高三数学一轮复习练习第九章 7挑战真题

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2021年高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练64文

2021年高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练64文1．(xx·绵阳二诊)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 在椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A.214 B ．6C ．8D ．12答案 B解析由题意得F(－1，0)，设P(x ，y)，则OP →·FP →＝(x ，y )·(x＋1，y)＝x 2＋x ＋y 2，又点P 在椭圆上，故x 24＋y 23＝1，所以x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以当x ＝2时，14(x ＋2)2＋2取得最大值6，即OP →·FP →的最大值为6.2．(xx·四川成都七中模拟)若直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 交抛物线C 于A ，B 两点，则1|AF|＋1|BF|的取值范围为( )A ．{1}B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．[12，1]答案 A解析由题意知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，准线方程为x ＝－1.设过点F 的直线l 的斜率k 存在，则直线的方程为y ＝k(x －1)．代入抛物线方程，得k 2(x －1)2＝4x ，化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝1.根据抛物线性质可知，|AF|＝x 1＋1，|BF|＝x 2＋1，∴1|AF|＋1|BF|＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋2＝1.当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝1，把x ＝1代入y 2＝4x 得y ＝±2，∴1|AF|＋1|BF|＝1.故选A. 3．(xx·云南曲靖一中月考)已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上的动点，点P 到某直线l 的最大距离为6.若在直线l 上任取一点A 作圆的切线AB ，切点为B ，则|AB|的最小值是________．答案 23解析由C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝4，由圆上动点P 到某直线l 的最大距离为6，可知圆心C(1，2)到直线l 的距离为4.若在直线l 上任取一点A 作圆的切线AB ，切点为B ，则要使|AB|最小，需AC⊥l，∴|AB|的最小值是42－22＝2 3.4．(xx·河南新乡一调)设O 为坐标原点，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝－ay 的准线方程为y ＝12.(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设过定点M(0，2)的直线l 与椭圆C 1交于不同的两点P ，Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线l 的斜率k 的取值范围．答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)k∈(－2，－32)∪(32，2)解析 (1)由题意得a 4＝12，∴a ＝2，故抛物线C 2的方程为x 2＝－2y.又e ＝32，∴c ＝3，∴b ＝1，从而椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)显然直线x ＝0不满足条件，故可设直线l ：y ＝kx ＋2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0. ∵Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k 2)>0，∴k ∈(－∞，－32)∪(32，＋∞)，x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，根据题意，得0<∠POQ<π2⇔OP →·OQ →>0，∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4＝12（1＋k 2）1＋4k 2＋2k×－16k 1＋4k 2＋4＝16－4k 21＋4k 2>0，∴－2<k<2，综上得k∈(－2，－32)∪(32，2)． 5．(xx·陕西咸阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若P ，Q 的中点为N ，在线段OF 2上是否存在点M(m ，0)，使得MN⊥PQ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案 (1)x 24＋y23＝1 (2)存在理由略解析 (1)由e ＝12得a ＝2c.由|AF 1|＝2得|AF 2|＝2a －2.由余弦定理得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos ∠F 1AF 2＝|F 1F 2|2，即a 2－3a ＋3＝c 2，解得c ＝1，a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)存在这样的点M 符合题意．设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，N(x 0，y 0)．由F 2(1，0)，设直线PQ 的方程为y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，得x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，故x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3.又点N 在直线PQ 上，所以y 0＝－3k 4k 2＋3，所以N(4k 24k 2＋3，－3k4k 2＋3)．因为MN⊥PQ，所以k MN ＝0－－3k 4k 2＋3m －4k 24k 2＋3＝－1k ，整理得m ＝k 24k 2＋3＝14＋3k2∈(0，14)．所以在线段OF 2上存在点M(m ，0)，使得MN⊥PQ，m 的取值范围为(0，14)．1．(xx·山西五校联考)设点F 为椭圆C ：x 24m ＋y23m ＝1(m>0)的左焦点，直线y ＝x 被椭圆C 截得的弦长为4427.(1)求椭圆C 的方程；(2)圆P ：(x ＋437)2＋(y －337)2＝r 2(r>0)与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 上任意一点，直线FM 交椭圆C 于P ，Q 两点，AB 为圆P 的直径，且直线FM 的斜率大于1，求|PF|·|QF|的取值范围．答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)(94，125]解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 24m ＋y 23m ＝1，得x 2＝y 2＝12m 7，故2x 2＋y 2＝224m 7＝4427，解得m ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－837，y 1＋y 2＝637.又⎩⎪⎨⎪⎧x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，所以（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，则(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.所以直线AB 的方程为y －337＝x ＋437，即y ＝x ＋3，代入椭圆C 的方程并整理得7x 2＋83x ＝0，则x 1＝0，x 2＝－837.又F(－1，0)，直线FM 的斜率大于1，则直线FM 的斜率k∈[3，＋∞)．设FM ：y ＝k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，设P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则有x 3＋x 4＝－8k 23＋4k 2，x 3x 4＝4k 2－123＋4k 2.又|PF|＝1＋k 2|x 3＋1|，|QF|＝1＋k 2|x 4＋1|，所以|PF|·|QF|＝(1＋k 2)|x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1|＝(1＋k 2)|4k 2－123＋4k 2－8k23＋4k2＋1|＝(1＋k 2)·93＋4k 2＝94(1＋13＋4k 2)．因为k≥3，所以94<94(1＋13＋4k 2)≤125. 即|PF|·|QF|的取值范围是(94，125]．2.(xx·湖南师大附中月考)如图所示，已知F 1(0，－2)，F 2(0，2)，动点M 到点F 2的距离是4，线段MF 1的中垂线交MF 2于点P. (1)当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；(2)若斜率为2的动直线l 与轨迹G 相交于A ，B 两点，Q(1，2)为定点，求△QAB 面积的最大值．答案 (1)y 24＋x22＝1 (2) 2解析 (1)如图，连接PF 1，∵|MF 2|＝4，∴|PM|＋|PF 2|＝4. 又∵|PM|＝|PF 1|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4>|F 1F 2|＝22，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹G 是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其方程为y24＋x22＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，代入椭圆方程得(2x ＋m)2＋2x 2＝4，即4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0. 由Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0，得m 2<8. 又点Q 不在直线l 上，所以m≠0，所以0<m 2<8.设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2m 2，x 1x 2＝m 2－44.所以|AB|＝1＋2|x 1－x 2|＝3（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3·m 22－（m 2－4）＝3×4－m22.又点Q 到直线l 的距离d ＝|m|3，则S △QAB ＝12|AB|d ＝12×3×4－m 22×|m|3＝24m 2（8－m 2）.因为m 2（8－m 2）≤m 2＋8－m22＝4，则S △QAB ≤2，当且仅当m 2＝4，即m ＝±2时取等号．故△QAB 面积的最大值为 2.3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，且经过点P(1，32)．过它的两个焦点F 1，F 2分别作直线l 1与l 2，l 1交椭圆于A ，B 两点，l 2交椭圆于C ，D 两点，且l 1⊥l 2. (1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围．答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)[28849，6]解析 (1)由c a ＝12⇒a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P 的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2)若l 1与l 2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S ＝6.若l 1与l 2的斜率都存在，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k ，则直线l 1的方程为y ＝k(x ＋1)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.① ∴x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1·x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴|x 1－x 2|＝12k 2＋14k 2＋3，∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.② 注意到方程①的结构特征和图形的对称性，可以用－1k 代替②中的k ，得|CD|＝12（k 2＋1）3k 2＋4， ∴S ＝12|AB|·|CD|＝72（1＋k 2）2（4k 2＋3）·（3k 2＋4），令k 2＝t∈(0，＋∞)， ∴S ＝72（1＋t ）2（4t ＋3）·（3t ＋4）＝6（12t 2＋25t ＋12）－6t 12t 2＋25t ＋12＝6－612t ＋12t ＋25≥6－649＝28849，∴S ∈[28849，6]．综上可知，四边形ABCD 的面积S∈[28849，6]．4．(xx·衡水中学调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点A(－22，32)，离心率为22，点F 1，F 2分别为其左、右焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若y 2＝4x 上存在两个点M ，N ，椭圆上有两个点P ，Q 满足M ，N ，F 2三点共线，P ，Q ，F 2三点共线，且PQ⊥MN，求四边形PMQN 面积的最小值．答案 (1)x 22＋y 2＝1 (2)4 2解析 (1)由题意得c a ＝22，得b ＝c.∵（－22）2a 2＋（32）2b 2＝1(a>b>0)，∴c ＝1，∴a 2＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得|MN|＝4，|PQ|＝22，S 四边形PMQN＝4 2.②当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y ＝k(x －1)(k≠0)，与y 2＝4x 联立得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.令M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2＋2，x 1x 2＝1，|MN|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋4.∵PQ ⊥MN ，∴直线PQ 的方程为y ＝－1k (x －1)．将直线与椭圆联立，得(k 2＋2)x 2－4x ＋2－2k 2＝0. 令P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝4k 2＋2，x 3x 4＝2－2k2k 2＋2，|PQ|＝1＋1k 2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝22（1＋k 2）k 2＋2. ∴四边形PMQN 的面积S ＝42（1＋k 2）2k 2（k 2＋2），令1＋k 2＝t(t>1)，则S ＝42t 2（t －1）（t ＋1）＝42t 2t 2－1＝42(1＋1t 2－1)>42，∴S>42，其最小值为4 2.5．(xx·浙江，文)已知抛物线C 的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN|的最小值．答案 (1)x 2＝4y (2)852解析 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py(p>0)，则p 2＝1，所以抛物线C 的方程为x2＝4y.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理，得x 2－4kx －4＝0. 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标为x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 124＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以|MN|＝2|x M －x N |＝2|84－x 1－84－x 2|＝82|x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16|＝82k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34. 当t>0时，|MN|＝22·25t 2＋6t＋1>22；当t<0时，|MN|＝22·（5t ＋35）2＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN|的最小值是852.6．(xx·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段长为c ，|FM|＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP(O 为原点)的斜率的取值范围．解析 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k(k>0)，则直线FM 的方程为y ＝k(x ＋c)．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c)，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c.因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM|＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y)，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t(x ＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2，解得－32<x<－1，或－1<x<0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t(x ＋1)<0，因此m>0.于是m ＝2x 2－23，得m∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x∈(－1，0)时，有y ＝t(x ＋1)>0，因此m<0.于是m ＝－2x 2－23，得m∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.7．(xx·河南百校联盟质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的四个顶点组成的四边形的面积为22，且经过点(1，22)． (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 的下顶点为P ，如图所示，点M 为直线x ＝2上的一个动点，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ，且与C 交于A ，B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和△ONP 的面积分别为S 1，S 2.求S 1S 2的最大值．答案 (1)x 22＋y 2＝1 (2)22解析 (1)∵(1，22)在椭圆C 上，∴1a 2＋12b2＝1，又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为22，∴12×2a ×2b ＝22，ab ＝2，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)可知F(1，0)，设M(2，t)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则当t≠0时，直线OM 的方程为y ＝t 2x.所以k AB ＝－2t ，直线AB 的方程为y ＝－2t (x －1)，即2x ＋ty －2＝0(t≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2t （x －1），x 2＋2y 2－2＝0，得(8＋t 2)x 2－16x ＋8－2t 2＝0.则Δ＝(－16)2－4(8＋t 2)(8－2t 2)＝8(t 4＋4t 2)>0， x 1＋x 2＝168＋t 2，x 1x 2＝8－2t28＋t 2.|AB|＝1＋k AB 2·Δ8＋t2＝1＋4t 2·22t 2（t 2＋4）8＋t 2＝22（t 2＋4）8＋t2. 又|OM|＝t 2＋4，∴S 1＝12|OM|·|AB|＝12t 2＋4·22（t 2＋4）8＋t 2＝2（t 2＋4）t 2＋48＋t 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2t （x －1），y ＝t2x得x N＝4t 2＋4，∴S 2＝12×1×4t 2＋4＝2t 2＋4.∴S 1S 2＝2（t 2＋4）t 2＋48＋t 2·2t 2＋4＝22t 2＋48＋t2＝22t 2＋4＋4t 2＋4<22. 当t ＝0时，直线l ：x ＝1，|AB|＝2，S 1＝12×2×2＝2，S 2＝12×1×1＝12，S 1S 2＝22.综上，S 1S 2的最大值为22. 8．(xx·山东潍坊期末)已知点F 1为圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心，N 为圆F 1上一动点，F 2(1，0)，点M ，P 分别是线段F 1N ，F 2N 上的点，且满足MP →·F 2N →＝0，F 2N →＝2F 2P →. (1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过点F 2的直线l(与x 轴不重合)与轨迹E 交于A ，C 两点，线段AC 的中点为G ，连接OG 并延长交轨迹E 于B 点(O 为坐标原点)，求四边形OABC 的面积S 的最小值．答案 (1)x 24＋y23＝1 (2)3解析 (1)由题意，MP 垂直平分F 2N ，∴|MF 1|＋|MF 2|＝4，∴动点M 的轨迹是以F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a ＝4，焦距2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b 2＝3. 轨迹E 的方程为x 24＋y23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，G(x 0，y 0)，直线AC 的方程为x ＝my ＋1，与椭圆方程联立，可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，∴y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m2.由弦长公式可得|AC|＝1＋m 2|y 1－y 2|＝12（1＋m 2）4＋3m 2，又y 0＝－3m 4＋3m 2，∴G(44＋3m 2，－3m4＋3m 2)．直线OG 的方程为y ＝－3m 4x ，代入椭圆方程得x 2＝164＋3m2，∴B(44＋3m 2，－3m4＋3m 2)，B 到直线AC 的距离d 1＝4＋3m 2－11＋m 2，O 到直线AC 的距离d 2＝11＋m2，∴S OABC ＝12|AC|(d 1＋d 2)＝613－13（4＋3m 2）≥3，当m ＝0时取得最小值3. ∴四边形OABC 的面积的最小值为3.8．(xx·衡水调研卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，圆Q ：(x －2)2＋(y －2)2＝2的圆心Q 在椭圆C 上，点P(0，2)到椭圆C 的右焦点的距离为 6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，且l 1交椭圆C 于A ，B 两点，直线l 2交圆Q 于C ，D 两点，且M 为CD 的中点，求△MAB 的面积的取值范围．答案 (1)x 28＋y 24＝1 (2)(453，4]解析 (1)因为椭圆C 的右焦点F(c ，0)，|PF|＝6，∴c ＝2，圆Q ：(x －2)2＋(y －2)2＝2的圆心(2，2)，∴(2，2)在椭圆C 上，代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，∴4a 2＋2b2＝1，由a 2－b 2＝4，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)由题意可得l 1的斜率不为零，当l 1垂直x 轴时，△MAB 的面积为12×4×2＝4.当l 1不垂直x 轴时，设直线l 1的方程为y ＝kx ＋2，则直线l 2的方程为y ＝－1k x ＋2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋2，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋42kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2，x 1x 2＝－41＋2k2.则|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝4（1＋k 2）（4k 2＋1）2k 2＋1. 又圆心Q(2，2)到l 2的距离d 1＝21＋k2<2得k 2>1，又MP⊥AB，QM ⊥CD ，所以M 点到AB 的距离等于Q 到点AB 的距离，设为d 2，即d 2＝|2k －2＋2|1＋k 2＝2|k|1＋k2，所以△MAB 的面积S ＝12|AB|d 2＝4|k|4k 2＋12k 2＋1＝4k 2（4k 2＋1）（2k 2＋1）2. 令t ＝2k 2＋1∈(3，＋∞)，则1t ∈(0，13)，S ＝42t 2－3t ＋12t2＝412（1t －32）2－18∈(453，4)，综上，△MAB 的面积的取值范围为(453，4]．9．(xx·吉林长春实验中学模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的一个顶点坐标为(2，0)，离心率为32.(1)求椭圆的方程；(2)若A(0，1)，设M ，N 是椭圆上异于点A 的任意两点，且AM⊥AN，线段MN 的中垂线l 与x 轴的交点为(m ，0)，求m 的取值范围．答案 (1)x 24＋y 2＝1 (2)[－920，920]解析 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，可得a ＝2，e ＝c a ＝32，解得c ＝3，b ＝a 2－c2＝1，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，线段MN 的中点的横坐标为x 1＋x 22.设直线MN ：y ＝kx ＋t ，将其代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4，可得(1＋4k 2)·x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0，则Δ＝64k 2t 2－16(1＋4k 2)(t 2－1)>0，即1＋4k 2>t 2. 则x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k 2，故线段MN 的中点坐标为(－4kt 1＋4k 2，t1＋4k2)．则中垂线l 的方程为y －t 1＋4k 2＝－1k (x ＋4kt 1＋4k 2)，令y ＝0，可得x ＝m ＝－3kt 1＋4k2. 由AM⊥AN，可得y 1－1x 1·y 2－1x 2＝－1，即(1＋k 2)x 1x 2＋(t －1)2＋k(t －1)(x 1＋x 2)＝0，化为(1＋k 2)(4t 2－4)＋(t －1)2(1＋4k 2)＋k(t －1)(－8kt)＝0，解得t ＝1或－35.当t ＝1时直线MN 过A 点，不合题意，故舍去．当t ＝－35时，m ＝9k5（1＋4k 2）. 当k>0时，m ＝9k5（1＋4k 2）＝95（4k ＋1k）≤920；当k<0时，m ＝－95（－4k ＋1－k ）≥－920；当k ＝0时，线段MN 的中垂线为y 轴，此时m ＝0. 综上，m 的取值范围是[－920，920]。

2022年高三数学一轮复习检测第9章第七讲离散型随机变量及其分布列

第七讲离散型随机变量及其分布列A 组基础巩固一、单选题1．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：X 0 1 2 Pa1316F (x )＝P (X ≤x )，则当x D ) A ．13B ．16C ．12D ．56[解析] ∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.2．(2019·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( C )A ．0B ．12C ．13D ．23[解析] X 可能取值为0或1，而P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝13.故选C.3．(2019·陕西西安高三检测)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<ξ≤4)等于( A )A ．316B ．14C ．116D ．15[解析] P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.故选A.4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E (X )＝( B )A ．185B ．215C ．4D ．245[解析] 由题意知，X 的所有可能取值为3,4,5，且P (X ＝3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23·C 12C 35＝35，P (X ＝5)＝C 13·C 22C 35＝310，所以E (X )＝3×110＋4×35＋5×310＝215. 5．(2020·安徽六校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( B )A ．2764B ．916C ．81256D ．716[解析] 4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：C 14·C 24·A 33＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P ＝144256＝916.故选B. 二、填空题6．(2019·吉林质检)设随机变量的概率分布为则ξ的数学期望的最小值是 12.[解析] E (ξ)＝0×p 3＋1×p 3＋2×(1－2p3)＝2－p ，又∵1>p 3≥0,1≥1－23p ≥0，∴0≤p ≤32.∴当p ＝32时，E (ξ)的值最小，E (ξ)＝2－32＝12.7．(2019·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为__________.[解析]8.从一批含有13只正品，23件，则取得次品数为ξ的分布列为____________.[解析]设随机变量ξN ＝15，M ＝2，n ＝3.它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.三、解答题9．(2019·湖北模拟)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于网购，2名倾向于实体店购物，5名女性购物者中有2名倾向于网购，3名倾向于实体店购物．(1)若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名倾向于实体店购物的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名倾向于实体店购物”为事件A ，则A 表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于网购”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 13×C 12C 15×C 15＝1925.(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3，且P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，则P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740，P (X ＝3)＝1120.所以X 的分布列为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.10．(2019·山东临沂模拟)甲、乙两人轮流射击，每人每轮射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为23，乙每次射击命中的概率为25，且每次射击互不影响，约定甲先射击．(1)求甲获胜的概率；(2)求射击结束时甲的射击次数X 的分布列和数学期望E (X )． [解析] (1)记甲第i 次射击中获胜的事件为A i (i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥，甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3， P (A 1)＝23，P (A 2)＝13×35×23＝215，P (A 3)＝(13)2×(35)2×23＝275.故P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝23＋215＋275＝6275.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝23＋13×25＝45，P (X ＝2)＝13×35×23＋13×35×13×25＝425，P (X ＝3)＝(13)2×(35)2×1＝125.X 的分布列为：X 1 2 3 P45425125故E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.B 组能力提升1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 Pabc其中a ，b ，c ( B ) A ．16B ．13C ．12D ．56[解析] 由题意知a ，b ，c ∈[0,1]，且⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x 2＋2x ＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P (ξ＝1)＝13.2．(2019·长沙模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( D )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)[解析] 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n，故选D.3．(2019·吉林模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球，设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝310. [解析] P (ξ＝2)＝C 11C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝310. 4．设离散型随机变量X 的分布列为则|X －1|的分布列为________.[解析] ∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3， |X －1|的取值为0,1,2， P (|X －1|＝0)＝P (X ＝1)＝0.1，P (|X －1|＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.4， P (|X －1|＝2)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝3)＝0.5， ∴|X －1|的分布列为5.(2019·海南模拟)4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． [解析] (1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P ＝1－C 45C 47＝1－535＝67.(2)由题意知，X 的可能取值为1,2,3,4，且 P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是6.(2019·名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其中7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．[解析] (1)所求概率P ＝C 13C 27＋C 37C 310＝4960；(2)X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130，∴随机变量X 的分布列为7.(2020·喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》《精忠报国》《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班就是否选择《精忠报国》作为本班参赛歌曲进行投票表决，投情况如下表.(1)若从第14人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；(2)若从第五组和第七组的同学中各随机选取2进行调查，选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解析] (1)P 1＝1－C 23C 23＋C 14C 13C 23＋C 23C 13C 13C 27C 26＝2735. (2)各小组人员情况：X P (X ＝0)＝C 25C 24C 27C 26＝421，P (X ＝1)＝C 12C 15C 24＋C 25C 14C 12C 27C 26＝49， P (X ＝2)＝C 22C 24＋C 25C 22＋C 15C 12C 14C 12C 27C 26＝32105， P (X ＝3)＝C 22C 12C 14＋C 15C 12C 22C 27C 26＝235， P (X ＝4)＝C 22C 22C 27C 26＝1315，随机变量X 的分布列为E (X )＝0＋49＋2×32105＋3×235＋4×1315＝2621.。

(新课标)高考数学一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列 9-7 二项分布、正态分布

9-7 二项分布、正态分布及其应用课时规X 练(授课提示：对应学生用书第331页)A 组基础对点练1．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( C ) A ．1 B ．2 C ．4D ．不能确定解析：当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( A ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6D ．0.453．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( B )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18%D ．31.74%4．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 38.解析：依题意，元件的使用寿命超过1 000小时的概率为12，则该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.5．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解析：设A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C ，P (B )＝0.6，P (C )＝0,4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2，所以P (D )＝P (A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C ) ＝P (A 1BC )＋P (A 2B )＋P (A 2B －C ) ＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B －)P (C )＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，则有P (X ＝0)＝P (B －A 0C －)＝P (B －)P (A 0)P (C －)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P (X ＝1)＝P (BA 0C －＋B －A 0C ＋B －A 1C －)＝P (B )P (A 0)P (C －)＋P (B －)P (A 0)P (C )＋P (B －)P (A 1)P (C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2BC )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06. X 的分布列为P 0.06 0.25 0.38 0.25 0.06数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求EX . 附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4. 解析：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100,0.682 6)，所以EX ＝100×0.682 6＝68.26.B 组能力提升练1．某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X ～N (100，a 2)(a >0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为( A ) A ．400 B ．500 C ．600D ．8002．已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (X >k )＝P (X <k －4)，则k 的值为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．93．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( B )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%)A ．17B ．23C ．34D ．464．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( D ) A.23 B ．512 C.79D ．595.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( B )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4) A ．1 193 B ．1 359 C ．2 718D ．3 4136．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②④.(写出所有正确结论的序号) ①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，它与A 1，A 2，A 3中哪一个发生都有关．解析：由题意知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，P (A 1)＝510＝12，P (A 2)＝210＝15，P (A 3)＝310，P (B |A 1)＝12×51112＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，而P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝12×511＋15×411＋310×411＝922. 7．袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为 34.解析：记事件A 为“第一次摸到黑球”，事件B 为“第二次摸到白球”，则事件AB 为“第一次摸到黑球、第二次摸到白球”，依题意知P (A )＝25，P (AB )＝25×34＝310，∴在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是P (B |A )＝P AB P A ＝34.8．某学校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位数字为叶)．(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)众数：8.6；中位数：8.75.(2)设A i (i ＝0,1,2,3)表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(3)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14， P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3. ξ的分布列为：所以E (ξ)＝3×14＝0.75.9．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，需要通过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析知甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列．解析：(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B (3,0.3)，X的可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝k)＝C k3(0.3)k·(1－0.3)3－k. 故P(X＝0)＝C03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝C13×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P(X＝2)＝C23×0.32×(1－0.3)＝0.189，P(X＝3)＝C33×0.33＝0.027，故X的分布列为。

数学高三一轮复习题

数学高三一轮复习题数学高三一轮复习题数学是一门既抽象又实用的学科，对于高中生来说，数学的学习和掌握是至关重要的。

高三学生们正处于备战高考的关键时期，一轮复习题的解答不仅可以检验他们的学习成果，还可以帮助他们更好地理解知识点和提高解题能力。

本文将从代数、几何和概率三个方面，选取一些典型的高三数学复习题进行解答，希望对高三学生们的复习有所帮助。

一、代数1. 已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x)+1，且f(1)=2，求f(2019)的值。

解答：根据已知条件，可以得到f(3)=f(1)+1=3，f(5)=f(3)+1=4，以此类推，可以发现f(x)的值与x的奇偶性有关。

当x为奇数时，f(x)的值为x-1；当x为偶数时，f(x)的值为x-2。

因此，f(2019)的值为2019-1=2018。

2. 若方程x^2-3x+k=0的两个根之和等于3，求k的值。

解答：根据韦达定理，方程的两个根之和等于系数b的相反数，即3。

所以，3 = -(-3)/1 = 3，解得k=6。

二、几何1. 已知△ABC中，AB=AC，∠B=60°，D为BC的中点，连接AD交BC于E，若∠EAC=30°，求∠BAC的度数。

解答：由题意可知，△ABC是一个等边三角形，所以∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°。

2. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(-1,-2)分别是直线l1和直线l2上的两个点，若直线l1的斜率为2，直线l2与l1垂直，求直线l2的方程。

解答：根据l1的斜率为2，可以得到l1的方程为y-3=2(x-2)，即y=2x-1。

由于l2与l1垂直，所以l2的斜率为-1/2。

又因为点B(-1,-2)在l2上，代入直线方程y-y1=k(x-x1)中，可得l2的方程为y+2=(-1/2)(x+1)，即y=-1/2x-3/2。

三、概率1. 从1到20中随机选取一个数，求选取的数是素数或是偶数的概率。

高三数学一轮复习练习第九章 7挑战真题

1.（2010·广东）若向量a=（1,1,x），b=（1,2,1），c=（1,1,1），满足条件（c-a）·（2b）=-2，则x= .解析：c-a=（0,0,1-x）,（c-a）·（2b）=2（0,0,1-x）·（1,2,1）=2（1-x）=-2,解得x=2.答案：22.（2009·四川）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是.解析：不妨设棱长为2，选择基向量{}BCBBBA,,1,则11121,BBBCBMBABBAB+=-=,()52221,cos111=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+•-=BBBCBABBBMAB.答案：90°3．(2007·安徽)在四面体O—ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD 的中点，则OE→＝(用a，b，c表示)．解析：OE→＝12(OA→＋OD→)＝12⎣⎡⎦⎤OA→＋12(OB→＋OC→)＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a＋14b＋14c.答案：12a＋14b＋14c4．(2009·广东)如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．(1)解：依题作点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影E 1、G 1，则E 1、G 1分别为CC 1、DD 1的中点，连结EE 1、EG 1、ED 、DE 1，则所求为四棱锥E —DE 1FG 1的体积，其底面DE 1FG 1面积为 S 四边形DE 1FG 1＝S △E 1FG 1＋S △DG 1E 1＝12×2×2＋12×1×2＝2，又EE 1⊥面DE 1FG 1，EE 1＝1，所以VE —DE 1G 1＝13S 四边形DE 1FG 1·EE 1＝23. (2)证明：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得E 1(0,2，1)、G 1(0,0,1)，又G (2,0,1)，F (0,1,2)，E (1,2,1)，则FG 1→＝(0，－1，－1)，FE →＝(1,1，－1)，FE 1→＝(0,1，－1)．所以FG 1→·FE →＝0＋(－1)＋1＝0，FG 1→·FE 1→＝0＋(－1)＋1＝0，即FG 1⊥FE ，FG 1⊥FE 1.又FE 1∩FE ＝F ，所以FG 1⊥平面FEE 1.(3)解：E 1G 1→＝(0，－2,0)，EA →＝(1，－2，－1)，则cos 〈E 1G 1→，EA →〉＝E 1G 1→·EA →|E 1G 1→||EA →|＝63. 设异面直线E 1G 1与EA 所成角为θ，则sin θ＝1－23＝33.。

2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第九章解析几何9-8含答案

真题演练集训1．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x 轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1）证明｜EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围．解：(1)因为｜AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB｜＝｜ED｜,故｜EA｜＋|EB|＝｜EA|＋|ED｜＝｜AD｜.又圆A的标准方程为（x＋1)2＋y2＝16，从而｜AD|＝4，所以｜EA｜＋｜EB|＝4。

由题设得A（－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得，点E的轨迹方程为错误!＋错误!＝1(y≠0）．（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k（x－1)（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2)．由错误!得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0,则x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!，所以|MN｜＝1＋k2｜x1－x2|＝错误!。

过点B(1，0)且与l垂直的直线m:y＝－错误!（x－1)，A到m的距离为错误!，所以|PQ|＝2错误!＝4错误!。

故四边形MPNQ的面积为S＝错误!|MN|｜PQ|＝12错误!。

可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为（12,8错误!）．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1,|MN｜＝3,｜PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12。

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为一种作图工具如图①所示．O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN＝ONN绕O转＝1，MN＝3 .当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动．．动一周(D不动时，N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C。

以O 为原点, AB所在的直线为x轴建立如图②所示的平面直角坐标系．① ②(1）求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值；若不存在，请说明理由．解:(1)设点D (t,0）（｜t |≤2），N (x 0，y 0)，M (x ,y ），依题意,错误!＝2错误!，且|DN ，→｜＝｜错误!|＝1，所以(t －x ，－y ）＝2(x 0－t ，y 0),且错误!即错误!且t (t －2x 0)＝0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0,于是t ＝2x 0，故x 0＝错误!,y 0＝－错误!.代入x 错误!＋y 错误!＝1，可得错误!＋错误!＝1，故曲线C的方程为错误!＋错误!＝1。

2020高考数学一轮复习第9章章末强化训练文新课标

2020高考数学一轮复习第9章章末强化训练文新课标版一、选择题(本大题共12小题，每小题6分，共72分）1.下列三视图所对应的直观图是（）解析:选项A的正视图和侧视图都不对，选项B的侧视图不对，选项D的俯视图不对，故选C.答案：C2.给出下列命题：①若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中一条相交；②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a 与c异面；③一定存在平面γ同时和异面直线a,b都平行.其中正确的命题为（）A.① B.② C.③ D.①③【解析】①中直线c也可以与直线a、b都相交，故该命题错误，②中直线a与c可以是共面直线，故该命题错误，所以应选C.【答案】C3.已知A、B是平面α外的两点.在α内与A、B等距离的点的集合不可能是（）A.一条直线B.一个平面C.空集D.只有一个元素【解析】在空间中与A、B两点等距离的点的集合是过线段AB的中点且与线段AB垂直的平面，该平面与平面α的关系不可能只有一个公共点，故选D.【答案】D4.已知m、n表示两条直线,α表示一个平面，给出下列四个命题：①mm nnαα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥m⊥α②mnm nαα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥③mm nnαα⎫⇒⎬⎭∥∥∥④mm nnαα⊥⎫⇒⊥⎬⎭∥则正确命题的序号是（）A.①② B.①④ C.②④ D.②③【解析】因垂直于同一平面的两条直线互相平行，故①正确.因n∥α，所以在平面α内有无数条直线与n平行.因m⊥α,所以m垂直平面α内任意一条直线，所以m⊥n,故④正确.故选B.【答案】B5.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有（）A.1对B.2对C.3对D.4对解析：由AB⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，知AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD.又CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD.所以平面ABD⊥平面ACD.故选C.答案：C6.若α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（）A.α∥β,m⊥α,则m⊥βB.m∥n,m⊥α,则n⊥αC.n∥α,n⊥β,则α⊥βD.α∩β=m,n与α、β所成的角相等，则m⊥n【解析】由线面平行与垂直的判定和性质知选项A、B、C均正确，用反例易证明选项D不正确，如当m∥n时，n与α、β所成角为0°，也相等，但m与n不垂直.故选D.【答案】D7. (2020届·福建福州质检）某空间几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图的轮廓为正方形，则此空间几何体的体积是（）A.43 3B.42 3C.23D.22 3【解析】由三视图可知此空间几何体为正四棱锥，其底面是边长为2的正方形，高为3，所以此空间几何体的体积V=13×2×2×3=433.【答案】A8.正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）A.23aπB.22aπC.2πa2D.3πa2【解析】设球的半径为R，则正方体的对角线为2R，依题意知3·66a=2R，即R2=18a2，所以S球=4πR2=4π·18a2=22aπ.故选B.【答案】B9. (2020届·安徽联考）下列四个命题（其中a、b为直线，α为平面）中，真命题是（）①若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若a∥α,b⊥α,则a⊥b;④若a⊥b,则过b有唯一的α与a垂直.A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】①为假命题，无数条直线可能都是平行直线；②中仅由直线垂直平面内的一条直线得到线面垂直，条件不够，故排除A、B、C，选D.【答案】D10.如图所示，ABCD—A1B1C1D1为一正方体，在空间过点A1作直线l，使得l与直线AC和BC1所成的角都等于60°，则这样的直线l可以作（）A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】易知直线AC与BC1所成的角为60°，因此，问题等价于从两条夹角为60°的直线的交点处作与它们成60°角的直线，显然有3条.故选C.【答案】C11.（2020·天津质检）如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α,PB⊥α,C是α内异于A 和B的动点，且PC⊥AC，那么动点C在平面α内的轨迹是（）A.一条线段但要去掉两个点B.一个圆但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点【解析】连结BC.因为PB⊥平面α,且AC⊂α.所以PB⊥AC，又因为AC⊥PC，PB∩PC=P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，故选B.【答案】B12.如图，三棱锥P—ABC中∠ABC=90°，PA=PB=PC，则下列说法正确的是（）A.平面PAC⊥平面ABCB.平面PAB⊥平面PBCC.PB⊥平面ABCD.BC⊥平面PAB解析：因为∠ABC=90°，PA=PB=PC，所以P点在底面ABC内的射影为△ABC的外心，因为∠ABC=90°，所以射影落在斜边AC上，所以平面PAC⊥平面ABC，故选A.答案：A二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）13.已知某空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为 .【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图所示，CD垂直于等腰直角三角形AＢＣ所在的平面，于是，易得S=S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△CBD=12+12+32+12=332+.答案：33 2 +14.（2020·广州质检）如图所示，在正四面体A—BCD中，E，F，G分别是△ADC,△ABD,△BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影的所有可能的序号是 .【解析】依据射影的性质，知E、F、G三点在平面ABC上的射影，形状如图④所示，在其他平面上的射影如图③所示.答案：③④15.把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铜球先熔成一个大球，再将其削成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为 cm3.【解析】设熔成大球的半径为R，则43πR3=43π（33+43+53），所以R=6（cm).由题意知正方体内接于球，所以正方体的对角线是球的直径，设正方体棱长为a,所以（2R）2=3a2，所以a2=43R2.所以a=233R,所以正方体体积为a3=43R2×233R=839×63=1923（cm3).答案：192316.(2020·淮化一中期中）已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在的直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△PAB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号）.【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，故①正确；由题易知②错；S△PCD=12 CD·PD，S△PAB=12AB·PA，由AB=CD，PD>PA知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点可得EF∥CD，又AB∥CD，所以EF∥AB,故AE与BF共面，故④错.答案：①③三、解答题（本大题共4小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17. (13分）如图，四边形ABCD为矩形，且AD=4，AB=2，PA⊥平面ABCD，E为BC的中点.(1)求证：PE⊥DE；（2）当PA=2时，求点D到平面PAE的距离.(1)【证明】如图，点E为BC的中点，且在矩形ABCD中，AD=2AB=4，所以AE⊥ED.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DE，且PA∩AE=A，所以DE⊥平面PAE.因为PE 平面PAE，所以PE⊥DE.(2)【解】方法一：由（1）知AE⊥ED，且AD=4，AB=2，所以AE=ED=22，所以S△AED=12×22×22=4.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AE，所以S△PAE=12×2×22=22.设点D到平面PAE的距离为d.由体积相等可知，V P—AED=V D—PAE，所以13×PA×S△AED=13×d×S△PAE，所以13×2×4=13×d×22，所以d=22.故点D到平面PAE的距离为22.方法二：由（1）知DE⊥平面PAE，故所求距离即为DE的长.因为AE⊥ED，且AD＝4，AB＝2，所以DE＝22.18.(2020届·揭阳模拟）(13分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明：PA∥平面DEB；（2）证明：PB⊥平面EFD.证明：(1)设AC∩BD=G，连结EG，E是PC的中点，G是AC的中点，则GE∥PA.又GE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，故PA∥平面BDE.（2）因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC，又DC⊥BC，所以BC⊥平面PCD，所以BC⊥DE.因为PD=DC，PD⊥DC，E是PC的中点，所以DE⊥PC.又PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，所以DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD.19.(2020届·杭州质检）(14分）已知几何体A-BCDE如图所示，其中四边形BCDE为矩形，且BC=2，CD=3，△ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCDE.（1）若F为AC的中点，求证：AE∥平面BDF；（2）求此几何体A-BCDE的体积.（1）证明：连结CE交BD于P，连结FP.因为四边形BCDE为矩形，所以P为EC的中点.因为F为AC的中点，所以在△ACE中有AE∥FP，又因为AE⊄平面BDF，FP⊂平面BDF，所以AE∥平面BDF.（2）解：取BC的中点Q，连结AQ.因为△A BC是边长为2的等边三角形，所以AQ ⊥BC 且AQ=3.因为平面ABC ⊥平面BCDE ，AQ ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BCDE=BC ，AQ ⊥BC ，所以AQ ⊥平面BCDE.所以几何体A-BCDE 的体积为1112332333BCDE V S AQ BC CD AQ =⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=矩形.20.（14分）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点. (1)求证：GN ⊥AC ；（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明. (1)【证明】由三视图可得直观图为直三棱柱且有AD ⊥DF ，DF=AD=DC. 连结DB ，可知B ，N ，D 三点共线，且AC ⊥DN ，又FD ⊥AD ，FD ⊥CD ，所以FD ⊥平面ABCD ，所以FD ⊥AC ，所以AC ⊥平面FDN. 又GN ⊂平面FDN ，所以GN ⊥AC.(2)【解】点P 在A 点处时，GP ∥平面FMC. 证明如下：取DC 中点S ，连结AS ，GS ，GA ，因为G 是DF 的中点，所以GS ∥FC ，AS ∥CM ，所以平面GSA ∥平面FMC ，又GA ⊂平面GSA ，所以GA ∥平面FMC ，即GP ∥平面FMC.。

高高考数学一轮测试(9)第九章文(pdf)

第九章单元质量检测时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．下面四个散点图中点的分布状态，可以直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是()A．①②B．③C．②③D．②③④解析：散点图①中的点无规律分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中的点分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系．答案：B2．如图所示，从人体脂肪含量与年龄散点图中，能比较清楚地表示人体脂肪含量与年龄的相关性的回归直线为()A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 4解析：根据线性相关的意义知，当所有的数据在一条直线附近排列时，这些数据具有很强的线性相关关系．从人体脂肪含量与年龄散点图中，能比较清楚地表示人体脂肪含量与年龄的相关性的回归直线是l 1.答案：A3．某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取()A ．65人，150人，65人B ．30人，150人，100人C ．93人，94人，93人D ．80人，120人，80人解析：设应在专科生，本科生和研究生这三类学生中分别抽取x 人，y 人，z 人，则5600280＝1300x ＝3000y ＝1300z ，所以x ＝z ＝65，y ＝150，所以应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取65人，150人，65人．答案：A4．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是()A ．甲B ．乙C ．甲、乙相等D ．无法确定解析：从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小．答案：A5．如图是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为()A ．85,84B ．84,85C ．86,84D ．84,86解析：由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87，所以平均数为84＋84＋84＋86＋875＝85，众数为84.答案：A6．如图所示的程序框图，能使输入的x 值与输出的y 值相等的x 值个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意可知，函数的解析式为y ＝x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x，x >5，当x ≤2时，y ＝x 2，令y ＝x ，即x 2＝x ，解得x ＝0或x ＝1，均合乎题意；当2<x ≤5时，y ＝2x －3，令y ＝x ，即2x －3＝x ，解得x ＝3，合乎题意；当x >5时，y ＝1x ，令y ＝x ，即1x ＝x ，解得x ＝±1，舍去．综上所述，x 的取值为0,1或3，选C.答案：C7．某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：x16171819y50344131由上表可得回归直线方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－4，据此模型预测零售价定为15元时，每天的销售量为()A．48个B．49个C．50个D．51个解析：由题意知x＝17.5，y＝39，代入回归直线方程得a^＝109,109－15×4＝49，故选B.答案：B8．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到的频率分布直方图(如图所示)，则分数在[70,80)内的人数是()A．70B．30C．15D．25解析：由题意，分数在[70,80)内的频率为1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3，则分数在[70,80)内的人数为0.3×100＝30(人)．答案：B9．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()A.65B.65C.2D ．2解析：因为a ＋0＋1＋2＋35＝1，得a ＝－1，所以s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：D10．某数学教师随机抽取50名学生进行是否喜欢数学课程的情况调查，得到如下列联表：喜欢数学不喜欢数学合计男18927女81523合计262450根据表中数据求得K 2的值约为()A ．5.059B ．6.741C ．8.932D ．10.217解析：根据表中数据得K 2＝50(18×15－8×9)226×24×23×27≈5.059.答案：A11．如图所示的程序框图，该算法的功能是()A．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值解析：初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体：S＝1＋20，k＝2；当第2次进入循环体时：S＝1＋20＋2＋21，k＝3，…，给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n －1，k＝n＋1，退出循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)，故选C.答案：C12．已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x，方差为s2，则()A.x＝5，s2<2B.x＝5，s2>2C.x >5，s 2<2D.x >5，s 2>2解析：x ＝8×5＋59＝5，s 2＝8×2＋(5－5)29＝169<2.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)13．在某大型企业的招聘会上，前来应聘的本科生、硕士研究生和博士研究生共2000人，如图为各类毕业生人数统计扇形图，则博士研究生的人数为________．解析：由题意可知，博士研究生占的比例为1－62%－26%＝12%，故博士研究生的人数为2000×12%＝240.答案：24014．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.由题中茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15×[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案：(1)2,10,18,26,34(2)6215．某车间为了规定工时定额．需要确定加工零件所需时间，为此进行了5次试验，收集到如下数据，由最小二乘法求得回归直线方程y ^＝0.67x ＋54.9.后来表中一个数据模糊不清了，请你推断出该数据为________．解析：设所求数据为m ，因为x ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y ＝62＋m ＋75＋81＋895＝m ＋3075.又(x ，y )在回归直线上，所以m ＋3075＝0.67×30＋54.9.解得m ＝68.答案：6816．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r ：这种血清预防感冒的有效率为95%；s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，真命题的序号是________．①p ∧綈q ；②綈p ∧q ；③(綈p ∧綈q )∧(r ∨s )；④(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )．解析：由题意，得K 2≈3.918，P (K 2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．答案：①④三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17．(10分)已知某校高三理科班学生的化学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A (优秀)，B (良好)，C (及格)三个等级，设x ，y 分别表示化学成绩与物理成绩．例如：表中化学成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人，已知x 与y 均为B 等级的概率是0.18.(1)求抽取的学生人数；(2)设在该样本中，化学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；(3)在物理成绩为C 等级的学生中，已知a ≥10，b ≥8，求化学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数少的概率．解：(1)由题意可知18n ＝0.18，得n ＝100.故抽取的学生人数是100.(2)由(1)知n ＝100，所以7＋9＋a100＝0.3，故a ＝14，而7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，故b ＝17.(3)由(2)易知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8，满足条件的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，…，(23,8)，共有14组，其中b >a 的有6组．则所求概率为P ＝614＝37.18．(12分)甲、乙两人参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图：(1)指出学生乙成绩的中位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为应该派哪位学生参加？解：(1)依题意知，学生乙成绩的中位数为83＋852＝84.(2)派甲参加比较合适，理由如下：x 甲＝18(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85，x 乙＝18(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，s 2甲＝35.5，s 2乙＝41，∴x 甲＝x 乙，且s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩比较稳定．19．(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.x 3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)由题设所给数据，可得散点图如下图．(2)由对照数据，计算得错误!2i ＝86，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，已知错误!i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为b ^＝错误!＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65吨标准煤．20．(12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注意：s 2＝1n ＝[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80000.即s 2的最大值为80000.21．(12分)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如表：分组频数频率频率组距[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合计100(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在图中画出频率分布直方图．(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm ，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm 的概率．(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如，区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．解：(1)频率分布表及频率分布直方图如下：分组频数频率频率组距[39.95,39.97)100.105[39.97,39.99)200.2010[39.99,40.01)500.5025[40.01,40.03]200.2010合计1001(2)误差不超过0.03mm ，即直径落在[39.97,40.03]范围内，其概率为0.20＋0.50＋0.20＝0.90.(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．22．(12分)随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 人，其中男性占调查人数的25.已知男性中有12的人的休闲方式是运动，而女性只有13的人的休闲方式是运动．(1)完成下列2×2列联表：运动非运动总计男性女性总计n(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥k 0)0.0500.0100.001k 03.8416.63510.828解：(1)依题意，被调查的男性人数为2n 5，其中有n5人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为3n 5，其中有n5人的休闲方式是运动，则2×2列联表如下：运动非运动总计男性n5n 52n 5女性n 52n 53n 5总计2n 53n 5n(2)由表中数据，得K 2＝n (n 5·2n 5－n 5·n 5)22n 5·3n 5·2n 5·3n 5＝n 36，要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“性别与休闲方式有关”，则K 2≥3.841，所以n 36≥3.841，解得n ≥138.276.又n ∈N *，且n5∈N *，所以n ≥140，即本次被调查的人数至少是140.(3)由(2)可知，140×25＝56，即本次被调查的人中，至少有56人的休闲方式是运动．。

高三数学一轮复习第九章第7课时知能演练轻松闯关试题

2021年高三数学一轮复习第九章第7课时知能演练轻松闯关新人教版制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

1．将一颗均匀正四面体的四个外表分别涂上黑、白、红、蓝四种不同的颜色，随机抛掷这个正四面体． (1)考虑朝下一面的颜色，将所有可能的根本领件用随机变量表示； (2)试确定这个随机变量的分布列，并用图象来表示．解：(1)将事件“朝下一面为黑色〞用1表示，即用{X ＝1}表示事件“朝下一面为黑色〞．同样，用{X ＝2}表示事件“朝下一面为白色〞，用{X ＝3}表示“朝下一面为红色〞，用{X ＝4}表示“朝下一面为蓝色〞．(2)随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝14(i ＝1,2,3,4)．图象如下图．2．某单位举行抽奖活动，每个员工有一次抽奖时机．抽奖箱中放有6个一样的乒乓球，其中三个球上标有数字1，两个球上标有数字2，还有一个球上标有数字3，每个抽奖者从中一次抽出两个球，记两个球上所标数字的和为X ，奖项及相应奖品价值如下表：奖项一等奖二等奖三等奖 X5 4或者3 2 奖品价值(元)20010050(1)(2)求某员工所获奖品价值Y (元)的概率分布．解：(1)获一等奖时X ＝5，即有一个球上的数字为2，另一个球上的数字为3，其概率为C 12C 11C 26＝215.(2)Y 的所有可能取值为50,100,200，P (Y ＝200)＝215，P (Y ＝50)＝C 23C 26＝15，P (Y ＝100)＝1－15－215＝23.∴Y 的概率分布为Y 50 100 200 P1523215一、选择题1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，假设获得黑球那么另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．假设抽取的次数为ξ，那么表示“放回5个红球〞事件的是( ) A ．ξ＝4 B ．ξ＝5 C ．ξ＝6D ．ξ≤5解析：选C.“放回五个红球〞表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 2．(2021·调研)随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1Pa b c其中a ，b ，c 成等差数列，那么P (|X |A.16 B.13 C.12D.23解析：选D.∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.3．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：X 0 1 2 Pa1316F (x )＝P (X ≤x )，那么当x A.13B.16C.12D.56解析：选D.∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，那么P (X ＝4)的值是( ) A.1220 B.2755 C.27220D.2155解析：选C.由题意取出的3个球必为2球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.5．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，那么P (12＜X ＜52)的值是( ) A.23 B.34 C.45 D.56解析：选D.∵P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∵P (12＜X ＜52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.二、填空题6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，那么所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析：设所选女生人数为X ，那么X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，那么P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.答案：457．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，那么随机变量X 的概率分布为：解析：P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.8．随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，那么公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，那么(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.答案：[－13，13]三、解答题9．将3个小球任意放入4个大的玻璃杯中，杯子中球的最多个数记为X ，求X 的分布列．解：依题意可知，杯子中球的最多个数XX ＝1时，对应于4个杯子中恰有3个杯子各放一球的情形；当X ＝2时，对应于4个杯子中恰有1个杯子放两球的情形；当X ＝3时，对应于4个杯子中恰有1个杯子放三个球的情形．∴当X ＝1时，P (X )＝A 3443＝38；当X ＝2时，P (X )＝C 23C 14C 1343＝916；当X ＝3时，P (X )＝C 1443＝116.可得X 的分布列为X 1 2 3 P3891611610.(2021·质检)口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，假如取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；假如取到白球，就停顿取球．记取球的次数为X .假设P (X ＝2)＝730，求：(1)n 的值； (2)X 的分布列．解：(1)由题意知P (X ＝2)＝A 13·A 1n A 2n ＋3＝3n n ＋3n ＋2＝730，即7n 2－55n ＋42＝0，即(7n －6)(n －7)＝0. 因为n ∈N *，所以n ＝7.(2)由题意知，X 的可能取值为1,2,3,4，又 P (X ＝1)＝A 17A 110＝710，P (X ＝2)＝730，P (X ＝3)＝A 23A 17A 310＝7120，P (X ＝4)＝1－710－730－7120＝1120，所以，X 的分布列为X 1 2 3 4 P7107307120112011.根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1.(单位：米)． (1)假设从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；(2)假设长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元．从这6根竹竿中随机抽取两根，假设这两根竹竿的价格之和的期望为18元，求a 的值．解：(1)因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5. 设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米〞为事件A ，那么P (A )＝3C 26＝315＝15，所以P (A )＝1－P (A )＝1－15＝45.故所求的概率为45.(2)设任取两根竹竿的价格之和为ξ，那么ξ的可能取值为2a ，a ＋10,20. 其中P (ξ＝2a )＝1C 26＝115，P (ξ＝a ＋10)＝C 12C 14C 26＝815，P (ξ＝20)＝C 24C 26＝615.所以Eξ＝2a ×115＋(a ＋10)×815＋20×615＝2a ＋403.令2a ＋403＝18，得a ＝7.制卷人：打自企；成别使；而都那。

高考数学一轮复习第九章单元测试卷

第九章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．若直线l 1：kx －y －3＝0和l 2：x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－12或－1D.12或1 答案 A解析依题意，得直线l 1和l 2垂直的充要条件是k －(2k ＋3)＝0，即k ＝－3. 2．直线x －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0相交所截得的弦长等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝9，其圆心C (1,2)到直线x －y ＋5＝0的距离d ＝22，所以截得的弦长l ＝232－222＝2.3．圆C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的位置关系为( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切答案 D解析配方得圆C 1：x 2＋(y －1)2＝1，圆心C 1(0,1)，半径r 1＝1.圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C 2(3，0)，半径r 2＝3，而|C 1C 2|＝0－32＋1－02＝2＝r 2－r 1，则两圆的位置关系为内切．4．若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6答案 A解析双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，因为双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于r ，即r ＝326＝ 3. 5．若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( ) A ．a 2>b 2B.1a >1bC ．0<a <bD ．01b>0，则0<a 0)中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离．又p ＝14，故选D.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝410x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 29＝1B.x 29－y 2＝1 C ．x 2－y 2＝1 D.x 29－y 29＝1 答案 B解析抛物线y 2＝410x 的焦点为(10，0)，所以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中c ＝10，c a ＝103，所以a ＝3，b ＝c 2－a 2＝1，所求方程为x 29－y 2＝1，故选B.8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.5＋12B.2＋1C.3＋1D.22＋12答案 B解析由抛物线与双曲线的焦点相同，得p2＝c .①又A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则两曲线的半通径相等，得p ＝b 2a.②由①，②消去p ，得b 2＝2ac . 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴c 2－a 2－2ac ＝0.又∵双曲线的离心率e >1， ∴e 2－2e －1＝0，∴e ＝2＋1.9．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94 D ．4答案 C解析直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，可知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4.故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.10.如图所示，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A ，B ，C ，D ，则AB →·CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|＝y A y B ＝p 2.11．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，分别过点M ，N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 210＝1(x >0)C ．x 2－y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)答案 A解析如图，设两切线分别与圆切于点S ，T ，则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2＝2a ，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，故点P 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10答案 B解析设出直线AB 的方程，用分割法表示出△ABO 的面积，将S △ABO ＋S △AFO 表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OA →·OB →＝2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0.∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即点M (2,0)．又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3. 当且仅当y 1＝43时，等号成立．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．过点A (－1,0)且与直线2x －y ＋1＝0平行的直线方程为________．答案 2x －y ＋2＝014．已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的离心率为________．答案2－1解析令|AB |＝2，则|AC |＝2 2.∴在椭圆中，c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋ 2.可得e ＝c a＝12＋1＝2－1. 15．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若P为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤a c ＝1e .又双曲线的渐近线方程y ＝±3x ，则ba＝ 3.因此e ＝c a ＝2，故0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤12.16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)和圆O ：x 2＋y 2＝b 2，若C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．答案 [32，1) 解析 ∵OA ⊥AP ，由∠APB ＝60°，知∠OPA ＝30°.∴|OP |＝2|OA |＝2b .设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4b 2，x 2a 2＋y2b2＝1.消去x ，得y 2＝b 2a 2－4b 2c 2.由y 2≥0，得a 2－4b 2≥0. 即a 2－4(a 2－c 2)≥0，c 2a 2≥34，∴e ≥32.又e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是[32，1)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)过点P (3,0)作一条直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0间的线段AB 恰好被P 平分，求此直线的方程．答案 8x －y －24＝0解析若直线AB 无斜率，则其方程为x ＝3，它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，－6)，这两点的中点为(3，－1)不是点P ，不合题意．所以直线AB 必有斜率，设为k (k ≠2且k ≠－1)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3，2x －y －2＝0，解得y 1＝4k k －2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3，x ＋y ＋3＝0，解得y 2＝－6kk ＋1.据题意y 1＋y 22＝0，即4k k －2＋－6k k ＋1＝0，解得k ＝0或8. 当k ＝0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(－3,0)，这两点的中点并不是点P ，不符合题意，舍去．当k ＝8时，它与两直线的交点分别为(113，163)，(73，－163)，这两点的中点是点P ，符合题意．∴直线AB 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆O 内的动点P 使|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围．答案 (1)x 2＋y 2＝4 (2)[－2,0)解析 (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，得圆O的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2. 由x 2＝4，即得A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，得x ＋22＋y 2·x －22＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2.由此得y 2<1.所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)． 19．(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．答案 (1)y 216＋x 24＝1 (2)y ＝±x解析 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4.故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)方法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4.所以x 2A ＝41＋4k 2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2.又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .方法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4.所以x 2A ＝41＋4k2.由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2.将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1. 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 20．(本小题满分12分)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R )三等分，求实数m ，n 的值．答案 (1)2y 2－x 2＝1 (2)m ＝－2，n ＝26 解析 (1)设双曲线C的方程是λx 2＋μy 2＝1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1.(2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1，得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0.① Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4m ，x 1x 2＝2m 2－1.所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1，故m6＋2m ＝－1，即m ＝－2.将m ＝－2代入①式，得x 2－8x ＋7＝0，解得x 1＝1，x 2＝7. 所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2. 故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22，所以圆E 的半径r ＝222＋22＝10.所以圆E 的方程是(x －6)2＋y 2＝10.所以m ＝－2，n ＝26. 21．(本小题满分12分)(2014·陕西理)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32.(1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．答案 (1)a ＝2，b ＝1 (2)8x ＋3y －8＝0解析 (1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由ca ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1，得a ＝2.∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*)设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1k ≠0，y ＝－x 2＋1y ≤0，得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )．∴AP →＝2kk 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，即－2k2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0.∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意．故直线l 的方程为8x ＋3y －8＝0. 22．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点M (m,0)在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若m ＝1，且直线l 的斜率为1，求以线段AB 为直径的圆的方程；(2)问是否存在定点M ，不论直线l 绕点M 如何转动，使得1|AM |2＋1|BM |2恒为定值．答案 (1)(x －3)2＋(y －2)2＝16 (2)存在M (2,0)使其恒为定值14解析 (1)设A ，B 两点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点P 的坐标为P (x 0，y 0)．由题意，得M (1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0.则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，且x 0＝x 1＋x 22＝3，y 0＝x 0－1＝2.故圆心为P (3,2)，直径|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝8. ∴以AB 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16.(2)若存在这样的点M ，使得1|AM |2＋1|BM |2恒为定值，设直线l 的方程为x ＝ky ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ky －4m ＝0. 于是y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4m .又∵|AM |2＝y 21(1＋k 2)，|BM |2＝y 22(1＋k 2)，∴1|AM |2＋1|BM |2＝(1y 21＋1y 22)·11＋k 2 ＝11＋k 2·y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 22＝11＋k 2·k 2＋m 2m 2. ∵要与k 无关，只需m2＝1，即m ＝2，进而1|AM |2＋1|BM |2＝14. ∴存在定点M (2,0)，不论直线l 绕点M 如何转动，1|AM |2＋1|BM |2恒为定值14.1．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案 D解析设圆心C (a,0)(a >0)，由3a ＋45＝2，得a ＝2.故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0. 2．已知在△ABC 中，点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，B (2，0)，点C 在x 轴上方．(1)若点C 坐标为(2，1)，求以A ，B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程； (2)过点P (m,0)作倾斜角为34π的直线l 交(1)中曲线于M ，N 两点，若点Q (1,0)恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值．答案 (1)x 24＋y 22＝1 (2)m ＝2±193 解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，c ＝2，2a ＝|AC |＋|BC |＝4，b ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程解得3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－43.若Q 恰在以MN 为直径的圆上，则y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即m 2＋1－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0,3m 2－4m －5＝0，解得m ＝2±193. 3．(2015·山东潍坊一模)已知椭圆C ：x 23＋2y 23＝1，过原点O 的动直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若点P 满足|PA |＝|PB |，求证：1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2为定值．答案定值为2 解析由|PA |＝|PB |，知P 在线段AB 的垂直平分线上．由椭圆的对称性可知A ，B 关于原点对称．(1)若A ，B 在椭圆的短轴顶点上，则点P 在椭圆的长轴顶点上，此时1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1b 2＋1b 2＋2a2＝2(1a 2＋1b 2)＝2.同理若点A ，B 在椭圆的长轴顶点上，则点P 在短轴顶点上，此时1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1a 2＋1a 2＋2b 2＝2(1a 2＋1b2)＝2. (2)当点A ，B ，P 不是椭圆顶点时，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OP 的方程为y ＝－1kx ，设A (x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 23＋2y 23＝1，解得x 21＝31＋2k 2，y 21＝3k 21＋2k 2. 所以|OA |2＝|OB |2＝x 21＋y 21＝31＋k 21＋2k2. 用－1k 代换k ，得|OP |2＝31＋k 22＋k 2.所以1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1＋2k 231＋k 2＋1＋2k 231＋k 2＋22＋k 231＋k 2＝2.综上，1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2为定值2.。

高考数学一轮复习第九章解析几何检测试题文北师大版

第九章检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上的动点,则PQ 的最小值为（）A ．6B ． 4C ．3D ．22已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = （）A ．12-B ．1C ．2D ．123垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（）A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=4、椭圆221259x y +=的焦距为A ．4B ．6C ．8D ．105、点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 A ．2 B. 3 C. 4 D.5 6．双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（）A ．21B ．22 C ．1D ．27与椭圆:C 2211612y x +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为（） A ．2213y x -= B ．2221y x -=C ．22122y x -= D ．2213y x -= 8 ．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 9 ．（2013重庆文10）设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60︒的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．(2]3B ．[,2)3 C ．()3+∞ D ．[)3+∞9． O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则△POF 的面积为（）A ．2B ．C ．D ．410、设12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，与直线y b =相切的2F e 交椭圆于点E ，E 恰好是直线EF 1与2F e 的切点，则椭圆的离心率为11、设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F 、2F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF :12F F :2PF =4:3:2，则曲线C 的离心率等于（）（A ）2332或（B ）223或（C ）122或（D ）1322或二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是，离心率是 .14.若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是_________.15、设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为___________.16、已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点, ,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则△PQF 的周长为____________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) 已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.18. (本小题满分12分)(2013广东卷文20)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.19．(本小题满分12分) 已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 的距离为F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．（1）求这个椭圆的标准方程；（2）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．20．(本小题满分12分)（2013全国Ⅰ卷文21T ）已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .21．(本小题满分12分)如图,抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N . (1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.22．(本小题满分12分)已知抛物线C :px y 22=)0(>p ,直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B .(1)当直线l 过点)0,(p M -时,证明21y y ⋅为定值;(2)当p y y -=21时,直线l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)记)0,(p N ,如果直线l 过点)0,(p M -,设线段AB 的中点为P ,线段PN 的中点为Q .问是否存在一条直线和一个定点,使得点Q 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题 1、【答案】B【解析】本题考查圆的性质以及距离公式。

高考数学一轮复习第九章《解析几何》精编配套试题(含解析)理新人教A版

高考数学一轮复习第九章《解析几何》精编配套试题（含解析）理新人教A 版第九章解析几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、（2013年高考山东数学（理））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-= 2、（2013年高考新课标Ⅱ卷数学（理））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．21(1,)22-( C) 21(1,]23- D ． 11[,)323、【贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理】若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN的中点，则弦MN 所在直线方程为（）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=4．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 5 ．【2012厦门期末质检理】直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于（） A. 2 B. 2 C.22 D. 46、（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试）设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是（） A ．28y x =B ．28y x =-C ．24y x =-D ．24y x =7、（上海青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±= D . x y 22±=8、【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是A ．1422=-y xB ．1422=-y x C ．13222=-y x D ．12322=-y x9、（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（）A ．12B ．32C ．1D ．310、【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，双曲线两条渐近线分别为12,l l ，过F 作直线1l 的垂线，分别交12,l l 于A 、B 两点，且向量BF 与FA 同向．若||,||,||OA AB OB 成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为A ．2B ．72C ．62D ．5211、【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为A. 3B. 23C. 2D.3312、（2013年高考重庆数学（理）试题）已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（）A ．524B 171-C ．622-D 17二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】12,l l 是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当12,l l 间的距离最大时，直线1l 的方程是．14、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.15、（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___. 16、（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为,圆心在上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18. (本小题满分12分) （2013广东理）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >xy A lO到直线:20x y --=的距离为322.设P 为直线上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线上移动时,求AF BF ⋅的最小值.19．(本小题满分12分) 【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】（本大题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。

高考数学一轮复习第九章解析几何 9.7 抛物线真题演练集训理新人教A版(2021年最新整理)

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理新人教A版1．［2015·浙江卷]如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B,C,其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是（)A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!答案：A解析：由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线,易知△BCF与△ACF的面积之比就等于错误!.由抛物线方程知，焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7双曲线习题理

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7双曲线习题理1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的________等于常数2a (2a ______|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义方式(见人教A 版教材选修2－1 P59例5)：平面内动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数e (e >1)的轨迹叫做双曲线．定点F 叫做双曲线的一个焦点，定直线l 叫做双曲线的一条准线，常数e 叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做________．“离心率e ＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．2．双曲线的标准方程及几何性质焦点在x 轴上焦点在y 轴上(1)图形(2)标准方程y 2a 2－x2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)(3)范围 x ≥a 或x ≤－ay ≥a 或y ≤－a(4)中心原点O (0，0)(5)顶点 A 1(－a ，0)， A 2(a ，0)(6)对称轴 x 轴，y 轴(7)焦点F 1(0，－c )，F 2(0，c )(8)焦距 2c ＝2a 2＋b 2(9)离心率※(10)准线 x ＝±a 2cy ＝±a 2c(11)渐近线方程y ＝±a bx自查自纠1．(1)绝对值＜焦点焦距 (2)离心率 (3)等轴双曲线充要垂直2．(2)x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )(7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a(e ＞1) (11)y ＝±b ax(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1解：A ，B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C ，D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .故选C .(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 解：c ＝5，e ＝c a ＝5a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9，双曲线方程为x 216－y 29＝1.故选C .(2013·湖北)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率相等解：易知双曲线C 1实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为1cos θ；双曲线C 2实轴长为2sin θ，虚轴长为2sin θtan θ，焦距为2tan θ，离心率为1cos θ，又0<θ<π4，所以sin θ≠cos θ，tan θ≠1，综上知两双曲线只有离心率相等．故选D .已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________________．解：∵方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)＞0，解得λ＜－2或λ＞－1. 故填(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．(2015·福建)若双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于____________．解：由题意知点P 在双曲线E 的左支上，根据双曲线的定义，|PF 2|－|PF 1|＝|PF 2|－3＝6，得|PF 2|＝9.故填9.类型一双曲线的定义及标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)；(2)对称轴为坐标轴，经过点P (3，27)，Q (－62，7)； (3)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解：(1)∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵双曲线过点(－5，2)，∴25a 2－4b 2＝1，得a 2＝25b2b 2＋4.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝6，解得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，∵所求双曲线经过P (3，27)，Q (－62，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋28B ＝1，72A ＋49B ＝1，解得A ＝－175，B ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.(3)解法一：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，易求c ＝25，∵双曲线过点(32，2)，∴（32）2a 2－4b 2＝1，得a 2＝18b 2b 2＋4.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝20，解得a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.解法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1，将点(32，2)代入得k ＝4，所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.【点拨】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．(1)(2014·北京)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为________．解：根据已知条件可判断双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，c ＝2，a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝1，∴C 的方程为x 2－y 2＝1.故填x 2－y 2＝1.(2)(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 解：由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.故选D .类型二双曲线的离心率(1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b2＝34c ，得3c 4＝16a 2b 2＝16a 2(c 2－a 2)，即3c 4－16c 2a 2＋16a 4＝0，有3e 4－16e 2＋16＝0，解之得e 2＝4或e 2＝43.∵b ＞a ＞0，∴b 2＞a 2，即c 2－a 2＞a 2，e 2＞2. ∴e 2＝4，e ＝2.故填2.(2)(2015·湖北七市联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是____________．解：在△PF 1F 2中，由正弦定理知 |PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，又sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac ，∴|PF 2||PF 1|＝a c， ∴点P 在双曲线右支上．设P (x 0，y 0)， ∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a2c －a.由双曲线的几何性质知|PF 2|＞c －a ，则2a 2c －a＞c －a ，即e 2－2e －1＜0，又e >1， ∴1＜e ＜1＋ 2.故填(1，1＋2)．【点拨】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用(变式2(2))．(1)(2014·重庆)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3解：考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式左右两边平方后相减，得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，又由已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(舍去负值)．∴该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.故选B .(2)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，P 为双曲线上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．解：∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴P 点在双曲线的右支上．又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，∴6a ≥2c ，即c a≤3. ∵e ＞1，∴1＜e ≤3.故填(1，3]．类型三双曲线的渐近线(1)(2013·全国课标Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB. y ＝±13xC. y ＝±12xD. y ＝±x解：根据双曲线的性质可知e ＝c a ＝52，c 2＝a 2＋b 2，联立可得b 2＝a 24，即b a ＝12，故C的渐近线方程为y ＝±12x .故选C .(2)(2015·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝____________．解：∵双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程是y ＝±1a x ，∴1a ＝3，解得a ＝33.故填33.【点拨】本例考查双曲线中a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解：由题意知BC 为双曲线的通径，∴|BC |＝2b 2a ，|BF |＝b2a.又|AF |＝c －a ，BD ⊥AC ，AB ⊥CD ，AD ⊥BC 且AD 平分BC ，∴点D 在x 轴上，由Rt △BFA ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝(c －a )|FD |，∴|FD |＝b 4a 2（c －a ），则由题意知b 4a 2（c －a ）<a ＋a 2＋b 2，即b 4a 2（c －a ）<a ＋c ，∴b 4<a 2(c －a )(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，∴0<b 2a 2<1.解得0<b a<1，而双曲线的渐近线斜率为±ba，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．故选A .1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点．2．在双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程．8．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．9．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．10．双曲线的几个常用结论：(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)双曲线上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段叫做双曲线的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，则①x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若点P 在右支上，则r 1＝ex 0＋a ，r 2＝ex 0－a ；若点P 在左支上，则r 1＝－ex 0－a ，r 2＝－ex 0＋a .②y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若点P 在上支上，则r 1＝ey 0＋a ，r 2＝ey 0－a ；若点P 在下支上，则r 1＝－ey 0－a ，r 2＝－ey 0＋a .1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是( )A. 5B.32C.52D. 3解：在双曲线x 24－y 2＝1中，a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，双曲线的离心率是e ＝ca ＝52.故选C . 2．(2013·广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D.x 22－y 25＝1 解：由题意知c ＝3，e ＝c a ＝3a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5.∴C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B .3．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，且25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线焦距相等．故选D .4．(2015·全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解：由题知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∵M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，∴x 202－y 20＝1，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故选A . 5．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1解：∵双曲线右焦点F (2，0)与圆心重合，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，∴右焦点到渐近线y ＝±b ax 的距离b ＝3，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D .6．(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a b 时，e 1<e 2；当a e 2解：由题意，双曲线C 1：c 21＝a 2＋b 2，e 1＝c 1a ＝a 2＋b 2a，双曲线C 2：c 22＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2，e 2＝（a ＋m ）2＋（b ＋m ）2a ＋m.∴e 21－e 22＝（b －a ）（2abm ＋bm 2＋am 2）a 2（a ＋m ）2，∴当a >b 时，e 1<e 2；当a e 2.故选D .7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为__________；渐近线方程为__________．解：设与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为y 24－x 2＝k ，将点(2，2)代入，得k ＝－3.∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为2x ±y ＝0.故填x 23－y 212＝1；2x±y ＝0.8．(2015·全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66) ，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为____________．解：依题意，双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点为F (3，0)，实半轴长a ＝1，左焦点为M (－3，0)，∵P 在C 的左支上，∴△APF 的周长l ＝|AP |＋|PF |＋|AF |≥|PF |＋|AF |＋|AM |－|PM |＝|AF |＋|AM |＋2a ＝15＋15＋2＝32，当且仅当A ，P ，M 三点共线且P 在A ，M 中间时取等号，此时直线AM 的方程为x －3＋y66＝1，与双曲线的方程联立得P 的坐标为(－2，26)，此时，△APF 的面积为12×6×66－12×6×26＝12 6.故填126.9．已知双曲线的两焦点坐标分别为F 1(0，－2)，F 2(0，2)，以及双曲线上一点P 的坐标为(3，－2)，求双曲线的方程、顶点坐标、渐近线方程以及离心率．解：由题意知双曲线的焦点在y 轴上，可设为y 2a 2－x 2b2＝1，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝（3－0）2＋（－2－2）2－3＝2，即a ＝1，b ＝c 2－a 2＝22－12＝3，∴双曲线的方程为y 2－x 23＝1，顶点坐标为(0，±1)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝ca＝2. 10．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M (1，3)，求C 的离心率．解：易求得直线l 的方程为y ＝x ＋2，代入C 的方程，并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a2b 2－a 2，由M (1，3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，∴12×4a 2b 2－a2＝1，有b 2＝3a 2.∴c ＝a 2＋b 2＝2a . ∴C 的离心率e ＝c a＝2.11．(2015·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过点A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，得a 2＝b 2＝2. ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，则直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即3b 2c 2－a 2c 2＝4a 2b 2.②又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，得(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝2，即双曲线的离心率为 2.直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ；(2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过第一、三象限的渐近线l 1：x a －y b＝0的倾斜角为α. ∵l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q .依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，α＝30°，∴tan30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，∴e ＝233. (2)由于b a ＝33，于是可设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2. 将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝92，x 1x 2＝36＋3k 28， ∴|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×362－4×8×（36＋3k 2）8＝9－6k 2＝3，解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.。

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