关于二元函数的连续性课件
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3 二元函数的连续性
z
数,即
1, 当 (x, y) D时, f (x, y) = 无定义, 当(x, y) D时.
lim f ( x , y ) 1 f ( x0 , y0 )
x
1 o
可知, (x0, y0) D
x x0 y y0
但曲面 z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
xy 1 1 . 例 6 求 lim x 0 xy y 0
xy 1 1 xy 1 1 解 lim lim x 0 xy ( x 0 xy xy 1 1) y 0 y 0
1 1 . lim x 0 xy 1 1 2 y 0
例 7 设 D x , y x , y Q R 2 . z f x , y 定义 在 D 上, 且在 D 上恒等于 1, 在别的点上无定义的函
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x , y ) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 2
x2 y2 时
f ( x , y ) f (0,0) 0 连续.
由定义知：
则 P 0 是 f 关于 D 的连续点. 若 P 0 是 D 的孤立点，
若 P 0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P 0 连续等价于
lim f P f P 0 .
若 lim f P f P 0 , 则 P 0 是 f 的不连续点.
§3 二元函数的连续性
一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
数,即
1, 当 (x, y) D时, f (x, y) = 无定义, 当(x, y) D时.
lim f ( x , y ) 1 f ( x0 , y0 )
x
1 o
可知, (x0, y0) D
x x0 y y0
但曲面 z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
xy 1 1 . 例 6 求 lim x 0 xy y 0
xy 1 1 xy 1 1 解 lim lim x 0 xy ( x 0 xy xy 1 1) y 0 y 0
1 1 . lim x 0 xy 1 1 2 y 0
例 7 设 D x , y x , y Q R 2 . z f x , y 定义 在 D 上, 且在 D 上恒等于 1, 在别的点上无定义的函
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x , y ) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 2
x2 y2 时
f ( x , y ) f (0,0) 0 连续.
由定义知：
则 P 0 是 f 关于 D 的连续点. 若 P 0 是 D 的孤立点，
若 P 0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P 0 连续等价于
lim f P f P 0 .
若 lim f P f P 0 , 则 P 0 是 f 的不连续点.
§3 二元函数的连续性
一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
二元函数的连续性
综合起来, 当 | x x0 | , | y y0 | 时, 便有
| g( x, y ) g( x0 , y0 ) | | f ( u, v ) f ( u0 , v0 ) | .
所以 f ( ( x , y ), ( x , y )) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续.
则表示当固定 y y0 时, f ( x , y0 ) 作为 x 的函数, 它 在 x0 连续. 同理, 若 lim y f ( x0 , y0 ) 0, 则表示当
y0
f ( x0 , y ) 在 y0 连续. 固定 x x0 时，
容易证明: 当 f 在其定义域的内点 ( x0 , y0 ) 连续时,
f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) f ( x , y ) f ( x0 , y )
f ( x0 , y ) f ( x0 , y0 ) 2 2 ,
这就证得 f 在 D 上处处连续. ※ 连续函数的局部性质 若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样, 可以 证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性 以及相应的有理运算的各个法则. 下面只证明二元
(2)
如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元 函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或
称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于
f ( P0 ) 时, P0 是 f 的可去间断点.
如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5
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当 | y y0 | 2 , 且 ( x , y ) D 时, 有
| f ( x , y ) f ( x0 , y ) | 2.
二元函数的连续性
f
(Qn )
0
由于D为有界闭域，因此存在收敛子列 Pnk
Pn
，并设lim k
Pnk
P0 D
再在Qn 中取出与 Pnk 下标相同的子列 Qnk ，
则因
0 (Pnk , Qnk )
1 nk
0， k
得到
而有lim k
Qnk
lim
k
Pnk
P0，最后，由f在P0连续，
lim
证明 由f在点Q0连续可知：任给正数 ，存在相应正数 ， 使得当u u0 , v v0 时，有 f (u,v) f (u0 ,v0 ) 又由、在点P0连续可知：对上述正数，总存在正数，使得当x x0 ,
y y0 时，都有 u u0 (x, y) (x0 , y0 ) v v0 (x, y) (x0 , y0 )
从而P0 D 由于f在D上连续，当然在点 P0也连续，因此有
lim
k
f (Pnk )
f (P0 )
这与不等式 (3)相矛盾，所以 f是D上的有界函数。
下面证明f在D上能取到最大、最小值 。设 m inf f (D), M sup f (D)
可证必有一点 Q D，使f (Q) M。否则对任意 P D，都有M f (P) 0
例如 函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
m, 1 m2
(x, y) (x, y) | y mx, x 0
(x, y) (0,0)
其中m为固定实数，即函数 f只定义在直线 y mx上。
由于
lim f (x, y) m f (0,0)
( x, y)(0,0)
1 m2
ymx
因此f在原点沿着直线 y mx是连续的。
二元函数的极限与连续课件
这一准则在证明二元函数的极限时非常有用，因为它允许我们通过比较函数与其他函数的值来推断函 数的极限。
极限的局部保号性质
局部保号性质是指如果一个函数在某一点的邻域内保持一定的符号，那么这个函 数在这一点附近的极限也保持相同的符号。具体来说，如果存在一个正数r和实 数a，使得对于所有满足|x - a| < r的x，有f(x, y) > 0，那么lim f(x, y) >= 0。
二元函数的极限与连续课件
目 录
• 二元函数的基本概念 • 二元函数的连续性 • 二元函数的极限性质 • 二元函数连续与极限的关系 • 二元函数连续性的应用
01
二元函数的基本概念
二元函数的定义
总结词
二元函数是定义在二维平面上的数学函数，通常表示为z = f(x, y)。
详细描述
二元函数是数学中一个重要的概念，它表示一个变量z与两个 变量x和y之间的依赖关系。这种关系通常用z = f(x, y)来表示 ，其中f是函数符号，x和y是自变量，z是因变量。
连续函数与极限的关系
要点一
总结词
连续函数在某点的极限值和在某区间的极限值都存在，且 等于该点的函数值或该区间内所有点的函数值的平均值。
要点二
详细描述
对于连续函数，其在某点的极限值和在某区间的极限值都 存在，并且这两个极限值之间有一定的关系。具体来说， 连续函数在某点的极限值等于该点的函数值，而其在某区 间的极限值等于该区间内所有点的函数值的平均值。这一 性质是判断一个函数是否连续的重要依据。
解释
这个定义描述了函数在某一点附近的局部行为，即当自变量靠近这一点时，函 数的值应该接近于该点的函数值。
二元函数在某点的连续性
判断方法
检查该点的四邻域内的函数值，即检查$f(x,y)$在点$(a,b)$处的极限值是否等于该点的 函数值。
极限的局部保号性质
局部保号性质是指如果一个函数在某一点的邻域内保持一定的符号，那么这个函 数在这一点附近的极限也保持相同的符号。具体来说，如果存在一个正数r和实 数a，使得对于所有满足|x - a| < r的x，有f(x, y) > 0，那么lim f(x, y) >= 0。
二元函数的极限与连续课件
目 录
• 二元函数的基本概念 • 二元函数的连续性 • 二元函数的极限性质 • 二元函数连续与极限的关系 • 二元函数连续性的应用
01
二元函数的基本概念
二元函数的定义
总结词
二元函数是定义在二维平面上的数学函数，通常表示为z = f(x, y)。
详细描述
二元函数是数学中一个重要的概念，它表示一个变量z与两个 变量x和y之间的依赖关系。这种关系通常用z = f(x, y)来表示 ，其中f是函数符号，x和y是自变量，z是因变量。
连续函数与极限的关系
要点一
总结词
连续函数在某点的极限值和在某区间的极限值都存在，且 等于该点的函数值或该区间内所有点的函数值的平均值。
要点二
详细描述
对于连续函数，其在某点的极限值和在某区间的极限值都 存在，并且这两个极限值之间有一定的关系。具体来说， 连续函数在某点的极限值等于该点的函数值，而其在某区 间的极限值等于该区间内所有点的函数值的平均值。这一 性质是判断一个函数是否连续的重要依据。
解释
这个定义描述了函数在某一点附近的局部行为，即当自变量靠近这一点时，函 数的值应该接近于该点的函数值。
二元函数在某点的连续性
判断方法
检查该点的四邻域内的函数值，即检查$f(x,y)$在点$(a,b)$处的极限值是否等于该点的 函数值。
二元函数的连续性
§ 3 二元函数的连续性一、 二元函数的连续性概念由一元函数连续概念引入 .1. )(P f 关于集合D 在0P 连续的定义定义 P100设),()(y x f P f =是定义在2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，或者是孤立点. 若,);(),(,0,00D P U y x P δδε∈∀>∃>∀有ε<-)()(0P f P f ，则称)(P f 关于集合D 在0P 连续，简称)(P f 在0P 连续.D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，)(P f 在0P 连续)()(lim 00P f P f P P =⇔→ 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .“D P U y x P );(),(0δ∈∀”用方邻域叙述用圆邻域叙述函数的增量: 全增量、 偏增量 .用增量的语言叙述)(P f 在0P 连续. （用增量定义连续性） .2. )(P f 在集合D 连续.如果f 在集合D 内每一点连续，则称f 在D 连续，或称f 是D 上的连续函数. 函数在区域上的连续性 .3. )(P f 在0P 不连续.间断点例 （P101）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例 （P95例4 ）⎩⎨⎧+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但点) 0 , 0 (并不连续.补例 求函数)(22y x tg z +=的不连续点。
（讨论函数的连续性）4. 二元连续和单元连续定义 ( 单元连续 )二元连续与单元连续的关系 （P101） 例 （P101）⎩⎨⎧=≠=. 0 , 0, 0 , 1),(xy xy y x f 函数),(y x f 在原点处不连续 但在原点处f 对x 和对y 分别都连续.5. 二元连续函数的性质局部保号性 若f 在点a 连续，并且0)(>a f ，则存在a 的领域)(a O δ，当)(a O x δ∈时有0)(>x f . 局部有界性运算性质 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０）都是连续函数. 定理16.7（复合函数连续性）P102设D 是2R 中的开集，D y x ∈),(00。
二元函数的连续性-PPT精品文档
的某邻域内有定义，并 在点 Q 连续，其中 u ( x , y ) ， v ( x , y ) 0 0 0 0 0 0 0
则复合函数 g ( x , y ) f [ ( x , y ), ( x , y )] 在点 P 也连续。 0
f 在点 Q 连续可知：任给正数 ，存在相应正数 ， 证明 由 0
下面证明 f 在 D 上能取到最大、最小值 。设 m inf f( D ), M sup f( D )
可证必有一点 Q D ，使 f ( Q ) M 。否则对任意 P D ，都有 M f ( P ) 0
1 ) 考察D上的连续正值函数 F(P M f (P )
由已知， F 在 D 上有界，又因 f 不能在 D 上达到上确 M ，所以
一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和。
当函数 f ( x , y ) 在其定义域的内点 ( x , y ) 连续时， f ( x , y ) 在 x 和 f ( x , y ) 在 y 0 0 0 0 0 0
都连续；但是，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性。
f( 0 ,y ) f( x , 0 ) 0 ，
则称 z f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x x , y y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 0 0 0 0
为函数 f 在 P 的 全增量。 0
即当
(x,y) (0,0) (x, y) D
v v ( x , y ) ( x , y ) 0 0 0
当 xx , y y0 时，有 综合起来， 0
g ( x , y ) g ( x , y ) f ( u , v ) f ( u , v ) 0 0 0 0
16-3——华东师范大学数学分析课件PPT
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续函数的性质
又若把上述例3 的函数改为
f
( x,
y)
xy
x2 m
y
1 m2
2
,
,
( x, y) ( x, y) | y mx, x 0,
( x, y) (0, 0),
其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 y m x
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续 0, 则相应得到的
增量称为偏增量, 分别记作
x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 1， xy 0,
f ( x, y) 0， xy 0 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.
数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续
高等教育出版社
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
由上述定义知道: 若P0 是 D 的孤立点, 则 P0 必定是
f 的连续点. 若P0 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
(2)
PD
如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元
函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或
xy
x2 x2
y2 y2
，
二元函数的连续性
由聚点定理的推论， Pn存在收敛子列Pnk
，设
lim
k
Pnk
P0，且D是闭域，
从而P0 D 由于f在D上连续，当然在点 P0也连续，因此有
lim
k
f (Pnk )
f (P0 )
这与不等式 (3)相矛盾，所以 f是D上的有界函数。
下面证明f在D上能取到最大、最小值 。设 m inf f (D), M sup f (D)
xy 0
在原点处显然不连续，但由于
xy 0
z
因此在原点处 f对x和对y分别都连续。
O
y
x
定理1（复合函数的连续性）设函数u (x, y)和v (x, y)在xy平面上
点P0 (x0 , y0 )的某邻域内有定义，并 在点P0连续；函数 f (u, v)在uv平面上点 Q0 (u0 , v0 )
如果P0是D的聚点，而（2）式不成立，则称 P0是f的 不连续点。
特别当(2)式 左边极限存在但不的等 于f (P0 )时，P0是f的
可去间断点。
例如 函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
m, 1 m2
(x, y) (x, y) | y mx, x 0
(x, y) (0,0)
其中m为固定实数，即函数 f只定义在直线 y mx上。
D，
虽然(Pn ,Qn )
1 ，但是
n
f
(Pn )
f
(Qn )
0
由于D为有界闭域，因此存在收敛子列 Pnk
Pn
，并设lim k
Pnk
P0 D
再在Qn 中取出与 Pnk 下标相同的子列 Qnk ，
则因
二元函数的连续性ppt课件
v ( x, y)在点 P0( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义, 并在
点 P0 连续; f (u, v) 在点 Q0(u0 ,v0 ) 的某邻域内有定 义, 并在点 Q0 连续, 其中
u0 ( x0 , y0 ), v0 ( x0 , y0 ). 则复合函数 g( x, y) f (( x, y), ( x, y) ) 在点 P0 也
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
(2)
PD
如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元
函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或
称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于
f (P0 ) 时, P0 是 f 的可去间断点. 如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5
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lim z 0
( x, y) (0, 0) ( x, y)D
时, f 在点 P0 连续. 如果在全增量中取 x 0 或 y 0, 则相应得到的
增量称为偏增量, 分别记作 x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ), y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
在原点间断． ※ 全增量与偏增量 设 P0( x0 , y0 )、P( x, y) D, x x x0 , y y y0, 称 z f ( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0, y0 )
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 为函数 f 在点 P0 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 量形式来描述连续性, 即当
点 P0 连续; f (u, v) 在点 Q0(u0 ,v0 ) 的某邻域内有定 义, 并在点 Q0 连续, 其中
u0 ( x0 , y0 ), v0 ( x0 , y0 ). 则复合函数 g( x, y) f (( x, y), ( x, y) ) 在点 P0 也
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
(2)
PD
如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元
函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或
称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于
f (P0 ) 时, P0 是 f 的可去间断点. 如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5
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lim z 0
( x, y) (0, 0) ( x, y)D
时, f 在点 P0 连续. 如果在全增量中取 x 0 或 y 0, 则相应得到的
增量称为偏增量, 分别记作 x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ), y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
在原点间断． ※ 全增量与偏增量 设 P0( x0 , y0 )、P( x, y) D, x x x0 , y y y0, 称 z f ( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0, y0 )
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 为函数 f 在点 P0 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 量形式来描述连续性, 即当
D83二元函数的极限与连续
如果函数 f (x, y) 在平面区域D内的每一点都连续,
则称函数 f (x, y) 在区域D内连续.
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例5
讨论函数
f
(
x,
y)
xy x2 y2
0
在点 (0, 0) 的连续性.
x2 y2 0 x2 y2 0
解: 例3已证 f (x, y) 在点(0,0)处极限不存在 .
定义8.3 如果对于任意给定的正数, 总存在一个正
数, 使当 0 (x x0 )2 ( y y0)2 时,
f (x, y) A 恒成立, 则称当(x, y)趋于 (x0, y0 ) 时,
函数 f (x, y) 以A为极限, 记作
lim f (x, y) A
(1) 连续的四则运算法则；
(2) 连续函数的复合运算法则；
(3) 初等函数在其定义域中连续；
(4) “连续必定有极限”.
例7
求函数
f (x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2的连续域.Biblioteka 解: 为初等函数.y
其定义域
3 x2 y2 1 x y2 0
2 x2 y2 4 x y2
lim x2 y lim x2 kx2 k
x0 x4 y2 x0 x4 k 2 x4 1 k 2
y kx2
y kx2
可见, 以不同方式趋近(0,0)函数趋于不同数值,
说明极限不存在.
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对于二元函数 f (x, y), 一元函数极限存在的充分必要条件: “左极限=右极限” 不再适用!
0903二元函数的连续性
第九章 多元函数微分法及其应用9.3二元函数的连续性1 2二元函数连续性的定义二元函数间断点的定义13二元连续函数运算性质主要内容4多元初等函数的定义及其连续性的结论5有界闭区域上连续函数的性质1 2二元函数连续性的定义二元函数间断点的定义13二元连续函数运算性质主要内容4多元初等函数的定义及其连续性的结论5有界闭区域上连续函数的性质1、二元函数连续性的定义定义1是一个二元函数，若有设R y x U f →),(:00),(),(lim 00)(),(0,0y x f y x f y x y x =→处在点则称),(00y x f .A 上每一点处都连续在f 描述：、函数连续性的δε-2,0,0>∃>∀δε),),,((),(00δy x U y x ∈∀使得ε<-),(),(00y x f y x f 恒有.连续:A 3上连续、函数在区域)()(lim 00x f x f x x =→回顾：例1⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x yx xy y x f 设二元函数处是否连续？在讨论)0,0(),(y x f 解22)0,0(),()0,0(),(lim ),(lim yx xy y x f y x y x +=→→因为不存在，.)0,0(),(处不连续在所以y x f1 2二元函数连续性的定义二元函数间断点的定义13二元连续函数运算性质主要内容4多元初等函数的定义及其连续性的结论5有界闭区域上连续函数的性质二元函数间断点的定义定义1无定义，在的定义域的聚点，若是函数设),(),(0000y x f f y x ),(),(lim 00)(),(0,0y x f y x f y x y x =→处在点则称),(00y x f 间断，的为称f y x ),(00.间断点或有定义但下式不成立例如处在点)0,0(000),(222222⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=y x y x yx xy y x f .间断1),(22-+=y x xy y x f .122间断在圆周=+y x （间断线）1 2二元函数连续性的定义二元函数间断点的定义13二元连续函数运算性质主要内容4多元初等函数的定义及其连续性的结论5有界闭区域上连续函数的性质二元连续函数的性质证明：利用二重极限的运算法则可以证明上述性质二元连续函数的和、差、积、商（除分母为零的点外） 与复合仍为连续函数。
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PP0
(P)
f
(P0)
PD
不成立，则称 P0 为 f 的不连续点(或称
间断点). 特别当
lim f ( P )
P P0 PD
存在但不等于 f (P0 ) 时, P0 是 f
的可去间断点.
例如 函数f(x,源自y)xyxx22y2 y2
,
(x,y)(0,0),
0,
(x,y)(0,0).
在点 0, 0 处连续.
但反过来，二元函数对单个自变量都连续
并不能保证该函数的连续性.
例如函数
f(x,y)10
xy0 在点 0, 0
xy0
处显然不连续.
但由于 f(0,y)f(x,0)0,因此在点
0, 0 处 f (x, y) 对 x和对 y 分别都连续.
4 一般区域上连续函数性质
（1）若 f 在点 a连续，并且
f (a) 0
xy f(x,y) x2m y2
1m2
(x,y)(x,y) ym,x0
(x,y)(0,0)
在点
0, 0
沿方向 ymx连续，其中 m 为固定实数
这是由于
limf(x,y)lim f(x,m)x m f (0,0)
(x,y) (0,0)
x 0
1m2
ymx
所以函数 f (x, y) 在点 0, 0 沿方向 ymx
的某邻域内有定义，并在 Q0(u0,v0) 连续,其中
u0x0,y0 v0x0,y0.则复合函数
g x ,y fx ,y ,x ,y
在点 P0(x0,y0)D 也连续.
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。
则存在点 a 的邻域 a ，当 xa
时,有 f (x) 0
（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母
不为零）都是连续函数 . （3）（复合函数的连续性）
定理16.7 设 D是 R 2 中的开集， P0(x0,y0)D
函数 ux,y和 vx,y 在点 P0(x0,y0)D
连续.又设函数 f u,v 在 uv平面上点 Q0(u0,v0)
点 ( 1 ,2 ) D 1 { x , y ) ( |x 0 ,y 0 } D. 于是，
lim
x1
x y xy
1 2 12
3 2
.
y 2
例2
求 lim
x0
xyxy11.
y0
解
lim
x0
xy1 xy
1
lim xy11 x0 xy( xy11)
y0
y0
lim 1 x0 xy11
y0
1 2
.
二元连续函数的几何意义
是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上
无定义的函数, 即
如图
z
f (x, y) =
1, 当(x, y) D时, 无定义, 当(x, y) D时.
1
可知, (x0, y0) D,
o x
y
lim f(x,y)1f(x0,y0)
x x0
y y0
但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
f (x, y)在点 P0(x0, y0的) 全增量.
如果在全增量中取 x0或 y 0 则相应的函数的增量称为偏增量.记作
x f( x 0 ,y 0 ) f( x 0 x ,y 0 ) f( x 0 ,y 0 )
y f( x 0 ,y 0 ) f( x 0 ,y 0 y ) f( x 0 ,y 0 )
二 有界闭区域上连续函数的性质 (1) 有界性与最值性. 定理16.8 (有界性与最大、最小值定理) 若函数 f (x, y) 在有界闭区域 DR2上连续,则 f (x, y) 在 D 上有界,且能取得最大值与最小值.
是连续的.
f(x,y)xysin1在 直 线 xy0上 xy
每一点都间断.
2 函数的增量、 全增量、 偏增量
设 P0(x0, y0) P(x, y) D xxx0 yyy0 则称 z f( x 0 ,y 0 ) f( x ,y ) f( x 0 ,y 0 )
为函数
f( x 0 x ,y 0 y ) f( x 0 ,y 0 )
定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 "空洞", 没 有 "裂缝" 的连续曲面.
这里条件 "D 是一区域" 是必要的. 若D不是 区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.
例. 设 D = {(x, y) | x, y 均为有理数} R2. z =f (x, y)
时，f ( x, y0 ) 作为 x 的一元函数在 x 0 连续.
同理，若 lyim 0xf(x0,y0)0 ，则表示 f ( x0 , y ) 作为 y 的一元函数在 y 0 连续.
容易证明：当 f 在其定义域的内点 ( x0 , y0 )
连续时，f ( x, y0 ) 在 x 0 和 f ( x0 , y ) 在 y 0 都连续.
关于二元函数的连 续性
一 二元函数的连续性概念
１ 连续性的定义 定义 设 f 为定义在 DR上2 的二元函数，
P0 D （ P0 为 D的一个聚点或孤立点），
若任给正数 ，总存在 0 ，使得当
P0P 0,D
时， 都f有PfP0
则称 f 关于 D 在点 P0 连续. 在不致误解的情况下，也称 f 在点 P0 连续.
函数 f (x, y) 有定义的孤立点必为连续点. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D
连续，则称 f 为 D 上的连续函数.
记为 f C (D).
若 P0 为 D 的一个聚点，则 f 关于 D 在点 P0 连续等价于
limf
PP0
(P)
f
(P0)
PD
若 P0 为 D 的一个聚点，但
limf
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：
P l iP m 0f(P)f(P 0) (P 0 定义)区域
例1
求极限
lim
x1
x xy
y
.
y 2
解
f(x,y)
xy xy
是多元初等函数。
定义域： D { x ,y ( ) |x 0 ,y 0 }（. 不连通）
一般来说，函数的全增量并不等于相应的两个 偏增量之和.
3 用增量定义函数的连续性
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，
即 当 lim z 0 x,y0,0 x,yD
D 在点 P0 连续.
时，函数 f 关于
若一个偏增量的极限为零，例如 lixm 0xf(x0,y0)0 它表示在 f 的两个自变量中，当固定 y y 0
(P)
f
(P0)
PD
不成立，则称 P0 为 f 的不连续点(或称
间断点). 特别当
lim f ( P )
P P0 PD
存在但不等于 f (P0 ) 时, P0 是 f
的可去间断点.
例如 函数f(x,源自y)xyxx22y2 y2
,
(x,y)(0,0),
0,
(x,y)(0,0).
在点 0, 0 处连续.
但反过来，二元函数对单个自变量都连续
并不能保证该函数的连续性.
例如函数
f(x,y)10
xy0 在点 0, 0
xy0
处显然不连续.
但由于 f(0,y)f(x,0)0,因此在点
0, 0 处 f (x, y) 对 x和对 y 分别都连续.
4 一般区域上连续函数性质
（1）若 f 在点 a连续，并且
f (a) 0
xy f(x,y) x2m y2
1m2
(x,y)(x,y) ym,x0
(x,y)(0,0)
在点
0, 0
沿方向 ymx连续，其中 m 为固定实数
这是由于
limf(x,y)lim f(x,m)x m f (0,0)
(x,y) (0,0)
x 0
1m2
ymx
所以函数 f (x, y) 在点 0, 0 沿方向 ymx
的某邻域内有定义，并在 Q0(u0,v0) 连续,其中
u0x0,y0 v0x0,y0.则复合函数
g x ,y fx ,y ,x ,y
在点 P0(x0,y0)D 也连续.
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。
则存在点 a 的邻域 a ，当 xa
时,有 f (x) 0
（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母
不为零）都是连续函数 . （3）（复合函数的连续性）
定理16.7 设 D是 R 2 中的开集， P0(x0,y0)D
函数 ux,y和 vx,y 在点 P0(x0,y0)D
连续.又设函数 f u,v 在 uv平面上点 Q0(u0,v0)
点 ( 1 ,2 ) D 1 { x , y ) ( |x 0 ,y 0 } D. 于是，
lim
x1
x y xy
1 2 12
3 2
.
y 2
例2
求 lim
x0
xyxy11.
y0
解
lim
x0
xy1 xy
1
lim xy11 x0 xy( xy11)
y0
y0
lim 1 x0 xy11
y0
1 2
.
二元连续函数的几何意义
是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上
无定义的函数, 即
如图
z
f (x, y) =
1, 当(x, y) D时, 无定义, 当(x, y) D时.
1
可知, (x0, y0) D,
o x
y
lim f(x,y)1f(x0,y0)
x x0
y y0
但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
f (x, y)在点 P0(x0, y0的) 全增量.
如果在全增量中取 x0或 y 0 则相应的函数的增量称为偏增量.记作
x f( x 0 ,y 0 ) f( x 0 x ,y 0 ) f( x 0 ,y 0 )
y f( x 0 ,y 0 ) f( x 0 ,y 0 y ) f( x 0 ,y 0 )
二 有界闭区域上连续函数的性质 (1) 有界性与最值性. 定理16.8 (有界性与最大、最小值定理) 若函数 f (x, y) 在有界闭区域 DR2上连续,则 f (x, y) 在 D 上有界,且能取得最大值与最小值.
是连续的.
f(x,y)xysin1在 直 线 xy0上 xy
每一点都间断.
2 函数的增量、 全增量、 偏增量
设 P0(x0, y0) P(x, y) D xxx0 yyy0 则称 z f( x 0 ,y 0 ) f( x ,y ) f( x 0 ,y 0 )
为函数
f( x 0 x ,y 0 y ) f( x 0 ,y 0 )
定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 "空洞", 没 有 "裂缝" 的连续曲面.
这里条件 "D 是一区域" 是必要的. 若D不是 区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.
例. 设 D = {(x, y) | x, y 均为有理数} R2. z =f (x, y)
时，f ( x, y0 ) 作为 x 的一元函数在 x 0 连续.
同理，若 lyim 0xf(x0,y0)0 ，则表示 f ( x0 , y ) 作为 y 的一元函数在 y 0 连续.
容易证明：当 f 在其定义域的内点 ( x0 , y0 )
连续时，f ( x, y0 ) 在 x 0 和 f ( x0 , y ) 在 y 0 都连续.
关于二元函数的连 续性
一 二元函数的连续性概念
１ 连续性的定义 定义 设 f 为定义在 DR上2 的二元函数，
P0 D （ P0 为 D的一个聚点或孤立点），
若任给正数 ，总存在 0 ，使得当
P0P 0,D
时， 都f有PfP0
则称 f 关于 D 在点 P0 连续. 在不致误解的情况下，也称 f 在点 P0 连续.
函数 f (x, y) 有定义的孤立点必为连续点. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D
连续，则称 f 为 D 上的连续函数.
记为 f C (D).
若 P0 为 D 的一个聚点，则 f 关于 D 在点 P0 连续等价于
limf
PP0
(P)
f
(P0)
PD
若 P0 为 D 的一个聚点，但
limf
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：
P l iP m 0f(P)f(P 0) (P 0 定义)区域
例1
求极限
lim
x1
x xy
y
.
y 2
解
f(x,y)
xy xy
是多元初等函数。
定义域： D { x ,y ( ) |x 0 ,y 0 }（. 不连通）
一般来说，函数的全增量并不等于相应的两个 偏增量之和.
3 用增量定义函数的连续性
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，
即 当 lim z 0 x,y0,0 x,yD
D 在点 P0 连续.
时，函数 f 关于
若一个偏增量的极限为零，例如 lixm 0xf(x0,y0)0 它表示在 f 的两个自变量中，当固定 y y 0