江西2015届高考数学二轮专题复习之专项检测17Word版含答案
江西省2015届高三理科数学二轮复习专题整合突破13份
为偶函数，所以 f(2)＝0，①正确；因为 f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4
3
－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以 f(－4＋x)＝f(－4－x)，即 x＝－4 是函 fx1－fx2 数 f(x)的一条对称轴，②正确；当 x1，x2∈[0,2]，且 x1≠x2 时，都有 x1－x2 <0，说明函数 f(x)在[0,2]上是单调递减函数，又 f(2)＝0，因此函数 f(x)在[0,2] 上只有一个零点，由偶函数知函数 f(x)在[－2,0]上也只有一个零点，由 f(x＋ 4)＝f(x)，知函数的周期为 4，所以函数 f(x)在(2,4]与[－4，－2)上也单调，因 此，函数在[－4,4]上只有 2 个零点，③错；对于④，因为函数的周期为 4， 即有 f(2)＝f(6)＝f(10)＝„＝f(2 014)＝0，④正确． 答案 ①②④
2
(2，＋∞)，又 y＝x2－4 的减区间为(－∞，0)，∴函数 f(x)＝log1(x2－4)的增 区间为(－∞，－2)，故选 D.
1
答案
D ( )．
4．(2014· 济南模拟)函数 f(x)＝(x－1)ln|x|的图象可能为
解析Leabharlann 函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可排除 B.当 x∈(0,1)时，x
2
1 ∴|log2a|≤1，解之得2≤a≤2. 答案 1 2，2
7．(2014· 广州测试)已知函数 f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数 y＝f(x)在区间[－1,1]上 有零点，则实数 a 的取值范围为____________． 解析 若 a＝0，则 f(x)＝2x－3.
3 f(x)＝0⇒x＝2∉[－1,1]，不合题意，故 a≠0. 下面就 a≠0 分两种情况讨论： (1)当 f(－1)· f(1)≤0 时， f(x)在[－1,1]上至少有一个零点， 即(2a－5)(2a－1)≤0， 1 5 解得2≤a≤2. (2) 当 f( － 1)· f(1) ＞ 0 时 ， f(x) 在 [ － 1,1] 上 有 零 点 的 条 件 是 f－ f1≤0或f－2af－1≤0， 2a 1 －1＜－2a＜1， f－1· f1＞0， 5 1 解得 a＞2.综上，实数 a 的取值范围为2，＋∞. 答案 1 2，＋∞ 1 1
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题03
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题03一、选择题1．已知集合}3,2,1,1{-=A ，}11{<--∈=x x R x B ，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )A.}1,1{-B.}3{C.}3,2{D. }3,2,1{ 【答案】D 【解析】试题分析：}1{<∈=x R x B ,则AB =}1{-,阴影部分表示的集合为}3,2,1{，选D.【考点定位】1.绝对值不等式的解法；2.集合的运算.2．设R d c b a ∈,,,，则“d c b a >>,”是“bd ac >”成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】4．已知复数21iz i =+，则z 的共轭复数z 是( )A.i -1B.i +1C.iD.i - 【答案】A 【解析】试题分析：∵21i z i =+＝2(1)(1)(1)i i i i -+-＝1i +，∴1z i =-，故选A ． 【考点定位】1、复数的运算；2、共轭复数． 5．在复平面内，复数52iz i=-的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限角 D.第四象限6．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且B A ∠=∠2，则BB3sin sin 等于（ ） A ．c a B ．b c C ．abD ．c b 【答案】D 【解析】试题分析：3C A B B ππ∠=-∠-∠=-∠，所以sin sin(3)sin3C B B π=-=，sin sin sin 3sin B B b B C c==.【考点定位】三角形的内角和，正弦定理. 7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将g(x)=sin2x 的图象（ ）A. 向右平移6π个长度单位 B. 向左平移6π个长度单位C. 向右平移3π个长度单位 D. 向左平移3π个长度单位【答案】B8．已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) (A)322 (B)3152 (C)-322 (D)-3152【答案】A【解析】AB =(2,1), CD =(5,5),设AB ,CD 的夹角为θ,则AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos θ=AB CD CD⋅=1552=322.故选A. 【考点定位】向量的坐标运算及向量的投影.9．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =（ ） A.8 B.12 C.8或8- D.12或12-10．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(1,1)n =-垂直的概率为（A ）16 （B ）13 （C ）14 （D ）12【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知(,)m a b =有：(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5).共12个.m n ⊥即0,m n ⋅=所以1(1)0,a b ⨯+⨯-=即a b =，有(3,3)，(5,5)共2个满足条件.故所求概率为16.【考点定位】古典概型11．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（）A．32B．34C．1 D．12【答案】B【解析】12．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【答案】C【解析】选项A中也可以l∥β，选项B中也可以l∥β，选项D中也可以l⊂β，l∥β或l 与β斜交．【考点定位】空间直线与平面的位置关系.13．已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )3636则12PF F S=12|PF 1||PF 2|sin60°=12|F 1F 2||y|, 解得|y|=62.故选B.【考点定位】双曲线.14．已知椭圆110222=-+-my m x 的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于 （ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：因为焦距为4,所以242c c ===,因为椭圆221210x y m m+=--的焦点在x 轴上,所以222,10a m b m =-=-,根据22221248c a b m m =-⇒-=⇒=,故选A. 【考点定位】椭圆 焦点15．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（ ）A ．3B ．126C ．127D ．128二、填空题 16．命题:p 对0x ∀≥，都有310x -≥，则p ⌝是____________________.【答案】“00x ∃<，使得3010x -<”【解析】试题分析：试题分析：由命题的否定概念可知，p ⌝是“00x ∃<，使得3010x -<”.【考点定位】命题的否定. 17．已知2tanα·sinα＝3，－2π＜α＜0，则cos(α－6π)＝____________．19．曲线ln y a x =(0)a >在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a = . 【答案】1(,]2-∞ 【解析】20．设实数x,y 满足条件：10,0x y ≥≥；2360x y --≤；320x y -+≥，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值是 【答案】256【解析】试题分析：约束条件036020x y ox y x y ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪--≤⎪-+≥⎪⎩的可行域如图所示，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过点（4,6）时为最大值12,所以4a+6b=12，得：2a+3b=6，a=632b-，（23a b +）（2a+3b ）,4+9+66b a a b +25≥，（当56a b ==时，等号成立），所以23a b +256≥，即23a b +的最小值是256. 【考点定位】1.线性规划；2.基本不等式的性质.21．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是．三、解答题22．空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由空气质量指数确定。
江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题54Word版含答案
指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同函数)0)(11(log )(2>+=x xx f 的反函数()1=f x -（ ）A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21xx R -∈ D.()210x x ->【解题指南】首先令)11(log 2xy +=求出x ，然后将y x ,互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解.【解析】选A.由)11(log 2xy +=，0>x ，得函数的值域为0>y ，又x y 112+=，解得121-=y x ，所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( ) A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1 【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1. 3.（2013·广东高考文科·Ｔ2）函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解.【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件.4.（2013·山东高考文科·Ｔ5）函数()f x =的定义域为（ ）A.(-3，0]B.(-3，1]C.(,3)(3,0]-∞--D.(,3)(3,1]-∞--【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0.【解析】选A. ⎩⎨⎧>+≥-03021x x ，解得03≤<-x .5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( )A ． ·log log log a c c b a b = B. b a b c c a log log log =⋅ C. c b bc a a a log log )(log ⋅=D. ()log g og o l l a a a b b c c +=+【解题指南】a, b,c ≠1，掌握对数两个公式:abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解.【解析】选B.对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。
江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷(理科)
江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10 B．12 C．14 D．162．（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）A．B．2C．3D．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1B．3C．6D．94．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．.①②B．.①③C．.②③D．．①②③5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），则{a n}的通项公式为（）A．2n﹣2 B．2n+1 C．2n+3 D．n+26．（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．28．（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A．S丙2＞S乙2＞S甲2B．S甲2＞S丙2＞S乙2C．S丙2＞S甲2＞S乙2D．S乙2＞S丙2＞S甲29．（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆x2+y2=4，点A（，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA 的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2D．112．（5分）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），若a1=，则a2015=．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为．16．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．20．（12分）已知点F（，0），圆E：（x+）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10 B．12 C．14 D．16考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据N及两集合的交集，确定出m与n的值，即可求出m+n的值．解答：解：由M中不等式解得：x＜0或x＞4，∴M={x|x＜0或x＞4}，∵N={x|m＜x＜8}，且M∩N={x|6＜x＜n}，∴m=6，n=8，则m+n=6+8=14，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）A．B．2C．3D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵=1+i+=1+3i，∴|（1+i）﹣|==．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1B．3C．6D．9考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．解答：解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）由题意可得2×a3=3a1+2a2，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=﹣1（舍去），或q=3，故==q2=9．故选：D．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．.①②B．.①③C．.②③D．．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误．解答：解：对于①，命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确．对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确；对于③，数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“a n+1=3a n”，数列不是等比数列，所以③不正确；故选：A．点评：本题考查命题的真假的判断，充要条件以及命题的否定，等比数列的基本知识的应用，考查基本知识的掌握情况．5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），则{a n}的通项公式为（）A．2n﹣2 B．2n+1 C．2n+3 D．n+2考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据f（x）求出a1、a3，再利用等差数列的定义求出d与a1的值，即得通项公式a n．解答：解：∵f（x）=x2﹣2x+4，∴a1=f（d﹣1）=（d﹣1）2﹣2（d﹣1）+4=d2﹣4d+7，a3=f（d+1）=（d+1）2﹣2（d+1）+4=d2+3；∴a3﹣a1=4d﹣4，即2d=4d﹣4，解得d=2；∴a1=3，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．故选：B．点评：本题考查了根据函数的解析式求函数值的应用问题，也考查了等差数列的通项公式的应用问题，是基础题目．6．（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域．，利用分式函数的意义以及直线的斜率进行求解即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，﹣2）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，即A（1，2），此时AD的斜率k=，则z=1+k=1﹣4=﹣3，即z=的最小值为﹣3，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率以及数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据图形判断设|PC|=3﹣x，e则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，运用数量积的运算得出函数式子（+）•=﹣2x•（3﹣x），再利用基本不等式求解即可．解答：解：∵直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，∴|CD|=3，+=2，∵P为线段CD上任意一点，∴设|PC|=3﹣x，则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，∴（+）•=﹣2x•（3﹣x），∵x•（3﹣x）≤，∴﹣2x•（3﹣x）≥﹣2×=﹣．故选：A．点评：本题考查了平面向量的数量积，转化为函数求解，关键是根据图形得出向量的关系，属于容易题．8．（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A．S丙2＞S乙2＞S甲2B．S甲2＞S丙2＞S乙2C．S丙2＞S甲2＞S乙2D．S乙2＞S丙2＞S甲2考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，观察数据即可得到结论．解答：解：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，由条形图知，乙图最集中，丙图最分散，故s乙2＜s乙2＜s丙2，故选：C点评：本题主要考查了频率分布条形图，以及平均数、方差和标准差，属于基础题9．（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，由y=x3是奇函数可求阴影部分的面积与正方形的面积之比，从而得解．解答：解：程序框图的含义是，阴影部分的面积与正方形的面积之比，因为y=x3是奇函数，所以面积之比为：．故选：D．点评：本题主要考查了程序框图和函数的性质及应用，属于基本知识的考查．10．（5分）已知圆x2+y2=4，点A（，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA 的最大值为（）A．B．C．D．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：设|MA|=x，则可求得|OM|，|AO|的值，进而利用余弦定理得到cos∠OMA的表达式，利用均值不等式求得cos∠OMA的最小值，进而求得∠OMA的最大值．解答：解：设|MA|=x，则|OM|=2，|AO|=由余弦定理可知cos∠OMA==（x+）≥×2=（当且仅当x=1时等号成立）∴∠OMA≤．故选：C．点评：本题主要考查了点与圆的位置关系，余弦定理的应用，均值不等式求最值．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=•=x﹣alnx（0，+∞）+1，再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．解答：解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），则•=f（x）=x﹣alnx+1，由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．f′（x）=1﹣=，a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；故选D．点评：本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a．12．（5分）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．点评：本题考查了两圆相切的性质、双曲线的离心率，属于难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是﹣160．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项式定理展开式，直接求出常数项的值即可．解答：解：因为=20×8×（﹣1）=﹣160．所以展开式中常数项是﹣160．故答案为：﹣160．点评：本题考查二项式定理展开式的应用，特定项的求法，考查计算能力．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），若a1=，则a2015=﹣2．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过求出数列的前几项，找出其周期即可．解答：解：∵a n+1=（n∈N+）、a1=，∴a2==3，a3==﹣2，a4==﹣，a5==，a6==3，∴数列{a n}满足：a n=a n+4，∵2015=503×4+3，∴a2015=a3=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查求数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为8π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体的形状，根据他的几何性质得出AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=，BE=，利用三角形判断得出三角形BDC外接圆的半径r=1，根据球的几何性质得出：R2=r2+d2，求解R即得出面积．解答：解：根据三视图得出几何体为三棱锥，AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=，BE=，∴∠BED=60°，BD=1，∵在三角形BDC中，BD=DC=1，∠BDC=120°，∴根据余弦定理得出：BC=，∵利用正弦定理得出：=2r∴三角形BDC外接圆的半径r=1，∵三棱锥的外接球的半径R，d=AD=1，利用球的几何性质得出：R2=r2+d2，∴R=，∴它的外接球的表面积为4×π×（）2=8π，故答案为：8π．点评：本题考查了空间几何体的外接球的问题，充分利用几何性质，把立体问题转化为平面问题求解，考查了三角的定理的运用综合性较强，属于中档题．16．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．考点：集合的相等．专题：计算题；集合．分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先利用倍角公式化简解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求单调区间和sinC．解答：解：由题意可得f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）（1）令2kπ≤2x﹣≤2kπ+所以增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．…（6分）（2）由f（+）=得sinA=；…（7分）f（）=得cosB=，sinB=；…（8分）由于sinA=＜sinB=，则a＜b⇒cosA=…（10分）所以sinC=sin（A+B）=．…（12分）点评：本题考查了倍角公式的运用化简三角函数，然后求单调区间以及解三角形；关键是正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数的形式．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AC中点O，连结PO，BO，证明OP⊥平面ABC，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解答：解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC…（2分），∴OP⊥OB，∴OP2+OB2=PB2，即16﹣OC2+4﹣OC2=16，得OC=，则OA=，OB=，OP=，AC=2，…（4分）∴S△ABC==2．∴V P﹣ABC==．…（6分）（2）建立如图所示的空间直角坐标系．得O（0，0，0），A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），…（8分）∴=（﹣），=（﹣，0，），设平面PBC的法向量=（x，y，z）．则，取z=1，得=（，，1）．（10分）∵=（），∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，正确运用向量方法是关键．19．（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）直接利用古典概型的概率求解这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求出概率得到分布列，然后求解X的期望．解答：解：（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率：P==…（5分）（2）X可能的取值为0、1、2、3P（X=0）==，P（X=1）==P（X=2）==P（X=3）==X 0 1 2 3P…（10分）EX=0×+1×+2×+3×=…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．20．（12分）已知点F（，0），圆E：（x+）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）连接QF，结合圆的定义和垂直平分线的性质，以及椭圆的定义，可得Q的轨迹方程；（2）设直线l的方程为x=my+n（m∈R），由直线和圆相切的条件：d=r，可得m，n的关系，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得△AOB的面积，结合向量的数量积的坐标表示和基本不等式，即可得到所求范围．解答：解：（1）连接QF，∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4＞|EF|=2，∴动点Q的轨迹是以E（﹣，0）、F（，0）为焦点，长轴长2a=4的椭圆，即动点Q的轨迹方程为：+y2=1；（2）依题结合图形知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x=my+n（m∈R）．∵直线L即x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，∴=1得n2=m2+1．又∵点A，B的坐标满足：，消去x整理得（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，由韦达定理得y1+y2=﹣，y1y2=，又|AB|=•|y1﹣y2|，点O到直线l的距离d==1，∴S△AOB=d•|AB|=•|y1﹣y2|=|n|•|y1﹣y2|=2•=2•，∵λ==x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2==∵，令t=1+m2，则λ=∈[，]，即有t∈[3，6]∴S△AOB=2•=2•=2•=∵t+∈[6，]，t++6∈[12，]，∈[，]，∴S△AOB∈[，1]，∴S△AOB的取值范围为[，1]．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，弦长公式和基本不等式，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．（2）由题意可求出0＜a＜；则a=的两个不同根为x1，x2，作出y=的图象，利用数形结合证明．解答：解：（1）函数的导数f′（x）=1﹣ae x，∵f（x）在x=0的切线与x轴平行，∴f′（0）=0，即f′（0）=1﹣a=0，解得a=1．（2）由f（x）=x﹣ae x=0得a=，设g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＜0得x＞1，由g′（x）＞0得x＜1，即函数g（x）在x=1时，取得极大值g（1）=，则要使f（x）有两个零点x1、x2，则满足0＜a＜，则x1=ae x1，x2=ae x2；∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意a1，a2∈（0，），设a1＞a2，若g（m1）=g（m2）=a1，g（n1）=g（n2）=a2，其中0＜m1＜1＜m2，0＜n1＜1＜n2，∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；∴m1＞n1，m2＜n2；∴；故随着a的减小而增大，令=t，x1=ae x1，x2=ae x2，可化为x2﹣x1=lnt；t＞1；则x1=，x2=；则x2+x1=，令h（t）=，则可证明h（t）在（1，+∞）上单调递增；故x2+x1随着t的增大而增大，即x2+x1随着的增大而增大，故x2+x1随着a的减小而增大，而当a=时，x2+x1=2；故x1+x2＞2．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形；（2）利用切割线定理求出PA，再求出cos∠AOP，利用余弦定理，即可得出结论．解答：（1）证明：∵PA与圆O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB∵BD为圆O的直径，∴∠BAD=90°∴∠ADB=90°﹣∠B∵BD⊥OP，∴∠BCO=90°﹣∠B∴∠BCO=∠PCA=∠PAB即△PAC为等腰三角形∴PA=PC；…（5分）（2）解：假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N．∵PA与圆O相切于点A，PMN是圆O的割线，∴PA2=PM•PN=（PO﹣OM）（PO+ON）．∵PO=5，OM=ON=3，∴PA=4．由（1）知PC=PA=4，∴OC=1．在Rt△OAP中，cos∠AOP==．∴AC2=9+1﹣2×3×1×=．∴AC=．…（10分）点评：本题考查的知识点是弦切角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，属于中档题．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，把代入即可得出．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）即可得出．解答：解：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=10x，配方为：（x﹣5）2+y2=25．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，由于△=﹣4×20=82＞0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．∴t1+t2=﹣，t1t2=20，又直线l过点P（2，6），可得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）=9．点评：本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
江西省南昌市2015届高三第二次模拟考试数学理科试题有答案(扫描版)
2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．13π 15．1316．2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=-⨯--4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………………11分 所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113．……………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC=90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ， 以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则0n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分 所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分 而二面角D —GCB 为钝角， 故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD =2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分……………………10分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--， 圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==，…………8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分 （一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>，解得x∈，所以函数()f x 在区间上单调递减，在区间(0,),()2a a +∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a ama m a =+-++，则(1)0h =，1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a->， 当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a 在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分 当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分 22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=，…………………3分 ,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分 又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F ACAF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC∴=-，解得8AE =。
江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷理含解析
江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）2．（5分）“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，a4=2，S10=10，则a7的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）已知平面向量，满足||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．（5分）a的值由如图程序框图算出，则二项式（﹣）9展开式的常数项为（）A．T4=53×B．T6=﹣55×C．T5=74×D．T4=﹣73×6．（5分）在小语种自主招生考试中，某学校获得4个推荐名额，其中韩语2名，日语1名，俄语1名，并且韩语要求必须有女生参加，学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．8种B．10种C．12种D．14种7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=29．（5分）线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点．若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，则|PA|+|PB|=（）A．B．4C．4D．610．（5分）由不等式组确定的平面区域为M，由不等式组确定的平面区域为N，在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣}，记S=++…+，则S的最小值为（）A．5 B．5C．6 D．612．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）（cosθ﹣i•sinθ）∈R（0＜θ＜π），则tanθ=．14．（5分）记直线x﹣3y﹣1=0的倾斜角为α，曲线y=lnx在（2，ln2）处切线的倾斜角为β．则α﹣β=．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．16．（5分）关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：①∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0；③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；④∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0．其中正确结论的个数是．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知=（cosx，sin2x），=（cosx，），f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若函数g（x）=bf（x）+c在x=A处取最大值6，求△ABC面积的最大值．18．（12分）某校从参加2014-2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆F：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F1，点F1到直线ax+by=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P，Q两点，求证：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x+﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.71828…为自然对数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，设函数g（x）=f（ax）﹣，若g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，求证：＜lna．【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【选修4—5】不等式选讲24．已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．江西省重点中学十校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求）1．（5分）设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）考点：交集及其运算；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由集合A={x|y=ln（1﹣x）}，表示函数y=ln（1﹣x）的定义域，集合B={y|y=x2}，表示y=x2的值域，我们不难求出集合A，B，再根据集合交集的定义，不难得到答案．解答：解：∵A={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴A∩B=[0，1）．故选B点评：遇到两个连续数集的运算，其步骤一般是：①求出M和N；②借助数轴分析集合运算结果，方法是：并集求覆盖的最大范围，交集求覆盖的公共范围．2．（5分）“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：可以通过移项求出不等式的解集，再根据充分必要条件进行判断．解答：解：≤﹣2可得+2=≤0，即ab＜0，即a＞0，b＜0，或a ＜0，b＞0，∴“≤﹣2”是“a＜0且b＞0”的必要不充分条件．故选：B．点评：此题主要考查充分必要条件的定义，以及不等式的求解，是一道基础题．3．（5分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，a4=2，S10=10，则a7的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的前n 项和得答案．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a4=2，S10=10，得，解得．∴．故选：A．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）已知平面向量，满足||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：直接把等式左边展开多项式乘多项式，然后代入数量积公式求得与的夹角．解答：解：由||=||=1，（+2）•（﹣）=﹣，得，即1+1×1×cos＜＞﹣2=﹣，∴=，则与的夹角为．故选：B．点评：本题考查平面向量的数量积运算，关键是对数量积公式的记忆与运用，是基础题．5．（5分）a的值由如图程序框图算出，则二项式（﹣）9展开式的常数项为（）A．T4=53×B．T6=﹣55×C．T5=74×D．T4=﹣73×考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第一次执行循环体后，S=3，不满足输出条件，a=5，再次执行循环体后，S=15，不满足输出条件，a=7再次执行循环体后，S=105，满足输出条件，故a=7，故二项式（﹣）9展开式的常数项，即T4=﹣73×，故选：D．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．（5分）在小语种自主招生考试中，某学校获得4个推荐名额，其中韩语2名，日语1名，俄语1名，并且韩语要求必须有女生参加，学校通过选拔定下2女2男共4个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．8种B．10种C．12种D．14种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：韩语要求必须有女生参加．先从2个女生中选一个考韩语，剩下的三个考生在三个位置排列，去掉重复部分，即当考韩语的有两个女生，即可得到答案．解答：解：∵由题意知韩语都要求必须有女生参加考试，∴先从2个女生中选一个考韩语有C21=2种结果，剩下的三个考生在三个位置排列A33种结果，其2015届中考韩语为两个女生的情况重复共有A22种结果，∴共有C21A33﹣A22=10种结果．故选：B点评：本题考查了分类和分步计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整”﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可又分析出该几何由一个底面半径为1，高为的半圆锥，和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成，分别代入圆锥的体积公式和棱锥的体积公式，可得该几何体的体积．解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1，高为的半圆锥和一个底面为边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成故这个几何体的体积V=+=故选A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及底面半径，底面棱长，高等几何量是解答的关键．8．（5分）函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=4 D．x=2考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据题意可求得ω、φ的值，从而可得f（x）的解析式及其对称轴方程，继而可得答案．解答：解：∵f（x）=2cos（ωx+φ）为奇函数，∴f（0）=2cosφ=0，∴cosφ=0，又0＜φ＜π，∴φ=；∴f（x）=2cos（ωx+）=﹣2sinωx=2sin（ωx+π），又ω＞0，∴其周期T=；设A（x1，2），B（x2，﹣2），则|AB|==4，∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=4．即T=4，∴T==8，∴ω=．∴f（x）=2sin（x+π），∴其对称轴方程由x+π=kπ+（k∈Z）得：x=4k﹣2．当k=1时，x=2．故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω是难点，考查分析与运算能力，属于中档题．9．（5分）线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点．若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，则|PA|+|PB|=（）A．B．4C．4D．6考点：直线与圆的位置关系；圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题；直线与圆．分析：由题设知双曲线C2的焦距2c=|AB|=2，双曲线的实半轴a=，由P是圆C1与双曲线C2的公共点，知||PA|﹣|PB||=2，|PA|2+|PB|2=40，由此能求出|PA|+|PB|．解答：解：∵圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的半径r==，线段AB是圆C1：x2+y2+2x﹣6y=0的一条直径，离心率为的双曲线C2以A，B为焦点，∴双曲线C2的焦距2c=|AB|=2，∵P是圆C1与双曲线C2的一个公共点，∴||PA|﹣|PB||=2a，|PA|2+|PB|2=40，∴|PA|2+|PB|2﹣2|PA||PB|=4a2，∵c=，e==，∴a=，∴2|PA||PB|=32，∴∴|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）2=72，∴|PA|+|PB|=6．故选D．点评：本题考查|PA|+|PB|的值的求法，具体涉及到圆的简单性质，双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10．（5分）由不等式组确定的平面区域为M，由不等式组确定的平面区域为N，在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出区域，分别求出区域M，N的面积，利用几何概型的公式解答解答：解：不等式确定的平面区域为M如图中黑色阴影部分，其面积等于红色部分面积，所以===1，区域N的面积为2（e﹣1）=2e﹣2，由几何概型公式可得在N内随机的取一点P，则点P落在区域M内的概率为：；故选：A．点评：本题考查了几何概型的概率求法，关键是分别求出区域M，N的面积，利用几何概型公式解答．11．（5分）已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣}，记S=++…+，则S的最小值为（）A．5 B．5C．6 D．6考点：数列的求和．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：令b i=（1≤i≤8），根据数列比值的关系，结合S的表达式进行推导即可．解答：解：令b i=（1≤i≤8），则对每个符合条件的数列{a n}满足b i===1，且b i∈{2，1，﹣}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n}．记符合条件的数列{b n}的个数为N，由题意知b i（1≤i≤8）中有2k个﹣，2k个2，8﹣4k个1，且k的所有可能取值为0，1，2．对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6．故选：C．点评：本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．12．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据“生成点“的定义，求出（9，2），（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．根据函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，可求出a，b，c的关系，进而根据函数y=g（x）与x轴无交点，△＜0，求出a的取值范围．解答：解：∵f（x）=2x+1，x∈N，满足：f（9）+f（10）+f（11）=63，故（9，2）为函数f（x）的一个“生成点”．f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=63，故（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．又∵函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，∴81a+9b+c=2，a+b+c=6，解得：b=﹣﹣10a，c=9a+，若函数y=g（x）与x轴无交点，则△=b2﹣4ac=（）2﹣4a（9a+）＜0，解得：，故选：B点评：本题考查的知识点是合情推理，二次函数的图象和性质，正确理解“生成点“的定义，是解答的关键．二、填空题（每小题5分，共20分）（cosθ﹣i•sinθ）∈R（0＜θ＜π），则tanθ=．（5分）设i为虚数单位，复数z=（1+i）13．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：首先化简复数为a+bi的形式，然后根据复数为实数，得到θ的值求之．解答：解：因为复数z=（1+i）（cosθ﹣i•sinθ）=（cosθ+sinθ）+（cosθ﹣sinθ）i∈R，所以cosθ﹣sinθ=0，即sin（）=0，0＜θ＜π，所以，所以tanθ=；故答案为：．点评：本题考查了复数的性质；若复数a+bi∈R（a，b∈R）则b=0．14．（5分）记直线x﹣3y﹣1=0的倾斜角为α，曲线y=lnx在（2，ln2）处切线的倾斜角为β．则α﹣β=﹣arctan．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求出曲线y=1nx在（2，1n2）处切线斜率，从而可得tanα=，tanβ=，利用差角的正切公式，即可求出α﹣β．解答：解：∵y=1nx，∴y′=，x=2时，y′=，∵直线x﹣3y﹣l=0的倾斜角为α，曲线y=1nx在（2，1n2）处切线的倾斜角为β，∴tanα=，tanβ=，∴tan（α﹣β）==﹣，∵0＜α＜β＜，∴α﹣β=﹣arctan．故答案为：﹣arctan．点评：本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查和角的正切公式，确定tanα=，tanβ=，是解题的关键．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ，面积记为S1，推出正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为．面积记为S2，求出阴影部分的面积的表达式，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．解答：解：设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ，面积记为S1，则正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为．面积记为S2，所求阴影部分的面积S==S1cosθ+S2sinθ=cosθ+sinθ=sin（θ+β）其中sinβ=，cosβ=．故S∈．故答案为：．点评：本题考查二面角的应用，空间想象能力以及转化思想的应用，难度比较大．16．（5分）关于函数f（x）=x2（lnx﹣a）+a，给出以下4个结论：①∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0；③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0；④∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0．其中正确结论的个数是3．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：①令a=，进行验证即可；②令a=5，通过验证结论成立；③当a=5时，举反例x=5时，不满足条件；④求函数的导数，判断函数存在极值进行判断．解答：解：①当a=，则f（x）=x2（lnx﹣）+，函数的定义域为（0，+∞），此时函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣）+x2•=2xlnx﹣x+x=2xlnx，由f′（x）=0得，x=1，则当x＞1时，则f′（x）＞0，此时函数递增，当0＜x＜1时，则f′（x）＜0，此时函数递减，故当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=﹣+=0，则对∀x＞0，f（x）≥f（1）=0；故①正确②当a=5，则f（x）=x2（lnx﹣5）+5，则f（e）=e2（lne﹣5）+5=﹣4e2+5＜0，故②∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0，成立．③由②知当a=5时，∃x=e，满足e＞0，但f（e）＜0，故③∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0不成立，故③错误．④函数的导数f′（x）=2x（lnx﹣a）+x2•=2x（lnx﹣a）+x=x（2lnx﹣2a+1）=2x（lnx+﹣a）．由f′（x）=0，则lnx+﹣a=0，即lnx=a﹣，即∀a＞0，函数f（x）都存在极值点，即∃x＞0，f（x）≤0成立，故④正确，综上正确是有①②④，共3个故答案为：3点评：本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．难度较大．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知=（cosx，sin2x），=（cosx，），f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若函数g（x）=bf（x）+c在x=A处取最大值6，求△ABC面积的最大值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量数量积的运算性质及辅助角公式计算可得f（x）=sin（2x+）+，结合三角函数的有界性即得结论；（Ⅱ）通过函数g（x）在x=A处取最大值6，可知，进而可得A=，利用基本不等式计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）由题可知：f（x）=•=（cosx，sin2x）•（cosx，）=cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+，∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）∈[﹣，]；（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+）+，∴g（x）=bf（x）+c=bsin（2x+）+b+c，∵函数g（x）=bsin（2x+）+b+c在x=A处取最大值6，∴，又∵0＜A＜π，∴A=，∴6=b+c≥2，即bc≤9（当且仅当b=c时等号成立），∵S△ABC=bcsinA=•（bc），∴S△ABC≤•9=，即△ABC面积的最大值为．点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查三角函数恒等变换及最值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）某校从参加2014-2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I）估计这次测试数学成绩的平均分；（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（I）利用分组两端的数据中值估算抽样学生的平均分，类似于加权平均数的算法，让每一段的中值乘以这一段对应的频率，得到平均数，利用样本的平均数来估计总体的平均数．（II）根据等可能事件的概率公式得到两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且变量符合二项分布，根据符合二项分布写出分布列和期望，也可以用一般求期望的方法来解．解答：解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．∴估计这次考试的平均分是72分．（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C62=15，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C42=6，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率．随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且变量符合二项分布，∴∴变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3p∴（或Eξ=）点评：本题考查读频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布，是一个综合题．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E、F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．考点：棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（I）利用中位线，直线平面的平行问题得出l∥BC，根据直线平面的垂直问题得出BC⊥平面PAC，即可得出直线l⊥平面PAC．（II）建立坐标系得出平面AEF的法向量，cos＜，＞，cos＜，＞，直线平面，直线的夹角的关系求解即可，sinα=||，cosβ=||，sinα=cosβ．解答：（I）证明：∵E，F分别为PB，PC中点，∴BC∥EF，又EF⊆平面EFA，BC⊊平面EFA，∴BC∥平面EFA又BC⊆平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，∴l∥BC．∵AC⊥BC，∴EF⊥BC，∵PA=PC=AC=2，∴AE⊥PC，∵AC⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，∴BC⊥平面PAC，∵l∥BC∴直线l⊥平面PAC，（II）如图建立坐标系得出：C（0，0，0），A（2，0，0），E（，0，），F（0，2，），P（1，0，），Q（2，y，0）∴=（1，0，）为平面AEF的法向量，=（﹣，2，0），=（1，y，﹣）∴cos＜，＞==，cos＜，＞==，设直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角分别为α，β，α+β=，∴sinα=||，cosβ=||，sinα=cosβ，即1=|﹣1+4y|，求解y=，y=0，A（2，0，0），存在Q（2，0，0）或Q（2，，0），|AQ|=或|AQ|=0．点评：本题综合考查了空间直线，平面的位置关系，判断方法，空间向量解决存在性问题，运用代数方法求解几何问题，考查了学生的计算能力．20．（12分）已知椭圆F：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F1，点F1到直线ax+by=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线角椭圆于P，Q两点，求证：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）左焦点设为（﹣c，0），则（﹣c，0）到直线ax+by=0的距离为d=，求得椭圆方程．（Ⅱ）在圆中，M是切点，，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，则x1+x2=，，求出：|PF1|，|QF1|，|PQ|的值，继而得到答案．解答：解：（Ⅰ）∵①，左焦点设为（﹣c，0），则（﹣c，0）到直线ax+by=0的距离为d=，∴②，b2+c2=a2③由①②③得：a2=9，b2=8，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则∴，∵0＜x1＜3，|PF2|=3﹣，同理|QF2|=3﹣在圆中，M是切点，，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，∴==∵PQ与圆相切，∴即m=，∴所以：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|=6﹣．即：|PF1|+|QF1|﹣|PQ|为定值．点评：本题主要考查了椭圆方程得求法和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难度较大的题型．21．（12分）已知函数f（x）=x+﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.71828…为自然对数的底数）上存在一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，设函数g（x）=f（ax）﹣，若g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，求证：＜lna．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，求得函数的导数，求出切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线的方程；（Ⅱ）转化已知条件为函数f（x）在[1，e]上的最小值[f（x）]min≤0，利用单调性，①a≥e ﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围；（Ⅲ）化简g（x）=f（ax）﹣=ax﹣alnax，（a＞0），求出导数，求得单调区间和极小值，令它小于0，求得a＞e，再由x1=lnax1，x2=lnax2，相加，构造函数，求出最值，再由不等式的性质，即可得证．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x+﹣lnx的导数为f′（x）=1﹣﹣，曲线f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=﹣2，切点为（1，3），即有切线方程为y﹣3=﹣2（x﹣1），即为2x+y﹣5=0；（Ⅱ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤0，即函数f（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值[f（x）]min≤0．由f（x）的导数f′（x）=1﹣﹣=，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴[f（x）]min=f（e）=e+﹣a，∴a≥，∵＞e﹣1，∴a≥；②当a+1≤1，即a≤0时，f（x）在[1，e]上单调递增，∴[f（x）]min=f（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2；③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[f（x）]min=f（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：a≥，或a≤﹣2．（Ⅲ）函数g（x）=f（ax）﹣=ax﹣alnax，（a＞0），g′（x）=a﹣a•，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有x=1处g（x）取得极小值，也为最小值，且为a﹣alna，g（x）有两个不同的零点，则有a﹣alna＜0，解得a＞e，g（x）有两个不同的零点x1，x2，且0＜x1＜x2，即x1=lnax1，x2=lnax2，相加可得x1+x2=lnax1+lnax2=ln（a2x1x2），x1x2=，即有=，令t=x1+x2，则h（t）=的导数为，当t＞1时，h（t）递增，当0＜t＜1时，h（t）递减，即有t=1时，h（t）取得最小值，且为e，有＜•e=＜1，lna＞1，则有＜lna．点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程、函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．解答：解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=t1t2，∴m2﹣2m=1，解得．又满足△＞0．∴实数m=1．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4—5】不等式选讲24．已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．考点：基本不等式；绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得+=（+）（a+b）=5++，由基本不等式可得；（Ⅱ）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．解答：解：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴+=（+）（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当=即a=且b=时取等号，∴+的最小值为9；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，则需|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，可转化为，或或，分别解不等式组可得﹣7≤x≤﹣1，≤x≤11，﹣1＜x＜综合可得x的取值范围为[﹣7，11]点评：本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立和绝对值不等式，属中档题．。
2015年江西省南昌市高考数学二模试卷(理科)
2015年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.i为虚数单位，=（）A.3+4iB.4+3iC.-iD.+i【答案】D【解析】解：===．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.已知集合A={x|x2-2x＞0}，B={x|log2（x+1）＜1}，则A∩B等于（）A.（-∞，0）B.（2，+∞）C.（0，1）D.（-1，0）【答案】D【解析】解：由A中不等式变形得：x（x-2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即A=（-∞，0）∪（2，+∞），由B中不等式变形得：log2（x+1）＜1=log22，即0＜x+1＜2，解得：-1＜x＜1，即B=（-1，1），则A∩B=（-1，0），故选：D．求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.下列结论错误的是（）A.命题：“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”B.“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”D.若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题【答案】B【解析】解：A．命题：“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”，正确；B．“a＞b”是“ac2＞bc2”必要不充分条件，不正确；C．“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”，正确；D．若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，正确．故选：B．A．利用逆否命题的定义即可判断出真假；B．利用不等式的性质、充要条件定义，即可判断出真假；C．利用命题的否定定义，即可判断出真假；D．利用复合命题真假的判定方法，即可判断出真假．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．4.将函数y=sin（2x-）的图象向左移动个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数y=f （x）的一个单调递增区间是（）A.[-，]B.[-，0]C.[-，]D.[，]【答案】C【解析】解：将函数y=sin（2x-）的图象向左移动个单位，得到函数y=f（x）=sin（2x+-）=sin（2x+）的图象．故由2k≤2x+≤2kπ，k∈Z可解得函数y=f（x）的单调递增区间是：k≤x≤kπ，k∈Z．故当k=0时，x∈[-，]．故选：C．根据函数y=sin（2x-）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，确定函数f（x）的解析式，从而可得函数f（x）的一个单调递增区间．本题考查图象的变换，考查三角函数的性质，解题的关键是熟悉变换的方法，确定函数的解析式，属于基本知识的考查．5.若实数x，y满足条件，则z=x-3y的最小值为（）A.-5B.-3C.1D.4【答案】A【解析】解：作出约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x-z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（1，2）时，截距-z取最大值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=1-3×2=-5故选：A作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得当直线经过点A（1，2）时，截距-z取最大值，z取最小值，代值计算可得．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6.已知{a n}是等差数列，a3=5，a9=17，数列{b n}的前n项和S n=3n，若a m=b1+b4，则正整数m等于（）A.29B.28C.27D.26【答案】A【解析】解：假设a n=a0+（n-1）d，可知a9-a3=6d=12，则d=2，而a3=5，则a0=1．所以b1=S1=3，b4=S4-S3=54，则b1+b4=57，因此a m=a0+（m-1）d=1+2（m-1）=57=b1+b4，从而可得m=29．故选：A．利用{a n}是等差数列，a3=5，a9=17，求出a0=1，d=2，求出b1+b4=57，即可求出m．本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．7.下列程序图中，输出的B是（）A.-B.-C.0D.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得A=，i=1A=，B=-，i=2，满足条件i≤2015，A=π，B=0，i=3，满足条件i≤2015，A=，B=，i=4，满足条件i≤2015，A=，B=-，i=5，满足条件i≤2015，A=2π，B=0，i=6，满足条件i≤2015，…观察规律可知，B的取值以3为周期，由2015=3×671+2，故有B=-，i=2015，满足条件i≤2015，B=0，i=2016，不满足条件i≤2015，退出循环，输出B的值为0．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期，故当i=2015时，B=0，当i=2016时不满足条件i≤2015，退出循环，输出B的值为0．本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．8.安排A、B、C、D、E、F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法有（）种．A.30B.40C.42D.48【答案】C【解析】解：当A照顾老人乙时，共有种不同方法；当A不照顾老人乙时，共有种不同方法．∴安排方法有24+18=42种．故选：C．根据义工A，B有条件限制，可分A照顾老人乙和A不照顾老人乙两类分析，A照顾老人乙时，再从除B外的4人中选1人，则甲和丙为；A不照顾老人乙时，老人乙需从除A、B外的4人中选2人，甲从除A外的剩余3人中选2人．本题考查有条件限制排列组合问题，关键是正确分类，是基础的计算题．9.已知函数f（x）=，，＞，函数g（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，g（x）=2x-1，则函数y=f（x）-g（x）的零点个数是（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】解：函数y=f（x）-g（x）的零点就是函数y=f（x）与y=g（x）图象的交点．在同一坐标系中画出这两个函数的图象：由图可得这两个函数的交点为A，O，B，C，D，E，共6个点．所以原函数共有6个零点．故选：B．函数y=f（x）-g（x）的零点就是函数y=f（x）与y=g（x）图象的交点，因此分别作出这两个函数的图象，然后据图判断即可．本题考查了利用数形结合的思想解决函数零点个数的判断问题，同时考查了函数的零点，方程的根以及函数图象的交点之间关系的理解．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.2B.C.4D.【答案】B【解析】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．11.已知函数f（x）=+sinx（e为自然对数的底），则函数y=f（x）在区间[-，]上的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由函数f（x）=+sinx（e为自然对数的底），x∈[-，]，可得y′=+cosx≥+=≥=0，而上述式子中的两个等号不能同时成立，故有y′＞0，故函数y在区间[-，]上单调递增，故选：A．求得函数的导数y′的解析式，再利用基本不等式求得在区间[-，]上，y′＞0，可得函数y在区间[-，]上单调递增，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查导数公式，利用导数研究函数的单调性，基本不等式的应用，函数的图象特征，属于中档题．12.已知数列{a n}满足a1=1，|a n-a n-1|=（n∈N，n≥2），且{a2n-1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则12a10=（）A.6-B.6-C.11-D.11-【答案】D【解析】解：由|a n-a n-1|=，则|a2n-a2n-1|=，|a2n+2-a2n+1|=，∵数列{a2n-1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n+1-a2n-1＜0，且a2n+2-a2n＞0，则-（a2n+2-a2n）＜0，两不等式相加得a2n+1-a2n-1-（a2n+2-a2n）＜0，即a2n-a2n-1＜a2n+2-a2n+1，又∵|a2n-a2n-1|=＞|a2n+2-a2n+1|=，∴a2n-a2n-1＜0，即，同理可得：a2n+3-a2n+2＜a2n+1-a2n，又|a2n+3-a2n+2|＜|a2n+1-a2n|，则a2n+1-a2n=，当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，…，，，这2m-1个等式相加可得，a2m-a1=-（）+（），∴=．∴12a10=．故选：D．根据数列的单调性和|a n-a n-1|=，由不等式的可加性，求出a2n-a2n-1=和a2n+1-a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的偶数项对应的通项公式，则12a10可求．本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于______ ．【答案】2【解析】解：∵||=又∵即：∴故答案为：2由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．本题考察了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出的模是关键，属于基础题．14.若在圆C ：x 2+y 2=4内任取一点P （x ，y ），则满足 ＜ ＞ 的概率= ______ ．【答案】【解析】解：满足＜ ＞的区域如图面积为=（x -x 3）| =， 由几何概型公式可得在圆C ：x 2+y 2=4内任取一点P （x ，y ），则满足＜ ＞的概率为 ； 故答案为：．分别求出圆的面积以及满足不等式组的区域面积，利用几何概型公式解答．本题考查了几何概型的公式运用；关键是利用定积分求出区域的面积．利用几何概型公式解答．15.观察下面数表：设1027是该表第m 行的第n 个数，则m +n 等于 ______ ． 【答案】 13【解析】解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数， 第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22-1第三行4=22个数，且第1个数是7=23-1第四行8=23个数，且第1个数是15=24-1…第10行有29个数，且第1个数是210-1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m =10，n =3，所以m +n =13； 故答案为：13．根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，…第10行有29个数，分别求出左起第1个数的规律，按照此规律，问题解决 本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题．16.过原点的直线l与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别相交于A，B两点，F（-，0）是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，=0．则双曲线C的方程= ______ ．【答案】【解析】解：设|FB|=x，则|FA|=4-x，∵过原点的直线l与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别相交于A，B两点，F（-，0）是双曲线C的左焦点，∴|AB|=2，∵=0，∴x2+（4-x）2=12，∴x2-4x+2=0，∴x=2±，∴|FB|=2+，|FA|=2-，∴2a=|FB|-|FA|=2，∴a=，∴b=1，∴双曲线C的方程为．故答案为：．设|FB|=x，则|FA|=4-x，利用勾股定理，建立方程，求出|FB|=2+，|FA|=2-，可得a，b，即可得出结论．本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知△ABC是圆O（O为坐标原点）的内接三角形，其中A（1，0），B（-，-），角A，B，C的对边分别为A，B，C．（Ⅰ）若点C的坐标是（-，），求cos∠COB；（Ⅱ）若点C在优弧上运动，求a+b的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由点C，B的坐标可以得到∠AOC=，∠AOB=，…（2分）所以cos∠COB=cos（∠AOC+∠AOB）=-×=-；…（6分）（Ⅱ）因为c=，∠AOB=，所以C=，所以，…（8分）所以a+b=2sin A+2sin（-A）=2sin（A+），（0＜A＜），…（11分）所以当A=时，a+b最大，最大值是2．…（12分）【解析】（Ⅰ）由点C，B的坐标可以得到∠AOC，∠AOB，即可由cos∠COB=cos（∠AOC+∠AOB）得解．（Ⅱ）由正弦定理可得a+b=2sin A+2sin（-A）=2sin（A+），由题意求得角C可得A的范围，从而可求a+b的最大值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18.如图是某市11月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200，表示空气质量重度污染，该市某校准备举行为期3天（连续3天）的运动会，在11月1日至11月13日任选一天开幕（Ⅰ）求运动会期间至少两天空气质量优良的概率；（Ⅱ）记运动会期间，空气质量优良的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望【答案】解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是P2=．…（6分）（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0，1，2，3；…（7分）P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，…（9分）．所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是E ξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分） 【解析】（Ⅰ）说明该校运动会开幕日共有13种选择，列出运动会期间至少两天空气质量优良的数目，然后求解概率．（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0，1，2，3，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望．本题考查古典概型的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．19.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC 中，AE= ，平面AEFC ⊥平面ABCD ，点G 是线段EF 的中点（Ⅰ）求证：AG ⊥平面BCG（Ⅱ）求二面角D-GC-B 的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为AD=DC=CB=2，AB=4，所以∠ABC=60°， 由余弦定理求得AC=2 ， 从而∠ACB=90°， 即BC ⊥AC ，又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ， 所以BC ⊥平面AEFC ， 所以BC ⊥AG ，在矩形AEFC 中，tan ∠AGE=， 则∠AGE=，tan ∠CGF=，则∠CGF=， 所以∠CGF+∠AGE=，即AG ⊥CG ，所以AG ⊥平面BCG ；（Ⅱ）FC ⊥AC ，平面AEFC ⊥平面ABCD ， 所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，CA ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则C （0，0，0），A （2 ，0，0），B （0，2，0），D （ ，-1，0），G （ ，0， ），平面BCG 的法向量 =（ ，0，- ）， 设平面GCD 的法向量 =（x ，y ，z ），则，从而，令x=1，则y=，z=-1，则=（1，，-1），所以cos＜，＞==，而二面角D-GCB为钝角，故所求二面角的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理证明AG⊥CG，即可证明AG⊥平面BCG（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角D-GC-B的余弦值．本题主要考查空间线面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．20.已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）的一条直径是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的长轴，过椭圆C2上一点D（1，）的动直线l与圆C1相交于点A、B，弦AB长的最小值是（1）圆C1和椭圆C2的方程；（2）椭圆C2的右焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线m、n，设直线m交圆C1于点P、Q，直线n与椭圆C2于点M、N，求四边形PMQN面积的取值范围．【答案】解：（1）由题意可得a=r，点D在圆内，当AB⊥C1D时，直线AB被圆截得的弦长最短，且为2=2=，解得r=2，即a=2，点D代入椭圆方程，有+=1，解得b=，则有圆C1的方程为x2+y2=4，椭圆C2的方程为+=1；（2）设过点F（1，0）作两条互相垂直的直线m：y=k（x-1），直线n：y=-（x-1），圆心C1到直线m的距离为d=，则|PQ|=2=2，由y=-（x-1）和椭圆+=1，可得（3k2+4）y2-6ky-9=0，判别式显然大于0，y1+y2=，y1y2=-，则|MN|=•=，则有四边形PMQN面积为S=|PQ|•|MN|=•2•=12•=12•，由于k2＞0，即有1+k2＞1，S＞12×=6，且S＜12×=4，则四边形PMQN面积的取值范围是（6，4）．【解析】（1）由题意可得a=r，点D在圆内，当AB⊥C1D时，直线AB被圆截得的弦长最短，由弦长公式计算即可得到r=2，再将D的坐标代入椭圆方程，即可求得b，进而得到圆和椭圆的方程；（2）设出直线m，n的方程，运用圆和直线相交的弦长公式和直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|PQ|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围．本题考查直线和圆、椭圆的位置关系，同时考查直线被圆、椭圆截得弦长的问题，运用圆的垂径定理和弦长公式，以及韦达定理是解题的关键．21.已知函数f（x）=lnx+x2-2ax+1（a为常数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意的a∈（1，），都存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，求实数m的取值范围．【答案】解：函数f（x）=lnx+x2-2ax+1（a为常数）（1）f′（x）=+2x-2a=，x＞0，①当a≤0时，f′（x）＞0成立，若f′（x）≥0，则2x2-2ax+10≥0，△=4a2-8，当-时，f′（x）≥0恒成立，所以当a时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞时，∵2x2-2ax+10≥0，x＞或0＜＜2x2-2ax+10＜0，＜＜，∴f（x）在（0，），（）上单调递增，在（，）单调递减，（2）∵a∈（1，），+2x-2a＞0，∴f′（x）＞0，f（x）在（0，1]单调递增，f（x）max=f（1）=2-2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，即2-2a+lna＞m（a-a2），∵任意的a∈（1，），∴a-a2＜0，即m＞恒成立，令g（a）=，∵m＞恒成立最后化简为g′（a）==∵任意的a∈（1，），＞0，∴g（a）=，a∈（1，）是增函数．∴g（x）＜g（）=+=∴实数m的取值范围m≥【解析】（1）求解f′（x）=+2x-2a=，x＞0，判断2x2-2ax+10的符号，分类得出①当a≤0时，f′（x）＞0成立，当-时，f′（x）≥0恒成立，即可得出当a时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞时，求解不等式2x2-2ax+10≥0，2x2-2ax+10＜0，得出f（x）在（0，），（）上单调递增，在（，）单调递减，（2）f（x）max=f（1）=2-2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，即2-2a+lna＞m（a-a2），m＞恒成立，构造函数g（a）=，利用导数求解即可转化为最值即可判断．利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，同学们在做题的同时，可以根据单调性，结合函数的草图来加深对题意的理解．22.在圆内接四边形ABCD中，AC与BD交于点E，过点A作圆的切线交CB的延长线于点F．若AB=AD，AF=18，BC=15，求AE的长．【答案】解：∵AF是圆的切线，且AF=18，BC=15，∴由切割线定理可得AF2=FB•FC，∴182=FB（FB+15），∴FB=12，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵AF是圆的切线，∴∠FAB=∠ADB，∴∠FAB=∠ABD，∴AF∥BD，∵AD∥FC，∴四边形ADBF为平行四边形，∴AD=FB=12，∵∠ACF=∠ADB=∠F，∴AC=AF=18，∵，∴，∴AE=8．故答案为：8．【解析】由切割线定理，求出FB，再证明四边形ADBF为平行四边形，求出AD=AB，利用，可求AE的长．本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．23.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆O 的参数方程是和直线l的极坐标方程是ρsin（θ-）=．（Ⅰ）求圆O和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l与圆O公共点的一个极坐标．【答案】解：（Ⅰ）圆O的参数方程可以化为：，所以圆O的直角坐标方程是：．转化为：x2+y2-x-y=0直线l的极坐标方程可以化为：，所以直线l的直角坐标方程为：x-y+1=0；（Ⅱ）由，解得：，故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为（1，）．【解析】（Ⅰ）首先把圆的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把标准形式转化为一般式，再把直线的极坐标形式转化为直角坐标的形式．（Ⅱ）利用两个方程建立方程组，解出交点坐标，最后把直角坐标形式转化为极坐标的形式．本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，解方程组的应用，点的直角坐标和极坐标的互化，主要考查学生的应用能力．24.设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）已知关于x的不等式a-3|x-3|＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0等价于|2x+1|＞|x-3|，两边平方得：4x2+4x+1＞x2-6x+9，即3x2-10x-8＞0，解得x＜-或x＞4，所以原不等式的解集是：（-∞，-）∪（4，+∞）；（Ⅱ）不等式a-3|x-3|＜f（x）等价于a＜|2x+1|+2|x-3|，因为|2x+1|+2|x-3|≥|（2x+1）-2（x-3）|=7，即有a＜7．所以a的取值范围是（-∞，7）．【解析】（Ⅰ）运用两边平方法，去绝对值，再由二次不等式的解法，即可得到所求解集；（Ⅱ）运用参数分离和不等式恒成立思想方法，由绝对值不等式的性质，求得右边的最大值，即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法，主要考查绝对值不等式的性质和平方法解绝对值的方法，考查运算能力，属于中档题．。
江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题36Word版含答案
双曲线一、选择题1.（2013²湖北高考文科²Ｔ2）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等【解题指南】分别表示出双曲线1C 和2C 的实轴，虚轴，离心率和焦距，最后比较即可.【解析】选 D. 双曲线1C 的实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2=，离心率为1sin θ；双曲线2C 的实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2=，离心率为1cos θ，故只有焦距相等.故答案为D.2.（2013²福建高考理科²Ｔ3）双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ） A.52 B.54C. 552 D.554【解题指南】先求顶点，后求渐近线方程，再用距离公式求解.【解析】选 C.双曲线的右顶点为(20)，,渐近线方程为20x y -=,则顶点到渐近线的距离为= 3.(2013²福建高考文科²T4)双曲线x 2-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )A ．12B ．2C ．1D ．【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式. 【解析】选B.顶点错误！未找到引用源。
到渐近线y=x 的距离为错误！未找到引用源。
.4. （2013²新课标Ⅰ高考文科²Ｔ4）与（2013²新课标Ⅰ高考理科²Ｔ4）相同已知双曲线C ：12222=-by a x 错误！未找到引用源。
= 1（a>0,b>0）的离心率为错误！未找到引用源。
，则C 的渐近线方程为( ) A.y=±错误！未找到引用源。
x B.y=±错误！未找到引用源。
x C.y=±错误！未找到引用源。
x D.y=±x 【解题指南】 根据题目中给出离心率确定a 与c 之间的关系，再利用222b a c +=确定a 与b 之间的关系，即可求出渐近线方程.【解析】选C.因为25==a c e ，所以4522=a c ，又因为222b a c +=，所以45222=+a b a ，得=22a b 41，所以渐近线方程为x y 21±= 5.(2013²天津高考理科²T5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线y 2=2p x(p >0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 的面积为错误！未找到引用源。
2015届高考江西九校联合体数学(理)参考答案
江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考数学（理）答案一、选择题：1-5: C D DAB 6-10：BACDC 11-12: DA 二、填空题：13．160- 14．2- 15. π5 16. 6 三、解答题：17.解：由题意可得1)62sin(2)(+-=πx x f（1）226222πππππ+≤-≤-k x k所以增区间为： ]3,6[ππππ+-k k Z k ∈.………………………………………6分（2）由511)122(=+πA f 得53sin =A ；………………………………………7分1323)32(=+πB f 得1312sin ,135cos ==B B ；………………………………………8分 由于，＜simB simA 131253==则54,=ℑ⇒∠A CO b a ……………………………10分所以6563)sin(sin =+=B A C .……………………………………………………12分 18.解：（1）取AC 中点O ，连结BO PO ,， PC PA =，BC AB =，∴AC OB AC OP ⊥⊥,，又 平面⊥APC 平面ABC ，∴ABC OP 面⊥………2分，OB OP ⊥，∴222PB OB OP =+，即1641622=-+-OC OC ，得2=OC ，则14,2,2===OP OB OA ，22=AC ，………4分∴22222121=⋅⋅=⋅⋅=∆OB AC S ABC . ∴31421423131=⋅⋅=⋅⋅=∆-OP S V ABC ABC P .……………………6分 （2）方法一 ：分别以OP OC OB 、、为z y x 、、得)14,0,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0(P C B A O -，………8分∴)0,2,2(-=，)14,0,2(-=，设平面PBC 的法向量),,(z y x =.由0,0=⋅=⋅得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0142022z x y x ，取1=z ，得)1,7,7(=.10分)0,2,2(=AB ，∴15210152142||||,cos ==⋅>=<n AB n AB . 故直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为15210.……………………12分 方法二 ：设点A 到平面PBC 的距离为d ，作H BC BC PH 于点交⊥， 则15142222=-=-=HC PC PH ，151522121=⨯⨯=⋅=∆PH BC S PBC ∴151423142153131=⇒=⋅⋅=⋅⋅⇒=∆--d d d S V V PBC PBC A ABC P ∴直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为15210152142==AB d . 19.解：(1)4086531811325==C C C P …………………………5分 (2)X 可能的取值为0、1、2、3408143)0(318313===C C X P 408195)1(31821315===C C C X P 40865)2(31811325===C C C X P 4085)3(31835===C C X P………10分65=EX ……………………………………………………12分20.解：(1)连接QF ，∵|QE |＋|QF |=|QE |＋|QP |=|PE |=4>|EF |=32， ∴动点Q 的轨迹是以)0,3(-E 、)0,3(F 为焦点，长轴长42=a 的椭圆，即动点Q 的轨迹方程为:1422=+y x ；…………………4分(2)依题结合图形知直线l 的斜率不为零，所以设直线l 的方程为n my x +=(R m ∈)． ∵直线l 即0=--n my x 与圆O :122=+y x 相切，∴11||2=+m n 得122+=m n ．(5分) 又∵点B A ,的坐标),(),,(2211y x y x 满足：⎩⎨⎧=-++=04422y x n my x ， 消去x 整理得042)4(222=-+++n mny y m ，由韦达定理得42221+-=+m mny y ，442221+-=m n y y ．…………………6分又 ||1||212y y m AB -⋅+=，点O 到直线l 的距离11||2=+=mn d ，∴||||21||121||2121212y y n y y m AB d S AOB -⋅=-⋅+⋅=⋅=∆ 222222)4(132)4(32++⋅=+⋅=m m m n………8分∵21212121))((y y n my n my y y x x OB OA +++=+=⋅=λ414445)()1(22222221212++=+--=++++=m m m m n n y y mn y y m ． ∵3221≤≤λ，令12+=m t ，则]6,3[]32,21[3∈⇒∈+=t t t λ ∴69326932)3(32)4(13222222++=++⋅=+⋅=++⋅=∆tt tt t t t m m S AOB，…………………10分 ∵]121,272[691]227,12[69]227,12[69]215,6[9∈++⇒∈++⇒∈++⇒∈+tt t t t t t t ∴]1,322[∈∆AOB S ，∴AOB S ∆的取值范围为：]1,322[.…………………12分21.解：(1)x ae x f -=1)('，由题意知01)0('=-=a f 1=∴a .…………3分(2)由题意知：11x ae x = ① 22x ae x = ② 不妨设21x x <①-②得 )(2121x x e ea x x -=- 2121x x ee x x a --=∴ ③ …………5分 又)(2121x x e ea x x +=+，欲证221>+x x 只需证2)(21>+x x e e a ④联立③④得2))((212121>--+x x x x e e x x e e…………7分 即21))(1(212121>--+--x x x x e x x e ，令21x x t -= （0<t ） 则上式等价于21)1(>-+tt e te ，即02)2(>++-t t e t ⑤…………9分 令2)2()(++-=t t e t tϕ （0<t ） 1)1()('+-=t e t t ϕ，0)(''<=t te t ϕ )('t ϕ∴在)0,(-∞上单调递减，从而0)0(')('=>ϕϕt )(t ϕ∴在)0,(-∞上单调递增，从而0)0()(=<ϕϕt即⑤式成立，221>+∴x x ……………………………………………………12分 22.解：(1)证明：连接OA ， OB OA =，∴OBA OAB ∠=∠. PA 与圆O 相切于点A ，∴ 90=∠OAP . ∴OAB PAC ∠-=∠ 90. OP OB ⊥， ∴OBA BCO ∠-=∠ 90. ∴PAC BCO ∠=∠.又PCABCO ∠=∠，∴PCA PAC ∠=∠.∴PC PA =.…………………5分(2)假设PO 与圆O 相交于点M ，延长PO 交圆O 于点N .PA 与圆O 相切于点A ，PMN 是圆O 的割线， ∴)()(2ON PO OM PO PN PM PA +⋅-=⋅=．5=PO ，3==ON OM ，∴16)35()35(2=+⨯-=PA . ∴4=PA .∴由(1)知4==PA PC . ∴1=OC .在OAP Rt ∆中，53cos ==∠OP OA AOP . NC ABPMO∴5325313219cos 2222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅⋅-+=AOP OC OA OC OA AC . ∴5104532==AC .…………………10分 23.解：(1)由θρcos 10=得01022=-+x y x ，即25)5(22=+-y x .…………4分(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得25)226()223(22=++--t t . 即020292=++t t ，…………6分由于082204)29(2>=⨯-=∆，可设21,t t 是上述方程的两个实根.所以⎩⎨⎧=⋅-=+20292121t t t t ，又直线l 过点)6,2(P ，可得：29)()()(||||||||212121=+-=-+-=+=+t t t t t t PB PA .…………10分 24．解：(1)原不等式等价于即不等式的解集为}21|{≤≤-x x …………………5分 (2)4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a > …………………10分。
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题02
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题02一、选择题 1．已知命题R p ∈∃ϕ:，使)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数；命题x x R x q sin 42cos ,:+∈∀03＜-，则下列命题中为真命题的是（ ）A.q p ∧B.()q p ∨⌝C.()q p ⌝∨D.()()q p ⌝∨⌝ 【答案】C 【解析】2．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x＋2x·m ＋1＝0”．若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是A. (－∞，－2]B. [2,+∞)C. (－∞，－2)D. (2,+∞) 【答案】A 【解析】3．已知01a <<，则2a 、2a、2log a 的大小关系是（ ）A ．2a >2a >2log aB ．2a>2a >2log a C ．2log a >2a >2a D ．2a>2log a >2a【答案】B 【解析】试题分析：因为 01a <<，所以，201a <<，122a <<，2log 0a <，即2a >2a >2log a ，选B .【考点定位】幂函数、指数函数、对数函数的性质. 4．已知x ，y∈R，i 为虚数单位．若1xi+＝1－yi ，则x ＋yi ＝( )A ．2＋iB ．1＋2iC ．1－2iD ．2－i 【答案】A 【解析】由1x i +＝1－yi ，得2x －2x i ＝1－yi ，所以x ＝2，y ＝2x＝1，x ＋yi ＝2＋i. 【考点定位】复数的基本计算.5．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上，则22()()ac bd 的最小值为（ ）（A ）2 （B ） 2 （C ）22 （D ）8 【答案】D 【解析】6．右图可能是下列哪个函数的图象（ ）A.y=2x－x 2－1 B. 14sin 2+=x x x y C.y=(x 2－2x)e xD.x x y ln =【答案】C 【解析】7．已知函数()2log ,02sin(), 2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足()()()1234()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x -⋅-⋅的取值范围（ ）A.(20，32)B.(9,21)C.(8,24)D.(15，25) 【答案】B 【解析】8．设0a >且1a ≠.若log sin 2a x x >对(0,)4x π∈恒成立,则a 的取值范围是（ ）A.(0,)4πB.(0,]4πC.(,1)(1,)42ππ⋃D.[,1)4π9．已知22sin 1)(xx f +=，若)5(lg f a =，)2.0(lg f b =则下列正确的是（ ） A ．0=+b a B ．0=-b a C ．1=+b a D ．1=-b a 【答案】C11()()022f x f x -+--=也就是()()1f x f x +-=，而12lg 0.2lg lg5lg510-===-，所以(lg5)(lg5)1f f +-=即1a b +=，选C.【考点定位】1.正弦函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.10．函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为（ ）． A ．2πB ．4πC ．8πD ．π【答案】A 【解析】11．已知x ，y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则46--+x y x 的取值范围是( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 【答案】C 【解析】12．某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）【答案】C 【解析】13．设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为 ( )A.13 B. 23 C. 14 D. 12【答案】A【考点定位】1.线性规划问题.2.函数的单调性.3.几何概型问题.14．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，81=λμ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．322B ．2C ．233D ．2【答案】D 【解析】15．已知双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,,A B 为期左右顶点,点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点,点O 为坐标原点,若,,PA PB PO 的斜率为123,,k k k ,则123m k k k =的取值范围为( )A.()0,33 B.()0,3 C.30,9⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.()0,816．已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）A.1B.1-C.1±D.22sin 0,sin 0,d d ==因为02d π<<，所以.d π=公比1111cos()cos()1.cos cos a d a q a a π++===-【考点定位】等比数列17．执行如图所示的程序框图，输入的N ＝2014，则输出的S ＝（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014【答案】C 【解析】二、填空题18．已知()20OB =，,()22OC =， ,(2cos 2sin )CA αα=， ,则OA 与OB 的夹角的取值范围是______________. 【答案】]125,12[ππ【解析】法二、因为(22)CA αα=，，所以22(2cos )(2sin )2CA αα=+=，所以点A 在以C 2为半径的圆上. 作出图形如下图所示，从图可知OA 与OB 的夹角的取值范围是]125,12[ππ.【考点定位】向量. 三、解答题19．已知函数()ln ,()xf x ax xg x e =+=.(1)当0a ≤时，求()f x 的单调区间； （2）若不等式()x mg x x-<有解，求实数m 的取值菹围； （3）证明：当a=0时，()()2f x g x ->. 【答案】(1)参考解析；（2）0m <；（3）参考解析 【解析】试题分析：(1)由于()ln f x ax x =+，(0,)x ∈+∞.需求()f x 的单调区间，通过对函数()f x 求导，在讨论a 的范围即可得函数()f x 的单调区间.增.当1(,)x a∈-+∞时，'()0f x <，所以()f x 单调递减.综上所述：当0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞单调递减.【考点定位】1.函数的单调性.2.含不等式的证明.3.构建新的函数问题.4.运算能力.5.数学知识综合应用.20．已知函数),0,(ln )1(2)(2>∈∈--=*a R a N k x a x x f k 且 （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若2014=k 时，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值； （3）当2013=k 时，证明: 对一切),0(+∞∈x ，都有)21(2)(2exe a x xf x ->-成立． 【答案】详见解析 【解析】当k 是奇数时，()0f x '>，则f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当k 是偶数时，则2()()2()2x a x a a f x x xx+-'=-=．所以当x ∈()0,a 时，()0f x '<，当x ∈),(+∞a 时，()0f x '>． 故当k 是偶数时，f (x)在()0,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数． 4分另解:()2f x ax =即22ln 2x a x ax -=有唯一解,所以:22ln x a x x =+,令()2ln x p x x x=+,则()()()22ln 1ln x x x p x x x +-'=+,设()2ln 1+h x x x =-，显然()h x 是增函数且()10h =，所以当01x <<时【考点定位】1.导数的运用；2.方程及不等式. 21．已知函数1()f x x x=-，()ln ()g x a x a R =∈.(1)a≥－2时,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)设h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有两个极值点为12,x x ,其中11(0,]2x ∈,求12()()h x h x -的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）5ln23-. 【解析】试题解析：（1）由题意x a xx x F ln 1)(--=，其定义域为()∞+，0，则221)(x ax x x F +-='，2分对于1)(2+-=ax x x m ，有42-=∆a .①当22≤≤-a 时，0)(≥'x F ，∴)(x F 的单调增区间为),0(+∞；②当2>a 时，0)(='x F 的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x（2）对x a xx x h ln 1)(+-=，其定义域为),0(+∞. 求导得，222111)(xax x x a x x h ++=++='， 由题0)(='x h 两根分别为1x ，2x ，则有122=⋅x x ，a x x -=+21， 8分 ∴121x x =，从而有111x x a --=22．已知函数()sin 2f x m x x =+,(0)m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0,π上的值域； (2)已知ABC ∆外接圆半径3=R ，()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=，角,A B 所对的边分别是,a b ，求ba 11+的值． 【答案】(1)[]2,2-;(2)2.【解析】而0m >，于是2m =，π()2sin()4f x x =+． 4分23．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且241b ac =． （1）当45=p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．【答案】(1)⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,26p ． 【解析】又41=ac ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a （5分）（少一组解扣1分）【考点定位】（1）正弦定理；（2）余弦定理及三角函数值的范围. 24．设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，122+=n n a a ． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足*31212311,2n n n b b b b n N a a a a ++++=-∈，求{n b }的前n 项和T n ； （3）是否存在实数K ，使得T n K ≥恒成立.若有，求出K 的最大值，若没有，说明理由. 【答案】（1）a n =2n ﹣1，n ∈N *；（2）2332n nn T +=-；（3）12K ≤. 【解析】试题分析：（1）由于{a n }是等差数列，故只需求出其首项a 1和公差d 即可得其通项公式.由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1得方程组：11114684(21)22(1)1a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，这个方程组中，看起来有3个未知数，但n 抵消了(如果11114684(21)22(1)1a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩， 解得a 1=1，d =2．∴a n =2n ﹣1，n ∈N *．（2）由已知*31212311,2n n n b b b b n N a a a a ++++=-∈，得： 当n =1时，1112b a =，所以12K ≤. 【考点定位】1、等差数列与等比数列；2、数列的和；3、数列与不等式. 25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知nn a b 1log 3=，记12n n S b b b =+++，111111111111133636n nT S =+++++++++++,求证：20141013.T <【答案】（1）13n na =；（2）参考解析 【解析】试题分析：（1）又等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.可得到两个等式，解方程组可得结论.（2）由（1）可得数列{}n b 的通项，即可计算n S ,由于n T 是一个复合的形式，所以先计算通项式1111111[(1)(1)(1)][(1)]21222n n n++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+ .所以2014111111[2014(1)]1007(1)222014222014T =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+即等价于证明1111222014++⋅⋅⋅+<.1010111111124(234)1122014242++⋅⋅⋅+<+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-<.所以20141013.T <【考点定位】1.等差数列、等比数列的性质.2.数列的求和.3.数列与不等式的知识交汇.4.归纳递推的思想.26．如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ; （2）求证：BDE BC 平面⊥; （3）求点D 到平面BEC 的距离. 【答案】（1）见解析（2）见解析(3)63【解析】试题解析：（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =． 3分所以四边形ABNM 为平行四边形． 所以BN ∥AM ． 4分又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ， 所以AM ∥平面BEC ． 5分（2）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以⊥ED 平面ABCD ． 所以ED BC ⊥． 7分在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ， 2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ，所以222CD BC BD =+． 所以BC BD ⊥． 8分.26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE 12分又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆，所以36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. 14分 【考点定位】勾股定理线面平行,线面垂直等体积法27．如图：已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，高122AA =，P 为1CC 的中点，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：BD ⊥平面11AAC C ；（2）求证：1AC ∥平面PBD ；（3）求三棱锥1A BOP -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.【解析】11ACC A ，即BO ⊥平面1A OP ，因此以1A OP 为底，BO 就是高，体积可得.试题解析：（1）底面ABCD 是边长为正方形，∴AC BD ⊥1A A ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴1A A ⊥BD 3分1A A AC A =，∴BD ⊥平面11A ACC 5分【考点定位】（1）线面垂直；（2）线面平行；（3）几何体的体积.28．已知抛物线24x y =，直线:2l y x =-，F 是抛物线的焦点.（1）在抛物线上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小；(2)如图，过点F 作直线交抛物线于A 、B 两点.①若直线AB 的倾斜角为135，求弦AB 的长度；②若直线AO 、BO 分别交直线l 于,M N 两点,求||MN 的最小值.【答案】（1）(2,1)P ；(2)①AB ||8=；②||MN 的最小值是825. 【解析】试题分析：（1）数形结合，找出与:2l y x =-与平行的切线的切点即为P.(2)易得直线方程1y x =-+，与抛物线联立，利用弦长公式，可求AB ；②设221212(,),(,)44x x A x B x ,可得AO ，BO 方程，与抛物线联立试题解析：解:(1)设(,)P x y ，21,'42x y y x =∴=， 由题可知：11,2,12x x y =∴==同理由228442N x y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩9分 所以21288||11|2|44M N MN x x x x =+-=---12121282|164()x x x x x x -=-++① 10分 设:1AB y kx =+,由2214404y kx x kx x y=+⎧⎪∴--=⎨=⎪⎩,所以此时||MN 的最小值是825,此时253t =-,43k =-; 13分 综上:||MN 的最小值是825。
江西2015年高考文科数学二轮专项训练之数列、数学归纳法与极限1Word版含答案
一．基础题组1. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】221lim 2n n n n→∞+- ＝__________.2. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .3. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S = .（用数字作答）【答案】63 【解析】试题分析：要求数列的前n 项的和，一般先确定下这个数列是不是等差数列或者等比数列，或者是否能转4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】在等差数列{}n a 中，中若01<a ，n S 为前n 项之和，且177S S =，则n S 为最小时的n 的值为 .5. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】计算：21lim 1n n n n →∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=_________．6. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】计算：210lim323x n n →∞++= .7. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】如果()1111112312n f n n n =++++++++(*n N ∈)那么()()1f k f k +-共有 项.8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a .10. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++，则当n =____时，n B 取得最大值.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.13. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】函数xa y =（0>a ,1≠a ）的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛41,2P ，则=+++∞→)(lim 2n n a a a ______．14. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}na 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则na=________.15. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．16. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，则=2014S ________．考点：等比数列的前n 项和．17. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】计算：=+∞→133lim nnn ．二．能力题组1. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S .2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则()()()11112(2013)2014232013f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L 12014f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ （ ）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013213. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知函数()(2318,3133x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}na 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.4. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a. 换n 得12121111...2(1)5222n n a a a n --+++=-+（2n ≥），两式相减得122n n a =，12n n a +=，又1172a =，即114a =，故n a =⎩⎨⎧≥=+.2,21,141n n n . 考点：数列的通项公式.5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a ,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.6. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 ．7. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在nn n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π8. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a ．9. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】若函数2cos1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12n n a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）11. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}n a 满足142a =-,()()*+∈=-+N n n a a n n n ,11，则数列{}na 的前2013项的和2013S 的值是___________．三．拔高题组1. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1rs <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.2. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】已知数列{}n a 具有性质：①1a 为正数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，21n n a a =+；当n a 为奇数时，211-=+n n a a （1）若641=a ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若321,,a a a 成等差数列，求1a 的值；(3)设)3(321N m m a m ∈≥-=且，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：521--≤+m S m n又01210m a +=-=，20m a +=，…3. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】设项数均为k （*2,k k N ≥∈）的数列}{n a 、}{n b 、}{n c 前n 项的和分别为n S 、n T 、n U .已知*2(1,)n n a b n n k n N -=≤≤∈，且集合12{,,,,,,k k a a a b b b ={2,4,6,,42,4}k k -. （1）已知n n n U 22+=，求数列}{n c 的通项公式；（2）若4k =，求4S 和4T 的值，并写出两对符合题意的数列}{n a 、}{n b ；（3）对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对.1212{42,42,,42,42,42,,42}k k k a k a k a k b k b k b +-+-+-+-+-+-4. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n n S Aa Ba C =++，其中A 、B 、C 是常数.（1）若0A =，3B =，2C =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若1A =，12B =，116C =，且0n a >，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）试探究A 、B 、C 满足什么条件时，数列{}n a 是公比不为1-的等比数列.5. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为()2,3,4,n n =阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=；②1231n a a a a ++++=.（1）若数列{}n a 的通项公式是， 试判断数列{}n a 是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；（2）若等比数列{}n a 为()2*k k N ∈阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公式；（3）若一个等差数列{}n a 既是()2*k k N ∈阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；6. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】设二次函数)()4()(2R k kxx k x f ∈+-=，对任意实数x ，有26)(+≤x x f 恒成立；数列}{n a 满足)(1n n a f a =+.（1）求函数)(x f 的解析式和值域；（2）证明：当)21,0(∈n a 时，数列}{n a 在该区间上是递增数列；（3）已知311=a ，是否存在非零整数λ，使得对任意n N *∈，都有 ()12333312111log log log 12log 1111222n n n a a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+>-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 2)1(31n n +-+-λ 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.试题解析：（1）由 26)(+≤x x f 恒成立等价于02)6()4(2≤--+-x k x k 恒成立，从而得：⎩⎨⎧≤-+-<-0)4(8)6(042k k k ，化简得⎩⎨⎧≤-<0)2(42k k ，从而得2=k ，所以x x x f 22)(2+-=， …………3分 其值域为]21,(-∞. …………4分（2）解： 81)41(222)(221+--=-+-=-=-+n n n nn n n n a a a a a a f a a …………6分7. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．8. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】设函数n nnn x x x x f 2222)(22++++-= ． （1）求函数)(2x f 在]2,1[上的值域；（2）证明对于每一个*∈N n ，在[1,2]上存在唯一的n x ，使得0)(=n n x f ；（3）求)()()(21a f a f a f n +++ 的值．9. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}n a ，满足62=a ，n a a a a n n n n 11111=-++-++()*∈N n ， （1）求5431,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明；（3）己知02lim =∞→n n n ，设()*∈⋅=N n n a b n nn 2，记n n b b b b s ++++= 321，求n n S lim ∞→．21(1)(1)(21)k k a k k k +⇒-=+--1(1)(1)(1)(21)k k a k k k +⇒-=+-+.10. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】已知数列}{n a 满足121++=+n a a n n （*N ∈n ）．（1）若数列}{n a 是等差数列，求它的首项和公差；（2）证明：数列}{n a 不可能是等比数列；（3）若11-=a ，b kn a c n n ++=（*N ∈n ），试求实数k 和b 的值，使得数列}{n c 为等比数列；并求此时数列}{n a 的通项公式．11. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．试题分析：(1)只求2a ，只要在2321++=+n S S n n 中令1n =民，则有2121131233S a a S a =+=++=+，。
安徽2015届高考数学二轮复习之能力专项训练17Word版含答案
专题检测卷(十七)一、选择题1.(2012·陕西高考)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3，0)的直线，则( )(A)l与C相交 (B)l与C相切(C)l与C相离 (D)以上三个选项均有可能2.已知直线y=kx与圆x2+y2=3相交于M,N两点，则|MN|等于( )(D)3.已知一个圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y 轴上，则该圆的标准方程是( )(A)(x＋2)2＋(y－3)2＝13(B)(x＋2)2＋(y－3)2＝52(C)(x－2)2＋(y＋3)2＝52(D)(x－2)2＋(y＋3)2＝134.直线l：x=my+2与圆M：x2+2x+y2+2y=0相切，则m的值为( )(A)1或-6 (B)1或-7(C)-1或7 (D)1或1-75.(2012·咸宁模拟)已知圆x2+y2-4x-4y+4=0的弦 AB过点(1,1)，则AB的最短长度为( )(A)1 (B)16.(2012·黄冈模拟)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M，N两点，若|MN|≥则k的取值范围是( )(A)［3,-0］4(B)(-∞,3-］∪［0,+∞)4(C)［-］33(D)［2,-0］3二、填空题7.若存在直线l平行于直线3x-ky+6=0，且与直线kx+y+1=0垂直，则实数k＝________．8.若过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围是________.1)的直线l与圆C：(x-1)2+y2=4 9.(2012·华东师大附中模拟)过点M(1,2交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．三、解答题10.已知定点M(0,2)，N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).(1)若点M,N到直线l的距离相等，求实数k的值；(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围. 11.(2012·宝鸡模拟)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1,1)在AD边所在直线上.(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程；(3)若动圆P过点N(-2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程.12.已知⊙O：x2+y2=1和点M(4，2).(1)过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；(2)求以点M为圆心，且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程；(3)设P为(2)中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q.试探究：为定值？若存在，请举出一例，并平面内是否存在一定点R，使得PQPR指出相应的定值；若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选A.圆C的方程是(x-2)2+y2=4,∴点P到圆心C(2，0)的距离是d=1＜2,∴点P在圆C内部，∴直线l与圆C相交.2.【解析】选D.因为圆x2+y2=3的圆心坐标为(0，0)，半径为所以圆心到直线y=kx的距离，即该直线过圆心，因此MN为该圆的直径，其长度为【方法技巧】圆的弦长的求解策略(1)根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l=其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)；(2)根据求直线被圆所截得的弦长的方法解决，l12x x-｜ (其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率).(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.3.【解析】选D.∵圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，∴一直径的两个端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，=因此圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.4.【解析】选B.圆的方程化为(x+1)2+(y+1)2=2，由直线与圆相切，可=解得m=-7或1. 故选B.5.【解析】选D.AB 最短，则应与过点(1,1)的直径垂直，此时，圆心到AB又∵圆的半径为2， ∴此时AB的长为6.【解析】选A.∵|MN|≥而圆(x-3)2+(y-2)2=4的半径为2，∴圆心到直线的距离小于等于1. ∵圆心(3，2)到直线y=kx+3的距离1，解得：34-≤k ≤0.7.【解析】当k=0时，直线l 的斜率不存在，而直线kx+y+1=0的斜率为0，因此合题意.当k ≠0时，依题意得：3k k 1-（） =-1，此时无解. 综上可知：k=0. 答案：0【易错提醒】本题易漏掉k=0的情形，造成无解或填不上正确答案. 8.【解析】将x 2+y 2-2ax+a 2+2a-3=0配方得(x-a)2+y 2=-2a+3，由其表示圆，则-2a+3>0得a<32；又过点A(a,a)可作圆的两条切线，则点A 应在圆外，所以(a-a)2+a 2>-2a+3，即a 2+2a-3>0， 解得a<-3或a>1. 又a<3,2故a<-3或31a .2<< 答案：a<-3或31a 2<<9.【解析】要∠ACB 最小,即要使∠ACB 所对的边最短,即要过M 点的弦长最短,过M 点的弦长最短就是：先作直线MC,再作出过M 点与MC 垂直的直线,那么这条直线就是过M 点弦长最短的线,那条直线就是要求的l .∵MC 1101k 2k 1212-==-∴=-，，∴所求直线方程为y-1=11x 22-（），即2x-4y+3=0. 答案：2x-4y+3=010.【解析】(1)∵点M,N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点. ∵M(0,2),N(-2,0)，∴k MN =1，MN 的中点坐标为C(-1,1). 又∵直线l :kx-y-2k+2=0过点D(2,2), 当l ∥MN 时，k=k MN =1, 当l 过MN 的中点时，k=k CD =1,3综上可知：k 的值为1或1.3(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径，解得：k ＜17-或k ＞1. 11.【解析】(1)因为AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3. 又因为点T(-1，1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y-1=-3(x+1). 3x+y+2=0. (2)由x 3y 60,3x y 20--=⎧⎨++=⎩，解得点A 的坐标为(0,-2)，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2，0). 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心. 又从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y 2=8.(3)因为动圆P 过点N ，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以|PM|=|PN|+即|PM|-|PN|=故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为. 因为实半轴长半焦距c=2. 所以虚半轴长从而动圆P 的圆心的轨迹方程为22x y 1(x 22-=≤ 12.【解析】(1)设切线l 方程为y-2=k(x-4)1,=解得所以切线l 的方程为y-2=)8x 415-即y=82x 1515+--+y=82x 1515-++(2)圆心到直线y=2x-1设圆的半径为r,则222r 2=+=9 所以⊙M 的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点R(a,b)，点P 的坐标为(x,y)，相应的定值为λ. 根据题意可得.x a y b =λ-+-即x 2+y 2-1=λ2(x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2)(*)， 又点P 在⊙M 上，∴(x-4)2+(y-2)2=9， 即x 2+y 2=8x+4y-11， 代入(*)式得：8x+4y-12=λ2［(8-2a)x+(4-2b)y+(a 2+b 2-11)］ 若系数对应相等，则等式恒成立，所以()22222(82a)842b 4a b 1112⎧λ-=⎪λ-=⎨⎪λ+-=-⎩，，（）， 解得a=2,b=1,λ21a ,b ,553==λ= 可以找到这样的定点R ，使得PQPR为定值.如点R 的坐标为(2，1)时，比点R 的坐标为(2155，)。
江西2015届高考数学二轮专题复习之专项检测38Word版含答案
38 “排列、组合”的常考问题1．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是________． 答案 56解析 满足S ⊆A 时，S 可以是{1,2,3,4,5,6}的一个子集，有26＝64个，满足S ∩B ≠∅时，S 不可以是集合{1,2,3}和它的子集，有23＝8个，所以同时满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是64－8＝56个．2．(2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________．答案 18解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18. 3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为________． 答案 1 296解析 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4＝1 296种．4．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．答案 66解析 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C 45＝5(种)； 二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．5．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．答案 12解析 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2(种)选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．6．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是________．答案 840解析 从下层8件中取2件，有C 28种取法，放到上层时，若这两件相邻，有A 15A 22种放法，若这两件不相邻，有A 25种放法，所以不同调整方法的种数是C 28(A 15A 22＋A 25)＝840.7．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________． 答案 472解析 分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C 14C 212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．8．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．答案 252解析 无重复的三位数有：A 39＋A 12A 29＝648个．则有重复数字的三位数有：900－648＝252个．9．(2014·四川改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．答案 216解析 第一类：甲在左端，有A 55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A 44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．10．方程ay ＝b 2x 2＋c 中a ，b ，c ∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条．答案 62解析 显然a ≠0，b ≠0，故该方程等价于y ＝b 2a x 2＋c a. ①当c ＝0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取2个数作为a ，b 的值，有A 25＝20种不同的方法，当a 一定，b 的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4×3＝12条，所以此时不同的抛物线有A25－6＝14条．②当c≠0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取3个数作为a，b，c的值有A35＝60种不同的方法．当a，c值一定，而b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4A23＝24条，所以此时不同的抛物线有A35－12＝48条．综上，不同的抛物线有14＋48＝62条．11．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)答案14解析若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位、十位、百位、千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有16个4位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．12．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)答案48解析①只有1名老队员的排法有C12·C23·A33＝36种；②有2名老队员的排法有C22·C13·C12·A22＝12种．所以共48种．13．(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法．于是符合题意的排法共有A22A44－A22A33＝36(种)．14．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．答案60解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.15．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，...，99.3位回文数有90个：101,111,121，...，191,202， (999)则：(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．答案(1)90(2)9×10n解析(1)4种回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9(1～9)种情况，第二位有10(0～9)种情况，所以4位回文数有9×10＝90种．(2)由上面多组数据研究发现，2n＋1位回文数和2n＋2位回文数的个数相同，所以可以算出2n＋2位回文数.2n＋2位回文数只用看前n＋1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为9×10n.16．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为________．答案260解析方法一如图将4个方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种涂上，有5种不同涂法．①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有2C24种不同涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步计数原理，知此时有5×2C24×3＝180(种)不同的涂法．②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时有4种涂法，此时第4个小方格也有4种不同的涂法．由分步乘法计数原理，知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．由分类加法计数原理，知共有180＋80＝260(种)不同涂法．方法二如图将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是C25·A22＝20，如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是C35·A33＝60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个小方格只能用第3种颜色，方法种数是C35×3×2＝60；如果使用4种颜色，方法种数是C45·A44＝120，根据分类加法计数原理知总的涂法有20＋60＋60＋120＝260种．。
2015年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷(理科)
2015年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合M={x|x2-4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A.10B.12C.14D.162.设i是虚数单位，则|（1+i）-2i|=（）A.2B.22C.3D.103.已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，12a3，2a2成等差数列，则a20+a19a18+a17=（）A.1B.3C.6D.94.给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=π6”是“sinα=12”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③5.已知函数f（x）=x2-2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d-1），a3=f（d+1），则{a n}的通项公式为（）A.2n-2B.2n+1C.2n+3D.n+26.若实数x，y满足y≤2|x|−y+1≤0，则z=x+yx−2的最小值为（）A.-2B.-3C.-4D.-57.已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（PA+PB）•PC的最小值为（）A.-92B.92C.-2D.28.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A.S丙2＞S乙2＞S甲2B.S甲2＞S丙2＞S乙2C.S丙2＞S甲2＞S乙2D.S乙2＞S丙2＞S甲29.如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A.1 16B.332C.14D.1210.已知圆x2+y2=4，点A（3，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA的最大值为（）A.π6B.π4C.π3D.π211.已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且AP•AB的最小值为2，则a=（）A.-2B.-1C.2D.112.已知圆O1：（x-2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A.3+224B.32C.2D.38二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.二项式（2x-x）6展开式中常数项是______ ．14.已知数列{a n}满足a n+1=1+a n1−a n （n∈N+），若a1=12，则a2015= ______ ．15.已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为______ ．16.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是______ ．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知函数f（x）=23sinxcosx-cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（A2+π12）=115，f（B2+π3）=2313，求sin C的值．18.如图，在三棱锥P-ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P-ABC的体积V P-ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．20.已知点F（3，0），圆E：（x+3）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当OA•OB=λ，且满足12≤λ≤23时，求△AOB面积S的取值范围．21.已知函数f（x）=x-ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．22.如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB 交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．23.在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为x=2−22ty=6+22t（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．24.已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．。
江西2015届高考数学二轮专题复习之专项检测27Word版含答案
27 立体几何中的计算问题1．(2014·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．答案 81π4解析 如图，设球心为O ，半径为r ， 则Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以，该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.2．(2014·福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为________． 答案 2π解析 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r ＝1，高h ＝1，所以侧面积S ＝2πrh ＝2π.3．(2013·辽宁改编)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．答案 132解析 因为AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l ＝32＋42＋122＝2R ，R ＝132.4．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________． 答案 60°解析 取BC 中点E ，连结AE ，则AE ⊥平面BCC 1B 1，故∠ADE 为直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为a ，则AE ＝32a ，DE ＝12a .∴tan ∠ADE ＝ 3.∴∠ADE ＝60°.5.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________． 答案 平行解析 取PD 的中点F ，连结EF ，在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ， ∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形， ∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .6．已知两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内部，且互相外切，若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切，球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切，则球O 1和球O 2的表面积之和的最小值为________． 答案 (6－33)π解析 设球O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2， 由题意知O 1A ＋O 1O 2＋O 2C 1＝3，而O 1A ＝3r 1，O 1O 2＝r 1＋r 2，O 2C 1＝3r 2，∵3r 1＋r 1＋r 2＋3r 2＝ 3.∴r 1＋r 2＝3－32， 从而S 1＋S 2＝4πr 21＋4πr 22＝4π(r 21＋r 22)≥4π·(r 1＋r 2)22＝(6－33)π.7.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度为______． 答案2解析 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2. 又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.8．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2， 由S 1S 2＝94， 得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32.9.如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体PDEF (点A 、B 、C 重合后记为P )，则四面体中异面直线PG 与DH 所成角的余弦值为________．答案 23解析 折成的正四面体如图所示，连结HE ，取HE 的中点K ，连结GK ，PK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32，PK ＝ 12＋⎝⎛⎭⎫322＝72，故cos ∠PGK ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫7222×3×32＝23.即异面直线PG 与DH 所成角的余弦值为23.10. (2013·安徽)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34<CQ <1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62.答案 ①②③⑤解析 ①当0<CQ <12时，如图(1)．在平面AA 1D 1D 内，作AE ∥PQ ，显然E 在棱DD 1上，连结EQ ， 则S 是四边形APQE .②当CQ ＝12时，如图(2)．显然PQ ∥BC 1∥AD 1，连结D 1Q ， 则S 是等腰梯形．③当CQ ＝34时，如图(3)．作BF ∥PQ 交CC 1的延长线于点F ，则C 1F ＝12.作AE ∥BF ，交DD 1的延长线于点E ，D 1E ＝12，AE ∥PQ ，连结EQ 交C 1D 1于点R ，∵Rt △RC 1Q ∽Rt △RD 1E ， ∴C 1Q ∶D 1E ＝C 1R ∶RD 1＝1∶2，∴C 1R ＝13.④当34<CQ <1时，如图(3)，连结RM (点M 为AE 与A 1D 1交点)，显然S 为五边形APQRM .⑤当CQ ＝1时，如图(4)．同③可作AE ∥PQ 交DD 1的延长线于点E ，交A 1D 1于点M ，显然点M 为A 1D 1的中点，∴S 为菱形APQM ，其面积为12MP ×AQ ＝12×2×3＝62.11．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示．设内接圆柱的半径为r .因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R Hx ，所以S 圆柱侧＝2πrx＝2πRx －2πR H x 2(0<x <H )．(2)因为－2πR H <0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．12．(2014·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点． (1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积．(1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， BB 1⊥底面ABC ， 所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1，又因为AB ⊂平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明 取AB 的中点G ，连结EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.。
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17导数的综合应用1．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________．答案②③解析f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)＝3(x－1)(x－3)，函数f(x)和导函数f′(x)的大致图象如图所示：由图得f(1)＝1－6＋9－abc＝4－abc>0，f(3)＝27－54＋27－abc＝－abc<0，且f(0)＝－abc＝f(3)<0，所以f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.2.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为________．答案③解析根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除①④；从适合f′(x)＝0的点可以排除②.3．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒成立，则a 的最大值为________．答案 0解析 设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2.当x ∈[12，1)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在[12，1)上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.4．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为________． 答案 (0，＋∞)解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ， 因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数． 又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.5．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－4,0)解析 由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可， 又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2. 当x <0或x >2时，f ′(x )>0； 当0<x <2时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，f (x )取得极大值， 即f (0)＝－a ，当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (2)＝－4－a .所以⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a <0，解得－4<a <0.6．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图，下列关于函数f (x )①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的个数是________． 答案 1解析 首先排除①，不能确定周期性；f (x )在[0,2]上时，f ′(x )<0，故②正确；当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，结合原函数的单调性知0≤t ≤5，所以排除③；不能确定在x ＝2时函数值和a 的大小，故不能确定几个零点，故④错误．7．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．8．某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 答案 40解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0. 即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)． 当x >40时，y ′>0，当0<x <40时，y ′<0， 所以当x ＝40时，y 最小．9．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________． 答案 2∶1解析 设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝⎛⎭⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1.10．(2013·重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 又根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．11．(2013·江苏)已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．(1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a－1与a e －1的大小，并证明你的结论．(1)证明 因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e－(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)解 由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令t ＝e x (x >0)，则t >1，所以m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t >1成立． 因为t －1＋1t －1＋1≥2(t －1)·1t －1＋1＝3，所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立．因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)解 令函数g (x )＝e x ＋1ex －a (－x 3＋3x )，则g ′(x )＝e x －1e x ＋3a (x 2－1)．当x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0，又a >0，故g ′(x )>0.所以g (x )是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是g (1)＝e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋3x 0)<0成立， 当且仅当最小值g (1)<0.故e ＋e －1－2a <0，即a >e ＋e －12.令函数h (x )＝x －(e －1)ln x －1，则h ′(x )＝1－e －1x .令h ′(x )＝0，得x ＝e －1. 当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0， 故h (x )是(0，e －1)上的单调减函数； 当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0， 故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调增函数， 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)． 注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时， h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0；当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时，h (x )<h (e)＝0. 所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立．①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1>(e －1)ln a ， 从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时， h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ， 故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.12．(2013·陕西)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的反函数的图象在点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；(3)设a <b ，比较f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2与f (b )－f (a )b －a 的大小，并说明理由． (1)解 f (x )的反函数为g (x )＝ln x ，设所求切线的斜率为k ，∵g ′(x )＝1x，∴k ＝g ′(1)＝1.于是在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(2)证明 方法一 曲线y ＝e x 与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x －12x 2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x )存在零点x ＝0.又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x －x －1， 则h ′(x )＝e x －1，当x <0时，h ′(x )<0，∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减； 当x >0时，h ′(x )>0，∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴φ′(x )在x ＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上是单调递增的，∴φ(x )在R 上有唯一的零点，故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．方法二 ∵e x >0，12x 2＋x ＋1>0，∴曲线y ＝e x与y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线y ＝12x 2＋x ＋1e x与y ＝1公共点的个数，设φ(x )＝12x 2＋x ＋1e x，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x )＝(x ＋1)e x －(12x 2＋x ＋1)e x e 2x＝－12x 2e x ≤0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上单调递减，∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点， 故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．(3)解 f (b )－f (a )b －a －f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝e b －e ab －a －e 2a b +＝e b －e a－b e 2a b +＋a e2a b +b －a ＝e 2a b +b －a[e 2b a -错误！未找到引用源。