线面关系

面面垂直
判定定理 一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。 几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β 证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β ∵a⊂α，P∈a ∴P∈α 即α和β有公共点P，因此α与β相交。 设α∩β=b，∵P是α和β的公共点 ∴P∈b 过P在β内作c⊥b ∵b⊂β，a⊥β ∴a⊥b，垂足为P 又c⊥b，垂足为P ∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角 ∵c⊂β ∴a⊥c，即∠aPc=90° 根据面面垂直的定义，α⊥β
面面垂直
性质定理
定理1 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面。 已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α。
求证：OP⊥β。 证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角 α-l-β的平面角。 ∵α⊥β ∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β ∴OP⊥β
线面关系
By 杨珊珊
导入
• 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面 内的直线有哪些位置关系？ • 如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条 直线与已知直线平行？
例题
直线与平面平行
• 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此 平面的交线与该直线平行( “线面平行⇒线线平行”)
面面垂直
定理2 如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂 直于第二个平面的直线在第一个平面内。
定理3 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂 直于第三个平面。
推论 三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
• 判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线 与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
易忽视“线在面内”
平面与平面平行
• 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交 线平行（面面平行⇒线线平行）
• 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个 平面平行( “线面平行⇒面面平行”)
易忽视“面内两条相交线”
总结
• 判断线面的位置关系 • 线面平行的证明 • 线面平行性质的应用
例题—判断线面的位置关系
• 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面 ACE的位置关系为________
例题—判断线面的位置关系
• 已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下 列条件能推出α∥β的是( ) A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β B．l⊂α，m⊂β，且l∥m C．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m
面面垂直
推论1： 如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互 相垂直。 已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β 证明：过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c ∵a∥β ∴a∥c（线面平行的性质定理） ∵a⊥α ∴c⊥α（线面垂直的性质定理） ∵c⊂β ∴β⊥α
面面垂直
推论2 如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。 （可理解为法向量垂直的平面互相垂直） 证明：设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b 则根据线面平行的判定定理，有a∥β ∵a⊥α ∴α⊥β（推论1）
例题—线面平行的证明
构造辅助线
面面平行的证明
• • • • • 判定面面平行的方法： (1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)； (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三 个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．
例题—面面平行的证明
例题—线面、面面平行性质的应用

线面垂直
• 定义 如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这 条直线与此平面互相垂直。
线面垂直
• 性质定理 垂直于同一平面的两条直线垂直。 • 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与平 面垂直。
面面垂直
• 定义： 若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)， 则这两个平面互相垂直。