工程力学教学课件 第4章 扭转

§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
（2）确定空心轴的内、外径
第 4
由强度条件
T Wp
，其中
Wp
D3(14)
16
，得
章
3
D
(1 1 6 M 4 p ) 3
(1 1 6 0 .1 9 .4 5 ) 1 5 0 0 3 1 0 6 7 6 1 0 3 m 7 6 m m
扭
故 d 0 .9 D 0 .9 7 6 .4 m 8 m
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
§4. 3 薄壁圆管的扭转
´
第
a
b
4
dy
章
´
c
d
扭
t
z
dx
转
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
该定理具有普遍性，不仅对纯剪切应力状态下成立，对 正应力和剪应力同时作用的单元体亦成立。
§4. 3 薄壁圆管的扭转
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
§4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
例5 图示圆轴，AB段为实心圆截面，直径d1=60mm， BC段为实心圆截面，直径D=80mm，CD段为空心圆截面，
第 内径d2=60mm，外径D=80mm，所受外力偶矩如图。各 4 段杆的容许剪应力为 10M 0 P。a（1）试校核该轴的 章 强度；（2）如材料的剪切弹性模量 G8104MP，a求
4
章
扭 转
§4.1 概念
外力偶矩 第 按输入功率和转速计算 4 章
扭
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
转
电机每秒输入功： WPk10(0N0.)m
外力偶作功完成：
WMe
2
n 60
Pk
Pk
§4.2 扭矩及扭矩图 扭矩和扭矩图 第 4 章
扭
转
§4.2 扭矩及扭矩图 扭矩和扭矩图 第 4 章
第4章 扭 转
§4.1 概念 §4.2 扭矩及扭矩图 §4.3 薄壁圆管的扭转 §4.4 圆轴扭转时的应力和强度条件 §4.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
§4.1 概念
第 4 章
扭 转
汽车传动轴
§4.1 概念
第 4 章
扭 转
§4.1 概念
第 4 章
扭 转
丝锥攻丝
§4.1 概念
第
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向
章 一样绕杆的轴线转动)，
得如下推断：
扭
转
（1）横截面上只有剪应力，没有正应力；
（2）剪应力的方向沿圆周的切线方向。
下面从几何方面、物理方面、静力方面三个方面推 导圆轴扭转时横截面上的剪应力：
§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
o1
o2
A Bo1 o 2
D CB’
C’
dx
R
d
d
dx
a ρ b
A dB
B C 段 :2 m a x W T p 2 21 4 ( 0 1 .1 0 ) 3 3 7 1 .3 1 0 6 P a 7 1 .3 M P a 1 6
故，该轴满足强度要求。
§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
例3 某传动轴，横截面上的最大扭矩Mn=1.5kN.m，许
用剪应力50 MP，a试按下列两种方案确定轴的截面尺 第 寸，并比较其重量。
例4 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
第 =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
4 G=80GPa；试选择该轴的直径。
章 mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
扭A 转
l1
○ 1kN.m
B l2 C
2kN.m
⊕
max
Tmax Wp
A BC
6kNm D
扭
（3）求总扭转角
AB BC CD
0.4m 0.3m 0.6m
转 8141 0100 3 00.4.06 4328161 001 0 3 0 0..0 38 432
811 00 6 10.00 38 401.6 (34)4 320.006r2a6d
§4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
将
G
Gd
dx
代入上式，得
转
T A
d A AG d dd x A G d dA x2 d A
令
IP
2dA A
，称为横截面对圆心的极惯性矩。于是
T
GIP
d
dx
而:
G
Gd
dx
§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
第 4 章
扭
转
令
T IP
抗扭截面系数
§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
4
章 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,
使杆件的横截面绕轴线产生转动。 扭
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 转
截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴
扭转。
§4.1 概念
如图，圆轴在外力偶作用下发生扭转变形。
第 4
章 称为扭转角。
扭 称为剪切角。
转
MK
A
MK
B
§4.1 概念
外力偶矩
第
直接计算
转 布可视作均匀的，切应力沿圆周切
线，方向与扭矩转向一致。
MK
（1）横截面上只有剪应力， 没有正应力；（2）剪应力的方向 沿圆周的切线方向。
r
MK
x
§4.3 薄壁圆管的扭转
A dA r0 T
第 4
r0 AdA r0 2 r0 t T
章
T
2 r02
t
T 2 A0
t
扭 A0为平均半径所作圆的面积。
第
由截面法：（1）截开，留 M K
m
MK
4 下左半段，去掉右半段；
章
（2）用内力代替去掉部分对 M K
m m
留下部分的作用； T称为扭矩。
T
（3）考虑留下部分的平衡
扭
M x0:TM K0
m
m
MK
T
m
转
T MK
同样，亦可留下右半段作为研究对象，可的同样的结 果，如图。
扭矩的符号规定：自截面的外法线向截面看，逆时针 为正，顺时针为负。
此轴总扭转角。
扭
解：（1）作扭矩图如图 所示。
4kNm10kNm A BC
6kNm D
转
（2）强度校核
最大剪应力可能出现在
0.4m 0.3m
4kNm
AB段或CD段，其最大剪应力
M
图
n
0.6m
为
6kNm
m1 a xW T 1 t14 0 1 .033 0 6 1 6 9.3 4 16P 0 a 9.3 4 MPa
§4.2 扭矩及扭矩图 扭矩图 第 4 章
扭
转
§4. 2 扭矩及扭矩图
第 4 章
扭
转 解: (1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
§4. 2 扭矩及扭矩图
(2)计算扭矩 第 4 章
扭 (3) 扭矩图
转
§4. 2 扭矩及扭矩图
第 4 章
扭 转
§4.3 薄壁圆管的扭转
第
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
转
Wn
IP
max
D3
16
对于空心圆 IP3 (2 D 4d4)3 D 42 (14)
W p16 D(D 4d4)1D 63(14)
其中 d D 。剪应力分布图如图。
d
O
D
d
O
DHale Waihona Puke Baidu
§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
例2 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直
第
径d2=100mm。外力偶矩为MKA=22kN.m, MKB=36 kN.m ,
Tl
GI P 称为截面的抗扭刚度。
GI P
§4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
二、刚度条件
第 4
ddx GTIp (rad/m)
章
扭
maxGTIp (rad/m)
[ ]称为许用单位扭转角。若许用单位扭转角给的是 / m，
转 则上式改写为
maxG TpI180 (/m)
§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
用截面法，考虑一部分圆管
转 的平衡：
mx 0:T MK 0
MK
得 MK MK 2 r02 2A0
x
§4. 3 薄壁圆管的扭转
二、剪应力互等定理
第
´
a
b
4 章
dy
´
c
d
扭
t
z
dx
转 m z 0 ; td x d td yxd y
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
转 取 D7m 6,m d6m 8 m
（3）重量比较
重量比 A A实 空4(D 42D 02d2)76 254 268 2 0.395
§4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
一、扭转角的计算
第 4 章
扭
转
由上节知
d
T GIP dx
，所以 d T dx ，于是
GIP
dGTIPdx 对于扭矩为常数的等截面圆轴，扭转角为
§4. 5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
第
m a x 2 W T p 2 2 0 .0 8 6 3 1 1 0 3 ( 3 4 )4 1 6 8 7 .3 1 0 6 P a 8 7 .3 M P a
4 m am x1 a9 x.3 M 4 Pa 4kNm10kNm
章 故满足强度条件。
MKC=14 kN.m 。已知材料的许用剪应力80MPa，试校
4 核该轴的强度。
章
解：用截面法求得AB、BC 的扭矩分别为
扭
T1 22k N m
M KA
M KB
A
B
22kNm
M KC
C
T2 14k N m
T图
转 扭矩图如图所示。
14kNm
A B 段 :1 m a x W T 1 p 12 2 (0 .1 1 0 2 3 )3 6 4 .8 1 0 6 P a 6 4 .8 M P a 1 6
16dm3c
d
3
16mC
3
162000103
60106
55.4mm
§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
mA
mB mC
第
⑵按刚度条件
4A 章
扭
l1 B l2 C
2kN.m
⊕
○
maxG TpI180 (/m)
IP
d4
32
G Tm ax180
转
1kN.m
d43G T m 2a 1x 284 08 3 0 2 1 290 00 .1 3 0 2 8 0 1030 8.5 3 mm
三、剪切虎克定律
´
第
单元体ab 的倾角 称为切应变，
4 章
切应变是单元体直角的改变量。实 dy
a
´
b
验表明，在弹性范围内，切应力与
c
d
t
扭 切应变成正比，即
z
dx
转
G
P
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。
§4. 3 薄壁圆管的扭转
三、剪切虎克定律
第
剪切弹性模量G 、与弹性模量E 和泊松比 一样，都是
4
（1）横截面为实心圆截面；
章
（2）横截面为 0.9 的空心圆截面。
扭
解：（1）确定实心轴的直径
转
由强度条件
T Wp
，其中
Wp
D3 16
，得
D 0 3 1 6 M p3 1 6 1 5 .0 5 1 1 0 0 6 35 3 .5 1 0 3m 5 3 .5 m m
取 D0 54mm。
二、最大扭转剪应力 强度条件
第
4
章
对整个圆轴
扭
max
Tm ax Wp
转
于是可得强度条件为
max
Tmax Wp
其中容许切应力[]是由扭转时材料的极限切应力除以安全系
数得到。
§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
三、极惯性矩 抗扭截面模量
第
由 IP A2dA，对于圆，如图，则
4
dA2d
章
扭
IPA2dA 20D 23d3 D 42
bc’ d c’
B’
DC
dx C’
1、几何方面 2、物理方面
R d
dx
d
dx
(横截面上b 点的切应变)
G
Gd
dx
(横截面上b 点的切应力)
§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
3、静力方面 如图所示，在整个横截面上，所
第 有微力矩之和等于该截面的扭矩，即
ρdA b dA
4 章
AdAT
O2 T
扭
4 章
表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三
个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。
扭
转
G E
2(1 )
根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个， 就可求出第三个来。
§4. 4 圆轴扭转时的应力和强度条件
一、横截面剪应力的一般公式
第
如图所示，借助实 验观察做出平截面假设
4 (假设横截面像刚性平面
假设。
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
§4.3 薄壁圆管的扭转
薄壁圆管扭转时横截面上的剪应力
第
如图所示，借助实验观察结
4 合理论分析，可得如下结论：
章
薄壁筒扭转时，因长度不变， M K
故横截面上没有正应力，只有切应
扭 力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分
r0
（r0：为平均半径）
4 章
扭
转
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②两端施加一对外力偶 m。
§4.3 薄壁圆管的扭转
2.实验后：
第 ①圆周线不变； 4 章 ②纵向线变成螺旋线。
3.结果：
扭
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，
转
只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此 结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面
扭
转
§4.2 扭矩及扭矩图 扭矩和扭矩图 第 4 章
扭 转
T = Me
§4.2 扭矩及扭矩图 扭矩和扭矩图 第 4 章
扭 转
T = Me
§4.2 扭矩及扭矩图
扭矩正负规定 第 4 章
扭
转
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
§4.2 扭矩及扭矩图
如图求圆轴指定截面的内力。
例6 图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC
第
=0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m；