2019年普通高等学校招生第一次统一模拟考试理科数学试题

合集下载

2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学(一)

2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学(一)2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷-理科数学（一）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A={x|-3x+2≤0}，B={x|x²-x≥0}，则A∩B的取值范围是（B）[-1,0)2.设复数z满足z+2i=1+i，则z的值为（C）2/3-4i/33.一组数据：1，3，5，7，9，11，则这组数据的方差是（B）104.若二项式(ax+3)的展开式的常数项为160，则实数a的值为（C）35.若函数f(x)=a+x-log₅3的零点落在区间(k,k+1)(k∈Z)内，若2a=3，则k的值为（D）16.设p:4>2；q:log₂x -17.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为3，a₅=14，若Sm+2=Sm+37，则m的值为（B）68.宋元时期数学名著《算术启蒙》中关于“松竹并生”的问题：a≤b。

松长四尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

如图是根据此问题设计的一个程序框图，若输入a=4，b=1，则输出的n=2.9.函数f(x)=3cosx-xe，x∈[-π/2,π/2]的图象大致是（D）10.若存在实数x，y满足不等式组{x-2y-2≥0.x+3y-2≥0.2x+y-9≤0.y=logₐx}，则实数a的取值范围是{a|a≥2}11.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，g(x)=x³-2x²-5x+6，则f(x)与g(x)的零点个数之和为（C）412.已知函数f(x)=sinx+cosx，g(x)=2cosx，则f(x)与g(x)的零点个数之和为（A）3注：第11、12题已被删除。

1)过抛物线y=-2px(p>0)的焦点F的直线l(斜率小于0)交该抛物线于P，Q两点，已知PQ=5FQ(Q在x轴下方)，且三角形POQ(O为坐标原点)的面积为10，则p的值为（A）22.（解析：由于Q在x轴下方，所以PQ=5FQ=5p，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则有y1=-2px1,y2=-2px2，又F(0,-p)，所以PQ=|y2-y1|=2p|x2-x1|=5p，即|x2-x1|=2.5，又由于三角形POQ面积为10，所以|y1-y2|*x1/2=10，解得x1=5，x2=2.5，代入y1=-2px1中可得p=22.）2)若函数f(x)=e^(ax+3)，函数y=f(f(x))-2有5个不同的零点，则实数a的取值范围是（B）(-e,e)。

2019年普通高等学校全国统一招生考试模拟试题全国Ⅰ卷理科数学

小梦学习园地系列试卷
8
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。高考六月，志在必得！
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题
目计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4−4：坐标系与参数方程
x 1t
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
|

|
4 QF
|

0
成立？若存在，求出 l
的方程；若不存在，请说
明理由．
学习园地高考模拟卷
理科数学试题·第 6 页(共 8 页)
2019 高考金榜题名·全国Ⅰ卷
小梦学习园地系列试卷
7
21．（本小题满分12分）
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。高考六月，志在必得！
已知函数 f (x) 1 a ln x ( a 0 ). x
常数项为
A．20
B． 20
C．40
D． 40
8．如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为
8 3
，则图中
x
的值为
A． 3
B． 7 2
C．4
D． 9 2
9．如图，边长为 a 的正三角形内有三个半径相同的圆，这三个圆分别与正三角形的其中两边相切，且相
邻的两个圆互相外切，则在正三角形内任取一点，该点恰好落在阴影部分的概率为
A． 2 3 π 12
B． 2 3 π 43
B．C． 2 3 π 12+8 3
D． 2 3 π 6+4 3
10．已知在锐角三角形
ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为

2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟理科数学试题(全国Ⅰ卷)Word版含解析

2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟理科数学试题（全国Ⅰ卷）一、选择题1．设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2【答案】D【解析】试题分析：因为23{|-430}={|13},={2A x x x x xB x x =+<<<>所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x ⋂<<⋂><<故选D.【考点】集合运算2．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 实数，则i =x y + （A ）1 （B（C（D ）2 【答案】B【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|x xi yi x y x x yi i +==+=故选B. 【考点】复数运算 3．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97【答案】C【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算4．某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，时间总长度为30，等车不超过10分钟，故所求概率为101303=，选A. 【考点】几何概型5．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得：21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．【考点】双曲线的性质6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428V R 833ππ=⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．【考点】三视图及球的表面积与体积 7．函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为【答案】D【解析】试题分析：()222220f e =⨯->，排除A ；当[]0,2x ∈时，()22xf x x e =-，()4xf x x e '=-，()010f '=-<，()140f e '=->，121202f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，排除B ，C ．故选D ．【考点】函数图像与性质8．若101a b c >><<，，则（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【解析】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，2313log 2log 22<，选项C 正确，3211log log 22>，选项D 错误，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质9．执行右面的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C【解析】试题分析：当0,1,1x y n ===时，110,1112x y -=+=⨯=，不满足2236x y +≥； 2112,0,21222n x y -==+==⨯=，不满足2236x y +≥；13133,,236222n x y -==+==⨯=，满足2236x y +≥；输出3,62x y ==，则输出的,x y 的值满足4y x =，故选C.【考点】程序框图与算法案例10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=|DE|=则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为22y px =，,AB DE 交x 轴于,C F 点，则AC =A 点纵坐标为，则A 点横坐标为4p ，即4O C p=，由勾股定理知2222D F O F D O r +==，2222AC OC AO r +==，即2224()(2()2pp+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.【考点】抛物线的性质.11．平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD=m ，αI 平面AB B 1A 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为（A ）2 （B ）2 （C ）3（D ）13【答案】A【解析】试题分析：如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为//α平面11CB D ，所以//',//'m m n n ，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ，过1D 作11//D E B C ，连接11,CE B D ，则CE 为'm ，同理11B F 为'n ，而111//,//BD CE B F AB ，则','m n 所成的角即为1,A B BD所成的角，即为60︒，故,m n 所成角的正弦值为2，选A. 【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.12．已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B【解析】试题分析：因为4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图像的对称轴，所以()444TkT ππ--=+，即41412244k k T ππω++==⋅，所以41(*)k k N ω=+∈，又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，所以5236181222T ππππω-=≤=，即12ω≤，由此ω的最大值为9.故选B. 【考点】三角函数的性质二、填空题13．设向量a=（m ，1），b=（1，2），且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= . 【答案】2-【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ，得⊥a b ，所以1120m ⨯+⨯=，解得2m =-.【考点】向量的数量积及坐标运算14．5(2x 的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：5(2x 的展开式通项为555255C (2)2C r r rr rr x x---=（0r =，1，2，…，5），令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 考点:二项式定理15．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为．【答案】64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得，2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=.【考点】等比数列及其应用16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………① 目标函数2100900z x y =+. 二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.将2100900z x y =+变形，得73900z y x =-+，平行直线73y x =-，当直线73900zy x =-+经过点M 时，z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标(60,100).所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 【考点】线性规划的应用三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c ABC =∆的面积为2，求ABC 的周长．【答案】（Ⅰ）C 3π=（Ⅱ）5【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行边角代换，再用余弦定理求角；（Ⅱ）根据1sin C 22ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5+试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，即()2cosCsin sinC A+B =．故2sin Ccos C sin C =．可得1cos C 2=，所以C 3π=．（Ⅱ）由已知，1sin C 2ab =．又C 3π=，所以6ab =．由已知及余弦定理得，222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=，从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5+【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式18．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ， 90AFD ∠=，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60．（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）19-【解析】试题分析：（Ⅰ）证明F A ⊥平面FDC E ，结合F A ⊂平面F ABE ，可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量求. 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥，F F A ⊥E ，所以F A ⊥平面FDC E ．又F A ⊂平面F ABE ，故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ，垂足为G ，由（Ⅰ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角，故DF 60∠E =，则D F 2=，DG 3=，可得()1,4,0A ，()3,4,0B -，()3,0,0E -，(D ．由已知，//F AB E ，所以//AB 平面FDC E ．又平面CD AB 平面FDC DC E =，故//CD AB ，CD//F E ．由//F BE A ，可得BE ⊥平面FDC E ，所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角，C F 60∠E =．从而可得(C -．所以(C E =，()0,4,0EB =，(C 3,A =--，()4,0,0AB =-．设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩，即040x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,n =．设m 是平面CD AB 的法向量，则C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩，同理可取()0,3,4m =．则219cos ,19n m n m n m ⋅==-． CBDEF故二面角C E -B -A 的余弦值为19-．【考点】垂直问题的证明及空间向量的应用19．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）19（Ⅲ）19n = 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定X 的取值，再用对立事件概率模型求概率；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出您9，n=20的期望来确定。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国I卷)word版

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学一、选择题（本大题共12 小题，共60 分）1. 已知集合M { x | 4 x 2} ，N { x | x2 x 6 0} ，则M N （）A. { x | 4 x 3}B. { x | 4 x 2}C. { x | 2 x 2}D. { x |2x 3}2. 设复数z 满足z i 1，z 在复平面内对应的点为(x, y) ，则（）A. 2 2(x 1) y 1B. 2 2(x 1) y 1C. 2 ( 1)2 1x yD. 2 ( 1)2 1x y3. 已知a log 2 0.2 ，0.2b 2 ，0.3c 0.2 ，则（）A. a b cB. a c bC. c a bD. b c a5 1 4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是25 1（0.6182称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5. 若某人满足上述两个黄金分割比12例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（）1A. 165cmB. 175cmC.185cmD.190cm5.函数f (x)sin x x2cosx x在[ , ] 的图像大致为（）A.B.C.D.26.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.5 16B. 1132C. 21 32D. 11 167.已知非零向量a,b满足 a 2 b ，且(a b) b ，则a 与b 的夹角为（）A.6B.32C.3D. 5618.右图是求2+12+ 12的程序框图，图中空白框中应填入（）1 A A.2AB. A 2 1 A3C. A 11 2AD. A11 2A9.记S n 为等差数列a n 的前n 项和.已知S4 0 ，a5 5 ，则（）A.a n 2n 5B. a n 3n 10C. 2 211S 2n 8n D.S n 2nn n210.已知椭圆 C 的焦点为( 1,0)F ，F2 (1,0 )，过F2 的直线与 C 交于A ，B 两点. 若1| AF2 | 2|F2B |，| AB | | BF1 |，则C 的方程为（）2x2A. 1y22 y2xB. 13 22 y 2xC. 14 32 y 2xD. 15 411.关于函数f ( x) sin x sin x 有下述四个结论：①f (x) 是偶函数② f (x) 在区间( , )2单调递增③f (x) 在, 有4 个零点④ f (x) 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上，PA PB PC，ABC 是边长为2的正三角形，E, F分别是PA，AB 的中点，CEF 90 ，则球O的体积为（）A. 8 6B. 4 6C. 2 64D. 6二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13. 曲线2xy 3(x x)e 在点 (0,0) 处的切线方程为.1 14. 记 S n 为等比数列a n 的前 n 项和，若 1a，32aa ，则 S 5.4615. 甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.16. 已知双曲线 C: 22xy 221(a 0,b 0)ab的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于A,B两点 . 若 u u ruu u u r uuru u u u r F 1 A AB, F 1B F 2 B 0，则C 的离心率为 .三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分）17.ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c . 设22sin B sinC sin A sin B sinC .（1）求 A ；（2）若 2a b 2c ，求 sin C . 18. 如图，直四棱柱 ABCDA 1B 1C 1D 1 的底面是菱形， AA 1 4, AB 2, BAD 60 ，E,M ,N 分别是 BC, BB 1, A 1D 的中点 .（1）证明： MN / / 平面 C 1 DE ；（2）求二面角 A MA 1N 的正弦值 .219. 已知抛物线 C : y3x 的交点为 P .的焦点为 F ，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为 A ， B ，与 x 轴（1）若 | AF | | BF | 4 ，求 l 的方程；（2）若 AP3PB ，求 | AB |.520.已知函数 f (x) sin x ln(1 x), f (x)为 f (x) 的导函数. 证明：(1) f (x)在区间( 1, )2存在唯一极大值点；(2) f (x) 有且仅有2个零点.21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予 4 分，( 0,1, ,8)p i 表示“甲药的累计得分为ii时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 0 ，p8 1 ，p ap bp cp (i 1,2, ,7) ，其中 a P(X 1 )， b P(X0) ，i i 1 i i 1c P( X 1) ．假设0.5，0.8 ．（i ）证明：{ p i 1 p i }( i 0,1, 2, ,7) 为等比数列；（ii ）求p4 ，并根据p4 的值解释这种实验方案的合理性．四、选做题（ 2 选1）（本大题共 2 小题，共10 分）0.4在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为xy221 t1 t (t )为参数. 以坐标原点O为极4t21 t点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2 cos 3 sin 11 0 .（1）求C和l 的直角坐标方程；（2）求C上的点到l 距离的最小值.0.5已知a,b,c 为正数，且满足abc 1，证明：（1）1 1 1a b c2 2 2a b c6（2） 3 3 3(a b) (b c) (c a) 2472019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学答案21.答案：C解答：由题意可知, N { x | 2 x 3} , 又因为M { x | 4 x 2} , 则M N { x | 2 x 2} ，故选C .22.答案：C解答：∵复数z 在复平面内对应的点为(x, y)，∴z x yi∴x yi i 1∴ 2 ( 1)2 1x y23.答案：B解答：由对数函数的图像可知： a log 2 0.2 0；再有指数函数的图像可知： b 20.2 1，0.60 c 0.2 1，于是可得到： a c b .24.答案：B解答：方法一：设头顶处为点A，咽喉处为点 B ，脖子下端处为点 C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，足底处为F ，B D t，521 ，根据题意可知A BBD , 故AB t ；又AD AB BD ( 1)t ，A DDF，故DF 1t ；2( 1) 5 1所以身高h AD DF t 代入可得h 4.24t .，将0.6182根据腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm 可得AB AC ，D F EF ；15 1即t 26，105t ，将0.618即t 26，1052所以169.6 h 178.08，故选B.方法二：代入可得40 t 42由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度26cm 可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是15 1 5 1（0.618 称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm ；将2 2人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm，头顶至5 1肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头2 顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm ，与答案175cm 更为接近，故选 B. 5. 答案：D 解答：sin x xf ( x)∵ 2cos x xsincosx x2x xf (x)，∴f (x) 为奇函数，排除A，sin4 22 2f ( ) 0，排除C，又2 22cos2 2sinf ，排除B，故选 D.( ) 02 21 cos25.答案：A解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有26 种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C种，所以3C 20 56P .62 64 16答案：26.答案 B解答：设a 与 b 的夹角为，∵(a b) b∴2 (a b) b a b cos b =0∴cos = 1 2∴=.327.答案：A解答：2把选项代入模拟运行很容易得出结论选项 A 代入运算可得1A=12+2+12，满足条件，选项 B 代入运算可得1A=2+2+12, 不符合条件，选项C代入运算可得1A , 不符合条件，2选项D代入运算可得28.答案：A解析：1A 1+ , 不符合条件.4依题意有S4a 6d 04 1a a 4d 55 1，可得a1 3d 2， 2 5a n ，n2 4S nn .n29.答案：B解答：由椭圆C 的焦点为( 1,0 )1可设| BF2 | m ，则| AF2 | 2m ，| BF1 | | AB | 3m ，根据椭圆的定义可知1 | 12 ，得m a BF | | BF | m 3m 2a21，所以| BF2 | a，| AF2 | a ，可知A(0, b) ，22 23 1x y根据相似可得)B( , b 代入椭圆的标准方程 12 22 2a b22 a2 c2，得 3a ，b 2 ，2 y2xC 13 2.30.答案：C解答：因为f ( x) sin x sin( x) sin x sin x f (x) ，所以f ( x) 是偶函数，①正确，因为5 2, ( , )6 3 2，而5 2f ( ) f ( )6 3画出函数 f (x) 在, 上的图像，很容易知道 f (x) 有3零点，所以③错误，结合函数图像，可知 f (x) 的最大值为2 ，④正确，故答案选 C.31.答案：D解答：3设P A x，则2 2 2 2 2 2PA PC -AC x x 4 x 2 cos APC =22PA PC 2 x x x∴ 2 2 2 2 cos CE PE PC PE PC APC2 2 2x x x 2 x2x 2 x 224 2 x 4∵CEF 90 ，1 xEF PB ,CF 32 2∴ 2 2 2 CE EF CF , 即2 2x x2 34 4，解得x 2 ，∴PA PB PC 2又AB BC AC 2易知PA, PB ,PC 两两相互垂直，故三棱锥P ABC 的外接球的半径为 62，3∴三棱锥P ABC 的外接球的体积为4 63 26 ，故选 D.32.答案：y 3x 解答：∵x 2 x y 3(2 x 1)e 3(x x)e2 x3(x 3x 1)e ，∴结合导数的几何意义曲线可知在点(0,0) 处的切线方程的斜率为k 3，∴切线方程为y 3x .33.答案：S5解答：121 312a ，a a ∵4 613 设等比数列公比为q∴ 3 2 5(a q ) a q1 1∴q 3∴S5121 334.答案：0.184解答：甲队要以4 :1，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第 5 场甲获胜，由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2 个客场，于是分两种情况：1 2 2 1C2 0.6 0.4 0.5 0.6 0.6 C2 0.5 0.5 0.6 0.18 .35.答案：2解答：由u u ru u u u r u u ru u u u rF1 A AB, F1B F2 B 0知A是B F1 的中点，u u ru u u u rF B F B1 2，又O是F1, F2 的中点，所以OA为中位线且OA BF1 ，所以OB OF1 ，因此F1O A BOA ，又根据两渐近线对称，FOA F OB ，所以F2OB 60 ，1 2 eb2 21 ( ) 1 tan 60 2a.36.答案：略解答：（1）由 2 2sin B sin C sin A sin Bsin C 得 2 2 2sin B sin C sin A sin B sin C结合正弦定理得 2 2 2b c a bc∴cos A=2 2 2 1b c a2 b c 2又A (0, ) ，∴=A .3（2）由2a b 2c 得 2 sin A sin B 2sin C , ∴ 2 sin A sin A C 2sin C∴6sin( C) 2sin C , 2 3∴3 1 2sin C cos C2 2 25∴2 sin( C)6 2又02C ∴3C6 6 2又s in(C ) 0∴06 C6 2∴cos2C ，6 2∴sin C sin( C) sin cos cos sinC C 6 26 6 6 6 6 64.37.答案：（1）见解析；（2）105 .解答：（1）连结M ,E和B1,C，∵M ,E 分别是BB1 和BC 的中点，∴ME / /B1C 且1ME B C，12又N 是A1 D ，∴ME / /DN ，且ME DN ，∴四边形MNDE 是平行四边形，∴MN / /DE ，又DE 平面C1 DE ，MN 平面C1 DE ，∴MN / /平面C1DE .（2）以D 为原点建立如图坐标系，由题 D (0,0,0) ，A(2,0,0) ，A1(2,0,4) ，M (1, 3,2)uuruA1 A (0,0, 4) ，u u u u rA1M ( 1, 3, 2) ，u u u rA1D ( 2,0, 4)，设平面AA1 M 的法向量为u rn1 (x1, y1,z1) ，平面DA1M 的法向量为u u rn2 (x2, y2 ,z2 )，由u r uurun A A01 1u r uuuru 得n A M01 14z 01，令x 3y 2z 01 1 1x 得1 3u rn1 ( 3,1,0)，6由∴u u r uuur n A D 02x4z2221u u r uuuru得x 3y2z0 n A M 022221u r u u r u r u u r n n1512cos n ,nu r u u r，∴二面角125n n12u u r，令 x 22 得n 2(2,0, 1)，A MAN 的正弦值为 10 15.38. 答案：（1）8y 12x 7 0 ；4 13（2）.3解答：3lyx b2，设 ( , ) A x 1 y ， B( x 2, y 2 ) ， 1y 3 2x b消去 y 化简整理得（1）联立直线 l 与抛物线的方程：2y3x 92292b2x (3b 3) x b 0，(3b 3)40，44 1 b ，2 4 (3 3b)xx，1293依题意 | AF | |BF | 4可知4x 1 x，即225x 1 x，故 224 (3 3b) 95 2 ，得7b ，满足0，故直线l 的方程为83 7y x ，即8y 12x 7 0 .2 8y 32x b（2）联立方程组消去x 化简整理得y2 2y2b 0 ， 4 8b 0 ，2y 3x1b ，y1 y2 2 ，y1y2 2b ，AP 3PB ，可知2 y1 3y ，则2y2 2 ，得27y 1，y1 3，故可知23b 满足0，21 4 4 13| 1 2 y1 y2 | 1 |31|AB | | .k 9 3 39.答案：略解答：(1) 对f (x) 进行求导可得， f (x) cos x11 x，( 1 )x2取g( x) cos x11 x1g ( x) sin x，则 2(1 x),1在( 1, ) g (x) sin xx 内 2(1 x)2为单调递减函数，且g( 0 ) ，1 1g( ) 1 0 22(1 )2 所以在x (0, 1)内存在一个x ，使得g (x) 0 ，所以在x ( 1,x ) 内g (x) 0 ，f (x)为增函数；在0 x x 内g (x) 0 ，f (x) 为减函数，( , )2所以在 f (x) 在区间( 1, )2存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当x ( 1,0) 时， f (x)单调增，且 f (0) 0 ，可得 f ' x 0则f (x) 在此区间单调减；当x (0, x0) 时， f (x) 单调增，且 f (0) 0 ， f (x) 0 则f (x) 在此区间单调增；又f (0) 0则在x ( 1, x0) 上f ( x) 有唯一零点x 0 .x x 时， f (x) 单调减，且当( 0, )2 f (x ) 0, f ( ) 0 ，则存在唯一的x1 (x0, ) ，2 2使得 f ( x1) 0，在x (x0, x1) 时，f (x) 0 ，f ( x) 单调增；当x x 时，f (x) 单( , )12调减，且( ) 1 ln(1 ) 1 ln 0f e ，所以在2 2 x ( x , ) 上f ( x) 无零点；2当x ( , ) 时，y sin x 单调减，y ln(1 x) 单调减，则 f (x) 在( , )x 上单调2 2减, f ( ) 0 ln(1 ) 0 , 所以在x ( , ) 上f (x) 存在一个零点.2当x ( , ) 时， f ( x) s i n x l n (x1 ) 1 l n (恒1 成立，则 f (x) 在x ( , ) 上无零点.8综上可得， f (x) 有且仅有2个零点.40.答案：（1）略；（2）略解答：：1、1、0．（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则P( X 1) (1 ) ；得得1分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则P(X 1) (1 ) ；得0分时是都治愈或都未治愈，则P(X 0) (1 )(1 ) ．X的分布列为：则（2）（i ）因为0.5，0.8 ，则a P(X 1) 0.4 ，b P( X 0) 0.5 ，c P(X1) 0.1．可得p i 0.4 p i 1 0.5 p i 0.1 p i 1 ，则0.5 p i 0.4 p i 1 0.1 p i 1 ，4 ，p pi 1 i0.4( p i p i 1) 0.1( p i 1 p i ) ，则则p pi i 1所以{ p i p i }( i 0,1, 2, ,7) 为等比数列．1（ii ）{ p i 1 p i }( i 0,1, 2, ,7) 的首项为p1 p0 p1 ，那么可得：7p8 p7 p1 4 ，6p7 p6 p1 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯p2 p1 p1 4 ，以上7 个式子相加，得到7 6p8 p1 p1 (4 4 4) ，8 81 4 4 1 3 6 7则p p (1 4 4 4 ) p p ，则18 p ，8 1 1 11 4 3 4 1再把后面三个式子相加，得 2 3p4 p1 p1 (4 4 4 ) ，9则4 44 1 4 1 3 1 12 3p p (1 4 4 4 ) p ．4 1 1 8 43 34 1 4 1 257p 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5，40.8 ，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而合理的．1p 的确非常小，说明这种实验方案是42570.7答案：略解答：(1) 曲线C: 由题意得x21 t 212 21 t 1 t即x 112t 2，则ty2(x 1)，然后代入即可得到2y42 1x (x ? 1)而直线l ：将x cos , y sin 代入即可得到2x 3y 11 0 （2）将曲线C 化成参数方程形式为则d4sin( ) 11 2cos 2 3 sin 11 67 7所以当36 2时，最小值为70.8答案：见解析：解答：（1）abc 1，1 1 1a b cbc ac ab.由基本不等式可得：2 2 2 2 2 2b c a c a b bc , ac ,ab ，2 2 2于是得到1 1 1a b c2 2 2 2 2 2b c a c a b2 2 22 2 2a b c .（2）由基本不等式得到：3a b ab a b 3 ab2 ，2 ( ) 8( )ab ab a b 3 ab 2 ，10。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷Ⅰ,理)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(2019全国Ⅰ,理1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019全国Ⅰ,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1z=x+y i(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=√x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.3.(2019全国Ⅰ,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<aa=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20<1,所以a<c<b.故选B.4.(2019全国Ⅰ,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-1 2√5-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是()A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cmx cm,则26x ≈√5-12,得x≈42.07,又其腿长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B.5.(2019全国Ⅰ,理5)函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[-π,π]的图像大致为()f (-x )=-f (x )及区间[-π,π]关于原点对称,得f (x )是奇函数,其图像关于原点对称,排除A .又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f (π)=π-1+π2>0,排除B,C .故选D .6.(2019全国Ⅰ,理6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516 B.1132 C.2132 D.1116,每一爻有2种情况,故一重卦的6个爻有26种情况.其中6个爻中恰有3个阳爻有C 63种情况,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为C 6326=516,故选A .7.(2019全国Ⅰ,理7)已知非零向量a ,b 满足|a |=2|b |,且(a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6(a-b )⊥b ,所以(a-b )·b=a ·b-b 2=0, 所以a ·b=b 2.所以cos <a ,b >=a ·b|a |·|b |=|b |22|b |2=12,所以a 与b 的夹角为π3,故选B .8.(2019全国Ⅰ,理8)右图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入( )A.A=12+AB.A=2+1AC.A=11+2AD.A=1+12A1次,A=12,k=1≤2,是,第一次应该计算A=12+12=12+A,k=k+1=2;执行第2次,k=2≤2,是,第二次应该计算A=12+12+12=12+A ,k=k+1=3;执行第3次,k=3≤2,否,输出,故循环体为A=12+A ,故选A .9.(2019全国Ⅰ,理9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n,{S 4=4a 1+4×32·d =0,a 5=a 1+4d =5,解得{a 1=-3,d =2.故a n =2n-5,S n =n 2-4n ,故选A .10.(2019全国Ⅰ,理10)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1,由已知可设|F 2B|=n ,|BF 1|=m.由|AB|=|BF 1|,则|AF 2|=m-n ,|AB|=m. 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|,故|AF 1|=2n. 由椭圆的定义及|AF 2|=2|F 2B|, 得{m -n =2n ,m +n =2a ,解得{m =3a2,n =a 2.∴|AF 1|=a ,|AF 2|=a. ∴点A 为(0,-b ). ∴k AF 2=b1=b.过点B 作x 轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF 2∽△PBF 2. 又|AF 2|=2|F 2B|,∴|OF 2|=2|F 2P|.∴|F 2P|=12.又k AF 2=|BP ||F 2P |=|BP |12=b ,∴|BP|=12b.∴点B (32,12b).把点B 坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1中,得a 2=3.又c=1,故b 2=2.所以椭圆方程为x 23+y 22=1.11.(2019全国Ⅰ,理11)关于函数f (x )=sin |x|+|sin x|有下述四个结论:①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(π2,π)内单调递增 ③f (x )在[-π,π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④D.①③f (x )的定义域为R ,关于原点对称,且f (-x )=sin |-x|+|sin(-x )|=sin |x|+|sin x|=f (x ),所以f (x )为偶函数,故①正确;当π2<x<π时,f (x )=2sin x ,它在区间(π2,π)内单调递减,故②错误;当0≤x ≤π时,f (x )=2sin x ,它有两个零点0和π;当-π≤x ≤0时,f (x )=sin(-x )-sin x=-2sin x ,它有两个零点-π和0;故f (x )在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确;综上可知①④正确,故选C.12.(2019全国Ⅰ,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6πPA=PB=PC=2x.∵E,F分别为PA,AB的中点,∴EF∥PB,且EF=12PB=x.∵△ABC为边长为2的等边三角形,∴CF=√3.又∠CEF=90°,∴CE=√3-x2,AE=12PA=x.在△AEC中,由余弦定理可知cos∠EAC=x 2+4-(3-x2) 2×2·x.作PD⊥AC于点D,∵PA=PC,∴D为AC的中点,cos∠EAC=ADPA =12x.∴x 2+4-3+x 24x=12x .∴2x 2+1=2.∴x 2=12,即x=√22. ∴PA=PB=PC=√2.又AB=BC=AC=2,∴PA ⊥PB ⊥PC. ∴2R=√2+2+2=√6. ∴R=√62.∴V=43πR 3=43π×6√68=√6π.故选D .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题和答案(卷Ⅰ)

1
D．b c a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 −1（ 5 −1 ≈0.618，
2
2
称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚
脐的长度之比也是 5 −1 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长 2
度为 26 cm，则其身高可能是
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
5．函数
f(x)=
sinx + x cosx + x2
在[−, ] 的图像大致为
A．
B．
D．190 cm
C．
D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________．

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(含答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．-3 B ．-2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │10．已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B．5C3D511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为ABC ．2D 12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分。

2019年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国1卷参考版)【含答案及解析】

2019年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1卷参考版）【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）2. 设，其中，实数，则（ A ） 1 （ B ）（ C ）（ D ） 23. 已知等差数列前9项的和为27，，则（ A ） 100 （ B ） 99 （ C ） 98 （ D ） 974. 某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）5. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）7. 函数在的图像大致为8. 若，则（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）9. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出x，y的值满足（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）10. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C 的准线于D、E两点.已知|AB|= ，|DE|= ，则C的焦点到准线的距离为（ A ） 2 （ B ） 4 （ C ） 6 （ D ） 811. 平面过正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点A， //平面CB 1 D 1 ，平面ABCD=m，平面AB B 1 A 1 =n，则m、n所成角的正弦值为（ A ）______________ （ B ）________ （ C ）________ （ D ）12. 已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ A ） 11 （ B ） 9 （ C ） 7 （ D ） 5二、填空题13. 设向量a= （ m，1 ），b= （ 1，2 ），且|a+b| 2 =|a| 2 +|b| 2 ，则m=______________________________ .14. 的展开式中，x 3 的系数是____________________ . （用数字填写答案）15. 设等比数列满足a 1 +a 3 =10，a 2 +a 4 =5，则a 1 a 2 …a n 的最大值为______________________________ ．16. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为____________________________ 元．三、解答题17. 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若的面积为，求的周长．18. 如图，在以 A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．（Ⅰ）证明：平面ABEF 平面 EFDC；（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．19. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ ）若要求，确定的最小值；（Ⅲ ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？20. 设圆的圆心为A，直线l过点B （ 1,0 ）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（Ⅰ）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ ）设点E的轨迹为曲线C 1 ，直线l交C 1 于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.21. 已知函数有两个零点.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x 1 ，x 2 是的两个零点，证明： .22. 选修4-1：几何证明选讲如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心， OA为半径作圆.（Ⅰ）证明：直线AB与 O相切；（Ⅱ）点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.23. 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y中，曲线C 1 的参数方程为（ t为参数，a＞0 ）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ：ρ=.（Ⅰ）说明C 1 是哪一种曲线，并将C 1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3 的极坐标方程为，其中满足tan =2，若曲线C 1 与C 2 的公共点都在C 3 上，求a ．24. 选修4—5：不等式选讲已知函数 .（Ⅰ）在图中画出的图像；（Ⅱ）求不等式的解集．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 若siniθcosθ＞0，则θ在( )(A) 第一、二象限(B) 第一、三象限(C) 第一、四象限(D) 第二、四象限(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 (B) (x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4(C) (x－1) 2＋(y－1) 2 = 4 (D) (x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4(3) 设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )(A) 1(B) 2(C) 4(D) 6(4) 若定义在区间(－1，0)的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是( )(A)(210，)(B)⎥⎦⎤ ⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是( )(6) 函数y = cos x ＋1(－π≤x ≤0)的反函数是 ( )(A) y =－arc cos (x －1)(0≤x ≤2) (B) y = π－arc cos (x －1)(0≤x ≤2) (C) y = arc cos (x －1)(0≤x ≤2)(D) y = π＋arc cos (x －1)(0≤x ≤2)(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 ( )(A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( )(A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减； ④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减．其中，正确的命题是( )(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) (A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26 (B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 (14)双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为(15)设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则 q =(16)圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (18) (本小题满分12分) 已知复数z 1 = i (1－i ) 3． (Ⅰ)求arg z 1及1z ；(Ⅱ)当复数z 满足1z =1，求1z z -的最大值． (19) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(20) (本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．(Ⅰ)证明in i i m i P m P n <；(Ⅱ)证明(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ． (21) (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ (22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0，21]都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ)求f (21) 及f (41)； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数； (Ⅲ)记a n = f (2n ＋n21)，求()n n a ln lim ∞→．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三.解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是 M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ……2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯=41=．……4分（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱． ……6分∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ，∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tan ∠BSC =22=SB BC ．即所求二面角的正切值为22． ……12分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z 1 = i (1－i ) 3 = 2－2i ，将z 1化为三角形式，得⎪⎭⎫⎝⎛+=47sin47cos 221ππi z ，∴ 47arg 1π=z ，221=z ． ……6分（Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则z －z 1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i ， ()()22212sin 2cos ++-=-ααz zsin 249+=(4πα-)， ……9分当sin(4πα-) = 1时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为2pmy x +=； ……4分代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ……8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点c 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=．即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ……12分证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． ……2分连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF AC CN AD EN ==，，ABAF BCNF = ……6分根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =， ……8分∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明：对于1＜i ≤m 有im p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=m m m m m p i i m 1…mi m 1+-⋅，同理 ⋅-⋅=n n n n n p i in 1…ni n 1+-⋅， ……4分由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mkm n k n ->-，所以 i im i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有()in ni i nC m m ∑==+01， ()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由 (Ⅰ)知i n i p m ＞im i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，而 !i p C i m im=，!i p C i n in =， ……10分所以， im i i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝．因此，∑∑==>mi im i mi i niC n Cm 22．又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi im i ni i niC n Cm 0．即 (1＋m )n ＞(1＋n )m ． ……12分（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n 年投入为800×（1－51）n －1万元．所以，n 年内的总投入为a n = 800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n －1∑=--⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1－(54)n]； ……3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n 年旅游业收入为400×（1＋41）n －1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n = 400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n －1∑=-⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n－1]． ……6分（Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即 1600×[（45）n －1]－4000×[1－（54）n ]＞0．化简得 5×（54）n ＋2×（54）n －7＞0， ……9分设=x （54）n，代入上式得 5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得52<x ，x ＞1(舍去)．即（54）n ＜52，由此得 n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分。

2019年普通高等学校招生第一次统一模拟考试理科数学参考答案

解：（ Ⅰ ）由题意知 B 0, b ， F2 1,0 ,设 D x, y 则 BF2 1,b ， F2 D x 1, y ∵ BF2 2 F2 D ，
3 x 2 1 2 x 1 ，即 b b 2y y 2
*
（ n 2 )，其中 S n 为 {a n } 的
1 ， {bn } 的前 n 项和 (1 + log 4 an )(3 + log 4 an )
为 Tn ，且对任意的正整数 n 都有 Tn m ，求 m 的最小值．解：（ Ⅰ ） ∵ an = 3S n -1 + 1 ， n 2 ， ∴ an+1 = 3S n + 1 两式相减得 an+1 - an = 3an , n 2 ∴
(Ⅱ) 由柱状图知，流失的教师数不大于 18 的频率为 0.46；流失的教师数不大于 19 的频率为 0.7，所以 n 的最小值为 19. (Ⅲ)若每所乡村中学在今年都招聘 19 名教师,则未来四年内这 100 所乡村中学中有 70 所在招聘教师上费用为 38 万元,20 所的费用为 43 万元,10 所的费用为 48 万元,因此这 100 所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需费用的平均数为 :
高三理科数学答案第
6 页
（共 8 页）
取 x = 2，得 n =（2，0，﹣1），由 DF =（﹣1，

，4）．
设平面 DEF 的法向量为 m =（a，b，c），
ì ï m × DE = a + 3b + 2c = 0 ， ï 则í ï ï ï îm × DF = -a + 3b + 4c = 0

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国一卷)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国一卷） 2019.06. 07满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1、已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =（）A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2、设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（） A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-= D ．22(+1)1y x +=3、已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（）A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5、函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．6、我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A ．516 B ．1132 C ．2132D ．11167、已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68、如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（）A ．A =12A + B ．A =12A + C ．A =112A + D ．A =112A+9、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ) A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10、已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212xy += B ．22132x y += C ．22143x y+= D ．22154x y+= 11、关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间（2π,π）单调递增；③f (x )在[,]-ππ有4个零点；④f (x )的最大值为2；其中所有正确结论的编号是（）A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12、已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（） A． B． C．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

个考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（本小题满分 12 分）
已知数列 {an} 满足 a1 1 ， an = 3Sn-1 + 1 前 n项和， nN*.
（ n 2 )，其中 Sn 为 {an} 的
（ Ⅰ ）求 an ；
5
A．
5
35
B．
5
7
C．
5
9
D．
5
11．已知 ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 2sin( A ) 1，且 a 2 ，则 ABC 的面积的最大值为 26
高三理科数学第 3 页（共 8 页）
高三理科数学第 2 页（共 8 页）
8．法国学者贝特朗于 1899 年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为 1 的圆内随机地取一条弦，问：弦长超过圆内接等边三角形的边
长 3的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，
xb
D. 2
则下列结论成立的是
A. a 0,b 0, c 0 B. a 0,b 0, c 0
高三理科数学第 1 页（共 8 页）
C. a 0, b 0, c 0 D. a 0,b 0, c 0
4.已知非零向量 a、 b 满足 |a＋ b|=|a－ b|= 2 3 |a|，则 a＋ b 与 a－ b 的 3
3
3
B． [1, 2 + 2 3 ] C． [2 - 2 3 , 3] D． [1， 3]
3
3
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 若半径为 2 的球内切于一个正三棱柱中，则该三棱柱的体积为
．
14．已知
sin(
)

3
，则
⊥ 平面 ABCD，且 AEFC 是直角梯形， ∠ EAC=90° ， CF∥ AE， AE =AB =2， CF = 4．
（ Ⅰ ）求证： BD⊥ EF；（ Ⅱ ）求二面角 B﹣ DE﹣ F 的余弦值．
高三理科数学第 7 页（共 8 页）
21．（本小题满分 12 分）
3
D.
4
10 . 已知点 P 在圆 C : x2 ( y 3)2 1 上，点 Q 在双曲线 x2 - y2 = 1 的右支 5b
上， F 是双曲线的左焦点，若 | PQ | | QF | 的最小值为 3 2 5 ，则双曲线 x2 - y2 = 1的离心率为 5b
夹角为
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
5. 角的顶点在原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边关于 x 轴对称的射
线经过点 P（ — 4， 3），则 cos 的值为
4
A.
B.
3
3
C.
D. 4
5
5
5
5
6.已知抛物线 y2=2px(p＞ 0)的焦点为 F,其准线与双曲线 y2 - x2 = 1相交 3
于 M,N 两点 ,若 △ MNF 为直角三角形 ,其中 F 为直角顶点 ,则 p =
பைடு நூலகம்
A. 2 3
B. 4
C. 3 2
D.6
7.执行如右图所示的程序框图，若输出 i 的值为 2 ，则输入 x 的最大值是
A．5 B．6 C．11 D．22
来源:学科网 ZXXK] [来源:]
存在着不同答案 .现给出其中一种解释：固定弦的一个端点 A，另一端点在圆周上随机选取，其答案为
1
A.
2 1
C．
3
1
B．
4 1
D．
6
9.在正三棱柱 ABC — A1B1C1 中， AB= A A1 = 1，则异面直线 BC1 与 A1B1 所成角的余弦值为
2
A.
4
2
B.
2
3
C.
6
高三理科数学第 8 页（共 8 页）
（ Ⅰ）若 n=19,求 y 与 x 的函数解析式；（ Ⅱ）若要求 “ 流失的教师数不大于 n”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值；（ Ⅲ ）假设今年该市为这 100 所乡村中学的每一所都招聘了 19 个教师或 20 个教师 ,分别计算该市未来四年内为这 100 所乡村中学招聘教师所需费用的平均数 ,以此作为决策依据 ,今年该乡村中学应招聘 19 名还是 20 名教师?
BF2 2F2D . （Ⅰ）求椭圆 C的方程；（ Ⅱ ）设 P 是椭圆 C 上不同于 A 、 B 的点，直线 PA 与 y 轴交于点 M ,
直线 PB 与 x 轴交于点 N ，求证： AN BM 为定值 .
20．（本小题满分 12 分）如图，ABCD 是菱形，∠ ABC=60 ° ，AC 与 BD 相交于点 O，平面 AEFC
且 f（1）= 2，那么下面四个式子：
① f（ 1） +2f（ 1） +… +nf（ 1）；
②
f ( n(n
+ 1) )；
2
③n（ n+1）；
④n（ n+1）f（1）．
其中与 f（1）+f（2）+…+f（n）（ n∈N*）相等的是
．
高三理科数学第 4 页（共 8 页）
三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 -- 21 题为必考题，每
（ Ⅱ ）若数列 {bn}满足 bn
=
(1
+
1 log4an )(3
+
log4an )， {bn}的前
n
项和
为 Tn ，且对任意的正整数 n 都有 Tn m ，求 m 的最小值．
高三理科数学第 5 页（共 8 页）
18．（本小题满分 12 分） 2017 年两会继续关注了乡村教师的问题 ,随着城乡发展失衡 ,乡村教
笔书写，字迹工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答
案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用图改液、修正带、
刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
（ Ⅱ ）设直线 l 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，点 M 为 AB 的中点，点 P
的极坐标为 (
2,
)
，求
|
PM
|的值
．
4
23 .[ 选修 4-5 ：不等式选讲] （本小题满分 10 分）
已知函数 f(x) = x - a - x + 1 ．（ Ⅰ ）当 a =2 时，求函数 f(x) = x - a - x + 1 的最小值；（ Ⅱ ）若 f(x) £ 2 ，求 a 的取值范围.
有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 z i （其中 i 为虚数单位），则 1 z z
1i
2
1
A．
4
1
B．
2
C．1
D． 2
2. 若 a，b R ，集合 {1，a b, a 0, b ,b ，求 b a 的值 a
A.0
B.1
C.—1
3. 函数 f x ax2 c 的图象如图所示，
师待遇得不到保障 ,流失现象严重 ,教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题,为此 ,某市今年要为某所乡村中学招聘储备未来三年的教师 ,现在每招聘一名教师需要 2 万元 ,若三年后教师严重短缺时再招聘 ,由于各种因素 ,则每招聘一名教师需要 5 万元 ,已知现在该乡村中学无多余教师 ,为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市 100 所乡村中学在过去三年内的教师流失数 ,得到右面的柱状图 :记 x 表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师数,y 表示一所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用 (单位 :万元 ),n 表示今年为该乡村中学招聘的教师数 ,为保障乡村孩子教育不受影响 , 若未来三年内教师有短缺 ,则第四年马上招聘 .
已知函数
1 f(x)=
ax2
- ln(x
- 1) ,
其中 a Î R
.
2
（ Ⅰ ）是否存在实数 a，使得 f (x)在x 2 处取极值？试证明你的结论；
（ Ⅱ ）若 f (x)在(1, 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围 .
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修 4-4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）