(浙江专用)2020版高考数学复习第八章立体几何与空间向量第7讲立体几何中的向量方法第1课时空间角练习
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第1课时 空间角
[基础达标]
1．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选C.不妨设AB ＝AC ＝AA 1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B (0，－1，0)，
A 1(0，0，1)，A (0，0，0)，C 1(－1，0，1)，
所以BA 1→
＝(0，1，1)，
AC 1→
＝(－1，0，1)，
所以cos 〈BA 1→，AC 1→
〉 ＝
BA 1→·AC 1
→
|BA 1→|·|AC 1→|
＝12×2＝12，
所以〈BA 1→，AC 1→
〉＝60°，
所以异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°.
2．在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )
A ．15
B ．255
C ．
55
D ．25
解析：选C.以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，
0，2)，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，0， E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12
，0，F ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，12
，1.
所以PA →＝(0，0，－2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，
DF →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－12，1
2
，1. 设平面DFE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，
n ·DF →＝0，
得⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝0，
－x ＋y ＋2z ＝0. 取z ＝1，则n ＝(2，0，1)，设直线PA 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝
|PA →
·n |
|PA →||n |＝
55，所以直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55
. 3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，设棱长为1，
则A 1(0，0，1)，E ⎝
⎛⎭⎪⎫1，0，12，
D (0，1，0)，
所以A 1D →
＝(0，1，－1)，
A 1E →
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1，0，－12，
设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12
z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.
所以n 1＝(1，2，2)．
因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝2
3.
即所成的锐二面角的余弦值为2
3.
答案：23
4．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝1，点D 在棱BB 1上，若BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为________．
解析：如图，设AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，E 为AC 的中点，连接BE ，则BE ⊥AC ，所以BE ⊥平面AA 1C 1C ，可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB →＝AB →·EB →
＝1×32×32＝34＝2×
32×cos θ(θ为AD →与EB →
的夹角)，所以cos θ＝64＝sin α，所以所求角的正切值为tan α
＝cos θsin θ＝155
. 答案：
15
5
5．已知单位正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点．试求： (1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A (1，0，1)，B (0，0，1)，D 1(1，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，
F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
，1，0.
(1)因为AD 1→＝(0，1，－1)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，
所以cos 〈AD 1→，EF →
〉＝（0，1，－1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，02×
2
2
＝12，
即AD 1与EF 所成的角为60°.
(2)FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1，由图可得，BA →＝(1，0，0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平
面BEB 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BA →，FA →
〉|＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪（1，0，0）·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，11×
⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＋（－1）2＋12
＝1
3
，所以cos θ＝22
3
.
即AF 与平面BEB 1所成角的余弦值为22
3
.
6．(2019·宁波市余姚中学高三期中)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．
(1)若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
(2)设点M 是线段PC 上的一点，PM ＝tPC ，且PA ∥平面MQB . ①求实数t 的值；
②若PA ＝PD ＝AD ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C 的大小． 解：(1)证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形， ∠BAD ＝60°，