专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(1)

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2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案

一、（本题满分50分）以0B 和1B 为焦点的椭圆与△01A B B 的边i A B 交于i C （0,1i =）. 在

0AB 的延长线上任取点0P ，以0B 为圆心，00B P 为半径作圆弧 00P Q 交10C B 的延长线于0Q ；以1C 为圆心，10C Q 为半径作圆弧 01Q P 交1B A 的延长线于1P ；以1B 为圆心，11B P 为半径作圆弧 11P Q 交10B C 的延长线于1Q ；以0C 为圆心，01C Q 为半径作圆弧 10

Q P '，交0AB 的延长线于0P '. 试证：

（1）点0P '与点0P 重合，且圆弧 00P Q 与 01

P Q 相内切于0P ；（2）四点0011,,,P Q Q P 共圆.

【证明】（1）显然0000B P B Q =，并由圆弧 00P Q 和 01Q P ， 01Q P 和 11P Q ， 11P Q 和 10

Q P '分别相内切于点011,,Q P Q ，得1000C B B Q C P +

=,11111001B C C P B C C Q +=+以及

0100

.C Q C B B P '=

+ 四式相加，利用11101000B C C B B C C B +=+以及0P '在00B P 或其延长线上，有0000B P B P '=.

从而可知点0P '与点0P 重合。由于圆弧 10Q P 的圆心0C ,圆弧 00P Q 的圆心0B 以及0P 在同一直线上，所以圆弧 10

Q P 和 00P Q 相内切于点0P . （2）现在分别过点0P 和1P 引上述相应相切圆弧的公切线0P T 和1P T 交于点T.又过点1Q 引相应相切圆弧的公切线11R S ，分别交0P T 和

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）

考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10

一、（本题满分40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．

二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式

0111)(a x a x a x x f n n n ++++=-- 具有如下性质：

（1）110,,,-n a a a 均为正整数；

（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有

)()()()(21k r f r f r f m f ≠．

三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j k i

j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4

)(2

n r f n <．

四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值． A B

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题

参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)

一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．

１．设P 是函数2

y x x

（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是．

解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即00

2.y x x x =-++

由00000

011(,).22y x

A x x y x x x x x

=⎧⎪

⇒++⎨=-++⎪⎩

又00

2(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001

() 1.PA PB x x ⋅=

⋅-=- ２．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3

cos cos 5

a B

b A

c -=，

则tan tan A B

的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅

-⋅=,即2223

5a b c -=故2222222

222222

28tan sin cos 2542tan sin cos 5

a c

b a

c A A B c

a b ac b c a B B A b c a c b +-⋅+-=====+-+-⋅

. ３．设,,[0,1]x y z ∈，则

解:不妨设

01,x y z

≤≤≤≤则M

2011年全国高中数学联赛加试试题参考答案与评分标准

从而由①知 f (t) ≡ 2(mod 4) ．
………………20 分
因此，对任意 k (k ≥ 2) 个正整数 r1, r2 ,L, rk ，有
f (r1 ) f (r2 )L f (rk ) ≡ 2k ≡ 0(mod 4) ．但对任意正整数 m ，有 f (m) ≡ 2(mod 4) ，故
f (m) ≡/ f (r1 ) f (r2 )L f (rk )(mod 4) ，从而 f (m) ≠ f (r1 ) f (r2 )L f (rk ) ．所以 f (x) 符合题设要求．
2011 年全国高中数学联合竞赛加试
试题参考答案及评分标准（A 卷）
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分； 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不要再增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）如图， P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC, BD 的中点．若 ∠BPA = ∠DPA ，证明： ∠AQB = ∠CQB ．
AB ⋅ CD = PC ⋅ BD
………………20 分
从而有
AB ⋅ CD = 1 AC ⋅ BD = AC ⋅ ( 1 BD) = AC ⋅ BQ ，
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

bn+1 bn 2 b1 2
bn b1
22
故
an = 2 ，于是有 t n −1 n
an
=
2(t n −1) n
．
（2） an+1
− an
=
2(t n+1 −1) n +1
−
2(t n −1) n
[ ] =
2(t −1) n(n +1)
n(1+ t + L + t n−1 + t n ) − (n +1)(1+ t + L + t n−1 )
的切线与抛物线 y 2 = 2 px 只有一个公共点，所以原点 O 不能是所设内接三角形的顶点，即
(xi , yi ) ≠ (0, 0), i = 1, 2, 3 ．
因为 A1 A2 所在的直线与抛物线 x 2 = 2qy 相切，所以 A1 A2 不能与 y 轴平行，即
已知数列{an } 满足： a1
=
2t
−2
(t ∈ R
且t
≠
±1)
， an+1
=
2(t n+1 −1)an an + 2t n − 2
(n ∈ N*)
．
（1）求数列{an } 的通项公式；

2011年全国高中数学联赛试题参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）

考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．

1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为

}8,5,3,1{-=B ，则集合=A

．

2．函数1

1)(2-+=

x x x f 的值域为．

3．设b a ,为正实数，2211≤+b

，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．

4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．

5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）

6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．

7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．

8．已知=n a C ()

)95,,2,1(2162003200

=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅⋅-n n

n ，则数列}{n a 中整数项的个数为．

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)2

(专家预测卷)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案及评分标（专家预测）

时间:2011-9-1122

一、如图，M，N分别为锐角三角形△ABC(∠A＜∠B=的外接圆D上弧

的中点.过点C作PC∥MN交圆D于P点，I为△ABC的内心，连接PI

并延长交圆D于T.

(1)求证：MP·MT=NP·NT；

(2)在弧(不含点C)上任取一点Q(Q≠A，T，B)，记△AQC，△QCB的

内心分别为I1，I2.

求证：Q，I1，I2，T四点共圆.

证明：(1)连NI，MI.由于PC∥MN，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯

形.因此NP=MC，PM=NC.……10分

连AM，CI，则AM与CI交于I，因为

∠MIC=∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI=∠MCI，

所以MC=MI.同理NC=NI.

于是NP=MI，PM=NI.

故四边形MPNI为平行四边形.因此S△PMT=S△PNT(同底，等高).……20分

又P，N，T，M四点共圆，故∠TNP+∠PMT=180°，由三角形面积公式

于是PM·MT=PN·NT.……30分

(2)因为∠NCI1=∠NCA+∠ACI1=∠NQC+∠QCI1=∠CI1N,

所以NC=NI1，同理MC=MI2.由MP·MT=NP·NT得. 由(1)所证MP=NC，NP=MC，故

.……40分

又因∠I1NT=∠QNT=∠QMT=∠I2MT，

有△I1NT∽△I2MT.

故∠NTI1=∠MTI2，从而

∠I1QI2=∠NQM=∠NTM=∠I1TI2.

因此Q，I1，I2，T四点共圆.……50分

二、求证不等式：

2009年全国高中数学联合竞赛加加试题

2009年全国高中数学联合竞赛

加试试题（A 卷）

注意事项：

1．本试卷共四大题，全卷满分200分； 2．用圆珠笔或钢笔作答； 3．解题书写不要超出装订线； 4．不能使用计算器。

一、如图，M 、N 分别为锐角三角形△ABC （∠A ＜∠B ＝的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点，

过点C 作PC//MN 交圆Γ于P 点，I 为△ABC 的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T 。（I ）求证：MP ·MT=NP ·NT ；

（II ）在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q ≠A ，T ，B ），记△AQC 、△QCB 的内心分别为I 1，I 2，求证：Q 1，I 1，I 2，T 四点共舞。

二、求证不等： ∑==≤-+<-n

k n n k k 12

,2,1,21

ln 1

三、设k ，l 是给定的两个正整数，求证：有无穷多个正整数k m ≥，使得l C k

m 与互素。

⌒ ⌒

⌒

四、在非负数构成3×9数表

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=3938

292827262524232221

191817161514131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x P 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，.0292817===x x x 291938183727,,,,,x x x x x x 均大于1，如果P 的前三列构成的数表

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=3332

232221

131211

x x x x x x x x x S 满足下面的性质（O ）：对于数表P 中的任意一列)9,,2,1(321 =⎪⎪⎪

2010年全国高中数学联赛加试B卷试题及解答(word)版

2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B 卷）

说明：

1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。一、（本题满分40分）

如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．

证明：用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设

三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交

直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．

因为2

PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） (

)()22

PO r

=-+-，

同理 ()(

)

22222

QK QO r KO r =-+-，

所以 222

P O P K Q O Q K -=-

，

故 OK ⊥PQ ．（10分）

由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是

AQ AP

QN PM

=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得

1NB DE AQ

BD EA QN

⋅⋅=， ② 1MC DE AP

CD EA PM

⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得

NB MC

BD CD

=，（30分）所以

ND MD

BD DC

=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. （40分）

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）

考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上． 1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为

}8,5,3,1{-=B ，则集合=A

．

2．函数1

1)(2-+=x x x f 的值域为．

3．设b a ,为正实数，2211≤+b

，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．

4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．

6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)2

1()(++-=b b f a f ，

2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．

10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，

)1(2)32(11-+--+-=

++n n n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．

（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．

十年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

假设论成立,则对点( a, 0 ),有( a, 0 )为项点的菱形与C1内接,与Co外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0, b)和(0, -b) .菱形一条边的方程为 + =1,即bx+ay=ab.由于菱形与CO外切,
【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
二．（本题满分50分）
设数列{an}和{bn}满足，且
∴ =AF AF sin∠BAC=MN.
∴ AB·AC·sin∠BAC
= AD·AF·sin∠BAC
= AD·M N
=SAMDN
二．
[证法一]：由假设得a1=4, b1=4且当n 1时
（2an+1-1）+ =(14an+12bn-7)+ (8an+7bn-4)
=[(2an-1)+ ](7+4 )
依次类推可得
证明an（n=0，1，2，…）是完全平方数．
三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．

2011年全国高中数学联赛模拟卷(9)(一试+二试,附详细解答)

2011年全国高中数学联赛模拟卷(9)第一试

(考试时间：80分钟满分：120分)

姓名：_____________考试号：______________得分：____________

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第1节不排生物，最后1节不排物理，那么不同的排课表的方法有__________种.

2、函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a , b ]⊆D ，使f (x )在[a , b ]上的值域

为[a , b ]，那么y =f (x )叫做闭函数，现有()f x k =

是闭函数，那么k 的取值范围是_________

3、如图，在△ABC 中，cos 25

=,0,A H B C ⋅=

0)(=+⋅CB CA AB ，

则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 _________

4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合，并且正方形在圆的内部，

在圆上随机选一点，则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为1

，则该圆的半径为________

5、有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小边长应为____________．

6、若实数a , b , x , y 满足3,ax by +=227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=，则55ax by +=________

2011年全国高中数学联赛模拟卷(11)(一试+二试,附详细解答)

2011年全国高中数学联赛模拟卷(11)第一试

姓名：_____________

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

29x <+的解集为． 2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形

3．直线2kx y -=

||1x -有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.

4．复数z ，使32

2z z z

+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．

5．所有的满足条件1

a b a b a

b a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为．

6．设,,a b c 为方程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则

111111a b c

a b c

+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b . 则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于． 8．已知A , B , C 为△ABC 三内角, 向量)2

sin 3,2(cos

A B A +-=α,2||=α.如果当C 最大时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, |

|AB __ ___.

二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）

9．对正整数2n ≥，记1

111

n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{a n }中的最大值．

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨全国高中数学联合竞赛一试及加试试题(A)卷含答案

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2023年全国高中数学联合竞赛

一试（A 卷）

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1. 设复数910i z （i 为虚数单位），若正整数n 满足2023n z ，则n 的最大值为

．

2.若正实数,a b 满足lg 2b a ，lg lg 5a b a b ，则lg ()ab ab 的值为

．

3.将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为,,x y z ，则事件

“777

C C C x

y z ”发生的概率为．

4.若平面上非零向量,, 满足，2|| ，3|| ，则||

的最小值为．

5. 方程sin cos2x x 的最小的20个正实数解之和为．

6. 设,,a b c 为正数，a b ．

若,a b 为一元二次方程20ax bx c 的两个根，且,,a b c 是一个三角形的三边长，则a b c 的取值范围是．

7. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆与x 轴、y 轴均相切，圆心在椭圆

22:1(0)x y a b a b

内，且与有唯一的公共点(8,9)．则的焦距为．

8.八张标有,,,,,,,A B C D E F G H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按,,,,,,,D A B E C F G H 的次序取走卡片，但不可按,,,,,,,D B A E C F G H 的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为．

2011年全国高中数学联赛模拟题1（最新）

全国高中数学联赛模拟题

一试

一、填空题（本题满分64分，每小题8分）

1．在数列{}n a 中，12a =，21a =-，且21n n n a a a ++=-，1,2,n = ．则

2011a ＝

．

2．设a ，b ，c 是正整数，且成等比数列，b a -是一个完全平方数，

666

lo g lo g lo g 6a b c ++=，则a b c ++= ．

3．一列数123,,,a a a 满足对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++= ，则

231001111

a a a +

--- ．

4．设1a <-，变量x 满足2x a x x +≤-，且2x a x +的最小值为12

，则

a =_______．

5．正整数500n ≤，具有如下性质：从集合{}1,2,,500 中任取一个元素m ，则m 整除n 的概率是

1100

，则n 的最大值是 .

6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 7．一个直径2A B =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使AS AB =，C 为半圆上一个动点，,N M 分别为A 在,SC SB 上的射影．当三棱锥S A M N -的体积最大时，B A C ∠=_________．8．直线2y kx =-交抛物线28y x =于,A B 两点，若A B 中点的横坐标为2，则AB = .

二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分）

9.（本小题满分16分）设[),,1x y z ∈+∞，，证明不等式

2011年全国高中数学联赛试题与参考答案

考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上．

1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．

2．函数1

)(2-+=

x x x f 的值域为． 3．设b a ,为正实数，

221

1≤+b

a ，32)(4)(a

b b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）

6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．

7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．

8．已知=n a C ()

)95,,2,1(216

2003

200 =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅⋅-n n

n ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)2