2011中考数学压轴题

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2011上海数学中考24,25压轴题及答案

24．（本题满分12分，每小题满分各4分）

已知平面直角坐标系xOy ，一次函数334

y x =+的图像与y 轴交于点

A ，点M 在正比例函数32

y x =

的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y

＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一

次函数334

y x =

+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．

解:(1) 根据两点之间距离公式，设M (a ,

3a )

由| MO |=| MA |

解得：a =1 则M (1,

3),

即AM =

13。

(2) ∵A (0, 3)

∴c =3，将点M 代入y =x 2+bx +3

解得：b = -2

即：y =x 2-

25x +3。

(3) C (2, 2) 设B (0, m ) (m <3)，C (n , n 2-

25n +3)，D (n ,

43n +3)， | AB |=3-m ，| DC |=y D -y C =

3n +3-(n 2-

5n +3)=

13n -n 2，

| AD |=22)334

3()0(-+--n n =

5n ，

| AB |=| DC |⇒3-m =

13n -n 2… ，| AB |=| AD |⇒3-m =

5n … 。

解，，得n 1=0(舍去)，或者n 2=2，将n =2代入C (n , n 2-

5n +3)，得C (2, 2)。

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

2011年江苏省淮安市中考数学试题及答案(压轴题答案修正版)

江苏省淮安市2011年初中毕业暨中等学校招生文化统一考试

数学试题

欢迎参加中考，相信你能成功！请先阅读以下几点注意事项：

1．本卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页。满分150分。考试时间120分钟。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案答在本试题卷上无效。

3．作答第Ⅱ卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上的指定位置。答案答在本试题卷上或规定区域以外无效。

4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共24分）

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项

是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上

．．．．．．．．

）

1．3 的相反数是（）

A. -3

B. -1

D. 3

2．下列交通标志是轴对称图形的是（）

3．据第六次全国人口普查数据公报，淮安市常住人口约为480万人. 480万(即)用科学记数法可表示为（）

A. 4.8×104

B. 4.8×105

C. 4.8×106

D. 4.8×107

4．如图所示的几何体的主视图是（）

5．在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（）

A. 5cm

B. 15cm

C. 20cm

D. 25cm

6．某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30,33,24,29,24.这组数据的中位数是（）

A.29

B.28

C.24

D.9 7．不等式

2011中考数学压轴题(共10题)

2010年中考数学压轴题100题精选

【1】如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x

<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x

轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =

k 2

（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点．（1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)；（2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．

①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；

②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。

【2】一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ．

(1)若m 为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

(3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

【3】如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；

（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，

求y 与x 的函数关系式；

（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y 取最小值时，判断

2011年全国各地中考数学压轴题专集 2一元二次方程

2011年全国各地中考数学压轴题专集：2一元二次方程

1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．

（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根．

（1）求m的值；

（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．

3．已知关于x的方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．

（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；

（2）求证：α≤1≤β；

（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（1

，1），C

（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝5

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．请阅读下列材料：

问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．

解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y

．

把x＝y

代入已知方程，得(

)2＋

－1＝0．

化简，得y2＋2y－4＝0．

故所求方程为y2＋2y－4＝0．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；

2011中考数学压轴题选精选

y
P 从点 O 出发平移次数 1次 2次
1 O 1
可能到达的点的坐标（0，2），（1，0）
3次
x
（2）观察发现：任一次平移，点 P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移 1 次后在函数 ________________的图象上；平移 2 次后在函数________________的图象上„„由此我们知道，平移 n 次后在函数________________的图象上．（请填写相应的解析式）（3）探索运用：点 P 从点 O 出发经过 n 次平移后，到达直线 y＝x 上的点 Q，且平移的路径长不小于 50，不超过 56，求点 Q 的坐标． 13．某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形 ABCD．已知木栏总长为 120 米，设 AB 边的长为 x 米，长方形 ABCD 的面积为 S 平方米．（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，当 x 为何值时，S 取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆．其圆心分别为 O1 和 O2，且 O1 到 AB、BC、AD 的距离与 O2 到 CD、BC、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至
10．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆围成．已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米．（1）若平行于墙的一边的长为 y 米，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及其自变量 x 的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时，试结合函数图像，直接写出 x 的取值范围． 18 米墙苗圃园

2011中考数学专题复习——压轴题(含答案)

中考数学专题复习——压轴题

1.（2008年四川省宜宾市）

已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；

（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--a b

ac a b 44,22

）

2. （08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所

示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；

(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；

(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.

3. （08浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是

y x O

B C

T y

x O B

C A T

边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于

2011年东莞市中考数学压轴题(有答案)

2011年东莞市中考数学压轴题

21．如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB=AC=EF=9，△BAC=△DEF=90º，固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2) （1）问：始终与△AGC 相似的三角形有及；

（2）设CG=x ，BH=y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）（3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形. 【答案】解：（1）△HAB ，△HGA 。（2）∵△AGC ∽△HAB ，∴

AC GC

HB AB

，即9=9x y 。 ∴81

y x

。又△BC=229992092

。 ∴y 关于x 的函数关系式为()

092y

。（3）①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图1，

可知9

222

BC x CG ===。

②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2，在△HGA 和△AGC 中

△△AGH=△CGA ，△GAH=△C=450， ∴△HGA ∽△AGC 。

△AG=AH ，∴9x CG AC ===

③当CG ＞BC 时，由（1）△AGC ∽△HGA ，所以，若△AGH 必是等腰三角形，只可能存在GH=AH ，若GH=AH ，则AC=CG ，此时x=9，如图（3），当CG=BC 时，

题21图(1)

A （D ）

2011年数学中考压轴题100题精选( 1-10题)含答案

合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、

(英语)、 (幼教)、、等站

E 度教育网

2010年中考数学压轴题100题精选（1-10题）

【001

】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为

()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

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【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．

2011年中考数学压轴题

2011中考数学压轴题

姓名___________班级__________学号__________分数___________

一、解答题

1．（13999－2011湖北恩施州）宜万铁路开通后，给恩施州带来了很大方便．恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A，B两种材料共50箱．已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨；B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨；不计箱子之间的空隙，设A 种材料进了x箱．

(1)求厂家共有多少种进货方案(不要求列举方案)？

(2)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数解析式(求函数解析式不取近似值)，确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润．

2．（14001－2011湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A．点C，且与x轴的另一交点为B(x0，0)，其中x0＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．

(1)求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；

(2)若△P AC周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；

(3)如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动(M不与端点C．O重合)，过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；

2011中考数学真题解析118 压轴题2(含答案)

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆

压轴题2

41.（2011黑龙江大庆，28，8分）二次函数：y=ax 2

﹣bx+b （a ＞0，b ＞o ）图象顶点的纵坐

标不大于

．

（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；

（2）若该二次函数图象与x 轴交于A ，B 两点，求线段AB 长度的最小值．考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数的性质。

分析：（1）先求出y=ax 2

﹣bx+b （a ＞0，b ＞0）的顶点的纵坐标，根据题意得出≥3，

即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；

（2）设A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），则x 1、x 2是方程ax 2

﹣bx+b=0的两根，由求根公式得出x 1、x 2，根据AB =|x 2﹣x 1|求出线段AB 长度的最小值．

解答：解：（1）由于y=ax 2

﹣bx+b （a ＞0，b ＞0）图象的顶点的纵坐标为，

则≤﹣，得≥3，

∴该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围是不小于3；（2）设A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2）则方程ax 2

﹣bx+b=0的两根，

得x 1=，x 2=

，

从而AB =|x 2﹣x 1|=

b a

b ⋅

-4)(2

=4)2(

2--a

由（1）知≥6．

由于当≥6时，随着的增大，4)2(

2--a

也随着增大，所以=6时，线段AB 长度的最小值为2

．

点评：本题是一道综合性的题目，考查了抛物线与x 轴的交点问题以及二次函数的性质，是中考压轴题，难度较大．

42. （2011•郴州）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P 是线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），坐标为（m ，1﹣m ）（m 为常数）．（1）求经过O 、P 、B 三点的抛物线的解析式；

中考数学压轴题及答案

2011年中考数学压轴题及答案

1、（11福州）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的

负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y =ax 2

+bx +c 经过点A 、B 和D 2

(4,)3

（1）求抛物线的解析式.

（2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm /s 的速度向点B 运动，同

时点Q 由点B 出发沿BC 边以1cm /s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S =PQ 2(cm 2)

①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； ②当S 取

时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.

（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标.

2、（11德州）在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(3

2x x

y =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．

（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKPA 的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标．

②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的2

．若存在，试

求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由．

2011全国各省市中考数学压轴题精选精析

NQ MN vt 4 ，即， v 1． BP MB 3t 3
如图 2，易知当 t ≥ 4 时， v 1 ．综上所述， Q 点运动速度为 1 cm/s． ② AN AC NC 12 8 4cm，
如图 1，当 0 t 4 时， AP 4 3 3t，AQ 4 t．
2 ⑵仿⑴③ y 2( x ) = 2 ( x ) (
a x

a 2 ) x
= 2 ( x ) (
2

a 2 a 2 a a ) 2 x 2 x ) 4 a = 2( x x x x x
第6页
所以, 当 x
a a =0，即 x a 时，函数 y 2( x )( x＞0) 的最小值为 4 a x x
2011 全国各省市中考数学压轴题精选精析
1、（2011•北京）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我把由两条射线 AE，BF 和以 AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形 C（注：不含 AB 线段）．已知 A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上．（1）求两条射线 AE，BF 所在直线的距离；（2）当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时，写出 b 的取值范围；当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时，写出 b 的取值范围；（3）已知▱AMPQ（四个顶点 A，M，P，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形 C 上，且不都在两条射线上，求点 M 的横坐标 x 的取值范围．

2011中考数学压轴题精选精析(2)

2012中考数学压轴题精选精析（11-20例）

11．（2011•江苏盐城）（本题满分12分）如图，已知一次函数y = － x +7与正比例函

数y = 4

3 x 的图象交于点A ，

且与x 轴交于点B .

（1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向

左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.

①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不

存在，请说明理由．

【答案】（1）根据题意，得⎩⎨⎧y =-x +7y=43x

，解得 ⎩

⎨⎧x =3

y =4，∴A (3，4) .

令y =－x +7=0，得x =7．∴B （7，0）. （2）①当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4.

由S △APR =S 梯形COBA －S △ACP －S △PO R －S △ARB =8，得 12(3+7)×4－12×3×(4－t )－ 12t(7－t )－ 12t ×4=8 整理,得t 2－8t +12=0, 解之得t 1=2,t 2=6（舍）当P 在CA 上运动，4≤t ＜7.

由S △APR = 12

×(7－t ) ×4=8，得t =3（舍）

2011中考数学真题解析120 压轴题4(含答案)

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编

压轴题4

127.（2011山东淄博24，分）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），与直线y=x 交于点A（﹣2，﹣2），B（2，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且

，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。

专题：计算题。

分析：（1）把C的坐标代入求出c的值，把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可求出抛物线的解析式；

（2）以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，当M在OA上，N在OB 上时，以点P，M，Q，N为顶点的四边形为平行四边形，求出N的横坐标，求出ND、MD，根据勾股定理求出m即可．

解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），

代入得：c=﹣2，

∴y=ax2+bx﹣2，

把A（﹣2，﹣2），B（2，2）代入得：

2422

a b

-=--

⎧

⎨

=+-

⎩

错误！未找到引用源。，

解得：

⎧

⎪

⎨

⎪=

⎩

错误！未找到引用源。，

∴y=1

错误！未找到引用源。x2+x﹣2，

答：抛物线的解析式是y=1

错误！未找到引用源。x2+x﹣2．

（2）解：以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形．理由如下：

2011年安徽芜湖中考数学压轴题解析

如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；

(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，

如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.

[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）

方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴

,E O D O E O B O A B D B C D D B

'''

= 又

∵DO ′+BO ′=DB ∴1E O E O A B D C ''+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵D O E O D B A B

=，∴2

316

E O D O D B A B ''=

⨯=⨯= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2①

再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02

x y =⎧⎨=-⎩

∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上

（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）

E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-⎧⎪

中考数学压轴题---因动点产生的相似三角形问题[含答案]

因动点产生的相似三角形问题

例1（2011年上海市闸北区中考模拟第25题）直线1

y x =-

+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．

(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；

(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；

(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

满分解答

（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．

（2）因为抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩

所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．

（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当