ＞1a ，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以，a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)， a ＞0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.9．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0. 求f (x )的单调区间．解：因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．B 组 能力突破1．(理科)(2013·辽宁)设函数f (x )满足x 2·f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x ＞0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：令F (x )＝x 2·f (x )，则f ′(x )＝F ′(x )·x 2－2xF (x )x 4＝e x x ·x 2－2xF (x )x 4＝e x －2F (x )x 3， 令h (x )＝e x －2F (x )，则h ′(x )＝e x－2e x x ＝e x(x －2)x . 当0＜x ＜2时，h ′(x )＜0，h (x )在(0,2)上为减函数． 当x ＞2时，h ′(x )＞0，h (x )在(2，＋∞)上为增函数， 故h (x )≥h (2)在x ∈(0，＋∞)上恒成立． h (2)＝e 2－2·F (2)＝e 2－2[22·f (2)]＝e 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫4×e 28＝0，即h (x )≥h (2)＝0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 则f ′(x )＝e x －2F (x )x 3≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的， ∴f (x )在(0，＋∞)上无极值，故选D. 答案：D1．(文科)(2013·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0解析：由三次函数的值域为R 知，f (x )＝0必有解，A 项正确；因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象可由y ＝x 3平移得到，所以y ＝f (x )的图象是中心对称图形，B 项正确；若y ＝f (x )有极值点，则其导数y ＝f ′(x )必有2个零点，设为x 1, x 2(x 1＜x 2)，则有f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3(x －x 1)(x －x 2)，所以f (x )在(－∞，x 1)上递增，(x 1, x 2)上递减，(x 2，＋∞)上递增，则x 2为极小值点，所以C 项错误，D 项正确．选C. 答案：C2．(2014·长沙模拟)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：f (x )(1)f (x )的极小值为________；(2)若函数y ＝f (x )－a 有4个零点，则实数a 的取值范围为________． 解析：(1)由y ＝f ′(x )的图象可知，(2)y ＝f (x )的图象如图所示：若函数y ＝f (x )－a 有4个零点，则a 的取值范围为1≤a ＜2. 答案：(1)0 (2)[1,2)3．(理科)(2014·济南模拟)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)＜g (x 2)，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x (x ＞0)． (1)f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (2)f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x ＞0)．①当a ≤0时，x ＞0，ax －1＜0，在区间(0,2)上，f ′(x )＞0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )＜0， 故f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当0＜a ＜12时，1a ＞2，在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，f ′(x )＞0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a .③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x ，故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)． ④当a ＞12时，0＜1a ＜2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )＞0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2.(3)由已知，在(0,2]上有f (x )max ＜g (x )max . 由已知，g (x )max ＝0，由(2)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln 2＝－2a －2＋2ln 2， 所以，－2a －2＋2ln 2＜0，解得a ＞ln 2－1，故ln 2－1＜a ≤12.②当a ＞12时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2－12a －2ln a . 由a ＞12可知ln a ＞ln 12＞ln 1e ＝－1,2ln a ＞－2，－2ln a ＜2， 所以，－2－2ln a ＜0，f (x )max ＜0， 综上所述，a ＞ln 2－1.3．(文科)(2014·南京模拟)已知函数f (x )＝mxx 2＋n(m ，n ∈R )在x ＝1处取得极值2. (1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝x 2－2ax ＋a ，若对于任意的x 1∈R ，总存在x 2∈[－1,1]，使得g (x 2)≤f (x 1)，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝m (n －x 2)(x 2＋n )2，依题意有：f ′(1)＝m (n －1)＝0，f (1)＝m1＋n＝2， 解得m ＝4，n ＝1；f (x )＝4xx 2＋1. (2)要使得对于任意的x 1∈R ，总存在x 2∈[－1,1]，使得g (x 2)≤f (x 1)， 只需g min (x )≤f min (x )，f ′(x )＝4(1－x )(1＋x )(x 2＋1)2＝0，得到x ＝±1，列表如下：∴f min (x )＝f (－1)＝－2， 故只需g min (x )≤－2，g (x )的图像开口向上，对称轴为x ＝a ，当a ≤－1时，g min (x )＝g (－1)＝1＋3a ≤－2，得a ≤－1；当－1＜a＜1时，g min(x)＝g(a)＝a－a2≤－2，得a≤－1或a≥2，不符题意；当a≥1时，g min(x)＝g(1)＝1－a≤－2，得a≥3.综上，a的取值范围是a≤－1或a≥3.4．(经典考题)已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e＝2.718 28……是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由f(x)＝ln x＋ke x，得f′(x)＝1－kx－x ln xx e x，x∈(0，＋∞)，由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝1x e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0.又e x＞0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间(1，＋∞)．。
高三数学一轮复习第二章函数函数的综合应用课件文
1.掌握几类基本初等函数的图象与性质,如一次函数、二次函数、 反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数等. 2.几种常见的函数模型: (1)一次函数模型f(x)=kx+b(k≠0), (2)反比例函数模型f(x)= k (k≠0),
x
(3)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0), (4)指数函数模型f(x)=b·ax+c(a>0且a≠1),
(A)70元. (B)60 元. (C)50元. (D)55元.
【解析】设售价为x(50≤x≤100),每个的利润为x-40元, 能卖出的个数为500-10(x-50)=1000-10x, ∴利润为f(x)=(1000-10x)(x-40)=-10(x-70)2+9000≤9000(当且仅当x=7 0时取等号). ∴售价定为70元时,赚到最大利润9000元.
4.函数可与其他大部分知识相结合,故函数的知识是解决综合试题的基 础.
【答案】A
1.建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围, 二是要检验所得结果,必要时运用估算或近似值分析结果是否符合 实际问题的要求. 2.在将实际问题向数学问题转化的过程中,要充分地利用数学语言, 如引入字母、列表、画图、建立坐标系等理解题意,并使实际问题 数学化.
3.解决应用题的关键是理解题意,一方面要加强对常见函数模型的 理解,弄清其实际的背景,把数学问题生活化;另一方面要加强变量之 间的分析能力,能从实际问题中分析几个量之间的内在联系,设出其 中几个量,消去中间量,从而建立函数模型.
数学新课标高考一轮复习训练手册(理科) 第9讲《函数的图象及性质的综合应用》人教A版必修1
课时作业(九) [第9讲 函数的图象及性质的综合应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身 1．[2011·郑州模拟] 若函数f (x )是R 上的减函数，且f (x )的图象经过点A (0,3)，B (3，－1)，则不等式|f (x ＋1)－1|<2的解集是( )A ．{x |0<x ≤2}B ．{x |0≤x <2}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |－1<x <2} 2．[2011·山东卷] x －x 2的图象大致是( )图K9－13．已知方程2x ＋x ＝0的实根为a ，log 2x ＝2－x 的实根为b ，log 12x ＝x 的实根为c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b >c >aB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c4．[2011·豫南九校联考] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 能力提升5．[2011·洛阳模拟] 函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )6．[2011·哈密模拟] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图K9－3，则b 的取值范围为( )A ．b <0B ．b >0C ．b ≤0D ．b ≥0 7．[2011·淮南一模] 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图K9－4所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )－8．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度9．已知定义域为R 的函数f (x )在[2，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则( )A ．f (－1)<f (0)<f (2)<f (3)B ．f (－1)<f (3)<f (0)<f (2)C ．f (－1)<f (0)<f (3)<f (2)D ．f (2)<f (3)<f (0)<f (－1)10．[2011·郑州模拟] 如图K9－6，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ________(填序号)．图K9－11．[2011·宁化质检] 已知定义在[0，＋∞)上的函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图K9－8所示，则不等式f (x )·g (x )>0的解集是________．－812．从今年的x (x ∈[1,8)年内起，小李的年薪y (单位万元)与年数x 的关系是y ＝2＋0.2x ，小马的年薪与年数x 的关系是y ＝0.5＋1.2x ，大约经过________年，小马的年薪超过小李．13．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在[－1,0]上是增函数，下面五个关于f (x )的命题中：①f (x )是周期函数；②f (x )图象关于x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上为减函数；⑤f (2)＝f (0)．正确命题的序号是________．14．(10分)如图K9－9，在第一象限内，矩形ABCD 三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝－18x 2＋58x 的图象上，且矩形的相邻的边分别与两坐标轴平行．若A 点的纵坐标是2，求顶点D15．(13分)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间，f (x )的解析式(不必写推导过程)．难点突破16．(12分)已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)．设函数f (x )＝g (x )x .(1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值； (2)k (k ∈R )如何取值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点．课时作业(九)【基础热身】1．D [解析] 化简原不等式得－1<f (x ＋1)<3，又∵f (x )的图象经过A (0,3)，B (3，－1)，∴f (0)＝3，f (3)＝－1，∴f (3)<f (x ＋1)<f (0)，∵函数f (x )为减函数，∴0<x ＋1<3，－1<x <2.2．A [解析] 设f (x )＝2x －x 2，f (－1)＝－12<0，f (0)＝1>0，f (3)＝－1<0，f (5)＝7>0，故函数y ＝2x －x 2至少在区间(－1,0)，(0,3)，(3,5)内有三个变号零点，综合各个选项可知只有选项A 符合这个性质．故选A.3．A [解析] 利用图象确定函数交点．4．B [解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位得到f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ωπ2＋φ＝sin(ωx ＋φ)的图象，与原图象重合，故ωπ2＝2k π，k ∈Z ，故ω不可能是6.【能力提升】5．A [解析] 函数有意义，需使e x －e －x ≠0，其定义域为{x |x ≠0}，排除C ，D ，又因为y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，所以当x >0时函数为减函数，故选A.6．A [解析] 解法一：观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)＝0，得d ＝0，又f (x )的图象过点(1,0)，∴a ＋b ＋c ＝0①，又有f (－1)＜0，即－a ＋b －c ＜0②，①＋②得b ＜0.解法二：由图象知f (x )＝0有三根0,1,2，∴f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax ，∴b ＝－3a ，∵a >0，∴b ＜0.7．A [解析] 设f (x )的零点为a ，b ，由图可知0<a <1，b <－1，则g (x )是一个减函数，可排除C 、D ，再根据g (0)＝1＋b <0，可排除B ，故正确选项为A.8．C [解析] 变换函数的解析式为y ＝lg(x ＋3)－1，只要把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度即可．答案为C.9．C [解析] 函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，图象关于y 轴对称，把这个函数图象向右平移2个单位即得到函数y ＝f (x )的图象，即函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．由函数f (x )在[2，＋∞)上为减函数，则函数f (x )在(－∞，2]上为增函数．由f (3)＝f (4－3)＝f (1)，故f (－1)<f (0)<f (3)<f (2)，正确选项为C.10．③ [解析] 当0<t ≤22时，f (t )＝12·t ·2t ＝t 2，当22<t ≤2时，f (t )＝1－12·(2－t )·2(2－t )＝－t 2＋22t －1，即函数f (t )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22上是开口向上的抛物线，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2上是开口向下的抛物线，故填③.11.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪0<x <12或1<x <2或x >2 [解析] 由题图可知，当0<x <12时，f (x )>0，g (x )>0；当12<x <1时，f (x )>0，g (x )<0； 当1<x <2时，f (x )<0，g (x )<0； 当x >2时，f (x )>0，g (x )>0. 因此f (x )·g (x )>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪0<x <12或1<x <2或x >2.12．6 [解析] 画出函数图象，从图象上观察知道在这8年内先是小马的年薪低，中间超过了小李．令函数f (x )＝2＋0.2x －0.5－1.2x ＝1.5＋0.2x －1.2x ，则f (5)＝2.5－2.488 32>0，f (6)＝2.7－1.26＝2.7－2.985 98<0，根据函数的零点定理，存在x 0∈(5,6)，当x >x 0时，0.5＋1.2x >2＋0.2x ，由于x 是正整数，故在第6年小马的年薪超过小李的年薪．13．①②⑤ [解析] 由于f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，函数f (x )是以2为周期的周期函数，故命题①正确；由于f (2－x )＝f (－x )＝f (x )，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，命题②正确；偶函数在定义域关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故命题③不正确；根据周期性，函数在[1,2]上的单调性与[－1,0]的单调性相同，故命题④不正确；根据周期性，命题⑤正确．14．[解答] 显然，D 点的横坐标与A 点的横坐标相等，纵坐标与C 点的纵坐标相等．由于A 点在y ＝log 22x 的图象上，其纵坐标为2，所以横坐标为x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12.要求C点的纵坐标，需要求其横坐标，而它的横坐标等于B 点的横坐标．因为B 点的纵坐标y B＝y A ＝2，所以x C ＝x B ＝4，从而y D ＝y C ＝12，故D ⎝⎛⎭⎫12，12.15．[解答] (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，从而得 f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )，故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )，f (x )＝⎩⎨⎧x －4k (4k －1<x ≤4k ＋1)，2＋4k －x (4k ＋1<x ≤4k ＋3)＝1－|x －(4k ＋1)|(4k －1<x ≤4k ＋3，k ∈Z )． 【难点突破】16．[解答] (1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则g ′(x )＝2ax ＋b ， 又g ′(x )的图象与直线y ＝2x 平行， ∴2a ＝2，a ＝1.又g (x )在x ＝－1处取最小值，∴－b2＝－1，b ＝2. ∴g (－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m . f (x )＝g (x )x ＝x ＋mx ＋2，设P (x 0，y 0)， 则|PQ |2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，∴22m 2＋2m ＝2，∴m ＝－1±2.(2)由y ＝f (x )－kx ＝(1－k )x ＋mx ＋2＝0，得(1－k )x 2＋2x ＋m ＝0，(*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝－m2；当k ≠1时，方程(*)有两解⇔Δ＝4－4m (1－k )>0，若m >0，k >1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；若m <0，k <1－1m，函数y ＝f (x )－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；当k ≠1时，方程(*)有一解⇔Δ＝4－4m (1－k )＝0，k ＝1－1m ，函数y ＝f (x )－kx 有一个零点x ＝1k －1.。
2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第11讲函数的图象学生版
第11讲 函数的图象 思维导图知识梳理1．利用描点法作函数的图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )．②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )．③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)．(3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|．②y ＝f (x )――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．题型归纳题型1作函数的图象【例1-1】已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-⎨⎪->⎩．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象；（Ⅱ）若1()4f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【跟踪训练1-1】已知函数22||1y xx =--．（1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间．【名师指导】作函数图象的两种常用方法1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型2函数图象的识辨【例2-1】函数241x y x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【例2-2】已知函数()f x 的图象如图所示，那么该函数可能为( )A ．()||lnx f x x =B ．||()ln x f x x= C ．1,0()(1),0x x x x f x e x e x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．22,0()(),0lnx x x f x ln x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩ 【例2-3】已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【跟踪训练2-1】函数3222x x x y -=+在[6-，6]的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【跟踪训练2-2】已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是( )A ．sin()x x y e e -=+B ．sin()x x y e e -=-C ．cos()x x y e e -=-D ．cos()x x y e e -=+【跟踪训练2-3】如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【名师指导】 识别函数图象的方法技巧 函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．题型3函数图象的应用【例3-1】函数322x y x lgx -=+的图象( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称 【例3-2】已知定义在R 上的偶函数()y f x =部分图象如图所示，那么不等式()0xf x >的解集为 ．【例3-3】已知函数[],0,()(1),0,x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=．若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．【跟踪训练3-1】函数31(0)()31(0)x x x f x x -⎧+<=⎨-+⎩，若函数y m =的图象与函数()y f x =的图象有公共点，则m 的取值范围是 ．【跟踪训练3-2】已知函数()log a f x x =和()(2)g x k x =-的图象如图所示，则不等式()0()f xg x 的解集是 ．【名师指导】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第二章 §2.5 函数性质的综合应用
∵f(x)＝f(2－x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∵f(x)在区间[1,2]上单调递减， ∴f(x)在区间[0,1]上单调递增， 又∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)， ∴f(2－x)＝f(－x)， ∴f(x)是周期为2的函数， ∴f(x)在区间[－2，－1]上也单调递增.
x2，则f(2 023.5)等于
A.－0.75
B.－0.25
C.0.25
√D.0.75
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
由f(x)＋f(x＋2)＝0， 得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)， 则f(x＋4)＝f(x)， 所以4是f(x)的一个周期， 故f(2 023.5)＝f(3.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1－0.52＝0.75.
因为f(x)在(－1,0]上单调递增，且T＝4， 所以f(x)在(3,4]上单调递增， 又图象关于点(2,0)对称， 所以f(x)在[0,1)上单调递增， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)在(1,2]上单调递减，故C正确；
根据f(x)的周期为4，可得f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(2)，f(2 023)＝ f(－1)， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)， 由C选项的分析可知，函数f(x)在[0,1)上单调递增，在(－1,0]上单调 递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，则 f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不成立，故D错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.(2023·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x) ＝f(x)，且f(x)在(－1,1)上单调递增，则 A.f(－5.3)<f(5.5)<f(2)
高考数学一轮总复习函数与极限的综合运用
高考数学一轮总复习函数与极限的综合运用在高考数学中，函数与极限是一个非常重要且常见的考点。
掌握函数与极限的综合运用是提高数学成绩的关键。
本文将从多个角度对函数与极限的综合运用进行探讨，并提供相关例题进行讲解，帮助考生更好地应对高考数学考试。
一、函数与极限的基本概念回顾在开始综合运用之前，我们需要对函数与极限的基本概念进行回顾。
函数是一种关系，将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
极限是函数在某个点或无穷远处的趋势性质。
考生要熟练掌握函数的定义、性质以及极限的定义、性质，才能更好地进行综合运用。
二、函数与极限的综合运用方面1. 函数与极限的图像分析与判断：在图像分析与判断中，考生需要根据函数的定义域、值域、奇偶性、周期性等性质，来判断函数图像的特征。
同时，根据函数极限的概念，结合图像来判断函数在某个点的极限值。
此外，还需要考虑函数图像的对称性、单调性等特点来进行判断。
2. 函数与极限的方程与不等式求解：在方程与不等式求解中，函数与极限发挥了重要的作用。
考生可以通过构造与函数相关的方程或不等式，利用函数的性质和极限的定义进行求解。
这种方法常用于求函数的零点、最值以及满足一定条件的变量取值范围等问题。
3. 函数与极限的近似计算：在函数与极限的近似计算中，考生需要利用极限的性质，通过不断逼近来获得函数的近似值。
例如，可以用泰勒展开式或二分法对函数进行逼近，从而得到函数的近似解。
这种方法常用于无法直接计算函数值的情况下，通过逼近来获取结果。
4. 函数与极限的综合应用题：在综合应用题中，函数与极限起到了桥梁的作用。
考生需要将实际问题转化为函数与极限的关系，并进行相应的数学建模与分析。
通过构造函数的定义、极限的定义以及相关方程、不等式，来解决实际问题，得到问题的解答。
三、例题解析为了更好地理解函数与极限的综合运用，我们举一些例题进行解析。
例题1：已知函数 $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函数 $g(x)=\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ 的极限值。
【高考领航】高考数学新一轮总复习 3.8 应用举例基础盘点系统化AB演练 理
【高考领航】2015届高考数学新一轮总复习 3.8 应用举例基础盘点系统化AB 演练 理A 组 基础演练1．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2 cos 10°D ．cos 20°解析：如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°. 在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.答案：C2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和aB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α解析：从题图中可以看出，不能直接测量出a 及c ，故A 、B 、C 均不适宜．只需测量出b 和α(在河边一侧即可测出)，此时，β＝π2－α，在△ABC 中，利用正弦定理，可得bsin β＝asin α，∴a ＝b sin αsin β＝b sin αcos α＝b tan α. 答案：D3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里答案：C4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m 解析：设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度为50 m. 答案：A5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里． 解析：由正弦定理，知BC sin 60°＝AB－60°－.解得BC ＝56(海里)．答案：5 66．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝302(km)．答案：30 27．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．解析：在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x－96＝0，解之得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)． 在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.答案：8 28．如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°， 由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝30sin 30°sin 135°＝152(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan∠ACB ＝152tan 60° ＝156(m)．所以塔高AB 为156m.9．某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内． (1)求∠BAC 的大小； (2)求点O 到直线BC 的距离．解：(1)在△ABC 中，因为AB ＝80，BC ＝70，CA ＝50，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC＝802＋502－7022×80×50＝12.因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝π3.(2)因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．设外接圆的半径为R ， 在△ABC 中，由正弦定理得BCsin A＝2R ， 因为BC ＝70，由(1)知A ＝π3，所以sin A ＝32.所以2R ＝7032＝14033，即R ＝7033.过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，在△OBD 中，OB ＝R ＝7033，BD ＝BC 2＝702＝35，所以OD ＝ OB 2－BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫70332－352＝3533. 所以点O 到直线BC 的距离为3533m.B 组 能力突破1．(2014·浙江金丽衢十二校联考)已知我省某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为 A ．10小时 B ．8小时 C ．6小时D ．1小时解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5－A ＋b ＝0.52πω＝12，A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，y ＝0.5cos π6t ＋1.令y＝0.5cos π6t ＋1>1.25(t ∈[0,24])得cos π6t >12.又t ∈[0,24]，π6t ∈[0,4π]，因此0≤π6t ＜π3或5π3＜π6t ≤2π或2π≤π6t ＜2π＋π3或2π＋5π3＜π6t ≤2π＋2π，即0≤t ＜2或10＜t ≤12或12≤t ＜14或22＜t ≤24，在一日内，海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时． 答案：B2．(2014·北师大附中模拟)一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．202海里D ．203海里解析：如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°， ∠ABC ＝105°，即AB ＝40×12＝20(海里)．∴∠BCA ＝45°，∴由正弦定理可得：AB sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(海里)．答案：A3．上海世博园中的世博轴是一条1 000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧，现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是______m. 解析：如图所示，设A ，B 为世博轴的两端点，C 为中国馆，由题意知∠ACB ＝120°，且AC ＝BC ，过C 作AB 的垂线交AB 于D ，在Rt △CBD 中，DB ＝500 m ，∠DCB ＝60°， ∴BC ＝1 00033m.答案：1 000334．景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长．(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。
高考领航新一轮数学理科总复习基础盘点AB演练专题一函数图象与性质的综合应用(含答案详析)
A 组基础操练1．假如 log x<log y<0，那么()A ．y<x<1B ． x<y<1C ．1<x<yD ．1<y<xlog x<log y ，分析：不等式转变为? 1<y<x.log y<0答案： Dx－ x2．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)知足 f(x)＋g(x)＝a － a＋ 2(a>0，且 a ≠1)．若 g(2)＝a ，则 f(2)等于()A ．2B. 15 4172C. 4 D ．a 分析： ∵f(x)是奇函数， g(x)是偶函数， ∴由f(x)＋ g(x)＝a x － a －x＋ 2，①得－ f(x)＋g(x)＝a－x－ a x ＋2，②①＋②，得 g(x)＝ 2，①－②，得 f(x)＝a x－a－x.又 g(2)＝a ，∴a ＝2，∴f(x)＝2x －2－x，22 15∴f(2)＝2 － 2－＝ 4 .答案： B．函数 1 的图象与函数 y ＝2sin x(π－2≤x ≤4)的图象全部交点的横坐标之3y ＝1－x和等于( )A ．2B． 4C．6D．8分析：令 1－ x＝ t，则 x＝1－t.由－ 2≤ x≤ 4，知－ 2≤1－t≤4，所以－ 3≤ t≤3.又 y＝ 2sin xπ＝2sin π－(1t)＝ 2sin tπ.1在同一坐标系下作出y＝t和 y＝2sin tπ的图象．由图可知两函数图象在 [ －3,3]上共有 8 个交点，且这8 个交点两两对于原点对称．所以这 8 个交点的横坐标的和为0，即 t1＋ t2＋＋t8＝ 0.也就是 1－x1＋1－ x2＋＋ 1－ x8＝0，所以 x1＋ x2＋＋x8＝8.答案： D4．定义在R上的函数知足以下三个条件：①对随意的 x∈R，都有 f(x＋ 4)＝f(x)；②对随意的 x1，x2∈ [0,2]且 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)；③函数 f(x＋2)的图象对于y轴对称，则以下结论正确的选项是() A．f(4.5)<f(7)<f(6.5)B．f(7)<f(4.5)<f(6.5)C．f(7)<f(6.5)<f(4.5)D．f(4.5)<f(6.5)<f(7)答案： A5．设 a>0， a ≠ 1，函数 f(x)＝ log a (x 2－ 2x ＋3)有最小值，则不等式 log a (x －1)>0的解集为 ________．分析： ∵x 2－2x ＋ 3>0，即 (x －1)2＋ 2>0 的解集为 R ，∴函数f(x)＝log a (x 2－2x ＋3)的定义域为 R .又∵函数 y ＝x 2－2x ＋3 有最小值 2，无最大值．据题意有 a>1.x － 1>0，∴log a (x －1)>0＝ log a 1 等价于x － 1>1，解得 x>2，即不等式 log a (x －1)>0 的解集为 (2，＋ ∞ )．答案： (2，＋∞ )216．已知不等式 x － log a x<0，当 x ∈ 0，2 时恒建立，实数 a 的取值范围是 ________．分析：由 x 2－log a x<0，得 x 2<log a x.设 f(x)＝x 2，g(x)＝ log a x.1由题意知，当 x ∈0，2 时，函数 f(x)的图象在函数 g(x)的图象的下方，如图，0<a<1，0<a<1， 11 11 2 1 ，解得可知即16≤ a<1.∴实数a 的取值范围是f 2 ≤g 2 ， 2 ≤log a 21，1 .16答案： 1 ，116a x －5 x>6 ，7．已知函数 f(x)＝a在 R 上是单一递加函数，则实数a 的4－2 x ＋4 x ≤6 ，取值范围为 ________．a>1a>1a分析：由题意知，实数 a 应知足4－2>0，即 a<8 ，解a×6＋4≤a6－5a ≥74－2得 7≤a<8.答案： [7,8)a18．已知 a>0，且 a ≠1，f(log a x)＝ a 2－ 1 x －x .(1)求 f(x)；(2)判断 f(x)的单一性；(3)求 f(x 2－ 3x ＋2)<0 的解集． 分析： (1)令 t ＝log a∈ ，则 ＝ t，x(t R ) x a且 f(t)＝at 12 a － a t .a －1∴f(x)＝ 2 a (a x－a－x)(x ∈R )．a － 1(2)当 a>1 时， a x－ a－x为增函数，又 2 a>0，∴f(x)为增函数；a －1当 0<a<1 时， a x － a－x为减函数，又 2 a<0，∴f(x)为增函数．a －1∴函数f(x)在 R 上为增函数．a(3)∵f(0)＝ 2 (a 0－ a 0 )＝0，a －1∴f(x 2－3x ＋ 2)<0＝f(0)．由 (2)知： x 2－3x ＋ 2<0，∴1<x<2.∴不等式的解集为 { x|1<x<2} ．9．已知定义在区间 [0,1] 上的两个函数 f(x)和 g(x)，此中 f(x)＝x 2－ ax ＋2(a ≥0)，x 2g(x)＝ x ＋ 1.(1)求函数 f(x)的最小值 m(a)；(2)若对随意 x 1， x 2∈[0,1]， f(x 2)>g(x 1)恒建立，求 a 的取值范围．解： (1)由 f(x)＝ a 2a 2x － 2 ＋2－ 4a 22－ 4 ，0≤a<2，得 m(a)＝3－ a ， a ≥ 2.≤ 0′0≤ 1 ， 则g(x 0－0′) ＝2－2＝(2) 令x 0x ′ 00 x <x)g(x＋1x ＋ 1 x ′x 0－x ′0 x 0x ′0＋x 0＋x ′0x 0＋1 x ′ 0＋ 1∵x 0<x ′ 0，∴x 0－x ′0<0，x － x ′0 x x ′ ＋ x ＋x ′0 0)，∴<0，即 g(x )<g(x ′0 0′＋1x ＋1 x∴函数 g(x)在 [0,1] 上为增函数，值域为 0，1，由题设，得2min1max2f(x )>g(x ) ，0≤ a<2， a ≥ 2，故a 2 1 或12－ 4 >23－ a>2，50， 5解得 0≤a<2，所求 a 的取值范围为 2 .B 组 能力打破1．已知函数 f(x)＝|lg x|，若 0<a<b ，且 f(a)＝f(b)，则 a ＋ 2b 的取值范围是 ()A ．(2 2，＋∞ )B ． [2 2，＋∞ )C ．(3，＋∞ )D ．[3，＋∞ )分析：由已知条件 0<a<1<b 和 f(a)＝f(b)得，－ lg a＝lg b，则 lg a＋lg b＝ 0，ab＝1，所以2a＋2b＝ a＋ a，由对勾函数知2y＝x＋ x在 (0,1)单一递减，得a＋2b>3，即 a＋2b 的取值范围是 (3，＋∞)．答案： C2．设 f(x)是定义在R上的偶函数，对随意的x∈R，都有 f(x－ 2)＝f(x＋ 2)，且当x ∈－2,0]时，f(x)＝1x－1，若在区间 (－2,6]内对于 x 的方程 f(x)－log a＋[2(x2)＝ 0(a>1)恰有 3 个不一样的实数根，则 a 的取值范围是() A ．(1,2)B． (2，＋∞ )C．(1，34)D．(34，2)分析：由 f(x－2)＝f(x＋ 2)，知 f(x)是以 4 为周期的周期函数，于是可得 f(x)在(－ 2,6]上的大概图象如图中实线所示，令 g(x)＝log a(x＋2)(a>1)，则 g(x)的大概图象如图所示，联合图象可知，要使得方程f(x)－log (x＋ 2)＝0(a>1)在区间 (－ 2,6]ag 2 <3log 4<3，解得3内恰有 3 个不一样的实数根，则只要，即a4<a<2.ag 6 >3log 8>3答案： D3．函数 f(x)＝log0.5(3x2－ax＋5)在(－1，＋∞ )上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ________．分析：设 g(x)＝3x2－a＋，由已知6≤－1ax 5g －1 ≥0，解得－ 8≤a≤－6.答案： [ －8，－ 6]4．已知函数 f(x)＝ ax2＋ (b－8)x－a－ab(a≠ 0)，当 x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－ 3)∪ (2，＋∞ )时， f(x)<0.(1)求 f(x)在 [0,1]内的值域；(2)c为什么值时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4] 上恒建立？解：由题意得 x＝－ 3 和 x＝2 是函数 f(x)的零点且 a≠ 0，则0＝a·－3 2＋ b－8 ·－ 3 －a－ab，0＝a·22＋ b－8 ·2－ a－ ab，a＝－ 3，2解得∴f(x)＝－ 3x －3x＋ 18.(1)由图象知，函数在 [0,1] 内单一递减，∴当x＝ 0 时， y＝18；当 x＝1 时， y＝ 12，∴f(x)在[0,1] 内的值域为 [12,18] ．(2)法一：令 g(x)＝－ 3x2＋5x＋ c.5∵g(x)在6，＋∞上单一递减，要使 g(x)≤ 0 在[1,4] 上恒建立，则需要 g(x)max＝g(1)≤0，即－ 3＋ 5＋ c≤ 0，解得 c≤ －2.∴当c≤ －2 时，不等式 ax2＋ bx＋c≤0 在[1,4] 上恒建立．法二：不等式－ 3x2＋5x＋c≤0 在[1,4] 上恒建立，即 c≤ 3x2－ 5x 在 [1,4] 上恒建立．令 g(x)＝3x2－5x，∵x∈[1,4] ，且 g(x)在[1,4] 上单一递加，∴g(x)min＝ g(1)＝3×12－ 5× 1＝－ 2，∴c≤－ 2.即 c≤ －2 时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 [1,4] 上恒建立．。
高三数学大一轮复习 专题一函数图象与性质的综合应用教案 理
芯衣州星海市涌泉学校专题一函数图象与性质的综合应用1．函数的三要素是对应关系、定义域、值域；其中函数的核心是对应关系．2．函数的性质主要包括：单调性、周期性、对称性、最值等．3．求函数值域的方法有配方法、换元法、不等式法、函数单调性法、图象法等．4．作图一般有两种方法：描点法作图、图象变换法作图．5．图象的三种变换：平移变换、伸缩变换和对称变换．1．(2021·)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，那么f(1)等于() A．－3B．－1 C．1D．3答案A解析∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.2．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，那么b－a的最小值为()A.B.C．1D．2答案B解析令f(x)＝0，解得x＝1；令f(x)＝1，解得x＝或者者3.因为函数f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．故b－a的最小值为1－＝.3．(2021·)设函数f(x)＝那么满足f(x)≤2的x的取值范围是() A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)答案D解析当x≤1时，由21－x≤2，知x≥0，即0≤x≤1.当x>1时，由1－log2x≤2，知x≥，即x>1，所以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．4．(2021·)定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．假设g(2)＝a，那么f(2)等于()A．2B.C.D．a2答案B解析∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝.5．y＝f(x)的图象如图，那么y＝f(1－x)的图象为以下四图中的()答案A解析将y＝f(1－x)变形为y＝f[－(x－1)]①作y＝f(－x)图象，将y＝f(x)关于y轴对称即可；②将f(－x)的图象沿x轴正方向平移1个单位，得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象.题型一函数求值问题例1(2021·模拟)设f(x)＝且f(1)＝6，那么f(f(－2))的值是________．思维启迪：首先根据f(1)＝6求出t的取值，从而确定函数解析式，然后由里到外逐层求解f(f(－2))的值，并利用指数与对数的运算规律求出函数值．答案12解析∵1>0，∴f(1)＝2×(t＋1)＝6，即t＋1＝3，解得t＝2.故f(x)＝所以f(－2)＝log3[(－2)2＋2]＝log36>0.f(f(－2))＝f(log36)＝2×3log36＝2×6＝12.探究进步此题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题．解决此类问题的关键是要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解析式求值，在求值过程中灵敏运用对数恒等式进展化简求值．(2021·六校联考)f(x)＝那么f＋f的值等于()A．－2B．1 C．2D．3答案D解析f＝，f＝f＋1＝f＋2＝，f＋f＝3.题型二函数性质的应用例2设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f(2)＝0，那么不等式≥0的解集为()A．[－2,0]∪[2，＋∞)B．(－∞，－2]∪(0,2]C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2,0)∪(0,2]思维启迪：转化成f(m)<f(n)的形式，利用单调性求解．答案D解析因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，不等式可化为≥0，即－≥0.当x>0时，那么有f(x)≤0＝f(2)，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增可得x≤2；当x<0时，那么有f(x)≥0＝－f(2)＝f(－2)，由函数f(x)为奇函数可得f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x≥－2.所以不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．探究进步解决抽象函数问题的关键是灵敏利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所以只需求解x>0时的解集即可．设函数f(x)＝假设f(m)<f(－m)，那么实数m的取值范围是() A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案C解析f(－x)＝＝当m>0时，f(m)<f(－m)⇒logm<log2m⇒m>1；当m<0时，f(m)<f(－m)⇒log2(－m)<log(－m)⇒－1<m<0.所以，m的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．题型三函数图象及应用例3函数f(x)＝假设a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，那么abc的取值范围是_____________．思维启迪：可以先画出函数f(x)的图象，通过图象的特征观察a、b、c的关系．答案(10,12)解析画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝d(0<d<1)，如下列图，直观上知0<a<1,1<b<10,10<c<12，再由|lga|＝|lgb|，得－lga＝lgb，从而得ab＝1，那么10<abc<12.探究进步通过图形可以发现a，b，c所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．不等式x2－logax<0，当x∈时恒成立，务实数a的取值范围．解由x2－logax<0，得x2<logax.设f(x)＝x2，g(x)＝logax.由题意知，当x∈时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，如图，可知即解得≤a<1.∴实数a的取值范围是.题型四函数的值域与不等式恒成立问题例4(2021·滨海新区五所重点联考)定义在R上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)假设f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，务实数k的取值范围．思维启迪：(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决．(2)将恒成立问题转化成函数最值问题．(1)解令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.(2)证明令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，那么有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(3)解方法一因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数．f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，所以k·3x<－3x＋9x＋2，32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R成立．令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为x＝，当<0即k<－1时，f(0)＝2>0，符合题意；当≥0即k≥－1时，对任意t>0，f(t)>0恒成立⇔解得－1≤k<－1＋2.综上所述，当k<－1＋2时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立．方法二由k·3x<－3x＋9x＋2，得k<3x＋－1.u＝3x＋－1≥2－1,3x＝时，取“＝〞，即u的最小值为2－1，要使对x∈R，不等式k<3x＋－1恒成立，只要使k<2－1.探究进步对于恒成立问题，假设能转化为a>f(x)(或者者a<f(x))恒成立，那么a必须大于f(x)的最大值(或者者小于f(x)的最小值)．因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进展求解．假设不能别离参数，可以将参数看成常数直接求解．定义在R上的奇函数f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，对于任意的θ∈，均有f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>0，试务实数m的取值范围．解因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，那么f(x)在(－∞，0]上也是增函数，所以f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，∵f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>0，∴f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)，于是cos2θ－3>2mcosθ－4m，①即cos2θ－mcosθ＋2m－2>0.得m>，设h(θ)＝，那么h(θ)＝4－≤4－2，即h(θ)max＝4－2，只须m>4－2.故实数m的取值范围是(4－2，＋∞)．2.高考中的函数零点问题典例：(2021·)函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n ＋1)，n∈N*，那么n＝________.考点分析此题考察对数函数、函数单调性、函数零点等知识，表达了函数知识的综合．求解策略解答此题可先确定函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，然后根据a，b满足的条件及对数的运算性质探究出f(x)零点所在的区间，从而对照x0∈(n，n＋1)，n∈N*确定出n的值．答案2解析∵2<a<3，∴f(x)＝logax＋x－b为定义域上的单调递增函数．f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.∵2<a<3<b，∴0<lg2<lga<lg3，∴<<1.又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，∴loga2＋2－b<0，即f(2)<0.∵1<<，3<b<4，∴－1<3－b<0，∴loga3＋3－b>0，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2.解后反思(1)此题考察函数零点，与函数的单调性相结合；(2)解决函数的有关问题，要综合利用函数的图象，函数的单调性、对称性、周期性、值域等．方法与技巧1．利用复合函数求函数值是一类重要问题，解题关键是利用的函数值，通过解析式的变化特点进展代入求值，有时也可以利用周期性来解题．2．抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f(－x)，使之与f(x)产生等量关系，即比较f(－x)与±f(x)是否相等，此时赋值比较多的是－1、1、0等．3．作图、识图和用图是函数图象中的根本问题．作图的根本途径：求出函数的定义域；尽量求出值域；变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状；描点作图．识图就是从图形中发现或者者捕捉所需信息，从而使问题得到解决．用图就是根据需要，作出函数的图形，使问题求解得到根据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题．失误与防范1．函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段函数，以防代错解析式．2．对于由抽象函数不等式向详细不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量转化到同一个单调区间上去．3．识图要抓住性质特征，关键点；作图要标准，一般从根本图形通过平移、对称等变换来作图.(时间是是：60分钟)A组专项根底训练一、选择题(每一小题5分，一一共20分)1．(2021·)以下区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1]B．[－1，]C．[0，)D．[1,2)答案D解析方法一当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，应选D.方法二f(x)＝|ln(2－x)|的图象如下列图．由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，应选D.2．(2021·)假设logx<logy<0，那么()A．y<x<1B．x<y<1C．1<x<yD．1<y<x答案D解析不等式转化为⇒1<y<x.3．(2021·改编)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，那么f等于()A.B．－C.D.答案A解析当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x＋1.∴f＝f＝f＝－＋1＝.4．(2021·)如下列图，|OA|＝2(单位：m)，|OB|＝1(单位：m)，OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C后停顿；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停顿．设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的途径所围成图形的面积为S(t)(S(0)＝0)，那么函数y＝S(t)的图象大致是()答案A解析对t进展分段，确定函数y＝S(t)的解析式．由题意知，当0<t≤1时，甲从O向B挪动，乙从O向A挪动，那么t时刻，|OB|＝t，|OA|＝2t，此时S(t)＝·|OB|·|OA|sin＝t2，此段图象为抛物线；当t>1时，设圆弧半径为r，甲从B沿圆弧挪动到C后停顿，乙在A点不动，那么此时S(t)＝×1×2·sin＋·r·3(t－1)＝t＋，此段图象为直线，当甲挪动至C点后，甲、乙均不再挪动，面积不再增加，选项B中开始一段函数图象不对，选项C中后两段图象不对，选项D中前两段函数图象不对，应选A.二、填空题(每一小题5分，一一共15分)5．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，那么不等式loga(x－1)>0的解集为______．答案(2，＋∞)解析∵x2－2x＋3>0，即(x－1)2＋2>0的解集为R，∴函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)的定义域为R.又∵函数y＝x2－2x＋3有最小值2，无最大值．据题意有a>1.∴loga(x－1)>0＝loga1等价于解得x>2，即不等式loga(x－1)>0的解集为(2，＋∞)．6．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝那么f(x)的值域是__________．答案[－，0]∪(2，＋∞)解析由x<g(x)得x<x2－2，∴x<－1或者者x>2；由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.∴f(x)＝即f(x)＝当x<－1时，f(x)>2；当x>2时，f(x)>8.∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x≤2时，－≤y≤0.∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－，0]．综上可知，f(x)的值域为[－，0]∪(2，＋∞)．7．函数f(x)＝在R上是单调递增函数，那么实数a的取值范围为________．答案[7,8)解析由题意知，实数a应满足，即，解得7≤a<8.三、解答题(一一共25分)8．(12分)假设直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个交点，求a的取值范围．解①当a>1时，画出函数y＝|ax－1|的草图：假设y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，那么有0<2a<1，∴0<a<(舍去)．②当0<a<1时，画出函数y＝|ax－1|的草图：假设y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，那么有0<2a<1，∴0<a<.综上所述，a的取值范围是.9．(13分)a>0，且a≠1，f(logax)＝.(1)求f(x)；(2)判断f(x)的单调性；(3)求f(x2－3x＋2)<0的解集．解(1)令t＝logax(t∈R)，那么x＝at，且f(t)＝.∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)．(2)当a>1时，ax－a－x为增函数，又>0，∴f(x)为增函数；当0<a<1时，ax－a－x为减函数，又<0，∴f(x)为增函数．∴函数f(x)在R上为增函数．(3)∵f(0)＝(a0－a0)＝0，∴f(x2－3x＋2)<0＝f(0)．由(2)知：x2－3x＋2<0，∴1<x<2.∴不等式的解集为{x|1<x<2}．B组专项才能提升一、选择题(每一小题5分，一一共15分)1．函数f(x)＝，假设0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，那么a＋2b的取值范围是()A．(2，＋∞)B.C．(3，＋∞)D.答案C解析由条件0<a<1<b和f(a)＝f(b)得，－lga＝lgb，那么lga＋lgb＝0，ab＝1，因此a＋2b＝a＋，由对勾函数知y＝x＋在(0,1)单调递减，得a＋2b>3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．2．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，假设f(1)<1，f(2)＝，那么() A．a<且a≠－1B．－1<a<0C．a<－1或者者a>0D．－1<a<2答案C解析∵函数f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1，∴f(－1)>－1.又∵函数f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝>－1，∴>0，解得a>0或者者a<－1.3．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，假设在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，那么a的取值范围是()A．(1,2)B．(2，＋∞)C．(1，)D．(，2)答案D解析由f(x－2)＝f(x＋2)，知f(x)是以4为周期的周期函数，于是可得f(x)在(－2,6]上的大致图象如图中实线所示，令g(x)＝loga(x＋2)(a>1)，那么g(x)的大致图象如下列图，结合图象可知，要使得方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，那么只需，即，解得<a<2.二、填空题(每一小题4分，一一共12分)4．函数f(x)＝log0.5(3x2－ax＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，那么实数a的取值范围是__________．答案[－8，－6]解析设g(x)＝3x2－ax＋5，由解得－8≤a≤－6.5．f(x)＝asinx＋b＋4(a，b∈R)，且f[lg(log210)]＝5，那么f[lg(lg2)]＝________.答案3解析lg(log210)＝－lg(lg2)，f(－x)＝asin(－x)＋b＋4＝－(asinx＋b)＋4.又f[lg(log210)]＝5，∴f[lg(lg2)]＝4－5＋4＝3.6．f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，假设f(2－a2)>f(a)，那么实数a 的取值范围是__________．答案(－2,1)解析∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，即－2<a<1.三、解答题(13分)7．设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a>0，a，c∈R)．(1)设a>c>0.假设f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解(1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝，由条件a>c>0，得2a>a＋c，故<＝<1，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．假设f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，那么f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，得c2－c<0，所以0<c<1.(2)①假设f(0)·f(1)＝c·(a－c)<0，那么c<0，或者者a<c，二次函数f(x)在(0,1)内只有一个零点．②假设f(0)＝c>0，f(1)＝a－c>0，那么a>c>0.因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴是x＝.而f＝<0，所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点．。
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A 组 基础演练1．如果log x <log y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧log x <log y ，log y <0⇒1<y <x .答案：D2．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2解析：∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，① 得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x . 又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ， ∴f (2)＝22－2－2＝154. 答案：B 3．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．2 B．4C．6 D．8解析：令1－x＝t，则x＝1－t.由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3. 又y＝2sin πx＝2sin π(1－t)＝2sin πt.在同一坐标系下作出y＝1t和y＝2sin πt的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，因此x1＋x2＋…＋x8＝8.答案：D4．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；②对任意的x1，x2∈[0,2]且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)；③函数f(x＋2)的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是() A．f(4.5)<f(7)<f(6.5)B．f(7)<f(4.5)<f(6.5)C．f(7)<f(6.5)<f(4.5)D．f(4.5)<f(6.5)<f(7)答案：A5．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为________．解析：∵x 2－2x ＋3>0，即(x －1)2＋2>0的解集为R ， ∴函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)的定义域为R . 又∵函数y ＝x 2－2x ＋3有最小值2，无最大值． 据题意有a >1.∴log a (x －1)>0＝log a 1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －1>1，解得x >2，即不等式log a (x －1)>0的解集为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)6．已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，实数a 的取值范围是________．解析：由x 2－log a x <0， 得x 2<log a x .设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方，如图，可知⎩⎨⎧0<a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即⎩⎨⎧0<a <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得116≤a <1.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5(x >6)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋4(x ≤6)，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14－a2>0⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×6＋4≤a6－5，即⎩⎨⎧a >1a <8a ≥7，解得7≤a <8. 答案：[7,8)8．已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性； (3)求f (x 2－3x ＋2)<0的解集． 解析：(1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ， 且f (t )＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a t －1a t .∴f (x )＝aa 2－1(a x －a－x )(x ∈R )． (2)当a >1时，a x －a －x 为增函数， 又aa 2－1>0，∴f (x )为增函数； 当0<a <1时，a x －a －x 为减函数， 又aa 2－1<0，∴f (x )为增函数． ∴函数f (x )在R 上为增函数． (3)∵f (0)＝aa 2－1(a 0－a 0)＝0， ∴f (x 2－3x ＋2)<0＝f (0)． 由(2)知：x 2－3x ＋2<0，∴1<x <2.∴不等式的解集为{x |1<x <2}．9．已知定义在区间[0,1]上的两个函数f (x )和g (x )，其中f (x )＝x 2－ax ＋2(a ≥0)，g (x )＝x 2x ＋1.(1)求函数f (x )的最小值m (a )；(2)若对任意x 1，x 2∈[0,1]，f (x 2)>g (x 1)恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋2－a 24得m (a )＝⎩⎨⎧2－a 24，0≤a <2，3－a ，a ≥2.(2)令0≤x 0<x ′0≤1，则g (x 0)－g (x 0′)＝x 20x 0＋1－x ′20x ′0＋1＝(x 0－x ′0)(x 0x ′0＋x 0＋x ′0)(x 0＋1)(x ′0＋1)∵x 0<x ′0，∴x 0－x ′0<0，∴(x 0－x ′0)(x 0x ′0＋x 0＋x ′0)(x 0＋1)(x 0′＋1)<0，即g (x 0)<g (x ′0)，∴函数g (x )在[0,1]上为增函数，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，由题设，得f (x 2)min >g (x 1)max ，故⎩⎨⎧0≤a <2，2－a 24>12或⎩⎨⎧a ≥2，3－a >12，解得0≤a <52，所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，52. B 组 能力突破1．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：由已知条件0<a <1<b 和f (a )＝f (b )得，－lg a ＝lg b ，则lg a ＋lg b ＝0，ab ＝1，因此a ＋2b ＝a ＋2a ，由对勾函数知y ＝x ＋2x 在(0,1)单调递减，得a ＋2b >3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)． 答案：C2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)解析：由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是以4为周期的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的大致图象如图中实线所示，令g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)，则g (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，则只需⎩⎨⎧g (2)<3g (6)>3，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 4<3log a 8>3，解得34<a <2.答案：D3．函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知⎩⎨⎧a6≤－1g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6. 答案：[－8，－6]4．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立？ 解：由题意得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点且a ≠0， 则⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ·(－3)2＋(b －8)·(－3)－a －ab ，0＝a ·22＋(b －8)·2－a －ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当x ＝0时，y ＝18；当x ＝1时，y ＝12， ∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)法一：令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c . ∵g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫56，＋∞上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立， 则需要g (x )max ＝g (1)≤0， 即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.∴当c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立． 法二：不等式－3x 2＋5x ＋c ≤0在[1,4]上恒成立， 即c ≤3x 2－5x 在[1,4]上恒成立． 令g (x )＝3x 2－5x ，∵x ∈[1,4]，且g (x )在[1,4]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝3×12－5×1＝－2，∴c ≤－2.即c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．。