概率5-2中心极限定理

概率论
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
高斯 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
概率论
解法二: 设X为1900件产品中需复查的件数,Y为 1 检查1900件产品所花时间,则 X ~ B(1900, ) . 2
Y 1900 10 10 X
在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率为
P{Y 8 3600} P 19000 10 X 28800 P X 980 980 1900 0.5 0.916 1900 0.25
n 近似地 n
X ~ N ( , n) 或 1 n 其中X X k n k 1
2
近似地
X 近似地 ~ N (0,1) n
n
3、虽然在一般情况下，我们很难求出 X k 的分 布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.
k 1
概率论
请注意 : n 1、定理中随机变量之和 X k 及其标准化变量
而X X k .由定理 4, 可知随机变量
k 1
X ~ N (400 1.1,400 0.19)
近似地
概率论
400
即有
k 1
X k 400 1.1 400 0.19
X 400 0.8 近似地 01 ） ~ N（ ， 400 0.19
于是
X 400 0.8 450 400 0.8 PX 450 P 400 0.19 400 0.19 X 400 0.8 1 P 1.147 400 0.19
近似地
( 2.5) 0.9938
概率论
三、课堂练习
例 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿 命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率.
概率论
例 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从 罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.
服从同一(0 1)分布的诸随机变量X 1 , X 2 , X n之和，
即有
n X k
k 1
n
其中X k ( k 1,2,, n)的分布律为 PX k i p (1 p) , i 0,1
i 1 i
概率论
由于E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p) k 1,2,, n)，
概率论
例2
一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k 1,2, n),
n
设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0, 10) 上服从均匀分布.记V Vk，求P 105 V 的近似值.
k 1
解
易知E (Vk ) 5, D(Vk ) 100 12 ( k 1,2, 20).
k 1
Z n 在n很大时, 分别近似服从
k 1
X k ~ N ( k , Bn ) ;
2 k 1
n
近似地
n
近似地
Z n ~ N (0,1)
2、随机变量X k 无论服从什么分布，只要满足 定理条件，随即变量之和 X k，当n很大时，就近
k 1 n
似服从正态分布，这就是为什么正态分布在概率论 中所占的重要地位的一个基本原因.
注 1、定理表明，独立同分布的随机变量之和 X大时，随机变量之和与其标准化变量分别有 X k n 近似地 2 k 1 X k ~ N ( n , n ) ; ~ N (0,1). n k 1 2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为
由定理4得
X k np n np lim P{ x } lim P{ k 1 x} n n np(1 p ) np(1 p) t2 x 1 2 ( x ) e dt 2
n
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值时（或 者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 n 的分布 近似正态分布 N(np,np(1-p)).
概率论
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np 近似N(0,1), np(1 p)
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
这里 np=120, np(1-p)=48
N 120 120 ( ) ( ) 48 48 N 120 ( ) 48
N 120 由 ( ) 0.999 48
1 (1.147) 0.1257
概率论
( 2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数，则 Y ~ b(400,0.8)，由定理 6得
随机变量Y ~ N（ 0.8， 0.8 0.2 400 400 ）
340 400 0.8 Y 400 0.8 PX 340 P 400 0.8 0.2 400 0.8 0.2 Y 400 0.8 P 2.5 400 0.8 0.2
1 第k次取到号码 0 设 Xk 0 否则 ，k=1,2, …
(1) 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.090.11之间的概率至少是0.95? (2)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出 现次数在7和13之间的概率.
概率论
例1解答： 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知，诸Xi独立， 且E(Xi)=100, D(Xi)=10000 16只元件的寿命的总和为
解法一: 设Xi 为检查第i件产品所花时间,则
10 Xi 20 此件不需复查 此件需复查
概率论
E ( X i ) 15, D( X i ) 25
1900
于是,检查1900件所花时间为 X i ,则在8小时内检 i 1 验员能够至少检查1900件的概率为 1900 28800 1900 15 P{ X i 8 3600} 0.916 1900 25 i 1
由3σ准则， 此项为0。
查正态分布函数表得
(3.1) 0.999
概率论
N 120 故 ≥ 3.1, 48
即所求N=142.
从中解得N≥141.5,
也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的 概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.
例3
对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数 是一个随机变量，设一个学生无家长、 1名家长、名 2 家长来参加会议的概率分别为0.05、.8、.15.若学校 0 0 共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互 独立，且服从同一分布.
概率论
第二节
例题
课堂练习
中心极限定理
中心极限定理
小结 布置作业
概率论
中心极限定理的客观背景
在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因 素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小 的.那么弹着点服从怎样分布呢 ？
即
n ~ N ( np, np(1 p))
近似地
概率论
下面演示不难看到中心极限定理的客观背景
f g 0 例:20个0-1分布的和的分布
1
h
2 3
x
几个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~f(x)
X1 +X2~g(x)
X1 +X2+X3~ h(x)
二、例题 例1 检验员逐个检查某种产品，每查一件花10 秒时间，有的产品可能要复查一次而再花10秒时 间.假定每一件产品需复查的概率为1/2，求在8小 时内检验员能够至少检查1900件的概率.
概率论
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们 不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随 n 机变量. 即考虑随机变量X k ( k 1,n)的和 X k
k 1
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
D ( X k )
k 1
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
概率论
1 n （1)解：设应取球n次，0出现频率为 X k n k 1
例2解答：
1 n 1 n E ( X k ) 0.1, D( X k ) 0.09 n k 1 n k 1 n
概率论
（）求参加会议的家长数X超过 450的概率； 1 （2 ）求有1名家长来参加会议的学生数不多340的概率.
解 (1)以X k ( k 1,2,400)记第k个学生来参加会议
的家长数，则X k的分布律为 Xk pk
400
0
1
2
0.05 0.8 0.15
易知E ( X k ) 1.1, D( X k ) 0.19 k 1,2,400.
概率论
解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验
是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6 , 共进行200次独立重复试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数，
依题意，
X~B(200,0.6),
设需N台车床工作， 现在的问题是： 求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N 台工作所需电力即N千瓦.）
n
Yn
k 1
X k n n
n
k 1