中考数学专题总复习专题七与几何测量有关的应用试题

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中考数学总复习《坐标及几何变换》专项测试卷(带有答案)-北师大版

中考数学总复习《坐标及几何变换》专项测试卷(带有答案)-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题1．把直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7B．3＜m＜4C．m＞1D．m＜42．通过平移y＝﹣2x的图象，可得到y＝﹣2（x﹣1）+3的图象，平移方法正确的是（）A．向左移动1个单位，再向上移动3个单位B．向右移动1个单位，再向上移动3个单位C．向左移动1个单位，再向下移动3个单位D．向右移动1个单位，再向下移动3个单位3．直线y＝﹣2x+b上有三个点（，y1），（﹣1.5，y2），（1.3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y1＞y3D．y2＜y1＜y34．定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0），把形如y＝的函数称为一次函数y＝ax+b的“相依函数”，已知一次函数y＝x+1，若点P（﹣2，m）在这个一次函数的“相依函数”图象上，则m的值是（）A．1B．2C．3D．45．将直线y＝x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx+b，则下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小C．与x轴交于点（﹣2，0）D．与y轴交于点（0，1）6．已知点P（3，y1）、Q（﹣2，y2）在一次函数y＝（2m﹣1）x+2的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m＜1C．m＞1D．m＜7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+4与x轴交于B点，与y轴交于A点，点C，D在线段AB上，且CD＝2AC＝2BD，若点P在坐标轴上，则满足PC+PD＝7的点P的个数是（）A．4B．3C．2D．18．已知点A（﹣2，4），点B（3，0）分别是直线y1＝ax+b（a≠0），y2＝mx+n（m≠0）上的点，若直线y1＝ax+b与，y2＝mx+n关于y轴对称，则它们的交点坐标是（）A．（12，0）B．（﹣12，0）C．（0，﹣12）D．（0，12）9．已知一次函数y＝kx﹣1，y随着x的增大而增大，将它向上平移2个单位长度后得到直线y＝k1x+b，则下列关于直线y＝k1x+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、三象限B．与x轴交于点（1，0）C．与y轴交于点（0，﹣1）D．y随x的增大而减小10．如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（﹣，5），将△AOB沿x轴向左平移得到△A′O′B′，若点B′的坐标为（﹣，5），点A′落在直线y＝kx上，则k的值为（）A．﹣B．C．D．11．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是（）A．6B．12C．2D．312．将一次函数y＝的图象向左平移2个单位得到的新的函数的表达式（）A．y＝x+1B．y＝x+2C．y＝x﹣1D．y＝x﹣213．直线y＝3x+4平移后过点（1，﹣2），则平移后的直线解析式是（）A．y＝3x﹣2B．y＝3x+5C．y＝3x+1D．y＝3x﹣514．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与坐标轴分别交于A，B两点，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，直线y＝3x﹣2与y轴交于点F，与线段AB交于点E，将正方形ABCD沿x轴负半轴方向平移a个单位长度，使点D落在直线EF上．有下列结论：①△ABO的面积为3；②点C的坐标是（4，1）；③点E到x轴距离是；④a＝1．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于A，B两点，在线段AB上取一点C，过C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，连接DE，当DE最短时，点C的坐标为（）A．（2，3）B．（，）C．（，）D．（4，0）16．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1二、填空题17．将直线y＝﹣x﹣1向上平移4个单位所得的直线表达式为．18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点P是直线l：x+y＝4上的一个动点，若∠P AB＝∠ABO，则点P的坐标是．19．若点P（m，n）在函数y＝x+1的图象上，则代数式5n﹣m+1的值为．20．如图，直线y＝x﹣4分别交x轴、y轴于A、B两点，C为OB中点（O为坐标原点），D点在第四象限，且满足∠ADO＝45°，则线段CD长度的最大值等于．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是．22．一次函数y＝﹣2（x﹣1）可由一次函数y＝﹣2x+3向平移个单位得到．23．如图，直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点A、B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使得点B落在x 轴正半轴上的C点，折痕与y轴交于点D，则折痕AD所在直线的函数关系式为．24．已知直线y＝﹣2x+5，则将其向右平移1个单位后与两坐标轴围成的三角形面积为．三．解答题25.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，15），点B的坐标为（20，0），直线l1经过点A和点B，直线l2：y＝x﹣13与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线l1与直线l2相交于点P．（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）正方形EFGH的边EF与线段AO重合，点G在x轴的正半轴上，将正方形EFGH沿射线AB的方向平移，边EH始终与x轴平行．已知正方形EFGH以每秒5个单位的速度匀速移动（点E移动到点B 时停止移动），设移动时间为t秒（t＞0）；①正方形EFGH在移动过程中，当点F落在直线l2上时，请求出此时t的值；②正方形EFGH在移动过程中，设正方形EFGH与△PBC重合部分的面积为S，当S＝4.5时，请直接写出此时t的值．26.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0．（1）求直线AP的解析式；（2）如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP面积等于6，请求出点M的坐标；（3）如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q．若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．27.如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．矩形CDEF的顶点F的坐标为（﹣2，4），D点与原点重合，将矩形CDEF沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度平移，点D到达点A时运动停止，设运动时间为t秒，矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S．（1）填空：t＝1秒时，点E落在直线AB上；（2）如图2，当0＜t＜1时，求S与t的函数关系式；（3）当矩形CDEF与△ABO重叠部分为四边形，且S＝4时，请直接写出t的值．参考答案一．选择题1．【答案】A．2．【答案】B．3．【答案】C．4．【答案】A．5．【答案】D．6．【答案】D．7．【答案】A．8．【答案】D．9．【答案】A．10．【答案】B．11．【答案】A．12．【答案】C．13．【答案】D．14．【答案】B．15．【答案】C．16．【答案】D．二、填空题17．【答案】y＝﹣x+3．18．【答案】（﹣4，8）或（12，﹣8）．19．【答案】6．20．【答案】2+．21．【答案】y＝3x﹣2．22．【答案】下；1．23.【答案】．24．【答案】×7×＝．三．解答题25.【答案】解：（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b，将A（0，15），B（20，0）代入得：解得∴直线l1的表达式为y＝﹣x+15；解得：∴P（16，3）；（2）①当点F落在直线l2上时，如图：∵正方形EFGH沿射线AB的方向平移，边EH始终与x轴平行∴E始终在射线AB上，当F点F落在直线l2上时，E、F的纵坐标之差等于15∴﹣x+15﹣（x﹣13）＝15解得x＝∴E（，）∵A（0，15）∴AE＝＝∴t＝＝答：t的值为；②（Ⅰ）当正方形EFGH与△PBC重合部分在P左侧时，如图：设HG交直线l1于R，交直线l2于T，交x轴于K∵直线l2：y＝x﹣13与x轴夹角是45°∴△CTK是等腰直角三角形∴TK＝CK设TK＝CK＝m∵S△CTK＝4.5∴m2＝4.5∴m＝3（负值舍去）∴CK＝3∴OK＝OC+CK＝16∴E的横坐标是16﹣15＝1在y＝﹣x+15中，令x＝1得y＝∴E（1，）∴AE＝＝∴t＝＝；（Ⅱ）当正方形EFGH与△PBC重合部分在P右侧时，如图：∵OA＝15，OB＝20∴tan∠ABO＝＝＝设ES＝3n，则BS＝4n∴×3n×4n＝4.5解得n＝（负值已舍去）∴BS＝4n＝2，ES＝3n＝∴BE＝＝∵AB＝＝25∴AE＝AB﹣BE＝25﹣∴t＝＝5﹣综上所述，t的知为或5﹣．26.【答案】解：（1）∵+（p﹣1）2＝0∴a+3＝0，p﹣1＝0∴a＝﹣3，p＝1∴P（1，0），A（0，﹣3）设直线AP的解析式为y＝kx+b∴，解得∴直线AP的解析式为y＝3x﹣3；（2）过M作MD∥AP交x轴于D，连接AD，如图：∵MD∥AP，△MAP面积等于6∴△DAP面积等于6∴DP•|y A|＝6，即DP×3＝6∴DP＝4∴D（﹣3，0）设直线DM为y＝3x+c，则0＝3×（﹣3）+c∴c＝9∴直线DM为y＝3x+9令x＝﹣2得y＝3∴M（﹣2，3）；（3）存在设B（t，3t﹣3）①当Q在x轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，如图：∴OE＝t，BE＝3﹣3t∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形∴BQ＝CQ，∠BQC＝90°∴∠BQE＝90°﹣∠NQC＝∠QCN又∠BEQ＝∠QNC∴△BEQ≌△QNC（AAS）∴QN＝BE＝3﹣3t，QE＝CN＝4∴OQ＝QE﹣OE＝ON+QN，即4﹣t＝2+3﹣3t∴t＝∴OQ＝∴Q（﹣，0）②当Q在y轴正半轴时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，如图：∴BG＝t，OG＝3t﹣3∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形∴BQ＝CQ，∠BCQ＝90°∴∠CQF＝90°﹣∠BQG＝∠GBQ又∠CFQ＝∠BGQ＝90°∴△CQF≌△QBG（AAS）∴CF＝QG＝2，QF＝BG＝t∴OQ＝OG﹣QG＝OF﹣QF，即3t﹣3﹣2＝4﹣t∴t＝∴OQ＝4﹣t＝∴Q（0，）；③Q在y轴正半轴，过C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，如图：∴BT＝t，OT＝3t﹣3同②可证△CFQ≌△QTB（AAS）∴QF＝BT＝t，QT＝CF＝2∴OQ＝OT+QT＝OF+QF，即3t﹣3+2＝4+t∴t＝∴OQ＝4+t＝∴Q（0，）；综上所述，Q的坐标为（﹣，0）或（0，）或（0，）．27.【答案】解：（1）如图1当x＝0时，y＝6当y＝0时，﹣x+6＝0∴x＝6OB＝6，OA＝6∴tan∠ABO＝＝设直线EF交OB于F′∴BF′＝6﹣4＝2∴EF′＝BF′•tan∠ABO＝2＝2∴t＝＝1故答案是：1；（2）当0＜t＜1时∵OD＝2t，DE＝4∴S＝2t•4＝8；（3）当0＜t＜1时8＝4∴t＝如图2当2＜t≤3时∵tan∠BAO＝＝＝∴DG＝AD•tan∠BAO＝（6﹣2t）＝6﹣2t CH＝＝（8﹣2t）＝8﹣2∵S＝＝4∴14﹣4t＝4∴t＝综上所述，t＝或。

第7关以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题(原卷版)-中考数学专题复习

第七关以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题【考查知识点】图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。

折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。

图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，考察内容：①中心对称和中心对称图形的性质和别。

②旋转，平移的性质.【解题思路】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。

在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。

图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，解题方法①熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。

②结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。

③注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。

④关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法,旋转可以移动图形的位置而不改变图形的大小，是全等变换.变换的目的是为了实现已知与结论中的相关元素的相对集中或分散重组，使表面上不能发生联系的元素联系起来．在转化的基础上为问题的解决铺设桥梁，沟通到路．一些难度较大的问题借助平移、对称、旋转的合成及相互关系可能会更容易一些．【典型例题】【例1】（2019·河北中考模拟）如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．①求四边形BHMM′的面积；②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．【例2】（2019·湖南中考模拟）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【例3】（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．【方法归纳】实践操作性试题以成为中考命题的热点，很多省市的压轴的都是这类题型，解决这种类型的题目可从以下方面切入：1.构造定理所需的图形或基本图形.在解决问题的过程中，有时添辅助线是必不可少的。

中考数学复习：专题七：解直角三角形的实际应用

°＝BBDC，解得：BC＝100 6－100 2，则(100 6－100 2)÷4＝25( 6－
2)(海里/时)，则该可疑船只的航行速度为 25( 6－ 2)海里/时
【点评】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题．解题关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
[对应训练] 2．(2016·衡阳)在某次海上军事演习期间，我军为确保△OBC 海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在 O，B，C 处监控△OBC 海域，在雷达显示图上，军舰 B 在军舰 O 的正东方向 80 海里处，军舰 C 在军舰 B 的正北方向 60 海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为 r 的圆形区域．(只考虑在海平面上的探测) (1)若三艘军舰要对△OBC 海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径 r 至少为多少海里？ (2)现有一艘敌舰 A 从东部接近△OBC 海域，在某一时刻军舰 B 测得 A 位于北偏东 60°方向上，同时军舰 C 测得 A 位于南偏东 30°方向上，求此时敌舰 A 离△OBC 海域的最短距离为多少海里？
解：(1)作 BH⊥AF 于点 H，如图，在 Rt△ABH 中，∵sin∠BAH＝BAHB， ∴BH＝800·sin30°＝400，
∴EF＝BH＝400 米 (2)在 Rt△CBE 中，∵sin∠CBE＝BCCE，∴CE＝ 200·sin45°＝100 2≈141.4，∴CF＝CE＋EF＝141.4＋400≈541(米)．答：AB 段山坡高度为 400 米，山 CF 的高度约为 541 米
解：过 B 作 BE⊥AD 于点 E，∵∠NAD＝60°，∠ABD＝75°，∴∠ADB ＝45°，∵AB＝6×4600＝4，∴AE＝2，BE＝2 3，∴DE＝BE＝2 3，∴ AD＝2＋2 3，∵∠C＝90°，∠CAD＝30°，

中考数学复习专题七二次函数与几何图形练习无答案新人教版

第24题图DBCA专题七二次函数与几何图形专题训练类型一二次函数中的线段及周长问题1.如图，已知抛物线y=ax 2bxc （a ≠0）过点A （3，0B （1，0且与y 轴交于点C （0，3点P 是抛物线AC 间上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 、C 不重合过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）求线段PD 的最大值，并求最大值时P 点的坐标；2.如图，抛物线c bx x y ++-=221与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=2,OC=3.（1）求抛物线的解析式；（2））若点D （2,2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△BDP 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由.3.如图，抛物线y=mxmx-3m （m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标； (2)若m=1，动点D 的坐标(1，n ）为使得点D 到点A 、C 的距离之和最小，并求出点D 的坐标；CPxO ABy 4.已知如图，抛物线y=x 2bxc 过点A （3，0B （1，0交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MAMC|最大？若存在请求出点M 的坐标，若不存在请说明理由．类型二二次函数中的面积问题 1. 已知抛物线4212--=x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ，（1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴；（2）求四边形ABMC 的面积.2.抛物线322--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 左侧与y 轴交与点C ， P 为抛物线的顶点，求△BCP 的面积.（至少有个联众方法.提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并就各种解法写出详细的解答过程，比一比那种最快捷）3. 抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧与y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积．（提示：点E 的坐标可以设为（32,2+--x x x x 的取值范围是3＜x ＜0,根据上题求三角形面积的思路建立△EBC 的面积EBC S ∆关于x 的函数关系式，体会点E 位置的不确定性对方法的选择是否有影响)4.如图，抛物线 y=x 2﹣x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧与y 轴交于点C ，M 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）当点M 运动到什么位置时，四边形ABMC 的面积最大，并求出此时M 点的坐标和四边形ABMC 的最大面积．类型三二次函数中的等面积三角形问题1.如图，抛物线与x 轴交于A （1，0）、B （3，0）两点，且函数的最小值4. (1）求该抛物线的解析式.（2）在抛物线上存在一点P 使S △BCP =S △BOC ,若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由 .2.如图，已知抛物线y=﹣x2bxc与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在面直角坐标系内，抛物线y=x2bxc与x轴交于A，B两点（A 在B的左侧与y轴交于点C，且A，B两点的横坐标分别是方程x22x3=0的两个实数根.（1）求抛物线的解析式.（2）在抛物线上是否存在点P，使△PBC中BC边上的高为 2 ?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.4.5. 如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ABP的面积为5? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.yxMBCOA类型四二次函数中等腰三角形的存在问题1.如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交C 点，点A 的坐标为（2，0点C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x= 21 （1）求抛物线的解析式（2）M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求M 点的坐标.2.如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．类型五二次函数中直角三角形的存在问题1.如图，直线y=x2与抛物线y=ax 2bx6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m 点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．2.如图，抛物线y=ax2bxc经过点A（﹣3，0B（1.0C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求写出点M的坐标；若不存在，请说明理由类型六二次函数中特殊四边形的存在问题1. 如图，直线y=﹣3x3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=a（x﹣2）2k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，（1）求a，k的值；（2）在图中求一点Q，A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的点Q的坐标；2.如图，已知抛物线y=x2bxc与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（3）若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 .A C B3.如图，抛物线经过A（1，0B（3，0C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2bxc与y轴交于点A,与x轴交于点B,C, 已知顶点坐标是（3，4）且BC=4.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．类型七二次函数与圆1.如图，已知抛物线y=ax2bx4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为10．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的一个动点，过点P作PN∥BC，交AC于点N，连接CP，当△PNC的面积最大时，求点P的坐标；2.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过点O且与y轴、x轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2bxc经过A、B两点，点C与点M关于x轴对称，已知点M的坐标为（2，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线OC与⊙M的位置关系，并证明；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线OC上的动点，判断是否存在以点P、Q、A、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出相应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型八二次函数与相似三角形1.如图，已知抛物线经过A（2，0B（3，3）及原点O，顶点为C.（1）求抛物线的函数解析式．（2）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

河北省中考数学总复习第二编专题突破篇专题7简单平面几何立体几何与几何直观精练试题

专题七简单平面几何、立体几何与几何直观一、选择题1．(达州中考)如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为( D)A．2 017πB．2 034πC．3 024πD．3 026π2．(金华中考)如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A，B两处各安装了一个监控探头(走廊内所用探头的观测区为圆心角最大可取到180°的扇形)，图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域，要使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是( D) A．E处B．F处C．G处D．H处二、填空题3．(考试说明)如图，这是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是__①②④__．(把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上)4．(改编)如图，圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为__1.3__m．(容器厚度忽略不计)三、解答题5．(自贡中考)如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中(网格的边长为1)中，用直尺作出这个大正方形．解：如图所示：所画正方形即为所求．6．(河北中考)在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3 km和2 km，AB＝a km(a＞1)．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB ＋BA(km)，其中BP⊥l于点P；图②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA＋PB(km)，其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P.观察计算：(1)在方案一中，d1＝__(a＋2)__km；(用含a的式子表示)(2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝__a2＋24__km；(用含a的式子表示)探索归纳(3)①当a＝4时，d1__＜__(选填“＞”“＝”或“＜”)d2；②当a＝6时，d1__＞__(选填“＞”“＝”或“＜”)d2；(4)请你参考方框中的方法指导，就a(当a＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？方法指导当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：∵m2－n2＝(m＋n)(m－n)，m＋n＞0，∴(m2－n2)与(m－n)的符号相同．当m2－n2＞0时，m－n＞0，即m＞n；当m2－n2＝0时，m－n＝0，即m＝n；当m2－n2＜0时，m－n＜0，即m＜n.解：d 21－d 22＝(a ＋2)2－(a 2＋24)2＝4a －20， ①当4a －20＞0，即a ＞5时， d 21－d 22＞0，d 1＞d 2；②当4a －20＝0，即a ＝5时， d 21－d 22＝0，d 1＝d 2；③当4a －20＜0，即a ＜5时， d 21－d 22＜0，d 1＜d 2.综上所述，a ＞5，选方案二；a ＝5，两者均可；a ＜5，选方案一．7．(河北中考)一透明的敞口正方体容器ABCD —A ′B ′C ′D ′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图①所示)．【探究】如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．解决问题：(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm ； (2)求液体的体积；(参考算法：直棱柱体积V 液＝底面积S △BCQ ×高AB ) (3)求α的度数．(注：sin 49°＝cos 41°＝34，tan 37°＝34)图①图②图③ 图④【拓展】在图①的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图③或图④是其正面示意图．若液面与棱C′C 或CB 交于点P ，设PC ＝x ，BQ ＝y.分别就图③和图④求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围．【延伸】在图④的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图⑤，隔板高NM ＝1 dm ，BM ＝CM ，NM ⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm 3.解：(1)CQ ∥BE；3；(2)V 液＝12×3×4×4＝24(dm 3)；(3)在Rt △BCQ 中，tan ∠BCQ ＝34，∴α＝∠BCQ＝37°.答图①【拓展】当容器向左旋转时，如题图③，0°≤α≤37°， ∵液体体积不变， ∴12(x ＋y)×4×4＝24， ∴y ＝－x ＋3，当容器向右旋转时，如题图④，同理得y ＝124－x，当液面恰好到达容器口沿，即点Q 与点B′重合时，如答图①，由BB′＝4，且12×PB×BB′×4＝24，得PB ＝3，∴由tan ∠PB ′B ＝34，得∠PB′B＝37°，∴α＝∠B′PB＝53°，此时37°≤α≤53°.答图②【延伸】当α＝60°时，如答图②所示，设FN∥EB，GB ′∥EB ，过点G 作GH⊥BB′于点H.在Rt △B ′GH 中，GH ＝MB ＝2，∠GB ′B ＝30°， ∴HB ′＝23，∴MG ＝BH ＝4－23＜MN ，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt △NFM 和直角梯形MBB′G 为底面的直棱柱， ∵S △NFM ＋S 直角梯形MBB′G ＝12×33×1＋12(4－23＋4)×2＝8－1136，∴V 溢出＝24－4⎝⎛⎭⎪⎫8－1136＝2233－8＞4(dm 3)，∴溢出液体可以达到4 dm 3.。

初三数学中考复习几何测量问题专项复习训练题含答案

2019 初三数学中考复习几何丈量问题专项复习训练题1. 如图，是某市一座人行天桥的表示图，天桥离地面的高BC 是 10 米，坡面 10 米处有一建筑物 HQ，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的倾斜角∠ BDC＝30°，若新坡面下 D 处与建筑物之间需留下最少 3 米宽的人行道，问该建筑物能否需要拆掉． (结果保存一位小数，参照数据：2≈ 1.414， 3≈ 1.732)2.如图，九年级 (1)班课外活动小组利用标杆丈量学校旗杆的高度，已知标杆高度 CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离 BD ＝15 m，人的眼睛与地面的高度 EF＝1.6 m，人与标杆 CD 的水平距离 DF＝2 m，人的眼睛 E、标杆极点 C 和旗杆极点 A 在同向来线，求旗杆 AB 的高度．3.南海是我国的南大门，以以下图，某天我国一艘海监执法船在南海海疆正在进行常态化巡航，在 A 处测得北偏东 30°方向上，距离为20 海里的B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便快速沿北偏东75°的方向前去督查巡逻，经过一段时间后，在 C 处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前去督查巡逻的过程中行驶了多少海里？(最后结果保存整数，参照数据： cos75°≈ 0.2588，sin75°≈ 0.9659，tan75°≈ 3.732，3≈1.732， 2≈ 1.414)3.某国发生 8.1 级激烈地震，我国踊跃组织抢险队赴地震灾区参加抢险工作，如图，某探测队在地面 A，B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和 60°，且 AB ＝4 米，求该生命第1页/共8页迹象所在地点 C 的深度．(结果精准到 1 米，参照数据：sin25°≈，0cos25.4°≈0，9，tan25°≈ 0，.5 3≈1.7)5. 在同一时辰两根木杆在太阳光下的影子以以下图，此中木杆AB ＝2 m，它的影子 BC＝1.6 m，木杆 PQ 的影子有一部分落在了墙上， PM＝1.2 m，MN ＝1 m，求木杆 PQ 的长度．6.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5 米有一棵树，在北岸边每隔 50 米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15 米的点 P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆 A，B，恰巧被南岸的两棵树 C，D 遮住，而且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．7．小红用下边的方法来丈量学校讲课大楼AB 的高度：如图，在水平川面点E 处放一面平面镜，镜子与讲课大楼的距离AE＝20 米．当她与镜子的距离CE＝2.5 米时，她恰巧能从镜子中看到讲课大楼的顶端 B.已知她的眼睛距地面高度 DC＝1.6 米，请你帮助小红丈量出大楼 AB 的高度． (注：入射角＝反射角 )8．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来丈量操场旗杆AB 的高度，他们经过调整丈量地点，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆极点 A 在同向来线上，已知 DE＝0.5 米， EF＝0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG＝1.5 米，到旗杆的水平距离 DC＝20 米，求旗杆的高度．9．又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去观光“全军会师纪念塔”．下边是两位同学的一段对话：第2页/共8页甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是 1.6 m；乙：我们相距36 m.请你依据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．(精准到 1 m)10. 如图，某水平川面上建筑物的高度为AB ，在点 D 和点 F 处罚别直立高是 2 米的标杆 CD 和 EF，两标杆相隔 52 米，而且建筑物AB 、标杆 CD和 EF 在同一竖直平面内，从标杆 CD 退后 2 米到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条直线上．从标杆 EF 退后 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，求建筑物的高度．11.如图，是小亮夜晚在广场漫步的表示图，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段 PO 表示直立在广场上的灯杆，点 P 表示照明灯的地点．(1)在小亮由 B 处沿 BO 所在的方向行走抵达O 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化状况为________；(2)请你在图中画出小亮站在AB 处的影子；(3)当小亮走开灯杆的距离OB＝4.2 m 时，身高 (AB) 为 1.6 m 的小亮的影长为 1.6 m，问当小亮走开灯杆的距离OD＝6 m 时，小亮的影长是多少？12. 在阳光下，测得一根与地面垂直、长为 1 米的竹竿的影长为 2 米．同时两名同学丈量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上．(1)如图 1，小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教第3页/共8页学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD 为 3.5 米，落在地面上的影长BD为 6 米，求树 AB 的高度；(2)如图 2，小红发现树的影子恰巧落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长 EF 为 8 米，坡面上的影长FG 为 4 米．已知斜坡的坡角为30°，则树的高度为 ____．(本小题直接写出答案，结果保存根号) 13．如图，为丈量学校围墙外直立电线杆 AB 的高度，小亮在操场上点 C 处直立高 3 m 的竹竿 CD，然退后到点 E 处，此时恰巧看到竹竿顶端 D 与电线杆顶端 B 重合；小亮又在点 C1处直立高 3 m 的竹竿 C1D1，然退后到点 E1处，此时恰巧看到竹竿顶端D1与电线杆顶端 B 重合．小亮的眼睛离地面高度 EF＝1.5 m，量得 CE＝2 m，EC1＝6 m，C1E1＝3 m.(1)△FDM ∽△ ____，△ F1D1N∽△ ____；(2)求电线杆 AB 的高度．参照答案：1.解：由题意得， AH ＝10 米， BC＝ 10 米，在 Rt△ABC 中，∠CAB ＝BC 45°，∴AB ＝BC＝10 米，在 Rt△DBC 中，∠CDB＝30°，∴ DB＝tan∠CDB ＝10 3，∴DH ＝AH － AD ＝AH －(DB －AB) ＝10－10 3＋10＝20－10 3≈ 2.7(米)，∵2.7 米＜ 3 米，∴该建筑物需要拆掉2.解：CG EG 如图，∵CD⊥FB，AB ⊥FB，∴CD∥AB ，∴△CGE∽△ AHE ，∴AH＝EH，第4页/共8页CD－EF FD3－1.62即AH ＝FD＋BD，∴AH＝2＋15，∴ AH ＝11.9，∴ AB ＝AH ＋ HB＝AH ＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)3.解：过 B 作 BD⊥AC，∵∠BAC ＝75°－ 30°＝ 45°，∴在 Rt△ABD中，∠ BAD ＝∠ABD ＝45°，∠ ADB ＝90°，由勾股定理得： BD＝AD ＝22×20＝10 2(海里 )，在 Rt△BCD 中，∠ C＝15°，∠ CBD ＝75°，∴ tan CD∠ CBD＝BD，即 CD≈ 10 2× 3.732 ≈ 52.77048(海里 )，则 AC ＝AD ＋DC≈ 10 2＋10 2× 3.732 ≈ 66.91048海≈里67()，即我国海监执法船在前去督查巡逻的过程中约行驶了 67 海里4.解：作 CD⊥AB 交 AB 延伸线于点 D，设 CD＝x 米．在 Rt△ADC 中，CD CD∠ DAC ＝25°，因此 tan25°＝AD＝0.5，因此 AD ＝0.5＝2x.在 Rt△BDC中，x∠ DBC＝60°，因此 tan 60 °＝2x－4＝3，解得 x≈ 3即.生命迹象所在地点C的深度约为 3 米BC DN5. 解：过 N 点作 ND⊥PQ 于 D，以以下图：可知AB＝QD，又∵AB ＝2，AB·DN2×1.2BC＝1.6，DN＝PM＝1.2，NM ＝0.8，∴QD＝BC＝1.6＝1.5，∴PQ ＝QD＋DP＝QD＋NM ＝1.5＋1＝2.5(m)．答：木杆 PQ 的长度为 2.5 m6.解：过 P 作 PF⊥AB ，交 CD 于点 E，交 AB 于点 F，如图，设河宽为x 米．∵AB ∥CD，∴∠ PDC＝∠PBF，∠PCD＝∠PAB，∴△ PDC∽△ PBA，第5页/共8页∴ AB ＝PF ，∴AB ＝ 15＋x ，依题意 CD ＝20 米，AB ＝50 米，∴20＝ 15 ，CD PECD 15 50 15＋x 解得： x ＝22.5.答：河的宽度为22.5 米7. 解：依据反射定律知： ∠FEB ＝∠FED ，∴∠ BEA ＝∠ DEC ，又 ∵ ∠AB AEBAE ＝∠ DCE ＝90°，∴△ BAE ∽△ DCE ，∴ DC ＝ EC ，∵ CE ＝2.5 米，AB20DC ＝1.6 米，∴ 1.6＝2.5，∴ AB ＝12.8，∴大楼 AB 的高为 12.8 米DEEF8. 解：由题意可得： △DEF ∽△ DCA ，则 DC ＝AC ，∵ DE ＝ 0.5 米， EF0.5 0.25＝ 0.25 米，DG ＝1.5 米，DC ＝20 米，∴ 20 ＝ AC ，解得：AC ＝10，故 AB ＝ AC ＋BC ＝10＋1.5＝11.5 米，答：旗杆的高度为 11.5 米9. 解：如图， CD ＝EF ＝BH ＝1.6 m ，CE ＝DF ＝36 m ，∠ ADH ＝ 30°，AH AH∠ AFH ＝60°，在 Rt △AHF 中，∵ tan ∠AFH ＝FH ，∴ FH ＝tan60°，在AH AH Rt △ADH 中，∵ tan ∠ADH ＝DH ，∴ DH ＝tan30°，而 DH －FH ＝DF ，∴AH AH AH AHtan30°－tan60°＝36，即3 －3＝36，∴AH ＝183，∴AB ＝AH ＋BH3＝ 18 3＋1.6 ≈ 33(m)．答：纪念塔的高度约为 33 m10.解： ∵AB ⊥BH ， CD ⊥BH ， EF ⊥BH ， ∴AB ∥CD ∥EF ，∴△ CDG ∽△ ABG ， △EFH ∽△ ABH ， ∴CD ＝ DG ， EF＝AB DG ＋BD AB第6页/共8页FH2FH ＋DF ＋BD ，∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝ 52 m ，FH ＝4 m ， ∴AB ＝ 2 ， 2 ＝ 4 ，∴ 2 ＝ 4，解得 BD ＝52，∴ 2＝ 2＋BD AB 4＋52＋BD 2＋BD 4＋52＋BD AB22＋52，解得 AB ＝54.答：建筑物的高度为54 米11. 解： (1) 由于光是沿直线流传的，因此当小亮由B 处沿 BO 所在的方向行走抵达 O 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化状况为变短(2) 以以下图， BE 即为所求AB BE1.6(3) 先设 OP ＝x 米，则当 OB ＝4.2 米时， BE ＝1.6 米，∴ OP ＝OE ，即 x ＝1.6DF 4.2＋1.6，∴x ＝5.8；当 OD ＝6 米时，设小亮的影长是y 米，∴DF ＋OD ＝CDy1.6 1616OP ，∴6＋y ＝5.8，∴ y ＝7 .即小亮的影长是 7 米CD 112. 解： (1)延伸 AC ，BD 交于点 E ，依据物高与影长成正比得： DE ＝2，即3.5＝1，解得：DE ＝7 米，则 BE ＝7＋6＝13 米，同理AB＝1，即AB＝ 1，DE 2BE213 2解得： AB ＝6.5 米，答：树 AB 的高度为 6.5 米(2)延伸 AG 交 EF 延伸线于 D 点，则 ∠GFD ＝30°，作 GM ⊥ED 于点 M ，在 Rt △GFM 中，∠GFM ＝30°，GF ＝4 m ，∴GM ＝ 2(米)，MF ＝4cos30°＝ 2 3(米)，在 Rt △GMD 中，∵同一时辰，一根长为 1 米、垂直于地面搁置的标杆在地面上的影长为 2 米， GM ＝ 2(米)，GM ∶DM ＝1∶2，∴ DM第7页/共8页1＝ 4(米)，∴ED ＝EF ＋FM ＋MD ＝12＋2 3(米)，在 Rt △AED 中，AE ＝2ED1＝ 2(12＋2 3)＝( 3＋6)米，故答案为： ( 3＋6)米13. 解： (1)△FDM ∽△ __FBG__，△ F 1D 1N ∽△ __F 1BG__；D 1N F 1NDM(2)依据题意，△F 1D 1N ∽△ F 1BG ，∴ BG ＝F 1G ，∵△ FDM ∽△ FBG ，∴ BG＝ FM，∵D 1 ＝ DM ，∴F 1N ＝FM ，即3 ＝ 2 ，∴GM ＝16 m ．∵ FGN F 1G FG GM ＋11 GM ＋2D 1N ＝F 1N ，∴ 1.5＝3，∴ BG ＝13.5 m ，∴ AB ＝BG ＋ GA ＝15(m)，答： BG F 1G BG27电线杆 AB 的高度为 15 m第8页/共8页。

2020中考数学重点题型专题训练：几何测量问题试题

几何测量问题类型1 锐角三角函数的实际应用1. 2018年3月2日，500架无人机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用“硬科技”打造了最具独特的风景线，2018“西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度。

如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高、大雁塔正东面的点F，此时，他测得点F到塔顶点A的俯视角为30°，同时也测得点F到塔底点C的俯视角为45°，已知塔底边心距OC=23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大致高度。

（结果精确到0.1米，3≈1.73，2≈1.41）2.如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离约为49 cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28 cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4 cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）。

（参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.48）3.汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速。

如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40 km/h。

数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速。

在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为C。

测得PC=30 m，∠APC=71°，∠BPC=35°。

上午9时测得一汽车从点A到点B用时6 s，请你用所学的数学知识说明该车是否超速。

（参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90）4.小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD。

中考数学专题复习题型：几何测量问题(针对20题)

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随堂小练
2．(2017原创)如图所示，小明想利用影子测量自己的身高，他让小亮关闭路灯 AB ，打开路灯 CD ，自己在两个路灯之间移动，当走到点 F 处，发现自己的影子顶端恰好落在路灯 AB 的底部；此时小亮又关闭路灯CD，打开路灯AB，发现小明的影子顶端恰好落在路灯CD的底部；已知路灯AB和CD的高度分别是2.55 米和5.1米，路灯AB，CD相距9米，请问这样能测量出小明的身高吗？如果能，请求出小明的身高．
∵某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长为 0.9 m，墙上的影高 CD 为 1.2 m， ∴01.9＝1x.2，解得 x＝1.08(m)， ∴树的影长为：1.08＋2.7＝3.78(m)， ∴01.9＝3.h78，解得 h＝4.2(m)．答：测得的树高为 4.2 米．
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2
【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题. 设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝ 14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD＝10x＋6. 在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【思路点拨】本题考查相似三角形的实际应用. 先求出墙上的影高 CD 落在地面上时的长度，再设树高为 h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出 h 的值即可．
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中考数学几何模型专题专题七—四边形

专题七四边形模型31 中点四边形模型模型展现基础模型已知：点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点结论1：四边形EFGH 是平行四边形；结论2：C 四边形EFCH = AC +BD ；结论3：S 四边形EFGH ＝21S 四边形ABCD 怎么用？ 1.找模型题中已知四边形四条边的中点 2.用模型顺次连接各条边的中点及连接已知四边形的对角线解题满分技法中点四边形模型实质考查的是中位线的判定及性质. 拓展延伸已知△ABC ，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则△DEF 是△ABC 的中点三角形.△DEF 与△ABC 的关系：△C △DEF ＝21C △ABC △S △DEF ＝ 41S △ABC结论分析结论1：四边形EFGH 是平行四边形证明：由题图可知四边形ABCD 被AC 分成两个三角形，△E ，F 分别是AB ，BC 的中点，△EF 为△ABC 的中位线，同理HG 为△ACD 的中位线，△EF//AC ，EF=21AC ，HG//AC ，HG=21AC ，△EF//HG ，且EF=HG ， △四边形EFGH 是平行四边形；结论2：C 四边形EFCH = AC +BD 证明：△四边形EFGH 是平行四边形，△EF=GH ，FG=EH ，△四边形EFGH 的周长为2(EF+FG ). △EF ，FG 分别是△ABC 和△BCD 的中位线，△EF=21AC ，FG=21BD ，△四边形EFGH 的周长为2(EF+FG )=AC+BD ；结论3：S 四边形EFGH ＝21S 四边形ABCD 证明：EF 为△ABC 的中位线，GF 为△BCD 的中位线， HG 为△ACD 的中位线，EH 为△ABD 的中位线，△S △BEF =41S △ABC ，s △CGF =41S △BCD ， S △DHG =41S △ACD ， S △AHE =41S △ABD ，△S △ABC +S △BCD +S △ACD +S △ABD =2S 四边形ABCD ，△S 四边形EFGH =S 四边形ABCD -(S △BEF +S △CGF +S △DHG +S △AHE )=S 四边形ABCD -41S 四边形ABCD =21S 四边形ABCD模型拓展巧学巧记1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形；2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相的垂直的四边形中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形，典例小试例1顺次连接菱形四条边的中点(画出草图,本题即可迎刃而解啦)所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对考什么?菱形的性质和矩形的判定例2若顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形是矩形，(一定是找导致这个结果的最根本原因)则原四边形（）A.一定是矩形B.一定是菱形C.对角线一定互相垂直D.对角线一定相等考什么?矩形的判定思路点拨对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形,但中点四边形是矩形的四边形不一定都是菱形，例3如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD，DA的中点(点拔：矩形中点四边形).若AB=4,AD=6，则图中阴影部分(先判断阴影部分的形状)的面积为；周长为.考什么?矩形的中点四边形,菱形的周长公式及勾股定理思路点拨可通过中点四边形与原四边形的面积、周长关系直接求得,也可以先判断中点四边形的形状,再根据中点四边形的面积、周长公式计算,灵活运用,哪种方法简单用哪种.例4如图,在四边形ABCD中,AC=BD=4(对角线相等),E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点(顺次连接四条边的中点，判断四边形EFGH的形状).则EG2+EH2(遇到线段的平方和,考虑利用勾股定理转化求解)的值为.考什么?中位线的性质,菱形的判定和勾股定理.实战实演1.顺次连接下列四边形各边中点所构成的四边形中为正方形的是（） △平行四边形;△矩形;△菱形;△正方形;△对角线互相垂直且相等的边形 A .△△ B .△△ C .△△ D .△△2.如图,已知菱形A 1B 1C 1D 1的面积为2,顺次连接菱形各边的中点得到四边形A 2B 2C 2D 2,记为第1次操作,再顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2各边的中点得到四边形A 3B 3C 3D 3,记为第2次操作,…,依次类推,则操作2022次后得到的四边形的面积为（）A .(21)2020B .(21)2021C . (41)1011D .(41)20223.如图,已知EF 为△ABC 的中位线,点D 是△BAC 内一点,且在BC 下方,连接BD ,CD ,G ,H 分别是CD ,BD 的中点,连接 AD ,EH ,GH ,FG ,AD 与BC 交于点P . (1)求证:四边形EFGH 为平行四边形；(2)当AD 和BC 满足什么关系时,四边形EFCH 为矩形? 并说明理由； (3)若AB =AC =6,△BAC =600,BD =CD ,当四边形EFCH 为正方形时.求PD 的长.模型32 “十字架”模型模型展现基础模型怎么用?1．找模型在正方形中存在互相垂直的线段,且端点在正方形的边上,看起来像“十字架”2.用模型根据等角(同角）的余角相等,再结合正方形的性质证明两条线段所在三角形全等巧学巧记正方形中的十字架模型,垂直一定相等，但相等不一定垂直.结论分析结论1:若AE⊥BF ,则AE=BF证明:△四边形ABCD为正方形，∴AB= DA, ∠BAF=∠ADE= 90°,△AE⊥BF , ∴∠AGB=90°，∴∠ABF+∠BAG= 90°,△ ∠BAG+∠DAE=90°, ∴∠ABF= ∠DAE.在△ABF和△DAE中，BAF ADE BA ADABF DAE ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABF △△DAE ( ASA )， ∴AE =BF .满分技法对于结论2,可通过HL 证明全等;其他情形的结论均可通过全等或构造全等证明,因此遇到“十字架”模型试题,第一步则考虑用全等. 模型拓展拓展1拓展2满分技法“十字架”模型解题的关键是寻找(构造)两条“十字架线”所在的直角三角形,再利用余角代换证明一组角相等,从而得到全等(正方形中)或相似(矩形中). 结论分析针对拓展1中的结论进行证明,过程如下: 证明: △四边形ABCD 为矩形,∴∠EDC = ∠A = 90°,∴ ∠ADB +∠BDC = 90°,△CE ⊥BD ,∴ ∠DCE +∠BDC = 90°, ∴ ∠DCE =∠ADB , ∴ △DCE △△ADB ,∴CE CD=DB DA拓展延伸拓展2中结论的证明方法同样是证明EF和GH所在两个三角形相似.可考虑平移线段或作垂线(如图△△).典例小试例1如图,在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD边上的点,BE△CF于点G（提示：正方形中遇垂直,知相等,BE=CF），若AB=4,AF= 1,则BE的长（提示：利用勾股定理，先求CF的长）为.考什么?正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理例2如图,正方形ABCD中,点E为BC边上一点,连接AE,作AE的垂直平分线交AB于点G（提示：可知AE=GF ,构造CF为斜边的直角三角形）,交CD于点F,若DF=2,BG=4,则AE的长（提示：先求BE的长,可利用垂直平分线的性质连接GE）为.考什么?正方形的性质,垂直平分线的性质及勾股定理思路点拨若互相垂直的两条线段所在三角形不明显,可考虑作平行或者垂直构造.例3如图,在Rt△ACB中（提示：由直角三角形和BD⊥CE可想到构造矩形）, ∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为AC中点, 连接BD, 过点C作CE△BD交AB于点E,交BD于点F（提示：再延长CE交矩形边于一点,此时十字模型必自现），则CE 的长为.考什么?直角三角形的性质,矩形的判定,相似三角形的判定及性质思路点拨遇见直角三角形中存在互相垂直的两条线段时,可考虑构造矩形或正方形,再结合“十字架”模型的特点解题.实战实演1．如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AD, CD边上的点,且AE=DF ,连接BE,AF交于点M ,N是BF的中点,若AB=10,AE=4,则MN的长为.2.如图,在矩形ABCD中,32BCAB=,点F,G分别为AB,CD上的点，将矩形ABCD沿FG折叠,使点A落在BC边的点E处,点D的对应点为P,PE交CD于点H,连接AE交FG于点O,若tan∠CGP=34, GF=,则CE的长为.例2 如图，在四边形ABCD中,△A+△C= 180°(提示：对角和为180°，且未知角平分线，则考虑相似三角形) ，AD:CD=2:3(提示：有线段比例关系，也会考虑相似三角形)，且AB=4,BC=5,△ABD的面积为2,则△BCD的面积为__________.考什么?相似三角形的判定与性质,三角形的面积计算公式例3 如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,连接BE,CE ,连接AC交BE于点F ,连接DF,若AC△BE(提示：由垂直可知△CFE+△CDE= 180° .考虑相似三角形) ,tan△ADF=31(提示：由正切值可知相似比) ,AD=13,则EF的长为__________.考什么?矩形的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形及勾股定理的应用实战实演1.如图,在等边△ABC中,D为BC边的中点,点E,F分别是.AB,AC边上的点，且△EDF= 120°,若△BDE=45° , DF=6,则BE的长为__________.2.如图,在Rt △ABC 中,△C =60° ,BD △AC 于点D ,以D 为顶点作△EDF =90° ,分别交AB ,BC 于点E ,F ,则DFDE 的值为__________. 3.如图,在平面直角坐标系中,A (-3,0),B 为y 轴正半轴上一点,C 为y 轴负半轴上一点,连接CA ,过点C 作CD △CA ,且使CD = CA ,连接BD ,若△ABD = 90°，则点B 的坐标为__________.4.如图,已知四边形ABCD 为正方形,点E 在对角线AC 上,连接DE ,过点E 作EF △DE ,交BC 于点F ,以DE ,EF 为邻边作矩形DEFG .(1)求证:ED =EF ;(2)连接CG ,若四边形DECG 的面积为9,求CE +CG 的值.模型34 含60°角的菱形基础模型怎么用?1. 找模型题中已知含60°(或120°)角的菱形2. 用模型含60°角的菱形常需要作辅助线,构造等边三角形或者直角三角形,利用特殊三角形的性质或者解直角三角形求解结论分析结论:1. △ABD =△CBD =△BAE =△CAE = 30°;2. △ABC 和△ACD 均为等边三角形;3. S 菱形ABCD =22321BC BD AC =• 证明: △四边形ABCD 为菱形,△ABC = 60°，△△ABD =△CBD =30°(菱形的对角线平分对角) ,AB = BC = CD =AD (菱形的四条边相等)，△△ABC 和△ACD 均为等边三角形(有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形).△AE △BC△△AEB =90°,△ △BAE = 30°△△ABD =△CBD = △BAE =△CAE = 30°.在Rt △ABE 中,,2323BC AB AE ==△S 菱形ABCD =AE BE BD AC •=•21(菱形面积公式)， △S 菱形ABCD =22321BC BD AC =• 满分技法摸清含60°角的菱形中结论的来龙去脉,让此类问题变得和心算一样简单. △AE BC BD AC 21S 菱形ABCD •=•=（菱形面积公式） △2菱形ABCD BC 23BD AC 21S =•= 模型拓展满分技法此模型也可看成半角模型中的120°半角模型，不必惊讶, 很多模型之间都有联系，等学完这本书，你一定要好好总结噢！典例小试例1（ 2021陕西）在菱形ABCD 中，△ABC =60°,连接AC ,BD线段比值遇见特殊角，锐角三角函数跑不了）的值为( )A .21B .22C .23D .33 例2 如图，四边形ABCD 为菱形，△ABC =120°，AC =34，(点拨：已知一条对角线，赶快作另一条对角线)则菱形ABCD 的面积是（）A .38B .12C .18D .163例3（2021南充）如图，在菱形ABCD 中，△A = 60°（点拨：根据60°菱形的性质先判断△DEF 的形状）点E ,F 分别在边AB ,BC 上,AE = BF =2, △DEF 的周长为36（点拨：结合AE 的长可想到过点D 作AB 边的垂线，再解直角三角形），则AD 的长为（）A .6B .32C .13+D .132-实战实演1.如图,在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ,B ,D 在坐标轴上，若点A 的坐标为（0,1）,△BAD =60°,则点C 的坐标为（）A .)2,2(-B .)2,3(-C .)3,3(-D .），（32-2.如图，已知菱形ABCD 的边长为6, △ABC = 120°,点M 是对角线AC 上的动点，则MA +MB +MD 的最小值是（）A .33B .333+C .36+D .363.如图,在菱形ABCD 中，AB =2,△B = 60°,过菱形的对角线交点O 分别作边AB ,BC 的垂线并延长，交各边于点E ,F ,G , H ,则四边形EFGH 的周长为 ________・4.如图△，已知在菱形ABCD 中,△ABC = 60°,点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，连接CE 交BD 于点P .(1)若CE △AB ,试判断线段PD 与PE 的数量关系,并说明理由；(2)如图△，作线段CE 的垂直平分线分别交BD ,CE 于点F ,G ,连接 EF .AF .△求证:AF = EF ；△求△CEF 的度数.。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三部分重难题型分类练题型七二次函数与几何图形综合题

题型七二次函数与几何图形综合题类型一与线段有关的问题1. (2022武汉)抛物线y ＝x 2－2x －3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P .(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP ＝OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m .求FPOP 的值(用含m的式子表示).第1题图2. (2022山西)综合与探究如图，二次函数y ＝－14 x 2＋32 x ＋4的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.点P 是第一象限内．．．．．二次函数图象上的一个动点，设点P 的横坐标为m .过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线BC 交PD 于点E .(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2022包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2，0)，顶点C的坐标是(0，4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G.(1)求该抛物线的解析式；(2)如图①，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2.当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；(3)如图②，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图类型二与图形面积有关的问题4. (2022贺州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．第4题图5. (2022内江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2).(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1∶5两部分，求点P的坐标．6. (2022福建)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx经过A(4，0)，B(1，4)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△P AB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3.判断S 1S 2 ＋S 2S 3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．第6题图类型三角度问题7. (2022无锡)已知二次函数y ＝－14 x 2＋bx ＋c 图象的对称轴与x 轴交于点A (1，0)，图象与y 轴交于点B (0，3)，C ，D 为该二次函数图象上的两个动点(点C 在点D 的左侧)，且∠CAD ＝90°. (1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan ∠CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan ∠CDA 的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图8. (2022呼和浩特)如图，抛物线y ＝－12 x 2＋bx ＋c 经过点B (4，0)和点C (0，2)，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC ，B C.(1)求抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图①，若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在点E ，使得△BDE 是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，点P 是第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PQ ∥y 轴，分别交BC ，x 轴于点M ，N ，当△PMC 中有某个角的度数等于∠OBC 度数的2倍时，请求出满足条件的点P 的横坐标．第8题图类型四与特殊三角形判定有关的问题考向1等腰三角形判定问题9. (2022百色)已知抛物线经过A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF；(3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．10. (2022遂宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3).(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为(0，－2)，求△DEF周长的最小值；(3)如图②，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M，N均在第一象限内，B，N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．第10题图考向2 直角三角形判定问题11. (2022抚顺本溪辽阳)如图，抛物线y ＝ax 2－3x ＋c 与x 轴交于A (－4，0)，B 两点，与y 轴交于点C (0，4)，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45°得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF . (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且DE EO ＝34时，求点D 的坐标；(3)当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．12. (2022柳州)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C(0，5).(1)求b，c，m的值；(2)如图①，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图②，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．第12题图考向3等腰直角三角形判定问题13. (2022吉林省卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)经过点A(1，0)，点B(0，3).点P在此抛物线上，其横坐标为m.(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围；(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2－m.①求m的值；②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．第13题图考向4等边三角形判定问题14. (2021朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3).(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．类型五与特殊四边形判定有关的问题考向1 平行四边形判定问题15. (2022重庆A 卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12 x 2＋bx ＋c 与直线AB 交于点A (0，－4)，B (4，0).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC ＋PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)中PC ＋PD 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴的一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．考向2矩形判定问题16. (2022黔东南州)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接A C.(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．考向3 菱形判定问题17. (2022烟台)如图，已知直线y ＝43 x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x ＝－1. (1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．第17题图考向4 正方形判定问题18. (2022海南)如图①，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A (－1，0)，C (0，3)，并交x 轴于另一点B ，点P (x ，y )在第一象限的抛物线上，AP 交直线BC 于点D. (1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP 的面积；(3)点Q 在抛物线上，当PDAD的值最大且△APQ 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；(4)如图②，作CG ⊥CP ，CG 交x 轴于点G (n ，0)，点H 在射线CP 上，且CH ＝CG ，过GH 的中点K 作KI ∥y 轴，交抛物线于点I ，连接IH ，以IH 为边作出如图所示正方形HIMN ，当顶点M 恰好落在y 轴上时，请直．接写出．．．点G的坐标．第18题图类型六与三角形全等、相似有关的问题考向1全等三角形判定19. (2020陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为点D，点E是l上的点．要使以点P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．第19题图考向2相似三角形判定20. (2022衡阳)如图，已知抛物线y＝x2－x－2交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C.(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y＝－x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第20题图类型七与圆有关的问题21. (2021张家界)如图，已如二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C(2，－3).且与x轴交于原点及点B(8，0).(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；(3)判断△ABO的形状，试说明理由；(4)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为22，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求动点E 的运动时间t的最小值．第21题图。

2024河南中考数学复习几何测量问题强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习几何测量问题强化精练基础题1.(2023河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观，如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的()第1题图A.南偏西70°方向B.南偏东20°方向C.北偏西20°方向D.北偏东70°方向2.(2023南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 处相距()A.x sin α米B.x cos α米C.x ·sin α米D.x ·cos α米第2题图3.如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5m ，坡面AB 的坡度为1∶3，则AB 的长度为()A.10mB.103mC.5mD.53m第3题图4.(2023十堰)如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡，∠ACB ＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C 延伸到D 处，使∠D ＝30°，则CD 的长度约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)()A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米第4题图5.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF ＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是()第5题图A.74.2mB.77.8mC.79.6mD.79.8m6.[新考法——真实问题情境桔槔汲水](2023枣庄)如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为______米．(结果保留根号)第6题图7.四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图①是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F，窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H.图②中，四分仪为正方形ABC D.方井为矩形BEFG.若测量员从四分仪中读得AB为1m，BH为0.5m，实地测得BE为2.5m．则井深BG为________m.第7题图8.(2023广东省卷)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)第8题图9.如图，亮亮和小明打算测量学校操场边一个垂直于路面的路灯PH的高度，他们在晚上路灯亮后来到路灯附近，亮亮先蹲在点A处，在路灯的照射下，亮亮的头顶最高处B的影子落在点C处，AB⊥AH，小明测得AB＝0.9m，AC＝1.2m，接下来亮亮站起来，在路灯的照射下，亮亮的头顶最高处D的影子落在点E处，AD⊥AH，小明测得AD＝1.6m，AE＝2.4m，求路灯PH的高度．第9题图拔高题10.如图，小明和小华利用学过的知识测量操场旗杆CD的高度，测量时，小明让小华站在点B处，此时，小华影子的顶端与旗杆的影子顶端在点E处重合，且BE的长为2米；小明又让小华沿着射线BD的方向走15.2米到达旗杆的另一侧N处，此时，小华观测到旗杆顶端C的仰角为45°，已知小华的身高为1.8米，请你根据相关测量信息，计算旗杆CD的高度．第10题图11.(2023甘肃省卷)如图①，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离(图①).为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图第11题图①第11题图②说明如图②，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN.测量数据∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)参考答案与解析1.D【解析】∵南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．2.B 【解析】∵在Rt △ABC 中，cos α＝AB AC ，∴AC ＝AB cos α＝x cos α.3.A 【解析】∵坡面AB 的坡度为BC AC ＝5AC ＝1∶3，∴AC ＝53m ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10m.4.D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴AC＝AB ＝5米，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠D ＝30°，∴AB AD ＝tan ∠ADB ＝tan 30°＝33，∴AD ＝3AB ＝53，∴CD ＝AD －AC ＝53－5≈1.732×5－5＝3.66(米)，∴CD 的长度约为3.66米.5.B 【解析】在△DEF 和△DCB 中，∵∠D ＝∠D ，∠DEF ＝∠DCB ＝90°，∴△DEF ∽△DCB ，∴DE EF ＝CD CB ，即1812＝114CB，解得CB ＝76(m)，∵AC ＝1.8m ，∴AB ＝AC ＋BC ＝1.8＋76＝77.8(m)，即步云阁的高度AB 是77.8m.6.3＋2【解析】如解图，过点O 作OC ⊥BT ，垂足为C ，由题意得：BC ∥OM ，∴∠AOM ＝∠OBC ＝45°，∵AB ＝6米，AO ∶OB ＝2∶1，∴AO ＝4米，OB ＝2米，在Rt △OBC 中，BC ＝OB ·cos 45°＝2×22＝2(米)，∵OM ＝3米，∴此时点B 到水平地面EF 的距离＝BC ＋OM ＝(3＋2)米．第6题解图7.4【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，∵BE ＝2.5m ，BH ＝0.5m ，∴HE ＝BE －BH ＝2.5－0.5＝2m ，∵四边形BEFG 是矩形，∴BG ＝EF ，∠BEF ＝90°，∴∠HBA ＝∠FEH ＝90°，∵∠AHB ＝∠FHE ，∴△ABH ∽△FEH ，∴AB FE ＝BH EH ，∴1EF ＝0.52，∴EF ＝4m ，∴BG ＝EF ＝4m.8.解：如解图，连接AB ，取AB 中点D ，连接CD ，∵AC ＝BC ，D 为AB 中点，∴AD ＝BD ＝12AB ，∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝50°，CD ⊥AB ，在Rt △ACD 中，sin ∠ACD ＝AD AC，∴sin 50°＝AD 10，∴AD ＝10×sin 50°≈7.66(m)，∴AB ＝2AD ＝2×7.66＝15.32≈15.3(m)，答：A ，B 两点间的距离约是15.3m ．第8题解图9.解：∵AB ⊥AH ，AD ⊥AH ，∴△CBA ∽△CPH ，△EDA ∽△EPH ，∴AB HP ＝AC HC ，AD HP ＝AE HE，即0.9HP ＝1.2HC ，1.6HP ＝2.4HE，∴CH ＝43PH ，EH ＝32PH ，∴EH －CH ＝16PH ＝CE ＝AE －AC ＝1.2，∴PH ＝7.2m ，∴路灯PH 的高度为7.2m.10.解：如解图，连接AM 交CD 于点P ，则AM ⊥CD ，PD ＝AB ＝MN ＝1.8米，设CP ＝x 米，∵∠PMC ＝45°，∴PM ＝CP ＝x 米，∴AP ＝(15.2－x )米，∵AB ∥CD ，AM ∥EN ，∴△ABE ∽△CPA ，∴AB CP ＝BE PA，∴1.8x ＝215.2－x，解得x ＝7.2，∴CP＝7.2米，∴CD＝CP＋PD＝7.2＋1.8＝9(米).答：旗杆CD的高度为9米．第10题解图11.解：如解图，过点A作AF⊥MN，垂足为点F，设BF＝x cm，∵BC＝9cm，∴CF＝BC＋BF＝(x＋9)cm，在Rt△ABF中，∵∠ABF＝∠DBN＝35°，∴AF＝BF·tan35°≈0.7x(cm)，在Rt△ACF中，∵∠ACF＝∠ECN＝22°，∴AF＝CF·tan22°≈0.4(x＋9)cm，∴0.7x＝0.4(x＋9)，解得x＝12，∴AF＝0.7x＝8.4(cm)，答：新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm.第11题解图。

2024年中考数学一轮复习题型突破与专题训练—几何测量问题(含解析)

2024年中考数学一轮复习题型突破与专题训练—几何测量问题（含解析）题型一全等测距1．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为m．【答案】4【解析】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴BC﹣FC＝EF﹣FC，即BF＝CE＝5m，∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14m﹣5m﹣5m＝4m；故答案为：4．【总结】：本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连结BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出的长就等于AB的长．这是因为可根据方法判定△ABC≌△DEC．【解析】解：量出DE的长就等于AB的长．这是因为可根据SAS方法判定△ABC≌△DEC．故答案为：DE，SAS．总结：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．3．小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝CB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE 的长度就是AB的长．（1）按小明的想法填写题目中的空格；（2）请完成推理过程．【解析】解：（1）在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝CB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE的长度就是AB 的长．故答案为：CB，DE；（2）由题意得DG⊥BF，∴∠CDE＝∠CBA＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB（全等三角形的对应边相等）．4．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．【解析】证明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠BDE又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE∴△EDC≌△ABC（ASA），∴DE＝BA．总结：本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．5．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10(33)海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60︒的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45︒方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？【答案】（1）；（2）海监船由B处开始沿南偏东小于75︒的方向航行能安全通过这一海域【分析】⊥，交AB的延长线于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三(1)如图1,作PC AB角形APC计算即可;(2)作差比较x与r的大小，判断有危险；以P为圆心，半径r为10(3作圆，作圆的切BD计算∠PBD的大小，从而得到∠CBD的大小，从而判断即可.线,【详解】⊥，交AB的延长线于C，解：（1）如图1，作PC AB由题意知：30PAC ∠=︒，45PBC ∠=︒．设PC x =：则BC x =，3tan 303202PC x AC x ︒===+ ，解得102(31)x =+，经检验：102(31)x =+是原方程的根，且符合题意，2206202PA x ∴==+；（2）102(31)103(31)10(31)(23)0x r -=+-+=+-< ，x r ∴<．因此海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD ，以P 为圆心，10(33)+为半径作圆，过B 作圆P 的切线,BD 交P 于点D ，∴∠PDB=90°，由（1）得：2,PB x =∴sin r PBD PB ∠=，∴∠PBD=60°，∴∠CBD=15°，∴海监船由B 处开始沿南偏东小于75︒的方向航行能安全通过这一海域．【点睛】本题考查了方位角，特殊角的三角函数值，解直角三角形，圆的切线的判定，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活解直角三角形是解题的关键．题型二相似测距6.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，某一高楼的影长为60m ，那么这幢高楼的高度是（）A ．18mB ．20mC ．30mD ．36m【答案】D【分析】设此高楼的高度为x 米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x 的比例式，求出x 的值即可．【解析】解：设这幢高楼的高度为x 米，依题意得：1.8360x =，解得：36x =．故这栋高楼的高度为36米．故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．7.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m 时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm ，当测试距离为3m 时，最大的“”字高度为（）mmA ．4.36B ．29.08C ．43.62D ．121.17【答案】C【分析】根据题意，得CAB FAD ∠=∠、90ABC ADF ∠=∠=︒，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．【解析】根据题意，得CAB FAD ∠=∠，且90ABC ADF ∠=∠=︒∴ABC ADF△∽△∴BC DF AB AD=∴72.7343.62mm 5BC AD DF AB ⨯⨯===故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．8.如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；（2）量得测角仪的高度CD a =；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A ．tan a b α+B ．sin a b α+C ．tan b a α+D ．sin b a α+【答案】A【解析】【分析】延长CE 交AB 于F ，得四边形CDBF 为矩形，故CF=DB=b ，FB=CD=a ，在直角三角形ACF 中，利用CF 的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF 的长，从而可求出旗杆AB 的长．【详解】延长CE 交AB 于F ，如图，根据题意得，四边形CDBF 为矩形，∴CF=DB=b ，FB=CD=a ，在Rt △ACF 中，∠ACF=α，CF=b ，tan ∠ACF=AFCF∴AF=tan tan CF ACF b α∠=,AB=AF+BF=tan a b α+，故选：A ．【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．9．一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G 处放置一个小平面镜，当一位同学站在F 点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A 的像，此时测得FG ＝3m ，这位同学向古树方向前进了9m 后到达点D ，在D 处安置一高度为1m 的测角仪CD ，此时测得树顶A 的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF ＝1.5m ，点B ，D ，G ，F 在同一水平直线上，且AB ，CD ，EF 均垂直于BF ，求这棵古树AB 的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【答案】（9＋m【分析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH ＝BD ，BH ＝CD ＝1m ，由锐角三角函数定义求出BD ＝CH ，再证△EFG ∽△ABG ，得EF FGAB BG=，求出AH ＝（8＋m ，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH ＝BD ，BH ＝CD ＝1m ，由题意得：DF ＝9m ，∴DG ＝DF ﹣FG ＝6（m ），在Rt △ACH 中，∠ACH ＝30°，∵tan ∠ACH ＝AH CH ＝tan30°∴BD ＝CH ，∵EF ⊥FB ，AB ⊥FB ，∴∠EFG ＝∠ABG ＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF ＝∠AGB ，∴△EFG ∽△ABG ，∴EF FG AB BG=，即 1.51AH =+解得：AH ＝（8＋m ，∴AB ＝AH ＋BH ＝（9＋m ，即这棵古树的高AB 为（9＋m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG ∽△ABG 是解题的关键．10.如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A 处测得小岛P 位于其西北方向（北偏西45︒方向），2小时后轮船到达B 处，在B 处测得小岛P 位于其北偏东60︒方向．求此时船与小岛P 1.414≈， 1.732≈）．【答案】此时船与小岛P的距离约为44海里【解析】【分析】过P作PH⊥AB，设PH=x，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x值即可求解【详解】如图，过P作PH⊥AB，设PH=x，由题意，AB=60，∠PBH=30º，∠PAH=45º，在Rt△PHA中，AH=PH=x,在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，∴tan30º=PH BH，即3360xx=-，解得：30(31)x=-，∴PB=2x=31)-≈44（海里），答：此时船与小岛P的距离约为44海里．【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．11．如图，小华遥控无人机从点A 处飞行到对面大厦MN 的顶端M ，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A 测得大厦底部N 的俯角为31°，两楼之间一棵树EF 的顶点E 恰好在视线AN 上，已知树的高度为6米，且12FN FB =，楼AB ，MN ，树EF 均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM 约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】38米【分析】过A 作AC MN ⊥于C ，易证EFN ABN △∽△，得318()AB EF m ==，则18CN m =，再由锐角三角函数求出30()AC m ≈，然后在Rt ACM 中，由锐角三角函数定义求出AM 的长即可．【详解】解：过A 作AC MN ⊥于C ，如图所示：则CN AB =，AC BN =，12FN FB =，∴13FN BN =，由题意得：6EF m =，AB BN ⊥，EF BN ⊥，//AB EF ∴，EFN ABN ∴△∽△，∴13EF FN AB BN ==，318()AB EF m ∴==，18CN m ∴=，在Rt ACN △中，3tan tan 310.605CN CAN AC ∠==︒≈=，551830()33AC CN m ∴≈=⨯=，在Rt ACM 中，4cos cos370.805AC MAC AM ∠==︒≈=，553038()44AM AC m ∴≈=⨯≈，即无人机飞行的距离AM 约是38m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明EFN ABN △∽△是解题的关键．题型三锐角三角函数测距12．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i =，且点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是（）A ．()10320mB ．()10310m +C ．203mD ．40m【答案】A【分析】过D 作DF BC ⊥于F ，DH AB ⊥于H ，得到DH BF =，BH DF =，设DF x =m ，3CF m ，根据勾股定理得到22220()CD DF CF x m =+==，求得10BHDF m ==，103CF m =，33330)(103)()33AH m ==+=+，于是得到结论．【详解】解：过D 作DF BC ⊥于F ，DH AB ⊥于H ，DH BF ∴=，BH DF =，斜坡的斜面坡度3i =∴3DF CF=设DF x =m ，3CF x m ，22220()CD DF CF x m ∴+==，10x ∴=，10BH DF m ∴==，3CF m =，(10330)DH BF m ∴==，30ADH ∠=︒ ，30)(10)AH m ∴==+，(20AB AH BH m ∴=+=+，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos 350.8︒≈，tan 350.7︒≈，结果保留整数）（）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m【答案】C根据题意易得OA ⊥MN ，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m ，AB=40m ，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：OA ⊥MN ，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m ，AB=40m ，∴95m OB OA AB =-=，∴135==150m tan 0.9OA ON N =∠，95=136m tan 0.7OB OM M =≈∠，∴286m MN OM ON =+=；故选C ．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．14．小明用一块含有60°（∠DAE ＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB 为1.62m ，小明与树之间的水平距离BC 为4m ，则这棵树的高度约为___m ．（结果精确到0.1m ≈1.73）【答案】8.5【分析】先根据题意得出AD 的长，在Rt △AED 中利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由CE ＝CD+DE 即可得出结论．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是矩形，∵BC＝4m，AB＝1.62m，∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，在Rt△AED中，∵∠DAE＝60°，AD＝4m，∴DE＝AD•tan60°＝＝m），∴CE＝ED+DC＝（m）答：这棵树的高度约为8.5m．故答案为：8.5．【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．15．某校数学社团开展“探索生活中的数研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37︒，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE项端A处的俯角是42.6︒．试求大楼BC的高度．（参考数据：3sin375︒≈，4cos375≈︒，3tan374︒≈，17sin42.625︒≈，34cos42.645︒≈，9 tan42.610︒≈）【答案】96米【分析】延长AE 交CD 延长线于M ，过A 作AN ⊥BC 于N ，则四边形AMCN 是矩形，得NC=AM ，AN=MC ，由锐角三角函数定义求出EM 、DM 的长，得出AN 的长，然后由锐角三角函数求出BN 的长，即可求解．【详解】延长AE 交CD 于点M ，过点A 作AN BC ⊥，交BC 于点N ，由题意得，90AMC NCM ANC ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMCN 为矩形，∴NC AM =，NA CM =.在Rt EMD △中，90EMD ∠=︒，∴sin EM EDM ED ∠=，cos DM EDM ED ∠=，∴sin 3720EM ︒=，cos3720MD ︒=，∴320sin 3720125EM =⋅≈⨯=︒，∴420cos3720165DM =⋅︒≈⨯=.在Rt BNA △中，90BNA ∠=︒，∴tan BN BAN AN ∠=，∴tan 42.67416BN ︒=+，∴990tan 42.6908110BN =≈⨯=︒，∴8131296BC BN AE EM =++=++=.答：大楼BC 的高度约为96米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度．如图所示，测得斜坡BE 的坡度1:4i =，坡底AE 的长为8米，在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°，在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60︒，求树高CD ．（结果保留根号）【答案】3)+米．【分析】作BF ⊥CD 于点F ，设DF=x 米，在直角△DBF 中利用三角函数用x 表示出BF 的长，在直角△DCE 中表示出CE 的长，然后根据BF-CE=AE 即可列方程求得x 的值，进而求得CD 的长．【详解】解：作BF CD ⊥于点F ，设DF x =米，在Rt DBF ∆中，tan DF DBF BF ∠=，则tan 30DF BF =︒（米)，∵14AB AE =，且AE=8∴2AB =∴2CF AB ==在直角DCE ∆中，(2)DC x CF x =+=+米，在直角DCE ∆中，tan DC DEC EC∠=，22)tan 60x EC x +∴==+︒米．BF CE AE -= 2)8x -+=．解得：1x =+，则123)CD =++=米．答：CD 的高度是3)米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，）【答案】7【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．【详解】假设点D移到D’的位置时，恰好∠α=39°，过D点作DE⊥AC于E点，作D’E⊥AC于E’∵CD=12，∠DCE=60°∴CE=CD·cos60°=6∵DE ⊥AC ，D’E’⊥AC ，DD’∥CE’∴四边形DEE’D’是矩形∴''DD EE =∵∠D’CE’=39°∴CE′=tan 390.81D F ''︒≈≈13∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．即'7DD =答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．【点睛】本题考查了解直角三角的应用，锐角三角函数是解题的关键．18.如图，某楼房AB 顶部有一根天线BE ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C ，D ，A ，在点C 处测得天线顶端E 的仰角为60︒，从点C 走到点D ，测得5CD =米，从点D 测得天线底端B 的仰角为45︒，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，25AB =米．（1）求A 与C 之间的距离；（2）求天线BE 的高度．（参考数据： 1.73≈，结果保留整数）【答案】（1）,A C 之间的距离为30米；（2）天线BE 的高度约为27米．【解析】【分析】（1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB ，已知CD=5，不难算出A 与C 之间的距离．（2）根据题意，在Rt ACE △中，60ACE ∠=︒，利用三角函数可算出AE 的长，又已知AB ，故EB 即可求解．【详解】（1）依题意可得，在Rt ABD △中，45ADB ∠=︒，25AD AB ∴==米，5CD = 米，25530AC AD CD ∴=+=+=米.即,A C 之间的距离为30米．（2）在Rt ACE △中，60ACE ∠=︒，30AC =米，30tan 60AE ∴=⋅︒=（米），25AB =米，25)(BE AE AB ∴=-=-米．173≈．．并精确到整数可得27BE ≈米．即天线BE 的高度约为27米．【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键．19．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【答案】68.5m【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．【详解】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．则AE＝50m，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），在Rt △AED 中，DE ＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m ），∴CD ＝CE ＋DE≈26.5＋42＝68.5（m ）．答：铁塔CD 的高度约为68.5m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，求出CE 、DE 的长是解题的关键．20.如图，,AB CD 两楼地面距离BC 为米，楼AB 高30米，从楼AB 的顶部点A 测得楼CD 顶部点D 的仰角为45度．（1）求CAD ∠的大小；（2）求楼CD 的高度（结果保留根号）．【答案】（1）75°；（2）30+【解析】【分析】（1）如图：过点A 作AE CD ⊥于点E ，在Rt △ABC 中运用三角函数可得tan 3ACB ∠=，即30ACB ︒∠=、进一步可得∠EAC=30°，再结合45EAD ︒∠=即可解答；（2）先根据题意求得DE=AE=,然后在Rt △ACE 中解直角三角形求得CE ，最后利用CD=CE+DE 进行计算即可．【详解】（1）如图：过点A 作AE CD ⊥于点E ，∵在Rt △ABC 中，30BC AB ==3tan 3AB ACB BC ∴∠==30ACB ︒∴∠=30ACB EAC︒=∠∴∠=∵AE//BC45EAD ︒∠= 75CAD CAE DAE ︒∴∠=∠+∠=；(2)∵在RtAED 中，AE=BC=，∠DAE=45°∴DE=AE=∵在Rt △ACE 中，∠CAE=30°∴CE=tan30°·AE=3030CD CE DE ∴=+=+．【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题的关键．。

初中数学总复习几何与测量知识点与例题

初中数学总复习几何与测量知识点与例题一、知识点总结几何学是数学的一个分支，主要讨论对象为图形和空间。

测量学是几何学的一个重要分支，主要研究如何测量物体的大小、长短和距离。

初中数学的几何与测量主要涉及以下知识点：1. 图形的基本概念：点、线、面、角等2. 几何图形的分类与性质：直线、射线、线段、角度、三角形、四边形、平行四边形、梯形、圆等3. 图形和物体的相似性：相似、全等的概念和判定4. 角度的度量和转化：度角制、弧度制5. 黄金分割、相似比例等相关应用二、例题以下为初中数学几何与测量相关的例题：例题1已知矩形ABCD的长为6，宽为4，点E在线段BC上，且BE:EC = 3:1，则三角形AED的面积为？解题思路因为BE:EC = 3:1，所以我们可以设BE=3x，EC=x因此，用勾股定理可得AE=√（AD²+DE²）计算出AE=5所以，三角形AED的面积为S=1/2×AE×DE=1/2×5×4=10答案三角形AED的面积为10例题2请问，直角三角形中，两条直角边分别为3和4的三角形，斜边长为？解题思路根据勾股定理可得，斜边长c为√（3²+4²）计算得到，c=5答案斜边长为5三、总结几何与测量是初中数学中非常重要的一个模块，我们需要掌握基本概念和性质，能够判断图形相似和全等，并能够运用其相关知识解决实际问题。

同时，我们还需要注意常见错误，例如在计算三角形面积时忘记除以2。

希望同学们能够在初中数学几何与测量方面夯实自己的基础，感谢阅读。

2024年中考数学总复习专题07不等式(组)命题14不等式(组)

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中考命题14 不等式(组)
∴a＝－3，b＝2， ∴(a＋b)2 023＝(－3＋2)2 023＝ (－1)2 023＝－1. 故选 B.
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中考命题14 不等式(组)
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3．[2022 杭州，4，3 分]已知 a，b，c，d 是实数，若
A a>b，c＝d，则( )
∴这 3 个整数解为 2，3，4，∴4<8＋2 a ≤5，解得 0<a≤2.故选 C.
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中考命题14 不等式(组)
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7．[2020 德州，9，4 分]若关于 x 的不等式组
A 2－2 x>2x3－4，的解集是 x<2，则 a 的取值范围是(
)
－3x>－2x－a
A．a≥2 B．a<－2 C．a>2
B －1<x<1，则(a＋b)2 023＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．2 023
答案：B 解析：xx－＋a1><2b，，①②
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中考命题14 不等式(组)
解不等式①，得 x>2＋a，解不等式②，得 x<b－1， ∴原不等式组的解集为 2＋a＜x<b－1. ∵不等式组的解集是－1<x<1， ∴2＋a＝－1，b－1＝1，
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中考命题14 不等式(组)
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中考命题14 不等式(组)
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x≥3－2x，① 13．[2021 福建，19，8 分]解不等式组：x－2 1－x－6 3<1Ｗ．②

(四川版)2017中考数学专题总复习专题七与几何测量有关的应用试题

2023年全国中考数学试题几何知识应用专题汇编及答案

2023年全国中考数学试题几何知识应用专题汇编及答案简介本文档提供了2023年全国中考数学试题中涉及的几何知识应用专题的汇编及答案。

通过深入理解和掌握这些专题，考生可以更好地应对中考中与几何有关的问题，并提高数学成绩。

专题一：平行线与平行四边形题目：1. 已知△ABC中，AB∥CD，AB的延长线与CD相交于点E，若m∠ABC = 50°，求m∠ECD的度数。

答案：130°2. 在平行四边形ABCD中，AB = 10 cm，BC = 8 cm，延长线AB交CD于点E，若m∠EAD = 40°，求m∠BEC的度数。

答案：140°专题二：相似三角形与比例题目：1. 已知△ABC与△DEF相似，且AB = 6 cm，BC = 8 cm，DE = 9 cm，EF = 12 cm，求△ABC与△DEF的周长比值。

答案：3:42. △ABC与△DEF相似，AB = 12 cm，BC = 16 cm，DE = 3 cm，求DE的延长线与BC相交的点F到BC的距离。

答案：4 cm专题三：直角三角形与勾股定理题目：1. 在直角三角形ABC中，AC = 5 cm，BC = 12 cm，求AB的长度。

答案：13 cm2. 直角三角形ABC中，AC = 8 cm，BC = 15 cm，若AB延长线与BC延长线相交于点D，求BD的长度。

答案：7.5 cm专题四：圆的性质与应用题目：1. 在圆O中，弧 AB 的度数是 120°，则它所对的圆心角的度数为多少。

答案：240°2. 已知圆O的半径为5 cm，圆心角的度数是 60°，求弧长的长度。

答案：5π cm专题五：三角形的面积与海伦公式题目：1. △ABC中，AB = 5 cm，BC = 8 cm，CA = 7 cm，求△ABC 的面积。

答案：17.32 cm²2. △ABC中，BC = 6 cm，CA = 8 cm，AB = 10 cm，若△ABC 的面积为24 cm²，求△ABC的高。

2023中考数学图形的测量历年真题及答案

2023中考数学图形的测量历年真题及答案一、直角三角形的测量真题：已知直角三角形 ABC，且AB = 3 cm，BC = 4 cm，求直角边 AC 的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方。

设直角边 AC 的长度为 x，则有 x² = 4² - 3²，即 x² = 16 - 9，解得 x² = 7，所以x = √7 cm。

二、平行四边形的测量真题：平行四边形 ABCD 中，已知 AB = 8 cm，BC = 6 cm，寻找四边形的对角线 BD 的长度。

解答：由平行四边形的性质可知，对角线将平行四边形分成两个全等的直角三角形。

利用勾股定理计算直角三角形 ABD 的边长，设对角线 BD 的长度为 x，根据勾股定理，8² + 6² = x²，即 x² = 64 + 36，解得x² = 100，所以x = √100 cm，即 x = 10 cm。

三、圆的测量真题：已知半径为 5 cm 的圆，求其周长和面积。

解答：圆的周长公式：C = 2πr，半径为 5 cm，则周长C = 2π * 5 =10π cm。

圆的面积公式：A = πr²，半径为 5 cm，则面积A = π * 5² = 25π cm²。

四、等边三角形的测量真题：已知等边三角形的周长为 15 cm，求其边长。

解答：等边三角形的边长相等，所以周长等于三倍的边长。

设等边三角形的边长为 x，则有 3x = 15，解得 x = 5 cm。

五、长方形的测量真题：已知长方形的长为 10 cm，宽为 6 cm，求其周长和面积。

解答：长方形的周长公式：C = 2（长 + 宽），长为 10 cm，宽为 6 cm，则周长 C = 2（10 + 6） = 32 cm。

长方形的面积公式：A = 长 * 宽，长为 10 cm，宽为 6 cm，则面积A = 10 * 6 = 60 cm²。

中考数学测量类应用题综合测试卷

中考数学测量类应用题综合测试卷一、单选题(共5道，每道20分)1.如图,大海中有A和B两个岛屿,为测量它们之间地距离,在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°,∠BEQ=30°。

在点F处测得∠AFP=60°,∠BFQ=60°,EF=1km.(1)AB与AE地数量关系为( )A. B.AB=AEC. D.不确定2.(2)如图,大海中有A和B两个岛屿,为测量它们之间地距离,在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°,∠BEQ=30°。

在点F处测得∠AFP=60°,∠BFQ=60°,EF=1km.两个岛屿A和B之间地距离为( )(结果精确到0.1km).(参考数据:≈1.73,sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49,sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)A.3.6kmB.3.64kmC.3.4kmD.3.9km3.如图,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C地仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得点C地仰角为45°,已知OA=100M,山坡坡度(竖直高度与水平宽度地比)i=1:2,且O、A、B在同一条直线上.电视塔OC地高度为( )km,此人所在位置点P地铅直高度为( )km.(测倾器高度忽略不计,结果保留根号形式)A. B.C. D.4.如图,在东西方向地海岸线上有一长为1千M地码头MN,在码头西端M地正西方向30千M处有一观察站O.某时刻测得一艘匀速直线航行地轮船位于O地北偏西30°方向,且与O 相距千M地A处。

经过40分钟,又测得该轮船位于O地正北方向,且与O相距20千M地B处.(1)该轮船航行地速度为( )A.km/hB.15km/hC.km/hD.30km/h5.(2)如图,在东西方向地海岸线上有一长为1千M地码头MN,在码头西端M地正西方向30千M处有一观察站O.某时刻测得一艘匀速直线航行地轮船位于O地北偏西30°方向,且与O相距千M地A处。