精品解析：【全国百强校】江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试题(原卷版)

精品解析：【全国百强校】江西省上高二中2019届高三上学期第四次月考数学(理)试题(解析版)

【全国百强校】江西省上高二中2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题 :本大题共12小题, 每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数212ii+-的共轭复数是( ) A. i - B. ｉC. 35i -D.35i 【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论. 【详解】()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+，故其共轭复数为i -.所以选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.2. 设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x —2)<1}，B ＝{x |y ＝ln (1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A. {x |x ≥1}B. {x |1≤x <2}C. {x |0<x ≤1}D. {x |x ≤1} 【答案】B 【解析】【详解】由图中阴影部分表示集合A ∩∁U B .A ＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，∴∁U B ＝{x |x ≥1}，∴A ∩∁U B ＝{x |1≤x <2}．3. 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于( ) A. 6 B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2…×a 8） ==4lg10 =4．故选C ．考点：等比数列的前n 项和．4. 若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准函数20x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()1,2处取得最大值为4.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题.目标函数是线性型目标函数.属于基础题.5. 已知,,a b c ∈R ,函数()2f x ax bx c =++，若(0)(4)(5)f f f =>，则A. 0,40a a b >+=B. 0,40a a b <+=C. 0,20a a b >+=D. 0,20a a b <+=【答案】B 【解析】【详解】因为()()04f f =，即164c a b c =++，所以40a b +=；又()()05f f >，即255c a b c >++，所以50a b +<，即()540a a +-<，故0a <，故选B. 6. 已知51cos()123πα+=，且2ππα-<<-，则cos()12πα-等于（）A.3B.13C. 13-D. 3-【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式将5cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的形式，然后利用同角三角函数关系式求得cos 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】依题意5ππ5ππ1cos sin sin 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于2ππα-<<-，属于7ππ13π121212α<-<，故πcos 12α⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查同角三角函数的基本关系式中的平方关系.对于三角函数πsin 2k α⎛⎫⋅± ⎪⎝⎭的化简，遵循这样的原理“奇变偶不变，符号看象限”.其中“奇偶”说的是k 是奇数还是偶数.在运用三角函数的基本关系式是，要注意角的终边所在的象限引起的三角函数值正负的变化.7. 知11617a =，16log b =，17log c =，则a ，b ，c的大小关系为（）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】A 【解析】【详解】由题易知：11716171111171log log 171log log 1602222a b c ⎛⎫⎛⎫=>==∈==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，∴a b c >> 故选A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 8.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴相邻交点的横坐标相差2π，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象.关于函数()g x ，下列说法正确的是（） A. 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B. 其图象关于直线4πx =-对称 C. 函数()g x 是奇函数 D. 当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 【答案】D 【解析】【分析】由已知可求出函数()f x 的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数()y g x =的解析式，根据余弦函数的性质分析出函数的奇偶性、单调性、对称性以及函数的值域．【详解】函数()cos 2sin()6f x x x x ωωωπ=+=+又函数()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于22T π=，故函数的最小正周期T π=，又0ω>，2ω∴=故()2sin(2)6f x x π=+将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位可得： ()2sin[2()]2cos266y g x x x ππ==++=；函数()g x 是偶函数，C 错；令222k x k πππ-，即2k x k πππ-+，k Z ∈故函数()y g x =的增区间为[2k ππ-+，]k π，k Z ∈在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是增函数，A 错；4πx =-时，()2cos 042g ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，不是最值，4πx =-不是对称轴，B 错；由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得，2,343x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]1cos 21,2cos 22,12x x ⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎣⎦，D 正确，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的周期性、三角函数图象的平移变换法则，两角和与差的正弦函数、诱导公式，余弦函数的奇偶性、单调性、对称性与值域，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键．9. 已知函数21,0()(2)1,0x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把函数1()()2=-g x f x x 的偶数零点按从小到大的顺序排成一个数列，该数列的前10项的和10S 等于（） A. 45 B. 55 C. 90 D. 110【答案】C 【解析】【详解】当02x <≤时，有220x -<-≤，则()()2212x f x f x -=-+=，当24x <≤时，有022x <-≤，则()()42121x f x f x -=-+=+，当46x <≤时，有224x <-≤，则()()62122x f x f x -=-+=+，当68x <≤时，有416x <-≤，则()()82123x f x f x -=-+=+，以此类推，当222n x n <≤+（其中n N ∈）时，则()()22212x n f x f x n --=-+=+，∴函数()2x f x =的图象与直线112y x =+的交点为：01（，）和112-（，），由于指数函数()2x f x =为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点，将函数()2xf x =和112y x =+的图象同时向下平移一个单位，即得到函数21x f x =-（）和12y x =的图象，取0x ≤的部分，可见它们有两个交点00（，），112--（，）即当0x ≤时，方程()102f x x -=有两个根1x =-，0x =；当02x <≤时，由函数图象平移可得()()12g x f x x =-的零点为1，2；以此类推，函数()y f x =与12y x =在24]（，，46]（，，…，2n 2n 2]+（，上的零点分别为：3，4；5，6；…；21n +，2n 2+；综上所述函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为21n a n （）=-，前10项的和为101092100902S ⨯⨯=⨯+＝，故选C. 点睛：本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题；由分段函数解析式得到函数()f x 在0x >时的分段解析式，首先求得函数()()12g x f x x =-在20]-（，上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数()()12g x f x x =-在02]（，，24]（，，46]（，，…，2n 2n 2]+（，上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n 项和得答案.10. 如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝2π，2AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则•CE BD =（）A. 12-B. －2C. 0D.2【答案】B 【解析】【分析】以B 为原点建立平面直角坐标系，利用“向量CD 在向量BC 上的投影为12-”求得D 点的坐标，由此求得•CE BD 的值.【详解】以B 为原点建立平面直角坐标系，故()22,0,0,2C E ⎛ ⎝⎭，设D 的坐标为(2a ，则()()2,2,2,0CD a BC =-=，根据“向量CD 在向量BC 上的投影为12-”有241222CD BC a a BC⋅-==-=-，解得32a =，即322D ⎛ ⎝.所以232,,231222CE BD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B. 【点睛】本小题主要考查利用坐标法解决有关几何以及向量运算的问题.建立平面直角坐标系后利用向量数量积的运算来求解相应的结果.11. 已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N∈若()n S f n =，则41n n S aa --的最小值为（）A.276B.358 C.143D.378【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．由题意可得或2842822a a a +-+-=⨯-（），解得a=1或a=-4，当a=-1时，2712f x x x =+-（），数列{a n }不是等差数列；当a=-4时，24f x x x =+（），24n S f n n n （）==+， ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，，()22(1)21134416112221n n n n S a n n a n n ++++-++∴==⨯-++11311221212n n ⎡⎤=⨯+++≥=⎢⎥+⎣⎦（）（），当且仅当1311n n +=+，即1n =时取等号， ∵n 为正数，故当n=3时原式取最小值378，故选D ．考点：等差数列通项公式；基本不等式【方法点睛】利用基本不等式求最值的方法及注意点（1）知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．（2）知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．（3）构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．（4）利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数（或式）均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．12. 已知定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的x ∈R ，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()()221f x x =--+.若函数()1112y f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,+∞上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,33⎛⎫⎪⎝⎭C. 1212,3713⎛⎫⎪⎝⎭D. 124,373⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得()1f 的值，判断函数为周期函数，利用周期性和关于y 轴对称画出函数的图像.分析函数()f x 与函数1112y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的交点个数，由此求得实数a 的取值范围.【详解】由于函数为偶函数，当1x =-时，()()()1211f f f -+=--，即()10f =，故()()2f x f x +=，所以函数是周期为2的周期函数，且为偶函数.令()11012f x a x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得到()1112f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，也即函数()f x 图像与函数1112y a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像有三个交点，画出两个函数图像如下图所示.由图可知，要使两个函数图像有三个交点，则需直线的斜率a 在两条切线的斜率之间.当[]1,2x ∈时，()()221f x x =--+，将1112y a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭代入并化简得()21143012a x a x +-+-=，其判别式()211443012a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得43a =.同理，当[]3,4x ∈时，()()241f x x =--+，将1112y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入化简后，同样令判别式为零，求得13a =.所以实数a 的范围是14,33⎛⎫⎪⎝⎭.故选B.【点睛】本小题主要考查抽象函数的奇偶性、图像的对称性，考查函数零点问题的处理策略，考查直线和抛物线相切的表示方法.对于函数给定一段区间的表达式的题目，可以根据函数变换的关系，找到函数的周期，然后可以根据周期性和奇偶性画出函数的图像.零点问题一般可以转化为两个函数图像交点的问题来解决.二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13. 若1123ln 2ax dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰()1a >，则a 的值是__________．【答案】2 【解析】【详解】试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.14. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若54cos ,cos ,1135BC c ===,则a =______. 【答案】2113【解析】【分析】先求得sin ,sin B C 的值，再求得()sin sin A B C =+的值后，利用正弦定理求得a 的值. 【详解】由于cos B 和cos C 都是正数，故,B C 为锐角.故123sin ,sin 135B C ==，故()481563sin sin sin cos cos sin 656565A B C B C B C =+=+=+=，由正弦定理得sin 21sin 13c A a C ==. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形的内角和定理以及利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题.15. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE ＝m AB ＋AD ，则实数m 的值为________.【答案】13【解析】【分析】先求出AN ＝34AD ＋14AB ，因为A ，N ，E 三点共线，故AE ＝λAN ，化简得1,4314m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解方程组即得解.【详解】由N 是OD 的中点，得AN ＝12AD ＋12AO ＝12AD ＋14(AD ＋AB )＝34AD ＋14AB ，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE ＝λAN ，即m AB ＋AD ＝λ3144AD AB ⎛⎫+⎪⎝⎭，又,AB AD 不共线，所以1,4314m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得1343m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故实数m ＝13. 故答案为：13【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量共线定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16. 已知函数()32ln ,()2()f x x g x x ex kx k R ==-+∈,若函数()()y f x g x =-有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______（填写正确序号） ①.21k e e=+②.函数()g x 在(,())e g e 处的切线与直线0x ey -=平行 ③.函数2()2y g x ex =+在[0,]e 上的最大值为221e + ④.函数2()x y g x e x e=-- [0,1]上单调递减【答案】①②④ 【解析】【分析】令()()0f x g x -=，化简为23ln 2e x x x kx +=+，化为两个函数()()23ln 2e ,m x x x n x x kx =+=+，利用两者只有一个交点，则在这一交点的切线的斜率相等，由此列方程求出k 的值.然后对四个命题利用导数进行逐一判断，由此得出正确的结果. 【详解】令()()0f x g x -=，化简得23ln 2e x x x kx +=+，化为两个函数()()23ln 2e ,m x x x n x x kx =+=+，()24e 1x m x x='+，()23n x x k ='+，由于两个函数只有一个交点，故在交点处有相同的交点坐标以及相同的斜率.即2223413,(1)ln 2(2)ex x k xx ex x kx ⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，（1）式两边乘以x ，然后减去（2）式，得23212ln ex x x +-=，注意到当x e =时，等式成立，故x e =，代入（1）求得21k e e=+.所以①正确.由()32212e e e g x x x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，()22134e e e g x x x ⎛⎫=-++ ⎝'⎪⎭，当e x =时，()1e e g '=，而直线0x ey -=斜率为1e ，故②正确.对于③，321e e y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其导数2213e 0e y x =++>'，函数单调递增，故当ex =时有最大值为32e 1+，故③错误.对于④，322e y x x =-，其导数()234e 34e y x x x x =-=-'，故函数在4e 0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以也在[]0,1上递减，故④正确.综上所述，正确的有①②④.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数研究两个函数有一个交点的策略.属于难题.三、解答题17. 已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]． (1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．【答案】（1）3；（2）92【解析】【详解】试题分析:（1）根据不等式解集为对应方程的解得0,4为m －|x －2|=1两根，解得m 的值；（2）由柯西不等式得(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2，代入条件a ＋b ＝3，即得a 2＋b 2的最小值．试题解析：(1)不等式m －|x －2|≥1可化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1. ∵其解集为[0，4]，∴∴m ＝3.(2)由(1)知a ＋b ＝3，∵(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2＝(a ＋b )2＝9， ∴a 2＋b 2≥，∴a 2＋b 2的最小值为.18. 设向量()2cos 2,2,1,cos 3a x b x π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中x ∈R ，且函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设函数()224g x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求()f x 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点.【答案】（1）π；（2）724π-和24π- 【解析】【详解】试题分析：（1）由题意，可化简得()213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可计算函数的最小正周期；（2）由题意知，化简得()26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()0g x =得，求得方程的根，即可得到函数()g x 的零点.试题解析:（1）()2π1f x cos 2x 2cos x cos2x 1cos2x 32⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭3πcos2x 12x 123⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为2πT π2==.（2）由题意知，()πππg x 2f x 22x 443⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2x 6⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 0=得，πsin 2x 62⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当ππx ,34⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2x ,663⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴π3π2x 64-=-或ππ2x 64-=-，即7πx 24=-或πx 24=-.∴函数()g x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点是7π24-和π24-.19. 已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝()-1na n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和. 【答案】（1）21n a n =-；（2）当n 偶数时，312n n S n -=+.当n 为奇数时，312nn S n -=-+.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想将已知条件转化为11,,,a d b q 的形式，解方程组求得11,,,a d b q 的值，由此求得数列,n n a b 的通项公式.（2）对n 分成奇数和偶数两种情况，利用分组求和法求的数列的前n 项和. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由212313,9b b q b b q ==⎧⎨==⎩得11111,33.n n n b b b q q --=⎧∴==⎨=⎩，又()41111441,327,114127a b a b d -=====∴+-=，解得2d =.()()()11112211,2,3,n a a n d n n n ∴=+-=+-⨯=-=⋅⋅⋅.(2)由(1)知121,3n n n a n b -=-=，因此()()()1-1-1213n nn n n n c a b n -=+=-+.从而数列{}n c 的前n 项和当n偶数时，()113311321133132n n n n S n n n ---=-+-⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+=+-. 当n 为奇数时，()()1113311321133122132n n n n n S n n ----=-+-⋅⋅⋅--+++⋅⋅⋅+=-+-⨯+=-+- 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差和等比数列的通项公式，考查了分组求和法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.题目给定数列为等差或者等比数列的情况下，将已知条件转化为11,,,a d b q ，通过解方程组的方法求得这四个基本量，这是解数列题常用的方法.20. 如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进10米后到达点B ，又从点B 测得斜度为α，建筑物的高CD 为5米．（1）若30α=︒，求AC 的长；（2）若45α=︒，求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．【答案】（1）56522）cos 31θ=【解析】【分析】（1）在ABC 中利用正弦定理可求AC 的长.（2）在ABC 中利用正弦定理可求BC 的长，在BCD △利用正弦定理算出sin BDC ∠后可得BCD ∠的大小，从而可以得到CAE ∠的大小. 【详解】（1）当30α=︒时，150,15o o ABC ACB BAC ∠=∠=∠=，所以10BC AB ==，由余弦定理得：222101021010cos1502001003AC =+-⨯⨯⨯︒=+故10235652AC =+=（2）当45α=︒，在ABC 中，由正弦定理有sin 622062)sin 4AB BAC BC ACB ⋅∠==⋅=∠，在BCD △中，sin sin 31BC DBCBDC CD⋅∠∠==，又cos cos sin 312ADC ADC πθ⎛⎫=∠-=∠= ⎪⎝⎭. 【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．21. 在数列中{}n a ，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求n a ；（2）设2nn n b S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析；(2)1(23)26n n T n +=-+.【解析】【详解】试题分析：(1)由题中所给的递推关系证得1112n n S S --=，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)结合(1)中的结论求得通项公式()221nn b n =⨯-，然后错位相减可得()12326n n T n +=-+.试题解析：（1）证明：由递推式得112n n n n S S S S --=-，从而1111221n n n S S S n --=⇒=-，则121nn S =-，据此：()()111212112n n n n S S -⎡⎤-=----=⎣⎦. 据此可得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）结合(1)的结论可得：数列{}n b 的通项公式为：()2221nn n nb n S ==⨯-，则：()()()()123221122212231221n n T n =⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-++⨯-，① ()()()()23412221122212231221n n T n +=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-++⨯-，②①-②整理可得：()12326n n T n +=-+.22. 已知函数21()2ln(2)2f x x x a x =-++（其中a R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =有两个极值点12x x 、，且12x x <，求证：21()f x x >. 【答案】（1）见解析;（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析:（1）先求导数，根据二次方程判别式讨论导函数符号，根据导数符号确定单调性（2）先根据极值点化简所证不等式为：()()22212ln 202x x x ++->；再利用导数研究函数()()1ln 1,?2,42g t t t t t =-+∈的单调性，最后根据单调性确定不等式成立试题解析：（1）()()212ln 22f x x x a x =-++∴定义域为()()242,,222a x af x x x x -+-+∞=-+='++ 当4a ≥时，()0f x '≥；当04a <<时，令()0f x '>，解2x -<<x >()0f x '<，解x <<当0a ≤时，令()0f x '>，得x >()0f x '<，得2x -<<所以当()f x 在()2,-+∞上单调递增；当04a <<时，()f x 的单调递增区间为()2,,-+∞；单调递减区间为(；当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为(-；单调递增区间为)+∞；（2）由（1）可知，()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，则04a <<时，且12x x == 要证()21f x x >，即证()220f x x +>，即证()()2222222124ln 202x x x x x -+-++>，即证()()22222214ln 202x x x x -+-+>，又2202,20x x <-，即证()()22212ln 202x x x ++->；令22x t +=，则()2,4t ∈，设()()11ln 1,ln 22g t t t t g t t '=-+=+，而()()2,4,0t g t ∈'>，即()g t 在()2,4单调递增；()()22ln20g t g ∴>=>，即()()22212ln 202x x x ++->成立；所以()21f x x >.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试题(精品解析)

江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的.1.若复数z，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】由题意首先求得a 的值，然后确定复数的虚部即可. 【详解】由题意可得：，满足题意时，有：，解得：，则，由共轭复数的定义可得：，故复数的虚部为.本题选择C 选项. 【点睛】这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0. 2.设集合，，则中整数元素的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B 【解析】集合，.，整数有3，4，5，6.共四个。

故答案为B 。

3.已知，,，则它们的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合指数函数的性质和幂函数的性质比较大小即可.【详解】由幂函数的性质可知在区间上单调递增，由于故，即，由指数函数的性质可知在区间上单调递增，由于故，即，综上可得.本题选择D选项.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（）A. 若，则B. 若，是在内的射影，，则C. 若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由题意逐一考查所给命题是否正确即可.【详解】逐一分析所给的选项：A中，在如图所示的正方体中，若取直线为，为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误；由射影定理可知选项B正确；选项C中，若，结合线面垂直的性质定理可知，平面或，题中的说法错误；选项D中，在如图所示的正方体中，若取平面为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误.本题选择B选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.5.已知数列是公差为的等差数列，为数列的前项和.若成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求得数列的首项，然后求解其前n项和即可.【详解】由题意可得：，即：，解得：，则.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查等比中项的应用，等差数列前n项和的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.函数y＝e|ln x|－|x－2|的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先将函数的解析式写成分段函数的形式，然后确定其图像即可.【详解】由题意可知，当时，，当时，，当时，，结合题中所给的函数图像可知，只有选项C符合题意.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查函数图像的识别，分段函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.若对于任意都有，则函数图象的对称中心为（）A. （）B. （）C. （）D. （）【答案】D【解析】∵，∴，解得：，∴，令，则，，即函数图象的对称中心为（）.故选：D8.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可得此几何体的直观图如图，由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，底面，，底面是一个上下边长分别为和，高为的直角梯形，体积，所以，故选B．考点：三视图．9.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先整理函数的解析式，然后结合最小正周期公式求解的值即可.【详解】由题意可得：，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则满足题意时有：，结合最小正周期公式可得：，解得：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数的周期公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（）A. 24B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先确定三角形的形状，然后建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算确定点P的坐标即可求解数量积.【详解】由可得：，则，即，以点坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，则：，当，即时取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11.2018年9月24日, 英国数学家M.F阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动. 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和, 记A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用不等式放缩后裂项确定S的范围即可.【详解】由题意可知：，且，综上可得：.本题选择C选项.【点睛】本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12.函数满足，，若存在，使得成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意设，则，所以（为常数）．∵，∴，∴，∴．令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增．∴，从而当时，，∴在区间上单调递增．设，则，故在上单调递增，在上单调递减，所以．∴不等式等价于，∴，解得，故的取值范围为．选A．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数，并进一步求得函数的解析式，从而得到函数在区间上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数，若，则______．【答案】-7【解析】【分析】由题意函数，由，求得，进而可求得的值.【详解】由题意函数，因为，则，则，则．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值问题，其中解答中利用函数的奇偶性性和，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.设实数x，y满足则u＝的取值范围是________．【答案】[－，]【解析】试题分析：令，作出可行域，可知可视为，连线的斜率，且为关于的增函数，所以.考点：1.线性规划；2.函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查学生的是线性规划的基本知识和复合函数的单调性的应用,属于基础题目.首先要画出约束条件的可行域,画图时注意观察题中不等式的端点是否有等号,画出的直线有实虚之分,再求出可行域中各交点坐标,根据目标函数的集合意义,先求出斜率的取值范围,代入函数中转化为单调函数的定义域,从中求出值域.15.若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围．【答案】【解析】试题分析：,所以函数的极值点为，又函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，所以，解之得.考点：导数与函数单调性、极值.16.已知三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的大圆面积为________．【答案】【解析】试题分析：如下图所示，设的中点为，，连结，因为，所以，又平面平面，所以平面，又因为是等腰直角三角形，所为的外心，，所以球心一定在直线上，，所以球心在线段的延长线上，设，则三棱锥外接球半径，即，解得，所以，所以三棱锥的外接球的大圆面积.考点：1.球的切接问题；2.球的性质.【名师点睛】本题主要考查球的切接问题与球的性质，属中档题；球的切接问题是最近高考的热点之一，解题的关键是利用所给几何体的特征，找到球心，求出半径；找球心常用方法就是先找到多面体的一个三角形面的外心，球心在过这个外心且垂直于这个平面的直线上，再利用已知条件求出半径，如本题就釆用这种方法；或者是看所给多面体是否能放入某个正方体或长方体中，借助正方体或长方体的外接球去求解.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义，去掉绝对值，得到分段函数，可求解不等式的解集；（2）由题意得，在根据绝对值三角不等式，可得恒成立，从而求解实数的取值范围．试题解析：（1）当时，，易得解集为．（2）．∵解集为，∴恒成立，∵，∴．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．18.在中，分别是角所对的边，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（I）由题意，利用正、余弦定理化简得，即可得到答案.（II）因为，由（I）知，由余弦定理得，进而利用基本不等式，得到，且，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值.【详解】解：（I）∵，∴，由正弦定理得，由余弦定理得，化简得，∴.（II）因为，由（I）知，∴由余弦定理得，根据重要不等式有，即，当且仅当时“=”成立，∴.由，得，且，∴的面积.∵，∴.∴.∴的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.19.已知数列的首项，．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）证明详见解析；（2）．【解析】试题分析：本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n项和等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将已知表达式取倒数，再分离常数、用配凑法证明数列是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出，再计算，用错位相减法求和，在化简过程中用等比数列的前n项和计算即可．试题解析：（1）证明：，，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）解：由（1）知，即，设，①则，②由①－②得，，，又，∴数列的前n项和．考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n项和．20.如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接，交于点，设中点为，连接，，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，再证明平面，从而可得平面，进而可得平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果试题解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．因为，分别为，的中点，所以，且，因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以，即．因为平面，平面，所以．因为是菱形，所以．因为，所以平面．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解法：因为直线与平面所成角为，所以，所以．所以，故△为等边三角形．设的中点为，连接，则．以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．则，，，，，，．设平面的法向量为，则即则所以．设平面的法向量为，则即令则所以．设二面角的大小为，由于为钝角，所以．所以二面角的余弦值为．【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.已知圆，点为圆上的一个动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设动点，得到之间的关系，由相关点法确定轨迹方程即可；（2）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况确定线段长度的取值范围即可.【详解】（1）设动点，由于轴于点由题意，，得即将代入，得曲线的方程为（2）当直线的斜率不存在时，因以为直径的圆过坐标原点，故可设直线为，联立解得同理求得所以；当直线的斜率存在时，设其方程为，设联立，可得由求根公式得（*）∵以为直径的圆过坐标原点，即即化简可得，将（*）代入可得，即即，又将代入，可得∴当且仅当，即时等号成立．又由，，；综上，得．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22.设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若关于的方程有唯一解，且，，求的值.【答案】（1）极大值，无极小值.（2）【解析】【分析】（I）当时，求得函数的导数，令，求得，进而得到函数的单调性，求解函数的极值；（II）由，令，由，得到在上单调递减，所以在上单调递减，进而判定存在使得，又由有唯一解，则必有，联立方程组，即可求解.【详解】（I）的定义域为.当时，，则，令，则.即在上单调递减，又，故时，，在上单调递增，时，，在上单调递减.所以函数有极大值，无极小值.（II）由，令，则，所以在上单调递减，即在上单调递减.又时，；时，，故存在使得.当时，，在上单调递减.又有唯一解，则必有.由消去得.令，则.故当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增.由，，得存在，使得即.又关于的方程有唯一解，且，，∴.故.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究确定方程解的问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值，进而得出相应的含参方程组，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试题难度较大，属于难题，着重考查了转化思想，推理与运算能力．。

2019-2020学年江西省南昌二中高三(上)第四次月考数学试卷(理科)

2019-2020学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1. 已知实数集R，集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x∈Z|x2+4≤5x}，则(∁R A)∩B＝（）A.[2, 4]B.{2, 3, 4}C.{1, 2, 3, 4}D.[1, 4]【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】解对数不等式求得A、解一元二次不等式求得B，再根据补集的定义求得∁R A，从而求得(∁R A)∩B．【解答】∵集合A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∴∁R A＝{x|x≤0, 或 x≥2}．又B＝{x∈Z|x2+4≤5x}＝{x∈z|1≤x≤4}＝{1, 2, 3, 4}，∴(∁R A)∩B＝{2, 3, 4}，2. 若复数z满足z(1−i)＝|1−i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A.√2+12B.√2−12C.√2+12i D.√2−12i【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】∵复数z满足z(1−i)＝|1−i|+i（其中i为虚数单位），∴z=√2+i1−i =(√2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=√2−12+√2+12i．则z的虚部为√2+12．3. 设a＝log318，b＝log424，c=234，则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a 【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】容易判断出a>2，b>2，c<2，并且得出a=log318=1+log36,b=log424=1+ log46，容易判断出log46<log36，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】c=234<2，a=log318>log39=2,b=log424>log416>2，又a=log318=1+log36,b=log424=1+log46，∵log46=1log64,log36=1log63且log64>log63>0，∴1log64<1log63，∴log424<log318，∴c<b<a．4. 以下四个命题中，真命题的是（）A.∃x∈(0, π)，使sinx＝tanxB.“对任意的x∈R，x2+x+1>0”的否定是“存在x0∈R，x02+x0+1<0”C.△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C=π2”的充要条件D.∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x+θ)都不是偶函数【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用在x∈(0, π)，sinx<x<tanx，判断A；利用命题的否定形式，判断B；充要条件判断C；反例判断D．【解答】对于A，因为当(0, π2)∪(π2, π)时，sinx<x<tanx，结合函数y＝sinx与y＝tanx的图象，不存在x∈(0, π)，sinx＝tanx，故A错；对于B，“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定是“∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故B错”；对于C，在△ABC中，C=π2，则A+B=π2，则由sinA+sinB＝sin(π2−B)+sin(π2−A)＝cosB+cosA，则必要性成立；∵sinA+sinB＝cosA+cosB，∴sinA−cosA＝cosB−sinB，两边平方得sin2A−2sinAcosA+cos2A＝sin2B−2sinBcosB+cos2B，∴1−2sinAcosA＝1−2sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π−2B，即A＝B或A+B=π2，当A＝B时，sinA+sinB＝cosA+cosB等价为2sinA＝2cosA，∴tanA＝1，即A＝B=π4，此时C=π2，综上恒有C=π2，即充分性成立，综上△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C=π2”的充要条件，故C正确，对于D，当θ=π2，函数f(x)＝sin(2x+θ)＝cos2x是偶函数，则D错．5. 函数y=x+sinx的部分图象大致为（）1+x2A.B.C.D.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】当x→0+时，y>0，当x→0−时，y<0，所以CD错；令f(x)＝x+sinx，f′(x)＝1+ cosx≥0恒成立，f(x)min＝0，所以f(x)>0在(0, +∞)恒成立，所以A错；【解答】当x→0+时，y>0，当x→0−时，y<0，所以CD错；令f(x)＝x+sinx，f′(x)＝1+cosx≥0恒成立，f(x)min＝0，所以f(x)>0在(0, +∞)恒成立，所以A错；6. 为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得铁塔在东偏北19∘7′方向上，塔顶丁处的仰角为30∘，小刘从A处向正东方向走140米到地面B处，测得铁塔在东偏北79∘7′方向上．塔顶T处的仰角为60∘，则铁塔OT的高度为（）A.20√7米B.25√7米C.20√21米D.25√21米【答案】C【考点】三角函数模型的应用【解析】设塔高为ℎ米，利用仰角的正切表示出AO、BO，在△AOB中利用余弦定理列方程求得ℎ的值．【解答】设铁塔OT的高度为ℎ，在Rt△AOT中，∠TAO＝30∘，AO=ℎtan30=√3ℎ，在Rt△BOT中，∠TBO＝60∘，BO=ℎsin60=√33ℎ，在△AOB中，∠AOB＝79∘7′−19∘9′＝60∘，由余弦定理得，AB2＝AO2+BO2−2⋅AO⋅BO⋅cos60∘；即1402＝3ℎ2+13ℎ2−2×√3ℎ×√33ℎ×12，化简得ℎ2=37×1402；又ℎ>0，所以解得ℎ＝140×√37=20√21；即铁塔OT的高度为20√21（米）．7. 函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如右图所示，要得到函数y＝Asinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向右平移π12B.向左平移π6C.向左平移π12D.向右平移π6【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先根据函数的图象求出函数的关系式的各个变量，进一步利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．【解答】函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如右图所示，由于函数的图象的最大值为2，最小值为−2，所以A＝2．当x＝0时f(0)＝1，所以2cosφ＝1，由于φ∈(−π, 0)所以φ=−π3．当x=2π3时，f(2π3)=2cos(2π3ω−π3)=−2，解得ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x−π3)，把函数的图象向右平移π12个单位，得到y＝2sin2x的图象，8. 已知函数f(x)＝ln(1+|x|)−11+x 2，则关于x 的不等式f(lnx)+f(ln 1x )<2f(1)的解集为（） A.(0, +∞)B.(0, e)C.(1e , e)D.(1, e)【答案】 C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的解析式分析函数的奇偶性与单调性，据此分析可得f(lnx)+f(ln 1x )<2f(1)⇒2f(lnx)<2f(1)⇒f(lnx)<f(1)⇒|lnx|<1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】故选：C ．9. 已知向量a →与b →夹角为θ，|a →|=√3，|b →|＝1且若对∀x ∈R ，恒有|a →+xb →|≥|a →+b →|，则tan2θ等于（） A.√2 B.−√2 C.−2√2 D.2√2【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据题意，分析可得(a →+b →)与b →垂直，由数量积的计算公式可得(a →+b →)⋅b →=a →⋅b →+b →2＝1，即√3cosθ+1＝0，变形可得cosθ=−√33，结合三角函数的恒等变形公式分析可得答案．【解答】根据题意，若对∀x ∈R ，恒有|a →+xb →|≥|a →+b →|，则必有(a →+b →)与b →垂直，则有(a →+b →)⋅b →=a →⋅b →+b →2＝1，即√3cosθ+1＝0，解可得：cosθ=−√33，则有sinθ=√1−cos 2θ=√63，故tanθ=sinθcosθ=−√2，故tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=2√2；10. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝60∘，AD ⊥CD ，∠BAD ＝150∘，AB ＝2，AD =√3．若点E 为边CD 上的动点，则AE →⋅BE →的最小值为（）A.254 B.2516C.234D.2316【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A ，B ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【解答】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN ⊥x 轴，过点B 做BM ⊥y 轴，∵ AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝150∘，AB ＝2，AD =√3， ∴ AN ＝ABcos30∘=√3，BN ＝ABsin30∘＝1， ∴ DN =√3+√3=2√3， ∴ BM ＝2√3，∴ CM ＝MBtan30∘＝2，∴ DC ＝DM +MC ＝3， ∴ A(√3, 0)，B(2√3, 1)，C(0, 3)，设E(0, m)，∴ AE →=(−√3, m)，BE →=(−2√3, m −1)，0≤m ≤3， ∴ AE →⋅BE →=6+m 2−m ＝(m −12)2+234；当m =12时，取得最小值为234．11. 已知函数y ={sin(x +π2),x ∈[2kπ−π2,2kπ+π2)(k ∈Z),−sin(x +π2),x ∈[2kπ+π2,2kπ+3π2)(k ∈Z), 的图象与直线y ＝m(x +2)(m >0)恰有四个公共点A(x 1, y 1)，B(x 1, y 2)，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 4+2)tanx 4＝（） A.−1 B.0 C.1 D.√22+2【答案】 A【考点】函数与方程的综合运用【解析】由三角函数图象的作法可得及利用导数求函数图象的切线方程可得：由图知切点坐标为(x 4, −cosx 4)，切线方程为：y +cosx 4＝sinx 4(x −x 4)，又切线过点(−2, 0)，则cosx 4＝sinx 4(−2−x 4)，即(x 4+2)tanx 4＝−1，得解．【解答】由y={sin(x+π2),x∈[2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z),−sin(x+π2),x∈[2kπ+π2,2kπ+3π2)(k∈Z),其图象如图所示，当x∈[π2, 3π2]，f(x)＝−cosx，f′(x)＝sinx，由图知切点坐标为(x4, −cosx4)，切线方程为：y+cosx4＝sinx4(x−x4)，又切线过点(−2, 0)，则cosx4＝sinx4(−2−x4)，即(x4+2)tanx4＝−1，12. 设a>0，若对任意的x∈(0, +∞)，不等式ae ax−lnx≥0恒成立，则a的最小值为（）A.1 eB.12eC.2eD.e3【答案】A【考点】函数恒成立问题【解析】依题意，e ax−x≥0对任意的x∈(0, +∞)，令f(x)=lnxx，求其最大值即可．【解答】对任意的x∈(0, +∞)，不等式ae ax−lnx≥0恒成立，即e ax−lnxa≥0恒成立，∵函数y＝e ax与函数y=lnxa互为反函数，∴原问题等价于e ax−x≥0，则a≥lnxx，设f(x)=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx，令f′(x)＝0，解得x＝e，易知，f(x)max=f(e)=1e，故a≥1e．二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）（理）由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为________．【答案】4−ln3【考点】定积分的简单应用【解析】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．【解答】由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13, 3)，由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1, 1)，由y ＝x ，y ＝3可得交点坐标为(3, 3)，∴ 由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为∫ 113(3−1x )dx +∫ 31(3−x)dx =(3x −lnx)|131+(3x −12x 2)|13=(3−1−ln3)+(9−92−3+12)＝4−ln3在△ABC 中，∠A ＝600，∠A 的平分线AD 交边BC 于点D ，已知AD ＝4√3，且AD →=λAB →+13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影的值为________．【答案】3√3【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据B ，C ，D 三点共线求出λ，建系计算B ，C 两点坐标，得出AB ，再计算投影即可．【解答】由AD →=λAB →+13AC →(λ∈R)，∵ B ，C ，D 三点共线，故λ+13=1，即λ=23．∴ AD →=23AB →+13AC →．以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则D(6, 2√3)，设B(m, 0)，C(n, √3n)，由AD →=23AB →+13AC →得：{6=23m +13n2√3=√33n，解得m ＝6，n ＝6．故B(6, 0)，∴ AB →在AD →方向上的投影为|AB|cos30∘＝3√3．已知奇函数f(x)=√3sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)(|φ|<π2, ω>0)任意的x ∈R 都有f(x)+f(x +π2)＝0，则当ω取最小值时，f(π6)的值为________√3 ．【答案】 √3【考点】两角和与差的三角函数【解析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合已知奇函数的性质可求φ，代入进而可求ω，从而可求f(x)，即可求解．【解答】因为f(x)=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)＝2sin(ωx+φ−π6)，又f(x)为奇函数，所以φ−π6=kπ，所以φ＝kπ+π6，又|φ|<π2，所以φ=π6．所以f(x)＝2sinωx．又因为对任意x∈R都有f(x)+f(x+π2)＝0，所以sin(ωx+πω2)＝−sinωx，所以πω2=(2k−1)π，所以ω＝4k−2(k∈Z)，又ω>0，故ω的最小值为2，此时f(x)＝2sin2x，所以f(π6)＝2sinπ3=√3．若∀m∈(0, e)，∃x1，x2∈(0, e)且x1≠x2，使得(m−√2)2+2=ax1−lnx1=ax2−lnx2，则实数a的取值范围是________5e≤a<e．（e为自然对数的底数）【答案】5e≤a<e【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据m的取值范围，以及题目的意思可以知道y＝ax−lnx在(0, e)上不单调，进而求得答案．【解答】∵m∈(0, e)，∴y＝(m−√2)2+2∈[2, 4)，由题意，得y＝ax−lnx在(0, e)上不单调，∴y′＝a−1x =a(x−1a)x，∴1a ∈(0, e)，a>1e，①当x∈(0,1a)时，y′<0，y∈(1+lna, +∞)，②当x∈(1a,e)时，y′>0，y∈(1+lna, ae−1)．∴ y 在x =1a 时有极小值，因此{1+lna <2ae −1≥4，三、解答题（共6小题，共70分）已知α∈(0,π2)，向量a →=(1, 3)与b →=(tan(α−π4)，1)平行，(Ⅰ)求cos(2020π−2α)−cos(π2+2α)的值(Ⅱ)若sin(α−β)=√1010，且β∈(0,π2)，求角β的值．【答案】解(Ⅰ)∵ 向量a →=(1, 3)与b →=(tan(α−π4)，1)平行，∴ 3tan(α−π4)＝1⇒tan(α−π4)=13； ∴ tanα−11+tanα=13；∴ tanα＝2，∴ sinα＝2cosα，sin 2α+cos 2α＝1； ∵ α∈(0,π2)，∴ cosα=√55，sinα=2√55．∴ sin2α＝2sinαcosα=45，cos2α＝2cos 2α−1=−35． ∵ cos(2020π−2α)−cos(π2+2α)＝cos2α+sin2α；所求为∴ sin2α+cos2α=45−35=15．即cos(2020π−2α)−cos(π2+2α)15．（2）由α∈(0,π2),β∈(0,π2)得α−β∈(−π2,π2) ∵ sin(α−β)=√1010∴ cos(α−β)=√1−sin 2(α−β)=(√1010)2=3√1010则sinβ＝sin[α−(α−β)]＝sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)=2√55×3√1010−√55×√1010=√22；因β∈(0,π2)，则β=π4．【考点】两角和与差的三角函数【解析】(Ⅰ)根据向量平行，可得tanα＝2，结合角的范围求出sinα和cosα，利用二倍角公式求出cos2α与sin2α即可求出结论；(Ⅱ)直接根据角的范围以及sinβ＝sin[α−(α−β)]即可求解．【解答】解(Ⅰ)∵ 向量a →=(1, 3)与b →=(tan(α−π4)，1)平行，∴ 3tan(α−π4)＝1⇒tan(α−π4)=13； ∴ tanα−11+tanα=13；∴ tanα＝2，∴ sinα＝2cosα，sin 2α+cos 2α＝1； ∵ α∈(0,π2)，∴ cosα=√55，sinα=2√55．∴ sin2α＝2sinαcosα=45，cos2α＝2cos 2α−1=−35． ∵ cos(2020π−2α)−cos(π2+2α)＝cos2α+sin2α；所求为∴ sin2α+cos2α=45−35=15．即cos(2020π−2α)−cos(π2+2α)15．（2）由α∈(0,π2),β∈(0,π2)得α−β∈(−π2,π2) ∵ sin(α−β)=√1010∴ cos(α−β)=√1−sin 2(α−β)=(√1010)2=3√1010则sinβ＝sin[α−(α−β)]＝sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β)=2√55×3√1010−√55×√1010=√22；因β∈(0,π2)，则β=π4．如图，在△ABC 中，C =π4,CA →⋅CB →=48，点D 在BC 边上，且AD ＝5√2,cos∠ADB =35．(Ⅰ)求AC ，CD 的长； (Ⅱ)求cos∠BAD 的值．【答案】（1）在△ABD 中，∵ cos∠ADB =35，∴sin∠ADB=45．∴sin∠CAD＝sin(∠ADB−∠ACD)=sin∠ADBcosπ4−cos∠ADBsinπ4=45×√22−3 5×√22=√210．在△ADC中，由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD=ADsin∠ACD，即AC45=√210=√2√22，解得：AC=8,CD=√2．（2）∵CA→⋅CB→=48，C=π4．∴8⋅CB⋅√22=48，解得：CB=6√2，∴BD=CB−CD=5√2，在△ABC中，：AB=√2=2√10，在△ABD中，由余弦定理可得：cos∠BAD=√10)2√2)2√2)22×2√10×5√2=√55．【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】(Ⅰ)根据cos∠ADB求出sin∠ADB，sin∠CAD＝sin(∠ADB−∠ACD)和与差公式求解，在△ADC中，由正弦定理即可求AC，CD的长；(Ⅱ)根据C=π4,CA→⋅CB→=48，求出CB，从而BD＝CB−CD，余弦定理求AB，在在△ABD中，利用余弦定理可得cos∠BAD的值．【解答】（1）在△ABD中，∵cos∠ADB=35，∴sin∠ADB=45．∴sin∠CAD＝sin(∠ADB−∠ACD)=sin∠ADBcosπ4−cos∠ADBsinπ4=45×√22−3 5×√22=√210．在△ADC中，由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD=ADsin∠ACD，即AC45=√210=√2√22，解得：AC=8,CD=√2．（2）∵CA→⋅CB→=48，C=π4．∴8⋅CB⋅√22=48，解得：CB =6√2，∴ BD =CB −CD =5√2，在△ABC 中，：AB =√2=2√10，在△ABD 中，由余弦定理可得：cos∠BAD =√10)2√2)2√2)22×2√10×5√2=√55．设函数f(x)=e xx 2−k(2x +lnx)（k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数）． (Ⅰ)当k ≤0时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．【答案】（1）f(x)的定义域为(0, +∞)， ∴ f′(x)=e x ⋅x 2−e x ⋅2xx 4−k(1x −2x 2)=(x−2)(e x −kx)x 3(x >0)，当k ≤0时，kx ≤0， ∴ e x −kx >0，令f′(x)＝0，则x ＝2，∴ 当0<x <2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x >2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴ f(x)的单调递减区间为(0, 2)，单调递增区间为(2, +∞)．（2）由(Ⅰ)知，k ≤0时，函数f(x)在(0, 2)内单调递减，故f(x)在(0, 2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g(x)＝e x −kx ，x ∈(0, +∞)． ∵ g′(x)＝e x −k ＝e x −e lnk ，当0<k ≤1时，当x ∈(0, 2)时，g′(x)＝e x −k >0，y ＝g(x)单调递增，故f(x)在(0, 2)内不存在两个极值点；当k >1时，得x ∈(0, lnk)时，g′(x)<0，函数y ＝g(x)单调递减， x ∈(lnk, +∞)时，g′(x)>0，函数y ＝g(x)单调递增， ∴ 函数y ＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1−lnk) 函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点当且仅当{g(0)>0g(lnk)<0g(2)>00<lnk <2 解得：e <k <e 22综上所述，函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e, e 22)【考点】函数在某点取得极值的条件利用导数研究函数的单调性(Ⅰ)求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；(Ⅱ)函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点，等价于它的导函数f′(x)在(0, 2)内有两个不同的零点．【解答】（1）f(x)的定义域为(0, +∞)， ∴ f′(x)=e x ⋅x 2−e x ⋅2xx 4−k(1x−2x 2)=(x−2)(e x −kx)x 3(x >0)，当k ≤0时，kx ≤0， ∴ e x −kx >0，令f′(x)＝0，则x ＝2，∴ 当0<x <2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x >2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴ f(x)的单调递减区间为(0, 2)，单调递增区间为(2, +∞)．（2）由(Ⅰ)知，k ≤0时，函数f(x)在(0, 2)内单调递减，故f(x)在(0, 2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g(x)＝e x −kx ，x ∈(0, +∞)． ∵ g′(x)＝e x −k ＝e x −e lnk ，当0<k ≤1时，当x ∈(0, 2)时，g′(x)＝e x −k >0，y ＝g(x)单调递增，故f(x)在(0, 2)内不存在两个极值点；当k >1时，得x ∈(0, lnk)时，g′(x)<0，函数y ＝g(x)单调递减， x ∈(lnk, +∞)时，g′(x)>0，函数y ＝g(x)单调递增， ∴ 函数y ＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1−lnk) 函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点当且仅当{g(0)>0g(lnk)<0g(2)>00<lnk <2 解得：e <k <e 22综上所述，函数f(x)在(0, 2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e, e 22)已知函数f(x)=cosωx(√3sinωx −cosωx)+12(ω>0),A,B 分别是y ＝f(x)上的一个最高点和一个最低点，|AB|的最小值为√π24+4．(Ⅰ)当x ∈[−π12,π2]，求函数y ＝f(x)的值域；(Ⅱ)已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且f(B2+π6)=b+c 2a，△ABC的外接圆半径为√3，求△ABC 周长的取值范围．（I）由f(x)=cosωx(√3sinωx−cosωx)+12=sin(2ωx−π6)，因为|AB|的最小值为√π24+4，所以T2=π2,ω=1．故f(x)＝sin(2x−π6)．∵x∈[−π12,π2]，∴(2x−π6)∈[−π3, 5π6]．∴值域为[−√32,1]；(II)由f(B2+π6)=b+c2a，得sin(B+π6)=b+c2a，可得√32sinB+12cosB=b+c2a，则√3sinAsinB+sinAcosB＝sinB+sinC，sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB．又∵sinB≠0，∴√3sinA−cosA＝1，即sin(A−π6)=12．由0<A<π，得−π6<A−π6<5π6，∴A−π6=π6，即A=π3．又△ABC的外接圆的半径为√3，∴a＝2√3sinA＝3．由余弦定理得：a2＝b2+c2−2bccosA＝b2+c2−bc＝(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3 4(b+c)2=14(b+c)2，即b+c≤6，当且仅当b＝c时取等号，又b+c>3，∴周长的取值范围为(6, 9]．【考点】余弦定理【解析】（I）由f(x)=cosωx(√3sinωx−cosωx)+12=sin(2ωx−π6)，根据|AB|的最小值为√π24+4，可得T2=π2，解得ω．可得f(x)，利用单调性可得值域．(II)由f(B2+π6)=b+c2a，得sin(B+π6)=b+c2a，可得√32sinB+12cosB=b+c2a，利用正弦定理、和差公式化简可得A，△ABC的外接圆的半径为√3，根据正弦定理可得a．再利用余弦定理结合基本不等式的性质即可得出结论．【解答】（I）由f(x)=cosωx(√3sinωx−cosωx)+12=sin(2ωx−π6)，因为|AB|的最小值为√π24+4，所以T2=π2,ω=1．故f(x)＝sin(2x−π6)．∵x∈[−π12,π2]，∴(2x−π6)∈[−π3, 5π6]．∴值域为[−√32,1]；(II)由f(B2+π6)=b+c2a，得sin(B+π6)=b+c2a，可得√32sinB+12cosB=b+c2a，则√3sinAsinB+sinAcosB＝sinB+sinC，sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB．又∵sinB≠0，∴√3sinA−cosA＝1，即sin(A−π6)=12．由0<A<π，得−π6<A−π6<5π6，∴A−π6=π6，即A=π3．又△ABC的外接圆的半径为√3，∴a＝2√3sinA＝3．由余弦定理得：a2＝b2+c2−2bccosA＝b2+c2−bc＝(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3 4(b+c)2=14(b+c)2，即b+c≤6，当且仅当b＝c时取等号，又b+c>3，∴周长的取值范围为(6, 9]．已知函数f(x)＝sinx−xcosx(x≥0)．(Ⅰ)求函数f(x)的图象在(π2,1)处的切线方程；(Ⅱ)若任意x∈(0, +∞)，不等式f(x)<ax3恒成立，求实数a的取值范围；【答案】（1）∵f′(x)＝xsinx，f′(π2)=π2，∴切线为：y=π2(x−π2)+1；（2）f(x)≤ax3⇔sinx−xcosx−ax3≤0，令g(x)＝sinx−xcosx−ax3，则g′(x)＝xsinx−3ax2＝x(sinx−3ax)，又令ℎ(x)＝sinx−3ax⇒ℎ′(x)＝cosx−3a，①当3a≤−1，即a≤−13时，ℎ′(x)≥0恒成立，∴ℎ(x)递增，∴ℎ(x)≥ℎ(0)＝0，∴g′(x)≥0，∴g(x)递增，∴g(x)≥g(0)＝0（不合题意）；②当3a≥1即a≥13时，ℎ′(x)≤0⇒ℎ(x)递减，∴ℎ(x)≤ℎ(0)＝0，∴g′(x)≤0，∴g(x)递减∴g(x)≤g(0)＝0（符合题意）③当−1<3a<1，即−13<a<13时，由ℎ′(0)＝1−3a>0ℎ′(π)＝−1−3a<0，∴在(0, π)上，∃x0，使ℎ′(x0)＝0且x∈(0, x0)时，ℎ′(x)>0⇒g′(x)>0，∴g(x)递增，∴g(x)>g(0)＝0（不符合题意）综上：a≥13．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f′(π2)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)令g(x)＝sinx−xcosx−ax3，求出函数的导数，令ℎ(x)＝sinx−3ax，通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可；【解答】（1）∵f′(x)＝xsinx，f′(π2)=π2，∴切线为：y=π2(x−π2)+1；（2）f(x)≤ax3⇔sinx−xcosx−ax3≤0，令g(x)＝sinx−xcosx−ax3，则g′(x)＝xsinx−3ax2＝x(sinx−3ax)，又令ℎ(x)＝sinx−3ax⇒ℎ′(x)＝cosx−3a，①当3a≤−1，即a≤−13时，ℎ′(x)≥0恒成立，∴ℎ(x)递增，∴ℎ(x)≥ℎ(0)＝0，∴g′(x)≥0，∴g(x)递增，∴g(x)≥g(0)＝0（不合题意）；②当3a≥1即a≥13时，ℎ′(x)≤0⇒ℎ(x)递减，∴ℎ(x)≤ℎ(0)＝0，∴g′(x)≤0，∴g(x)递减∴g(x)≤g(0)＝0（符合题意）③当−1<3a<1，即−13<a<13时，由ℎ′(0)＝1−3a>0ℎ′(π)＝−1−3a<0，∴在(0, π)上，∃x0，使ℎ′(x0)＝0且x∈(0, x0)时，ℎ′(x)>0⇒g′(x)>0，∴g(x)递增，∴g(x)>g(0)＝0（不符合题意）综上：a≥13．已知函数f(x)＝xln(x+a)+1(a<0)．（1）若函数f(x)在定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）证明：f(x)<e x+cosx．【答案】f(x)的定义域为(−a, +∞)，且f′(x)=ln(x+a)+xx+a，设m(x)=f′(x)=ln(x+a)+xx+a ，则m′(x)=1x+a+a(x+a)2=x+2a(x+a)2，∵a<0．∴−2a>−a，令m′(x)＝0⇒x＝−2a，则当x∈(−a, −2a)时m′(x)<0；当x∈(−2a, +∞)时，m(x)在(−a, −2a)上单调递减，在(−2a, +∞)上单调递增，由已知函数f(x)在定义域上是增函数，得m(x)min＝m(−2a)＝ln(−a)+2≥0解得a≤−e−2，∴a的取值范围是a∈(−∞, −e−2]：∵a<0，x>−a．∴x>0，f(x)＝xln(x+a)+1<xlnx+1，要证明f(x)<e x+cosx，只需证明xlnx<e x+cosx−1，(i)当0<x≤1时，∵e x+cosx−1>0，xlnx≤0．所以xlnx<e x+cosx−1成立，( ii)当x>1时，设g(x)＝e x+cosx−xlnx−1，则g′(x)＝e x−lnx−sinx−1，设ℎ(x)＝g′(x)，则ℎ′(x)=e x−1x−cosx，∵x>1，∴ℎ′(x)>e−1−1>0，即ℎ(x)在(1, +∞)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(1)＝e−sin1−1>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(1, +∞)上单调递增，g(x)>g(1)＝e+cos1−1>0即xlnx<e x+cosx−1，综上可知，a<0时，f(x)<e x+cosx．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先判断出函数的定义域，进而通过求导，求导函数的导数并求其最小值解答问题．（2）转化的思想，要证明f(x)<e x+cosx，只需证明xlnx<e x+cosx−1，进而利用分类讨论的思想解答问题．【解答】f(x)的定义域为(−a, +∞)，且f′(x)=ln(x+a)+xx+a，设m(x)=f′(x)=ln(x+a)+xx+a ，则m′(x)=1x+a+a(x+a)2=x+2a(x+a)2，∵a<0．∴−2a>−a，令m′(x)＝0⇒x＝−2a，则当x∈(−a, −2a)时m′(x)<0；当x∈(−2a, +∞)时，m′(x)>0．m(x)在(−a, −2a)上单调递减，在(−2a, +∞)上单调递增，由已知函数f(x)在定义域上是增函数，得m(x)min＝m(−2a)＝ln(−a)+2≥0解得a≤−e−2，∴a的取值范围是a∈(−∞, −e−2]：∵a<0，x>−a．∴x>0，f(x)＝xln(x+a)+1<xlnx+1，要证明f(x)<e x+cosx，只需证明xlnx<e x+cosx−1，(i)当0<x≤1时，∵e x+cosx−1>0，xlnx≤0．所以xlnx<e x+cosx−1成立，( ii)当x>1时，设g(x)＝e x+cosx−xlnx−1，则g′(x)＝e x−lnx−sinx−1，设ℎ(x)＝g′(x)，则ℎ′(x)=e x−1x−cosx，∴ℎ′(x)>e−1−1>0，即ℎ(x)在(1, +∞)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(1)＝e−sin1−1>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(1, +∞)上单调递增，g(x)>g(1)＝e+cos1−1>0即xlnx<e x+cosx−1，综上可知，a<0时，f(x)<e x+cosx．。

【教育文档】江西省南昌市第二中学2019届高三英语上学期第四次月考试题.doc

南昌二中2019届高三第四次考试英语试卷第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What will the woman do about the dress?A. She’ll change it.B. She’ll return it.C. She’ll buy it.2. What are the speakers talking about?A. Buying DVDs.B. Borrowing DVDs.C. Sharing DVDs.3. What did the woman think of Dana’s speech?A. Boring.B. Important.C. Well-prepared.4. What does the man mean?A. He is unable to give help.B. He will carry the boxes later.C. He refuses to pay for boxes.5. When is Simon supposed to arrive?A. 7:30.B. 8:00.C. 8:10.第二节（共15小题,每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各个小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听下面一段对话，回答第6和第7题。

6. Where do the speakers plan to go?A. The woman’s home.B. A museum.C. A library.7. Why does the woman want to go on Saturday afternoon?A. To enjoy nice weather.B. To sleep late in the morning.C. To avoid the crowd.听下面一段对话，回答第8至第10题。

江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考理科综合试卷含答案

南昌二中2019届高三第四次考试理科综合试卷第I卷(选择题)相对原子质量： B-10.8 C-12 N-14 O-16 S-32 Na-23 K-39 Fe－56 Co-59 Cu-64一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 生物膜上常有某些物质或结构与其功能相适应，下列相关叙述正确的是A. 线粒体膜上附着与有氧呼吸有关的酶，有利于葡萄糖的氧化B. 细胞膜上附着通道蛋白，有利于主动吸收水和无机盐等物质C. 核糖体膜上附着内质网和高尔基体，有利于对多肽链的加工D. 核膜上有许多核孔，有利于核质之间的物质交换与信息交流2. 用质量分数8%的盐酸进行实验：8%的盐酸会杀死细胞，将洋葱鱗片叶表皮细胞浸润在8%的盐酸中，发现部分细胞发生了质壁分离，部分细胞未发生。

对此现象，下列叙述错误的是A. 发生质壁分离一段时间后，细胞置于清水中将无法复原B. 若未发生质壁分离，则说明细胞液的浓度大于8%的盐酸C. 发生质壁分离过程中，光学显微镜下始终未能观察到染色体D. 发生质壁分离过程中，H20、H+、Cl-都能通过细胞膜和液泡膜3.研究者使用同位素18O标记水和碳酸氢钠中的部分氧原子，加入三组小球藻培养液中，记录反应起始时水和碳酸氢钠中18O的比例，光照一段时间后，分别检测小球藻释放的氧气中18O的比例，实验结果如下表所示。

下列相关叙述错误的是A. 18O2是在小球藻叶绿体的类囊体上生成的B. HCO3-可为小球藻的光合作用提供碳元素C. HCO3-中18O的比例不同导致放氧速率不同D. 释放的O2中18O比例与水相近，推测O2来自于水4. 在致癌因子的作用下，正常动物细胞可转变为癌细胞，有关癌细胞特点的叙述错误的是A. 细胞中可能发生单一基因突变，细胞间黏着性增加B. 细胞中可能发生多个基因突变，细胞的形态发生变化C. 细胞中的染色体可能受到损伤，细胞的增殖失去控制D. 细胞中遗传物质可能受到损伤，细胞表面的糖蛋白减少5．现有4个小麦纯合品种，即抗锈病无芒、抗锈病有芒、感锈病无芒和感锈病有芒。

江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考物理试题

南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考物理试题一、选择题:共12题.每小题4分.在第小题给出的四个选项中,第1-7题只有一项符合题目要求,第8-12题有多项符合题目要求.全部选对的得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分1．将一质子从无限远处移入电场中M 点，静电力做功W 1＝6×10－9J ，若将一个电子从电场中N 点移向无限远处，静电力做功W 2＝7×10－9J ，则M 、N 两点的电势φM 、φN ，有如下关系 A ．φM <φN <0 B ．φN >φM >0 C ．φN <φM <0 D ．φM >φN >02．AB 和CD 为圆上两条相互垂直的直径，圆心为O .将电荷量分别为＋q 和－q 的两点电荷放在圆周上，其位置关于AB 对称且距离等于圆的半径，如图所示．要使圆心处的电场强度为零，可在圆周上再放一个适当的点电荷Q ，则该点电荷QA ．应放在A 点，Q ＝2qB ．应放在B 点，Q ＝－2qC ．应放在C 点，Q ＝－qD ．应放在D 点，Q ＝－q3. 某厂研制的一种节能冰箱，一天的能耗只相当于一个25瓦的灯泡一天工作的能耗，如右图所示为该冰箱内的温度随时间变化的图象，则该冰箱工作时的功率为A ．25 WB ．50 WC ．75 WD ．150 W4．北京正负电子对撞机的储存环是周长为240 m 的近似圆形轨道．当环中电子以光速的110的速度流动而形成的电流是10 mA 时，环中运行的电子数目为(已知光速c ＝3×108m/s ，电子电荷量e ＝1.6×10－19C)A ．5×1011B ． 5×1010C ．1×104D ． 1×1025.图1(1)是某同学设计的电容式速度传感器原理图，其中上板为固定极板，下板为待测物体，在两极板间电压恒定的条件下，极板上所带电荷量Q 将随待测物体的上下运动而变化，若Q 随时间t 的变化关系为Q ＝bt ＋a(a 、b 为大于零的常数)，其图象如图(2)所示，那么图(3)、(4)中分别反映极板间场强大小E 和物体速率v 随t 变化的图线可能是A ．①和③B ．①和④C ．②和③D ．②和④6．如图所示，处于真空中的匀强电场与水平方向成15°角，AB 直线与匀强电场E 互相垂直．在 A 点以大小为v 0的初速度水平抛出一质量为m ，带电荷量为＋q 的小球,经时间t ，小球下落一段距离过C 点(图中未画出)时速度仍为v 0，在小球由A 点运动到C 点的过程中，下列说法中正确的是A ．电场力对小球做功为零B ．小球的电势能增加C ．小球的机械能减少量为12mg 2t 2D ．C 可能位于AB 直线的左侧7．如图所示，竖直放置的两个平行金属板间有匀强电场，在两板之间等高处有两个质量相同的带电小球，P 小球从紧靠左极板处由静止开始释放，Q 小球从两板正中央由静止开始释放，两小球最后都能打在右极板上的同一点．则从开始释放到打到右极板的过程中A ．它们的运行时间t P >t QB ．它们的电荷量之比q P ∶q Q ＝2∶1C ．它们的动能增加量之比ΔE k P ∶ΔE k Q ＝4∶1D ．它们的电势能减少量之比ΔE P ∶ΔE Q ＝2∶18．如图所示，水平放置的平行板电容器，上板带负电，下板带正电，带电小球以速度v 0水平射入电场，且沿下板边缘飞出．若下板不动，将上板上移一小段距离，小球仍以相同的速度v 0从原处飞入，则带电小球 A ．将打在下板中央 B ．仍沿原轨迹由下板边缘飞出 C ．不发生偏转，沿直线运动D ．若上板不动，将下板上移一段距离，小球可能打在下板的中央9．某空间内有高度为d 、宽度足够宽、方向水平向左的匀强电场．当在该空间内建立如图所示的坐标系后，在x 轴上的P 点沿y 轴正方向连续射入质量和电荷量均相同、且带电性质也相同的带电粒子(粒子重力不计)，由于粒子的入射速率v (v ＞0)不同，有的粒子将在电场中直接通过y 轴，有的将穿出电场后再通过y 轴．设粒子通过y 轴时，离坐标原点的距离为h ，从P 到y 轴所需的时间为t ，则 A ．由题设条件可以判断出粒子的带电性质 B ．对h ≤d 的粒子，h 越大，t 越大C ．对h ≤d 的粒子，在时间t 内，电场力对粒子做的功不相等D ．h 越大的粒子，进入电场时的速率v 也越大10．如图所示，把一个架在绝缘支架上的枕形导体放在正电荷形成的电场中．导体处于静电平衡时，下列说法正确的是A ．A 、B 两点场强相等，且都为零 B ．A 、B 两点场强不相等C ．感应电荷产生的附加电场E A <E BD ．当电键S 闭合时，电子从大地沿导线向导体移动11.如图所示，虚线a 、b 、c 代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即U ab =U bc ,实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P 、R 、Q 是这条轨迹上的三点，R 同时在等势面b 上，据此可知A.三个等势面中，a 的电势最低B.带电质点在R 点的加速度方向垂直于等势面bC.带电质点在P 点的电势能比在Q 点的大D.带电质点在P 点的动能与电势能之和比在Q 点的小 12.图中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。

江西省南昌市第二中学2019-2020学年高三第四次月考语文试题(解析版)

南昌二中学2019届高三第四次考试语文试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将答题卡上交。

一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（9分）阅读下面的文字，完成各题。

陈寅格说:“所谓真了解者，必神游冥想，与立说之古人，处于同一境界“始能批评其学说之是非得失，而无隔肤廓之论这表明学术研究还需借助于历史的想象力。

但历史想象与艺术想象有所不同。

我们切不可拿“想象”作“证据”“误认天上的浮云为天际的树林”。

这也是治学者应当牢记的“信条。

治学须以历史学为根基。

李大钊说:“纵观人间的过去者便是历史，横观人间的现在者便是社会。

”也就是说，要洞察现实的社会，就不能不研究过去的历史。

胡适之则把这种认识的思路，比作“祖孙的方法这一方法从来不把事物看作一个孤立的东西，而把它视为“历史”的一个“中段”:“上头有他的祖父，下头有他的孙子。

捉住了这两头，他再也逃不出去了但历史也不是单纯事件的条块铺陈，它的背后还有“思想”，“有一个思想的过程所构成的内在方面”。

因此，我们只有通过“想象”，才能把握它内在的“思想才能从一堆枯燥无生命的原材料中发现有血有肉的生命。

事实上，对许多研究者来说，研究对象与他个人经历并无直接关系。

研究政治史的人，并不一定就是政治家如果没有历史想象力的参与，他们的研究工作可以说是难以开展的。

历史想象应是“构造性”的。

这一点和艺术想象确有相似之处钱钟书也认为，“史学家追叙真人真事，每须遥体人情，悬想事势，设身局中潜心腔内，忖之度之，以揣以摩，庶几入情合理。

盖与小说剧本之臆造人物、虚构境地，不尽同而可相通”。

江西省南昌市第二中学2019届高三数学上学期第四次月考试题文(含答案)

坐标系，直线的极坐标方程为 hsin ㌳（1）求的极坐标方程； d h
⸰
cos d
（2）射线
与圆
的交点为 ǡ 与直线的交点为，求
的范围.
23. [不等式选讲] （1）如果关于 x 的不等式t ㌳ t ㌳ t （2）已知正实数 a，b，且
d min ǡ
㌳
t
，求证：
䀀的解集不是空集，求参数 m 的取值范围； .
n

19.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ABCD 中，
AB / /CD ， CD 2 AB ， AC 与 BD 相交于点 M ，点 N 在线段 AP 上，
AN AP 0 ，且 MN / / 平面 PCD .
（1）求实数的值；（2）若 AB AD DP 1 ， PA PB
d sin 的图象和函数
cos
的最小正周期是； ② 终边在 d
的图象有三个公共点； ④ 把函数 y d sinh x ㌳）
轴上的角的集合是 t d
ǡ
；
11．已知定义在小关系是（ A．
d h䀀
䀀， d
䀀
䀀㌳
h ，则、的大
12．设 e1， e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率， P 为两曲线的一个公共点，且满足则h
因为 sin A sin B
由S
3 15 15 及 sin C ，得 ab=6.③ 4 4
由①②③得 c 4 18.解析：(1)解：当 n≥2 时，当 n = 1 时， ∴ d d d䀀 d d h h d

精品解析：【全国百强校】江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试题(原卷版)

江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的.1.若复数Z ，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.设集合，，则中整数元素的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 63.已知，,，则它们的大小关系是（）A. B. C. D.4.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（）A. 若，则B. 若，是在内的射影，，则C. 若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有D. 若，则5.已知数列是公差为的等差数列，为数列的前项和.若成等比数列，则（） A. B. C. D.6.函数y ＝e |ln x |－|x －2|的图象大致是（）A. B.C. D.7.若对于任意都有，则函数图象的对称中心为（）A. （）B. （）C. （）D. （）8.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A. B. C. D.9.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.10.在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（）A. 24B.C.D.11.2018年9月24日, 英国数学家M.F阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动. 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和, 记A.B.C.D.12.函数满足，，若存在，使得成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数，若，则__________．14.设实数x，y满足则u＝的取值范围是________．15.若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围．16.已知三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的大圆面积为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．18.在中，分别是角所对的边，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.19.已知数列的首项，．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和．20.如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．21.已知圆，点为圆上的一个动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.22.设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若关于的方程有唯一解，且，，求的值.。

精品2019届高三数学上学期第四次月考试题理Word版

南昌二中2019届高三第四次考试数学（理）试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数Z R a ii a ∈-+=(213，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为Z （） A.B. C. D.i 3-2．设集合A ＝{x ｜＜7x }，B ＝{x ｜5＜2x ＜17}，则A∩B 中整数元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知3e a =，π3b =,πe c =，则它们的大小关系是（） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（）A.若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα//B.若β⊂m ，是在内的射影，n m ⊥，则l m ⊥C.若是平面的一条斜线，α∉A ，为过的一条动直线，则可能有α⊥⊥l m l 且D.若γαβα⊥⊥,，则βγ//5．已知数列}{n a 是公差为21的等差数列，为数列}{n a 的前项和.若1462,,a a a 成等比数列，则=5S （） A ．225B ．C ．235D ． 6．函数y ＝e|ln x |－|x －2|的图象大致是（）7.若对于任意x ∈R 都有f （x ）＋2f （－x ）＝3cos x －sin x ，则函数f （2x ）图象的对称中心为（）A ．（k π－4π，0）（k∈Z）B ．（2k π－4π，0）（k∈Z）C ．（k π－8π，0）（k∈Z）D ．（2k π－8π，0）（k∈Z）8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A. B ．C ．23D ．299．已知函数()cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=>，如果存在实数，使得对任意的实数，都有)2019()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则的最小值为（）A ．π40381B ．π20191C ．40381D ．20191 10．在ABC ∆中，39AB AC ==，2AC AB AC ⋅=，点是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC++取得最小值时，PA BC ⋅=（） A. 24 B. 692D.24- 11.2018年9月24日,英国数学家M.F 阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动.黎曼猜想来源于一些特殊数列求和,记）则（...,1......31211222+++++=nS 341.<<S A 2334.<<S B 223.<<S C 2.>S D 12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭，()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则的取值（） A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. [)1,+∞ D. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. ．__________)(,5)(,1sin 43)(.13==--+=a f a f x x x f 则若已知函数。

江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考数学(理)试题(解析版)

江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的.1.若复数z，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得a的值，然后确定复数的虚部即可.【详解】由题意可得：，满足题意时，有：，解得：，则，由共轭复数的定义可得：，故复数的虚部为.本题选择C选项.【点睛】这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.2.设集合，，则中整数元素的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】集合，.，整数有3，4，5，6.共四个。

故答案为B。

3.已知，,，则它们的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合指数函数的性质和幂函数的性质比较大小即可.【详解】由幂函数的性质可知在区间上单调递增，由于故，即，由指数函数的性质可知在区间上单调递增，由于故，即，综上可得.本题选择D选项.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（）A. 若，则B. 若，是在内的射影，，则C. 若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由题意逐一考查所给命题是否正确即可.【详解】逐一分析所给的选项：A中，在如图所示的正方体中，若取直线为，为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误；由射影定理可知选项B正确；选项C中，若，结合线面垂直的性质定理可知，平面或，题中的说法错误；选项D中，在如图所示的正方体中，若取平面为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误.本题选择B选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.5.已知数列是公差为的等差数列，为数列的前项和.若成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求得数列的首项，然后求解其前n项和即可.【详解】由题意可得：，即：，解得：，则.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查等比中项的应用，等差数列前n项和的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.函数y＝e|ln x|－|x－2|的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先将函数的解析式写成分段函数的形式，然后确定其图像即可.【详解】由题意可知，当时，，当时，，当时，，结合题中所给的函数图像可知，只有选项C符合题意.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查函数图像的识别，分段函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.若对于任意都有，则函数图象的对称中心为（）A. （）B. （）C. （）D. （）【答案】D【解析】∵，∴，解得：，∴，令，则，，即函数图象的对称中心为（）.故选：D8.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可得此几何体的直观图如图，由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，底面，，底面是一个上下边长分别为和，高为的直角梯形，体积，所以，故选B．考点：三视图．9.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先整理函数的解析式，然后结合最小正周期公式求解的值即可.【详解】由题意可得：，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则满足题意时有：，结合最小正周期公式可得：，解得：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数的周期公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（）A. 24B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先确定三角形的形状，然后建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算确定点P的坐标即可求解数量积.【详解】由可得：，则，即，以点坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，则：，当，即时取得最小值，此时.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11.2018年9月24日, 英国数学家M.F阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动. 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和, 记A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用不等式放缩后裂项确定S的范围即可.【详解】由题意可知：，且，综上可得：.本题选择C选项.【点睛】本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12.函数满足，，若存在，使得成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意设，则，所以（为常数）．∵，∴，∴，∴．令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增．∴，从而当时，，∴在区间上单调递增．设，则，故在上单调递增，在上单调递减，所以．∴不等式等价于，∴，解得，故的取值范围为．选A．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数，并进一步求得函数的解析式，从而得到函数在区间上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数，若，则______．【答案】-7【解析】【分析】由题意函数，由，求得，进而可求得的值.【详解】由题意函数，因为，则，则，则．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值问题，其中解答中利用函数的奇偶性性和，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.设实数x，y满足则u＝的取值范围是________．【答案】[－，]【解析】试题分析：令，作出可行域，可知可视为，连线的斜率，且为关于的增函数，所以.考点：1.线性规划；2.函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查学生的是线性规划的基本知识和复合函数的单调性的应用,属于基础题目.首先要画出约束条件的可行域,画图时注意观察题中不等式的端点是否有等号,画出的直线有实虚之分,再求出可行域中各交点坐标,根据目标函数的集合意义,先求出斜率的取值范围,代入函数中转化为单调函数的定义域,从中求出值域.15.若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围．【答案】【解析】试题分析：,所以函数的极值点为，又函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，所以，解之得.考点：导数与函数单调性、极值.16.已知三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的大圆面积为________．【答案】【解析】试题分析：如下图所示，设的中点为，，连结，因为，所以，又平面平面，所以平面，又因为是等腰直角三角形，所为的外心，，所以球心一定在直线上，，所以球心在线段的延长线上，设，则三棱锥外接球半径，即，解得，所以，所以三棱锥的外接球的大圆面积.考点：1.球的切接问题；2.球的性质.【名师点睛】本题主要考查球的切接问题与球的性质，属中档题；球的切接问题是最近高考的热点之一，解题的关键是利用所给几何体的特征，找到球心，求出半径；找球心常用方法就是先找到多面体的一个三角形面的外心，球心在过这个外心且垂直于这个平面的直线上，再利用已知条件求出半径，如本题就釆用这种方法；或者是看所给多面体是否能放入某个正方体或长方体中，借助正方体或长方体的外接球去求解.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义，去掉绝对值，得到分段函数，可求解不等式的解集；（2）由题意得，在根据绝对值三角不等式，可得恒成立，从而求解实数的取值范围．试题解析：（1）当时，，易得解集为．（2）．∵解集为，∴恒成立，∵，∴．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．18.在中，分别是角所对的边，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（I）由题意，利用正、余弦定理化简得，即可得到答案.（II）因为，由（I）知，由余弦定理得，进而利用基本不等式，得到，且，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值.【详解】解：（I）∵，∴，由正弦定理得，由余弦定理得，化简得，∴.（II）因为，由（I）知，∴由余弦定理得，根据重要不等式有，即，当且仅当时“=”成立，∴.由，得，且，∴的面积.∵，∴.∴.∴的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.19.已知数列的首项，．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）证明详见解析；（2）．【解析】试题分析：本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n项和等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将已知表达式取倒数，再分离常数、用配凑法证明数列是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出，再计算，用错位相减法求和，在化简过程中用等比数列的前n项和计算即可．试题解析：（1）证明：，，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）解：由（1）知，即，设，①则，②由①－②得，，，又，∴数列的前n项和．考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n项和．20.如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接，交于点，设中点为，连接，，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，再证明平面，从而可得平面，进而可得平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果试题解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．因为，分别为，的中点，所以，且，因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以，即．因为平面，平面，所以．因为是菱形，所以．因为，所以平面．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解法：因为直线与平面所成角为，所以，所以．所以，故△为等边三角形．设的中点为，连接，则．以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．则，，，，，，．设平面的法向量为，则即则所以．设平面的法向量为，则即令则所以．设二面角的大小为，由于为钝角，所以．所以二面角的余弦值为．【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.已知圆，点为圆上的一个动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设动点，得到之间的关系，由相关点法确定轨迹方程即可；（2）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况确定线段长度的取值范围即可.【详解】（1）设动点，由于轴于点由题意，，得即将代入，得曲线的方程为（2）当直线的斜率不存在时，因以为直径的圆过坐标原点，故可设直线为，联立解得同理求得所以；当直线的斜率存在时，设其方程为，设联立，可得由求根公式得（*）∵以为直径的圆过坐标原点，即即化简可得，将（*）代入可得，即即，又将代入，可得∴当且仅当，即时等号成立．又由，，；综上，得．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22.设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若关于的方程有唯一解，且，，求的值.【答案】（1）极大值，无极小值.（2）【解析】【分析】（I）当时，求得函数的导数，令，求得，进而得到函数的单调性，求解函数的极值；（II）由，令，由，得到在上单调递减，所以在上单调递减，进而判定存在使得，又由有唯一解，则必有，联立方程组，即可求解.【详解】（I）的定义域为.当时，，则，令，则.即在上单调递减，又，故时，，在上单调递增，时，，在上单调递减.所以函数有极大值，无极小值.（II）由，令，则，所以在上单调递减，即在上单调递减.又时，；时，，故存在使得.当时，，在上单调递减.又有唯一解，则必有.由消去得.令，则.故当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增.由，，得存在，使得即.又关于的方程有唯一解，且，，∴.故.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究确定方程解的问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值，进而得出相应的含参方程组，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试题难度较大，属于难题，着重考查了转化思想，推理与运算能力．。

江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考语文试题

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