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历年全国高中数学联赛试题及答案76套题

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。

为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。

请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。

解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。

墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。

因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。

用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。

因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。

当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。

当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。

所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。

因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。

2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。

求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。

全国高中数学联赛试卷及答案

二○○一年全国高中数学联合竞赛题（10月4日上午8：00—9：40）学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。

2、用圆珠笔或钢笔作答。

3、解题书写不要超过装订线。

4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A ）（B ）（C ）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2+2=0,x ∈R}的子集的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个 3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在（0，2π）上单调递增的偶函数是（A ）y=sin|x| （B ）y=cos|x| （C ）y=|ctgx| （D ）y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（A ）k=83 （B ）0<k ≤12 （C ）2 （D ）0＜ｋ≤12或38=k 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（）．（A ）3333 （B ）3666 （C ）3999 （D ）320016．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）．（A ）2枝玫瑰价格高（B ）3枝康乃馨价格高（C ）价格相同（D ）不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________． 8、若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-I,则z 1z 2= 。

全国高中数学联赛试题

年全国高中数学联合竞赛一试试卷一、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在横线上．．函数()f x =的值域是．．已知函数()2cos 3sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是．．双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是．．已知{}n a 是公差不为的等差数列，{}n b 是等比数列，其中13a =，11b =，22a b =，533a b =，且存在常数α，β使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+= ．．函数()232x x f x a a =+-（0a >，1a ≠）在区间[]1,1x ∈-上的最大值为，则它在这个区间上的最小值是．．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是．．正三棱柱111ABC A B C -的条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=，则sin α= ．．方程2010x y z ++=满足x y z ≤≤的正整数解（x ，y ，z ）的个数是．二、解答题：本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（本小题满分分）已知函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），当01x ≤≤时，()'1f x ≤，试求a 的最大值．．（本小题满分分）已知抛物线26y x =上的两个动点A （1x ，1y ）和B （2x ，2y ），其中12x x ≠且124x x +=．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．．（本小题满分分）证明：方程32520x x +-=恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++．年全国高中数学联合竞赛加试试卷（卷）（考试时间：月日上午∶—∶）一、（本题满分分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK⊥二、（本题满分分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记()()()1f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥， ()()()()()1l l f r f f r -=，2l ≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．三、（本题满分分）给定整数2n >，设正实数1a ，2a ，…，n a 满足1k a ≤，1k =，2，…，n ，记12kk a a a A k+++=，1k =，2，…，n ．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑．四、（本题满分分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值和两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？年全国高中数学联合竞赛一试题一、填空（共小题，每小题分，共分）1．若函数()f x ()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．5．椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ⋅的最小值为．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是． 7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题1．（本小题满分分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2．（本小题分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，， (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．3．（本小题满分分）求函数y =年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（卷）一、如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧、的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧（不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．二、求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，，…三、设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l互素．四、在非负数构成的39⨯数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中每行的数互不相同，前列中每列的三数之和为，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，，…，）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，，一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，，使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 仍然具有性质()O ．全国高中数学联合竞赛一试试题一、选择题（本题满分分，每小题分）．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是（）．．．．．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）．[1,2)- ．[1,2]- ．[0,3] ．[0,3)．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为（）. 24181. 26681. 27481. 670243．若三个棱长均为整数（单位：）的正方体的表面积之和为，则这三个正方体的体积之和为（）. 或 . . 或 .．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为（） . . . .．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C A B C B++的取值范围是（）. (0,)+∞... )+∞二、填空题（本题满分分，每小题分）．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += .答图答图．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a = ．．将个志愿者名额分配给个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种．．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a ．．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f ．．一个半径为的小球在一个内壁棱长为6的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．三、解答题（本题满分分，每小题分）．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx =)0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+．．解不等式:121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．．如题图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．年全国高中数学联合竞赛加试（卷）一、（本题满分分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：3AE AB=，31BC EC=-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．二、（本题满分分）设()f x 是周期函数，T 和是()f x 的周期且01T <<．证明：（Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期；（Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．三、（本题满分分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题（本题满分分，每小题分）. 如图，在正四棱锥−中，∠°，则二面角−−的平面角的余弦值为（）. 71 . 71- . 21 . 21- . 设实数使得不等式−−2a ≥对任意实数恒成立，则满足条件的所组成的集合是（）答一图DPM. ]31,31[- . ]21,21[-. ]31,41[-. [−，]. 将号码分别为、、…、的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。

A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。

A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。

7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。

8. 一个正六边形的内角为______度。

9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。

10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。

14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。

全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案

全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案20XX年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00―9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P ABCD中，∠APC=60°，则二面角A PB C的平面角的余弦值为（） A. 2. 设实数a使得不等式|2x a|+|3x 2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）A. [ ,] 1 7B. 1 7C. 1 2D. 1 21133B. [ 11,] 22C. [ 11,] 43D. [ 3，3]3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。

则使不等式a 2b+100成立的事件发生的概率等于（）A. 52 81B. 59 81C. 60 81D. 61 814. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。

若实数a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1对任意实数x恒成立，bcosc的值等于（）a11A. B. 22则C. 1 D. 15. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。

若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A( 3，0)，B(1，1)，C(0，3)，D( 1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。

8. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，CA 33，若AB AE AC AF 2，则EF与BC的夹角的余弦值等于________。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

《全国高中数学联赛真题暨答案(2011-202

−−→ AF1
·
−−→ AF2
+
−−→ BF1
·
−−→ BF2
=
0,
则
|AB| |F1F2|
的值为
．
3.
设a
>
0，函数 f (x)
=
x+
100 x
在区间 (0, a] 上的最小值为 m1，在区间 [a, +∞) 上的
最小值为 m2，若 m1m2 = 2020，则 a 的值为 .
4.
设z
为复数，若
z−2 z−i
为实数（i 为虚数单位），则 |z + 3| 的最小值为
.
5. 在 △ABC 中，AB = 6，BC = 4，边 AC 上的中线长为 √10，则 sin6 A + P − ABC 的所有棱长均为 1，L, M, N 分别为棱 P A, P B, P C 的中点，则该正三棱锥的外接球被平面 LM N 所截的截面面积为．
2011 年全国高中数学联赛二试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2020 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2020 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2020 年全国高中数学联赛二试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2019 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2019 年全国高中数学联赛一试答案(B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2019 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2018 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2018 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (A 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2017 年全国高中数学联赛一试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2017 年全国高中数学联赛二试答案 (B 卷) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2016 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2016 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2015 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2015 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2014 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2014 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2013 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2013 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 2012 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 2012 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 2011 年全国高中数学联赛一试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 2011 年全国高中数学联赛二试答案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)

2017年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.证明：（1）因为
所以，数列成等比数列 ……5分
于是
即数列的通项公式 ……10分
（2）法1：因为对任意的正整数n都成立，故
由（1）知
∴共有C 种比赛方式．
三．(15分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．
解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE= = ．其体积V= ( )2· = π．同样，
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)
解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛试题

暨2023年全国高中数学联合竞赛一试试题（模拟4）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246215,S S S ==-，则8S =．3．从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若20231()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．7．已知在四棱锥P ABCD -中，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．若该四棱锥存在半径为1的内切球，且PA =PC 的长为．8．令实数集123456}{,,,,,S a a a a a a =，定义函数:f S S ®，使得234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，则满足条件的f 的个数为．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求S的最小值，其中S =．10.（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，拋物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（模拟4）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．．角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若1()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．答案：1．解：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，所以()()20f f =-，()()31f f =-，()()()420=-=f f f ，即()()()()()()()()123410100+++=--+=f f f f f f f f ．若20231()1k f k ==-∑，则()()()()()123420231+++++=- f f f f f ，即()()()()()()()50512341231f f f f f f f ⎡⎤⨯++++++=-⎣⎦，可得()()()()()()1231011++=--=-f f f f f f ，所以()01f =．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线22:1(0,0)a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．⎫⎪⎭123456234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求的最小值．10．（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．解：已知3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d ，满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，因为3()22f x x x =-是奇函数，所以若存在一个矩形，则矩形的中心在原点，则…………12分…………16分为F ，过F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．。

2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围为。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。

3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为。

4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。

6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。

7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。

9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（，A 为C 的圆心。

直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。

则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。

全国高中生数学竞赛试题

全国高中生数学竞赛试题一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数$ f(x) = 2x^2 + 3x - 5 $，求$ f(-1) $的值。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 圆的方程为$ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 $，求圆心到直线$ x + 2y - 5 = 0 $的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 53. 若$ a, b $为正整数，且$ a^2 + b^2 = 2023 $，求$ a + b $的可能值。

A. 44B. 45C. 46D. 474. 已知$ \sin A = \frac{3}{5} $，$ \cos A = -\frac{4}{5} $，求$ \tan A $的值。

A. 3/4B. -3/4C. 4/3D. -4/35. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共30分）6. 若$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} $，且$ a,b > 0 $，求$ a + b $的最小值。

7. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足$ a^2 + b^2 = c^2 $，求证$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $。

8. 若$ \log_{2}3 = m $，求$ \log_{3}2 $的值。

9. 一个圆的半径为5，求其内接正六边形的边长。

10. 已知等比数列的前三项分别为2, 6, 18，求其第4项。

三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意正整数$ n $，$ 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} $。

12. 已知函数$ g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 $，求其极值点，并判断其单调性。

全国高中数学联合竞赛试试题及答案

全国高中数学联合竞赛一试一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1．函数f (x)54x x 2 在 ( ,2) 上的最小值是（ C ）A ． 0 2 xB ． 1C ．2D ． 3[ 解 ]当 x2 时， 2 x 0，因此f (x)1(4 4x x 2 ) 1 (2 x)21 x)2 x2 x(212 x2 ，当且仅当2 x 时上式取等号．而此方程有解x 1(,2)，因此f ( x) 在(,2) 上的最小值为 2．x2{ x x22．设 A[ 2,4) ，B ax 4 0}，若BA ，则实数 a 的取值范围为（ D ）A ． [1,2)B ． [1,2]C ． [0,3]D ． [0,3)[ 解 ] 因 x 2ax 4 0有两个实根x 1 a4 a 2 ，x 2 a4 a 2 ，24 24故 BA等价于x 12 且 x 24 ，即a4a 2 2 且a4 a 24 ，解之得 0 a3 ．2 4243．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多2 分或打满 6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为2，乙在每局中获胜的概率为 1，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望 E33为 ...（ B ）A.241 .B.266 .C.274 . . D.670818181243[解法一 ] 依题意知，的所有可能值为2，4， 6 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为( 2 ) 2 ( 1 ) 2 5 ．3 3 9若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P (2)5，....P(4) ( 4)( 5) 20， .... P(6) (4)216 ，99 9 81981故 E 2 54 206 16266 ．98181 81[ 解法二 ] 依题意知，的所有可能值为 2，4，6.令A k 表示甲在第 k 局比赛中获胜，则 A k 表示乙在第 k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得P(2) P( A 1A 2) P( A 1 A 2 ) 5 ，9P(4)P( A 1A 2A 3A 4) P( A 1 A 2 A 3A 4) P( A 1A 2 A 3 A 4 ) P( A 1A 2A 3A 4)2[( 2)3 (1) (1)3( 2)] 20 ，3 3 3 3 81P(6)P( A 1A 2 A 3 A 4 ) P( A 1 A 2A 3A 4) P( A 1 A 2 A 3A 4) P( A 1A 2 A 3 A 4 )4( 2)2 (1)216 ，故E254 206 16 266 ． 3 381981 81 81564 cm2，则这三个正方体的体积之和为4 ．若三个棱长均为整数（单位： cm ）的正方体的表面积之和为（ A ）A. 764 cm 3 或 586 cm 3B. 764 cm 3.C. 586 cm 3 或 564 cm 3D. 586 cm 3[ 解 ]设这三个正方体的棱长分别为 a,b,c ，则有 6 a 2b 2c 25 ， a2b2c294 ，不妨设6 41 ab c 10，从而 3c 2 a 2 b 2 c 2 94 ， c 231．故 6 c 10 ． c 只能取 9，8，7， 6．若 c9 ，则 a 2 b 294 92 13 ，易知 a2 ， b3 ，得一组解 (a, b, c)(2,3,9) ．若 c8 ，则 a 2b 2 94 64 30 ， b 5 ．但 2b 2 30 ， b 4 ，从而 b4 或 5．若 b5 ，则 a 2 5 无解，若 b4 ，则 a 2 14 无解．此时无解．若 c 7 ，则 a 2 b 2 94 49 45 ，有唯一解 a 3， b 6 ．若 c6 ，则 a 2 b 294 36 58 ，此时 2b 2 a 2 b 2 ， 2 29 ．故b 6 ，但bc 6 ，故 b 6 ，此时a258 b58 3622 无解．a 2,a 3,综上，共有两组解b 3, 或b 6,c 9 c 7.体积为V 1233393764 cm 3或V 2 33 63 73 586 cm 3．x y z 0,的有理数解 (x, y, z) 的个数为5．方程组xyz z 0,（ B ）xy yz xz y 0A.1B. 2C. 3D. 4x y，， x，[ 解 ] 若 z 0 ，则解得 xxy y0.0 或y 1.y 0若 z 0，则由xyz z 0得 xy 1．①由 x y z 0 得 z x y ．②将②代入 xy yz xz y 0 得x2y2xyy 0．③由①得 x 1，代入③化简得 ( y1)( y 3 y1) 0.y3y1 0 无有理数根，故 y 1，由①得 x1 ，由②得 z 0 ，与 z0 矛盾，故该方程组共有两组易知 yx 0, x1,有理数解y 0,或y 1,z 0z 0.6．设ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a,b,c 成等比数列，则sin Acot Ccos A的取值范围是（ C ）sin B cot C cos BA.(0,)B.(0, 5 1)2C.(51,51)D.(51,)2 2 aq 2，而 2[ 解 ] 设 a, b, c 的公比为 q ，则 b aq, csin A cot C cos A sin AcosC cos Asin Csin B cot C cos B sin B cosC cosB sin C sin( A C) sin( B) sin B b q ．sin(B C) sin( A) sin A a因此，只需求 q 的取值范围．因 a, b, c 成等比数列，最大边只能是 a 或 c ，因此 a, b,c 要构成三角形的三边，必需且只需a bc且b c a ．即有不等式组a aq aq 2 ,q 2q 1 0,15 q5 1 ,22aq 2即q 2解得aq aq1 0.q5 1或 q5 1 .22从而 5 1q5 1 ，因此所求的取值范围是(5 1, 5 1)．2222二、填空题（本题满分54 分，每小题 9 分）7．设 f ( x)ax b ，其中 a, b 为实数， f 1 ( x) f (x) ，f n 1 ( x)f ( f n ( x)) ，n 1,2,3,，若f 7 (x) 128 x381，则 a b . 5.[ 解 ]由题意知f n ( x) a n x (a n1a n 2a 1)ba nx a n1b，a 1由f 7 ( x)128 x 381 得 a7128 ，a 71 b381，因此a2 ， b3 ， a b5 ．a 11，则8 f ( x) cos2 x 2a(1 cosx)的最小值为a 23．．设22[ 解 ]f ( x)1 2a 2a cos x2cos x2(cosx a )2 1 a 2 2a 1，2 2(1) a 2 时， f ( x) 当 cosx 1 时取最小值 1 4a ；(2) a2时， f ( x) 当 cosx 1 时取最小值 1；(3)2 a 2时，f ( x) 当cos xa时取最小值 1 a 2 2a 1．22 又 a2 或a2时， f ( x) 的最小值不能为1 ，1 a 21，解得 a2故2a 12 3 ， a 2 3 (舍去 )．229．将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有. 222..种．[解法一 ]用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校，而用表示名额．如||||表示第一、二、三个学校分别有 4，18，2 个名额．若把每个 “ ”与每个 “”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜ ”，故不同的分配方法相当于24 2 26 个|位置（两端不在内）被 2 个 “｜”占领的一种 “占位法 ”．”相当于在 24 个 “ ”之间的 23 个空隙中选出2253种．“每校至少有一个名额的分法 2 个空隙插入 “｜”，故有 C 23 又在 “每校至少有一个名额的分法 ”中 “至少有两个学校的名额数相同 ”的分配方法有 31 种．综上知，满足条件的分配方法共有 253－31＝222 种．[ 解法二 ].设分配给 3 个学校的名额数分别为 x 1 , x 2 , x 3 ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x 1 x 2 x 3 24 ．的正整数解的个数，即方程 x 1 x 2 x 321 的非负整数解的个数，它等于3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合：H 321C 2321C 232253 ．又在 “每校至少有一个名额的分法 ”中 “至少有两个学校的名额数相同 ”的分配方法有 31 种．综上知，满足条件的分配方法共有253 －31＝222 种．10．设数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足： S na nn 1 ，n 1,2, ，则通项 a n =11 ．n(n 1)2nn( n 1)[ 解 ] a n 1 S n 1 S n n a n 1 n 1 a n ，(n 1)(n n( n 1)2)即 2 a n 1 n 2 2 1 1 a n(n 1)(n 2) n 1 n(n 1)=2a n1，1)( n 2)n( n 1)( n由此得2( a n11)a n1．(n 1)( n 2) n(n1)令b n a n1，b 1 a 1 1 1( a 10 )，n( n 1) 22有 b11b ，故 b n 1 ，所以 a n11．n2 nnnn( n 1) 答12图12211．设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，若 f (0) 2008 ，且对任意 xR ，满足f ( x 2)f ( x) 3 2 x ， f ( x 6) f ( x) 63 2 x，则 f ( 2008) =220082007．[解法一 ] 由题设条件知f ( x 2) f ( x) ( f ( x 4) f ( x 2))( f (x6) f ( x4)) ( f (x6)f (x))3 2x 2 3 2x4 63 2x 3 2x ，因此有f ( x 2) f ( x) 3 2 x ，故f (2008)f (2008)f (2006) f (2006)f (2004)f (2) f (0)f (0)3200620042 21) f (0)(22341003 11 f (0)4 1220082007．2x，则[解法二 ] 令 g ( x)f (x)g( x 2) g ( x)x 2xxx，f (x 2) f ( x) 223 23 2g( x 6) g ( x)f ( x6) f ( x)x 6x63 x63 x，222 2即g( x2) g( x), g( x 6) g (x) ，故 g( x) g (x 6)g( x 4) g (x 2)g( x) ，得 g( x) 是周期为 2 的周期函数，所以f (2008) g(2008) 22008g (0)22008 220082007 ．12．一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是72 3．[解] 如答 12图 1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 r ，作平面 A 1 B 1 C 1 //平面 ABC ，与小球相切于点 D ，则小球球心 O 为正四面体P A1 11 的中心，1 1 1，垂足D 为A1 11 的中心．B CPO 面ABCB C因V P A 1 B 1C 11PDS A 1BC 1134 V OA 1B 1C 114S A 1 B 1C 1 OD ，3故PD4OD4r，从而PO PD OD 4r r 3r ．记此时小球与面PAB 的切点为 P 1 ，连接 OP 1 ，则22 2 2 ．PPPOOP 1 (3r ) r 2 2r1考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB ) 相切时的情况，易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为P 1 EF ，如答 12 图 2．记正四面体的棱长为 a ，过P 1 作 PM 1PA 于M ．因MPP 1，有PMPP 1 cosMPP 1 2 2r3 6r ，故小三角形的边长26P 1 EP 2AP M2 ．r6a小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）3 ( a 2 答12图2S PAB S PEF 1(a 2 6r )2 ) 3 2ar 6 3r 2 ．.........4又 r1 ， a 4 6 ，所以SPABSPEF24 3 63 18 3 ．1由对称性，且正四面体共 4 个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72 3 ．三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）13．已知函数 f ( x) | sin x |的图像与直线y kx (k 0) 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：cos12......．sin sin 34[ 证 ]f ( x) 的图象与直线 ykx (k0)的三个交点如答13 图所示，且在 (3) 内相切，其,2切点为 A(, sin )，( , 3)．25分由于 f( x)cosx ，x ( ,3) ，所以sin2答 13图cos，即tan．10 分因此coscossin sin 32sin 2 cos1 15 分4sincoscos 2 sin 24sin cos21 tan 4 tan21．....................20 分414．解不等式log 2 ( x 12 3x 10 5 x 8 3x 6 1)1 log2 ( x 4 1) ．[解法一 ] 由1log 2 (x 41)42)，且log 2 y 在 (0,) 上为增函数，故原不等式等价于log 2 (2 xx 12 3x 10 5x 83x 6 12x 4 2 ． ..............即...... x 12 3x 10 5x 8 3x 6 2x 41 0 ． .............. 5分分组分解 ... x 12 x 10 x 82x 10 2x 8 2 x 6 4x 8 4x 6 4x 4 x 6 x 4 x 2 x 4 x 2 1 0 ，( x 8 2x 6 4x 4 x 2 1)(x 4x 2 1) 0 ，.......... .. 10分所以 ... x 4x 21 0 ，(x215)( x215) 0．15 分22所以x2125 ，即x1 5或x1 5 ．22故原不等式解集为(, 51(5 1)．.20 分)2,424[解法二 ] 由1log 2 (x 1)2)，且log 2 y 在 (0, ) 上为增函数，故原不等式等价于log 2 (2 xx 123x 10 5x 8 3x 6 1 2x 4 2 ．.............. 5分即2 1 x 63x 4 3x 21 2x2 2 ( x 21)3 2( x 21)，x 2x 6( 12)32( 12 ) ( x 21)32( x21)，.10 分xt 3 x令g (t)2t ，则不等式为g ( 12 ) g( x 21) ，3x显然g(t )2t 在 R 上为增函数，由此上面不等式等价于t1 x2 1，15 分x 2即 ( x 2 )2x21 0，解得 x25 1.( x 25 1舍去)，22故原不等式解集为(,5 1 (5 1 )．.20 分2 ) 2,15．如题 15 图， P 是抛物线 y 22 x 上的动点，点 B, C 在 y 轴上，圆 (x 1)2y21 内切于 PBC，求PBC面积的最小值．[ 解 ] 设 P( x 0 , y 0 ), B(0, b ), C (0, c) ，不妨设 b c ．直线 PB 的方程 : yby 0bx ，x 0化简得( y 0b)xx 0 y x 0 b0 ．又圆心(1,0) 到PB的距离为1，y 0 b x 0 b1，5分( y 0b)2x 02故( y 0 b)2 x 02 ( y 0 b )2 2x 0b ( y 0b) x 02 b 2，易知x 0 2 ，上式化简得 ( x 0 2)b 2 2 y 0 b x 0 0 ，同理有( x 022 y 0 c x 0．.............10 分2) c所以 bc2y 0 ，bcx 0 x0 ，则x 0 2 2(b c)24x 024 y 028x0 ．题15图( x 0 2)2因P( x 0 , y 0 ) 是抛物线上的点，有 y 02 2 x 0 ，则( b c)24x 02 ， b c 2x 0 ． ...... 15 分( x 0 2)2x 0 2所以S PBC1(b c) x 0x 0 2x 0 ( x 0 2)4 42 x 0 x 022 44 8 ．当( x 0 2) 2 4 时，上式取等号，此时x 0 4, y 02 2 ．因此S PBC 的最小值为8．20 分。

十年全国高中数学联合竞赛试题解析版经典收藏

二○○二年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f(x)=的单调递增区间是(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0⇒x<-1或x>3，令f(x)=u 21log , u= x 2-2x-3，故选A 2、若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B3、函数f(x)=(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数解：A4、直线椭圆相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2π)，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。

S=11OBP OAP S S ∆∆+=ααcos 4321sin 3421⨯⨯+⨯⨯=6(sin α+cos α)=∴S max =62∵S ⊿OAB =6∴626)(max 1-=∆AB P S∵626-<3∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B5、已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}及B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C解：不妨设b 1<b 2<…<b 50，将A 中元素a 1, a 2, … , a 100按顺序分为非空的50组，定义映射f ：A →B ，使得第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数及A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ，故选D 。

全国各省省高中数学竞赛试题及参考答案汇编

1、浙江省高中数学竞赛试题2、河北省高中数学竞赛试题3、全国高中数学联赛广东省预赛4、全国高中数学联赛江苏赛区初赛题5、浙江省高中数学竞赛试题6、湖北省高中数学竞赛试题7、全国高中数学联合竞赛一试试题8、二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题9、全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷10、全国高中数学联赛山东省预赛试题11、全国高中数学联赛江西省预赛试题12、全国高中数学联赛山西省预赛13、全国高中数学联赛甘肃省预赛试题14、全国高中数学联合竞赛（四川初赛）15、全国高中数学联赛安徽省预赛试题16、新知杯上海市高中数学竞赛试题17、湖南省高中数学竞赛试卷A卷浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[,]42ππθ∈） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（）A. 2B. C. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂，命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（） A.B.C. 3D.21243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==。

正确答案为C 。

5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）正视图侧视图俯视图（圆和正方形）2212231A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（）A. 4B.8C. 16D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（） A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数()2sin2xf x x =的最小正周期为______ ____。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. √3D. 0.33333（无限循环）答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2x)的值。

A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案：C3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 一个圆的半径为3，求其内接正六边形的边长。

A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案：A5. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1，求f(x+1)的值。

A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案：A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。

A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案：A8. 已知一个等比数列的首项a1=3，公比q=2，求第5项a5的值。

A. 48B. 96C. 192D. 384答案：A9. 一个圆的直径为10，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0，求其根的判别式Δ。

A. 0B. 64C. -64D. 16答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若一个数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，求a7的值。

答案：1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，求其一阶导数dy/dx。

答案：3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其表面积。

十年全国高中数学联合竞赛试题解析版经典收藏

二○○二年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分与0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。

2．如果考生的解答方法与本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。

一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕 1、函数f(x)=的单调递增区间是(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞)解：由x 2-2x-3>0⇒x<-1或x>3，令f(x)=u 21log , u= x 2-2x-3，应选A2、假设实数x, y 满足(x+5)2+(y 12)2=142，那么x 2+y 2的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D)2解：B3、函数f(x)=(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数解：A4、直线椭圆相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个解：设P 1(4cos ,3sin) (0<<2π)，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。

S=11OBP OAP S S ∆∆+=ααcos 4321sin 3421⨯⨯+⨯⨯=6(sin+cos )=∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∵626-<3yB P∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，应选B5、两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}及B={b 1, b 2, … , b 50}，假设从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，那么这样的映射共有(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C 解：不妨设b 1<b 2<…<b 50，将A 中元素a 1, a 2, … , a 100按顺序分为非空的50组，定义映射f ：A →B ，使得第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数及A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为4999C ，那么这样的映射共有4999C ，应选D 。