第11讲：反比例函数-教师版

反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是xy k=，或表示为kyx=，其中k 是不等于0的常数．2、解析式形如kyx=（k是常数，0k≠）的函数叫做反比例函数，其中k叫做比例系数．3、反比例函数kyx=的定义域是不等于零的一切实数．反比例函数知识结构模块一：反比例函数的概念知识精讲内容分析【例1】 下列变化过程中的两个变量成反比例的是（）A ．圆的面积和半径B ．矩形的面积一定，它的长与宽C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间D ．人的身高及体重【难度】★ 【答案】B【解析】矩形面积=长×宽，即S ab =，S 为定值，可知它的长与宽成反比例，B 正确；注意区分C 选项，工效与工作时间成反比，而非完成工期的时间．【总结】考查反比例函数的基本概念，会判断两个量是否是反比例关系，只需看两个量的乘积是否为定值即可．【例2】 （1）已知：y 与x 成反比例，且1x =-时，2y =，则它的函数解析式是_________;（2）已知y 与2x 成反比例，且当2x =-时，14y =-，则当13x =时，y =_________.【难度】★ 【答案】（1）2y x=-；（2）9-． 【解析】（1）设函数解析式为k y x =，即有21k =-，得：2k =-，则函数解析式为2y x=-；（2）设函数解析式为2k y x =，即有()2142k =--，得：1k =-，函数解析式为21y x =-，则当13x =时，21913y =-=-⎛⎫⎪⎝⎭． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解．例题解析【例3】 下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么?（1）3x y =； （2）12y x -=； （3）1(0)y k kx =≠；（4）2xy =-；（5）21y x=+． 【难度】★【答案】（2）、（3）、（4）是反比例函数，（1）、（5）不是反比例函数．【解析】反比例函数有三种基本形式ky x =、1y kx -=、xy k =，均要求0k ≠，（2）（3）（4）符合这几种形式，是反比例函数，（1）（5）不是．【总结】考查根据反比例函数的定义判断函数是否为反比例函数．【例4】 （1）如果21(1)kk y k x --=-是反比例函数，则k 的值是_________； （2）已知函数210(3)my m x -=-是反比例函数，则m =_________.【难度】★★【答案】（1）0；（2）3-．【解析】（1）由题意可得21110k k k ⎧--=-⎨-≠⎩，解得：0k =；（2）由题意可得210130m m ⎧-=-⎨-≠⎩，解得：3m =-．【总结】考查反比例函数()10y kx k -=≠的形式，根据次数确定相应字母取值一定要注意比例系数不为0的前提条件．【例5】 下列说法中正确的有（ ）个．（1） 当10k y kx≠=时，是反比例函数；（2） 如果2213y y x x=，那么与成反比例； （3） 如果211m y m x-=+-是反比例函数，则1m =±； （4） 如果x 、y 成正比例，y 与z 成反比例，则x 与z 成反比例． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【难度】★★【答案】C【解析】根据反比例函数的意义，可知（1）（2）正确；（3）为反比例函数，则有21010m m -≠⎧⎨-=⎩，解得：1m =-，（3）错误；（4）根据题意，令()110x k y k =≠，()220k y k z =≠，则有12k k x z=，由120k k ≠，可知x 与z 成反比例；（1）（2）（4）正确，故选C ．【总结】考查反比例函数的概念．【例6】 已知某反比例函数，且当1x =时，2y =-，当3x y m =-=时，求m 的值． 【难度】★★【答案】23．【解析】设函数解析式为(0)k y k x =≠，即有21k =-，得：2k =-，则函数解析式为2y x =-，则当3x =-时，23y m ==． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解．【例7】 已知21y x +-与成反比例，且当13x y =-=-时，当3x =时，y 的值． 【难度】★★ 【答案】1-． 【解析】令2(0)1k y k x +=≠-，根据题意，则有3211k-+=--，得：2k =，则相应解析式为221y x =--，当3x =时，则有22131y =-=--． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解．【例8】 已知一梯形的面积是30，上底长是下底长的12，设下底长为x ，高为y ，求y 关于x 的函数关系式并写出这个函数的定义域． 【难度】★★【答案】()400y x x=>．【解析】根据梯形面积公式，面积=12（上底+下底）×高，即得：113022x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理可得：40y x=，实际问题中，函数定义域为0x >． 【总结】考查反比例函数在实际问题中的应用，注意实际问题的定义域．【例9】 已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程2280x x --=的两个根，求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离． 【难度】★★【答案】（1）8-；（2）2或4．【解析】（1）根据一元二次方程韦达定理，可得8k xy ==-；（2）2280x x --=，解得：12x =-，24x =，即得1124x y =-⎧⎨=⎩，2242x y =⎧⎨=-⎩，点A 到y 轴的距离即为2x =或4．【总结】考查反比例函数的性质的应用．【例10】 设1212k ky y x x==和，当2x =时，121213y y y y +=-=，，求12k k 、的值． 【难度】★★★【答案】14k =，22k =-．【解析】依题意可得：1212122322k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：1242k k =⎧⎨=-⎩．【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程的问题．【例11】 已知122y y y =-，若1y 与x 成反比例，2y 与3x +成正比例，且当1x =时10y =，当1x =-时2y =； （1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当12y =时，x 的值．【难度】★★★【答案】（1）()223y x x=++；（2）11578x -±=． 【解析】（1）令11k y x =，()223y k x =+，则有()1122223ky y y k x x=-=-+，根据题意则有12122410222k k k k -=⎧⎨--=⎩，解得：1212k k =⎧⎨=-⎩，则()223y x x =++；（2）令12y =，则有()21232x x ++=，整理得241140x x ++=，解得：11578x -±=．【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程的问题．师生总结1.反比例函数的定义域有限制吗？请说明二、 反比例函数的图像1、反比例函数ky x =（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支．三、 反比例函数的性质 1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．【例12】 （1）已知反比例函数2a y x-=图像在第二、四象限，则a 的取值范围是_______；（2）已知(0)ky k x =≠图像上有一点P （3，2），那么这个反比例函数的解析式为_________． 【难度】★【答案】（1）2a <；（2）6y x=． 【解析】（1）由反比例函数图像在第二、四象限，可得：20a -<，即得：2a <；（2）依题意可得：23k =，即得：6k =，反比例函数解析式为：6y x =．【总结】考查反比例函数的图像及图像上的点与函数关系式的关系．知识精讲例题解析模块二：反比例函数的图像及性质【例13】 已知反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过点（1，2-），则这个函数解析式是______________；当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________． 【难度】★ 【答案】2y x=-，增大． 【解析】依题意可得21k =-，即得2k =-，反比例函数解析式为2y x=-，20k =-<， 根据反比例函数的增减性，函数在每一个象限内随着x 的增大而增大，即y 值增大． 【总结】考查反比例函数的增减性，0k <时，在每一个象限内y 随着x 的增大而增大．【例14】 当m =_______时函数231(2)mm y m x --=-是反比例函数，且当0x >时，y 值随x的值增大而减小． 【难度】★ 【答案】3．【解析】函数是反比例函数，可得2311m m --=-，解得：10m =，23m =；因为当0x >时， y 值随x 值增大而减小，可知20m ->，即得：3m =． 【总结】考查反比例函数的定义和反比例函数的增减性的综合应用．【例15】 已知（3，4）是反比例函数221m m y x+-=图像上的一点，则函数图像必过点（）．A ．（2，6-）B ．（6-，2）C ．（3，4-）D ．（3-，4-）【难度】★ 【答案】D【解析】点在反比例函数上，可知横纵坐标之积为定值，即为3412⨯=，只有D 选项满足 乘积为12，故选D ．【总结】考查反比例函数的性质的应用，也可求出m 值代值计算．【例16】 （1）已知函数y 是反比例函数，则k 的取值范围是________； （2）已知反比例函数1k y x +=，点1122()()x y x y ，、，为其图像上的两点，若当12120x x y y <<>时，，则k 的取值范围是___________．【难度】★★【答案】（1）0k ≥且1k ≠；（2）1k <-．【解析】（110≠，即得1k ≠，同时根据二次根式的非 负性，可得0k ≥，即得k 的取值范围为0k ≥且1k ≠；（2）当120x x <<时，12y y >，根据增减性，可得：10k +<，即得：1k <-． 【总结】考查反比例函数的概念，注意题目的隐含条件，分清题目在同一象限和不同象限的增减性，区分开比例系数与0的大小关系．【例17】 下列函数1135y x y x y y x x=-===-，，，中，y 的值随x 的增大而减小的有（）个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★ 【答案】C【解析】根据正比例函数的增减性，0k <时，y 随着x 增大而减小；反比例函数的增减性需 要考虑每个象限，因此可知函数3y x =-符合题意，故选B ．【总结】考查正比例函数和反比例函数的增减性的判断，正比例函数和反比例函数根据比例系数与0的大小关系增减性是相反的．【例18】 下列函数21()a y a x--=是常数的图像上有三点A 13y （-，）、B 21y （-，）、 C 32y （，），则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<【难度】★★ 【答案】D【解析】由210a --<恒成立，可知在每个象限内y 随着x 的增大而增大，由310-<-<， 可知120y y <<，由20>，得：30y <，则有312y y y <<，故选D ．【总结】考查反比例函数的增减性，注意反比例函数在每一个象限内有特定的增减性，不同象限情况下需独立判断，或直接代入也可解题．【例19】 （1）已知P （1，2+1m ）在双曲线ky x=上，则双曲线的图像在第_______象限内，当x < 0时，y 的值随x 的减小而________；（2）设反比例函数15510y x x -=-≤≤，当时，函数的最大值是______________． 【难度】★★【答案】（1）一、三，增大；（2）12-．【解析】（1）由点P （1，2+1m ）在双曲线上，可得：210k m =+>恒成立，由此可知函数 在一、三象限内，根据反比例函数的增减性，在每个象限内，y 随着x 的减小而增大； （2）因为15y x -=-，50k =-<，根据反比例函数的增减性，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，所以当510x ≤≤时，可知10x =时函数有最大值1max 15102y -=-⨯=-．【总结】考查反比例函数的增减性，要根据反比例函数上的点判断出相应的k 值与0的大小关系，再利用其增减性解决问题．【例20】 （1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值． 【难度】★★ 【答案】（1）1y x=-；（2）2． 【解析】（1）由点A (725)m m --，在第二象限，可知720m -<，50m ->，得：752m <<， 因为m 为整数，即可得：4m =，()11A -，．设过点的反比例函数解析式为ky x=， 即有11k =-，得：1k =-，即反比例函数解析式为1y x=-；（2）由反比例函数3k y x-=图像在二、四象限，可知30k -<，即3k <，由正比例函数 2(1)3y k x =-过一、三象限，可知2103k ->，由此可得：332k <<，则整数k 的值为2．【总结】考查正比例函数和反比例函数性质的综合应用，根据函数所在象限判断出相应的比例系数与0的大小关系，解决问题．【例21】 函数122(4)m y m m x +=+可能是正比例函数或者是反比例函数吗?为什么?【难度】★★★ 【答案】不可能．【解析】若函数122(4)my m m x+=+是正比例函数，则应有112m+=，解得：0m =，此时函 数比例系数240m m +=，即不能为正比例函数；若函数122(4)m y m m x +=+是反比例函数，则应有112m+=-，解得：4m =-，此时函数比例系数240m m +=，即不能为反比例函 数；综上所述，此函数即不可能是正比例也不可能是反比例函数．【总结】考查正比例函数和反比例函数的判断，注意必须满足比例系数不能为0．【例22】 已知反比例函数(0)ky k x=≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．【难度】★★★【答案】4y x=．【解析】当0k >时，在每个象限内，反比例函数的y 值随着x 值的增大而减小，可知8x =- 时，12y =-，4x =-时，1y =-，由()()()184142⎛⎫-⨯-=-⨯-= ⎪⎝⎭，可知此时4k =符合题意；当0k <时，在每个象限内，反比例函数的y 值随着x 值的增大而增大，可知8x =- 时，1y =-，4x =-时，12y =-，由()()()18142⎛⎫-⨯-≠-⨯- ⎪⎝⎭，可知此时不符合题意，综上所述，4k =，即反比例函数解析式为4y x=． 【总结】考查反比例函数的增减性的综合应用，注意根据反比例函数的性质进行分析判断．ABC OPxy反比例函数和几何图形的综合【例23】 已知反比例函数图像上有一点P ，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，如果△POH 的面积为6，则反比例函数的解析式为_____________. 【难度】★ 【答案】12y x=±． 【解析】根据反比例函数几何意义，可得162POH S k ∆==，解得：12k =±， 即反比例函数解析式为12y x=±． 【总结】考查反比例函数的几何意义，通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k ，注意加绝对值，有正负两个答案．【例24】 如图，x 轴上一点C 的坐标是（-3，0）．点P 从原点出发，沿y 轴向上运动，过点P 作x 轴的平行线，分别与反比例函数42y y x x=-=和的图像交于点A 、B ，在点P从下向上移动过程中，三角形ABC 的面积（ ）A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．先增大，到一定程度后减小【难度】★★ 【答案】C【解析】联结PC ，由//AB x 轴，可知A B AB y y h ==， 则有()11112222ABC AB B A AB A A B B S AB h x x h x y x y ∆=⋅=-⋅=⋅+⋅， 即可计算得其面积为1142322⨯+⨯=，面积保持不变，故选C ．【总结】考查反比例函数的几何意义的应用．知识精讲例题解析模块三：反比例函数的综合【例25】 如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x=上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】设1A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则13B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由此可得：11ADOE S x x =⋅=，133BCOE S x x=⋅=，则有312ABCD BCOE ADOE S S S =-=-=．【总结】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为k ．【例26】 过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1） 已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2） 若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．【难度】★★【答案】（1）2y x =；（2）无法确定． 【解析】（1）设k A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，因为过原点直线与反比例函数两交点关于原点中心对称，可得：k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 由此可得228ABCD kS x x=⋅=，得：2k =，即双曲线解析式为2y x=； （2）同（1）可得，2228ABCD k C x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由于一个方程含有两个未知数，因此k 的值无法确定，故反比例函数解析式也无法确定．【总结】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为k ．A B CDE OxyyABC DO x【例27】 正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x=>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1） 求k 的值和直线OP 的函数解析式； （2） 求正方形ADEF 的边长． 【难度】★★★【答案】（1）16k =，:OP l y x =；（2）252-． 【解析】（1）由16OAPB S AP BP =⋅=，且四边形为正方形，则有AP BP =，即可得4AP BP ==，即()44P ，，根据反比例函数的几何意义，可得：16k =，设直线OP 函数解析式为y ax =，则有44a =，解得：1a =， 即可得直线OP 的函数解析式为y x =；（2）设正方形ADEF 边长为a ，则()4F a a +，，因为()4F a a +，在双曲线上， 根据反比例函数的几何意义，则有()416a a +=，解得：252a =-（负舍），即得正方形ADEF 边长为252-．【总结】考查反比例函数几何意义的应用．yABPFOxED【例28】 如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)k y k x x =>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x=>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ． （1） 求点B 的坐标； （2） 当92S =时，求点P 的坐标；（3） 写出S 关于m 的函数解析式． 【难度】★★★【答案】（1）()33，；（2）362⎛⎫ ⎪⎝⎭，或362⎛⎫⎪⎝⎭，；（3）()()93032793m m S m m ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩．【解析】（1）因为9OABC S AB BC =⋅=，且四边形为正方形，则有AB BC =，即得：3AB BC ==， 所以点B 坐标为()33，； （2）由（1）易得339k =⨯=，则反比例函数的解析式为：9y x=． 因为矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ，且92S =，设9()P a a ，，当点P 位于点B 下方时，有99(3)2S a a =-⋅=重，解得：6a =，此时P 点坐标为：362⎛⎫⎪⎝⎭，；当点P 位于点B 上方时，有99(3)2S a a =⋅-=重，解得：32a =，此时P 点坐标为：362⎛⎫⎪⎝⎭，， 综上，P 点的坐标为362⎛⎫ ⎪⎝⎭，或362⎛⎫⎪⎝⎭，； （3）用割补法求面积，即可得以下分类讨论： 当03m <≤时，993S S m =-=-重；当3m >时，993S S n =-=-重，点P （m ，n ）在双曲线上，即可得：9n m=， 则有92793939S n m m=-=-⋅=-； 综上所述，()()93032793m m S m m ⎧-<<⎪=⎨->⎪⎩．【总结】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候用割补法进行分类讨论．A BC PE FyOx【习题1】 下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么?（1）13y x =-； （2）4xy =；（3）15y x=-； （4）2(0)ay a a x=≠为常数，； （5）1y x π=；（6）21y x =. 【难度】★【答案】（3）、（4）、（5）是反比例函数，（1）、（2）、（6）不是反比例函数．【解析】反比例函数的基本形式为()0ky k x =≠，则（3）（4）（5）符合，是反比例函数，（1）（2）（6）不符合，即不是反比例函数．【总结】考查根据反比例函数的定义判断已知函数是否为反比例函数．【习题2】 已知1y x -与成反比例，当x =1时，y =3；当x =8时，y =________． 【难度】★ 【答案】54．【解析】令1k y x -=，根据题意，则有31k -=，得：2k =，则相应解析式为21y x=+，当8x =时，则有25184y =+=． 【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，也可直接利用成反比例函数关系的积为定值求解．【习题3】 （1）反比例函数22(2)my m x -=-的图像在第二、四象限，则m =________；（2）若反比例函数230k y x x-+=<，当时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是____________． 【难度】★【答案】（1）1±；（2）32k >． 随堂检测【解析】（1）因为函数为反比例函数，则有221m -=-，又函数图像在二、四象限，则有20k m =-<，解得：1m =±；（2）根据反比例函数的增减性，比例系数小于0时，在每个象限y 内随着x 的增大而增 大，依题意则有230k -+<，即得：32k >． 【总结】考查反比例函数的性质，根据图像所在象限或增减性判断出比例系数与0的大小关系，解决问题．【习题4】 在函数(0)ky k x=>图像上有三点112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，，如果1230x x x <<<，试比较123y y y ，，大小关系___________.【难度】★★ 【答案】213y y y <<．【解析】当0k >时，反比例函数图像在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，由120x x <<，可知210y y <<，由30x >，得：30y >，则有213y y y <<．【总结】考查反比例函数的增减性，注意反比例函数在每一个象限内有特定的增减性，不同象限情况下需独立判断，或直接代入也可解题．【习题5】 反比例函数2121k y k x+=+-的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.【难度】★★ 【答案】12y x=-． 【解析】因为函数为反比例函数，则有210k -=，又函数图像在二、四象限，则有102k +<， 即可得：1k =-，则相应的函数解析式为12y x=-． 【总结】考查反比例函数的定义求解相应字母，注意比例系数不能为0．【习题6】 作出反比例函数12y x=的图像，并根据图像解答下列问题： （1）当4x =时，求y 的值； （2）当2y =-时，求x 的值； （3）当2y >时，求x 的范围． 【难度】★★【答案】（1）3；（2）6-；（3）06x <<．【解析】（1）当4x =时，1234y ==；（2）当2y =-时，122x =-，即得：6x =-；（3）当2y >时，函数图像在第一象限，且函数值y 随着x 值的减小而增大，当2y =时，易得：6x =，由此即得相应的x 取值范围为06x <<．【总结】考查根据函数图像确定相应点坐标以及相应的点的取值范围．【习题7】 点P 在反比例函数1y x=(x ＞0)的图像上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点'P ．求在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图像的解析式． 【难度】★★【答案】6y x =．【解析】令2x =，则有12y =，即得：122P ⎛⎫⎪⎝⎭，，根据平面直角坐标系中点的平移，即可得3'42P ⎛⎫⎪⎝⎭，，设相应函数解析式为k y x =，则有3462k =⨯=，即函数解析式为6y x =．【总结】考查平面直角坐标系中点的平移和反比例函数解析式确定的综合应用．【习题8】 已知函数12y y y =+，1y 与x 成反比例，2y 与(2)x -成正比例，当1x =时，1y =-；当3x =时，5y =，求当6x =时，y 的值． 【难度】★★【答案】332．【解析】令111(0)k y k x =≠，()2222(0)y k x k =-≠，则有()11222ky y y k x x=+=+-， 根据题意则有1212153k k k k -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：1234k k =⎧⎨=⎩，代入则有()342y x x =+-，由此可得当6x =时，()33346262y =+⨯-=．【总结】考查利用“待定系数法”求正、反比例函数的比例系数，转化为解方程组即可．【习题9】 （1）若P 是反比例函数3ky x=图像上的一点，PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，若2POQ s ∆=，求k 的值；（2）已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴，y 轴分别做垂线，垂足分别为点B C ，，且四边形ABOC 的面积为15，求这个反比例函数解析式． 【难度】★★【答案】（1）43±；（2）15y x=±．【解析】（1）根据反比例函数几何意义，可得1322POH S k ∆==，解得：43k =±； （2）根据反比例函数几何意义，可得15ABOC S k ==矩形，解得：15k =±， 即反比例函数解析式为15y x=±． 【总结】考查反比例函数的几何意义，通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k ，与两条坐标轴围成矩形面积为k ，注意加绝对值时，有正负两个答案．A B G DEFCOxy【习题10】 如图，点A 、B 在 反比例函数(0)ky k x=>的图像上，且A 、B 横坐标分别是a 、2a (0)a >．AC ⊥x 轴，垂足为C ，三角形AOC 的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点12(2)a y a y (-，)、-，也在反比例函数的图像上，试比较12y y ，的大小． 【难度】★★★ 【答案】（1）4y x=；（2）12y y <． 【解析】（1）根据反比例函数的几何意义，可得122AOC S k ∆==，由0k >，即得：4k =，则反比例函数解析式为4y x=； （2）当0k >时，反比例函数图像在每个象限内，y 随x 的减小而增大，由0a >，即得：20a a -<-<，由此即得：12y y <．【总结】考查反比例函数的几何意义，与函数图像上点的坐标无关．【习题11】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数3y x =与反比例函数图像交于第一象限内的点A ，AB ⊥x 轴于点B ，AB =6． （1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB 上是否存在点P ，使点P 到正比例函数直线OA 的距离等于点P 到点B 的距离?若存在，求点P 坐标，若不存在，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）123y =；（2）()1232P ，，()2236P -， 【解析】（1）由AB = 6，即6A y =，令36y x ==，解得：23x =， 则()236A ，，设反比例函数解析式为k y x=， 则有623=，解得：123k =，即反比例函数解析式为123y =；ABOx y（2）设()P y ，设点P 到OA 距离为d ，由6AB =，BO =，可得30OAB ∠=︒， 则有12d AP =，d BP =，则有2AP BP =，即有62y y -=，解得：16y =-，22y =，即得()12P ，()26P -． 【总结】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．【习题12】 已知反比例函数4y x=与正比例函数相交与点A ，点A 的坐标是（1，m ）． （1）求此正比例函数解析式； （2）若正比例函数14y x =与反比例函数4y x=的图像在第一象限内相交于点B ，过点A 和点B 分别做x 轴的垂线，分别交x 轴于点C 和点D ，AC 和OB 相交于点P ，求梯形PCDB 的面积；（3）联结AB ，求AOB V 的面积． 【难度】★★★【答案】（1）4y x =；（2）158；（3）152． 【解析】（1）令1x =，即得：4m y ==，即()14A ，，设正比例函数解析式为y kx =，由于函数过点()14A ，，则有4k =，即正比例函数解析式为4y x =； （2）令144x x=，解得：4x =±，因为图像在第一象限，即得()41B ，，则有()10C ，，()40D ，，则有114P ⎛⎫⎪⎝⎭，，由此可得14P PC y ==，1B BD y ==，3D C CD x x =-=，即可得：()11115132248PCDB S PC BD CD ⎛⎫=+⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭； （3）AOB AOC ACDB OBD S S S S ∆∆∆=+-，根据反比例函数的几何意义，即可得AOC OBD S S ∆∆=，则()()()()()1111514412222AOB ACDB A B D C S S AC BD CD y y x x ∆==+⋅=+-=⨯+⨯-=． 【总结】考查平面直角坐标系中的几何图形的面积，把点坐标转化为平面直角坐标系中的线段长度，结合割补法和反比例函数的几何意义求几何图形的面积．1234 xyO【习题13】 如图，在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，有点1234P P P P ，，，，他们的横坐标为1，2，3，4．分别过这些点往x 轴和y 轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依次是123123S S S S S S ++，，，求的值． 【难度】★★★【答案】32．【解析】因为点1P ，2P ，3P ，4P 在反比例函数2y x=图像上， 且横坐标分别为1，2，3，4， 即可得()112P ，，()221P ，， 3233P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，4142P ⎛⎫⎪⎝⎭，，由于矩形长均为1， 即可得：211211P P S y y =-=-=，23221133P P S y y =-=-=，343211326P P S y y =-=-=，故1231131362S S S ++=++=．【总结】考查关于反比例函数上的点与坐标轴围成的矩形的面积计算．【作业1】 判断下列问题中两个变量是不是反比例函数关系?为什么?（1）三角形的面积S 一定时，它的一条边长a 和这条边长上的高h ； （2）存煤量Q 一定时，平均每天的用煤量m 与可用天数t ； （3）货物的总价A 一定时，货物的单价a 与货物的数量x ；（4）车辆所行使的路程S 一定时，车轮的直径d 和车轮的旋转周数n ． 【难度】★【答案】（1）（2）（3）（4）都是反比例函数关系【解析】（1）根据三角形面积公式，12S ah =，即得2ah S =，是反比例函数关系；（2）mt Q =，乘积为定值，是反比例函数关系；（3）总价=单价×数量，可得ax A =，乘积为定值，是反比例函数关系；（4）行程=圆周长×旋转周数，即S dn π=，得Sdn π=是定值，是反比例函数关系．【总结】考查判定两个量是否为反比例函数关系，只需要看两个变量的乘积是否为定值．课后作业【作业2】 已知反比例函数(0)ky k x =<，当0x <时，它的图像在第______象限．【难度】★ 【答案】二【解析】0k <时，反比例函数图像在二、四象限，0x <时，在第二象限． 【总结】考查根据比例系数确定反比例函数图像所在象限．【作业3】 （1）已知函数63k y x-=，如果在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是______________；（2）如果双曲线2m y x +=位于第一，三象限，那么m 的取值范围是______________．【难度】★ 【答案】（1）12k >；（2）2m >-． 【解析】（1）反比例函数在每个象限内y 随着x 增大而减小，可得：630k ->，即得k 的取值范围是12k >； （2）反比例函数图像在一、三象限，即可得：20k m =+>，得2m >-．【总结】考查反比例函数的性质，增减性和函数所在象限确定比例系数与0的大小关系．【作业4】 已知点11()x y ，，22()x y ，在反比例函数2k y x-=图像上，当120x x >>时，12y y <，求k 的取值范围．【难度】★ 【答案】2k >．【解析】当120x x >>时，12y y <，即在每个象限内y 随着x 增大而减小，由此可得20k ->， 即得k 的取值范围是2k >．【总结】考查通过函数增减性判断函数比例系数与0的大小关系进行解题．【作业5】 作出反比例函数4y x=-的图像，结合图像回答： （1）当2x =时，y 的值；（2）当14x <≤时，y 的取值范围； （3）当14y ≤<时，x 的取值范围． 【难度】★★【答案】（1）2-；（2）41y -<≤-；（3）41x -≤<-．【解析】（1）令2x =，即得：422y =-=-；（2）令1x =，即得：441y =-=-，令4x =，即得414y =-=-，40k =-<，可知反比例函数在每个象限内随着的增大而增大，由此可得：41y -<≤-；（3）令1y =，即得：4x =-，令4y =，即得1x =-，40k =-<，可知反比例函数在每个象限内随着的增大而增大，由此可得：41x -≤<-．【总结】考查根据反比例函数图像确定反比例函数上一段图像的对应变量取值范围，根据反比例函数比例系数与0的大小关系即可确定相应增减性进行解题．【作业6】 已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴做垂线，垂足分别为点B ，且AOB ∆的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★ 【答案】30y x=±． 【解析】根据反比例函数几何意义，可得1152AOB S k ∆==，解得：30k =±， 即反比例函数解析式为30y x=±． 【总结】考查反比例函数的几何意义，通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k ，注意加绝对值，有正负两个答案．【作业7】 已知函数12y y y =-，且1y 为x 的反比例函数，2y 为x 的正比例函数，且312x x =-=，时，y 的值都是1．求y 关于x 的函数关系式． 【难度】★★【答案】32y x x =-．【解析】令111(0)k y k x =≠，222(0)y k x k =≠，则有1122ky y y k x x=-=-， 根据题意则有1212231321k k k k ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，解得：1232k k =⎧⎨=⎩， 所以y 关于x 的函数关系式为：32y x x=-． 【总结】考查利用“待定系数法”求正、反比例函数的比例系数，转化为解方程组即可．【作业8】 在反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程290x -=的两个根．求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离；（3）点1(27)3P -，是否在该反比例函数图像上?【难度】★★【答案】（1）9-；（2）3；（3）在．【解析】（1）290x -=，解得：13x =，23x =-，即得：()12339k xy x x ===⨯-=-；（2）由（1）可得：()33A -，或()33A -，，由此可得点A 到y 轴的距离为3A x =； （3）由()12793⨯-=-，可知点1(27)3P -，在反比例函数图像上．【总结】考查反比例函数的应用，根据函数图像上一点坐标确定函数解析式，再确定点是否在函数图像上．。