北师大版高中数学必修31.9最小二乘估计同步测试题3篇

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最小二乘估计同步练习◆知识检测1．5个学生的数学和物理成绩如下表：学生 A B C D E学科数学80 75 70 65 60物理70 66 68 64 62画出散点图，并判断它们是否有相关关系。

2．在7块并排、形状大小相同的实验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）：施化肥量15 20 25 30 35 40 45x水稻产量330 345 365 405 445 450 455y（1）在图1-8-1中画出散点图；（2）试判断施化肥量x与水稻产量y是否线性相关？3.对于线性回归方程25=xy，当28.4+.275x时，y的估计值是_______．=4.一个工厂在某年里每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据．x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.871.982.07y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.263.36 3.50（1）画出散点图；（2）判断x与y是否具有线性相关关系？若有，求出月总成本y与月产量x之间的回归直线方程．◆能力提高1．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为x=，50+y80下列判断正确的是（）A．劳动生产率为1000元时工资为130元B．劳动生产率提高1000元时，工资提高80元C．劳动生产率提高1000元时，工资提高130元D．当月工资为210元时，劳动生产率为2000元2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用最小二乘法，求得回归方程所对应的直线分别为和1l 2l ，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值为S ，对变量y 的观测数据的平均值为t ，那么下列说法正确的是（）A ．有交点与21l l （S ，t ）B ．有交点与21l l ，但交点不一定是（S ，t ）C ．和1l 2l 必定平行D ．和1l 2l 必定重合3．一机器可以按各种不同的速度运转，其生产的物件有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的多少，随机器运转的速度而变化，下列为其试验结果：则机器速度的影响每小时生产有缺点物件数和回归线性方程为___________．4．已知某宠物医院要对狗的血液某项指标进行检测，已测得10只狗的血球体积及红血球数的值如下表：（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线并画出图形．5． 1907年一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为192吨到3246吨，船员的数目从5人到32人，船员人数关于船的吨位的回归分析得到如下结果：船员人数＝吨位⨯+0062.05.9．（1）假定两艘轮船吨位相差1000吨，船员平均人数相差多少？（2）对于最小的船估计的船员数是多少？对于最大的船估计的船员数是多少？◆技能培养1．有人说：“人的两臂平伸，两中指尖之间的距离就等于这人的身高。

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最小二乘估计拓展练习一、选择题1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( )A.角度和它的余弦值B.正方形的边长和面积C.正n边形的边数和顶点角度之和D.人的年龄和身高答案：D2.下列变量之间的关系是函数关系的是( )A.已知二次函数y=ax2+bx+c,其中a、c是已知常数,取b为自变量,因变量是这个函数的判别式Δ=b2－4acB.光照时间和果树亩产量C.降雪量和交通事故发生率D.每亩施用肥料量和粮食亩产量答案：A3.近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额数据如下(单位:亿元):工资总额x 23.8 27.6 31.6 32.4 33.7 34.9 43.2 52.8 63.8 73.4社会商品41.4 51.8 61.7 67.9 68.7 77.5 95.9 137.4 155.0 175.0总额y建立社会商品零售总额y与职工工资总额x的线性回归方程是( )A.yˆ=2.7991x－27.2485B.yˆ=2.7992x－23.5493C.yˆ=2.6992x－23.7493D.yˆ=2.8992x－23.7494答案：B4.设有一个回归方程yˆ=2－1.5x,则变量x增加一个单位时( )A.y ˆ平均增加1.5个单位 B.y ˆ平均增加2个单位 C.y ˆ平均减少1.5个单位D.y ˆ平均减少2个单位答案：C5.线性回归方程y=a+bx 必定过( ) A.(0,0)点 B.(x ,0)点C.(0,y )点D.(x ,y )点答案：D6.“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔登提出的.他的研究结果是子代的平均身高向中心回归,根据他的结论,在儿子的身高y 与父亲的身高x 的回归方程y ˆ=a+bx 中,b( )A.在(－1,0)内B.等于0C.在(0,1)内D.在[1,+∞]内答案：C 二、填空题7.相关关系与函数关系的区别是 . 答案：相关关系是一种非确定关系8.某地区某种病的发病人数呈上升趋势,统计近四年这种病的新发病人数的线性回归分析如下表所示:年份(xi) 该年新发病人数(yi) x =1997.5,y =2540.25,b=,7.94224141=-∑-∑==xn x yx n y x i i i i ia=y －b x =－1866231996 2400 1997 2491 1998 2586 19992684如果不加控制,仍按这个趋势发展下去,请预测从2000年初到2003年底的四年时间里,该地区这种病的新发病总人数约为 . 答案：116769.针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析如下:月份产量(千件)xi单位成本(元/件)yi xi2 xiyi x =621,y =6426=71,61=∑i xi2=79,61=∑i xiyi=1481,b=2)621(6797162161481⨯-⨯⨯- ≈－1.8182，1 2 73 4 146 2 3 72 9 216 3 4 71 16 284 4 37392195 4 69 16 276 a=71－(－1.8182)×37.776216 5 68 25 340 合计21426791481则产量每增加1000件,单位成本下降元. 答案：1.8182 三、解答题10.某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:x 2 4 5 6 8 y3040605070(1)画出散点图;答案：散点图如下图所示.80销售额(百万元)(百万元)广告费706050403020100 1 2 3 4 5 6 7 8y x (2)求回归直线方程. 答案：回归直线方程为y ˆ=6.5x+17.5.11.某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系,随机抽取10户进行调查,其结果如下:月人均收入x(元) 300 390 420 504 570 700 760 800 8501080 月人均生活费y(元) 255 324 330 345 450 520 580 650 700 750利用上述资料: (1)画出散点图;答案：散点图如下图所示.80080060040010001200月人均生活费月人均收入700600500400300200200y x(2)如果变量x 与y 之间具有线性相关关系,求出回归直线方程; 答案：回归直线方程为y ˆ=0.70761x+39.37103;(3)测算人均收入为280元时,人均生活费支出应为多少元? 答案： 237.5元.12.某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用之间的关系(数据如下),请对之进行回归分析.产量(万40 42 48 55 65 79 88 100 120 140件)费用(万150 140 160 170 150 162 185 165 190 185 元)答案：略。

高三数学一轮复习相关性小二乘估计随堂检测文试题

2021?金版新学案?高三数学一轮复习相关性最小二乘估计随堂检测文北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每一小题6分，一共36分)1．以下关系中，是相关关系的为( )①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②老师的执教程度与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①② B．①③C．②③ D．②④【解析】学生的学习成绩与学生的学习态度和老师的执教程度是相关的，与学生的身高和家庭经济条件不相关．【答案】 A2．以下命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线y＝bx＋a及回归系数b，可以估计和预测变量的取值和变化趋势．其中正确的命题是( )A．①② B．①③C．②③ D．①②③【解析】利用最小二乘法求回归直线就是求样本数据的点到直线的间隔的平方和最小值．利用回归直线，可以进展预测．而从散点图的分布可以判断是否线性相关．【答案】 D3．回归方程y ＝1.5x －15，那么( ) x －15 B ．15是回归系数aC ．1.5是回归系数aD ．x ＝10时，y ＝0【解析】由a ＝y －b x 得y ＝b x ＋a ，即为A. 【答案】 A4．以下表达中：( )①变量间关系有函数关系，还有相关关系； ②回归函数即用函数关系近似地描绘互相关系；③∑i ＝1nx i ＝x 1＋x 2＋…＋x n ；④线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1n(x i －x)(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2，a ＝y －b x ；⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系．其中正确的有( ) A ．①②③ B．①②③④⑤ C ．①②③④ D．③④⑤【解析】 ①②③④显然正确，线性回归方程不一定可以近似地表示所有相关关系，如它不可表示非线性的相关关系，因此，⑤错误，所以选C.【答案】 C5．某考察团对全国10大城进展职工人均工资程度x(千元)与居民人均消费程度y(千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ＝0.66x ＋1.562，假设某城居民人均消费程度为7.675千元，估计该城人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%【解析】将y ＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.【答案】 A6．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归方程为( )【解析】方法一：设回归直线方程为y ＝bx ＋a ，那么 b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3－3x y x 12＋x 22＋x 32－3x 2＝3×10＋7×20＋11×24－3×7×189＋49＋121－3×49＝1.75，a ＝y －b x ＝18－1.75×7＝5.75. 故y ＝1.75x ＋5.75，应选B.方法二：将点代入选项用代入法检验可排除A 、C 、D. 【答案】 B二、填空题(每一小题6分，一共18分)7．如下图，有5组(x ，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．【解析】因为A 、B 、C 、E 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D 点离得远．【答案】 D8．下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是否是相关关系________．(填“是〞或者“否〞)年平均气温(℃)年降雨量(mm) 748 542 507 813 547 701 432 【解析】由于散点图中各点并不在一条直线的附近，所以它们不具有相关关系．【答案】否9．回归方程y＝4.4x＋838.19，那么可估计x与y增长速度之比约为________．【解析】Δy＝y2－y1＝4.4(x2－x1)，∴x2－x1y2－y1＝14.4＝1044≈0.227.三、解答题(一共46分)10．(15分)鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小一样的试验田上对某棉花新品种进展施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg).施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45棉花产量y 330 345 365 405 445 450 455(1)画出散点图；(2)判断是否具有相关关系．【解析】(1)散点图如下图，(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．11．(15分)变量x，y线性相关，x与y有以下对应数据：x 1 2 3 4求y 对x 【解析】 x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝12＋32＋2＋34＝74，∑i ＝14x i 2＝12＋22＋32＋42＝30，∑i ＝14x i y i ＝1×12＋2×32＋3×2＋4×3＝432，∴b＝∑i ＝14x i y i －4xy∑i ＝14x i 2－4x2＝432－4×52×7430－4×254＝45，a ＝y －b x ＝74－45×52＝－14.∴y＝45x －14.12．(16分)某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进展调查，其结果如下：(1)画出散点图；(2)假如变量x 与y 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程； (3)测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为多少元？【解析】 (1)散点图如下图：(2) =637.4，=490.4，∴y=0.70 761x+39.369 39.(3)把x=280代入，得y≈元励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

北师大版高中数学必修3第一章统计-8最小二乘法-典题题库(一)(带详细答案)

北师大版高中数学必修3第一章统计-8最小二乘法-典题题库（一）一、选择题(共47小题,每小题5.0分,共235分)1.已知x，y是两个具有线性相关关系的变量，现有这两个变量的十个样本点(x1，y1)(x2，y 2)，…，(x10，y10)，同学甲利用最小二乘法得到回归直线l1：＝x＋，同学乙将十个样本点中的两个点连起来得到拟合直线l2：y＝dx＋c，则下列判断一定正确的是()A．(yi－bxi－a)2≤(yi－dxi－c)2B．(yi－bxi－a)2≥(yi－dxi－c)2C．|yi－bxi－a|≤|yi－dxi－c|D．|yi－bxi－a|≥|yi－dxi－c|【答案】A【解析】根据最小二乘法得到回归直线l1：＝x＋，将十个样本点中的两个点连起来得到拟合直线l2：y＝dx＋c，可得(yi－bxi－a)2≤(yi－dxi－c)2.2.最小二乘法的原理是()A．使得[yi－(a＋bxi)]最小B．使得[yi－(a＋bxi)2]最小C．使得[－(a＋bxi)2]最小D．使得[yi－(a＋bxi)]2最小【答案】D【解析】最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配，是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小，∴最小二乘法的原理是使得[yi－(a＋bxi)]2最小．3.已知变量xi，yi具有相关关系，其散点图如图所示，则它们分别对应的相关系数ri(i＝1,2,3,4)的大小关系是()A．r1＞r3＞r4＞r2B．r3＞r1＞r2＞r4C．r3＞r1＞r4＞r2D．r1＞r3＞r2＞r4【答案】A【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2＜r4＜r3＜r1.4.若变量y与x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间()A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性相关关系还需要进一步确定D．不确定【答案】B【解析】∵相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，相关系数r＝－0.936 2，相关系数的绝对值约接近1，相关关系较强．5.在由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的点所构成的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－2x＋1上，则这组样本数据中变量x，y的相关系数为()A．－2B．－1C． 1D． 2【答案】B【解析】∵直线2x＋y－1＝0的斜率k＝－2，且若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)都在直线y ＝－2x＋1上，∴说明这组数据的样本完全负相关，则相关系数达到最小值－1.6.下列说法正确的是()A．相关关系与函数关系都是一种确定关系，也是一种因果关系B．某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x之间的关系，得到回归方程＝－2.352x＋147.767，则气温为2摄氏度时，一定可卖出143杯热饮C．相关系数|r|越大时相关性越强D．相关系数|r|越大时相关性越弱【答案】C【解析】对于A，相关关系不是确定的关系，函数关系是确定的关系，∴A错误；对于B，根据回归方程＝－2.352x＋147.767得出，气温为2摄氏度时，可能卖出143杯热饮，∴B错误；对于C，相关系数|r|越大，相关性越强，∴C正确；对于D，相关系数|r|越大时相关性越弱是错误的，∴D错误．7.两个变量之间的线性相关程度越低，则其线性相关系数的数值()A．越小B．越接近于－1C．越接近于0D．越接近于1【答案】C【解析】由相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，可得C正确．8.下列结论正确的是()①相关关系是一种非确定性关系；②任一组数据都有回归方程；③散点图能直观地反映数据的相关程度．A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】C【解析】相关关系的两个变量x，y存在一定的联系，但无法确定具体的关系，∴相关关系是一种非确定性关系，∴①正确；不是任一组数据都有相关关系，∴不一定都有回归方程，∴②错误；根据散点图能直观地反映数据的相关程度，∴③正确．9.对相关系数r，下列说法正确的是()A． |r|越大，线性相关程度越大B． |r|越小，线性相关程度越大C． |r|越大，线性相关程度越小，|r|越接近0，线性相关程度越大D． |r|≤1且|r|越接近1，线性相关程度越大，|r|越接近0，线性相关程度越小【答案】D【解析】两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关．10.对于两个变量y和x进行线性相关检验，已知n是观察值组数，r是相关系数，且已知：①n＝7，r＝0.953 3；②n＝15，r＝0.301，③n＝17，r＝0.999 1，④n＝3，r＝0.9950，则变量y和x具有线性相关关系的是()A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④【答案】B【解析】相关系数r的绝对值越大，线性相关程度越大．11.下列说法中正确的是()A．任何两个变量都具有相关关系B．人的知识与其年龄具有相关关系C．散点图中的各点是分散的没有规律D．根据散点图求得的线性回归方程都是有意义的【答案】B【解析】变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．根据相关变量的定义知A不正确，B正确．在平面直角坐标系中用描点的方法得到的表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图，如果两个变量是线性相关的，散点图中的各点是有规律，线性回归方程最能代表观测值x、y之间的线性相关关系，故C不正确．只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的线性回归方程，故D不正确．综上可知B正确．12.如图所示，图中有5组数据，去掉某组数据后(填字母代号)，剩下的4组数据的线性相关性最强()A．EB．CC．DD．A【答案】A【解析】∵A、B、C、D四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，E点离得远．∴去掉E点剩下的4组数据的线性相关性最大．13.下列说法中正确的是()①某地区感染流感人数与外来流感患者人数是具有相关关系的两个变量；②两个变量之间没有确定的函数关系，则这两个变量相关；③如果两个变量之间具有线性相关关系，那么回归直线经过样本中心点；④y与x有相关关系，且线性回归方程为＝0.5＋2x，则y与x正相关．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】C【解析】①某地区感染流感人数与外来流感患者人数存在一定的联系，是具有相关关系的两个变量，∴①正确；②两个变量之间没有确定的函数关系，则这两个变量不一定相关，∴②错误；③如果两个变量之间具有线性相关关系，那么回归直线经过样本中心点，∴③正确；④y与x有相关关系，且线性回归方程为＝0.5＋2x，回归系数为2＞0，则y与x正相关，∴④正确．14.下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线＝x ＋及回归系数，可以估计和预测变量的取值和变化趋势．其中正确的命题是()A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【解析】线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法，找拟合效果最好的直线，故①正确；利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示，故②正确；通过回归直线＝x＋及回归系数，可以估计和预测变量的取值和变化趋势，故③正确．综上可知①②③正确．15.下列关于线性回归，说法正确的是()①变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到的表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x、y之间的线性相关关系；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④【答案】A【解析】变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系，根据相关变量的定义知①正确；在平面直角坐标系中用描点的方法得到的表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图，故②正确；线性回归方程最能代表观测值x、y之间的线性相关关系，故③正确；只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的线性回归方程，故④不正确．综上可知①②③正确．16.小明同学根据下表记录的产量x(吨)与能耗y(吨标准煤)对应的四组数据，用最小二乘法求出了y 关于x的线性回归方程＝0.7x＋，据此模型预报产量为7万吨时能耗为()A． 5B． 5.25C． 5.5D． 5.75【答案】B【解析】由图表可知＝＝4.5，＝＝3.5，所以样本中心点为(4.5,3.5)．把样本中心点代入＝0.7x＋，得3.5＝0.7×4.5＋，＝0.35.所以线性回归方程为＝0.7x＋0.35.则预报产量为7万吨时能耗为＝0.7×7＋0.35＝5.25(万吨)．17.若根据10名儿童的年龄x(岁)和体重y(kg)数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的线性回归方程是＝2x＋7，已知这10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是()A． 17 kgB． 16 kgC． 15 kgD． 14 kg【答案】C【解析】年龄的平均值为＝4，所以中心点坐标为(4，)代入线性回归方程成立，因此＝2×4＋7＝15，即平均体重为15 kg.18.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(，)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg【答案】D【解析】根据线性回归方程为＝0.85x－85.71知，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故A正确；又因为回归直线过样本点的中心(，)，故B正确；因为＝0.85x－85.71，所以该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg，故C正确；当x＝170 cm时，＝0.85×170－85.71＝58.79(kg)，但这是预测值，不可断定其体重为58.79 kg，故D不正确．19.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得线性回归方程＝0.74x＋50.则m＋n的值为()A． 137B． 129C． 121D． 118【答案】B【解析】由题意得＝50，＝0.74，又∵＝－，∴＝＋＝50＋0.74×30＝72.2，∴62＋m＋n＋81＋89＝5×72.2＝361，∴m＋n＝129.20.已知一组样本点(xi，yi)(其中i＝1,2,3，…，30)，根据最小二乘法求得的线性回归方程是＝x＋，则下列说法正确的是()A．若所有样本点都在＝x＋上，则变量间的相关系数为1B．至少有一个样本点落在回归直线＝x＋上C．对所有的预报变量xi(i＝1,2,3，…，30)，bxi＋a的值一定与yi有误差D．若＝x＋斜率b＞0，则变量x与正相关【答案】D【解析】所有样本点都在＝x＋上，则变量间的相关系数为±1，故A错误；回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故B错误；若所有的样本点都在＝x＋上，则bxi＋a的值与yi相等，故C错误；相关系数r与符号相同，若＝x＋斜率＞0，则r＞0，样本点应分布从左到右应该是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．21.设有3个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，由最小二乘法来刻画直线y＝a＋bx与这3个点的接近程度时，其表达式是()A． |x1－(a＋bx1)|＋|x2－(a＋bx2)|＋|x3－(a＋bx3)|B． [x1－(a＋bx1)]2＋[x2－(a＋bx2)]2＋[x3－(a＋bx3)]2C． |y1－(a＋bx1)|＋|y2－(a＋bx2)|＋|y3－(a＋bx3)|D． [y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋[y3－(a＋bx3)]2【答案】D【解析】根据最小二乘法原理知，实测值yi与计算值y计＝a＋bxi的离差(yi－y计)的平方和最小为判断依据，所以，由最小二乘法来刻画直线y＝a＋bx与这3个点的接近程度时，其表达式是[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋[y3－(a＋bx3)]2.22.最小二乘法是指通过求函数Q(a，b)的最小值而得出回归直线的方法．其中函数Q(a，b)是指()A． (y1－bx1－a)2B． |yi－bxi－a|C．(yi－bxi－a)2D．|yi－bxi－a|【答案】C【解析】利用最小二乘法的定义可知：Q(a，b)＝(yi－bxi－a)2.23.下列说法正确的有()①最小二乘法指的是把各个离差加起来作为总离差，并使之达到最小值的方法；②最小二乘法是指把各离差的平方和作为总离差，并使之达到最小值的方法；③线性回归就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法；④因为由任何一观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个【答案】B【解析】根据最小乘法的定义可知把各个离差的平方加起来作为总的离差，并使之达到最小值的方法，所以②正确；③正确；线性回归方程就是贴近样本点的直线，故选B.24.以下有关线性回归分析的说法不正确的是()A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(，)B．用最小二乘法求线性回归方程，是寻求使(yi－bxi－a)2最小的a，b的值C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱D．R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好【答案】C【解析】两个变量的相关关系分为正相关和负相关，相关系数越接近1或－1时，表明两个变量的相关性越强，相关系数越接近0则相关性越弱．所以C项的表述不正确，故选C.25.以下有关线性回归分析的说法不正确的是()A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(，)B．用最小二乘法求线性回归方程，是寻求使(yi－bxi－a)2最小的a，b的值C．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，但因变量也能由自变量唯一确定D．如果回归系数是负的，y的值随x的增大而减小【答案】C【解析】根据题意，回归分析中，通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(，)成立，对于用最小二乘法求线性回归方程，是寻求使(yi－bxi－a)2最小的a，b的值满足成立，对于如果回归系数是负的，y的值随x的增大而减小，类似于斜率为负数，成立．排除法选C.具有相关关系的两个变量不一定是因果关系．26.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()A．直线l过点(，)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【答案】A【解析】所有线性回归直线必过中心点(，)，所以A正确．27.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得线性回归方程＝x＋，其中＝0.76，＝－，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为()A． 11.4万元B． 11.8万元C． 12.0万元D． 12.2万元【答案】B【解析】由题意可得＝(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10，＝(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8，代入线性回归方程可得＝8－0.76×10＝0.4，∴线性回归方程为＝0.76x＋0.4，把x＝15代入方程可得＝0.76×15＋0.4＝11.8.28.一名小学生的年龄和身高(单位：cm)的数据如下表：由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为＝8.8x＋，预测该学生10岁时的身高为()A． 154 cmB． 153 cmC． 152 cmD． 151 cm【答案】B【解析】由题意，＝7.5，＝131，代入线性回归方程＝8.8x＋，得131＝8.8×7.5＋，可得＝65，∴＝8.8x＋65.∴当x＝10时，＝8.8×10＋65＝153.29.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：且线性回归方程是＝0.95x＋，则当x＝6时，y的预测值为()A． 8.4B． 8.3C． 8.2D． 8.1【答案】B【解析】由已知可得＝＝2，＝＝4.5，∴＝4.5＝0.95×2＋＝1.9＋，∴＝2.6，∴回归方程是＝0.95x＋2.6.当x＝6时，y的预测值＝0.95×6＋2.6＝8.3.30.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程＝x＋中的＝10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为()A． 112.1万元B． 113.1万元C． 111.9万元D． 113.9万元【答案】C【解析】∵＝＝3.5，＝＝43，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，＝x＋中的＝10.6，∴43＝10.6×3.5＋，∴＝5.9，∴线性回归方程是＝10.6x＋5.9，∴广告费用为10万元时销售额为10.6×10＋5.9＝111.9(万元)．31.某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程＝－2x＋，当气温为－4℃时，预测用电量均为()A． 68度B． 52度C． 12度D． 28度【答案】A【解析】由表格得＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40.∴(，)为(10,40)，又(，)在线性回归方程＝x＋上，∴40＝10×(－2)＋，解得＝60，∴＝－2x＋60，当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.32.已知某产品连续4个月的广告费xi(千元)与销售额yi(万元)(i＝1,2,3,4)满足xi＝18，yi＝14，若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系，且线性回归方程为＝0.8x＋，那么广告费用为6千元时，可预测的销售额为()A． 3.5万元B． 4.7万元C． 4.9万元D． 6.5万元【答案】B【解析】由题意，＝4.5，＝3.5，代入＝0.8x＋，可得3.5＝0.8×4.5＋，所以＝－0.1，所以＝0.8x－0.1，所以x＝6时，＝0.8×6－0.1＝4.7.33.某设备的使用年限x(单位：年)与所支付的维修费用y(单位：千元)的一组数据如表：从散点图分析：y与x线性相关，根据上表中数据可得其线性回归方程：＝x＋中的＝1.54.由此预测该设备的使用年限为6年时需支付的维修费用约是()A． 7.2千元B． 7.8千元C． 8.1千元D． 9.5千元【答案】C【解析】∵由表格可知＝＝3.5，＝＝4.25，∴这组数据的样本中心点是(3.5,4.25)，根据样本中心点在线性回归直线上，得4.25＝＋1.54×3.5，∴＝－1.14，∴这组数据对应的线性回归方程是＝1.54x－1.14，∵x＝6，∴＝1.54×6－1.14＝8.1.34.某餐厅的每天原料费支出x与该天的营业额y(单位：万元)之间具有相关关系，其线性回归方程为＝1.5x＋3，已知某天此餐厅的营业额为6万元，则其当天原料费开支()A．恰为12万元B．近似为12万元C．恰为2万元D．近似为2万元【答案】D【解析】某餐厅的每天原料费支出x与该天的营业额y(单位：万元)之间具有相关关系，其线性回归方程为＝1.5x＋3，已知某天此餐厅的营业额为6万元，可得6＝1.5x＋3，解得x＝2.某天此餐厅的营业额为6万元，则其当天原料费开支近似为2万元．35.某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有相关关系，且线性回归方程为＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为()A． 66%B． 67%C． 79%D． 84%【答案】D【解析】∵y与x具有线性相关关系，满足线性回归方程＝0.6x＋1.2，该城市的职工人均工资为x＝5，∴可以估计该市的职工人均工资水平y＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为＝84%.36.一位母亲在孩子的成长档案中记录了年龄和身高间的数据(截取其中部分)：根据以上样本数据，建立了身高y(cm)与年龄x(周岁)的线性回归方程为＝7.19x＋，可预测该孩子10周岁时的身高为()A． 142.8 cmB． 145.9 cmC． 149.8 cmD． 151.7 cm【答案】B【解析】由已知可得，＝(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，＝(94.8＋104.2＋108.7＋117.8＋124.3＋130.8＋139.1)＝117.1，将(6,117.1)代入＝7.19x＋得，＝73.96，故＝7.19x＋73.96，当x＝10时，＝71.9＋73.96＝145.86≈145.9.37.如表给出的是某产品的产量x(吨)与生产能耗y(吨)的对应数据：根据上表提供的数据，得出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋，试预测当产量x＝8时，生产能耗y约为()A． 4.95吨B． 5.57吨C． 5.95吨D． 6.75吨【答案】C【解析】由表中数据可得：＝＝4.5，＝＝3.5，∵回归直线一定经过样本数据中心点，故＝－0.7＝3.5－0.7×4.5＝0.35，y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，预测当产量x＝8时，生产能耗y＝0.7×8＋0.35＝5.95(吨)．38.已知随机变量x，y的值如表所示：如果y与x线性相关且线性回归方程为＝x＋，则当x的值为9时的值为()A． 7B． 8C． 9D．【答案】B【解析】根据表格可以得到＝3，＝5，∴将样本中心点(3,5)代入方程得5＝3＋，∴＝，∴＝x＋，∴x＝9时，＝×9＋＝8.39.大学生小赵计划利用假期进行一次短期打工体验，已知小赵想去某工厂打工，老板告知每天上班的时间(单位：小时)和工资(单位：元)，如表所示：根据计算，小赵得知这段时间每天打工工资与每天工作时间满足的线性回归方程为＝11.4x＋5.9，若小赵在假期内打5天工，工作时间(单位：小时)分别为8,8,9,9,12，则这5天小赵获得工资的方差为()A． 112B． 240C． 376D． 484【答案】C【解析】由题意，＝＝6.5，代入＝11.4x＋5.9，可得＝80，∴＝80，∴m＝140，∴小赵在假期内打5天工的工资的平均值为＝112，方差为[(90－112)2×2＋(120－112)2×2＋(140－112)2]＝376.40.某农场给某种农作物施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如表：由表中的数据，得到线性回归方程为＝9.4x＋，当施肥量x＝6时，该农作物的预报产量是() A． 72.0B． 67.7C． 65.5D． 63.6【答案】C【解析】∵＝3.5，＝42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，线性回归方程＝x＋中为9.4，∴42＝9.4×3.5＋，∴＝9.1，∴线性回归方程是＝9.4x＋9.1，∴施肥量为6万元时该农作的预报产量为9.4×6＋9.1＝65.5(吨)．41.西华三高高二文科班数学兴趣小组为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程＝x＋中≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为()A． 58度B． 66度C． 68度D． 70度【答案】C【解析】＝＝10，＝＝40.∵＝－2，＝－，∴＝40＋10×2＝60，∴线性回归方程＝－2x＋60.当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68，预测当气温为－4℃时，用电量约为68.42.已知非线性回归方程为y＝20.2x－1，则x＝50时y的估计值为()A． 0B． 29C． 210D． 1【答案】B【解析】因为非线性回归方程为y＝20.2x－1，所以x＝50时，y的估计值为29.43.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，收集了好几组数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为＝7.18x＋73.95，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是()A．身高在145.75 cm以上B．身高在145.75 cm左右C．身高一定是145.75 cmD．身高在145.75 cm以下【答案】B【解析】将x＝10代入线性回归方程得＝71.8＋73.95＝145.75.由于线性回归方程预测的数值估计值与真实值之间存在误差，故孩子10岁时身高在145.75 cm左右．44.已知某车间加工零件的个数x与所花费时间(h)之间的线性回归方程为＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为()A． 6.5 hB． 5.5 hC． 3.5 hD． 0.5 h【答案】A【解析】某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为＝0.01×600＋0.5＝6.5(h)．45.某产品的广告费用支出x(万元)与产品销售额y(万元)之间的统计数据如表：求得回归直线方程为＝x＋17.5，若投入12万元的广告费用，估计销售额为()A． 82.5万元B． 90万元C． 95.5万元D． 100.5万元【答案】C【解析】由题中表格数据得：＝5，＝50，∴＝－＝17.5＝50－5，解得＝6.5，∴＝6.5x＋17.5，当x＝12时，＝6.5×12＋17.5＝95.5(万元)．46.两个相关变量满足如下关系：两变量的线性回归方程为()A．＝0.63x－231.2B．＝0.56x＋997.4C．＝50.2x＋501.4D．＝60.4x＋400.7【答案】B【解析】由题意可得＝(10＋15＋20＋25＋30)＝20，＝(1 003＋1 005＋1 010＋1 011＋1 014)＝1 008.6，∵xiyi＝10×1 003＋15×1 005＋20×1 010＋25×1 011＋30×1 014＝101 000，5＝5×20×1 008.6＝100860,52＝5×20×20＝2 000，＝102＋152＋202＋252＋302＝2 250，∴＝＝0.56，∴＝－＝1 008.6－0.56×20＝997.4.∴两变量的直线回归方程为＝0.56x＋997.4.47.网上大型汽车销售点销售某品牌A型汽车，在2015年双十一期间，进行了降价促销，该型汽车的价格与月销量之间有如下关系：已知A型汽车的月销售量y与价格x符合如下线性回归方程：＝x＋80，若A型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是()A． 39B． 42C． 45D． 50【答案】B【解析】＝(25＋23.5＋22＋20.5)＝22.75，＝(30＋33＋36＋39)＝34.5，∵＝x＋80，∴34.5＝×22.75＋80，∴＝－2，当x＝19时，y＝19×(－2)＋80＝42.二、填空题(共7小题,每小题5.0分,共35分)48.已知x、y的取值如下表：从散点图分析，y与x线性相关，且线性回归方程为＝0.95x＋，则＝__________.【答案】2.6【解析】点(，)在回归直线上，计算得＝2，＝4.5，代入得＝2.6.49.在2014年3月15日那天，某物价部门对市内的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：由最小二乘法求得线性回归方程为＝－3.2x＋40，发现表中有一个数据模糊不清，则该处数据的值为__________．【答案】11【解析】由题意，＝＝10，∵＝－3.2x＋40，∴＝8，∴所求数据为5×8－10－8－6－5＝11.50.患感冒与昼夜温差大小相关，居民小区诊所的某医生记录了四月份四个周一的温差情况与因患感冒到诊所看病的人数如下表：用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为__________．(参考公式：【答案】＝x－【解析】由数据得＝＝11，＝＝24，由参考公式，得＝＝，＝24－×11＝－.所以y关于x的线性回归方程为＝x－.51.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为___________________________________________________.【答案】＝0.7x＋0.35【解析】∵由题意知＝＝4.5，＝＝3.5，∴＝＝0.7，＝3.5－0.7×4.5＝3.5－3.15＝0.35.∴要求的线性回归方程是＝0.7x＋0.35.52.今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程中的＝x＋中的≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为________．【答案】46【解析】由表格得(，)为(10,38)，又(，)在线性回归方程＝x＋上且≈－2，∴38＝10×(－2)＋，解得＝58，∴＝－2x＋58.当x＝6时，＝－2×6＋58＝46.53.如果在一次试验中，测得(x，y)的四组数值分别是根据上表可得线性回归方程＝－5x＋，据此模型预报当x为20时，的值为________．【答案】26.5【解析】∵＝＝17.5，＝＝39.∴线性回归方程过点(17.5,39)，代入＝－5x＋得，39＝－5×17.5＋，∴＝126.5∴当x＝20时，＝－5×20＋126.5＝26.5.54.调查某电脑公司的三名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如表：由表中数据算出线性回归方程＝x＋中的＝，若该电脑公司第四名推销员的工作年限为6年，则估计他的年推销金额为________万元.【答案】3【解析】由条件可知，＝＝6，＝＝3，代入线性回归方程，可得＝，所以＝x＋，当x＝6时，＝3，估计他的年推销金额为3万元．三、解答题(共46小题,每小题12.0分,共552分)55.下表提供了某新生婴儿成长过程中时间x(月)与相应的体重y(公斤)的几组对照数据．(1)如y与x具有较好的线性关系，请根据表中提供的数据，求出线性回归方程：＝x＋；(2)由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为多少？(参考公式和数据：＝，＝－，xiyi＝27.5)【答案】解(1)＝＝1.5，＝＝4.＝02＋12＋22＋32＝14，∴＝＝，＝4－×1.5＝.∴y关于x的线性回归方程为＝x＋.(2)当x＝5时，＝＋＝6.45.由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为6.45公斤．【解析】56.某电视机的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有如表所对应的关系：(1)求出y对x的线性回归方程；(2)若广告费为9万元，则销售收入为多少万元？(参考公式：＝，＝－)【答案】解(1)＝，＝，所以＝，＝－＝－2，故y对x的线性回归方程为＝x－2.(2)当x＝9时，y＝129.4，故若广告费为9万元，则销售收入为129.4万元．【解析】57.一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据(单位：cm)作为一个样本如下表示.(1)在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程＝x＋；(2)若某人的脚掌长为26.5 cm，试估计此人的身高．(参考数据：(xi－)(yi－)＝577.5，(xi－)2＝82.5)【答案】解(1)记样本中10个人的“脚掌长”为xi(i＝1,2，…，10)，“身高”为yi(i＝1,2，…，10)，则＝＝＝7.∵＝＝24.5，＝＝171.5，。

【精讲优课】高中数学北师大必修三练习：1.8最小二乘估计(含答案解析)

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课时提高作业 (十 )最小二乘估计(25 分钟60分)一、选择题 (每题 5 分，共 25 分 )1.工人月薪资 y(元 )依劳动生产率 x(千元 )变化的线性回归方程为y=50+80x ，以下判断正确的是 ()A. 劳动生产率为1000 元时，薪资为 130 元B. 劳动生产率提高1000 元，则薪资均匀提高80 元C.劳动生产率提高1000 元，则薪资均匀提高130 元D. 当月薪资为 210 元时，劳动生产率为 2000 元【分析】选 B. 线性回归方程 y=bx+a 中 b 的意义是，当x 增添一个单位时， y 的值均匀变化b 个单位，这是一个均匀变化率，回归直线方程不是一种确立关系，只好用于展望变量的值，所以当 x 增添一个单位 1 千元 (1000 元 )时，薪资均匀提高80 元.【误区警告】此题简单把线性回归方程当作确立的函数关系，进而得犯错误选项 D.2.(2015 ·抚州高一检测)某设施使用年限x 和所支出维修花费y(万元 )之间呈线性有关，现取五对察看值，计算得：x i=20 ，y i=25 ，=90 ，x i y i=120，则 y 与 x 的线性回归方程是 ()A.y=2x-3B.y=-2x-3C.y=3x-2D.y=-3x-2【分析】选 A. 由题中数据得，b=2， a=-3，故 y 与 x 的线性回归方程为y=2x-3.3.一位母亲记录了儿子 3 ～ 9岁的身高，由此成立的身高y 与年纪x 的回归模型为y=7.19x+73.93 ，用这个模型展望这个孩子10 岁时的身高，则正确的表达是()A. 身高必定是145.83cmB. 身高在 145.83cm 以上C.身高在 145.83cm 以下D.身高在145.83cm 左右【分析】选 D. 回归直线是用来估计整体的，所以我们求的值都是估量值，所以我们获得的结果也是近似的 .只需把自变量的值代入回归直线方程即可求得结果为145.83cm.4.在 2015 年春节时期，某市场物价部门对本市五个商场销售的某商品一天销售量及其价钱进行检查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据以下表所示：价钱 x99.51010.511销售量 y1110865经过剖析，发现销售量y 对商品的价钱x 拥有线性有关关系，则销售量y 对商品的价钱 x 的线性回归方程为()A.y=3.2x-24B.y=-3.2x+40C.y=3x-22D.y=3x+38【分析】选 B. ==10，==8.所以 b==-3.2，所以 a= -b =40，所以 y=-3.2x+40.5.(2015 ·咸阳高一检测 )已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，且过定点 (4，5)，则线性回归方程是()A.y=4+1.23xB.y=5+1.23xC.y=0.08+1.23xD.y=1.23+0.08x【解题指南】利用线性回归方程经过的定点求解即可.【分析】选 C.斜率的估计值就是 b 的值，即 b=1.23 ，又回归直线过点 (4，5)，代当选项考证可得 .【赔偿训练】(2015 ·咸阳高一检测 )已知 x 与 y之间的一组数据以下表：则x 与 y 之间的线性回归方程y=bx+a 必过点 ()x1234y2357A.(2.5 ， 4)B.(2.5 ，4.25)C.(2 ， 3)D.(3 ， 5)【分析】选 B. 线性回归方程y=bx+a 必过点 (，)，==2.5，==4.25，所以必过点 (2.5， 4.25).二、填空题 (每题 5 分，共 15 分 )6.已知一个线性回归方程为y=1.5x+45 ，x∈ {1 ， 7， 5，13， 19} ，则=.【分析】因为= (1+7+5+13+19)=9 ，且 =1.5 +45 ，所以 =1.5× 9+45=58.5.答案： 58.57.(2015 ·新余高一检测)某地域近10 年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大概切合y=0.8x+0.1( 单位：亿元 )，估计今年该地域居民收入为15 亿元，则年支出估计是亿元 .【分析】由题意知，y=0.8 ×15+0.1=12.1 ，即年支出估计是12.1 亿元 .答案： 12.18.在研究硝酸钠的可溶性程度时，对不一样的温度观察它在水中的溶解度，得观察结果以下：温度 (x)010205070溶解度 (y)66.77685112.3128则由此获得的回归直线的斜率是.【分析】列表求得=30，=93.6 ，其余数据如表：i x i y i x i y i1066.7002107610076032085400 1 700450112.3 2 500 5 615570128 4 9008 960共计1504687 90017 035所以回归直线的斜率：b=≈ 0.8809.答案： 0.8809三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )9.(2015 ·宿州高一检测)假定对于某设施使用年限x 年和所支出的维修花费y(万元 )，有以下的统计资料：x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57.0请画出上表数据的散点图，判断它们能否拥有有关关系，若有关，求出 y 对于 x 的线性回归方程 .【分析】散点图以下：由散点图可知，两变量之间拥有有关关系，且为线性有关.列表，计算i12345x i23456y i 2.2 3.8 5.5 6.57.0x i y i 4.411.422.032.542.049162536=4，=5；=90 ，x i y i=112.3设所求回归方程为：y=bx+a ，则由上表可得b===1.23，a= -b=5-1.23 × 4=0.08.所以回归方程为y=1.23x+0.08.10.(2015 ·蚌埠高一检测 )某县教研室要剖析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学成绩有什么影响，在高一年级学生中随机抽选 5 名学生剖析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩 (如表 )：学生编号12345入学成绩 x6367758885高一期末成绩 y6577808292(1)已知 x 与 y 之间拥有线性有关关系，求出线性回归方程.(2)若某学生入学的数学成绩是80 分，试估测他高一期末数学考试成绩.【解题指南】 (1)依据所给的数据利用最小二乘法，求出线性回归方程的系数和 a 的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要犯错.(2)将 x=80 代入所求出的线性回归方程中，得y 的值，即这个学生的高一期末数学考试成绩展望值 .【分析】 (1)设所求的线性回归方程为y=bx+a ，==75.6，==79.2.由最小二乘法能够写出b==≈0.742.a≈ 23.105.所以所求的线性回归方程为y=0.742x+23.105.(2) 将 x=80 代入所求出的线性回归方程中，得y≈ 82 分，即这个学生的高一期末数学考试成绩展望值为82 分 .(20 分钟40分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )1.设某大学的女生体重y(单位： kg) 与身高 x( 单位： cm)拥有线性有关关系，依据一组样本数据 (x i， y i )(i=1 ，2，， n)，用最小二乘法成立的线性回归方程为y=0.85x-85.71 ，则以下结论中不正确的选项是()A.y 与 x 拥有正的线性有关关系B. 回归直线过定点(，)C.若该大学某女生身高增添1cm，则其体重约增添0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可判定其体重必为58.79kg【分析】选 D.因为线性回归方程中x 的系数为0.85，所以 y 与 x 拥有正的线性有关关系，故 A 正确 .又线性回归方程必过点(，)，所以 B 正确 .由线性回归方程中系数的意义知，x 每增添 1cm，其体重约增添0.85kg，故 C 正确 .当某女生的身高为170cm 时，其体重估计值是 58.79kg，而不是详细值，所以 D 不正确 .2.(2015 ·商洛高一检测)若在一次试验中，测得(x，y)的四组数值分别是A(1 ，3)，B(2，3.8)，C(3 ， 5.2)，D(4 ， 6).则 y 与 x 之间的线性回归方程是()A.y=x+1.9B.y=1.04x+1.9C.y=0.95x+1.04【分析】选 B. ==2.5，==4.5，将 (2.5， 4.5)代当选项考证得 B 正确 .【赔偿训练】样本数据点(3， 10)，(7 ，20)， (11， 24)对应的线性回归方程为()B.y=1.75x+5.75C.y=-1.75x+5.75【分析】选 B. 方法一：设线性回归方程为y=bx+a ，则 b===1.75，a= -b=18-1.75 ×7=5.75.故 y=1.75x+5.75 ，应选 B.方法二：用代入法查验可清除 A ，C， D.二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3.(2015 ·汉中高一检测)某单位为认识用电量y 千瓦·时与气温x℃之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当日气温，并制作了比较表：气温 (℃)181310-1用电量 (千瓦·时 )24343864由表中数据得线性回归方程y=bx+a 中 b=-2，展望当气温为-4℃时，用电量约为千瓦·时 .【解题指南】第一利用线性回归方程经过定点求出线性回归方程，而后把x=-4 代入线性回归方程，求出y 即可 .【分析】==10，==40，则 a= -b =40+2× 10=60，则 y=-2x+60 ，则当 x=-4 时， y=-2 × (-4)+60=68.答案： 684.为认识篮球喜好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每日打篮球时间 x(单位：小时 )与当日投篮命中率 y 之间的关系：时间 x12345命中率 y0.40.50.60.60.4小李这 5 天的均匀投篮命中率为；用线性回归剖析的方法，展望小李该月6号打 6小时篮球的投篮命中率为.【分析】设这 5 天的均匀投篮命中率为P，则 P= ×(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5 ，由题可求得：b=0.01， a=0.47，所以线性回归方程为y=0.01x+0.47 ，当 x=6 时， y=0.01 ×6+0.47=0.53.答案： 0.50.53三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )5.一项对于 16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192 ，3246]( 单位：吨 )，海员的人数5～ 32人，海员人数y 对于吨位 x 的线性回归方程为y=9.5+0.0062x ，(1)若两艘船的吨位相差 1000，求海员均匀相差的人数 .(2)估计吨位最大的船和最小的船的海员人数.【分析】 (1)设两艘船的吨位分别为x1， x2则y1-y2 =9.5+0.0062x 1-(9.5+0.0062x 2)=0.0062 ×1000 ≈ 6，即海员均匀相差 6 人.(2)当 x=192 时， y=9.5+0.0062 × 192≈ 11，当 x=3246 时， y=9.5+0.0062 × 3246 ≈ 30.即估计吨位最大和最小的船的海员数分别为11 人和 30人 .6.(2015 ·临沂高一检测 )某公司上半年产品产量与单位成本资料以下：月份产量 (千件 )单位成本 (元 )127323723471437354696568且已知产量 x 与单位成本y 拥有线性有关关系 .(1)求出线性回归方程 .(2)指出产量每增添 1000 件时，单位成本均匀改动多少？(3)假定产量为 6000 件时，单位成本为多少元？【解题指南】利用最小二乘法求出回归直线方程，再依据回归方程进行展望.【分析】 (1)n=6，=3.5，=71 ，=79 ，x i y i=1481，b=≈ -1.82， a=-b=71+1.82 ×3.5=77.37 ，则线性回归方程为y=bx+a=-1.82x+77.37.(2)因为单位成本均匀改动b=-1.82<0 ，且产量 x 的计量单位是千件，所以依据回归系数 b 的意义有产量每增添一个单位即1000 件时，单位成本均匀减少 1.82 元 .(3)当产量为 6000 件，即 x=6 时，代入线性回归方程，得 y=77.37-1.82 × 6=66.45(元 ).即当产量为6000 件时，单位成本大概为66.45 元 .封闭 Word 文档返回原板块。

高中数学北师大版必修3最小二乘估计课后作业Word版含答案

高中数学北师大版必修3最小二乘估计课后作业Word版含答案§8最小二乘估计一、非标准1.已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心是(4,5),则线性回归方程是( )A.y=4+1.23xB.y=5+1.23xC.y=0.08+1.23xD.y=1.23+0.08x解析:由已知得b=1.23,=4,=5,于是a=-b=5-1.23×4=0.08,因此线性回归方程为y=1.23x+0.08.答案:C2.用回归直线方程的系数a,b的最小二乘法估计a,b,使函数Q(a,b)的值最小,则Q函数是指( )A.(y i-a-bx i)2B.(y i-a-bx i)C.y i-a-bx iD.(y i-a-bx i)2答案:A3.某地区调查了2~9岁的儿童的身高,由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是( )A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63cmB.该地区2~9岁的儿童每年身高约增加8.25cmC.该地区9岁儿童的平均身高是134.38cmD.利用这个模型可以准确地预算该地区每个2~9岁儿童的身高解析:由y=8.25x+60.13知斜率的估计值为8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加8.25个单位身高,故选B.答案:B4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时的销售额为( )A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元解析:∵=3.5,=42,又y=bx+a必过(),∴42=3.5×9.4+a,∴a=9.1.∴线性回归方程为y=9.4x+9.1.∴当x=6时,y=9.4×6+9.1=65.5(万元).答案:B5.已知x与y之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是( )A.b>b',a>a'B.b>b',a<a'< bdsfid="107" p=""></a'<>C.ba'D.b<b',a<a'< bdsfid="111" p=""></b',a<a'<>解析:b'==2,a'=0-2×1=-2.x i y i=0+4+3+12+15+24=58,=3.5,=1+4+9+16+25+36=91,∴b=,a=×3.5=-,∴ba'.故选C.答案:C6.下表是某厂1到4用水量y与月份x之间具有线性相关关系,其线性回归方程为y=-0.7x+a,则a的值为.解析:由已知得=2.5,=3.5,因此3.5=-0.7×2.5+a,解得a=5.25.答案:5.257.在一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间从192t~3246t,船员的人数从5到32,由船员人数y关于吨位x的回归分析得到:y=9.5+0.0062x,假定两艘轮船的吨位相差1000 t,船员平均人数相差,对于最小的船估计的船员人数是,对于最大的船估计的船员人数是.解析:由线性回归方程知船的吨位每增加1000t,则人数增加0.0062×1000≥6(人),又分别令x=192和3246,即可估算船员人数.答案:6 10 298.2014年6月22日,某市物价部门对本市的5家商场的一天销售量及其价格进行调查,5家由数据对应的散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是=-3.2x+40,且m+n=20,则其中的n=.解析:(9+9.5+m+10.5+11)=8+(11+n+8+6+5)=6+,线性回归方程一定经过样本中心(),所以6+=-3.2×+40,即3.2m+n=42,由解得故n=10.答案:109.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额如下表:万元(1)画出散点图,观察散点图,说明两个变量是否线性相关;(2)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的线性回归方程;(3)当销售额为4千万元时,估计利润额的大小.解:(1)散点图如下图.由散点图可以看出变量x,y线性相关.(2)设线性回归方程是y=bx+a,=3.4,=6,所以b==0.5,a=-b=3.4-6×0.5=0.4,即利润额y对销售额x的线性回归方程为y=0.5x+0.4.(3)当销售额为4千万元时,利润额为y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).10.(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y=bx+a;(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2015年的粮食需求量.解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升的,下面来求线性回归方程,为此对数据预处理如下:对预处理后的数据,容易算得=0,=3.2.b===6.5,a=-b =3.2.由上述计算结果,知所求线性回归方程为y-257=b(x-2010)+a=6.5(x-2010)+3.2,即y=6.5(x-2010)+260.2.①(2)利用直线方程①,可预测2015年的粮食需求量为6.5×(2015-2010)+260.2=6.5×5+260.2=292.7(万吨).。

北师大版高中数学必修三用样本估计总体同步练习(3).docx

用样本估计总体同步练习1．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为（）A、1.54mB、1.55mC、1.56mD、1.57m2．下列说法正确的是（）A、样本中所有个体的总和是总体B、方差的平方根叫做标准美C、样本平均数与总体平均数相等D、在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数3．下列说法正确的是（）A、在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B、平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C、方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D、在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高4．样本101，98，102，100，99的标准差为（）A、2B、0C、1D、210．为了了解中学生的身高情况，对育才中学同龄的50名男学生的身高进行了测量，结果如下：（单位：cm）：175 168 180 176 167 181 162 173 171 177171 171 174 173 174 175 177 166 163 160166 166 163 169 174 165 175 165 170 158174 172 166 172 167 172 175 161 173 167170 172 165 157 172 173 166 177 169 181列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图。

11．已知50个数据的分组以及各组的频数如下：153.5-155.5 2 161.5-163.5 10155.5-157.5 7 163.5-165.5 6157.5-159.5 9 165.5-167.5 4159.5-161.5 11 167.5-169.5 1 （1）列出频率分布表；（2）列出累积频率分布表；（3）画出频率分布直方图和频率分布折线图；（4）画出累积频率分布图。

北师大版高中数学必修3第一章统计-8最小二乘法-典题题库(二)(带详细答案)

北师大版高中数学必修3第一章统计-8最小二乘法-典题题库（二）一、选择题(共50小题,每小题5.0分,共250分)1.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是()A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)B．直线l1和l2有交点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合【答案】B【解析】∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点都是(s，t)．∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上，∴回归直线l1和l2都过点(s，t)．∴两条直线有公共点(s，t)．2.已知呈线性相关关系的变量x，y之间的关系如下表所示，则回归直线一定过点()A． (0.1,2.11)B． (0.2,2.85)C． (0.3,4.08)D． (0.275,4.797 5)【答案】D【解析】线性回归方程必过样本中心点(，)．∵＝＝0.275，＝＝4.797 5，∴线性回归方程必过(0.275,4.797 5)．3.已知x与y之间的一组数据如表，则y与x的线性回归方程＝x＋必过()A．点(2,2)B．点(1.5,0)C．点(1,2)D．点(1.5,4)【答案】D【解析】由题意知，y与x的线性回归方程＝x＋必过样本中心点，＝＝1.5，＝＝4，∵＝x＋＝x＋(－) ＝(x－)＋，∴线性回归方程必过(1.5,4)．4.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是()A．成正相关，其回归直线经过点(30,75)B．成正相关，其回归直线经过点(30,76)C．成负相关，其回归直线经过点(30,76)D．成负相关，其回归直线经过点(30,75)【答案】B【解析】由表格数据知，加工时间随加工零件的个数的增加而增加，故两变量为正相关，又由＝(10＋20＋30＋40＋50)＝30，＝(64＋69＋75＋82＋90)＝76，故回归直线过样本中心点(30,76)．5.已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数＝4，＝4.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A．＝0.4x＋2.3B．＝2x－2.4C．＝－0.3x－3.3D．＝－2x＋12.5【答案】D【解析】变量x与y负相关，排除选项A，B；线性回归方程经过样本中心，把＝4，＝4.5，代入C不成立，代入D成立．6.根据如下样本数据得到的回归方程为＝x＋，则()A．a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0D．a＜0，b＞0【答案】D【解析】样本平均数＝5.5，＝－0.25，∴(xi－)(yi－)＝23.75，(xi－)2＝17.5，∴＝＞0，∴＝－0.25－·5.5＜0.7.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如表几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的线性回归方程是()A．＝0.7x＋0.35B．＝0.7x＋1C．＝0.7x＋2.05D．＝0.7x＋0.45【答案】A【解析】设线性回归方程＝0.7x＋，由样本数据可得，＝4.5，＝3.5.因为回归直线经过点(，)，所以3.5＝0.7×4.5＋，解得＝0.35.8.已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则等于()A． 58.5B． 46.5C． 60D． 75【答案】A【解析】∵x∈{1,7,5,13,19}，∴＝＝9，∴＝1.5×9＋45＝58.5.9.根据样本数据得到线性回归方程＝x＋，其中＝9.1，则等于()A． 9.4B． 9.5C． 9.6D． 9.7【答案】A【解析】样本平均数＝3.5，＝42，∵样本数据中心点必在回归直线上，线性回归方程＝x＋，其中＝9.1，∴＝9.4.10.由下表可计算出变量x，y的线性回归方程为()A．＝0.35x＋0.15B．＝－0.35x＋0.25C．＝－0.35x＋0.15D．＝0.35x＋0.25【答案】A【解析】＝＝3，＝＝1.2，∴＝＝0.35，＝1.2－0.35×3＝0.15，∴线性回归方程为＝0.35x＋0.15.11.如表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过()A．点(2,3)B．点(3,5)C．点(2.5,4)D．点(2.5,5)【答案】C【解析】由已知得：＝(1＋2＋3＋4)＝2.5，＝(1＋3＋5＋7)＝4，故y关于x的线性回归方程必过点(2.5,4)．12.已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程＝x＋必过点()A． (1,2)B． (5,2)C． (2,5)D． (2.5,5)【答案】C【解析】由表中数据可得：＝(0＋1＋2＋3＋4)＝2，＝(1＋3＋5＋7＋9)＝5，所以回归直线一定经过样本数据中心点(2,5)，故选C.13.已知某种产品的支出广告额x与利润额y(单位：万元)之间有如下对应数据：则线性回归方程必过()A． (5,36)B． (5,35)C． (5,30)D． (4,30)【答案】A【解析】由题意可知线性回归方程必过样本中心坐标(，)，即(5,36)．14.已知变量x与y之间的线性回归方程为＝－3＋2x，若xi＝17，则i的值等于()A． 3B． 4C． 0.4D． 40【答案】B【解析】∵i＝17，∴＝1.7，∵变量x与y之间的线性回归方程为＝－3＋2x，∴＝－3＋2×1.7＝0.4，∴i＝4.15.内江市某镇2009年至2015年中，每年的人口总数y(单位：万)的数据如下表：若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归方程＝t＋一定过点() A． (3,9)B． (9,3)C． (6,14)D． (4,11)【答案】A【解析】＝(0＋1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3，＝(8＋8＋8＋9＋9＋10＋11)＝9，∴线性回归方程＝t＋一定过点(3,9)．16.根据如下样本数据得到的线性回归方程必过点()A． (2,2)B． (1.5,2)C． (2,4)D． (1.5,4)【答案】C【解析】由表中数据可得：＝(0＋1＋2＋3＋4)＝2，＝(1＋3＋4＋5＋7)＝4，回归直线一定经过样本数据中心点(2,4)，故选C.17.观察两个变量(存在线性相关关系)得如下数据：则两变量间的线性回归方程为()A．＝x＋1B．＝xC．＝2x＋D．＝x＋1【答案】B【解析】根据表中数据，得＝(－10－6.99－5.01－2.98＋3.98＋5＋7.99＋8.01)＝0，＝(－9－7－5－3＋4.01＋4.99＋7＋8)＝0.∴两变量x、y间的线性回归方程过样本中心点(0,0)，可以排除A、C、D选项，B选项符合题意．18.某镇2008年至2014年中，每年的人口总数y(单位：万)的数据如表：若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线＝t＋一定过点() A． (4,11)B． (6,14)C． (3,9)D． (9,3)【答案】C【解析】由题意，＝＝3，＝＝9，故线性回归直线＝t＋一定过点(3,9)．19.如果在一次实验中，测得数对(x，y)的四组数值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,6)，D(4,7)，则y与x之间的线性回归方程是()A．＝x＋1.9B．＝1.8xC．＝0.95x＋1.04D．＝1.05x－0.9【答案】B【解析】＝＝2.5，＝＝4.5，所以线性回归方程经过点(2.5,4.5)．对于A，当x＝2.5时，y＝2.5＋1.9＝4.4≠4.5，对于B，当x＝2.5时，y＝1.8×2.5＝4.5，对于C，当x＝2.5时，y＝0.95×2.5＋1.04＝3.415≠4.5；对于D，当x＝2.5时，y＝1.05×2.5－0.9＝1.725≠4.5.20.对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其线性回归方程是：＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6，则实数的值是()A．B．C．D．【答案】D【解析】∵x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6，∴＝，＝，∴样本中心点的坐标为(，)，代入线性回归方程，得＝×＋，∴＝.21.在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－3.2x＋，(参考公式：线性回归方程：＝x＋，＝－)，则等于()A．－24B． 35.6C． 40.5D． 40【答案】D【解析】＝＝10，＝＝8，＝－＝8－(－3.2)×10＝40.故选D.22.已知x，y的取值如下表所示：如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为＝x＋，则等于()A．－B．C．－D．【答案】A【解析】∵线性回归方程为＝x＋，线性回归方程过样本中心点，＝＝3，＝＝5，∴线性回归方程过点(3,5)，∴5＝3＋，∴b＝－.23.已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程为＝2.1x＋0.85，则m的值为() A． 1B． 0.85C． 0.7D． 0.5【答案】D【解析】∵＝＝，＝＝，∴这组数据的样本中心点是(，)，∵关于y与x的线性回归方程＝2.1x＋0.85，∴＝2.1×＋0.85，解得m＝0.5.24.某种商品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则表中的m的值为()A． 45B． 50C． 55D． 60【答案】D【解析】由题意，＝(2＋4＋5＋6＋8)＝5，＝(30＋40＋m＋50＋70)＝38＋，∵y关于x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，∴38＋＝6.5×5＋17.5，∴38＋＝50，∴＝12，∴m＝60.25.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法得线性回归方程＝0.68x＋54.6，表中有一个数据模糊不清，请你推断该数据的值为()A． 68B． 68.2C． 70D． 75【答案】A【解析】设表中有一个模糊看不清数据为m.由表中数据得＝30，＝，由最小二乘法求得线性回归方程＝0.68x＋54.6，将＝30，＝代入线性回归方程，得m＝68.26.对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程为＝0.8x－155，则实数m的值为()A． 8B． 8.2C． 8.4D． 8.5【答案】A【解析】由题意，＝(196＋197＋200＋203＋204)＝200，＝(1＋3＋6＋7＋m)＝，代入＝0.8x－155，可得＝0.8×200－155，m＝8.27.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的线性回归方程为＝10.5x＋，则的值等于()A． 1B． 1.5C． 2D． 2.5【答案】B【解析】∵＝＝5，＝＝54，∴这组数据的样本中心点是(5,54)，把样本中心点代入线性回归方程＝10.5x＋，∴54＝10.5×5＋，∴＝1.5.28.根据如图样本数据得到的线性回归方程为＝bx＋a，若样本点的中心为(5,0.9)．则当x每增加1个单位时，就()A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加7.9个单位D．减少7.9个单位【答案】B【解析】由题意，＝＝0.9，所以a＋b＝6.5，①因为样本中心为(5,0.9)，所以0.9＝5b＋a，②联立①②可得b＝－1.4，a＝7.9，所以＝－1.4x＋7.9，所以x每增加1个单位，就减少1.4个单位．29.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为＝0.76x－71.则实数m的值为()A． 6.8B． 7C． 7.2D． 7.4【答案】B【解析】由题意可得＝(98＋99＋100＋101＋102)＝100，同理可得＝(2＋3＋5＋m＋8)＝，代入线性回归方程可得＝0.76×100－71，解得m＝7.30.表格提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据：根据表中提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表格中t的值为() A． 3.5B． 3.25C． 3.15D． 6【答案】D【解析】＝＝4.5，＝＝2＋，∵y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，∴2＋＝0.7×4.5＋0.35，∴t＝6.31.根据如下样本数据得到的线性回归方程为＝x＋.若＝7.9，则的值为() A． 1.4B．－1.4C． 1.2D．－1.2【答案】D【解析】样本平均数＝5，＝1.9，∵样本数据中心点必在回归直线上，将＝5，＝1.9代入＝x＋7.9得，1．9＝5＋7.9，解得＝－1.2.32.已知x，y如下表所示，若x和y线性相关，且线性回归方程是＝x＋2.4，则等于()A． 0.7B． 0.8C． 0.9D． 1【答案】A【解析】根据所给的数据，得到＝3，＝4.5，∴这组数据的样本中心点是(3,4.5)，∵线性回归方程一定过样本中心点，∴4.5＝3＋2.4，∴＝0.7.33.根据如下样本数据得到的回归方程为＝x＋，则m的值为()A． 1B．C． 4D． 5【答案】C【解析】由题意，＝1.5，＝5＋，∵y关于x的线性回归方程为＝x＋，根据线性回归方程必过样本的中心，∴5＋＝×1.5＋，∴m＝4.34.已知x、y取值如表：从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝x＋0.6，则等于() A． 0.95B． 1.00C． 1.10D． 1.15【答案】C【解析】由题意知，＝＝4，＝5，从而代入线性回归方程有＝1.10.35.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下一组数据：若y与x之间的关系符合线性回归方程＝6.5x＋，则的值是()A． 17.5B． 27.5C． 17D． 14【答案】A【解析】由表格得＝5，＝50.∵y关于x的线性回归方程为＝6.5x＋，∴50＝6.5×5＋，∴＝17.5.36.具有线性相关关系得变量x，y，满足一组数据如表所示，若y与x的线性回归方程为＝3x－，则m的值()A． 4B．C． 5D． 6【答案】A【解析】由表中数据得，＝，＝，由最小二乘法求得线性回归方程＝3x－，将＝，＝代入线性回归方程，得m＝4.37.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中m 值为()A． 4B． 3.15C． 4.5D． 3【答案】D【解析】根据所给的表格可以求出＝＝4.5，＝＝，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴＝0.7×4.5＋0.35，∴m＝3.38.已知x、y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且线性回归方程为＝0.7x＋，则等于()A． 1.25B． 1.05C． 1.35D． 1.45【答案】B【解析】＝(2＋3＋4＋5)＝3.5，＝(2.5＋3＋4＋4.5)＝3.5，∴线性回归方程过点(3.5,3.5)，代入得3.5＝0.7×3.5＋.∴＝1.05.39.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：且线性回归方程是＝0.95x＋2.6，则t等于()A． 6.7B． 6.6C． 6.5D． 6.4【答案】A【解析】由题意可得，＝＝2，＝＝，线性回归方程是＝0.95x＋2.6，可得＝0.95×2＋2.6，解得t＝6.7.40.下表为某班5位同学身高x(单位：cm)与体重y(单位kg)的数据，若两个度量间的线性回归方程为＝1.16x＋，则的值为()A．－122.2B．－121.04C．－91D．－92.3【答案】B【解析】由题意可得，＝＝169，＝＝75.因为回归直线经过样本中心，所以75＝1.16×169＋，解得＝－121.04.41.已知x，y的取值如表：从所得的散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则等于() A． 2B． 3C． 2.1D． 3.1【答案】C【解析】由题意可知，＝＝2，＝＝4.因为回归直线经过样本中心，所以4＝0.95×2＋，解得＝2.1.42.已知关于某设备的使用年限x(年)和所支出的费用y(万元)，有如表所示的统计资料：根据上表提供的数据，求出了y关于x的线性回归方程为＝1.23x＋0.08，那么统计表中t的值为()A． 5.5B． 5.0C． 4.5D． 4.8【答案】A【解析】由题意可得＝(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝(2.2＋3.8＋t＋6.5＋7.0)＝3.9＋0.2t，由回归方程过点(，)可得3.9＋0.2t＝1.23×4＋0.08，解得t＝5.5.43.已知x与y之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为＝x＋，根据中间两组数据(4,3)和(5,4)求得的直线方程为y＝bx＋a，则与b，与a的大小为()A．＞b，＞aB．＞b，＜aC．＜b，＞aD．＜b，＜a【答案】C【解析】由题意可知n＝4，＝＝＝4.5，＝＝＝3.5，则＝＝＝0.7，＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，过(4,3)和(5,4)的直线方程为＝，即y＝x－1，则b＝1，a＝－1，则＜b，＞a.44.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其线性回归方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数的值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，∴＝，＝，∴样本中心点的坐标为(，)，代入线性回归方程得，＝×＋，∴＝.45.下面是学校当天食堂某窗口5天中出售的冷饮杯数和当天最高气温的记录数据，根据以下数据得线性回归方程为：＝1.25x＋，则等于()A． 6B． 7C． 8D． 9【答案】B【解析】＝(25＋27＋32＋22＋34)＝28，＝(36＋37＋48＋37＋52)＝42.把(，)代入线性回归方程得42＝1.25×28＋，解得＝7.46.已知某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)所得的数据如表：经分析，y与x有较强的线性相关性，且＝0.95x＋，则等于()A． 2.6B． 2.4C． 2.7D． 2.5【答案】A【解析】由题意可知，＝＝2，＝＝4.5.因为回归直线经过样本中心，所以4.5＝0.95×2＋，解得＝2.6.47.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表已知由表中4组数据求得线性回归方程＝8x＋14，则表中的a的值为()A． 37B． 38C． 39D． 40【答案】C【解析】＝＝3.5，＝＝.∴＝8×3.5＋14，解得a＝39.48.已知具有线性相关关系的两个量x，y之间的一组数据如表：且线性回归方程是＝0.95x＋2.6，则m的值为()A． 4.5B． 4.6C． 4.7D． 4.8【答案】D【解析】＝＝2，＝＝.∴＝0.95×2＋2.6，解得m＝4.8.49.某学生的四次500米测试成绩如下表(单位：分钟)所用时间y与测试次数x的线性回归方程为：＝x＋5.25，则等于()A． 0.7B．－0.6C． 0.6D．－0.7【答案】D【解析】由题意，＝＝2.5，＝＝3.5，代入y＝x＋5.25，可得3.5＝2.5＋5.25，所以＝－0.7.50.由观测的样本数据算得变量x与y满足线性回归方程＝0.6x－0.5，已知样本平均数＝5，则样本平均数的值为()A． 0.5B． 1.5C． 2.5D． 3.5【答案】C【解析】线性回归方程＝0.6x－0.5，已知样本平均数＝5，则样本平均数＝0.6×5－0.5＝2.5.二、填空题(共30小题,每小题5.0分,共150分)51.某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如表所示：由表可得回归直线方程为＝－4x＋，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为________个.【答案】49【解析】∵由表格可知＝＝17.5，＝＝39，∴这组数据的样本中心点是(17.5,39)，根据样本中心点在线性回归直线上，满足＝－4x＋，∴39＝－4×17.5，∴＝109，∴这组数据对应的线性回归方程是＝－4x＋109，∴当x＝15时，＝－4×15＋109＝49.52.调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表：由表中数据算出线性回归方程为＝x＋.若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他(她)的年推销金额为________万元．【答案】【解析】由条件可知＝(3＋5＋10＋14)＝8，＝(2＋3＋7＋12)＝6，代入线性回归方程，可得＝－，所以＝x－，当x＝8时，＝，估计他的年推销金额为万元．53.某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)的统计资料如表：根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程＝0.7x＋，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为________万元．【答案】7.5【解析】∵由表格可知＝9，＝4，∴这组数据的样本中心点是(9,4)，根据样本中心点在线性回归直线＝0.7x＋上，∴4＝0.7×9＋，∴＝－2.3，∴这组数据对应的线性回归方程是＝0.7x－2.3，∵x＝14，∴＝7.5.54.某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为＝x＋，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为________．【答案】9.5【解析】由表中数据得＝7，＝5.5，由(，)在直线＝x＋上，得＝－，即线性回归方程为＝x－.所以当x＝12时，＝×12－＝9.5，即他的识图能力为9.5.55.某地区恩格尔系数y(%)与年份x的统计数据如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且可得线性回归方程＝x＋4 055.25，据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数(%)为________．【答案】29.25【解析】∵点(，)在回归直线上，计算得＝＝2 005.5，＝＝44.25，∴线性回归方程过点(2 005.5,44.25)，代入得44.25＝2 005.5×＋4 055.25，∴＝－2，当x＝2013(年)时，该地区的恩格尔系数是2 013×(－2)＋4 055.25＝29.25.所以根据线性回归方程的预测，到2013年，该地区的恩格尔系数是29.25.56.如表是某单位1～4月份水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋，由此可预测该单位第5个月的用水量是________百吨.【答案】1.75【解析】＝＝2.5，＝＝3.5.∴3.5＝－0.7×2.5＋，解得＝5.25.∴线性回归方程是＝－0.7x＋5.25.当x＝5时，＝－0.7×5＋5.25＝1.75.57.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得线性回归方程：＝0.56x＋，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为________kg.【答案】70.12【解析】由表中数据可得＝＝170，＝＝69，∵(，)一定在线性回归方程＝0.56x＋上，∴69＝0.56×170＋，解得＝－26.2，∴＝0.56x－26.2，当x＝172时，＝0.56×172－26.2＝70.12.58.某单位为了了解用电量y度与气温x(℃)之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数据如表：由表中数据可得线性回归方程中的＝x＋中的＝－2，预测当气温为5 ℃时，该单位的用电量约为________度．【答案】50【解析】由题意，＝×(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40，将(10,40)代入线性回归方程中＝x＋中，且＝－2，∴40＝10×(－2)＋，解得＝60，∴＝－2x＋60，∴当x＝5时，＝－2×5＋60＝50.59.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定价格进行试销，得到数据如下表：根据上表可得线性回归方程＝x＋中的＝－20，据此模型预报单价为10元时的销量为________件．【答案】50【解析】＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.∵＝－20，＝x＋，∴＝80＋20×8.5＝250，∴线性回归方程为＝－20x＋250，当x＝10时，＝50.60.某产品的广告费x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表：根据如表可知线性回归方程＝7x＋，若广告费用为10万元，则预计销售额为________万元．【答案】73.5【解析】依题意知，＝4.5，＝35，利用线性回归方程恒过样本中心点，得35＝4.5×7＋，∴＝3.5，∴当x＝10时，＝10×7＋3.5＝73.5.61.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)现已知其线性回归方程为＝0.36x＋，则根据此线性回归方程估计数学得80分的同学的物理成绩为______(四舍五入到整数)．【答案】70【解析】由已知数据得，＝＝70，＝＝66，线性回归方程为＝0.36x＋，则66＝0.36×70＋，∴＝40.8.线性回归方程为＝0.36x＋40.8，当x＝80时，＝0.36×80＋40.8≈70.62.在一定范围内，对7块土质相同、形状大小也相同的试验田进行化肥用量对水稻产量影响的试验，得到的对应数据如表(单位：kg)：根据表可得线性回归方程＝x＋中的为4.8，据此估计，当化肥用量为55 kg时，水稻产量为________kg.【答案】519.3【解析】由已知可得：＝(15＋20＋25＋30＋35＋40＋45)＝30，＝(330＋345＋365＋405＋445＋450＋455)≈399.3，∵线性回归方程＝x＋中的为4.8，故＝399.3－4.8×30＝255.3，当化肥用量为55 kg时，水稻产量约为＝4.8×55＋255.3＝519.3.63.某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如下表：根据上表可得回归方程＝x＋中为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5，则，m分别为________．【答案】9.1,54【解析】∵线性回归方程＝x＋中为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5，∴＝9.1，∴＝9.4x＋9.1，∵＝(4＋2＋3＋5)＝3.5，∴＝(49＋26＋39＋m)＝42，∴m＝54.64.某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：由资料显示y对x呈线性相关关系.根据上表提供的数据得到线性回归方程＝x＋中的＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．参考公式：线性回归方程为＝x＋，其中＝，＝－.【答案】15【解析】∵＝＝5，＝＝50，∴这组数据的样本中心点是(5,50)，∵＝6.5，∴＝6.5x＋，把样本中心点代入得＝17.5，∴线性回归方程是＝6.5x＋17.5，当y＝115时，x≈15.65.某商品在5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且线性回归方程是＝－3.2x＋4a，则a＝________.【答案】10【解析】根据题意得，＝＝10，＝＝＋6，因为回归直线过样本中心点(，)，所以＋6＝－3.2×10＋4a，解得a＝10.66.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据表格已得线性回归方程为＝9.4x＋9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________．【答案】37【解析】设该数据的值为a，依题意知，＝3.5，＝(131＋a)，∵利用线性回归方程恒过样本中心点，∴(131＋a)＝3.5×9.4＋9.1，∴a＝37.67.已知下列表格所示的数据的线性回归方程为＝3.8x＋，则的值为________．【答案】242.8【解析】由表格可知，样本中心横坐标为＝4，纵坐标为＝258.由回归直线经过样本中心点，所以258＝3.8×4＋，＝242.8.68.某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程＝－2x＋，则＝________.【答案】60【解析】由表格得＝＝10，＝＝40，(，)在线性回归方程＝－2x＋上，∴40＝10×(－2)＋，解得＝60.69.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为＝0.85x－0.25.由以上信息，得到下表中c的值为_______________．【答案】6【解析】∵＝(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝(2.5＋3＋4＋4.5＋c)＝，∴这组数据的样本中心点是(5，)，把样本中心点代入线性回归方程＝0.85x－0.25，∴＝0.85×5－0.25，∴c＝6.70.一位大学生在暑期社会实践活动中，为了解农村家庭年储蓄y与年收入x的关系，抽取了20个家庭进行调查，根据获得的数据计算得xi＝100，yi＝40，并得到家庭年储蓄y对年收入x的线性回归方程为＝x－1.5，则＝________.【答案】0.7【解析】因为x i＝100，y i＝40，所以＝5，＝2，代入＝x－1.5，可得2＝5－1.5，所以＝0.7.71.已知下表所示数据的线性回归方程为＝4x＋242.则实数a＝________.【答案】262【解析】由题意，＝4，＝(1 028＋a)，代入＝4x＋242，可得(1 028＋a)＝4×4＋242，∴a＝262.72.某产品的广告费用x(单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程＝9.4x＋9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________．【答案】39【解析】设●为a，则由题意，＝3.5，＝(129＋a)，代入＝9.4x＋9.1，可得(129＋a)＝9.4×3.5＋9.1，∴a＝39.73.某脑科研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据：由散点图可以看出x与y具有线性关系，若线性回归方程为＝x－2.3，则＝________.【答案】0.7【解析】∵线性回归方程经过样本中心点坐标，∴＝＝9，＝＝4，将样本中心点(9,4)代入线性回归方程为＝x－2.3，可得4＝×9－2.3.解得＝0.7.74.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，若y与x的线性回归方程为＝3x－，则m＝________.【答案】4【解析】由题意，＝1.5，＝，∴样本中心点的坐标为(1.5，)，∵回归直线必过样本中心点，y与x的线性回归方程为＝3x－，∴＝3×1.5－1.5，∴m＝4.75.根据如下样本数据得到的线性回归方程为＝x＋.若＝7.9，则的值为________．【答案】－1.4【解析】由题意可得＝(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，∵线性回归方程为＝x＋.若＝7.9，且回归直线过点(5,0.9)，∴0.9＝5＋7.9，解得＝－1.4.76.某企业对自己的拳头产品的销售价格(单位：元)与月销售量(单位：万件)进行调查，其中最近五个月的统计数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：＝－3.2x＋40，则n＝________.【答案】10【解析】由题意，＝＝10，＝＝，因为线性回归方程是：＝－3.2x＋40，所以＝－32＋40，所以n＝10.77.高三某学习小组对两个相关变量收集到6组数据如下表：由最小二乘法得到线性回归方程＝0.82x＋11.3，发现表中有两个数据模糊不清，则这两个数据的和是_____________________________________________________．【答案】89【解析】由表中数据得：＝35，＝(151＋m＋n)，由最小二乘法求得线性回归方程＝0.82x＋11.3，将＝35，＝(151＋m＋n)，代入线性回归方程，得m＋n＝89.78.已知相关变量x，y之间的一组数据如下表所示，回归直线＝x＋所表示的直线经过的定点为(1.5,5)，则mn＝________.【答案】12【解析】∵线性回归方程经过中心点坐标，∴＝＝1.5；＝＝5，解得m＝6，n＝2.∴mn＝12.79.下表提供了某学生做题数量x(道)与做题时间y(分钟)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则表中t的值为________．【答案】3【解析】由题意，＝＝4.5，＝＝，∵y对x 的线性回归方程是＝0.7x＋0.35，∴＝0.7×4.5＋0.35，∴t＝3.80.对具有相关性的变量x、y，其样本中心为(2,3)，若y与x 的线性回归方程为＝mx －，则m ＝________.【答案】【解析】∵回归直线必过样本中心点(2,3)，y与x 的线性回归方程为＝mx －，∴3＝2m －，∴m ＝.三、解答题(共0小题,每小题12.0分,共0分)41。

北师大版高中数学必修三最小二乘估计同步练习.docx

桑水最小二乘估计同步练习思路导引1.在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据.第n 年 1 2 3 4 5 居民年收入x （亿元） 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 某商品销售额y （万元）25.0 30.0 34 37 39.0 第n 年 6 7 8 9 10 居民年收入x （亿元） 38.0 39.0 43 44.6 46.0 某商品销售额y （万元）4142424851.0（1）画出散点图；（2）如果它们具有线性关系，请用Excel 软件求出回归直线方程.解：（1）根据数据画出散点图.y =x 1.447 - 15.84310 20 30 40 50605040302010y /万元x /亿元图1－9－13（2）从散点图看出它们具有线性关系，可以用最小二乘估计方法或用Excel 软件求出回归直线方程y =1.447x －15.843.2.每立方米混凝土的水泥用量x （单位：kg ）与28天后混凝土的抗压强度（单位：kg/cm 2）之间的关系有如下数据.x 150 160 170 180 190 200 y 56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 x210220230240250260←（1）先画散点图；（2）发现线性相关性；（3）作回归直线，求出回归方程.←（1）利用散点图判断线性相关性；（2）用Excel 软件求回归直线方程.y74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7 （1）利用散点图判断它们的相关性；（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程. 解：（1）画出散点图.y=x0.304 +10.28310080604020010*******系列1线性(系列1)y(k g/c m2)x()k g图1－9－14（2）从散点图看出y与x具有线性关系，可以用计算机或计算器求出线性回归方程y=0.304x+10.283.桑水。

北师大版高一数学必修3同步单元卷-最小二乘估计

同步单元卷（6）最小二乘估计1、已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为+ˆa ˆˆybx =,若某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为y b x a ='+',则以下结论正确的是( )A.',ˆˆ'bb a a >> B.',ˆˆ'bb a a >< C.',ˆˆ'bb a a << D.',ˆˆ'bb a a <> 2、某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查,y 与x 具有相关关系,回归方程为0.66.52ˆ16yx =+,若某城市居民人均消费水平为7.675千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A.83%B.72%C.67%D.66%3、四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y 与x 负相关且 2.34.4ˆ7623y x =-;②y 与x 负相关且 3.476 5.6ˆ48yx =-+; ③y 与x 正相关且 5.43.4ˆ7893y x =+;④y 与x 正相关且 4.326 4.5ˆ78yx =--. 其中一定不正确的结论的序号是( )A.①②B.②③C.③④D.①④4、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A. 0.4.3ˆ2yx =+ B. 2 2.4ˆyx =- C. 9ˆ2.5yx =-+ D. 0.3 4.4ˆyx =-+ 5、对变量有观测数据(,)(1,2,,10),i i x y i =⋅⋅⋅得散点图①;对变量,u v 有观测数据(,)(1,2,,10)ui vi i =⋅⋅⋅,得散点图②,由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关,u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关,u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关,u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关,u 与v 负相关6、若在一次试验中,测得(),x y 的四组数值分别是()()()()1,3,?2,3.8,3,5.2,4,6,则y 与x 之间的回归直线方程是( )A. y=x+1.9B. y=1.04x+1.9C. y=0.95x+1.04D. y=1.05x-0.97、下列两个变量间具有相关关系的是() A.出租车费与行驶的里程B.房屋面积与房屋价格C.人的身高与体重D.铁的大小与质量 8、分类变量和的列联表如下,则( )A.越小,说明与关系越弱B. ad bc -越大,说明X 与Y 关系越强C. ()2ad bc -越大,说明X 与Y 关系越强D. ()2ad bc -越接近于0,说明X 与Y 关系越强9、某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关,则其回归方程可能是( ) A. 10200ˆyx =-+ B. 10200ˆyx =+ C. 10200ˆyx =-- D. 10200ˆyx =- 10、下列说法中不正确的是( )A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C.线性回归直线方程最能代表观测值x 、y 之间的关系D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程11、下列关于回归分析的说法中正确的是______________(填上所有正确说法的序号). ①相关系数r 越大,两个变量的相关程度越弱;②残差平方和越大的模型,拟合效果越好;③用相关指数2R 来刻回归效果时,2R 越小,说明模型的拟合效果越好;④用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使21()ni i i y bx a =--∑取最小值时的,a b 的值;⑤在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高.12、如图所示,有5组(),x y 数据的散点图,去掉__________组数据后,剩下的4组数据的线性相关系数最大.13、与函数关系不同,相关关系是一种__________关系,从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为__________,反之两个变量的这种相关关系称为__________.14、某图书管理员对某杂志的阅览人数作了统计,如图所示.下列说法:①根据此散点图,可以判断日期与人数具有线性相关关系;②根据此散点图,不能判断日期与人数具有相关关系.其中正确的是__________.(填序号)15、下列关系中,是相关关系的有__________.①学生的学习态度与学习成绩之间的关系;②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系;③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系;④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.16、下列关系中,具有相关关系的是__________.①正三角形的边长与面积之间的关系;②人的身高与年龄之间的关系;③降雪量与交通事故的发生率之间的关系.17、下列关系中,具有相关关系的是:__________.①正方形的边长和面积之间的关系;②水稻产量与施肥量之间的关系;③人的身高与学习成绩之间的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.答案以及解析1答案及解析：答案：D 解析：有题中数据得72x =,136y =, 代入公式求得271358652677916()2b -⨯⨯==-⨯,135716723a y bx =-=-⨯=-.易求得'2b =,'2a =-,∴','b b a a <>,故选D.2答案及解析：答案：A 解析：由0.66.52ˆ16y x =+知,当7.675y =时,6113660x =,∴所求百分比为7.6757.67566083%6113x ⨯=≈.3答案及解析：答案：D解析：由正负相关的定义知,①错,表达式表示的是正相关,④错,表达式表示的负相关,故①④一定错.选D.4答案及解析：答案：A解析：变量x 与y 正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程. ∵变量x 与y 正相关,∴可以排除C,D;样本平均数3x =, 3.5y =,代入A 符合,B 不符合,故选:A.5答案及解析：答案：C解析：由图(1)可知, y 随x 的增大而减小,各点呈下降趋势,变量x 与y 负相关,由图(1)可知, v 随u 的增大而增大,各点呈上升趋势,变量u 与v 正相关,6答案及解析：答案：B 解析：1+2+3+43+3.8+5.2+62.5, 4.544x y ====,将()2.5,4.5代入选项验证得B 项正确.7答案及解析：答案：C解析：A,B,D 都具有函数关系,只有C 具有相关关系,故选C.8答案及解析：答案：C解析：()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++,若()2ad bc -越大,则k 越大,说明X 与Y 关系越强.9答案及解析：答案：A解析：本题考查的知识点是回归分析的基本概念,根据某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关,故回归系数应为负,再结合实际进行分析,即可得到答解:由x 与y 负相关,可排除B 、D 两项,而C 项中的102000ˆyx =--< 点评:两个相关变量之间的关系为正相关关系,则他们的回归直线方程中回归系数为正;两个相关变量之间的关系为负相关关系,则他们的回归直线方程中回归系数为负10答案及解析：答案：D解析：选项A,B,C 都符合相应的概念,选项D 中,只有得到观测数据的两个变量具有线性相关关系时,求出的回归直线方程才有代表意义.11答案及解析：答案：④⑤解析：①中相关系数r 越接近于0,两个变量的相关程度越弱,②中残差平方和越大的模型,拟合效果越差,③用相关指数2R 来刻画回归效果,2R 越大,说明模型的拟合效果越好,④⑤描述正确.12答案及解析：答案：D解析：在散点图中,点的分布越接近回归直线,两个变量的相关性越大.13答案及解析：答案：随机; 正相关; 负相关解析：14答案及解析：答案：①解析：散点图中的各点,并不都在某一条直线上,所以不具有一次函数关系,因为大部分点分布在某条直线附近,所以具有线性相关关系.15答案及解析：答案：①②解析：16答案及解析：答案：③解析：两变量之间的关系有两种:函数关系与相关关系.①正三角形的边长与面积之间的关系是函数关系;②人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而它们不具有相关关系;③降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.17答案及解析：答案：②④解析：两变量之间的关系有两种:函数关系与相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;②水稻产量与施肥量之间的关系是相关关系;③人的身高与学习成绩之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系;④降雪量与交通事故的发生率之间是相关关系,因此填②④.。

高中数学第一章统计相关性与最小二乘估计训练北师大版必修3

相关性与最小二乘估计变量间的相关性是统计的重要内容，通过收集实际问题中两个有关联变量的数据作出散点图，由散点图直观认识变量间的相关性。

若线性相关，根据最小二乘法建立线性回归方程是这一节的重要内容。

在各类考试中，本节难度不大，是基础题，主要考查变量间相关性的判断、画散点图、求线性回归方程以及利用线性回归方程对总体进行估计等，下面举例剖析。

1用定义判断两个变量间的相关性例1下列关系中，具有相关性的是（）①人的身高与体重；②学生的身高与学生的学习成绩； ③教师的执教水平与学习成绩；④球的表面积与球的半径。

A ①② B ①③ C ②③ D ②④解析：人的身高越高，一般来说体重越大，具有相关性；学生的身高与学习成绩不具有相关性；教师的执教水平越高，一般来说学生的学习成绩越好，具有相关性；球的半径确定，表面积也随之确定，所以球的表面积与球的半径之间是函数关系，不具有相关性，故选B. 点评：相关性是指两个变量间确实有关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，两个变量间的关系具有随机性和不确定性，主意并不是任何两个变量间都有相关性。

2用散点图判断两个变量间的相关性例2下面的4个三点图中，两个变量具有相关性的是（）A ①②B ①③C ②④D ③④解析：由图可知①是一次函数关系，不是相关关系；②的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③的散点不具任何关系，是不相关的；④的散点在某曲线附近波动是非线性相关的，即两个变量具有相性的是②④，故选C.点评：散点图直观的描述了两个变量间有没有相关性。

由散点图判断相关关系有两种情况，若所有的点看上去都在一条直线波动，是线性相关的；若所有的点看上去都某条曲线附近波动，是非线性相关德。

这两种情况都说明两个变量间具有相关性。

3求回归方程及应用例3某车间为了规定工时定额,数据如下:（1）在图1中画出表中数据的散点图，并判断两个变量之间是否具线性相关？（2）求加工时间y 与零件个数x 之间的回归直线方程, 并在图1中画出回归直线;（3）试预测加工10个零件需要多少时间.（注:x b y axn xy x n yx bni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==）解析:（1）散点图如图2, y 与x 具有线性相关系. （2）由表中数据得5.3)5432(41=+++=x , 5.3)5.4435.2(41=+++=y , ,54251694412=+++=∑=i ix,5.525.4544335.2241=⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i ii yx05.15.37.05.3ˆˆ,7.05.34545.35.345.52ˆ2=⨯-=-==⨯-⨯⨯-=∴x b y a b, 故回归直线方程为05.17.0ˆ+=x y. （3）当10=x 时,05.805.1107.0ˆ=+⨯=y（小时）所以预测加工10个零件需要8.05小时.点评：求线性回归方程的基本步骤:①画出两个变量的散点图,观察它们是否具有相关性; ②线性相关,用最小二乘法估计线性回归方程中的参数; ③写出回归直线方程.由于求回归方程时计算量太大，因此计算时要认真细致力求准确.2图。

高中数学第一章统计1.8最小二乘估计同步训练北师大版必修3【含答案】

§8 最小二乘估计1．工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为y ＝50＋80x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元B ．劳动生产率每提高1 000元，则工资平均提高80元C ．劳动生产率每提高1 000元，则工资平均提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率提高2 000元 2．下列说法中不正确的是( )A ．回归方程中，变量x 和y 都是普通变量B ．变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定C ．回归系数可能是正的也可能是负的D ．如果回归系数是负的，y 的值随x 的增大而减小 3．关于最小二乘法的叙述，不正确的是( ) A ．它是使总离差的平方和最小的一种计算方法B ．用最小二乘法求出的系数可以使回归直线更贴近实际情况C ．由观察值使用最小二乘法求出的系数a 、b 叫回归系数D ．根据最小二乘法求出回归系数，从而可以表示出线性回归方程，这个方程可以代表每个数据的准确值4．对于线性回归方程y ＝4.75x ＋257，当x ＝28时，y 的估计值是( ) A ．360 B ．390 C ．420 D ．4505．为了表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度，我们表示它常用(∑i ＝1nxi 为求和符号，表示为 ∑i ＝1nxi ＝x1＋x2＋…＋xn)( )A.∑i ＝1n[yi －(a ＋bxi)] B.∑i ＝1n[(a ＋bxi)－yi] C.∑i ＝1n[yi －(a ＋bxi)]2 D.∑i ＝1n(yi －y )2 答案：1．B 由线性回归方程的意义，当x 每提高1(千元)时，y 平均约提高80元，∴应选B.2．A 变量x 、y 可以都是随机变量，也可以一个是普通变量，一个是随机变量，故A 不正确． 3．D 最小二乘法是求回归直线方程系数的一种方法，它求出的系数使总离差的平方和最小，也就是使表示出的回归直线更贴近实际，但是回归直线只能是估计数据的情况，不能准确表示数据的具体情况．4．B 将x 的值28代入回归直线方程得到的函数值即为y 的估计值，∴估计值是4.75×28＋257＝390.故选B.5．C 由最小二乘法的定义知，C 正确．1．下列有关线性回归方程的说法，不正确的是( )A ．线性回归方程的两个变量对应的点大都分布在某一直线附近B ．线性回归方程中两个变量的实际值，不一定是线性回归方程的解C ．线性回归方程最能代表观测值x 、y 之间的关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程2．设有一个线性回归方程为y ＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位 D ．y 平均减少2个单位3．(2009山东烟台模拟，6)由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)得到的线性回归方程为y ＝bx ＋a ，那么下列说法不正确的是( ) A ．直线y ＝bx ＋a 必经过点(x ，y )B ．直线y ＝bx ＋a 至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)中的一个点C ．直线y ＝bx ＋a 的斜率为∑i ＝1nxiyi －n xy∑i ＝1nx2i －n x 2D ．直线y ＝bx ＋a 和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)的偏差∑i ＝1n[yi －(bxi ＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的总离差中最小的直线4．某炼钢厂废品率x(%)与成本y(元/t)的线性回归方程为y ＝105.492＋42.569x ，当成本控制在176.5元/t 时，可以预计生产1 000 t 钢中，约有 t 钢是废品．5．某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图； (2)求线性回归方程；(3)若该产品的广告费为900万元，则其销售额约是多少？答案：1．D 两个变量如果是线性相关的，我们就可以用一条直线来近似找到两个变量间的数量关系，但这样的直线不止一条．如果一条直线与散点图上的所有的点的距离最小，我们就把这条直线称为回归直线，相应的方程称为线性回归方程，由此概念可知D 项不对． 2．C b ＝－1.5＜0，∴x 增加一个单位时，y 平均减少1.5个单位，故选C.3．B 由回归方程的求法知：a ＝y －b x ，即y ＝a ＋bx ＝y －b x ＋bx ，y －y ＝b(x －x )，所以(x ，y )在直线上，即A 正确；回归直线不一定经过散点图中的点，只要求直线到各点的距离的离差的平方和最小，即C 、D 两项正确．4．16.68 ∵176.5＝105.492＋42.569x ，∴x≈1.668，即成本控制在176.5元/t 时，废品率为1.668%，所以，生产1 000 t 钢中，约有1 000×1.668%＝16.68(t)钢是废品． 5．解：(1)散点图如下图(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．于是可得，b ＝∑i ＝15xiyi －5xy∑i ＝15x2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5，于是所求的回归直线方程是y ＝6.5x ＋17.5.(3)由(2)知，销售额y 对广告费x 的线性回归方程为：y ＝6.5x ＋17.5， ∴当x ＝9(百万)时，y ＝6.5×9＋17.5＝76(百万)， ∴当广告费为900万元时，销售额约是7 600万元．1．变量y 与x 之间的线性回归方程( ) A ．表示y 与x 之间的函数关系 B ．表示y 与x 之间的不确定性关系 C ．反映y 与x 之间的真实关系形式D ．反映y 与x 之间的真实关系达到最大限度的吻合答案：D2.“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的．他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y 与父亲的身高x 的回归方程y ＝a ＋bx 中，b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,1)C ．(0,1)D ．[1，＋∞) 答案：C 由遗传规律知，父母高者，其子女也较高， ∴b＞0，又由子代平均身高向中心回归，∴b＜1，故选C.3．某化工厂为预测某产品的回收率y ，要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得： ∑i ＝18xi ＝52，∑i ＝18yi ＝228，∑i ＝18x2i ＝478，∑i ＝18xiyi ＝1 849，则y 对x 的回归方程是( )A ．y ＝11.47＋2.62xB ．y ＝－11.47＋2.62xC ．y ＝2.62＋11.47xD ．y ＝11.47－2.62x答案：A ∵x ＝18(x1＋x2＋…＋x8)＝18×52＝6.5，y ＝18(y1＋y2＋…＋y8)＝18×228＝28.5，∴由公式得b ＝1 849－8×6.5×28.5478－8×6.52≈2.62，∴a＝y －b x ＝28.5－2.62×6.5＝11.47，∴线性回归方程为：y ＝11.47＋2.62x.4．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，线性回归方程为y ＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A ．72% B ．83% C ．66% D ．67%答案：B 由已知y ＝7.675，代入线性回归方程y ＝0.66x ＋1.562，得x≈9.262 1， ∴所求百分比为7.6759.262 1≈83%.∴选B.5．(2009宁夏银川模拟，7)某调研人员从调查中获知某公司近年来科研费用支出(xi)万元与公司所获得利润(yi)万元的统计资料如下表：则利润(yi)对科研费用支出(xi)的线性回归方程为( ) A ．y ＝2x ＋20 B ．y ＝20x ＋2 C ．y ＝2x ＋40 D ．y ＝－2x ＋40答案： A 由最小二乘法求出线性回归方程的系数分别为2和20，所以线性回归方程是y ＝2x ＋20，故选A.6．对于一条线性回归直线y ＝a ＋bx ，如果x ＝3时，对应的y 的估计值是17，当x ＝8时，对应的y 的估计值是22，那么可以估计出回归直线方程是________，由此判断当x ＝________时，y 的估计值为38.答案：y ＝x ＋14 24 首先把两组值代入线性回归方程，得⎩⎪⎨⎪⎧3b ＋a ＝178b ＋a ＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1a ＝14，所以回归直线方程是y ＝x ＋14；令y ＝38，求得x ＝24.7．(易错题)下列五个命题，正确命题的序号为． ①任何两个变量都具有相关关系．②圆的周长与该圆的半径具有相关关系．③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系． ④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的．⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．答案：③④⑤ 变量的相关关系是变量之间的一种近似关系，并不是所有的变量都有相关关系，而有些变量之间是确定的函数关系．例如，②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系；另外，线性回归方程是描述这种关系的有效的方法．如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程是没有意义的．点评：(1)两个变量之间可能具有“确定性关系(即函数关系)”，也可能具有“相关关系”，还可能“没有任何关系”，判断两个变量之间的关系要注意弄清“函数关系”与“相关关系”的不同点，否则会出错．(2)通过散点图可判断两变量的相关关系，只有两个变量具有相关关系时，求线性回归方程才有意义，否则求回归直线方程或由方程进行估计都会失去意义．基础知识把握不牢是本题错解的主要原因．8．要分析学生初中升学考试的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩(x)和高一年级期末数学考试成绩(y)(如下表)：(1)画出散点图；(2)判断入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)是否有线性相关关系；(3)如果x 与y 具有线性相关关系，求出线性回归方程；(4)若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．解：(1)入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)两组变量的散点图如下：(2)从散点图可以看出这两组变量具有线性相关关系．(3)设所求的线性回归方程为y ＝a ＋bx ，经计算可得：x ＝70，y ＝76.3，其他数据如下表． i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 xi 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 700 yi 65 78 52 85 92 89 73 98 56 75 763 xi23 9694 489 2 025 7 7446 561 5 041 2 704 9 801 3364 5 77651 474xiyi 4 095 5 226 2 340 7 480 7 452 6 319 3 796 9 702 3 248 5 700 55358 ∴b＝55 358－10×70×76.351 474－10×702＝1 9482 474≈0.7 874，a ＝y －b x ＝76.3－0.787 4×70≈21.18.因此所求的线性回归方程为y ＝21.18＋0.787 4x.(4)把某学生入学数学成绩80分代入线性回归方程可得：y≈84分，即这个学生高一期末数学成绩预测值为84分．。

高中数学北师大版必修三学业分层测评第1章 8 最小二乘估计 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．(·重庆高考)已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数＝，＝，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )＝＋＝－＝－＋＝－＋【解析】线性回归方程一定经过样本点的中心(，)，将(，)逐个代入验证只有项符合．【答案】．(·湖北高考)已知变量和满足关系＝－＋，变量与正相关．下列结论中正确的是( )．与负相关，与负相关．与正相关，与正相关．与正相关，与负相关．与负相关，与正相关【解析】因为变量和满足关系＝－＋，其中－＜，所以与成负相关；又因为变量与正相关，不妨设＝＋(＞)，则将＝－＋代入即可得到：＝(－＋)＋＝－＋(＋)，所以－＜，所以与负相关，综上可知，应选.【答案】．在一次试验中，测得(，)的四组值分别为()，()，()，()，则与之间的线性回归方程为( )．＝＋．＝＋．＝＋．＝－【解析】＝＝，＝＝，因为回归方程过样本中心(，)，故正确．【答案】．(·广州高一检测)已知，的取值如下表所示：若与线性相关，且＝＋，则＝( )．．．．【解析】＝＝，＝＝，又回归直线经过(，)，所以＝×＋，＝.【答案】．有人收集了春节期间平均气温(单位：℃)与某取暖商品的销售额(单位：万元)的有关数据如下表：归方程＝＋的系数＝－.则预测平均气温为－℃时，该商品的销售额为( ) ．万元．万元．万元．万元【解析】由已知，得＝＝－，＝＝，所以＝－＝＋×(－)＝，即线性回归方程为＝－，当＝－时，＝.【答案】二、填空题．(·潍坊高一检测)某地区近年居民的年收入与支出之间的关系大致符合＝＋(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为亿元，则年支出估计是亿元．【解析】由题意知，＝×＋＝(亿元)，即年支出估计是亿元．【答案】．调查了某地若干户家庭的年收入(单位：万元)和年饮食支出(单位：万元)，调查显示年收入与年饮食支出具有线性相关关系，并由调查数据得到对的回。

【生产】北师大版高中数学必修319最小二乘估计同步测试题3篇

【关键字】生产最小二乘估计同步练习◆知识检测1．5个学生的数学和物理成绩如下表：学生 A B C D E学科数学80 75 70 65 60 物理70 66 68 64 62画出散点图，并判断它们是否有相关关系。

2．在7块并排、形状大小相同的实验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）：施化肥量15 20 25 30 35 40 45x水稻产量330 345 365 405 445 450 455 y（1）在图中画出散点图；（2）试判断施化肥量x与水稻产量y是否线性相关？3.对于线性返回方程，当时，的估计值是_______．4.一个工厂在某年里每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据．x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50（1）画出散点图；（2）判断x与y是否具有线性相关关系？若有，求出月总成本y 与月产量x之间的返回直线方程．◆能力提高1．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的返回方程为，下列判断正确的是（）A．劳动生产率为1000元时工资为130元B．劳动生产率提高1000元时，工资提高80元C．劳动生产率提高1000元时，工资提高130元D．当月工资为210元时，劳动生产率为2000元2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用最小二乘法，求得返回方程所对应的直线分别为，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值为S，对变量y的观测数据的平均值为t，那么下列说法正确的是（）A ．（S，t）B．，但交点不一定是（S，t）C．必定平行D．必定重合3．一机器可以按各种不同的速度运转，其生产的物件有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的多少，随机器运转的速度而变化，下列为其试验结果：则机器速度的影响每小时生产有缺点物件数和返回线性方程为___________．4．已知某宠物医院要对狗的血液某项指标进行检测，已测得10只狗的血球体积及红血球数的值如下表：（1）画出上表的散点图；（2）求出返回直线并画出图形．5．1907年一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为192吨到3246吨，船员的数目从5人到32人，船员人数关于船的吨位的返回分析得到如下结果：船员人数＝．（1）假定两艘轮船吨位相差1000吨，船员平均人数相差多少？（2）对于最小的船估计的船员数是多少？对于最大的船估计的船员数是多少？◆技能培养1．有人说：“人的两臂平伸，两中指尖之间的距离就等于这人的身高。

2020学年高中数学课时作业9最小二乘估计北师大版必修3

课时作业(九)一、选择题1．某地区调查了2～9岁的儿童的身高，由此建立的身高y (cm)与年龄x (岁)的回归模型为y ＝8.25x ＋60.13，下列叙述正确的是( )A ．该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cmB ．该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cmC ．该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cmD ．利用这个模型可以准确地预算该地区每个2～9岁儿童的身高解析：由y ＝8.25x ＋60.13知斜率的估计值为8.25，说明每增加一个单位年龄，约增加8.25个单位身高，故选B.答案：B2．设有一个线性回归方程为y ＝3－2.5x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加2.5个单位 B ．y 平均增加1个单位 C ．y 平均减少2.5个单位D ．y 平均减少1个单位解析：y 2＝3－2.5(x ＋1)，y 1＝3－2.5x ， ∴y 2－y 1＝－2.5，∴选C. 答案：C3．试验测得四组(x ，y )的值为(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x ＋2C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x －1解析：x ＝2.5，y ＝3.5，∑i ＝14x i y i ＝40，∑i ＝14x 2i ＝30.所以b ＝40－4×2.5×3.530－4×2.52＝1， a ＝3.5－1×2.5＝1，故回归直线方程为y ＝x ＋1.故选择A. 答案：A4．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程y ＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%解析：该城市居民人均消费水平7.675＝0.66x ＋1.562.解得x ≈9.262 1，则估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.6759.262 1≈83%.答案：A5．下表是某厂1到4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据：用水量y 与月份x 0.7x ＋a ，则a 的值为( )A ．5.25B ．5C ．2.5D ．3.5解析：x －＝2.5，y －＝3.5，代入回归方程，得3.5＝－0.7×2.5＋a ，∴a ＝5.25. 答案：A6．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200解析：由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除B 、D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意，故选A.答案：A 二、填空题7．在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时有以下步骤：①利用回归方程进行预测；②收集数据(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ；③求出线性回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．则正确的操作顺序是________．答案：②④③①8．期中考试后，某班对50名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ＝6＋0.4x ，由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩相差________分．解析：设两名同学的总成绩分别为x 1，x 2，则x 1－x 2＝50，∴数学成绩相差6＋0.4x 1－(6＋0.4x 2)＝0.4(x 1－x 2)＝20.答案：209．某饮料店的日销售收入y (单位：百元)与当天平均气温x (单位：℃)之间有下列数据：甲、乙、①y ＝－x ＋2.8；②y ＝－x ＋3；③y ＝－1.2x ＋2.6，其中正确的是________．(只填写序号)解析：x －＝0，y －＝2.8，把x －＝0，y －＝2.8代入①②③检验，只有①符合．答案：① 三、解答题10．假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的．若10个学生初一(x )和初二(y )的数学分数如下：解：因为x ＝71，∑i ＝110x 2i ＝50 520，y ＝72.3，∑i ＝110x i y i ＝51 467，所以b ＝51 467－10×71×72.350 520－10×712≈1.218 2， a ＝72.3－1.218 2×71＝－14.192，回归直线方程是：y ＝1.218 2x －14.192.11．已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表：508.72(1)(2)求出回归直线方程并画出图形．解：(1)散点图如下：(2)x ＝110(45＋42＋46＋48＋42＋35＋58＋40＋39＋50)＝44.5， y ＝110(6.53＋6.30＋9.52＋7.50＋6.99＋5.90＋9.49＋6.20＋6.55＋8.72)＝7.37.设回归直线方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2＝0.175，a ＝y －－b x －＝－0.418，∴所求回归直线方程为y ＝0.175x －0.418.图形见下图：12．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额如下表：商店名称 ABCDE销售额x /千万元 3 5 6 7 9 利润额y /百万元23345(1)(2)用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程； (3)当销售额为4千万元时，估计利润额的大小．解：(1)散点图如下图：两个变量是正相关的．(2)设回归直线的方程是y ＝bx ＋a ，y －＝3.4，x －＝6；∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x － y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝12， a ＝y －－b x －＝3.4－6×12＝0.4，∴利润额y 对销售额x 的回归直线方程为y ＝0.5x ＋0.4.(3)当销售额为4千万元时，利润额为y ＝0.5×4＋0.4＝2.4(百万元)．。

北师大版高中数学必修三同步课时跟踪检测(八) 最小二乘估计

课时跟踪检测（八）最小二乘估计1．设一个线性回归方程为y ＝2＋1.2x ，则变量x 增加1个单位时( ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均减少1.2个单位 C ．y 平均增加2个单位D ．y 平均减少2个单位解析：选A 根据系数b 的意义可得b ＝1.2＞0，因此变量x 增加1个单位时，y 平均增加1.2个单位．2．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知x 与y 之间的一组数据如表：已求得y 关于x 的线性回归方程为y ＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7D ．0.5解析：选D x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝m ＋3＋5.5＋74＝m ＋15.54，因为点(x ，y )在回归直线上，所以m ＋15.54＝2.1×1.5＋0.85，解得m ＝0.5，故选D.3．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次实验，得到5组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)，由最小二乘法求得回归直线方程为y ＝0.67x ＋54.9.若已知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝( )A ．75B ．155.4C ．375D ．466.2解析：选C 因为x ＝15×150＝30，所以y ＝0.67×30＋54.9＝75.所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝5y ＝5×75＝375.4．根据如下样本数据：A ．a >0，b ＜0B ．a >0，b >0C ．a ＜0，b >0D ．a ＜0，b ＜0解析：选A 由题中数据知，b ＜0， ∵x ＝3＋4＋5＋6＋7＋86＝5.5，y ＝4.0＋2.5－0.5＋0.5－2.0－3.06＝0.25，∴0.25＝5.5b ＋a ，∴a ＝0.25－5.5b . 又∵b ＜0，∴a >0.故选A.5．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由线性回归方程中b 的意义可知年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2546．某地区近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合y ＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．解析：由题意知，y ＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)，即年支出估计是12.1亿元．答案：12.17．已知x ，y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝85x －25；④y ＝32x .则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)．解析：由题意知x ＝4，y ＝6，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝85， ∴a ＝y －b x ＝－25，∴y ＝85x －25，故填③.答案：③8．随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x (件)与店铺的浏览量y (次)之间的对应数据如下表所示：(1)(2)根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；(3)要使这种商品的成交量突破100件(含100件)，则这家店铺的浏览量至少为多少？解：(1)散点图如图所示．(2)根据散点图，变量x与y之间具有线性相关关系．数据列成下表：i x i y i x2i x iy i 1230460 244016160 355025250 466036360 587064560 合计25250145 1 390由上表计算出x＝255＝5，y＝2505＝50，代入公式得b＝∑i＝15x i y i－5x y∑i＝15x2i－5x2＝1 390－5×5×50145－5×52＝7，a＝y－b x＝50－7×5＝15，故所求的线性回归方程是y＝15＋7x.(3)根据上面求出的线性回归方程，当成交量突破100件(含100件)，即x＝y－157≥100时，y≥715，所以店铺的浏览量至少为715次．9．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2012201320142015201620172018 年份代号t 1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(2)利用(1)中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ＝y －bt .解：(1)根据数据，可知，t ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋77＝4，y ＝2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.97＝4.3，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，∑i ＝17(t i －t )2＝(－3)2＋(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＋32＝28，所以b ＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ＝y －b t ＝4.3－0.5×4＝2.3.所以y 关于t 的线性回归方程为y ＝0.5t ＋2.3. (2)因为b ＝0.5>0，所以2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长，当t ＝11时，y ＝0.5×11＋2.3＝7.8，所以预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入为7 800元．由Ruize收集整理。

2019_2020学年高中数学第一章统计8最小二乘估计课时跟踪检测北师大版必修3

8 最小二乘估计课时跟踪检测一、选择题1．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y ＝a ＋bx 中，回归系数b ( ) A ．可以小于0 B ．只能大于0 C ．只能等于0 D ．只能小于0解析：b 的取值任意．答案：A2．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l 1、l 2，已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别都是s 、t ，那么下列说法正确的是( )A ．直线l 1和l 2一定有公共点(s ，t )B ．直线l 1和l 2相交，但交点不一定是(s ，t )C ．必有l 1∥l 2D ．l 1与l 2必定重合解析：线性回归方程为y ＝a ＋bx ，a ＝y －b x ，即a ＝t －bs ，t ＝a ＋bs ，∴(s ，t )在回归直线上，∴l 1与l 2必有公共点(s ，t )．答案：A3．以模型y ＝c e kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，其变换后得到线性回归方程为z ＝0.3x ＋4，则c ＝( )A ．0.3B ．e 0.3C ．4D ．e 4解析：z ＝ln y ＝ln(c e kx)＝ln c ＋kx ，因为z ＝0.3x ＋4，所以ln c ＝4，c ＝e 4. 答案：D4．已知具有线性相关关系的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：且回归方程是y ＝0.95x A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5D ．5.5解析：x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝2.2＋4.3＋t ＋4.8＋6.75＝18＋t 5，样本中心点在回归直线上，所以代入得，18＋t5＝0.95×2＋2.6，解得t ＝4.5.答案：C5．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为y ＝5x ＋a ，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为( )A ．8.5B ．9.5C ．10.5D ．11.5解析：x ＝4＋6＋8＋104＝7，y ＝3＋5＋6＋84＝112，样本中心点(x ，y )必在回归直线上，所以代入a ＝112－45×7＝－110，所以当x ＝12时，代入得，45×12－110＝9.5.答案：B6．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的．他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子身高y 与父亲的身高x 的回归方程y ＝β0＋β1x 中，β1( )A ．在(－1,0)内B ．等于0C ．在(0,1)内D ．在[1，＋∞)内解析：由“回归”一词的含义得，在父辈x 的身高太高的情况下，子辈y 的值会比x 小，而父辈x 值太低的情况下，子辈y 值会相对增高．如图，l 1：y ＝x ，则y 与x 的回归直线方程l 2：y ＝β0＋β1x 中，β1应处于(0,1)之间．答案：C 二、填空题7．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均工资为9 000元，则其居民人均消费水平为________千元．解析：当x ＝9千元时，y ＝0.66×9＋1.562＝7.502. 答案：7.5028．若直线y ＝a ＋bx 是四组数据(1,3)，(2,5)，(3,7)，(4,9)的回归直线方程，则a 与b 的关系为________．解析：因为x ＝14×(1＋2＋3＋4)＝52，y ＝14×(3＋5＋7＋9)＝6，因为y ＝a ＋b x ，所以6＝a ＋52b .所以2a ＋5b ＝12.答案：2a ＋5b ＝129．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y (单位：度)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机抽取了4天的用电量与当地气温，并制作了对照表：解析：x ＝10，y ＝40，则回归直线方程过点(10,40)，∴40＝－20＋a ，a ＝60，∴回归直线方程为y ＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ＝－2×(－5)＋60＝70.答案：70 三、解答题10．观察两相关变量得如下数据：解：x ＝0，y ＝0，x 21＋x 22＋…＋x 210＝110，x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 10y 10＝110，b ＝110－10×0×0110－10×02＝1.∴所求回归直线方程为y ＝x .11．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1nx i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x ·y ＝184－10×8×2＝24.由此b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加且b ＝0.3>0，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7.12．某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系如下表：x 3 4 5 6 7 8 9 y66697381899091已知：∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1y 2i ＝45 309，∑7i ＝1x i y i ＝3 487. (1)画出散点图；(2)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程．解：(1)散点图如图．(2)由散点图知，y 与x 有线性相关关系，设回归直线方程为y ＝bx ＋a ，x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917＝5597，∵∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1y 2i ＝45 309，∑7i ＝1x i y i ＝3 487， ∴b ＝3 487－7×6×5597280－7×36＝13328＝4.75，a ＝5597－6×4.75≈51.36，故回归直线方程为y ＝4.75x ＋51.36.13．某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商品名称 ABCDE销售额x /千万元 3 5 6 7 9 利润额y /百万元23345(2)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程；(3)据(2)的结果估计当销售额为1亿元时的利润额．解：(1)销售额和利润额的散点图如图．(2)销售额和利润额具有相关关系，列表如下：x i 3 5 6 7 9 y i 2 3 3 4 5 x i y i615182845x ＝6，y ＝3.4，∑5i ＝1x i y i ＝112，∑5i ＝1x 2i ＝200 所以b ＝200－5×62＝0.5，a ＝y －b x ＝3.4－6×0.5＝0.4.从而得回归直线方程为y ＝0.5x ＋0.4.(3)当x ＝10时，y ＝0.5×10＋0.4＝5.4(百万元)．故当销售额为1亿元时，利润额估计为540万元．。