高中数学：23个经典不等式

23个经典的不等式专题

23个经典的不等式专题1、证明：2221111+...223n+++< ；2、若：332a b +=，求证：2a b +≤ ；3、若：n N +∈，求证：1111...12122n n n≤+++<++； 4、若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：111a b c a b c+>+++ ； 5、当2n ≥时，求证：222111111 (12)123n n n-<+++<-+ ； 7、若x R ∈，求y = ；8、求函数2cos y θθ=-的最大值和最小值；9、若,,0a b c >，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ ； 10、若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围； 11、若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值；12、若,,a b c R ∈，且222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值；13、若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，22236x y z ++=，30ax by cz ++=，求：a b cx y z++++的值；14、求证：21153nk k=<∑；（这回比较紧） 15、当2n ≥时，求证：12(1)3nn<+< ； 16、求证：113135135...(21)...224246246 (2)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ； 17、求证：1)1...1)<+< ；18、已知：0x >,求证：ln(1)1xx x x<+<+ ; 19、已知：n N +∈，求证：11111...ln(1)1...2312x n n+++<+<++++ ； 20、已知：2n ≥，求证：2(1)nn n >- ；21、已知：n N +∈，求证：21111 (2)3212n++++>- ； 22、设：...n S =+求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ； 23、已知：n N +∈，求证： 1111 (21231)n n n <+++<+++ . 【解答】 1. 证明：2221111+...223n+++< ； 1、证明：221222111111111112(1)1nn n n k k k k k k k k k k n ====⎡⎤⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑.从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 2. 若：332a b +=，求证：2a b +< ；2、证明：3322()()()a b a b a b ab ab a b +=++-≥+，即：()2ab a b +≤则：3()6ab a b +≤，333()8a b ab a b +++≤，即：3()8a b +≤即：2a b +≤.立方和公式以及均值不等式配合.3. 若：n N +∈，求证：1111...12122n n n≤+++<++； 3、由：n n n k n +≥+> (1,2,...,k n =得：1112nn kn≤<+ ，则：1111112nn nk k k n n k n===≤<+∑∑∑，即：111...212n n n n n n n n ≤+++<+++ 故：1111...12122n n n≤+++<++ . 从一开始就放缩，然后求和.4.若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围； 4、解：222()244(3)4()12a b a b ab ab a b a b +=++≥=++=++，令：t a b =+，则上式为：24120t t --≥. 解之得：6t ≥. 均值不等式和二次不等式.5. 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：111a b ca b c+>+++ ； 5、证明：构造函数()1xf x x=+，则在0x >时，()f x 为增函数. 所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a b c +>，那么，()()f a b f c +>，即：11a b ca b c+>+++ .111111a b a b a b c a b a b a b a b c++>+=>+++++++++. 构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果. 6. 当2n ≥时，求证：222111111 (12)123n n n-<+++<-+ ； 6. 证明：当2n ≥时，11n n n -<<+，都扩大n 倍得：2(1)(1)n n n n n -<<+，取倒数得：2111(1)(1)n n n n n >>-+，裂项：21111111n n n n n ->>--+，求和：222211111()()11nn nk k k k k k kk ===->>--+∑∑∑，即： 2221111111 (2321)n n n ->+++>-+ 先放缩，裂项求和，再放缩. 7、若x R ∈，求y =；7、解：y =-=-设：1(,22m x =+，1(,22n x =-，则：m x ⎛=+ ，n x ⎛=- (1,0)m n -= 代入向量不等式：m n m n -<-得：1y m n m n =-≤-=，故：11y -≤≤.这回用绝对值不等式. 8、求函数2cos y θθ=-的最大值和最小值；8、解：将函数稍作变形为：M N y == ，设点(,)M M M x y ，点(,)N N N x y ，则(2,0)M ，(cos ,sin )N θθ-，而点N 在单位圆上，y 就是一条直线的斜率，是过点M 和圆上点N 直线 N 点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围就是：11y -≤≤ .故y 的最大值是1，最小值是-1. 原本要计算一番，这用分析法，免计算了. 9、若,,0a b c >，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ 9、证明：由柯西不等式：()()()2111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++⋅+++++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 即：()()2111239a b c a b b c c a ⎛⎫++⋅++≥=⎡⎤⎪⎣⎦+++⎝⎭即：()2229a b b c c a a b c ⎛⎫++≥ ⎪+++++⎝⎭柯西不等式.10、若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围；10、解：柯西不等式：()()()222222212222a b c a b c ⎡⎤+-+++≥-+⎣⎦；即：()292522a b c ⨯≥-+，故：2215a b c -+≤；所以：152215a b c -≤-+≤. 柯西不等式.11、若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值；11、解：设：(2,1,2)m =--，(,,)n x y z =，则：22222(1)(2)9m =+-+-=； 2222n a b c =++；22m n a b c ⋅=--；代入m n m n ≥⋅得：()()222292236a b c a b c ++≥--=；即：2224a b c ++≥，故：最小值为4. 向量不等式.12、若,,a b c R ∈，且222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值；12、解：柯西不等式：()()()22222 2213421234a ca b cc⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥-+++-⎡⎤⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即：()22512a b c⨯≥++-；故：()525a b c-≤++-≤；于是：()37a b c-≤++≤.柯西不等式.13、若,,0a b c>，,,0x y z>，且满足22225a b c++=，22236x y z++=，30ax by cz++=，求：a b cx y z++++的值；13、解：本题满足：()()()2222222a b c x y z ax by cz++++=++即柯西不等式中等号成立的条件.故有：0a b cx y zλ===>，即：a xλ=，b yλ=，c zλ=.则：2222222()a b c x y zλ++=++；即：22222222536a b cx y zλ++==++，即：56λ=故：56a b c a b cx y z x y zλ++=====++ .柯西不等式中等号成立.14、求证：21153nkk=<∑；（这回比较紧）14、证明：222212222114411111124412121 n n n n nk k k k kk k k k k k =====⎛⎫=+=+<+=+-⎪--+⎝⎭∑∑∑∑∑1115121232133n⎛⎫=+⨯-<+⨯=⎪+⎝⎭注意变形为不等式的方法，虽然仍是放缩法.15、当2n ≥时，求证： 12(1)3nn <+< ；15、证明：① 由二项式定理得：1212011111111...12nnk n n n n n n k n k C C C C C n n n n n n =⎛⎫+=⋅=+⋅+⋅++⋅+⋅= ⎪⎝⎭>∑ ② 由二项式定理得：11111!11!1111!()!!()!nn n nkn k k k k k k n n C n n k n k n k n k n===⎛⎫+=+⋅=+⋅=+ ⎪--⎝⎭∑∑∑ 1121(1)(2)(1)111...111!!!nn nk k k n n n n k k n n n n k k ===---+⎡⎤=+⋅⋅⋅⋅⋅<+=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 22211111222213!(1)1nn nk k k k k k k k n ===⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪--⎝⎭∑∑∑本题①由二项式中，保留前两项进行放缩得到：1(1)2nn+>；本题②由二项式中，分子由从n 开始的k 个递减数连乘，分母由k 个n 连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：1(1)3nn+<.16、求证：113135135...(21)...224246246 (2)n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ； 16、证明：()()22221(21)(21)n n n n >-=-+，故：212221n nn n -<+；令：135(21)...246(2)n n S n -=⋅⋅⋅⋅， 246(2)...357(21)n n T n =⋅⋅⋅⋅+ ；则：n n S T <，即：2135(21)246(2)1......246(2)357(21)21n n nn n S S T n n n -<⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++ ；故：n S <①由<即：<，故：代入①式得：n S则：原式=1211...1nnn k k k S S S S ==+++=<=<∑∑本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差，然后利用求和来消去中间部分，只剩两头. 17、求证：1)1...1)<+< ； 17、证明：由2>=；即：1121)nnk k ==>=∑ ① 由：()()()22222281811882n n n n ->--=-得：()281n ->==即：281n ->，即：2(21)2(21)1n n n n ++-->，即：21>1-><，多项求和：)111nnk k ==<= ②由①②，本题得证.本题还是采用级数求和的放缩法.18、已知：0x >,求证：ln(1)1xx x x<+<+ ; 18、证明：(1)构造函数：()ln(1)f x x x =-+，则：(0)0f =.当0x >时，函数的导数为：1'()101f x x=->+，即当0x >时，函数()f x 为增函数. 即：()(0)0f x f >=；故：()ln(1)0f x x x =-+>，即：ln(1)x x +<. (2) 构造函数：()ln(1)1xg x x x=+-+，则：(0)0g =. 当0x >时，其导数为：()()2211'()01111x xg x x x x x ⎡⎤=--=>⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦. 即当0x >时，函数()g x 为增函数. 即：()(0)0g x g >=；故：()ln(1)01x g x x x =+->+，即：ln(1)1x x x<++. 由(1)和(2)，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题.19、已知：n N +∈，求证：11111...ln(1)1...2312x n n+++<+<++++ ； 19、证明：先构造函数：1()f x x=，在函数图象上分别取三点A,B,C ，即：1(,)A k k,1(1,)1B k k --,1(1,)1C k k ++, 我们来看一下这几个图形的面积关系：；即：1111()1k kkk dx f k dx xx +-⋅<⋅<⋅⎰⎰ ；即：11ln ()ln kkk k x f k x +-<< ；即：1ln(1)ln ln ln(1)k k k k k+-<<-- ； (1) 1ln(1)ln k k k +-<求和：11111(ln(1)ln )1...2n nk k k k k n ==+-<=+++∑∑；即：11ln(1)1...2n n+<+++； (2) 1ln ln(1)k k k<--求和：；即：121111...ln(1)231n k n k n +==+++<++∑; 由(1)和(2)证毕.本题采用构造函数法，利用函数的面积积分来证题.20、已知：当2n ≥时，求证：2(1)nn n >- ； 20、证明：当21r n ≤≤-时，1r n nC C n >=，即：r n C n > 由二项式定理得：11112(11)(1)n n n nnkk nnk k k C C n n n --====+=>>=-∑∑∑证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.21、已知：n N +∈，求证：21111 (2)3212n++++>- ； 21、证明：设：1111 (2321)n n S =++++-，则：111111111111111()()()...(...)234567*********n n n n n n S --=++++++++++++-++-2233331111111111111()()()...(...)222222222222n n n n n >++++++++++++-11111111()()()...()1(1)2222222222n n n n n n =+++++-=+-=+-> 证毕.将1以后的项数，按2的次方个数划分成n 组，每组都大于12，这样放缩得证.22、设：...n S =+求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ； 22、证明：由(1)122k k k k ++<<=+得：12k k <<+，求和得：11112n n nk k k k k ===⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭∑∑ 即：2(1)(1)(2)(1)22222n n n n n n n n n S ++++<<+=< 即：2(1)2(1)n n n S n +<<+.本题首先构建含有.23、已知：n N +∈，求证： 1111 (21231)n n n <+++<+++ . 23、证明：设：111 (1231)n S n n n =++++++ ；采用倒序相加得：111111112...131********n S n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；各括号内通分得：()()()()()()()()424242422...131********n n n n n S n n n n n n n n ++++=++++++++-++；即：()()()()()()()()1111(21)...131********n S n n n n n n n n n ⎡⎤=+++++⎢⎥++++-++⎣⎦①；由：()()()()222(1)(31)21212121n n n n n n n n n ++=+-++=+-<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ()()()()()222(2)(3)21(1)21(1)21121n n n n n n n n n +=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ()()()()()222(3)(31)21(2)21(2)21221n n n n n n n n n +-=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ……()()()()()222(31)(1)21(2)21(2)21221n n n n n n n n n n n n ++=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 共有：(31)(1)121n n n +-++=+项.将上述不等式代入①式得：()()()()2222111(21)(21)...(21)121212121n n S n n n n n n ⎡⎤+>++++=+⋅=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦；即：1n S > ② 另：1111112122......2123111111n n n S n n n n n n n n ++=+++<+++=<=++++++++；即：2n S < ③由②和③，本题得证.本题中n S 有(21)n +项，将其放缩为同分母的分式是解题关键.附加题：若：2n n a =，求证：12311113 (234)n a a a na ++++<. 证明：2312311111111......23222322n n a a a na n ⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭ 2334111111111 (22222)222222n n +⎛⎫⎛⎫<++++=++++ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭1332111111111321122222241122n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=+⋅<+⋅=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。

高中6个基本不等式的公式

高中6个基本不等式的公式高中6个基本不等式的公式总的来说，高中数学中的6个基本不等式公式是：(一)、二次不等式：ax²+bx+c>0；(二)、三角不等式：sinα+cosα>1；(三)、平方和不等式：a²+b²>2ab；(四)、指数不等式：an>bn；(五)、对数不等式：lnA<lnB；(六)、比较不等式：a>b。

一、二次不等式所谓的二次不等式，指的是形如ax²+bx+c>0的不等式结构，它是十分重要的，用来描述我们一类由双曲线组成的函数。

双曲线函数是一类非线性函数，受到各种外部因素的作用不会改变函数的存在形式，尽管其具体的参数可能会发生变化。

二、三角不等式三角不等式是一类与三角学相关的不等式，它们非常重要，有助于我们正确推理出三角形的其他特征。

其中最为重要的是sinα+cosα>1，这个不等式说明了在三角形内，任意一个角的正弦值是小于它的余弦值的，而它们的和则要大于1.三、平方和不等式平方和不等式有助于我们正确推断出空间里的形状的特性，它的形式如a²+b²>2ab，它推断了如果有两个边的长度为a和b，其和的平方要大于两者的乘积，也就是说任何一个正方形都有其两条边之和要大于两边乘积的特性。

四、指数不等式指数不等式是一类非常重要的数学不等式，它们由an>bn构成，例如4²>2³，这种不等式用来推断出当前指数的大小的变化，即指数不等式可以用来推断出更大的数值要比较小的数值大。

五、对数不等式对数不等式是由lnA<lnB构成的一类逆函数，即任何一个大于0的数值，当它们取反数之后所得到的值都是小于0的，但是它们仍然可以用来推断出比较大小的特性。

六、比较不等式比较不等式是一类用来推断出大小的不等式，它们最为重要的形式就是a>b，它们能够用来快速准确的推断出大数比小数大的情况，不需要拆分细节就可以迅速的把握出其大小之间的差异。

高中数学中的不等式知识点总结

高中数学中的不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的大小关系。

在高中数学中，学生将接触到各种不等式的性质和解法，这些知识点对于理解和应用数学具有重要意义。

本文将对高中数学中的不等式知识点进行总结，包括基本性质、不等式的运算和解法等。

一、基本性质1. 不等式符号：在不等式中，常见的符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。

这些符号表示了数值之间的大小关系。

2. 不等式性质：不等式有着类似于等式的一些基本性质，例如：- 传递性：如果a > b且b > c，则a > c。

- 加法性：如果a > b，则a + c > b + c。

- 乘法性：如果a > b且c > 0，则ac > bc。

3. 绝对值不等式：绝对值不等式是一类特殊的不等式，其中涉及到了绝对值的概念。

常见的绝对值不等式包括：- |x| > a，其中a为正数，解为x > a或x < -a；- |x| < a，其中a为正数，解为-a < x < a。

二、不等式的运算1. 不等式的加法和减法：如果a > b，c > d，则有以下规律：- a + c > b + d；- a - c > b - d。

2. 不等式的乘法和除法：如果a > b，c > 0，d > 0，则有以下规律：- ac > bc；- a/c > b/c（当c > 0）；- ad > bd（当d > 0）；- a/d > b/d（当d > 0）。

三、不等式的解法1. 不等式的图像法：将不等式对应的不等式图像进行分析，通过观察图像上的点的位置，得出不等式的解。

例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以将该不等式转化为2x + 3 = 5的等式，再通过图像判断2x + 3大于5的区间。

完整版)高中数学不等式知识点总结

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

经典不等式23种不等式

经典不等式23种不等式1、大于等式：若x>y，则x≥y。

2、小于等式：若x<y，则x≤y。

3、不等式：若x≠y，则x≠y。

4、加法不等式：若a+b>c，则a+b≥c。

5、减法不等式：若a-b<c，则a-b≤c。

6、乘法不等式：若ab>c，则ab≥c。

7、除法不等式：若a/b<c，则a/b≤c。

8、比较不等式：若x>y，则x·z>y·z。

9、一次不等式：若ax+b>0，则x>-b/a。

10、二次不等式：若ax2+bx+c>0，则x>-b/2a-√(b2-4ac)/2a。

11、立方不等式：若ax3+bx2+cx+d>0，则x>-b/3a-∛(b3-3abc+2d)/3a。

12、指数不等式：若a·cn>0，则n>lg a。

13、对数不等式：若a>b，则ln a>ln b。

14、平方根不等式：若a2>b，则a>√b。

15、立方根不等式：若a3>b，则a>∛b。

16、反比例不等式：若1/x>y，则x<1/y。

17、正比例不等式：若x>y，则kx>ky。

18、极限不等式：若limx→∞f(x)>L，则f(x)>L，对任意的x均成立。

19、重组不等式：若a+b>c+d，则a>d或b>c。

20、多项式不等式：若p(x)>q(x)，则有关x的多项式p(x)-q(x)的系数均大于0。

21、三角不等式：若a>b，则sin a > sin b。

22、函数不等式：若f(x)>g(x)，则f(x+h)>g(x+h)，其中h为任意实数。

23、条件不等式：若A>B且C>D，则AC>BD。

不等式高中数学公式

不等式高中数学公式不等式在高中数学中是一个非常重要的概念，它涉及到数学中的大小关系和数值范围的判断。

本文将介绍一些常见的不等式公式和相关的概念，帮助读者更好地理解和运用不等式。

一、基本符号和性质在不等式中，我们常常使用以下几个基本符号来表示大小关系：1. 大于：>，表示一个数大于另一个数；2. 小于：<，表示一个数小于另一个数；3. 大于等于：≥，表示一个数大于或等于另一个数；4. 小于等于：≤，表示一个数小于或等于另一个数。

不等式的性质有以下几点：1. 传递性：如果a>b，b>c，那么a>c；2. 加法性：如果a>b，那么a+c>b+c；3. 减法性：如果a>b，那么a-c>b-c，其中c为任意实数；4. 乘法性：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc；5. 除法性：如果a>b，且c>0，那么a/c>b/c；如果a>b，且c<0，那么a/c<b/c；二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。

例如：2x+3>5，x-4<7等。

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，需要注意不等号的方向，解的过程如下：1. 将不等式转化为等式：将不等号改为等号，得到2x+3=5；2. 解方程得到x的值：2x=2，x=1；3. 根据不等号的方向确定x的取值范围：由于原不等式中的不等号是大于号，所以解为x>1。

三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。

例如：x^2-3x+2>0，x^2-4x-5≤0等。

解一元二次不等式的方法如下：1. 将不等式化为二次方程：将不等式转化为等式，得到x^2-3x+2=0；2. 求出方程的解：解得x=1，x=2；3. 根据二次方程的图像和一元二次不等式的性质，确定x的取值范围：- 当不等式为大于号时，解为x<1或x>2；- 当不等式为小于等于号时，解为1≤x≤2。

高中常用基本不等式

高中常用基本不等式1. 引言不等式是数学中一种重要的关系，用于描述数值之间的大小关系。

在高中数学中，我们经常会用到一些基本的不等式，这些不等式在解决问题、证明数学命题以及理解数学概念的过程中起着至关重要的作用。

本文将介绍高中常用的基本不等式，包括一些重要的定理和推论，以及一些常见的解法技巧和应用示例。

通过深入学习和理解这些知识，我们将能够更加灵活地运用不等式求解各类问题。

2. 一元二次不等式2.1 不等式的基本性质不等式的基本性质包括保号性、移项性、放缩性和合并性。

下面将对这些性质进行详细介绍。

2.1.1 保号性对于实数集合上的不等式，如果将不等式中的实数替换为另一个实数，而不等式的符号保持不变，则称符号的保持为保号性。

具体而言，保持大于号（>）的不等式称为严格不等式，保持大于等于号（≥）的不等式称为非严格不等式。

例如，对于任意实数a、b，如果a > b，则有a + c > b + c，其中c是任意实数。

同样地，如果a ≥ b，则有a + c ≥ b + c。

2.1.2 移项性不等式的移项性允许我们在不等式两边同时增加或减少一个数，而不改变不等式的符号。

具体而言，对于不等式 a > b，我们可以同时加上一个数c，得到 a + c > b + c。

同样地，对于不等式 a ≥ b，我们可以同时加上一个数c，得到 a + c ≥ b + c。

2.1.3 放缩性不等式的放缩性允许我们在不等式的两边乘以或除以一个正数，而不改变不等式的符号。

具体而言，对于不等式 a > b，如果c是一个正数，则有 ac > bc。

同样地，对于不等式a ≥ b，如果c是一个正数，则有ac ≥ bc。

需要注意的是，如果c是一个负数，则放缩性不成立。

例如对于不等式 a > b，如果c是一个负数，则有 ac < bc，并不成立。

2.1.4 合并性不等式的合并性允许我们将多个不等式合并为一个复合不等式。

高中数学不等式公式总结

高中数学不等式公式总结高中数学不等式公式总结不等式是数学中的一个重要概念,它在各个领域都有广泛的应用。

在高中数学中,不等式也是一个重要的学习内容。

下面,我们将对高中数学中的不等式公式进行总结。

1. 常见的不等式类型在高中数学中,常见的不等式类型有:- 大于等于不等式:a >= b,a > b,a <= b- 大于小于不等式:a > b,a < b,a <= b- 等于不等式:a = b,a > b,a < b- 小于等于不等式:a < b,a <= b,a >= b2. 不等式的解法不等式的解法是解决不等式问题的关键。

常见的不等式的解法有:- 化简:将不等式转化为同除以一个非零数,解出不等式的值。

- 移项:将不等式中的项逐步移项,化简不等式,解出不等式的值。

- 合并同类项:将不等式的同类项合并,化简不等式,解出不等式的值。

- 代入解法:将代入的数或式子代入不等式中,解出不等式的值。

3. 不等式的应用不等式在数学中有广泛的应用,尤其是在代数、几何、三角函数等领域。

在代数中,不等式可以用来解决方程、不等式、矩阵等。

在几何中,不等式可以用来解决向量、平面图形等。

在三角函数中,不等式可以用来解决三角函数的最大值、最小值、周期等问题。

4. 不等式的拓展在解决不等式问题时,除了掌握常见的不等式类型和解法外,还需要掌握一些不等式的拓展。

常见的不等式的拓展有:- 区间端点不等式:对于区间 [a,b],如果 a < c < b,则 a 和 b 的中点 c 的取值范围应该大于等于 a 和 b 的平均值。

- 区间端点不等式的应用:例如,在区间 [a,b] 中,如果 a > c > b,则 a 和b 的中点 c 的取值范围应该大于等于 a 和 b 的平均值。

- 不等式的平均值不等式:对于任意的实数 a 和 b,如果 a > b,则 a 和 b 的平均值应该大于等于 a 和 b 的最大公约数。

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结不等式是高中数学中的重要内容，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还对培养我们的逻辑思维和解题能力起着关键作用。

下面我们来对高中不等式的知识点进行一个全面的总结。

一、不等式的基本性质1、对称性：若\（a ＞ b\），则\（b ＜ a\）；若\（a ＜ b\），则\（b ＞ a\）。

2、传递性：若\（a ＞ b\）且\（b ＞ c\），则\（a ＞ c\）。

3、加法法则：若\（a ＞ b\），则\（a ＋ c ＞ b ＋ c\）。

4、乘法法则：若\（a ＞ b\），＼（c ＞ 0\），则\（ac ＞ bc\）；若\（a ＞ b\），＼（c ＜ 0\），则\（ac ＜ bc\）。

二、一元一次不等式形如\（ax ＋ b ＞ 0\）（或\（＜ 0\））的不等式称为一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（若有分母）。

2、去括号。

3、移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。

4、合并同类项。

5、系数化为\（1\）：根据不等式的性质，若系数为正，不等号方向不变；若系数为负，不等号方向改变。

三、一元二次不等式形如\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0\）（或\（＜ 0\））（＼（a ≠ 0\））的不等式称为一元二次不等式。

其解法可以通过判别式\（＼Delta ＝ b^2 4ac\）来判断：当\（＼Delta ＞ 0\）时，方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）有两个不同的实根\（x_1\），＼（x_2\）（＼（x_1 ＜ x_2\）），则不等式的解集为\（x ＜ x_1\）或\（x ＞ x_2\）（大于取两边）；＼（x_1 ＜ x ＜x_2\）（小于取中间）。

当\（＼Delta ＝ 0\）时，方程有两个相等的实根\（x_0\），不等式的解集为\（x ≠ x_0\）（＼（a ＞ 0\））；＼（x 为全体实数\）（＼（a ＜ 0\））。

当\（＼Delta ＜ 0\）时，方程无实根，不等式的解集为\（a ＞ 0\）时，＼（x\）为全体实数；＼（a ＜ 0\）时，无解。

高考不等式公式汇总

不等式公式汇总一不等式的证明证明不等式选择方法的程序：①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解；②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1； ③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n 次方；平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数)：2221122a b a b ab a b++≥≥≥+(当a = b 时取等) 33a b cabc ++≤，123123a a a a a a ++≤++，(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，后面的方法都是特殊的等价变形方法；⑤逆代：把数换成字母；⑥换元：均值换元或三角换元；⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证； ⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。

二不等式的解法(一)有理不等式1．一次不等式：ax b >解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。

2．二次不等式：20ax bx c ++>两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。

3．高次不等式：序轴标根法(二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式先变形成有理不等式，再求解。

绝对值不等式：当a> 0时，有 22x a x a a x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.无理不等式：(1)()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. (2)2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. (3)2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩(三)指数不等式对数不等式不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。

高中数学不等式知识点归纳

高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳主要包括以下几个方面：
1. 不等式的概念和性质：不等式是数学中比较基础的概念，它表示两个数之间的大小关系。

不等式的性质包括：对称性、传递性、加法法则、乘法法则等。

这些性质在解决不等式问题时非常重要。

2. 一元一次不等式：一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。

解决这类不等式问题，可以通过移项、合并同类项、化系数为1等方法，将其转化为一元一次方程，然后求解。

3. 一元二次不等式：一元二次不等式是含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式。

解决这类不等式问题，可以通过因式分解、配方、判别式等方法，将其转化为一元二次方程，然后求解。

4. 分式不等式：分式不等式是含有分式的不等式。

解决这类不等式问题，可以通过通分、分子分母同号或异号等方法，将其转化为整式不等式，然后求解。

5. 绝对值不等式：绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。

解决这类不等式问题，可以通过绝对值的定义，将其转化为分段函数，然后分别求解每一段的情况。

6. 不等式的应用：不等式在实际生活中有广泛的应用，如优化问题、最值问题、范围问题等。

在解决这些问题时，需要根据问题的实际情况，建立相应的不等式模型，然后求解。

以上是高中数学不等式知识点的主要归纳，希望对你有所帮助。

高中不等式公式大全

高中不等式公式大全一、基本概念。

1. 不等式的定义，对于两个数a和b，如果a比b大，我们就写成a>b；如果a比b小，我们就写成a<b。

这种关系可以用不等式符号来表示。

2. 不等式的解集，不等式的解集是使不等式成立的全部实数的集合。

二、基本性质。

1. 不等式的传递性，如果a>b，b>c，则a>c。

2. 不等式的加减性，如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c（c>0时）。

3. 不等式的乘除性，如果a>b，c>0，则ac>bc，a/c>b/c（c>0）；如果a>b，c<0，则ac<bc，a/c<b/c（c<0）。

三、常见不等式公式。

1. 平均不等式，对于任意n个正数a1，a2，…，an，有(a1+a2+…+an)/n≥(a1a2…an)^(1/n)。

2. 柯西-施瓦茨不等式，对于任意两组实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)。

3. 阿贝尔不等式，对于任意n个实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，如果满足a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn，则有a1b1+a2b2+…+anbn≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)。

4. 均值不等式，对于任意n个正数a1，a2，…，an，有(a1+a2+…+an)/n≥(a1a2…an)^(1/n)。

5. 三角不等式，对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。

四、不等式的解法。

1. 图像法，将不等式转化为函数的图像，利用函数图像的性质求解不等式。

2. 代数法，通过对不等式进行变形，利用不等式的性质进行求解。

3. 参数法，引入参数，通过对参数的取值范围进行讨论，得到不等式的解集。

五、常见不等式。

高中数学不等式常用公式

高中数学不等式常用公式高中数学中的不等式可是个让人又爱又恨的家伙。

不等式在解决各种数学问题时那是相当重要，常用的公式更是我们解题的利器。

先来说说基本不等式，这可是不等式家族中的“明星成员”。

对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，当且仅当 a = b 时，等号成立。

这就好比我们分糖果，要想让每个人得到的糖果差不多，就得按照这个规则来。

想象一下，这就像是两个人走路，他们之间的距离变化是有范围的。

我记得之前有一次给学生们讲题，有一道关于不等式的题目难倒了一大片。

题目是这样的：已知$x^2 + y^2 = 1$，求$3x + 4y$的最大值。

这道题就用到了我们的不等式知识。

我引导着学生们思考，我们可以设$x = \sin\alpha$，$y = \cos\alpha$，然后$3x + 4y = 3\sin\alpha + 4\cos\alpha$。

这时候，我们就可以利用三角函数的辅助角公式，将其变形为$5\sin(\alpha + \varphi)$，其中$\varphi$是一个特定的角度。

而正弦函数的值域是$[-1, 1]$，所以$3x + 4y$的最大值就是 5 啦。

当时看着学生们恍然大悟的表情，我心里那叫一个欣慰。

再来说说柯西不等式，$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$。

这个不等式就像是一个魔法公式，在很多复杂的问题中都能发挥大作用。

在解决不等式问题时，我们要灵活运用这些公式，就像手里拿着不同的工具，根据不同的情况选择最合适的那一个。

比如，有时候需要通过变形、配凑来使用公式，有时候要结合函数的性质来分析。

高中数学不等式公式总结(一)

高中数学不等式公式总结(一)前言•数学不等式是高中数学中的重要内容•掌握不等式的公式和方法对于解题至关重要•本文将对高中数学不等式公式进行总结和归纳正文一、基本不等式公式•加减法原则：对不等式两边同时加减一个相同的数，不等式方向不变•乘除法原则：对不等式左右两边同时乘除以一个相同的正数，不等式方向不变；当乘除以一个负数时，不等式方向反转•等式性质：如果a=b，则a在不等式中的某两侧存在一一对应关系•平方性质：如果a>b，则a²>b²二、基础不等式公式•比较常见字母大小：对于有a、b两个字母组成的不等式，如果a=，b=，则a>b•平均值不等式：对于n个正数a₁,a₂,…,aₙ，平均值不等式成立：(a₁+a₂+…+aₙ)/n ≥ √(a₁a₂…aₙ)•柯西不等式：对于实数a₁,a₂,…,aₙ和b₁,b₂,…,bₙ，柯西不等式成立：(a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ)² ≤(a₁²+a₂²+…+aₙ²)(b₁²+b₂²+…+bₙ²)•差平方不等式：对于任何实数x,y，差平方不等式成立：(x+y)² ≥ 4xy三、特殊不等式公式•AM-GM不等式：对于非负数a₁,a₂,…,aₙ，AM-GM不等式成立：(a₁+a₂+…+aₙ)/n ≥ √(a₁a₂…aₙ)•Schur不等式：对于非负实数a,b,c和非负整数r，Schur不等式成立：aᵣ(a-b)(a-c)+bᵣ(b-a)(b-c)+cᵣ(c-a)(c-b) ≥ 0•Holder不等式：对于p,q>1，1/p+1/q=1，实数a₁,a₂,…,aₙ和b₁,b₂,…,bₙ，Holder不等式成立：(a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ) ≤(a₁ᵖ+a₂ᵖ+…+aₙᵖ)¹/p (b₁q+b₂q+…+bₙq)¹/q结尾•本文对高中数学不等式公式进行了总结，并按照基本、基础和特殊不等式的分类进行了阐述•掌握这些不等式公式将为解题提供有力的工具•希望本文能为读者提供有用的数学知识，并提升解题能力。

数学不等式基本公式高中

数学不等式基本公式高中高中数学中的不等式基本公式，那可是相当重要的知识板块呀！不等式这玩意儿，就像是数学世界里的天平，得让两边保持平衡或者不平衡的合理状态。

咱先来说说常见的基本不等式公式，比如均值不等式。

对于正数 a 和 b ，有算术平均数大于等于几何平均数，也就是 (a + b) / 2 ≥ √(ab) 。

这个公式看起来简单，用处可大着呢！给大家举个例子吧。

记得有一次，学校组织数学竞赛，有一道题是这样的：小明要围一个矩形的花园，花园的周长是 20 米，问花园面积最大能是多少？这时候均值不等式就派上用场啦。

设矩形的长为 a ，宽为 b ，则 2(a + b) = 20 ，也就是 a + b = 10 。

根据均值不等式，(a + b) / 2 ≥ √(ab) ，所以10 / 2 ≥ √(ab) ，也就是5 ≥ √(ab) ，两边平方得到25 ≥ ab ，所以 ab 的最大值就是 25 ，这就是花园面积的最大值。

当时很多同学都没有想到用这个公式，绞尽脑汁也没算出答案，而我因为熟练掌握了这个不等式，轻松就解出来了，那感觉可太棒啦！还有一个重要的不等式，就是柯西不等式。

对于两组实数 a1, a2,..., an 和 b1, b2,..., bn ，有(a1² + a2² +... + an²)(b1² + b2² +... + bn²) ≥ (a1b1 +a2b2 +... + anbn)²。

这个不等式在解决一些复杂的最值问题和证明题时，威力巨大。

比如说，有这么一道题：已知 a 、b 、c 为正实数，且 a + b + c = 1 ，求证：(1 / a - 1)(1 / b - 1)(1 / c - 1) ≥ 8 。

这道题看起来就很让人头疼，但是用柯西不等式就能巧妙解决。

不等式的应用那是无处不在，不仅仅是在数学题目中，在生活里也能找到它们的影子。

高考基础——常用不等式

不等式1比较大小: (1)做差法；(2)做商法；限定条件b a b a b a <<>则10,；b a b a >>则1 常用公式: 平方差公式, 完全平方式, 立方和/差公式立方和/差公式))((2233b ab a b a b a ++=±例比较a bb a+与b a +的大小(1)做差法:0))()(())(()()(>--+=--=+-+ab b a b a b a ab b a b a b a a bb a(2)做商法 ()()1)()()(2333≥+-++-+=++=++=++ab abb a b a ab b ab a b a b a ab ba b a abb a b a a bb a 2不等式的性质对称性: (2)传递性:(3)加法单调性: 推论(4)若bc ac c b a bcac c b a <<>>>>则且若则且,0;,0 推论: 若；若3二次函数与一元二次不等式(1)二次函数)0(2≠++=a cbx ax y ①开口方向与大小, 由决定②对称轴 , 顶点坐标③判别式 , 求根公式④韦达定理(根与系数关系)ac x x a b x x =-=+2121 (2)求解一元二次不等式的方法(1) 将2x 系数化为正(或将因式分解后的每个括号内x 的系数化为正)(2) 求一元二次方程为0的根大于取两边, 小于取中间(注意这句口诀成立的条件是系数为正) 例1 ①0652>-+x x ②02532>-+x x ③0652>-+-x x(3)多个因式乘积的不等式解法① 将每个括号内x 的系数化为正② 求出使得每个括号为0的x 值③ 在数轴上表示出x 的各个取值④ 奇穿偶回例2 ①0)4)(5)(3(<-++x x x ②0)5)(31)(2(≥+-+x x x ③0)2()1()1(32≥++-x x x x4分式不等式的解法 ①02)3)(4(<--+x x x 的解集完全等价于0)2)(3)(4(<--+x x x ②02)3)(4(≤--+x x x 的的解集等价于020)2)(3)(4(≠-≤--+x x x x 且③不等式211<-x 的解集为例3 已知y x z y x y x 32,3241-=<-<<+<-则且的取值范围是5绝对值不等式6均值不等式无理不等式。

不等式公式高中数学

不等式公式高中数学不等式是数学中的重要概念，可以用来描述数之间的大小关系，广泛应用于很多领域，如经济学、物理学等。

在高中数学中，不等式是一个重要的章节，学习不等式的基本理论和解题方法，对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。

一、不等式的基本概念和性质1.不等式的定义：若两个数a、b之间存在其中一种大小关系（如a>b、a≥b、a＜b、a≤b等），则可称为一个不等式，并用符号<、≤、>、≥等表示。

2.不等式的基本性质：（1）传递性：若a>b,b>c，则有a>c。

（2）对称性：若a>b，则b＜a。

（3）相等性：若a=b，则a≥b且a≤b。

这些基本性质在解不等式问题时常常用到，应予以熟练掌握。

二、一元线性不等式1.不等式的性质：对于一元线性不等式来说，其解集一般是一个无界区间，如x>a、x≥a、x＜a、x≤a等。

2.不等式的基本解法：（1）化简：若碰到一些绝对值、分式不等式等，可以通过一些常用算法把不等式化为简单的一元线性不等式。

（2）绘制数轴：将不等式中的变量对应的数值放在数轴上，根据不等式的条件，画出合适的区间。

例如，对于不等式x>a，找到数轴上的点a，然后再看a是开区间还是闭区间，根据符号的要求画出相应的符号。

（3）代入验证：将数轴上的点代入不等式，检查其是否符合不等式的要求。

（4）确定解集：根据以上步骤找到所有符合不等式的数值，并表示出解集。

三、二元线性不等式1. 二元线性不等式的定义：二元线性不等式是含有两个变量的线性不等式，例如ax+by>c。

2.二元线性不等式的解集表示：通常用曲线或阴影来表示不等式的解集。

当解集为直线时，用实线表示，当解集为部分平面时用阴影表示。

3.二元线性不等式的解法：可以通过图解法、代数法、区间判断法等方式来解二元线性不等式，具体方法根据不等式的特点选择合适的解法。

四、不等式的证明在数学中，不等式的证明是一个重要的环节。

高中数学经典的不等式汇总15

.
②式得证.
由于指数不等式也可以由函数单调性得到，
故此法称为“单调性法”.
1

n k1
1 k!

n n

(n
n
1)

(n
n
2)

...

(n

k n

1)

n
1
1 11 n
1 2 n
1
k1 k !
k2 k!
k2 k!

2

n k2
1 k(k
1)

2

n k2

k
1
1

1 k

21 1 3 ② n

1 n2

...
Cnn

1 nn

1
Cn1

1 n

2
即：

1

1 n
n

2
①
由二项式定理并采用放缩法得：

1

1 n
n

1
n
Cnk
k1

1 nk

1

n k1
k
n! !(n
k
)!

1 nk

1

n k1
1 k!
(n

n! k )! nk

本题由二项式中，分子由从 n 开始的 k 个递减数连乘，分母由 k 个 n 连乘，得到的分数必
定小于 1 . 于是得到： (1 1 )n 3 . n