最新2018-2019学年(通用版)七年级上册数学培优讲义：第14讲-线段与角及答案-精编试题

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七年级上册数学同步和培优-相交线讲义

相交线【知识图谱】1.2.3.⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩对顶角和邻补角垂直相交线垂线垂线段角度计算同位角、内错角、同旁内角【知识要点】 1. 相交线平面内两条直线的位置关系：相交、平行 ①平行线：在同一平面内永不相交的两条直线。

②相交线：在一个平面内有一个公共点的两条直线。

③相交线性质：两条直线只有一个交点。

2.对顶角：①定义：两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。

②定理：对顶角相等③注意：相等的角不一定是对顶角。

3.邻补角：①定义：两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。

②特征：（1）具有一个公共的顶点；（2）有一条公共边；（3）两个角的另一边互为反向延长线；（4）邻补角是成对出现的，而且是互为邻补角．（5）互为邻补角的两角之和为180︒。

如下图，1∠和2∠、3∠和4∠互为对顶角；1∠和4∠、2∠和4∠、1∠和3∠、2∠和3∠互为邻补角。

43214. 垂线①垂直与垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． ②性质：1．同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；2．连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． ③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 5.同位角、内错角、同旁内角两条直线与第三条直线相交，其中两条“直线”就称为被截直线，而“第三条直线”称为截线。

①同位角：两个角都在被截直线的同侧，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角．例如1∠和5∠，3∠和7∠等都是同位角．②内错角：两个角都在被截直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样一对角叫做内错角．例如3∠和5∠，4∠和6∠是内错角．③同旁内角：两个角都在被截直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同旁内角．例如3∠和6∠，4∠和5∠是同旁内角．【例题讲解】例1.（对顶角)下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )A. B. C. D.变式练习1.1 判断下列说法的正确。

专题02 代数式(解析版)

2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）专题02 代数式【题型1】代数式表示数、图形的规律1．（2022·河北廊坊·七年级期末）如图．用棋子按规律摆出下列一组图形，据此规律，第2022个，图形棋子的枚数为（）A．6065B．6068C．6069D．6071【答案】B【分析】由所给的图形不难看出第n个图形所棋子枚数是：3n+2，从而可求解．【详解】解：∵第1个图形棋子枚数为：5=3×1+2，第2个图形棋子枚数为：5+3=3×2+2，第3个图形棋子枚数为：5+3+3=3×3+2，∴第n 个图形棋子枚数为：3n +2，∴第2022个图形棋子枚数为：3×2022+2=6068，故B 正确．故选：B ．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出规律是解题的关键．【变式1-1】2．（2022·黑龙江大庆·期中）观察下面一系列等式：23181-=´，22531682-==´，22752483-==´，22973284,-==´…分析其规律，并用含有a 的字母表示这个规律__________．【答案】()()2221218a a a+--=【分析】根据题意观察式子，发现等式的左边为连续的两个奇数的平方差，右边为8与从1开始的自然数的乘积，据此用代数式表示即可求解．【详解】解：23181-=´，22531682-==´，22752483-==´，22973284,-==´…分析其规律，可得()()2221218a a a +--=．故答案为：()()2221218a a a +--=．【点睛】本题考查了用代数式表示式子的规律，发现规律是解题的关键．【题型2】代数式的书写方法1．（2021·福建·晋江市磁灶中学七年级期中）下列代数式书写规范的是（）A ．2m n ´B ．526abC ．a b ¸D ．3xD、该选项正确．故选D．【点睛】本题考查了代数式的书写要求，解决本题的关键是掌握代数式的书写要求．要求：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，也可写成“.”；（2）数字要写在前面；（3）带分数一定要写成假分数；（4）在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式．【变式2-1】2．（2022·全国·七年级课时练习）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写：（1）a×5，应写成_______ ；（2）S÷t应写成_________；（3）123a a b´´-´，应写成______；（4）413x, 应写成______.【题型3】代数式表示的实际意义1．（2022·内蒙古通辽·七年级期末）下列赋予4m实际意义的叙述中不正确的是（）A．若一个两位数中的十位数字和个位数字分别为4和m，则4m表示这个两位数B．若正方形的边长为m厘米，则4m表示这个正方形的周长（单位：厘米）C．若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额（单位：元）D．若一辆汽车行驶的速度是m千米/小时，则4m表示该汽车4小时行驶的路程（单位：千米）【答案】A【分析】根据两位数的表示=十位数字×10+个位数字；正方形周长=边长×4；金额=单价×重量；路程=速度×时间进行分析即可．【详解】解：A、若一个两位数中的十位数字和个位数字分别为4和m，则（4×10+m）表示这个两位数，原说法不正确，故此选项符合题意；B、若正方形的边长为m厘米，则4m表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意；C、若葡萄的价格是4元/千克，则4m表示买m千克葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意；D、若一辆汽车行驶的速度是m千米/小时，则4m表示该汽车4小时行驶的路程，原说法正确，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查代数式，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系．【变式3-1】2．（2022·江苏·七年级）某超市的苹果价格如图，试说明代数式100﹣9.8x的实际意义__．【答案】用100元买每斤9.8元的苹果x斤余下的钱【分析】根据题意结合图片得出代数式100﹣9.8x的实际意义．【详解】解：代数式100﹣9.8x 的实际意义为：用100元买每斤9.8元的苹果x 斤余下的钱．故答案为：用100元买每斤9.8元的苹果x 斤余下的钱．【点睛】此题主要考查了代数式，结合题意利用图片得出是解题关键．【题型4】求代数式的值1．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级阶段练习）已知|2|a =-，则a -5＝（）A ．3-B ．3C ．7-D ．7【答案】A【分析】由绝对值的意义求出a 的值，再代入a -5中计算即可．【详解】∵|2|a =-，∴2a =，∴a -5=2-5=-3．故选A ．【点睛】本题考查求一个数的绝对值，代数式求值．掌握正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题关键．【变式4-1】2．（2021·江西·宜春九中七年级阶段练习）已知150y x -++--=，则x y +=__________．一．选择题1．（2022·全国·七年级专题练习）某商店促销的方法是将原价x 元的衣服以（0.8x ﹣10）元出售，意思是（）A ．原价减去10元后再打8折B ．原价打8折后再减去10元C ．原价减去10元后再打2折D ．原价打2折后再减去10元【答案】B【分析】根据先算乘法可知先打折，再减价．【详解】解：将原价x 元的衣服以（0.8x ﹣10）元出售，意思是原价打8折后再减去10元，故选：B ．【点睛】本题考查代数式的实际意义．理解运算中乘为打折，减是减价是解题关键．2．（2021·湖南·宁远县教研室七年级期中）下列式子中不是代数式的是（）A ．32a b +B ．52+C ．1a b +=D ．1b a +【答案】C【分析】根据代数式的定义：用基本运算符号（基本运算包括加减乘除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，由此可排除选项．【详解】解：A 、是代数式，故不符合题意；B 、是代数式，故不符合题意；C 、中含有“=”，不是代数式，故符合题意；D 、是代数式，故不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键．3．（2022·全国·七年级专题练习）下列各式中，符合整式书写规则的是（）A ．5x ´B ．72xyC ．124xyD ．1x y-¸【答案】B【分析】利用代数式的书写要求分别判断得出答案．【详解】解：A 、5x ´不符合代数式的书写要求，应为5x ，故此选项不符合题意；4．（2022.湖北.利川市思源实验学校七年级阶段练习）小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：输入 (1)2345…输出…1225310417526…那么，当输入数据8时，输出的数据是（）A ．861B ．863C ．865D ．8675．（2021·全国·七年级单元测试）已知3257x y -+=，那么多项式15102x y -+的值为（）A ．8B ．10C ．12D ．35【答案】C【分析】由多项式3257x y -+=，可求出322x y -=，从而求得1510x y -的值，继而可求得答案．【详解】解：∵3257x y -+=∴322x y -=∴151010x y -=∴1510+2x y -10+212==故选C ．【点睛】本题考查了求多项式的值，关键在于利用“整体代入法”求代数式的值．6．（2019·海南·中考真题）当m =-1时，代数式2m+3的值是（）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】将=1m -代入代数式即可求值；【详解】解：将=1m -代入232(1)31m +=´-+=；故选C ．【点睛】本题考查代数式求值；熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键．二、填空题7．（2018·上海·中考真题）某商品原价为a 元，如果按原价的八折销售，那么售价是_____元．（用含字母a 的代数式表示）．【点睛】本题考查了销售问题、列代数式，弄清题意，列出符合题意的代数式是解题的关键.8．（2020·河北·模拟预测）若4x y +=，a ，b 互为倒数，则1()52x y ab ++的值是_________9．（2019·广东·中考真题）已知23x y =+，则代数式489x y -+的值是_____.【答案】21【分析】由已知可得x-2y=3，继而对所求的式子进行变形后，利用整体代入思想即可求得答案.【详解】∵x=2y+3，∴x-2y=3，∴4x-8y+9=4(x-2y)+9=4×3+9=21，故答案为21.【点睛】本题考查了代数式求值，正确的进行变形是解题的关键.10．（2022·全国·七年级课时练习）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、5元/本．现购进m 本甲种书和n 本乙种书，共付款Q 元．（1）用含m ，n 的代数式表示Q =______；（2）若共购进3510´本甲种书及3310´本乙种书，Q =______（用科学记数法表示）．【答案】 4m +5n 43.510´【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据题意列出算式进行化简即可．【详解】解：（1）由题意，得Q =4m +5n ；（2）Q =4×3510´+5×3310´=20×310+15×310=35×310=43.510´．故答案为：4m +5n ，43.510´．【点睛】本题考查了整式中的列代数式，科学记数法的运算，正确地理解能力和计算能力是解决问题的关键．三、解答题11．（2021·全国·七年级单元测试）如图所示，有长为l 的篱笆，利用它和一面墙围城长方形园子，在园子的长边上开了1米的门，园子的宽为t ．（1）用关于l ，t 的代数式表示园子的面积．（2）当l =100m ，t =30m 时，求园子的面积．【答案】（1）()12S l t t =+-；（2）21230m 【分析】（1）表示出长，利用长方形的面积列出算式即可；（2）把l =100m ，t =30m 代入（1）求得答案即可；【详解】解：（1）宽为t,长为：l +1-2t 面积为：()12S l t t =+-（2）当l =100m ，t =30m 时S=()()12100123030l t t +-=+-´´=1230故园子的面积为21230m 【点睛】本题考查根据实际，列出代数式，再代入求值，关键在于找到等量关系．12．（2022·全国·七年级专题练习）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：第1个点阵2213112++=+第2个点阵13531++++=______＋______第3个点阵++++++=______＋______．1357531（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式．【答案】（1）22，32，32，42（2）1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2【分析】（1）根据点阵图即可求解；（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第n个点阵相对应的等式．【详解】（1）第1个点阵1+3+1＝12+22，第2个点阵1+3+5+3+1＝22+32，第3个点阵1+3+5+7+5+3+1＝32+42．故答案为22，32，32，42；（2）根据（1）中的3个等式，可以发现，第n个点阵的对角点最多有2n+1个，而且等号右侧是22++，n n(1)∴第n个点阵相对应的等式为：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律．13．（2022·全国·七年级专题练习）用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形．[观察思考]第（1）个图形中有212=´张正方形纸片；´+==´张正方形纸片；第（2）个图形中有2(12)623´++==´张正方形纸片；第（3）个图形中有2(123)1234第（4）个图形中有2(1234)2045´+++==´张正方形纸片；……以此类推(1)[规律总结]第（5）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）．(2)根据上面的发现我们可以猜想：123n ++++=L __________．（用含n 的代数式表示）(3)[问题解决]根据你的发现计算：101102103200++++L ．14．（2022·全国·七年级专题练习）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：432432106a x a x a x a x a x ++++=，则：①取0x =时，直接可以得到00a =；②取1x =时，可以得到432106a a a a a ++++=；③取1x =-时，可以得到432106a a a a a -+-+=-；④把②，③的结论相加，就可以得到4222a a +020+=a ，结合①00a =的结论，从而得出420a a +=．请类比上例，解决下面的问题：已知654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x -+-+-+-+-+-+=．求：(1)0a 的值；(2)6543210++++++a a a a a a a 的值；(3)642a a a ++的值．【答案】(1)4(2)8(3)0【分析】（1）观察等式可发现只要令x =1即可求出a 0；（2）观察等式可发现只要令x =2即可求出a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值；（3）令x =2即可求出等式①，令x =0即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．（1）解：当1x =时，∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x -+-+-+-+-+-+=，∴0414a =´=；（2）解：当2x =时，∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x -+-+-+-+-+-+=，∴65432108a a a a a a a +++++=+；（3）解：当2x =时，∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x -+-+-+-+-+-+=，∴65432108a a a a a a a +++++=+①；当0x =时，∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x -+-+-+-+-+-+=，∴65432100+-++=--a a a a a a a ②；用①+②得：406282222++=+a a a a ，∴642040a a a a ++=-=．【点睛】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，整体思想求解是解题的关键．15．（2019·贵州贵阳·中考真题）如图是一个长为a ，宽为b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a ，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a ＝3，b ＝2时，求矩形中空白部分的面积．【答案】（1）S ＝ab ﹣a ﹣b +1；（2）矩形中空白部分的面积为2；【分析】（1）空白区域面积=矩形面积-两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；（2）将a=3，b=2代入（1）中即可；【详解】（1）S ＝ab ﹣a ﹣b +1；（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；【点睛】本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关键．。

【核心考点突破】2023学年七年级数学上册培优讲与练(人教版) 有理数混合运算的六种技巧-解析版

有理数混合运算的六种技巧（解析版）【专题精讲】有理数的混合运算是加、减、乘、除乘方的综合应用,学会运算法则是基础,运算的关键是运算的顺序,为了提高运算速度,要灵活运用运算律,还要能创造条件利用运算律,如拆数,移动小数点等,对于复杂的有理数运算,要善于观察、分析、类比与联想,从中发现可以简算的地方从而达到算得准、算得快的目的。

计算复杂算式,应遵循以下几个原则：(1)分段同时性原则:例如在计算一0.25²÷（-21）-（−1）2021+(-2)²×(-3)²的过程中,应在第一步中计算0.25² −（12）4 （−1）2021 （-2）²,（-3）²以达到高效的目的; (2)整体性原则:例如乘除混合运算统一化为乘法,统一进行约分;(3)简明性原则:计算步骤尽可能简明,能够一步计算出来的就同时算出来,不要拖沓;(4)心算原则:计算过程中,能用心算的都尽量运用心算,心算是提高运算速度的重要方法。

有理数计算常用的技巧与方法有①应用运算律;②裂项相消;③分解相约;④巧用公式;⑤利用倒数;⑥借用图形面积◎类型一：巧用凑整法计算解题方法：多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。

1．（2020·安徽·马鞍山市雨山实验学校七年级阶段练习）计算(1)()21112 2.75524⎛⎫----+-+ ⎪⎝⎭(2)5212018201740351632⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)()()36762464+-+-+(2)33243571375-++++(1)(9)(7)(6)(5)---+--+；(2)11213()() 2332---+-．4．（2022·全国·七年级专题练习）（- 48）-（- 512）+（- 44）-38◎类型二：运用拆项法计算解题方解答此类问题,先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起,利用交换律结合律得出答案。

(旧知复习)第5讲三角形、平行四边形和梯形(学生版)

2024年苏教版数学四升五暑假衔接培优精讲练过关讲义（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）第5讲三角形、平行四边形和梯形知识点01：三角形定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。

三角形有3条边、3个角和3个顶点。

内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。

这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。

底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

一个三角形有三组不同的底和高。

三角形的分类：按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。

直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。

按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。

三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。

这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。

三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。

等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形：○1两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。

○2三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。

）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

○3有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90°○4等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2○5一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。

人教版初中数学同步讲义七年级上册第02讲直线、射线、线段(解析版)

知识点 01 点、线、面、体之间的关系
1. 点、线、面、体之间的关系：体与体相交成面，面与面相交成
成面，面动成体。面可以经过形。
考点题型：①图形的关系与形成。
线，线与线相交成点。或点动成线，线动移动或旋转成为体。点、线、面、体组成几何图
【即学即练 1】 1．“力箭一号”（ZK﹣1A）运载火箭在酒泉卫星发射中心采用“一箭六星”的方式，成功将六颗卫星送入
A．三条
B．两条
C．一条
D．不确定
【解答】解：由两点确定一条直线可得，经过两点可以画一条直线，
故选：C．
【即学即练 4】
6．平面上有三点，经过其中任意两点画一条直线，共可画（）
A．一条直线
B．两条直线
C．三条直线
D．一条或三条直线
【解答】解：有两种情况：一种是三点共线时，只有一条；另一种是三点不共线，有三条．
5. 直线的特点： ①无限延伸 ②没有端点 ③无长度，无法度量，无法比较
6. 直线的基本事实：经过两点有 1 条直线且只有 1 条直线。简单说成两点确定一条直线。经过一点有无数条
直线。 7. 点与直线的位置关系：
点与直线有 2 种位置关系，分别是点在直线上和点在直线外。如右图：点 A 在直线上，点 B 在直线外。 8. 直线的相交：
A．40 个
B．45 个
C．50 个
D．55 个
【解答】解：10 条直线两两相交，最多有
＝ ×10×9＝45．
故选：B．
知识点 03 射线
1. 射线的定义：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。
2. 射线的图示：

人教版七年级数学上册培优讲义《第14讲期末重点复习(二)》

D A C 期末重点冲刺二部分题目知识点一掌握线段和角的基本概念，会解线段角的选择与压轴题。

知识点二掌握线段动点各类题型的解法，加强线段的表示，推导能力。

知识点三掌握设元导角各类题型的解法，加强导角，分类讨论的能力。

模块1 线第102页例1（2015青山七上期末）如图，点O 为线段AD 外一点，M ,C ,B ,N 为AD 上任意四点，连接OM ,OC ,OB ,ON ，下列结论正确的是（）A .以O 为顶点的角共有15个B .若OM 平分∠AOC ,ON 平分∠BOD ,∠AOD ＝5∠COB ,则3()2MON MOC BON ∠=∠+∠ C .若M 为AB 中点，N 为CD 中点，则1()2MN AD BC =- D .若MC ＝CB ,MN ＝ND ，则CD ＝2CN . A DB C N M第102也练习题如图，C 为线段AB 上一点，D 为线段BC 的中点，AB ＝10cm.（1）若线段AD 的长为a cm （5＜a ＜10）,求线段AC 的长（用含a 的式子表示）；（2）当43AC CD =时，求AD 的长.（2015青山七上期末）点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且a ,b 满足28(6)0a b -++=（1）求线段AB 的长；（2）点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程27223124x x x x ++--=-的根，在数轴上是否存在点P 使PA ＋PB ＝PC ，若存在，求出点P 对应的数，若不存在，请说明理由：（3）动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点M 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为t 秒，当t ＜7时，QP QA QM+的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，写出变化范围.备用图（2012武昌七上期末）如图，A是数轴上表示11的点，B是数轴上表示28的点，C是数轴上一点，点C 从点A出发，以每秒3个单位长度在数轴上匀速运动.（1）当点C从点A出发，以每秒3个单位长度在数轴上匀速运动.①点C运动3秒时，B,C两点间的距离为（单位长度）②若点M为线段OC的中点，点N为线段AC的中点，当点C运动多少秒时，点N为线段MC的三等分点；（2）当点C以每秒3个单位长度沿数轴正方向匀速运动到B点时，改变方向后始终沿数轴负方向匀速运动，速度保持不变.点C从A点出发的同时，另一点D从原点出发，始终沿数轴正方向以每秒6个单位长度的速度匀速运动.数轴上两点之间的距离小于或等于10个单位长度时，称为这两点处于“可视距离”，求点C和点D在整个运动过程中，有多少秒处于“可视距离”？xAO B模块2角第105页例4：（1）（2015洪山七上期末）如图，O为直线AB上一点，∠DOC为直角，OE平分∠AOC,OG平分∠BOC,OF平分∠BOD，下列结论错误的是（）A.∠DOG与∠BOE互补B.∠AOE－∠DOF＝45°C.∠EOD与∠COG互补D.∠AOE与∠DOF互余GFEDCBA O（2）（2013武昌七上期末）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD,∠BOD＝3∠DOE,∠COE＝α,则∠BOE的度数为（）A.αB.180°－2αC.360°－4αD.2α－60°ECBA练习（3）（2014秋•东西湖区期末）如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若∠BAE＝100°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为360°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故选项正确；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故选项正确；③由∠BAE＝100°，∠CAD＝40°，根据图形可以求出∠BAC＋∠DAE＋∠DAC＋∠BAE＋∠BAD＋∠CAE＝60°＋40°＋100°＋100°＋40°＝340°，故选项错误；④当F在的线段BE上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和为FB＋FE＋FD＋FC＝2＋3＋3＋3＝11，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和FB＋FE＋FD＋FC＝8＋0＋6＋3＝17，故选项错误．故选：B．例5（2014秋•江汉区期末）如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正（1）①若m＝60，则射线OC的方向是北偏东30°；②请直接写出图中所有与BOE互余的角及与BOE互补的角．（2）若射线OA是∠BON的角平分线，求∠AOC的度数（用含有m的式子表示）【解答】解：（1）①若m＝60，m＋n＝90°，n＝30°，则射线OC的方向是北偏东30°；故答案为：北偏东40°．②∵∠BOS＋∠BOE＝90°，∴图中与∠BOE互余的角有∠BOS，∵由m°的角与n°的角互余，∠BOE＋COE＝90°，∴得图中与∠BOE互余的角有∠COE，∴与∠BOE互余的角有∠COE、∠BOS，∵∠BOE＋BOW＝180°，∠BOE＋∠SOC＝180°∴∠BOE互补的角有∠BOW、∠SOC（2）∠AOC ＝．∵射线OA是∠BON的角平分线，∴∠NOA＝∠NOB，∵∠SOB＋∠BON＝180°，∠BON＝180°﹣∠SOB，∠NOA＝∠BON＝90°﹣∠SOB，∵∠NOC ＋∠SOB＝90°，∠NOC ＝90°﹣∠SOB，∠AOC＝N0A﹣∠NOC＝90°﹣∠SOB﹣（90°﹣∠SOB）∠AOC＝∠SOB＝．第106页练习题：（2014洪山七上期末）如图，O为直线AB上一点，∠DOC＝90°,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC. （1）图中与∠COF互余的角有，与∠COF互补的角有；（2）如果52EOD AOE∠=∠，∠EOD的度数为FEDCBA O107页例6（2015秋•江汉区期末）已知∠AOD＝α，射线OB、OC在∠AOD的内部，OM平分∠AOC，ON平分（1）如图1，当射线OB与OC重合时，求∠MON的大小；（2）在（1）的条件下，若射线OC绕点O逆时针旋转一定角度θ，如图2，求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，射线OC绕点O继续逆时针旋转，旋转到与射线OA的反向延长线重合为止，在这一旋转过程中，∠MON＝（θ﹣α）．【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，∴∠MON＝∠COM＋∠BON﹣∠BOC＝（∠AOC＋∠BOD），∵∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝α，∴∠MON＝α；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．∴∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，∴∠MON＝∠COM＋∠BON﹣∠BOC＝（∠AOC＋∠BOD）﹣∠BOC，∵∠AOD＝∠AOC＋∠BOD﹣∠BOC＝α，∴∠AOC＋∠BOD＝α＋θ，∴∠MON＝（α＋θ）﹣θ＝（α﹣θ）；（3）如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．∴∠AOM＝∠AOC＝90°，∠DON＝∠BOD，∴∠MON＝90°﹣α＋∠BOD，∵∠AOD﹣∠BOD＋BOC＝180°，∴∠BOD＝α＋θ﹣180°，∴∠MON＝90°﹣α＋∠BOD＝90°﹣α＋（α＋θ﹣180°）＝（θ﹣α）．故答案为（θ﹣α）．108页练习（2013硚口七上期末）如图1，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°，（2）经过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，求∠BOD的度数；（3）如图2，在∠AOB的内部作∠EOF，OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，当∠EOF绕点O在∠AOB 的内部转动时，请说明∠AOB＋∠EOF＝2∠MON．【解答】解：（1）设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x，依题意列方程90°﹣2x＝x﹣30°，解得：x＝40°，即∠COB＝40゜．（2）由（1）得，∠AOC＝80°，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝120°，①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD＝20゜，则∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣20°＝100°；②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD＝20゜则∠BOD＝∠AOB＋∠AOD＝120゜＋20°＝140°；（3）∵OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，∴∠MOE＝∠AOE，∠FON＝∠BOF，∴∠MON＝∠EOF＋（∠AOE＋∠BOF），∴2∠MON＝2∠EOF＋∠AOE＋∠BOF＝∠AOB＋∠EOF．即∠AOB＋∠EOF＝2∠MON．第109页射线OF 平分∠DOE .（1）当0°＜∠AOC ＜90°时（如图1），求∠FOB ＋∠DOC 的度数；（2）若∠DOC ＝3∠COF ，求∠AOC 的度数.B A 备用图图1D BO O110页练习（2011秋•武昌区期末）以知∠AOB＝150°，OC是∠AOB内的一条射线，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOD．（1）若∠AOD＝∠EOC（如图1），求∠AOD的度数．（2）若∠AOD＝a（a≠50°），求的值．【解答】解：（1）设∠AOD＝α，∵∠AOD＝∠EOC，∴∠EOC＝α，∵∠AOB＝150°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝150°﹣α，∵射线OD平分∠AOC，∴∠DOC＝∠AOD＝α，∴BOE＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠DOC﹣∠EOC＝150°﹣3α，∵射线OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝，∴＝150°﹣3α，解得：α＝30°，即∠AOD＝30°；（2）当α＜50°时，如图1，∵∠AOD＝α，∠BOE＝∠BOD＝，∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝150°﹣2α﹣＝，∴＝＝＝＝1；当α＞50°时，如图2，∵∠AOD＝α，∠BOE＝∠BOD＝，∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝﹣（150°﹣2α）＝，第111页挑战压轴题（2015硚口七上期末）如图，两条直线AB ,CD 相交于点O ，且∠AOC ＝∠AOD .射线OM （与射线OB 重合）绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°/s ，射线ON （与射线OD 重合）绕O 点顺时针方向旋转，速度为12°/s ，两射线OM ,ON 同时运动，运动时间为t 秒.（本题出现的角均为小于平角的角）（1）图中一定有个直角；当t ＝2时，∠MON 的度数为，∠BON 的度数为， ∠MOC 的度数为；（2）当0＜t ＜12时，若∠AOM ＝3∠AON －60°,试求出t 的值；（3）当0＜t ＜6时，探究72COM BON MON∠+∠∠的值，在t 满足怎样的条件是定值，在t 满足怎样的条件不是定值.D(N)CAD(N)Cx b 0A 课后作业（期末重点专题冲刺2）第112页1.（2015东湖高新）已知点A 、O 、B 在一条直线上，∠1为锐角，则∠1的余角是A . 1221∠-∠B .123221∠-∠C . )12(21∠-∠D . )21(31∠+∠112页2、（2014硚口七上期末）如图，已知∠AOB ＝∠COD ＝90°，OB 平分∠DOE ，下列说法：①∠AOD ＝∠BOC ；②图中有2对互余的角；③图中只有1对邻补角；④若∠POB ＝∠BOC ，则射线OP 一定是∠BOC 的平分线．其中正确的是（）第112页第3题3.（2012洪山七上期末）如图，O 为直线AB ,EF 的交点，∠COD ＝90°，OG 平分∠BOC ,OE 平分∠AOC ，则下列结论：①∠EOG ＝90°；②与∠DOE 互补的角有4个；③∠AOF －∠DOE ＝90° ④2∠DOE ＋∠BOC ＝360°其中正确的有（）个A .1个B .2个C .3个D .4个第112页第4题FDCBO4.（2015洪山七上期末）如图，在数轴上A 表示的数为a ，B 点表示的数为b ，且a ,b 满足226()03a b a -++=，若动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P 在动点Q 运动2秒后从A 点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点P 运动秒后P 、Q 两点重合.113页5.（2014，江岸七上）如图，C为线段AB上一点，D为线段BC的中点，AB＝4cm.（1）读句画图，延长AB到C，使得AB＝2BC.（2）在（1）问条件下，若P是线段AC的中点，求线段PB长.（3）延长AB到C，若P是线段AC的中点,若Q是线段BC的中点,求线段PQ的长。

人教版七年级(上)数学讲义第四章几何图形初步直线、射线、线段 (含解析)

第12讲直线、射线、线段知识定位讲解用时：5分钟A 、适用范围：人教版初一，基础一般；B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习直线、射线与线段，理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系；利用直线、线段的性质解决相关实际问题；利用线段的和差倍分解决相关计算问题．知识梳理讲解用时：15分钟直线(1)概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始的概念，直线常用“一根拉得很紧的细线”，“一张纸的折痕”等实际事物进行描述． (2)特点：直线向两方无限延伸，不可度量，没有粗细；并且同一平面内的两条相交直线只有一个交点． (3)直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即“两点确定一条直线”． (4)直线的两种表示法：一是用一个小写字母表示：如直线a ，b ，c 或直线l 等．另一个是用直线上两个点的大写字母表示，如：直线AB 或直线BA .如图：表示为直线l 或直线AB (点的字母位置可以交换)．(5)直线与点的位置关系：一是点在直线上，也叫做直线经过这点；另一种是点在直线外，也叫做直线不经过这个点．是射线的端点．表示法：同直线一样，射线也有两种表示方法，一种是用一个小写字母表其中前面的字母表示的点必须是端点．如图：表示为射线注意：表示射线端点的字母一定要写在前面．(1)定义：直线上两点和它们之间的部分，叫做线段．它是直线的一部分．(2)特点：有两个端点，不能向两方无限延伸，因此它有长度，有大小．(3)表示法：同直线一样，线段也有两种表示法，一种是用一个小写字母表示，如线段a，b，c.另一种是用线段两个端点的大写字母表示．如图：可以表示为：线段AB或线段BA，或线段a.(4)线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短，简单的说成：“两点之间，线段最短．”意义：选取最短路线的原则和依据．(5)两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离．注意线段的表示表示线段的两端点的字母可以交换，如线段AB也是线段BA，但端点字母不同线段就不一样．的长度，画出线段AB等于，b，画一条线段，使它等于AB，在这条射线上连续截取②再以A为一个端点，截取(2)叠合法：把两条线段的一端对齐，放在一起进行比较．如图：①若C点落在线段AB内，那么AB＞AC；②若C点落在线段AB的一个端点上，那么③若C点落在线段AB外(准确的说是AB课堂精讲精练【例题1】经过同一平面内的A，B，C三点中的任意两点，可以作出条直线．【答案】1或3．【解析】解：有两种情况，一种是三点共线时，只有一条，如图1：另一种是三点不共线，有三条，如图2：讲解用时：5分钟解题思路：根据题意画出符合的所有情况，再得出答案即可．教学建议：此类题没有明确平面上三点是否在同一直线上，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无线段中点和等分点(1)定义：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．(2)拓展：把一条线段分成相等的三条线段的点叫做这条线段的三等分点….(3)等量关系：在上图中：AM＝BM＝12AB；2AM＝2BM＝AB.【练习1.1】下列各直线的表示法中，正确的是（）A．直线ab B．直线Ab C．直线A D．直线AB【答案】D．【解析】解：根据直线的表示方法可得直线AB正确．讲解用时：2分钟解题思路：运用直线的表示方法判定即可．教学建议：例题考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线表示法：用一个小写字母表示，或用两个大些字母（直线上的）表示．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题2】如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，六条直线相交最多有个交点，n条直线相交最多有个交点．【答案】长方体、棱柱、圆锥、球、圆柱、正方体．【解析】15；．解：三条直线交点最多为1+2=3个，四条直线交点最多为3+3=6个，五条直线交点最多为6+4=10个，六条直线交点最多为10+5=15个；n条直线交点最多为1+2+3+…+（n﹣1）=．故答案为：15；．讲解用时：6分钟解题思路：根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解；根据图形列出交点个数的算式，然后计算即可得解．教学建议：本题是直线交点的规律题，需要引导学生观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数，培养学生归纳总结的能力难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习2.1】观察下列图形，第一个图2条直线相交最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，则20条直线相交最多交点的个数是（）A．171B．190C．210D．380【答案】B．【解析】解：∵第一个图2条直线相交，最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交，最多有6个，而3=1+2，6=1+2+3，∴第四个图5条直线相交，最多有1+2+3+4=10个，∴20条直线相交，最多交点的个数是1+2+3+…+19=（1+19）×19÷2=190．故选：B．讲解用时：8分钟解题思路：由于第一个图2条直线相交，最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交，最多有6个，由此得到3=1+2，6=1+2+3，那么第四个图5条直线相交，最多有1+2+3+4=10个，以此类推即可求解．教学建议：平面内直线相交时交点个数的规律，解题时首先找出已知条件中隐含的规律，然后根据规律计算即可解决问题．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题3】下列说法正确的是（）A．射线PA和射线AP是同一条射线B．射线OA的长度是12cmC．直线ab、cd相交于点MD．两点确定一条直线【答案】D．【解析】解：如图解：A、射线PA和射线AP是同一条射线，说法错误；B、射线OA的长度是12cm，说法错误；C、直线ab、cd相交于点M，说法错误；D、两点确定一条直线，说法正确．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：根据射线的表示方法判断A；根据射线的定义判断B；根据直线的表示方法判断C；根据直线的性质公理判断D．教学建议：本题考查了直线、射线的定义及表示方法：直线可用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB（或直线BA）．射线是直线的一部分，可用一个小写字母表示，如：射线l；或用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．直线与射线都是无限长，不能度量．也考查了直线的性质公理．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习3.1】如图所示，共有射线条．【答案】12．【解析】解：图中射线有：ED、EB、CD、CB、BE、DB、BD共7条+以E为顶点的一条+以D为顶点的两条+以B为顶点的两条，共12条，讲解用时：5分钟解题思路：根据直线、射线的概念进行判断即可．教学建议：本题考查的是直线、射线的概念，正确区分直线、射线是解题的关键．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习3.2】射线AB与射线BA表示同一条射线．这种说法对吗？【答案】错误【解析】解：如图所示：，射线AB表示ABC，而射线BA表示BAD，故而得出射线AB与射线BA表示不同的射线．故这种说法错误．讲解用时：5分钟解题思路：根据射线的定义：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可知射线不光包括端点，也包括它一旁的部分，故可知射线AB与射线BA 表示不同的射线．教学建议：考查射线的性质，根据定义直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，结合图形可以比较明显的得出结论．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【例题4】下列三个日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩．其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（填序号）．【答案】②．【解析】解：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，根据两点确定一条直线；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，根据两点之间线段最短；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩，根据两点之间线段最短；故答案为：②．讲解用时：3分钟解题思路：根据线段的性质、直线的性质分别进行分析．教学建议：线段的性质：两点之间，线段最短．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习4.1】如图：（1）图中直线有几条？（2）图中射线有几条？能用图中字母表示的射线有几条？你能写出来吗？（3）图中线段有几条？你能写出来吗？（4）如果图中有n个点，直线有几条？射线有几条？线段有几条？【答案】（1）1条；8条，6条，分别是射线AB，射线BC，射线CD，射线DA，射线CA，射线BA．（3）6条，分别是线段AB，线段AC，线段AD，线段BC，线段BD，线段CD．（4）1条，2n条，条．【解析】解：（1）图中直线有1条．（2）图中射线有8条，能用图中字母表示的射线有6条，是射线AB，射线BC，射线CD，射线DA，射线CA，射线BA．（3）图中线段有6条，是线段AB，线段AC，线段AD，线段BC，线段BD，线段CD．（4）如果图中有n个点，直线有1条，射线有2n条，线段有条．讲解用时：8分钟解题思路：（1）图中只有一条直线．（2）根据数射线的方法数出即可．（3）根据数线段的方法数出即可．（4）直线一条，射线2n条（每个点都把直线分成两条射线），根据数线段的方法得出即可．教学建议：线段、直线、射线的应用，考查学生的理解能力和观察图形的能力．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习4.2】如图，A、B是公路L两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A、B两村的距离和最小，试在L上标注出点P的位置，并说明理由．【答案】【解析】解：点P的位置如下图所示：作法是：连接AB交L于点P，则P点为汽车站位置，理由是：两点之间，线段最短．讲解用时：5分钟解题思路：根据线段的性质：两点之间线段最短，即可得出答案．教学建议：考查线段的性质，注意两点之间线段最短这一知识点的灵活运用．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题5】已知线段a，b，用圆规和直尺画线段，使它等于2a﹣b（简要写出画法，保留作图痕迹）．【答案】【解析】解：如图所示：首先画射线，再在射线上依次截取AB=BC=a，然后再截取AD=b，则CD=2a﹣b．讲解用时：5分钟解题思路：首先画出射线，然后再在射线上截取线段AB=BC=a，截取AD=b，可得CD=2a﹣b．教学建议：要求学生学会如何在射线上截取线段等于已知线段．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习5.1】画图题（1）画线段MN，使得MN=2a﹣b；（2）在直线MN外任取一点A，画射线AM和直线AN；（3）延长MN至点P，使AP=MA，画线段PN，试估计所画图形中PM与PN的差和线段MN的大小关系．【答案】（1），（2）如图：（3）PM﹣PN=MN．【解析】解：（1）作图如下：MN即为所求；（2）作图如下：（3）作图如下：由图形可知PM﹣PN=MN．讲解用时：8分钟解题思路：（1）①画一条直线l；②在l上任取一点M，截取MQ=2a；③在线段MQ上截取QN=b；（2）在直线MN外任取一点A，画射线AM和直线AN即可；（3）延长MN至点P，使AP=MA，画线段PN，再比较PM与PN的差和线段MN 的大小关系．教学建议: 考查作图﹣复杂作图和比较线段的长短，会作一条线段等于已知线段，正确理解作图要求难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习5.2】如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图（1）画直线AB；（2）作射线BC；（3）画线段CD；（4）连接AD，并将其反向延长至E，使DE=2AD．【答案】【解析】解：（1）如图所示，直线AB即为所求；（2）如图，射线BC即为所求；（3）如图，线段CD即为所求；（4）如图，DE即为所求．讲解用时：6分钟解题思路：根据直线、射线、线段的定义作图，再利用反向延长线段进而结合DE=2AD得出答案．教学建议: 掌握直线、射线、线段的定义及性质难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题6】如图，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，求AC的长.【答案】6cm．【解析】解：CD=DB﹣BC=7﹣4=3cm，AC=2CD=2×3=6cm．讲解用时：5分钟解题思路：理解线段的中点这一概念，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系进行解题．教学建议：掌握灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习6.1】如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB=AC，②AB=BC，③AC=2AB，④AB+BC=AC，能表示B是线段AC的中点的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C.【解析】解：如图，若B是线段AC的中点，则AB=AC，AB=BC，AC=2AB，而AB+BC=AC，B可是线段AC上的任意一点，∴表示B是线段AC的中点的有①②③3个．故选：C．讲解用时：5分钟解题思路：根据题意，画出图形，观察图形，一一分析选项，排除错误答案．教学建议：利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习6.2】若点B在线段AC上，AB=6cm，BC=10cm，P、Q分别是AB、BC的中点，则线段PQ的长为【答案】8cm【解析】解：由分析得：PQ=PB+BQ=（AB+BC），AB=6cm，BC=10cm，所以PQ=8cm．讲解用时：5分钟解题思路：P、Q分别是AB、BC的中点，则PB=AB，BQ=BC，PQ=PB+BQ=（AB+BC），AB、BC都已知，则可以求出PQ的长度．教学建议：根据题意得出各线段长度的关系，结合已知条件即可求解．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无在直线上取A、B、C三点，使AB=5cm，BC=3cm，点O是线段AC的中点，求线段OB的长.【答案】1cm或4cm．【解析】解：分两种情况：①如果点B在线段AC上，如图．则OB=AB﹣OA=5cm﹣OA，∵点O是线段AC的中点，∴OA=（AB+BC）=4cm，∴OB=1cm；②如果点B在线段AC的延长线上，如图．则OB=AB﹣OA=5cm﹣OA，∵点O是线段AC的中点，∴OA=（AB﹣BC）=1cm，∴OB=4cm；所以线段OB的长度是1cm或4cm．讲解用时：8分钟解题思路：此题有2种情况，作图分析：①如果点B在线段AC上，那么AB+BC=AC，又因为O是线段AC的中点，则OB=AB﹣AO；②如果点B在线段AC的延长线上OB=AB﹣OA．根据线段中点的定义分别求出OA，进而求出线段OB．教学建议：考查了两点间的距离，线段中点的定义以及线段的计算．正确画图以及分类讨论是解题的关键．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无在直线上取A，B，C三点，使得AB=9cm，BC=4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OA的长为【答案】2.5cm或6.5cm【解析】解：本题有两种情形：（1）当点C在线段AB上时，如图．∵AC=AB﹣BC，AB=9cm，BC=4cm，∴AC=9﹣4=5cm．又∵O是线段AC的中点，∴OA=AC=2.5cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图．∵AC=AB+BC，AB=9cm，BC=4cm，∴AC=9+4=13cm．又∵O是线段AC的中点，∴OA=AC=6.5cm．讲解用时：6分钟解题思路：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题．教学建议：考查了两点间的距离，线段中点的定义以及线段的计算．正确画图以及分类讨论是解题的关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无如图，B，C两点把线段MN分成三部分，其比为MB：BC：CN=2：3：4，P是MN的中点，PC=2cm，求MN的长．【答案】36cm【解析】解：B，C两点把线段MN分成三部分，其比为MB：BC：CN=2：3：4，设MB=2x，则BC=3x，CN=4x，即MP=4.5x，故PC=MC﹣MP=5x﹣4.5x=0.5x=2cm，故x=4cm，则MN=9x=36cm．答：MN=36cm．讲解用时：8分钟解题思路：在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，根据题目中的几何图形，再根据题意进行计算．教学建议：利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法．同时，要牢记灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习8.1】如图，线段AC=6cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．【答案】8cm【解析】解：∵M是AC的中点，∴MC=AM=AC=×6=3cm，又∵CN：NB=1：2∴CN=BC=×15=5cm，∴MN=MC+NC=3cm+5cm=8cm．讲解用时：6分钟解题思路：因为点M是AC的中点，则有MC=AM=AC，又因为CN：NB=1：2，则有CN=BC，故MN=MC+NC可求．教学建议：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，本题点M是AC的中点，则有MC=AM=AC，还利用了两条线段成比例求解．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无课后作业【作业1】下面几种表示直线的写法中，错误的是()．A．直线a B．直线MaC．直线MN D．直线MO【答案】B．【解析】解：直线的表示法有两种，一种是用一个小写字母表示，另一种是用直线上两个点的大写字母表示，所以直线Ma这种表示法不正确，故选B.讲解用时：2分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无【作业2】如图，若射线AB上有一点C，下列与射线AB是同一条射线的是()．A．射线BA B．射线ACC．射线BC D．射线CB【答案】B．【解析】端点相同，在同一条直线上，且方向一致，就是同一条射线，所以B正确．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业3】如图有几条直线？几条射线？几条线段？并写出．【答案】有一条直线AB(或AC，AD，AE，BE，BD，CD，…)；射线有6条：CA，CB，DA，DB，EA，EB.线段有3条：CD，CE，DE.【解析】解：有一条直线AB(或AC，AD，AE，BE，BD，CD，…)；射线有6条：CA，CB，DA，DB，EA，EB.线段有3条：CD，CE，DE.讲解用时：5分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业4】如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a＋b－c(用尺规法)．【答案】画法：如图，①画射线(直线也可)AB，在射线AB上分别截取AC＝a，CD＝b.①以D为一个端点在AD上截取DE＝c，线段AE即为所求．【解析】解：画法：如图，①画射线(直线也可)AB，在射线AB上分别截取AC＝a，CD＝b.①以D为一个端点在AD上截取DE＝c，线段AE即为所求．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业4】如图，已知线段a ，b ，c ，画一条线段，使它等于a ＋b －c (用尺规法)．【答案】画法：如图，①画射线(直线也可)AB ，在射线AB 上分别截取AC ＝a ，CD ＝b . ①以D 为一个端点在AD 上截取DE ＝c ，线段AE 即为所求．【解析】解：画法：如图，①画射线(直线也可)AB ，在射线AB 上分别截取AC ＝a ，CD ＝b .①以D 为一个端点在AD 上截取DE ＝c ，线段AE 即为所求．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业5】线段AB ＝5 cm ，延长AB 至C ，使AC ＝2AB ，反向延长AB 至E ，使AE ＝13CE ，计算：(1)线段AC 的长；(2)线段AE ，BE 的长．【答案】（1）10cm ；（2）10cm .【解析】解：如图：(1)因为AC ＝2AB ，所以BC ＝AB ＝5 cm ，所以AC ＝AB ＋BC ＝5＋5＝10 (cm)．(2)因为AE ＝13CE ，所以AE ＝AB ＝BC ＝5 cm ，所以BE ＝AB ＋AE ＝5＋5＝10 (cm)．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无。

初一数学培优专题讲义五线段

初一数学培优专题讲义五线段、射线、直线和角初步一、线段、射线、直线的知识点梳理：1、点、线段、射线、直线的几何表示：点：线段：射线：直线：2、线段、射线、直线的区别：1）长度： 2）端点个数：3、点与直线位置关系：4、直线和线段的性质：直线的基本性质：经过两点有且仅有一条直线，也可以说两点一条直线。

线段公理：两点之间的所有连线中，最短，也可说成5、线段中点的性质和特点：6、方法归纳：（1）注意平面几何的三种语言：图形语言、文字语言、符号语言的转化；（2）要逐步学会用推理语言进行解题叙述；（3）注意训练画图能力：要能够根据题意画图二、经典例题知识点一：基本的几何语言（包括作图语言）1、下面几种表示直线的写法中，错误的是（）A. 直线aB. 直线MaC. 直线MND. 直线MO2、下列作图语句中正确的是（）A. 画直线AB ＝2cmB. 画射线OC ＝3cmC. 在射线OC 上，截取射线CD ＝2cmD. 延长线段AB 到C ，使得BC ＝AB知识点二：数线段、射线、直线的条数例1、探索规律：（1）若直线l 上有2个点，则射线有_____条，线段有______条；（2）若直线l 上有3个点，则射线有_____条，线段有______条；（3）若直线l 上有4个点，则射线有_____条，线段有______条；（4）若直线l 上有n 个点，则射线有_____条，线段有______条．例2、平面内有三个点,过任意两点画一条直线,则可以画直线的条数是( )A.2条B.3条C.4条D.1条或3条知识点三：线段的中点3、如图所示，C 是线段AB 的中点，D 是线段BC 的中点，则下列关系式中不正确的是（）A. CD ＝AC －BDB. CD ＝AD －BCA B C DC. CD ＝12AB －BD D. CD ＝13AB 4、下列四种说法：①因为AM ＝MB ，所以M 是AB 中点；②在线段AM•的延长线上取一点B ，如果AB＝2AM ，那么M 是AB 的中点；③因为M 是AB 的中点，所以AM ＝MB ＝12AB ；④因为A 、M 、B 在同一条直线上，且AM ＝BM ，所以M 是AB 的中点．其中正确的是（）A. ①③④B. ④C. ②③④D. ③④5.下列说法正确的是（）A. 两点之间的连线中，直线最短B.若P 是线段AB 的中点，则AP=BPC. 若AP=BP, 则P 是线段AB 的中点D. 两点之间的线段叫做者两点之间的距离6、如下图，AC ＝CD ＝DE ＝EB ，图中和线段AD 长度相等的线段是__________，以D•为中点的线段是__________． A B C D E 7.已知线段AB ，反向延长AB 至C ，使AC ＝13BC ，点D 为AC 的中点，若CD ＝3cm ，求AB 的长．知识点四：不确定性问题8、如果线段AB ＝6cm ，BC ＝4cm ，则线段AC 的长度是（）A. 2cmB. 10cmC. 2cm 或10cmD. 无法确定9.经过同一平面内的四点中的任意两点画直线，可以画条或条或条。

4.线段、射线、直线的概念课件—-学年湘教版数学七年级上册

活动1.视察下图，说一说点和直线有哪些位置关系. B
A
课堂总结 l
如图：点 A 在直线 l 上，点 B 在直线 l 外或者说：直线 l 经过点 A
点 B 不在直线 l 上 (直线 l 不经过点B )
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
探究二 “两点确定一条直线”的几何事实
活动2.如果你想将一根细木条固定在墙上,至少需要几颗钉子?这样做的根据是什么吗？
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
3.如图，已知A、B、C、D四点，分别按下列要求画出图形.
（1）画线段BD；（2）画射线AB （3）画直线AD、BC相交于点O；（4）连接CA并延长交DB的延长线于点E
O.
A
E.
D
C
B
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
线段、射线、直线的概念及表示
解：线段有3条，分别为线段AB、线段AC、线段BC.
射线有6条．直线有1条.
自己尝试把6 条射线画出来
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
练一练
1.下列图形中表示射线AB的是( B )
课堂总结
2.下列关于直线的表示方法正确的是( C )
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
探究二 “两点确定一条直线”的几何事实
第四章图形的认识 4.2.1 线段、射线、直线的概念
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.理解线段、射线、直线的概念及它们的区分与联系. 2.会用不同的方法表示线段、射线、直线. 3.知道“两点确定一条直线”的几何事实.

初一数学培优专题讲义六---线段

初一数学培优专题讲义六线段、射线、直线和角初步一、线段、射线、直线和角的知识点梳理：1．线段、、和角是平面几何中的基本图形。

2．平面几何的入门学习要注意三种几何语言的转译，要逐步从小学数学中列算式的思想过渡到写简单的推理过程，写推理过程简单的讲就是将为什么这样去列算式的原因或者条件找出来，加上必要的关联词“因为”“所以”“又”“则”等。

三种几何语言是：图形语言、、。

3．数直线、线段的条数与角的个数（找规律）例1：在平面上画３条直线，这些直线最多能形成________个交点；在平面上画４条直线，这些直线最多能形成________个交点；在平面上画５条直线，这些直线最多能形成________个交点；在平面上画n 条直线，这些直线最多能形成________个交点.注意：（1）平面内n 条直线相交，需讨论是否交于同一点；（2）一条线段上有n 个点（包括线段两端点），则共有线段条数为__________条。

（3）从同一点引出n 条射线，若无两条在同一直线上，则小于平角的角共有_____个 4. 时针与分针的夹角问题（1）时针每分钟转____°，分针每分钟转____°（2）时针与分针重合或成一定的角度可类似于行程问题中的追击问题，可利用角度差或者时间相等为等量关系建立方程。

（3）钟表上a 时b 分所成的角为30 5.5a b -度或（36030 5.5a b --）度.例2： 7点15分，钟表上时针与分针所成的角度是________度5．若两个角的和等于180度，那么这两个角叫做互为补角；若两个角的和等于90度，那么这两个角叫做互为余角。

例3、如图，已知三点A 、0、B 在一条直线上，∠1=∠2，∠3=∠4，OF ⊥AB ．则（1）∠AOD 的补角是；（2）是∠BOE 的余角；（3）∠FOC 的余角是；（4）∠AOE 的补角是．6.从多边形的一个顶点出发，可以做条对角线，它将多边形分成个三角形，多边形的内角和为。

湘教版初中数学七年级上册线段射线直线优品ppt精美课件示范

（1）延长线段QP。
延长线一般画成虚线
（2）延长线段PQ至点E；
快乐直通车
乐羊羊到岳阳洞庭湖新开的风车游乐园游玩，往返文桥、岳阳两地的汽车，中途需要停靠八字门、路口、云溪三个站点，需要制定多少种不同的票价？（两地之间的距离均不相同）需要制定多少种不同的车票？
文桥八字门
路口
云溪
岳阳
知识梳理
·· · ·
A
O
B
C
a 这儿为什么写“6”？
1、当直线a上标出一个点时，可得到 2 条射线， 0 条线段；
2、当直线a上标出二个点时，可得到 4 3、当直线a上标出三个点时，可得到 6 4、当直线a上标出四个点时，可得到 8
条射线， 1 条射线， 3
条射线， 6
条线段；条线段；
条线பைடு நூலகம்；
当直线a上标出n个点时，可得到 2n条射线， n(n条-21)线段。
练一练：
1、兴趣题：教室里有3位同学，如果每位同学都要和其他的
每一个人握一次手，那么这3个同学一共握手__3__ 次
若是4位同学，一共握手___6___ 次
若是5位同学，一共握手_1_0_次
若是50位同学，一共握手__1_2__25_次
n(n-1)
若是n位同学，一共握手____ 2__ 次
1.情节是叙事性文学作品内容构成的要素之一,是叙事作品中表现人物之间相互关系的一系列生活事件的发展过程。
同学们，通过这堂课的学习，你有哪些收获呢？
祝同学们学习进步
PK乐园 ——体验成功
1、过同一平面上的三个点中的任意两个点,可以画几条直线?
(1) 可以画三条直线 (2) 只能画一条直线

2018年下学期七年级数学上册辅导讲义09——直线、射线、线段

2018年下学期七年级数学上册辅导讲义第9讲直线、射线、线段【例1】下列语句表述正确的是（）A ．延长射线OCB ．射线BA 与射线AB 是同一条射线C ．作直线AB ＝BCD ．已知线段AB ，作线段CD ＝AB 【变式题组】01．如图，可以用字母表示出来的不同射线有（）A ．4条B ．6条C ．5条D ． 1条02．如图，直线l 、线段a 及射线DA ，能相交的图形是（）A ．①③④B ．①④⑥C ．①④⑤D ．②③⑥ 【例2】在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意2个点作一条直线，则可作直线的条数为________．【变式题组】 01．根据语句“点M 在直线a 外，过M 有一直线b 交直线a 于点N ，直线b 上另一点Q 位于M 、N 之间”画图，正确的是（）【例3】已知：线段AB ＝10cm ，M 为AB 的中点，在AB 所在直线上有一点P ，N 为AP 的中点，若MN ＝1.5cm ，求AP 的长．【变式题组】01．已知A 、B 、C 为直线l 上的三点，线段AB ＝9cm ，BC ＝1cm ，那么A 、C 两点间的距离是（）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．8cm 或10cm02．如图C 、D 是线段AB 上两点，若CB ＝4cm ，DB ＝7cm ，且D 是AC 的中点，则AC 的长等于（）A ．3cmB ．6cmC ．11cmD ．14cm03．已知线段AB ，C 是AB 的中点，D 是BC 的中点，下面等式不正确的是（）① ② ③ ④ ⑤ ⑥lDAA llbaaaABCA ．CD ＝AB －BD B ．CD ＝AD －BCC ．CD ＝12AB －BDD ．CD ＝13AD【例4】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问：⑴要有多少种不同的票价？ ⑵要准备多少种车票？01．如图从A 到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中、从A 到B 有2条水路、2条陆路；从B 地到C 地有3条陆路可供选择；走空中从A 不经B 地直接到达C 地，则从A 地到C 地可供选择的方案有（）A ．20种B ．8种C ．5种D ．13种02．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是菱形四边的中点，连接EG 与FH 交于点O ，则图中的菱形共有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个03．A 车站到B 车站之间还有3个车站，那么从A 车站到B 车站方向发出的车辆，一共有多少种不同的车票（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【例5】如图，B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4的三部分，M 是AD 的中点，CD ＝8，求MC 的长．【变式题组】01．如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，C 点将线段MB 分MC ∶CB ＝1∶2，则线段AC 的长度为（） A ．2cm B ．8cm C ．6cm D ．4cm 02．已知线段AB ＝16cm ，点C 在线段AB 上，且BC ＝13AC ，M 为BC 的中点，则AM 的长为________.03．已知线段AB ＝12cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝6cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．B图（2）图（1）【例6】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点A 爬行相距它最远的另一个顶点B ，哪条路径最短？说明理由．【变式题组】01．下列直线的说法错误的是（） A ．经过一点可以画无数条直线 B ．经过两点可以画一条直线 C ．一条直线上只有两个点 D ．两条直线至多只有一个公共点 02．如图所示，从A 地到B 地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路线，这是因为（） A ．两点之间线段最短 B ．两直线相交只有一个交点 C ．两点确定一条直线 D ．垂线段最短【例7】摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A 、B 两市相距多少千米？【变式题组】01．已知点O 在直线AB 上，且线段OA 的长度为4cm ，线段OB 的长度为6cm ，E 、F 分别为线段OA 、OB 的中点，则线段EF 的长度为 cm ．02． AB 、AC 是同一条直线上的两条线段，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，线段BC 与MN 的大小有什么关系？请说明理由．03．如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB上一点，C 、D 分别是线段OA 、OB 的中点，小明据此，很轻松地求得CD ＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点O 运动到AB 的延长线上，原有的结论“CD ＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由．演练巩固反馈提高01．当AB ＝5cm ，BC ＝3cm 时，A 、C 两点间的距离是（）A ．无法确定B ．2cmC ．8cmD ．7cm 02．下列说法正确的是（）A ．延长直线AB B ．延长线段ABC ．延长射线ABD ．延长线段AB 03．若P A ＋PB ＝AB ，则（）A ．P 点一定在线段AB 上 B ．P 点一定在线段AB 外C ．P 点一定在AB 的延长线上D ．P 点一定在线段BA 的延长线上04．已知点C 是线段AB 上的一点，下列说法中不能说明点C 是线段AB 的中点是（）A ．AC ＝BCB ．AC ＝12ABC ．AC ＋BC ＝ABD ．2AC ＝AB05．如图，已知线段AD ＞BC ，则线段AC 与BD 的关系是（）A ．AC ＞BDB ．AC ＝BD C ．AC ＜BD D ．不能确定06．某公司员工分别在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（）A ．A 区B ．B 区C ．C 区D ．A 、B 两区之间 07．线段AB ＝4cm ，在直线AB 上截取BC ＝1cm ，则AC ＝________.08．延长线段AB 到点C ，使BC ＝13AB ，D 为AC 的中点，且DC ＝6cm ，则AB 的长是________cm ．09．在直线l 上任取一点A ，截取AB ＝16cm ，再截取AC ＝40cm ，求AB 的中点D 与AC 的中点E 的距离．10．线段AB 上有两点M 、N ，点M 将AB 分成2∶3两部分，点N 将AB 分成4∶1两部分，且MN ＝3cm ，求AM 、NB 的长．11．如图，C 是线段AB 上一点，D 是线段BC 的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC 与线段CB 的长度都是正整数，则线段AC 的长度是多少？12．已知A 、B 、C 三点：⑴AB ＝10cm ，AC ＝15cm ，BC ＝5cm ；⑵AB ＝5.2cm ，AC ＝9cm ，BC ＝3.8cm ；(3)AB ＝3.2cm ，AC ＝1.5cm ，BC ＝4.5cm ．A 、B 、C 三点是否在一条直线上？AC D ACD。