[配套K12]2017-2018学年高中数学课时跟踪检测(七)数系的扩充和复数的概念新人教A版选

合集下载

【配套K12】2017_2018学年高中数学课时跟踪检测七诱导公式二新人教A版必修4

课时跟踪检测（七）诱导公式（二）层级一学业水平达标1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A ．15B ．－15C ．－265D ．265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.4．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．23解析：选Bsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cosA ＋C2＝sin BD ．sinB ＋C2＝cos A2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，故C 错．∵B ＋C ＝π－A ，∴sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，求值：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ＋α.解：原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13. 所以原式＝－2sin α＝23.层级二应试能力达标1．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( ) A ．－23mB ．－32mC ．23m D ．32m 解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .2．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x D ．f (π－x )＝－f (x )解析：选C f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ； f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C.3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A ．355B ．377C ．31010D ．13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝sin αcos α，∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，∴sin 2α＝910，∵α为锐角，∴sin α＝31010，选C.4．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223B ．223C ．－23D ．23解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos2＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________.解析：原式＝sin45°＋θcos 45°＋θ·sin 45°－θcos45°－θ＝sin 45°＋θcos45°＋θ·sin[90°－45°＋θ]cos[90°－45°＋θ]＝sin 45°＋θcos 45°＋θcos 45°＋θsin 45°＋θ＝1.答案：16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝912. 答案：9127．已知f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15.又α是第三象限的角，所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f (α)＝265.8．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12.又0<α<π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12. 又0<β<π，故cos β＝±32.。

2017—2018学年度第二学期教学质量检查高一数学参考答案_最新修正版

2017—2018学年度第二学期教学质量检查高一数学参考答案及评分标准二、填空题(每小题5分,满分20分)13.52 14．7； 15．0.95； 16．5三、解答题 17．解:（1）与垂直，得0a b ⋅= 即021=+-k ……………………3分解得21=k ．……………………5分（2）依题意，10102521||||cos =⨯+-==b a b a θ，……………………7分 54110121cos 22cos 2-=-⨯=-=∴θθ.……………………10分18．（本小题满分l2分）(1)由题意：第2组的人数：70＝5×0.07×n ，得到：n ＝200，故该组织有200人.……………………………………………… 3分(2)第3组的人数为0.3×200＝60，第4组的人数为0.2×200＝40，第5组的人数为0.1×200＝20. ∵第3，4，5组共有120名志愿者，∴利用分层抽样的方法在120名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：60120×6＝3；第4组：40120×6＝2；第5组：20120×6＝1. ……………… 5分记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1， B 2，第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)， (A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)， (A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有15种.……………………………………………… 8分其中第3组的3名志愿者A 1，A 2，A 3，至少有一名志愿者被抽中的有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，共有12种.…………………………………………… 10分则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为P ＝1215＝45. ………12分19. （本小题满分l2分）解：（1）66880838490+++++=q y ，又80y =，75=∴q . ……………………………………………………3分（2）4567891362x +++++==， ………………………………………………………………4分2133050680241327162b ∧-⨯⨯∴==-⎛⎫- ⎪⎝⎭………………………………………………………………6分 ()138041062a ∧∴=--⨯= ………………………………………………………………7分 4106y x ∧∴=-+ ………………………………………………………………8分（3）4106y x ∧=-+1111410690,909001y x y y ∧∧∴=-+=-=-=<，所以()()11,4,90x y =是“理想数据”；2222410686,|868421y x y y ∧∧=-+=-=-=，所以()()22,5,84x y =不是“理想数据”;3333410682,838211y x y y ∧∧=-+=-=-==，所以()()33,6,83x y =是“理想数据”.所以所求的“理想数据”为)90,4( ，)83,6(. …………………………………………12分 20. （本小题满分l2分）解析: （1）()2ππ2sin 1cos 242f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin22sin 213x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，………………………3分令222232k x k πππππ-+≤-≤+ k Z ∈51212k x k ππππ∴-+≤≤+ k Z ∈ …………………3分∴()f x 单调增区间为5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈.令ππ2π32x k -=+， k Z ∈，得5ππ122k x =+， k Z ∈，………………………4分∴()f x 的对称轴为5ππ122k x =+， k Z ∈． ………………………………5分(2) 关于x 的方程()2f x m -=在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解∴()2f x m -=∴π2sin 2123x m ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解 ………………………6分 ∴函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像和直线12m y +=在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不同的交点……8分ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ππ2π2,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由图可知，1122m +≤< ………………10分11m ≤<． ……………………………12分 21.（1）解：设点Q (x ，y )、P (x 0，y 0). ……………………………… 1分∵点P 在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－5)2＝4. ………………………………………… 2分又∵P A 的中点为点Q ，∴⎩⎨⎧2x ＝x 0＋12y ＝y 0＋1②③………………………………………… 3分由②③得x 0＝2x －1，y 0＝2y －1代入①得 (2x －1－3)2＋(2y －1－5)2＝4，化简得(x －2)2＋(y －3)2＝1.………………………………………… 4分（2）假设存在直线l ，使得6=∙OM ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2 (x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－(2k ＋4)x ＋4＝0， ………… 6分由△＝(2k ＋4)2－16(1＋k 2)＞0得0＜k ＜43，且x 1＋x 2＝2k ＋41＋k 2，x 1x 2＝41＋k 2，…………………………………… 8分又ON OM ∙＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)41＋k 2＋2k ×2k ＋41＋k 2＋4＝10， …………… 10分解得2k =-±2k =-不满足△＞0， ………… 11分所以当2k =-+l ，使得10=∙ON OM .……… 12分22.解：（1）当1=a 时，1cos sin cos sin )(-++-=x x x x x f ，令x x t c o s s i n +=，则]2,2[-∈t ，21cos sin 2-=t x x ，22)1(21121)(--=-+--=t t t t g ，当1=t 时，0)(m ax =t g ，当2-=t 时，223)(m in --=t g ，所以)(x f 的值域为]0,223[-- ………………………………………………………………4分（2）1)cos (sin cos sin )(-++-=x x a x x x f ，令sin cos t x x =+，则当3[0,]4x π∈时，t ∈，21sin cos 2t x x -=， 2221111()1()2222t h t at t a a -=-+-=--++， …………………………… 5分 )(x f 在3[0,]4π内有且只有一个零点等价于()h t 在[0,1){2}内有且只有一个零点，)2,1[无零点.因为1≥a ， ………………………………………………………………6分 ∴()h t 在[0,1)内为增函数，①若()h t 在[0,1)内有且只有一个零点，)2,1[无零点，故只需10(1)01(0)0020302a h h h ⎧⎪->⎧>⎪⎪-⎪≤⇒≤⎨⎨⎪⎪>⎩->得423>a ；…………10分 ②若2为()h t 的零点，)2,1[内无零点，则0232=-a ，得423=a ，经检验，423=a 不符合题意. 综上，423>a .…………12分。

【配套K12】2017-2018学年高一数学下学期期末试题(含解析)

四川省棠湖中学2017-2018学年度高一下期末教学质量检测数学试题一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，集合【答案】B【解析】B．【答案】A【解析】分析：利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值即可.详解：故选A.点睛：本题考查利用诱导公式和特殊角的三角函数化简求值，属基础题.3. 已知函数A. -3B. 0C. 1D. -1【答案】C4.C. D.【答案】A．故选：A．点睛：本题考查了平面向量的模长公式，二倍角公式，属于基础题．5.B. C. D.【答案】B..................6.【答案】D【解析】A：m⊥α，n?β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确C：α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误D：α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故D正确故选D．7.A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】D之后应用向量的投影的定义求得结果.在方向上的投影为 A.点睛：该题考查的是向量在另一向量方向上的投影问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件是向量的数量积等于零，再者就是向量在另一向量方向上的投影的公式要正确使用.8.D.【答案】B因为故选B.9.【答案】C当且仅当m=n时取等号。

本题选择C选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误10.A.C.【答案】C【解析】A.A错误B B错误；C C正确D D错误故选C11. 在△ABC P是BN m的值为A. 3B. 1C.D.【答案】C【解析】分析：根据向量的加减运算法则，的值．详解：，．故选C.．点睛：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．12.B. C.【答案】D进而求得当且仅当恒成立，则使恒成立，，求得故选：D．点睛：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.．【答案】4公式将不同底化为同底数即可通过约分求出值，对对数式求值问题，常先用对数运算进行化简，若底数不同用换底公式化为同底在运算.原式考点：1.对数运算法则；2.对数换底公式.14. __________．【解析】轴上的截距最大，。

北师大版2017-2018学年高中数学选修2-3全册课时跟踪训练

北师大版2017-2018学年高中数学选修2-3全册课时跟踪训练目录课时跟踪训练(一) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1 课时跟踪训练(二)排列与排列数公式 (4)课时跟踪训练(三)排列的应用 (7)课时跟踪训练(四)组合与组合数公式 (10)课时跟踪训练(五)组合的应用 (13)课时跟踪训练(六)简单计数问题 (16)课时跟踪训练(七)二项式定理 (19)课时跟踪训练(八)二项式系数的性质 (22)课时跟踪训练(九)离散型随机变量及其分布列 (25)课时跟踪训练(十)超几何分布 (28)课时跟踪训练(十一)条件概率与独立事件 (31)课时跟踪训练(十二)二项分布 (35)课时跟踪训练(十三)离散型随机变量的均值 (39)课时跟踪训练(十四)离散型随机变量的方差 (44)课时跟踪训练(十五)正态分布 (48)阶段质量检测（一） (51)阶段质量检测（二） (56)阶段质量检测（三） (64)阶段质量检测(一) 计数原理 (72)阶段质量检测(二) 概率 (78)阶段质量检测(三) 统计案例 (86)阶段质量检测(四) 模块综合检测 (94)课时跟踪训练(一) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有( )A ．37种B ．1 848种C ．3种D ．6种2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数有( )A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有( )A ．756种B ．56种C ．28种D ．255种4.用4种不同的颜色给矩形A ，B ，C ，D 涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．72种5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．6．如图，A →C ，有________种不同走法．7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5}．(1)求满足条件的椭圆的个数；(2)如果椭圆的焦点在x 轴上，求椭圆的个数．8．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？答案1．选A根据分类加法计数原理，得不同的取法为N＝12＋14＋11＝37(种)．2．选C完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部b有6种选法；第二步，实部a有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数6×6＝36 个．3．选D推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)．4．选D先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法．5．解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)．答案：726．解析：A→C的走法可分两类：第一类：A→C，有2种不同走法；第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法．答案：67．解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：故共有1＋2＋38．解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．因此有N＝8＋12＝20种不同的选法．课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式1．5A 35＋4A 24等于( )A ．107B ．323C ．320D ．3482.A 345！等于( ) A.120 B.125 C.15D.1103．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A 827－a B ．A 27－a34－aC ．A 734－aD ．A 834－a4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( ) A ．16种 B ．6种 C ．15种D ．12种5．已知9！＝362 880，那么A 79＝________. 6．给出下列问题：①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是________．(填序号)7．(1)计算4A 48＋2A 58A 88－A 59；(2)解方程3A x 8＝4A x －19.8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．答案1．选D 原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 2．选C A 345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.3．选D 8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.4．选D 4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A 24＝12种方案．5．解析：A 79＝9！(9－7)！＝362 8802＝181 440. 答案：181 4406．解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③7．解：(1)原式＝4A 48＋2×4A 484×3×2A 48－9A 48＝4＋824－9＝1215＝45. (2)由3A x 8＝4A x －19，得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！，化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 又∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.8．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A 34＝4×3×2＝24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数课时跟踪训练(三)排列的应用1．6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为()A．A66B．3A33C．A33·A33D．A44·A332．(北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．63．由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有()A．56个B．57个C．58个D．60个4．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120C．72 D．245．(大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)6．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，A，B 两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”；又对B说：“你是第三名”．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有________种不同的可能．7．由A，B，C等7人担任班级的7个班委．(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选三人中的1人担任，有多少种分工方案？8．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？答案1．选D甲、乙、丙3人站在一起有A33种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A44种，共有A33·A44种．2．选B若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A23；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.3．选C首位为3时，有A44＝24个；首位为2时，千位为3，则有A12A22＋1＝5个，千位为4或5时有A12A33＝12个；首位为4时，千位为1或2有A12A33＝12个，千位为3时，有A12A22＋1＝5个．由分类加法计数原理知，共有符合条件的数字24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．4．选D剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.5．解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A25种不同的方法．故所有不同的排法共有A44·A25＝24×20＝480(种)．法二：6人排成一行，所有不同的排法有A66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A55A22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．答案：4806．解析：先安排B有1种方法，再安排A有3种方法，最后安排C，D，E共A33种方法．由分步乘法计数原理知共有3A33＝18种方法．答案：187．解：(1)先安排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人的任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600种．8.解：如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有7！2＝2 520种．课时跟踪训练(四)组合与组合数公式1．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？④由1,2,3组成无重复数字的两位数．其中是组合问题的有()A．①③B．②④C．①②D．①②④2．若A3n＝12C2n，则n等于()A．8 B．5或6C．3或4 D．43．下列四个式子中正确的个数是()(1)C m n＝A m nm！；(2)A m n＝n A m－1n－1；(3)C m n÷C m＋1n ＝m＋1n－m；(4)C m＋1n＋1＝n＋1m＋1C m n.A．1个B．2个C．3个D．4个4．若C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于()A．12 B．13C．14 D．155．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.6．方程C x28＝C3x－828的解为________．7．计算：(1)C58＋C98100C77；(2)C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55.8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．答案1．选C ①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．2．选A ∵A 3n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n (n －1)2.解得n ＝8. 3．选D 因为C m n ＝n ！m ！(n －m )！＝1m ！·n ！(n －m )！＝A m nm ！，故(1)正确；因为n A m －1n －1＝n ·(n －1)！(n －m )！＝n ！(n －m )！＝A m n ，故(2)正确；因为Cmn÷Cm ＋1n＝n ！m ！(n －m )÷n ！(m ＋1)！(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！×(m ＋1)！(n －m －1)！n ！＝m ＋1n －m，故(3)正确．因为C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，n ＋1m ＋1C m n ＝n ＋1m ＋1·n ！m ！(n －m )！＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，所以C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n，故(4)正确． 4．选C C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14.5．解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12. 答案：126．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1 ＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. 8．解：(1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．课时跟踪训练(五)组合的应用1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为()A．81B．60C．6 D．112．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有()A．6个B．12个C．18个D．30个3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．284．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．155．(大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)6．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答) 7．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？8．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．答案1．选A分三类：恰有2件一等品，有C24C25＝60种取法；恰有3件一等品，有C34C15＝20种取法；恰有4件一等品，有C44＝1种取法．∴抽法种数为60＋20＋1＝81.2．选B从6个顶点中任取4个有C46＝15种取法，其中四点共面的有3种．所以满足题意的四面体有15－3＝12个．3．选C由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有C12·C27＝42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有C22·C17＝7种不同选法，所以共有42＋7＝49种不同选法．4．选B与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6个；第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4个；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1个．∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．5．解析：第一步决出一等奖1名有C16种情况，第二步决出二等奖2名有C25种情况，第三步决出三等奖3名有C33种情况，故可能的决赛结果共有C16C25C33＝60种情况．答案：606．解析：分两类完成：第一类，A，B，C三门课程都不选，有C46种不同的选修方案；第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C13·C36种不同选修方案．故共有C46＋C13·C36＝75种不同的选修方案．答案：757．解：(1)有C312＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法，所以共有C12C210＝90种抽法．(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有C12C210＋C22C110＝100种抽法．法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种方法，所以共有C312－C310＝100种抽法．8．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410·24＝3 360(种)．即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，所以选取种数为N＝C210＝45(种)，即4只鞋子恰成双有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29·22＝1 440(种)．课时跟踪训练(六)简单计数问题1．从4名男生和3名女生中选3人分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派的方案共有()A．108种B．186种C．216种D．270种2．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A253．(大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有() A．40种B．50种C．60种D．70种5．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．6.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法．7．如图，在∠AOB的两边上，分别有3个点和4个点，连同角的顶点共8个点．这8个点能作多少个三角形？8．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．答案1．选B(1)直接法：从4名男生和3名女生中选出3人，至少有1名女生的选派方案可分为三类：①恰好有1名女生，2名男生，有C13C24A33种方法；②恰好有2名女生，1名男生，有C23C14A33种方法；③恰好有3名女生，有C33A33种方法；由分类加法计数原理得共有C13 C24A33＋C23C14A33＋C33A33＝186种不同的选派方案．(2)间接法：从全部方案数中减去只派男生的方案数，则有A37－A34＝186种不同的选派方案．2．选C从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C28A26.3．选A由分步乘法计数原理，先排第一列，有A33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A33×2＝12种排列方法．4．选B先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．5．解析：有两种满足题意的放法：(1)1号盒子里放2个球，2号盒子里放2个球，有C24C22种放法；(2)1号盒子里放1个球，2号盒子里放3个球，有C14C33种放法．综上可得，不同的放球方法共有C24C22＋C14C33＝10种．答案：106．解析：区域5有4种种法，区域1有3种种法，区域4有2种种法，若1,3同色，区域2有2种种法，或1,3不同色，区域2有1种种法，所以共有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种不同的种法．答案：727．解：从8个点中，任选3点共有C38种选法，其中有一个5点共线和4点共线，故共有C38－C34－C35＝42个不同的三角形．8．解：(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的书给丙，有C22种方法．∴共有不同的分法为C49C35C22＝1 260种．(2)分两步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．∴共有C49C35C22A33＝7 560种．课时跟踪训练(七) 二项式定理1．(x －2y )7的展开式中的第4项为( ) A ．－280x 4y 3 B ．280x 4y 3 C ．－35x 4y 3D ．35x 4y 32．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 4103．(大纲全国卷)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．1684．已知⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．105．(安徽高考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 6．(浙江高考)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.7.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23x n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．8．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．答案1．选A (x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3. 2．选D T k ＋1＝C k 10·x 10－k (－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x 6的系数为9C 410.3．选D 在(1＋x )8展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4展开式中含y 2的项为C 24y2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168，故选D.4．选B ⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r，由r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8.5．解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12. 答案：126．解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r 6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10.答案：－107．解：由题意知，C 8n ＝C 9n .∴n ＝17.∴T r ＋1＝C r 17x 17－r 2·2r ·x －r 3＝C r 17·2r ·x 17－r 2－r 3. ∴17－r 2－r3＝1. 解得r ＝9.∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3，即T 10＝C 917·29·x . 其一次项系数为C 917·29. 8．解：法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 8，则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数C 48·24＝1 120. (2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项， T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 6＝112x 2.课时跟踪训练(八) 二项式系数的性质1．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．－1 024D ．1 0242．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝53．若⎝⎛⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．1204．在⎝⎛⎭⎫ax －1x 4的展开式中各项系数之和是16.则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．－1或35．若(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．6．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________． 7．已知(1＋3x )n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．8．对二项式(1－x )10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和．(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．答案1．选C 令f (x )＝(x －1)11，偶次项系数之和是f (1)＋f (－1)2＝(－2)112＝－1 024.2．选C 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有x ＝5，n ＝4适合．3．选B 由2n ＝64，得n ＝6，∴T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x6－2k(0≤k ≤6，k ∈N )．由6－2k ＝0，得k ＝3.∴T 4＝C 36＝20.4．选D 由题意可得(a －1)4＝16，a －1＝±2，解得a ＝－1或a ＝3.5．解析：令x ＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.答案：－26．解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)·(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝(2－3)4，于是(2＋3)4·(2－3)4＝1.答案：17．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n (n －1)2＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x )15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项．且T 8＝C 715(3x )7＝C 71537x 7， T 9＝C 815(3x )8＝C 81538x 8.8．解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5. (2)C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024.(3)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0. 令x ＝0，得a 0＝1.∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.课时跟踪训练(九)离散型随机变量及其分布列1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和D．倒出的三个小球的颜色种数2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是() A．25B．10C．9 D．53．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝()A．3 B．4C．10 D．不确定4．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P(Y<6)的值为()A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.25．随机变量Y的分布列如下：则(1)x＝(3)P(1＜Y≤4)＝________.6．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1,2,3，其中C为常数，则P(X≥2)＝________.7．若离散型随机变量X的分布列为：求常数a8．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设X ＝m 2，求X 的分布列．答案1．选D A ，B 不能一一列举，不是离散型随机变量，而C 是常量，是个确定值，D 可能取1,2,3，是离散型随机变量．2．选C 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．选C ∵X 等可能取1,2,3，…，n ， ∴X 的每个值的概率均为1n.由题意知P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10.4．选A Y <6，即2X －1<6，∴X <3.5.X ＝1,2,3，P ＝310.5．解析：(1)由 i ＝16p i ＝1，∴x ＝0.1.(2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.(3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4) ＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.556．解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，得C 1×2＋C 2×3＋C 3×4＝1，∴C ＝43.P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝432×3＋433×4＝13.答案：137．解：由离散型随机变量的性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝13，或a ＝23(舍)．所以随机变量X 的分布列为：8．解：(1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3，即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以X ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (X ＝0)＝16，P (X ＝1)＝26＝13，P (X ＝4)＝26＝13，P (X ＝9)＝16.故X 的分布列为课时跟踪训练(十) 超几何分布1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.152．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )A.27 B.38 C.37D.9283．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则C 35C 37C 612是表示的概率是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ＝3)C ．P (X ≤2)D ．P (X ≤3)4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 5525．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．6．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，求X 的分布列．8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．答案1．选B 设X 表示2名代表中有甲的个数，X 的可能取值为0,1，由题意知X 服从超几何分布，其中参数为N ＝6，M ＝1，n ＝2，则P (X ＝1)＝C 11C 15C 26＝13.2．选A 黑球的个数X 服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23C 15C 38＋C 33C 05C 38＝27.3．选B 6人中“三好生”的人数X 服从超几何分布，其中参数为N ＝12，M ＝5，n＝6，所以P (X ＝3)＝C 35C 37C 612.4．选D 设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数．则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.5．解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 23C 210＝815. 答案：8156．解析：由题意知小张抽到选择题数X 服从超几何分布(N ＝10，M ＝6，n ＝4)，小张抽到选择题至少2道的概率为：P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 26C 24C 410＋C 36C 14C 410＋C 46C 04C 410＝3742.答案：37427．解：由题意知，旧球个数X 的所有可能取值为3,4,5,6.则P (X ＝3)＝C 33C 312＝1220，P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220，P (X ＝5)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (X ＝6)＝C 39C 312＝84220＝2155.所以X 的分布列为8．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为课时跟踪训练(十一) 条件概率与独立事件1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件2．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为( )A.25 B.35 C.45D.3103．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.724．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.255．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．6．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．7．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1。

2017-2018学年人教B版高中数学必修四全册课时跟踪检测含解析

2017-2018学年人教B版高中数学必修四全册课时跟踪检测目录课时跟踪检测（一）角的概念的推广 (1)课时跟踪检测（二）弧度制和弧度制与角度制的换算 (4)课时跟踪检测（三）三角函数的定义 (8)课时跟踪检测（五）同角三角函数的基本关系式 (13)课时跟踪检测（六）诱导公式（一、二、三） (17)课时跟踪检测（七）诱导公式（四） (22)课时跟踪检测（八）正弦函数的图象与性质 (27)课时跟踪检测（九）正弦型函数y= Asin (ωx+φ） (32)课时跟踪检测（十）余弦函数的图象与性质 (37)课时跟踪检测（十一）正切函数的图象与性质 (42)课时跟踪检测（十二）已知三角函数值求角 (47)课时跟踪检测（十三）向量的概念 (51)课时跟踪检测（十四）向量的加法 (56)课时跟踪检测（十五）向量的减法数乘向量 (60)课时跟踪检测（十六）向量共线的条件与轴上向量坐标运算 (65)课时跟踪检测（十七）平面向量基本定理 (70)课时跟踪检测（十八）向量的正交分解与向量的直角坐标运算 (75)课时跟踪检测（十九）用平面向量坐标表示向量共线条件 (80)课时跟踪检测（二十）向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律84 课时跟踪检测（二十一）向量数量积的坐标运算与度量公式 (89)课时跟踪检测（二十二）向量在几何中的应用向量在物理上的应用 (94)课时跟踪检测（二十三）两角和与差的余弦 (99)课时跟踪检测（二十四）两角和与差的正弦 (104)课时跟踪检测（二十五）两角和与差的正切 (109)课时跟踪检测（二十六）倍角公式 (115)课时跟踪检测（二十七）半角的正弦、余弦和正切 (121)课时跟踪检测（二十八）三角函数的积化和差与和差化积 (126)阶段质量检测（一）基本初等函数（Ⅱ） (131)阶段质量检测（二）平面向量 (139)课时跟踪检测（一）角的概念的推广层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ②钝角一定大于锐角；③射线OA 绕端点O 按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确． ②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________. 解析：5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z. 又∵180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k ·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216° －144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： (1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z}，回答下列问题： (1)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)∵集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是() A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k ∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．课时跟踪检测（二）弧度制和弧度制与角度制的换算层级一学业水平达标1．把50°化为弧度为()A．50 B. 5π18C. 185π D.9 000π解析：选B50°＝50×π180＝5π18.2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是() A．16πB．32πC．16 D．32解析：选C弧长l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A. 143π B ．－143π C. 718π D ．－718π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．解析：－135°＝－135×π180＝－34π，113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)．解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角．层级二应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A. π3 B.2π3C. 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3. 5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π106．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr .设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.答案：137．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π. 解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.课时跟踪检测（三）三角函数的定义层级一学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，32 B. ⎝⎛⎭⎫－12，32 C. ⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32，∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32. 2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α等于( )A．1 B．－1C.22D．－22解析：选C∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝xr＝12＝22.3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都可能解析：选B∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为()A．－34 B.34C．－32 D.14解析：选A利用三角函数定义易得sin 120°＝32，cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于()A．±15B．±55C．±255D．±12解析：选C在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝255.或者取P(1，－2)，则r＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝－25＝－255.6．计算：tan π6＝________，cscπ6＝________.解析：∵α＝π6，在α的终边上取一点P(3a，a)，∴r＝2a.∴tan π6＝33，cscπ6＝2.答案：33 27．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案：09．已知角θ终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m (m ≠0)，试求cos θ与tan θ的值．解：点P (－3，m )到坐标原点O 的距离r ＝3＋m 2，由三角函数的定义，得sin θ＝yr ＝m 3＋m 2＝24m ，解得m ＝±5.∴r ＝2 2.当m ＝5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)．由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1，解得x 1＝22或x 2＝－22.∴cos α＝22或cos α＝－22，∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．设a <0，角α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( ) A. 25 B ．－25C. 15D ．－15解析：选A ∵点P 在圆x 2＋y 2＝1上，则|OP |＝1. 即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. ∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.答案：－86．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________．解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.又cos 2θ＜0，所以2k π＋π2＜2θ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4＜θ＜k π＋3π4，k ∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k ＝1，即θ的取值范围是5π4＜θ＜7π4. 答案：⎝⎛⎭⎫5π4，7π47．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋log 12x ＋tan x ；(2)f (x )＝cos x .解：(1)由题意得⎩⎨⎧2＋log 12x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，x ≠k π＋π2(k ∈Z ). 解得0<x <π2或π2<x ≤4，所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，4. (2)若使函数有意义，则需满足cos x ≥0，即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z.∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.课时跟踪检测（五）同角三角函数的基本关系式层级一学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B ．－125C.512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．A ．－35B ．－15C. 15D. 35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22.答案：－227．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________.解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值．解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53，∴sin α－cos α＝±153. 层级二应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55B.55C.255 D ．－255解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )C. 13 D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A. 34 B ．±310C. 310D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________.解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32.答案：－326．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1， ∴sin n α＋cos n α＝1. 答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值．解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13.(2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．所以原等式成立．课时跟踪检测（六）诱导公式（一、二、三）层级一学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A. 12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A. 12 B ．－12C ．－32D.32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A. 13 B ．－13C. 233D ．－233解析：选B tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫－π3＋α ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＋α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A. m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)] ＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. 答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________．解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. (2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A. 45 B ．－45C ．±45D. 35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( ) A ．4 B ．3 C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr .4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6； ⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________．解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°) ＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值．解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故原式＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222 ＝2＋22.课时跟踪检测（七）诱导公式（四）层级一学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A. 15 B ．－15C ．－265D.265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B.33C ．－ 3 D. 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D. 23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，求值：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (π＋α).解：原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13.所以原式＝－2sin α＝23.层级二应试能力达标1．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( ) A ．－23mB ．－32mC. 23m D. 32m 解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 2．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin x B ．f (2π－x )＝sin x C ．f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x D ．f (π－x )＝－f (x )解析：选C f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ； f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ； f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C.3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A. 355 B. 377C. 31010D. 13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝sin αcos α，∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，∴sin 2α＝910，∵α为锐角，∴sin α＝31010，选C. 4．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223B. 223 C ．－23D. 23解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2(60°＋α)＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. 5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________. 解析：原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1.答案：16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44， x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9127．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三象限的角，所以cos α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. 所以f (α)＝265.。

课时作业十七数系的扩充和复数的概念答案

(十七) 数系的扩充和复数的概念答案1.B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a ，x 不一定是复数的实部，b ，y 不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y ∈R ，所以y 2－1，－(y －1)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ y 2－1＝0，－(y －1)＝0，解得y ＝1.]2．B [由题知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋2＞0，解得m ＝3.故选B.] 3．A [3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A.]4.C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.] 5.B [因为a ，b ∈R ，“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．]6.－2 [⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.] 7.2 ±2 [由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2.] 8.③ [当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错．] 9.[解] ∵(x －1)＋y i ＞2x ，∴y ＝0且x －1＞2x ，∴x ＜－1，∴x ，y 的取值范围分别为x ＜－1，y ＝0.10.[解] (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.1.B [对于①，因为i 2＝－1，所以1＋i 2＝0，故①正确．对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．对于③，当x ＝1，y ＝i 时x 2＋y 2＝0成立，故③错．④正确．]2.B [由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝－1. 所以z ＝3－i.]3. 2 [方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2＝0，x 2－5x ＋6＝0.解得x ＝2.] 4. ±π2 0 [若z 为实数，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝0，又∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴θ＝±π2. 若z 为纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ≠0，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴θ＝0.] 5.[解] 由于z 1<z 2，m ∈R ， ∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2. 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4， ∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.。

2017_2018学年高中数学课时跟踪检测七映射与函数新人教B版必修120171107316

课时跟踪检测（七）映射与函数层级一学业水平达标1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应法则中，其中，是A到B的映射的有()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：选A根据映射定义知①②正确．③中A的元素4在B中无对应元素，所以该对应不是A到B的映射．④中A的元素3在B中有两个元素与之对应，所以不是A到B的映射．2．已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{y|0≤y≤2}，按对应关系f不能构成从M到N的映射的是()1 1A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x2 32xC．f：x→y＝x D．f：x→y＝32 8解析：选C因为当x＝4时，y＝×4＝∉N，所以C中的对应关系f不能构成从M到N3 3的映射．3．下列对应法则中，能建立从集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是()A．f：x→x2－x B．f：x→x＋(x－1)2C．f：x→x2＋1 D．f：x→x2－1解析：选D集合B中的每个元素都可以写成x2－1的形式．4．在映射f：A→B的作用下A中的元素(x，y)与B中的元素(x－1,3－y)对应，则与B中元素(0,1)对应的A中的元素是()A．(－1,2) B．(0,3)C．(1,2) D．(－1,3)解析：选C由题意知Error!解得Error!所以与B中元素(0, 1)对应的A中的元素是(1,2)．1－x5．有下列对应：①A＝R，B＝R，f：x→y＝；x＋1②A＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手}，B＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手的体重}，f：每个火炬手对应自己的体重；③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝±x.- 1 -其中是 A 到 B 的映射的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选 B ①中，对于 A 中元素－1，在 f 下无意义，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于 A 中元素 4，在 B 中有两个元素 2和－2与之对应，则③不是映射．6．在映射 f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，且 f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与 A中的元素(－1,2)对应的 B 中的元素为________．解析：由题意知，与 A 中元素(－1,2)对应的 B 中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)．答案：(－3,1)7．已知 A ＝ B ＝ R ， x ∈ A ， y ∈ B ， f ： x →y ＝ ax ＋ b,5→5 且 7→11.若 x →20，则 x ＝________.解析：由题意知Error!⇒Error!∴y ＝3x －10.由 3x －10＝20，得 x ＝10.答案：108．f ：A →B 是集合 A 到集合 B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )．若 B 中的元素(6,2)在此映射下的原象是 (3, 1)，那么 k ＝______，b ＝______.解析：由题意Error!即Error!答案：2 19．已知集合 A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：A →B 是从 A 到 B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 23 5＋1)，求 A 中元素 2的象和 B 中元素( 4 )的原象．，2解：将 x ＝ 2代入对应法则，得其象为( 2＋1,3)．1令Error!得 x ＝ .23 51 所以 2的象是( 2＋1,3)，( ，4 )的原象是 .22 10．已知集合 A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，且 a ∈N ，k ∈N ，x ∈A ，y ∈B ，映射 f ：A →B ，使 B 中元素 y ＝3x ＋1和 A 中元素 x 对应，求 a 及 k 的值．解：∵B 中元素 y ＝3x ＋1和 A 中元素 x 对应，∴A 中元素 1的像是 4；2的像是 7；3的像是 10，即 a 4＝10或 a 2＋3a ＝10.∵a ∈N ，∴仅有 a 2＋3a ＝10，得 a ＝2，a ＝－5(舍)．则有 k 的像是 a 4.∴3k ＋1＝24，得 k ＝5.综上得，a ＝2，k ＝5.- 2 -层级二应试能力达标1．下列集合A到集合B的对应f是映射的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{1,2}，f：x→y＝Error!解析：选A在B中，集合A中的元素1在B中有±1两个元素与之对应，∴B不正确．C 中，集合A中的元素0没有倒数，∴C不正确．D中，当x≥0时，B中无对应元素，D不正确．2．设f：A→B是集合A到B的映射，其中A＝{x|x>0}，B＝R，且f：x→x2－2x－1，则A中元素1＋2的象和B中元素－1的原象分别为()A. 2，0或2B．0,2C．0,0或2 D．0,0或2解析：选B x＝1＋2时，x2－2x－1＝(1＋2)2－2(1＋2)－1＝0.∴1＋2的象为0.当x2－2x－1＝－1时，得x＝0或2.∵x>0，∴x＝2，即－1的原象是2.3．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素在A中都能找到元素与之对应，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是()A．4B．5C．6D．7解析：选A注意到对应法则是f：a→|a|，因此3和－3对应集合B中的元素3；2和－2对应集合B中的元素2；1和－1对应集合B中的元素1；4对应集合B中的元素4.所以B＝{1,2,3,4}，有4个元素．4．下列对应是从集合M到集合N的映射的是()1①M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；②M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝N＝x1R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；④M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N.|x|＋xA．①②B．②③C．①④D．②④解析：选D对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.5．定义f(x，y)＝(y2,2y－x)，若f(m，n)＝(1,2)，则(m，n)＝________.解析：由题知Error!∴Error!或Error!∴(m，n)＝(0,1)或(－4，－1)．答案：(0,1)或(－4，－1)- 3 -b6．设a，b为实数，集合M＝{ ，N＝，映射f：x→x表示把集合M－1，，1} {a，b，b－a}a中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b＝________.解析：由f：x→x，知集合M中的元素映射到集合N中没有变化，且N中只有3个元素，所以M＝N.又因为M中－1,1为相反数，所以a，b，b－a这3个元素中有2个互为相反数，分情况讨论，知b＝0，a＝±1，所以a＋b＝±1.答案：±17．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1，4x＋2y－1)．(1)是否存在这样的元素(a，b)，它的象仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．(2)判断这个映射是不是一一映射．解：(1)假设存在元素(a，b)，它的象仍是(a，b)．1由Error!得a＝0，b＝.21∴存在元素( ，它的象仍是自己．0，2 )(2)对任意的(a，b)(a∈R，b∈R)，方程组Error!有唯一解．这说明B中任意元素(a，b)在A中有唯一的原象，所以映射f：A→B是A到B的一一映射．8．已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．解：①当A中三个元素对应B中一个元素时，都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)，∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有1个；都对应－1或1时，∵(－1)＋(－1)≠－1,1＋1≠1，∴这样的映射不合题意．②当A中三个元素对应B中两个元素时，∵1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1,0＋(－1)＝－1，∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个．③当A中的三个元素对应B中的三个元素时，∵(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0，- 4 -∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有2个．综上所述，满足题设条件的映射共有7个.- 5 -。

2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版选修2-2：课时跟踪检测十二数系的扩充和复数的概念含解析精品

课时跟踪检测（十二）数系的扩充和复数的概念层级一学业水平达标1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD.2＋2i解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 2．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4. 3．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；④若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错； ②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A.4．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ＜0且a ＝－b C ．a ＞0且a ≠bD ．a ≤0解析：选D 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0. 5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π4B.π4或54πC ．2k π＋π4(k ∈Z)D ．k π＋π4(k ∈Z)解析：选D 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z)，故选D.6．下列命题中：①若a ∈R ，则a i 为纯虚数；②若a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③两个虚数不能比较大小；④x ＋y i 的实部、虚部分别为x ，y .其中正确命题的序号是________．解析：①当a ＝0时，0i ＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x ＋y i 中未标注x ，y ∈R ，故若x ，y 为复数，则x ＋y i 的实部、虚部未必是x ，y .答案：③7．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.答案：28．已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.解析：由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2. 答案：2 ±29．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋log 2(3－m )i ，m ∈R ，如果z 是纯虚数，求m 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＞0，3－m ＞0，log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(3－m )≠0，解得m ＝－1.10．求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 的值．其中x ∈R ，y 是纯虚数．解：设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ，即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4.即x ＝－32，y ＝4i.层级二应试能力达标1．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.2．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，∴m ＝－1.3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R)有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.4．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( ) A ．k π(k ∈Z) B ．2k π＋π3(k ∈Z)C ．2k π±π6(k ∈Z)D ．2k π＋π6(k ∈Z)解析：选D 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 5．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．解析：∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．答案：{0}6．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则x ＝________，y ＝________. 解析：(x －i)i ＝x i ＋1＝y ＋2i ，则x ＝2，且y ＝1. 答案：2 17．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y －y i 1，求实数x ，y 的值．解：由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y －y i 1＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.8．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，求实数a ，b 的值．解：依题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，① 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.② 由①，得a ＝－3，b ＝±2，由②，得a ＝±3，b ＝－2.综上，a ＝－3，b ＝2，或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。

高中数学同步课时跟踪检测《数系的扩充与复数的引入》

课时跟踪检测(二十九) 数系的扩充与复数的引入1．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－22．在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)3．若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C. 2D ．－ 24．复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( )A.52 B ．－52C.52iD ．－52i5．已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i6．设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．47．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA ―→和OB ―→，其中O 为坐标原点，则|AB ―→|＝________.10．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝________.11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 12.(－1＋i )(2＋i )i 3＝________.13．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________．1．在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．22．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．4．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.5．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z ，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．[答题栏]答案课时跟踪检测(二十九)A 级1．选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0.2．选A 由10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．选B (1＋2i )(2＋i )(1－i )2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i＝－52. 5．选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i.6．选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|A B |＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2. 答案：2 210．解析：z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i ＝－2i.答案：－2i11．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i)12．解析：(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i ＝－1－3i.答案：－1－3i13．解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R. 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i14．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a的虚部为－25.答案：－25B 级1．选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3. 解析：|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3. 答案： 34．解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16. 解之得m ＝1. 答案：15．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－ba ＋1i. ∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．。

[k12精品]2017_2018学年高中数学课时跟踪检测七数系的扩充和复数的概念新人教A版选修1_2

课时跟踪检测（七）数系的扩充和复数的概念层级一学业水平达标1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是 ( )A ．3－3i．3＋i C ．－2＋2i .2＋2i 解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A.2．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.3．下列命题中：①若x ，y ∈C，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；④若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错； ②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A.4．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( )A ．|a |＝|b |B ．a ＜0且a ＝－bC ．a ＞0且a ≠bD ．a ≤0 解析：选D 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0.5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z) D ．k π＋π4(k ∈Z) 解析：选D 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z)，故选D. 6．下列命题中：①若a ∈R，则a i 为纯虚数；②若a ，b ∈R，且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③两个虚数不能比较大小；④x ＋y i 的实部、虚部分别为x ，y .其中正确命题的序号是________．解析：①当a ＝0时，0i ＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x ＋y i 中未标注x ，y ∈R，故若x ，y 为复数，则x ＋y i 的实部、虚部未必是x ，y .答案：③7．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.答案：28．已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.解析：由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝±2. 答案：2 ±2 9．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋log 2(3－m )i ，m ∈R，如果z 是纯虚数，求m 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －3＞0，3－m ＞0，log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(3－m )≠0，解得m ＝－1.10．求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 的值．其中x ∈R，y 是纯虚数．解：设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ，即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32，b ＝4.即x ＝－32，y ＝4i. 层级二应试能力达标1．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2 解析：选C 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.2．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6 解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，∴m ＝－1. 3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R)有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i 解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.4．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( )A ．k π(k ∈Z)B ．2k π＋π3(k ∈Z)C ．2k π±π6(k ∈Z)D ．2k π＋π6(k ∈Z) 解析：选D 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧ sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z，故选D. 5．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a的取值集合为________．解析：∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．答案：{0}6．若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R)，则b ＋a i ＝________.解析：根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－2，∴b ＋a i ＝－2＋i. 答案：－2＋i7．定义运算＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝，求实数x ，y 的值．解：由定义运算＝ad －bc ，得＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.8．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，求实数a ，b 的值．解：依题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.②由①，得a ＝－3，b ＝±2，由②，得a ＝±3，b ＝－2.综上，a ＝－3，b ＝2，或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。

[K12配套]2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十七数系的扩充与复数的引入北师大版选修2_2

课时跟踪训练(十七) 数系的扩充与复数的引入1．复数1＋i 2的实部和虚部分别是( ) A ．1和i B ．i 和1 C ．1和－1D ．0和02．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．－1或－24．已知虚数z ＝x ＋y i 的模为1(其中x ，y 均为实数)，则yx ＋2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0 5．(湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.6．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为________．7．已知复数z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，当实数m 为何值时，①z 是实数；②z ＝4＋6i ；③z 对应的点在第三象限？8．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i答案1．选D ∵1＋i 2＝1－1＝0，故选D.2．选D ∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．3．选B ∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1. 4．选B ∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1.设k ＝yx ＋2，则k 为过圆x 2＋y 2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，∴k ≤13＝33. 又∵z 为虚数，∴y ≠0，∴k ≠0. 又由对称性可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33. 5．解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部，虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i6．解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m 2－1)＋(m 2－2m )i 应为实数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1>0，m 2－2m ＝0，解得m ＝2. 答案：27．解：z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i. ①令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．②⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2－m －6＝6⇒m ＝4.即m ＝4时z ＝4＋6i.③若z 所对应的点在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m <0，m 2－m －6<0⇒0<m <3.即0<m <3时z 对应的点在第三象限．8.解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，如图所示．|z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，|z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. ∴在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。

高中数学人教A版选修1-2课时跟踪检测(七) 数系的扩充和复数的概念 Word版含解析.doc

课时跟踪检测(七) 数系的扩充和复数的概念一、选择题1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )A ．－2B.23 C ．－23 D ．2解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2.2．方程1－z 4＝0在复数范围内的根共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D 由已知条件可得z 4＝1，即z 2＝±1，故z 1＝1，z 2＝－1，z 3＝i ，z 4＝－i ，故方程有4个根．3．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－1或2 解析：选D ∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.4．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C 若此复数是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，|a －1|－1≠0，得a ＝－1，所以当a ≠－1时，已知的复数不是纯虚数．5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋y i 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i ≠0.二、填空题6．设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.解析：因为x ，y ∈R ，所以利用两复数相等的条件有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5，所以x ＋y ＝1.答案：17．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.解析：因为log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，所以m ＝4.答案：48．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________．解析：由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.答案：0三、解答题 9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 满足下列条件？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解：∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.。

2017-2018学年高中数学课时跟踪训练(十七)数系的扩充与复数的引入北师大版选修2-2

课时跟踪训练（十七）数系的扩充与复数的引入1 •复数1 + i2的实部和虚部分别是（）A. 1 和iB. i 和1C. 1 和一1D. 0 和022. 当3<m<1时，复数z= （3 m- 2）+ （ m- 1）i在复平面上对应的点位于（）A第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 若（x2—1）+ （x2+ 3x+ 2）i是纯虚数，则实数x的值是（）A. —1B. 1C. ± 1D. —1 或一24. 已知虚数z= x+ y i的模为1（其中x, y均为实数），则的取值范围是（）5 .（湖北高考）i为虚数单位，设复数Z1, Z2在复平面内对应的点关于原点对称，若Z1 =2 —3i，贝V Z2= _______ .6. 如果（m l—1）+ （m i—2m）i>0，则实数m的值为___.2 27. 已知复数z = （m—3m）+ （m—m—6）i ,当实数m为何值时，①z是实数；②z=4+ 6i ;③z对应的点在第三象限？&在复平面内画出复数1 3Z1=尹寸，1Z2=—1 , Z3=-0Z3,并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系.2••• 1 + i = 1 — 1= 0,故选 D.2 ■/ 3<n <1 ,• 3n — 2>0, n — 1<0, •••点(3 m n 2, n v 1)在第四象限.3.2 2(x — 1) + (x + 3x + 2)i 是纯虚数，• x 2 — 1 = 0, x 2+ 3x + 2工 0. 2 __________________________________ 2x - 1 = 0,得 x =± 1,又由 x + 3x + 2工0,得 x 工―2 且 x 工―1,二 x = 1.4. 选 B ■/ | z | = 1,「. x 2+ y 2= 1.设 k = x +2，贝U k 为过圆 x 2+ y 2= 1上的点和点（一2,0）的直线斜率，作图如图所示，• k w ：=-33. 又T z 为虚数，• y 丰0,.・.k 丰0. 又由对称性可得k € —~3^: n u （ ,0 u 0, 5.解析：由复数的几何意义知， Z 1, Z 2的实部，虚部均互为相反数，故 Z 2=— 2+ 3i. 答案：—2+ 3i6.解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小,厂2 , 小22m —1>0, 可知(m — 1) + (m — 2g i 应为实数，得* 2 m — 2m = 0,解得m= 2. 答案：27.解：z = ( m i — 3m ) + (m i — m-6)i. ①令 m — m- 6 = 0? m= 3 或 m=— 2,即m= 3或m= — 2时，z 为实数. 了吊―3m= 4, ② 2 ? m= 4.m — m- 6= 6 即 m= 4 时 z = 4+ 6i. ③若z 所对应的点在第三象限,1. 2.rm-3m <0,'mi - m- 6<00<m <3.即0<m <3时z 对应的点在第三象限. 乙，Z 2, Z 3的 8.解：根据复数与复平面内的点的 ---- 对应，可知点 2，- ，则向量云，oz±，°Z坐标分别为 2, ¥，（ -1,0）, =1.3 •••在复平面xOy 内，点Z , Z 3关于实轴对称，且乙，Z 2,乙三点在以原点为圆心，1为半径的圆上.。

[K12配套]2017_2018学年高中数学课时跟踪训练一归纳与类比北师大版选修2_2

课时跟踪训练(一) 归纳与类比1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n项可能是( )A．2×10n B．2×10n－1C．2×10n＋1D．2×10n－212.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5A．2 B．4C．6 D．83．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．答案1．选B2．选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.3．选B 由题意知275L2h＝13πr2h⇒275L2＝13πr2，而L＝2πr，代入得π＝258.4．选A 每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．5．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．解：在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝fsin F.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。

2017-2018学年高中数学课时跟踪训练(七)二项式定理北师大版选修2-3

课时跟踪训练(七) 二项式定理1．(x －2y )7的展开式中的第4项为( ) A ．－280x 4y 3 B ．280x 4y 3C ．－35x 4y 3D ．35x 4y 32．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 4103．(大纲全国卷)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．1684．已知⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．(安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 6．(浙江高考)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 7.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．8．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．答案1．选A (x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3. 2．选D T k ＋1＝C k 10·x 10－k(－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x6的系数为9C 410.3．选D 在(1＋x )8展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168，故选D.4．选B ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r，由r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8.5．解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a r x 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12.答案：126．解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r 6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10.答案：－107．解：由题意知，C 8n ＝C 9n . ∴n ＝17. ∴T r ＋1＝C r17x 17－r 2·2r ·x －r 3＝C r 17·2r·x 17－r 2－r 3. ∴17－r 2－r3＝1. 解得r ＝9.∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3，即T 10＝C 917·29·x . 其一次项系数为C 917·29.8．解：法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8，则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.。

[K12配套]2017_2018学年高中数学课下能力提升七新人教A版必修3

课下能力提升(七)[学业水平达标练]题组1 UNTIL 语句及应用1．下列循环语句是程序的一部分，循环终止时，i 等于( ) i ＝1DO i ＝i ＋1LOOP UNTIL i ＞4A ．3B ．4C ．5D ．62．下面程序输出的结果为( )A ．17B ．19C ．21D ．233．如果下列程序执行后输出的结果是132，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为( )A ．i >11B ．i ＞＝11C ．i ＜＝11D ．i <11题组2 WHILE 语句及应用4．下列循环语句是程序的一部分，循环终止时，i 等于( )i ＝1WHILE i ＜3 i ＝i ＋1WENDA ．2B ．3C ．4D ．55．求出下面语句的输出结果． i ＝4S ＝0WHILE i<6i ＝i ＋2 S ＝S ＋i^2WENDPRINT SEND6．给出一个算法的程序框图(如图所示)．(1)说明该程序的功能；(2)请用WHILE 型循环语句写出程序．题组3 循环语句的综合应用7．已知有如下两段程序： i ＝21sum ＝0WHILE i<＝20 sum ＝sum ＋i i ＝i ＋1WEND PRINT sum END i ＝21sum ＝0DOsum ＝sum ＋i i ＝i ＋1LOOP UNTIL i>20PRINT sumEND程序1 程序2程序1运行的结果为________，程序2运行的结果为________．8．下面是“求满足1＋2＋3＋…＋n >2 014的最小的自然数n ”的一个程序，其中有3处错误，请找出错误并予以更正．i＝1S＝1n＝0DOS＝S＋ii＝i＋1n＝n＋1LOOP UNTIL S>2 014输出n＋1[能力提升综合练] 1．如下程序的循环次数为( )x＝0WHILE x＜20x＝x＋1x＝x^2WENDPRINT xENDA．1 B．2 C．3 D．42．读程序：甲：乙：i＝1S＝0WHILE i<＝1 000 S＝S＋ii＝i＋1 WENDPRINT SEND i＝1 000S＝0DOS＝S＋ii＝i－1LOOP UNTIL i<1 PRINT SEND对甲、乙程序和输出结果判断正确的是( )A．程序不同，结果不同B．程序不同，结果相同C．程序相同，结果不同D．程序相同，结果相同3．(2015·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的k值为( )A．3 B．4 C．5 D．64．(2016·吉林高一检测)已知有下面的程序，如果程序执行后输出的结果是360，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为________．5．在下面的程序中，若输出k＝3，则输入的最小整数n＝________.INPUT nk＝0DOn＝2n＋1k＝k＋1LOOP UNTIL n＞100PRINT kEND6．编写一个程序计算12＋32＋52＋…＋992，并画出相应的程序框图．7．输入100个数，将其中正数的个数输出．试用循环语句设计程序．答案[学业水平达标练]1. 解析：选C 该循环语句是直到型循环语句，当条件i＞4开始成立时，循环终止，则i＝5，故选C.2. 解析：选C 当i＝9时，S＝2×9＋3＝21，判断条件9≥8成立，跳出循环，输出S.3. 解析：选D 当i ＝12时，s ＝1×12＝12；当i ＝11时，s ＝11×12＝132.故应填i <11.4. 解析：选B 该循环语句是WHILE 语句，当条件i ＜3开始不成立时，循环结束，则所求i ＝3.故选B.5. 解：该程序的执行过程是i ＝4，S ＝0，i ＝4<6成立，i ＝4＋2＝6，S ＝0＋62＝36；i ＝6<6不成立输出S ＝36.6. 解：(1)该程序的功能是求1＋12＋13＋…＋199的值． (2)程序如下： S ＝0K ＝1WHILE K ＜＝99S ＝S ＋1/K K ＝K ＋1WENDPRINT SEND7. 解析：程序1是计数变量i ＝21开始，不满足i ≤20，终止循环，累加变量sum ＝0，这个程序计算的结果为0；程序2计数变量i ＝21，开始进入循环，sum ＝0＋21＝21，i ＝i ＋1＝21＋1＝22，i >20，循环终止，此时，累加变量sum ＝21，这个程序计算的结果为21.答案：0 218. 解：错误1：“S＝1”改为“S＝0”；错误2：无END 语句，在输出下面加“END”；错误3：“输出n ＋1”改为“PRINT n”．[能力提升综合练]1. 解析：选C 程序执行如下：(1)x ＜20，x ＝0＋1＝1，x ＝12＝1；(2) x ＜20，x ＝1＋1＝2，x ＝22＝4，(3) x ＜20，x ＝4＋1＝5，x ＝52＝25，此时跳出循环，并输出x .∴一共进行3次循环，故选C.2. 解析：选B 执行甲、乙程序后，可知都是计算1＋2＋3＋…＋1 000的值．3. 解析：选B 程序框图运行如下：k ＝0，a ＝3×12＝32，k ＝1，此时32>14；a ＝32×12＝34，k ＝2，此时34>14；a ＝34×12＝38，k ＝3，此时38>14；a ＝38×12＝316，k ＝4，此时316<14，输出k ＝4，程序终止．4. 解析：因为输出的结果是360，即s ＝1×6×5×4×3，需执行4次，s 需乘到3，i＜3后结束算法．所以，程序中UNTIL 后面的“条件”应为i ＜3(或i ＜＝2)．答案：i ＜3(或i ＜＝2)5. 解析：设n ＝a ，则第一次循环，n ＝2 a ＋1，k ＝1；第二次循环，n ＝2(2 a ＋1)＋1＝4 a ＋3，k ＝2；第三次循环，n ＝2(4 a ＋3)＋1＝8 a ＋7，k ＝3，此时，执行“是”，结束循环，输出k ＝3.因此8 a ＋7＞100，即a ＞938，故n 最小为12. 答案：126. 解：程序如下： S ＝0i ＝1DOS ＝S ＋i^2 i ＝i ＋2LOOP UNTIL i ＞99PRINT SEND程序框图如图所示：7. 解：用WHILE 语句编写程序如下：n＝1m＝0WHILE n<＝100INPUT xIF x>0 THENm＝m＋1END IFn＝n＋1WENDPRINT mEND或用UNTIL语句编写程序如下：n＝1m＝0DOINPUT xIF x>0 THENm＝m＋1END IFn＝n＋1LOOP UNTIL n>100PRINT mEND。

【推荐K12】2017_2018学年高中数学课时跟踪训练一命题新人教B版选修1_1

课时跟踪训练(一) 命题1.下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数；⑤人类可以在火星上居住；⑥打开窗户．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．给出命题：方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－33．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ·BC >0，则B 为锐角4．设l 是直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．①等边三角形是等腰三角形；②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④x ＋y 为有理数，则x 、y 也都是有理数．6．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：①(a ·b )c ＝(c ·a )b ；②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中真命题是________．7．判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题．(1)正弦函数y ＝sin x 的定义域是实数集R ；(2)若整数a 是素数，则a 是奇数；(3)对数函数是增函数吗？(4)若平面内两条直线不相交，则这两条直线平行； (5)－2＝2；(6)x >15.8．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}．若A ∩B ＝∅是真命题，求实数m 的取值范围．答案1．选D ①③④⑤是命题，②不能判断真假，不是命题，⑥是祈使句不是命题．2．选C 方程无实根时，应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件．3．选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB ·BC >0时，向量AB 与BC 的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．4．选B 对于选项A ，两平面可能平行也可能相交；对于选项C ，直线l 可能在β内也可能平行于β；对于选项D ，直线l 可能在β内或平行于β或与β相交．5．解析：①是命题且是真命题；②是假命题，数0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况；④是假命题，如x ＝3，y ＝－ 3.答案：①②③④ ①6．解析：①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；③因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0.所以垂直，故③假； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9a ·a －4b ·b ＝9|a |2－4|b |2成立，故④真．答案：②④7．解：上面6个语句中，(3)是疑问句，所以它不是命题；(6)无法判断它的真假，所以它也不是命题；其余4个都可以判断真假，所以它们都是命题，其中(1)(4)(5)是真命题，(2)是假命题．8．解：当Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)<0，即－1<m <32时，A ＝∅，A ∩B ＝∅是真命题；当Δ≥0，即m ≤－1或m ≥32时，设方程x 2－4mx ＋(2m ＋6)＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1≥0，x 2≥0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ≥0，2m ＋6≥0，m ≤－1或m ≥32，解得m ≥32. 所以m 的取值范围是(－1，＋∞)．。