2017-2018学年高中创新设计物理教科版选修3-4学案：第1章 第3讲 简谐运动的图像和公式

第3讲 简谐运动的图像和公式[目标定位] 1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．一、简谐运动的图像1．坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x 随时间t 变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)．2．图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线．3. 由简谐运动图像，可找出物体振动的周期和振幅．想一想 在描述简谐运动图像时，为什么能用薄板移动的距离表示时间？答案 匀速拉动薄板时，薄板的位移与时间成正比，即x ＝v t ，因此，一定的位移就对应一定的时间，这样匀速拉动薄板时薄板移动的距离就能表示时间．二、简谐运动的表达式振动物体离开平衡位置的位移x 与时间t 的关系可用正弦函数(或余弦函数)来表示．即x ＝A sin(ωt ＋φ)其中ω＝2πT ，f ＝1T ，综合可得x ＝A sin(2πTt ＋φ)＝A sin(2πft ＋φ)．式中A 表示振动的振幅，T 和f 分别表示物体振动的周期和频率．物体在不同的初始位置开始振动，φ值不同．三、简谐运动的相位、相位差 1．相位在式x ＝A sin(2πft ＋φ)中，“2πft ＋φ”这个量叫做简谐运动的相位． t ＝0时的相位φ叫做初相位，简称初相． 2．相位差指两振动的相位之差. 一、对简谐运动图像的认识 1．形状：正(余)弦曲线 2．物理意义表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律． 3．获取信息(1)简谐运动的振幅A 和周期T ，再根据f ＝1T求出频率．(2)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图1所示，质点在t 1、t 2时刻的位移分别为x 1和－x 2.图1(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图2中a 点，下一时刻离平衡位置更远，故a 点对应的时刻质点向x 轴正方向振动．图2(4)判断质点的速度、加速度、位移的变化情况：若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小．注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹．比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线．【例1】 (多选)如图3所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )图3A ．由P →Q ，位移在增大B ．由P →Q ，速度在增大C ．由M →N ，位移先减小后增大D ．由M →N ，加速度先增大后减小解析 由P →Q ，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A 正确，选项B 错误；由M →N ，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a ＝F m ＝－kxm 可知，加速度先减小后增大，选项C 正确，选项D 错误．答案 AC借题发挥 简谐运动图像的应用(1)可以从图像中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移．(2)可比较不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小．(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的大小和方向的变化趋势．针对训练1 一质点做简谐运动的图像如图4所示，在前2 s 内具有最大负方向速度的时刻是( )图4A ．0.5 sB ．1 sC ．1.5 sD ．2 s解析 质点经过平衡位置时速度最大，速度方向也可以根据切线斜率的正、负来判断，也可以根据下一时刻位移的变化来判断，还可以根据简谐运动的过程来判断．答案 B二、简谐运动的表达式与相位、相位差 做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式 x ＝A sin(2πft ＋φ)1．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A 、频率f 和初相φ.可根据T ＝1f 求周期，可以求某一时刻质点的位移x .2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解 (1)取值范围：－π≤Δφ≤π.(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相． Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相． (3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前． Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．【例2】 一个小球和轻质弹簧组成的系统按x 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫8πt ＋π4cm 的规律振动． (1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．(2)另一简谐运动的表达式为x 2＝5sin ⎝⎛⎭⎫8πt ＋54πcm ，求它们的相位差． 解析 (1)已知ω＝8π rad/s ，由ω＝2πT 得T ＝14 s ，f ＝1T ＝4 Hz.A ＝5 cm ，φ1＝π4.(2)由Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1得，Δφ＝54π－π4＝π.答案 (1)14 s 4 Hz 5 cm π4(2)π针对训练2 (多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x 1＝4sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3cm ，x 2＝5sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6cm ，下列说法正确的是( ) A ．它们的振幅相同 B ．它们的周期相同 C ．它们的相位差恒定D ．它们的振动步调一致解析 由简谐运动的公式可看出，振幅分别为4 cm 、5 cm ，故不同；ω都是100π rad/s ，所以周期(T ＝2πω)都是150 s ；由Δφ＝(100πt ＋π3)－(100πt ＋π6)＝π6得相位差(为π6)恒定；Δφ≠0，即振动步调不一致．答案 BC简谐运动的图像1．(多选)如图5所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )图5A ．t 1时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动B ．t 2时刻振子的位移最大C ．t 3时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动D ．该图像是从平衡位置计时画出的解析 t 1时刻振子正通过平衡位置向下负方向运动，选项A 错误；t 2时刻振子运动到负向最大位移处，选项B 正确；t 3时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动，选项C 正确；该图像是从正向最大位移处计时画出的，选项D 错误．答案 BC2．装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图6所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则如图所示描述试管振动的图像中可能正确的是( )图6解析 试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移．故正确答案为D.答案 D简谐运动的表达式3．(多选)一弹簧振子A 的位移x 随时间t 变化的关系式为x ＝0.1sin 2.5πt ，位移x 的单位为m ，时间t 的单位为s.则( )A ．弹簧振子的振幅为0.2 mB ．弹簧振子的周期为1.25 sC ．在t ＝0.2 s 时，振子的运动速度为零D ．若另一弹簧振子B 的位移y 随时间变化的关系式为x ＝0.2 sin ⎝⎛⎭⎫2.5πt ＋π4，则振动A滞后B π4解析 由振动方程为x ＝0.1sin 2.5πt ，可读出振幅A ＝0.1 m ，圆频率ω＝2.5π rad/s ，故周期T ＝2πω＝2π2.5π s ＝0.8 s ，故A 、B 错误；在t ＝0.2 s 时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C 正确；两振动的相位差Δφ＝φB －φA ＝π4，即B 超前A π4，或说A 滞后B π4，选项D正确．答案 CD4．(多选)物体A 做简谐运动的振动方程是x A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫100t ＋π2 m ，物体B 做简谐运动的振动方程是x B ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100t ＋π6 m ．比较A 、B 的运动( ) A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 周期相等，都为100 s C ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f B D ．A 的相位始终超前B 的相位π3解析 振幅是标量，A 、B 的振动范围分别是6 m 、10 m ，但振幅分别为3 m 、5 m ，A 错；A 、B 的周期均为T ＝2πω＝2π100 s ＝6.28×10－2 s ，B 错；因为T A ＝T B ，故f A ＝f B ，C 对；Δφ＝φA －φB ＝π3，为定值，D 对．答案 CD题组一 简谐运动的图像1．(多选)关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是( ) A ．表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线B ．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向C ．表示质点的位移随时间变化的规律D ．由图像可判断任一时刻质点的速度方向解析 振动图像表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A 错，C 对；由振动图像可判断质点位移和速度大小及方向，B 、D 对．答案 BCD2．(多选)如图1所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( )图1A．振动周期是2×10－2 sB．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cmC．物体的振动频率为25 HzD．物体的振幅是10 cm解析振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2 s．又f＝1T，所以f＝25 Hz，则A项错误，C项正确；正、负最大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10 cm，则D项正确；第2个10－2 s的初位置是10 cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10 cm，则B项正确．答案BCD3．(多选)一质点做简谐运动的振动图像如图2所示，则该质点()图2A．在0～0.01 s内，速度与加速度同向B．在0.01～0.02 s内，速度与回复力同向C．在0.025 s时，速度为正，加速度为正D．在0.04 s时，速度最大，回复力为零解析F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定a的正负．在x t图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v的正负，由此判断A、C正确．答案AC4．如图3甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是()图3A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增大D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同答案 A5．如图4所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法不正确的是()图4A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿x轴方向移动的C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿x轴方向匀速运动D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同解析该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是沿x轴方向移动的，故选项A、B正确；由获得图像的方法知，选项C错误；频闪照相是在相同时间内留下的小球的像．因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，选项D正确．答案 C6．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是()解析根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝Fm＝－km x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．答案 A7．(多选)图5为甲、乙两单摆的振动图像，则()图5A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4解析由图像可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4.答案BD8．如图6甲、乙所示为一单摆及其振动图像，由图回答：图6(1)单摆的振幅为，频率为，摆长约为(保留一位有效数字)；图中所示周期内位移x最大的时刻为．(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆图中的点．一个周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是．势能增加且速度为正的时间范围是．答案 (1)3 cm 0.5 Hz 1 m 0.5 s 末和1.5 s 末 (2)E 、G 、E 、F 1.5～2 s 0～0.5 s 题组二 简谐运动的表达式与相位、相位差9．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负向最大加速度，则它的振动方程是( )A ．x ＝8×10－3sin ⎝⎛⎭⎫4πt ＋π2m B ．x ＝8×10－3sin ⎝⎛⎭⎫4πt －π2m C ．x ＝8×10－1sin ⎝⎛⎭⎫πt ＋32πm D ．x ＝8×10－1sin ⎝⎛⎭⎫4πt ＋π2m解析 ω＝2πT ＝4π rad/s ，当t ＝0时，具有负向最大加速度，则x ＝A ，所以初相φ＝π2，表达式为x ＝8×10－3·sin ⎝⎛⎭⎫4πt ＋π2m ，A 对． 答案 A10．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π4t ，则质点( )A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同C ．第3 s 末与第5 s 末的位移方向相同D ．第3 s 末与第5 s 末的速度方向相同解析 根据x ＝A sin π4t 可求得该质点振动周期为T ＝ 8 s ，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s 末和第3 s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A 正确，B 错误；第3 s 末和第5 s 末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C 错误，D 正确．答案 AD11．(多选)一弹簧振子沿x 轴振动，振幅为4 cm ，振子的平衡位置位于x 轴上的O 点．图7甲中的a 、b 、c 、d 为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向．图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图像的是( )图7A ．若规定状态a 时t ＝0，则图像为①B ．若规定状态b 时t ＝0，则图像为②C ．若规定状态c 时t ＝0，则图像为③D ．若规定状态d 时t ＝0，则图像为④解析 若规定状态a 时t ＝0，振子从x ＝3 cm 处沿正方向运动，图像①符合，故选项A 正确；若规定状态b 时t ＝0，振子从x ＝2 cm 处沿负方向运动，图像②不符合，故选项B 错误；若规定状态c 时t ＝0，振子从x ＝－2 cm 处沿负方向运动，图像③不符合，故选项C 错误；若规定状态d 时t ＝0，振子从x ＝4 cm 处沿正方向运动，图像④符合，故选项D 正确．答案 AD12．如图8所示，一弹簧振子在M 、N 间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O 为平衡位置，MN ＝8 cm.从小球经过图中N 点时开始计时，到第一次经过O 点的时间为0.2 s ，则小球的振动周期为s ，振动方程为x ＝cm.图8解析 从N 点到O 点刚好为T 4，则有T 4＝0.2 s ，故T ＝0.8 s ；由于ω＝2πT ＝5π2 rad/s ，而振幅为4 cm ，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x ＝4cos5π2t cm. 答案 0.8 4cos5π2t 13．如图9所示为A 、B 两个简谐运动的位移－时间图像．请根据图像写出：图9(1)A 的振幅是 cm ，周期是 s ；B 的振幅是cm ，周期是s. (2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式； (3)在时间t ＝0.05 s 时两质点的位移分别是多少？解析 (1)由图像知：A 的振幅是0.5 cm ，周期是0.4 s ；B 的振幅是0.2 cm ，周期是0.8 s. (2)由图像知：t ＝0时刻A 中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA ＝π，由T A＝0.4 s ，得ωA ＝2πT A ＝5π rad/s.则A 简谐运动的表达式为x A ＝0.5sin(5πt ＋π) cm.t ＝0时刻B 中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了14周期，φB ＝π2，由T B ＝0.8 s 得ωB ＝2πT B ＝2.5π，则B 简谐运动的表达式为x B ＝0.2sin ⎝⎛⎭⎫2.5πt ＋π2cm. (3)将t ＝0.05 s 分别代入两个表达式中得：x A ＝0.5sin(5π×0.05＋π) cm ＝－0.5×22cm ＝－24 cm ，x B ＝0.2sin ⎝⎛⎭⎫2.5π×0.05＋π2cm ＝0.2sin 58π cm. 答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)x A ＝0.5sin(5πt ＋π)cm ，x B ＝0.2sin ⎝⎛⎭⎫2.5πt ＋π2cm (3)x A＝－24cm ， x B ＝0.2sin 58π cm.14．有一弹簧振子在水平方向上的B 、C 之间做简谐运动，已知B 、C 间的距离为20 cm ，振子在2 s 内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t ＝0)，经过14周期振子有正向最大加速度．(1)求振子的振幅和周期；(2)在图10中作出该振子的位移—时间图像；图10(3)写出振子的振动方程．解析 (1)x BC ＝20 cm ，t ＝2 s ，n ＝10，由题意可知：A ＝x BC 2＝20 cm 2＝10 cm ，T ＝t n ＝2 s10＝0.2 s.(2)由振子经过平衡位置开始计时经过14周期振子有正向最大加速度，可知振子此时在负方向最大位移处．所以位移—时间图像如图所示．(3)由A ＝10 cm ，T ＝0.2 s ，ω＝2πT ＝10π rad/s ，故振子的振动方程为x ＝10sin(10πt ＋π)cm.答案 (1)10 cm 0.2 s (2)见解析图(3)x ＝10sin (10πt ＋π)cm。