高考数学复习题库 高考数学归纳法

高考数学复习题库高考数学归纳法
一.选择题
1.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x ＋y整除”，在第二步时，正确的证法是( ). A.假设n＝k(k∈N ＋)，证明n＝k＋1命题成立 B.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C.假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析
A.B.C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数. 答案 D
2.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1 对于n≥n0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取( )
A.2
B.3
C.5
D.6 解析分别令 n0＝2,3,5, 依次验证即可. 答案 C
3.对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立.
（2）假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( ). A.过程全部正确 B.n＝1验得不正确C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n ＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法. 答案 D
4.利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，
n∈N*)”时，在验证n＝1成立时，左边应该是( )
A1 B1＋a C1＋a＋a2 D1＋a＋a2＋a3 解析当n＝1时，左边
＝1＋a＋a2，故选C. 答案 C
5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( ). A.k2＋1 B.(k＋1)2 C. D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 解析∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋
(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基
础上加上 (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)
2. 答案 D
6.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )
A.6＋6·7k
B.2＋7k－1
C.2(2＋7k＋1)
D.3(2＋7k)
解析
(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除.
（2）假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36. 这就是说，k＝n＋1时命题也成立. 由
(1)
（2）可知，命题对任何k∈N*都成立. 答案 D
7.用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( ). A. B.－ C.－ D.＋解析∵当n＝k时，左侧＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，
左侧＝1－＋－＋…＋－＋－. 答案 C
二.填空题
8.对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为
________. 解析依题意得 n2＝＝100, ∴n＝10. 易知 m3＝21m ＋×2, 整理得(m－5)(m＋4)＝0, 又m∈N*, 所以 m＝5, 所以m ＋n＝15. 答案15
9.用数学归纳法证明：＋＋…＋＝；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋故只需证明＋＝即可. 答案＋＝10.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________________.111121133114641 … 解析所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n. 答案2n－2n11.在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________. 解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，即a3＝(a1＋a2)＝；当n＝4
时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，即a4＝(a1＋a2＋a3)＝. ∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝，故猜想an＝. 答案 an＝12.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真. 解析∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立. 答案2k＋1
三.解答题13.用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－
1.证明
(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·＝1，∴原等式成立.
（2）假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2 ＝(－1)k－
1.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)] ＝(－1)k，∴n＝k＋1时，等式也成立，由
(1)
（2）得对任意n∈N*有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－
1.14.已知数列{an}中，a1＝a(a＞2)，对一切n∈N*，an＞0，an＋1＝. 求证：an＞2且an＋1＜an. 证明法一∵an＋1＝＞0，∴an＞1，∴an－2＝－2＝≥0，∴an≥
2.若存在ak＝2，则ak－1＝2，由此可推出ak－2＝2，…，a1＝2，与a1＝a＞2矛盾，故an＞
2. ∵an＋1－an＝＜0，∴an＋1＜an. 法二
(用数学归纳法证明an＞2)
①当n＝1时，a1＝a＞2，故命题an＞2成立；②假设n＝
k(k≥1且k∈N*)时命题成立，即ak＞2，那么，ak＋1－2＝－2＝＞0. 所以ak＋1＞2，即n＝k＋1时命题也成立. 综上所述，命题an＞2对一切正整数成立. an＋1＜an的证明同上.15.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－.
(1)设c＝，bn＝，求数列{bn}的通项公式；
（2）求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围. 解析
(1)an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋
2. bn＋1＋＝4，又a1＝1，故b1＝＝－1，所以是首项为－，公比为4的等比数列， bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.
（2）a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1，得c＞
2. 用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋
1.(ⅰ)当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；(ⅱ)设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，ak＜ak＋1，则当n＝k＋1时， ak＋2＝c －＞c－＝ak＋
1.故由(ⅰ)(ⅱ)知当c＞2时，an＜an＋
1.当c＞2时，因为c＝an＋1＋＞an＋，所以a－can＋1＜0有解，所以＜an＜，令α＝，当2＜c≤时，an＜α≤
3. 当c＞时，α＞3，且1≤an＜α，于是α－an＋1＝(α－an)＜(α－an)＜(α－an－1)＜...(α－1). 当n＞log3时，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3，与已知矛盾. 因此c＞不符合要求. 所以c的取值范围是.16.是否存在常数a.b.c使等式12＋22＋32＋...＋n2＋(n－1)2＋...＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a.b.c并证明；若不存在，试说明理由. 解析假设存在a.b.c使12＋22＋32＋...＋n2＋(n－1)2＋ (22)
12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立. 当n＝1时，a(b＋c)＝1；当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；当n＝3时，3a(9b＋c)＝19. 解方程组解得证明如下：①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立. ②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12 ＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2 ＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2 ＝k(2k ＋1)(k＋1)＋(k＋1)2 ＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)
＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]. 即n＝k＋1时，等式成立. 因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N*都成立.。