四川省成都实验外国语高2015届高三数学11月月考试题 文

成都实验外国语高2015届（高三）11月考数学文科题第I 卷（选择题，50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 若集合}1|{2<=x x M，{|N x y ==，则N M =DA ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<2．下列结论正确的是CA ．若向量//a b ，则存在唯一的实数λ使得a λb =；B ．已知向量,a b 为非零向量，则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<”；C ．“若3πθ=，则1cos 2θ=”的否命题为“若3πθ≠，则1cos 2θ≠”；D ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>3.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是95,则CA ．6a =B ．5a =C ．4a =D ．7a =4．等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，若15S 为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ C ）A ．213a a + B ．213a a C ．1815a a a ++ D ．1815a a a5、某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接 球的表面积为AA.3πB.π4C.π2D.π25俯视图正视图侧视图6下列曲线中焦点坐标为)0,1(-的是( A )A ． 132322=-y x B ．24x y -= C ．13422=-y x D ．13222=+y x7．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，点P 在线段AD1上运动，则异面直线CP 与BA1所的 θ角的取值范围是DA. B. C. D.8．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD （不在端点处）上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则14x y +的最小值为DB. 93C. 9D. 9．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x]，x≥0f （x ＋1），x<0，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数y ＝f(x)－14x －14不同零点的个数为(B)A ．2B ．3C ．4D ．510.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。

经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

设函数32115()33212g x x x x =-+-，则=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20142013......2014220141g g g CA. 2011B. 2012C. 2013D. 2014第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（5分每题，共计25分）11．设复数1ii2i x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．-2/512．直线2202ax by a b x y +++=+=与圆的位置关系为 相交或相切13．已知二次函数4)(2+-=ax x x f ，若)1(+x f 是偶函数，则实数的值为------214、动点(,)P a b 在不等式组2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a b w a +-=-的取值范围是 . (,1][3,)-∞-⋃+∞15. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，现给出以下命题： ①若34a =，则m 可以取3个不同的值②若m =则数列{}n a 是周期为3的数列③T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列④Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列。

其中所有真命题的序号是 （1）（2）（3） .三．解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16.（本小题12分）已知函数()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 23)(2（Ⅰ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 取得最大值和最小值时x 的值； （Ⅱ）设锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 的对应边分别是c b a ,,，且*,1N c a ∈=，若向量()A m sin ,1=与向量()B n sin ,2=平行，求c 的值。

解：（1）………………………..3分，……..4分所以当，取得最大值；当，取得最小值；………..6分（2）因为向量与向量平行，所以，…………….8分由余弦定理，，又，经检验符合三角形要求………..12分（本小题12分）在数列{}n a 中，11=a ，)(21......321321*+∈+=++++N n a n na a a a n n（1）求数列{}n a 的通项na ；（2）若存在*n N ∈，使得(1)na n λ≤+成立，求实数λ的最小值. 解：（1）21,123,2n n n a n n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ ……………… 6分（2）()1,1nn a a n n λλ≤+⇔≥+由（1）可知当2n ≥时，()223,11n n a n n n -⋅=++设()()()*12,23n n n f n n n N +=≥∈⋅ ……………… 8分则()()()()()()()12111110,2231n n n f n f n n f n f n -+-+-=<∴>≥⋅+又()1123f =及1122a =，所以所求实数λ的最小值为13 ---------------12分18．（本小题12分）某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生(该班共50名同学)，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：（1）写出a 、b 的值；（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分， 乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率． 18．（1）6、0.12 ………2分（2）成绩在120分以上的有6+4=10人，所以估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有：1206005010=⨯ 人. ……6分（3）[45，60）内有2人，记为甲、A ．[135，150]内有4人，记为乙、B 、C 、D ．法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙B ，ACD ）、（甲乙C ，ABD ）、（甲乙D ，ABC ）、（甲BC ，A 乙D ）、（甲BD ，A 乙C ）、（甲CD ，A 乙B ）． 其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B ，ACD ）、（甲乙C ，ABD ）、（甲乙D ，ABC ）．所以甲、乙分到同一组的概率为2163==P . ………12分（法二：乙可能和甲或和A 分到同一组，且等可能，故甲、乙分到同一组的概率为21）19（本小题12分）.如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、CD 、1BB 、11C D 的中点．（1）求点P 到平面MNQ 的距离；（2）求直线PN 与平面MPQ 所成角的正弦值．19．解：方法1（几何法）：∵1BB 平面MNQ ，∴点P 到平面MNQ 的距离等于点B 到平面MNQ 的距离．设BD MN E =．∵平面MNQ ⊥平面ABCD ，∴由BE MN ⊥得BE ⊥平面MNQ ，∴点P 到平面MNQ 的距离为34BE BD ==．---------6分（2）设点N 到平面MNQ 的距离为d ．可以求得MP PQ QM ===，∴22)MPQ S ∆==．212MNQ S MN NQ ∆=⋅．由N MPQ P MNQ V V --=得1133MPQ MNQ S d S ∆∆⋅=，∴d ．设直线PN 与平面MPQ 所成的角为θ，则s i n d PN θ==．故直线PN 与平面MPQ 所成的角的正弦值为．---------12分方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系． （1）(,,)(0,0,)(,,0)DB a a a a a a =-=是平面MNQ 的一个法向量．∵(,,)(0,,0)(,,)2222a a a a QP a a a =-=，∴点P 到平面MNQ 的距离||4||QP DB d DB ⋅==．（2）设平面MPQ 的一个法向量为(,,1)x y =n ．(,0,)(,,)(,,)2222a a a aPM a a a a =-=--．由0,0PM QP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,220,22aa x ay a a ax y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩得1,1,x y =-⎧⎨=⎩∴(1,1,1)=-n ．(0,,)(,,)(,,)2222a a a aPN a a a a =-=--．cos ,PN <>=n ．设直线PN 与平面MPQ 所成的角为θ，则sin cos()|cos ,|2PN πθθ=-=<>=n ．20．(本小题13分)设椭圆E 中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为4,点Q （2（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线L 交椭圆E 于A 、B 两点，且OA OB ⊥，求△OAB 的面积的取值范围。

（3）过M （11,y x ）的直线1l :28211=+y y x x 与过N （22,y x ）的直线2l :28222=+y y x x 的交点P （00,y x ）在椭圆E 上，直线MN 与椭圆E 的两准线分别交于G ，H两点，求−→−OG ∙−→−OH 的值。

20解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b +=（a>b>0）过M （2，2b=4故可求得椭圆E 的方程为22184x y += --------3分（2）设P （x,y ）,A （x1,y1）,B （x2,y2），当直线L 斜率存在时设方程为y kx m =+，解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=, 则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>, 即22840k m -+>（）12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++, 所以223880m k --=, 即22883k m += ① 将它代入（）式可得2[0,)k ∈+∞P 到L的距离为d =又121|||2S AB d x x ∴==-=将22883k m +=及韦达定理代入可得S =当0k ≠时S ==由2214[4,)k k +∈+∞故8(,3S =当0k =时,83S =当AB 的斜率不存在时, 83S = ,综上S 8,3⎡∈⎢⎣------------8分（3）点P （0,y x ）在直线1l :28211=+y y x x 和2l ：28222=+y y x x 上，2820101=+y y x x ，2820202=+y y x x故点M （11,y x ）N （22,y x ）在直线28200=+y y x x 上故直线MN 的方程，28200=+y y x x 上设G ，H 分别是直线MN 与椭圆准线，4±=x 的交点由28200=+y y x x 和4-=x 得G （-4，00224y x +） 由28200=+y y x x 和4=x 得H （4，00224y x -）故−→−OG ∙−→−OH =-16+22432y x -又P （00,y x ）在椭圆E ：14822=+y x有1482020=+yx 故20208324y x -=−→−OG ∙−→−OH =-16+220)832(32y y --=-8------------13分21.（本小题14分）已知函数f(x)＝ax ＋x2－xlna(a ＞0，a≠1)．（1）当a ＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； （2）若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；（3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a 的取值范围．解：（1）()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=+-=+-．……………………… 由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10xa a >->，所以()0f x '>， 故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．……………………………………………4分（2）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增，故()0f x '=有唯一解0x =．所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根，而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t =．………………10分（3）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-．由（2）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增， 所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-．而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a aa a --=+--++=--，记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥（当1t =时取等号）， 所以1()2ln g t t tt =--在(0,)t ∈+∞上单调递增．而(1)0g =，故当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <．即当1a >时，(1)(1)f f >-； 当01a <<时，(1)(1)f f <-．①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥；②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e --≥-⇒+≥-⇒<≤．综上可知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦． ---------14分。