第二章 圆锥曲线与方程 导学案

§2.1.1 曲线与方程（1）

1．理解曲线的方程、方程的曲线；

2．求曲线的方程．

一、课前准备

（预习教材理P34~ P36，找出疑惑之处）

复习1：画出函数2

2

y x

=(12)

x

-≤≤的图象．

复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：

到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．

问题：能否写成y x

=，为什么？

新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程(,)0

F x y=之间，

如果具有以下两个关系：

1．曲线C上的点的坐标，都是的解；2．以方程(,)0

F x y=的解为坐标的点，都是

的点，

那么，方程(,)0

F x y=叫做这条曲线C的方程；

曲线C叫做这个方程(,)0

F x y=的曲线．

注意：1︒如果……，那么……；

2︒“点”与“解”的两个关系，缺一不可；

3︒曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；

4︒曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：

1．点(1,)P a在曲线2250

x xy y

+-=上，则a=___ ．2．曲线20

x xy by

+-=上有点(1,2)

Q，则b= ．

新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．

※典型例题

例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)

k k>的点的轨迹方程式是xy k

=±．

变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50

y-=吗？

例2设,A B两点的坐标分别是(1,1)

--，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)

A，(2,0)

B-，(2,0)

C．中线A O（O为原点）所在直线的方程是0

x=吗？为什么？

反思：BC边的中线的方程是0

x=吗？

2

§2.1.2 曲线与方程（2）

1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．

一、课前准备

（预习教材理P 36~ P 37，找出疑惑之处） 复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．

复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?

二、新课导学 ※ 学习探究

引入：

圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．

问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．

探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．

※ 典型例题

例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于

这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．

变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是

2

，求曲线的方程．

小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；

点(,)P a b 到y 轴的距离是 ； 点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是 ．

例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．

※动手试试

练1．有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到直线10

x y

+-=的距离的2倍，试求曲线的方程．

练2. 曲线上的任意一点到(3,0)

A-,(3,0)

B两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．

三、总结提升

※学习小结

1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．

※知识拓展

圆锥曲线的统一定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线．

01

e

<<：椭圆；

1

e=：抛物线；

1

e>：双曲线．

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．方程[]

2

(3412)log(2)30

x y x y

--+-=的曲线经过点(0,3)

A-，(0,4)

B，(4,0)

C，

57

(,)

34

D-中的（）.

A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知(1,0)

A，(1,0)

B-，动点满足

2

MA MB

-=,则点M的轨迹方程是（）. A．0(11)

y x

=-≤≤B．0(1)

y x

=≥

C．0(1)

y x

=≤-D．0(1)

y x

=≥

3．

曲线y=与曲线0

y x

+=的交点个数一定是（）．

A．0个B．2个C．4个D．3个4．若定点(1,2)

A与动点(,)

P x y满足4

OP OA

∙=

,则点P的轨迹方程是．

5．由方程111

x y

-+-=确定的曲线所围成的图形的面积是．

1．以O为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？

2．已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线C A与x 轴交于点A，过点C且与直线C A垂直的直线C B与y轴交于点B．设点M是线段AB的中点，求点M 的轨迹方程．

4