结构动力学习题2..

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结构动力学习题2..

结构动力学习题参考答案

2.3一根刚梁AB ，用力在弹簧BC 上去激励它，其C 点的运动规定为Z （t ）,如图P2.

3. 按B 点的垂直运动u 来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。解：以在重力作用下的平衡位置作为基准点，则方程建立时不考虑重力。根据

达朗贝尔原理，通过对A 点取矩建立平衡方程，刚体上作用有弹簧弹力1s f ，

2s f ，以及阻尼力D f ，惯性力2M 。B 点的垂直位移是u ，则有几何关系知2

/L 处的位移为2/u 。根据位移图和受力图可得：

221=⨯-⨯+⨯+L f L

f L f M s D s I 其中

22221....

(21

31u

c f u z k f u k u R f u

mL L u mL M D s s I =-==⨯=== 代入○

1式得： 0

)(L 4

41ML 3121...=--++L u z k u k u cL u 合并化简得：

)(12)123(3M 4221.

t Z k u k k u c u =+++

2.5 系统如图P2.5 , 确定按下形式的运动方程：)(.

..t P ku u c u m u =++。其中u 为

E 点的垂直运动。假定薄刚杆AE 的质量为M,其转动很小。

解：根据牛顿定律，运动几何关系，对B 点取矩得

L u

L m mL L u k L u c L L t f p 4

)4(1214343854)(..

22.0⨯

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⨯⨯-⨯-⨯⨯

化简合并得：

)

()()(845

.,3,3,M 7)(8

结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题

例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。

从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。

2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求

(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。

2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。如果体系在初始条件

in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。假设：(a) c=0（无阻

尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。

2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。

结构动力学大作业2

结构动力学大作业

班级：

学号：

姓名：

1. Wilson-θ法原理简介 (2)

2. Wilson-θ程序验算 (3)

2.1△t的影响 (4)

2.2 θ的影响 (5)

3. 非线性问题求解 (5)

4. 附录 (8)

Wilson-θ法源程序 (8)

1. Wilson -θ法原理简介

图1-1Wilson-θ法示意图

Wilson-θ法是基于对加速度a 的插值近似得到的，图1-1为Wilson-θ法的原理示意图。

推导由t 时刻的状态求t +△t 时刻的状态的递推公式：

{}{}{}{}()t t

t t t y y y y t

τθτ

θ++∆=+-∆ (1-1)

对τ积分可得速度与位移的表达式如下：

{}{}{}{}{}2

()2t t t t t t y

y y y y

τθττθ++∆=++-∆ (1-2)

{}{}{}{}{}{}2

()26t t t t t t t y y y y y y

θτττθ++∆=+++-∆ (1-3)

其中τ=θt ，由式(1-2)、(1-3)可以解出：

{}{}{}{}{}266

()2()t t t t

t t t y y y y y t t

θθθθ+∆+∆=---∆∆

(1-4)

{}{}{}{}{}3()22

t t t t t t t t

y y y y t θθθθ+∆+∆∆=---∆

(1-5)

将式(1-4)、(1-5)带入运动方程：

[]{}[]{}[]{}{}m y C y k y P ++=

(1-6)

[]{}[]{}[]{}{}t t t t t t t t

m y C y k y P θθθθ+∆+∆+∆+∆++= (1-7)

结构动力学题解(2)

用 Maple 计算振型，即为求矩阵的特征向量：
2、图示两个自由度的集中质量系统，图中， m1 = 振型。
1 1 m2 k1 = k 2 计算自振频率和对应的 2 2
解：计算劲度矩阵 K
k11 = k1 k 21 = − k1 k12 = − k1 k 22 = k1 + k 2
劲度矩阵：
k1 K = − k 1
将上式展开简化
k1 − ω 2 m1 y1 F1 − k1 = 2 −k 3k1 − 2ω m1 1 y2 0
解方程，可得：
F1 3k1 − 2ω 2 m1 = y 1 2k12 − 5k1ω 2 m1 + 2ω 4 m12 F1k1 y2 = 2 2k1 − 5k1ω 2 m1 + 2ω 4 m12
y1 (t ) = q1 (t ) + q2 (t ) = 3.5132
5、习题 4 中结构受突加载荷作用，若已知阻尼比 ξ1 = ξ 2 = 0.05 试计算 m1 和 m2 的运动规律。解：根据杜哈姆积分求出振型坐标响应，并经整理后得：
qj = q1 =
Fj mω
* j 2 j
×
1 ξ j sin ω j t + cos ω j t 1− ξωt ξ +1 ej j

结构动力学试题及答案

（本文按试题和答案格式进行编写）

试题一：

1. 请问什么是结构动力学？

2. 简述结构动力学的研究对象和主要内容。

3. 结构动力学分析常用的方法有哪些？

4. 结构动力学分析中常用的数学模型有哪些？

5. 结构动力学的应用领域有哪些？

答案一：

1. 结构动力学是研究结构在外力作用下的动态响应及其稳定性的学科。

2. 结构动力学的研究对象是各种工程结构，主要内容包括结构的振动、冲击响应、瞬态响应和稳态响应等。

3. 结构动力学分析常用的方法有模态分析法、频率响应分析法、时程分析法等。

4. 结构动力学分析中常用的数学模型有单自由度体系、多自由度体系、连续体系等。

5. 结构动力学的应用领域广泛，包括建筑结构工程、桥梁工程、风力发电机组、地震工程等。

试题二：

1. 结构动力学分析中，模态分析的基本原理是什么？

2. 简述模态分析的步骤和计算方法。

3. 常用的模态分析软件有哪些？

4. 请问什么是结构的固有频率和阻尼比？

5. 结构的模态振型对结构动力响应有什么影响？

答案二：

1. 模态分析是基于结构的振动特性，通过求解结构的固有频率、模

态振型和阻尼比等参数，来研究结构的动力响应。

2. 模态分析的步骤包括建立结构有限元模型、求解结构的固有频率

和模态振型、计算结构的阻尼比等。常用的计算方法有有限元法、拉

普拉斯变换法等。

3. 常用的模态分析软件有ANSYS、ABAQUS、MSC.NASTRAN等。

4. 结构的固有频率是结构在无外力作用下自由振动的频率，阻尼比

是结构振动过程中能量耗散的程度。

5. 结构的模态振型对结构动力响应有很大影响，不同的模态振型会

结构动力学习题解答-2

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第一章单自由度系统

1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、牛顿第二定律法

适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；

（2）利用牛顿第二定律∑=F x m

,得到系统的运动微分方程；

（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、动量距定理法

适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行受力分析和动量距分析；

（2）利用动量距定理J ∑=M θ

,得到系统的运动微分方程；

（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、拉格朗日方程法：

适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；（2）由格朗日方程

θθ

∂∂-

∂∂∂L

L dt )( =0，得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

4、能量守恒定理法

适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const

（2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即

结构动力学试题

一、选择题

1. 结构动力学中的“动力响应”是指：

A. 结构在静态载荷下的变形

B. 结构在动态载荷下的变形

C. 结构的自然频率

D. 结构的阻尼比

2. 单自由度系统的周期公式为：

A. T = 2π√(m/k)

B. T = 2π√(k/m)

C. T = 2π/m

D. T = π√(m/k)

3. 多自由度系统的振型分解法是基于以下哪个原理？

A. 结构的对称性

B. 结构的不确定性

C. 结构的线性叠加原理

D. 结构的能量守恒原理

4. 在地震分析中，反应谱方法的主要优点是：

A. 考虑了地震动作用的非线性

B. 可以处理任意形状的地震波形

C. 能够直接给出结构的响应结果

D. 适用于快速评估结构的地震安全性

5. 结构阻尼比的增大通常会导致：

A. 自然频率的提高

B. 振幅的减小

C. 周期的延长

D. 响应的不稳定

二、填空题

1. 在结构动力学中，________是用来描述结构在动态载荷作用下的运动状态。

2. 动态载荷下，结构的响应可以通过________方法进行求解，该方法基于结构振动的线性叠加原理。

3. 地震波的________特性对结构的响应有显著影响，因此在进行地震分析时需要特别考虑。

4. 结构的阻尼比可以通过________方法进行实验测定，以评估结构的能量耗散能力。

5. 在进行结构动力分析时，通常需要将结构简化为________自由度系统，以便于计算和分析。

三、简答题

1. 请简述单自由度系统与多自由度系统的区别及其各自的适用场景。

2. 描述地震波的基本特性，并解释为什么需要对其进行频谱分析。

结构动力学2-1(运动方程的建立1)

(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System) 线弹性体系：由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼（粘性阻尼）的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
13/43
2.1 基本概念
h—框架结构的高度 L—梁的长度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
10/43
2.1 基本概念
2.1.7 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。阻尼的来源（物理机制）：
(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。粘性(滞)阻尼力可表示为：
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
◆ 牛顿（Newton）第二定律 ◆ D’Alembert原理 ◆ 虚位移原理
◆ Hamilton原理 ◆ Lagrange方程
15/43
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
运动方程：
描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系的数学表达式。（有时也称为动力方程）
1 2 体系的动能： T mu 2

结构动力计算课后习题答案

在学习结构动力学这门课程时，我们经常会遇到各种各样的习题。这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识，并提供实践的机会。在这篇文章中，我将为大家提供一些结构动力计算课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 计算一个简支梁的固有频率。

答案：简支梁的固有频率可以通过以下公式计算：

f = (1/2π) * √(k/m)

其中，f为固有频率，k为刚度，m为质量。在简支梁的情况下，刚度k等于弹性模量E乘以截面面积A除以长度L。质量m等于密度ρ乘以截面面积A除以长度L。

2. 计算一个悬臂梁的固有频率。

答案：悬臂梁的固有频率可以通过以下公式计算：

f = (1/2π) * √(3k/m)

在悬臂梁的情况下，刚度k等于弹性模量E乘以截面面积A的三次方除以长度L的四次方。质量m等于密度ρ乘以截面面积A除以长度L。

3. 计算一个简支梁的振动模态。

答案：简支梁的振动模态可以通过以下公式计算：

f_n = (n^2 * v) / (2L)

其中，f_n为第n个振动模态的频率，v为波速，L为长度。n为振动模态的序号，从1开始。

4. 计算一个悬臂梁的振动模态。

答案：悬臂梁的振动模态可以通过以下公式计算：

f_n = (2n-1) * (v/4L)

其中，f_n为第n个振动模态的频率，v为波速，L为长度。n为振动模态的序号，从1开始。

5. 计算一个简支梁的最大挠度。

答案：简支梁的最大挠度可以通过以下公式计算：

δ_max = (5qL^4) / (384EI)

其中，δ_max为最大挠度，q为均布载荷，L为长度，E为弹性模量，I为截面

结构动力学试题及答案

一、选择题

1. 在结构动力学中，下列哪项不是描述结构动力响应的参数？

A. 自然频率

B. 阻尼比

C. 静力平衡

D. 模态阻尼

2. 以下哪个不是结构动力学分析中的常用方法？

A. 模态分析

B. 时域分析

C. 频域分析

D. 静力分析

二、简答题

1. 简述结构动力学中模态分析的目的和重要性。

2. 描述阻尼对结构动力响应的影响。

三、计算题

1. 假设一个单自由度系统，其质量为m，刚度为k，初始位移为x0，初始速度为v0。若外力为F(t) = F0 * sin(ωt)，求该系统在任意时间t的位移响应。

答案

一、选择题

1. 正确答案：C. 静力平衡

解析：静力平衡是静力学的概念，与结构动力学无关。

2. 正确答案：D. 静力分析

解析：静力分析是分析结构在静载荷作用下的响应，而结构动力学分析动态载荷下的结构响应。

二、简答题

1. 模态分析的目的在于识别结构的自然振动特性，包括自然频率、阻尼比和模态形状。它的重要性在于：

- 预测结构在动态载荷下的响应。

- 为控制结构的振动提供基础数据。

- 优化设计，提高结构的抗震性能。

2. 阻尼对结构动力响应的影响主要表现在：

- 减少振动幅度，提高结构的稳定性。

- 改变系统的自然频率和模态形状。

- 影响系统的动态响应时间。

三、计算题

1. 单自由度系统的位移响应可以通过以下步骤求解：

- 写出系统的动力学方程：m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = F(t)

- 应用初始条件：x(0) = x0, v(0) = v0

- 应用外力：F(t) = F0 * sin(ωt)

克拉夫《结构动力学》习题答案汇总

第二章自由振动分析

2-1

（a ）由例2

2T π

=22(

)W K T g

π= 因此 max ()()D t kT νν= 其中 k=0、1、2……

T D =0.64sec 如果ξ 很小，T D =T

∴ 22

2200(

)49.9/0.64sec 386/sec kips

k kips in in π==

⇒ 50/k kips in = （b ）

211ln

ln n n v v v v δ+≡=

δξ=

→=

1.2

ln 0.3330.86δ==

0.0529ξ=

0.333

20.05302δπξξπ

=→=

⇒ 5.3%ξ= (a ’)

D ω=

2T π

T T =2

49.9

50/1k kips in ξ=

=- (c)

2c m ξω

W m g

2T π

4c T g

πω

ξ=

T T =241W c T

g πξ

- 2

240.0529

2000.64sec

386/sec 10.0529kips

c in π=

0.539sec/c kips in =⋅ T=T D

0.538sec/c kips in =⋅ ⇒0.54sec/c kips in =⋅

2-2

2k m

ω=

→

4.47ω== (1/sec ) (0)(0)()sin (0)cos t

D D D

v v t e

t v t ξωξωνωωω-⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦

∴ (0)(0)()sin (0)(0)(0))cos t D D D v v t e t v v v t ξωξωνξωωξωξωωω-⎛⎫⎡⎤+⎧⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=-++-⎨⎬⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎝⎭

结构力学：第十章结构动力学2

令
k m
,
c 2m ( 阻尼比）
y 2 y 2 y 0(15.16)
k m y
cy ky
c y
my
设解为：y(t) Celt 特征方程为：l2 2l 2 0
1)ξ<1（低阻尼）情况
l ( ± 2 1)
l ir 其中 r 1 2
y et C1 cosrt C2 sinrt
低阻尼体系的自振圆频率
t tr
这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解:
y(t
)
yst tr
yst
t sint ,
1
1
tr
{sin
t
sin
(t
tr
当t tr
)},
当t tr
个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
解： 1 ln yk 1 ln 0.5 0.0335 2 yk1 2 0.4
m EI=∞
2 2 4.189s1
T 1.5
k P 9.8103 196104 N / m A0 0.005
c 2m 2m 2 2k
20.0355196104 33220Ns/m332.2Ns/cm 4.189
y(t)
y0
cost
v0
sint
1
m

结构力学之结构动力学2

l
mij 0 mi jdx
k11 4EIl,
m11
ml 5
5
4EIl 2
ml5 5
0 2
20EI ml4
,
1 4.472l12
EI m
其精确解：
1
3.51 l2
6
EI m
学与习文精档确解相比，误差为27%。
例14 用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解： Y a11 a22 a1x2 a2 x3
k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 ,
Y1
P
k2
D0
2m2
Y2
P k2 D0
D0 (k1 k2 2m1)(k2 2m2) k22
k12=－k2
m2
Psint k2
m1
当
k2 m2 2
,
Y1 0
,
D0
k
2 2
,
Y2 P k2
k1
这说明在右图结构上，适当加以m2、k2系统可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。
定律得：
Umax=Tmax
ω
※求Umax ，Tmax 位移幅值
设： y(x,t) Y(x)sin(t )
v y. Y(x) cos(t )
U如TUmm梁aaxx上12120l还1212m0l0l有EE(x2II集)0[lvYm中2d((x2x质x2y))Y]量21222dm(dxxi，2)xdcxo12s学2习s(※Y文ii为n档t求22集频(中)0率lt0lm质m[Y0(l量Ex)()0lxmIYE[)Yi2]处I2([xd(Y的)xxd)位x](2x移d)mx]幅2iYdi值2x。

结构动力学-2(哈工大结构动力学)

k
m2 h
m1
PROBLEMS：
6.For a system with damping ratio ,determine the number of free vibration cycles required to reduce the displacement amplitude to 10% of the initial amplitude,the initial velocity is zero.
k
m
PROBLEMS：
5.A mass m1 hangs from a spring k and is in static equilibrium. A second mass m2 drops through a height h and sticks to m1 without rebound.Determine the subsequent motion y(t) measured from the static equilibrium position of m1 and k.
小阻尼情况
y(t) Aet sin( Dt D ) y(t) Ai
Ai 1
A
y02
( v0
y0 D
)2
ti
t i 1
TD
t
tan D y0D /(v0 y0 )
振动是衰减的

结构动力学习题

第九章结构动力计算

一、是非题

1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。

2、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。

3、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。

4、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。

5、图 a 体系的自振频率比图 b 的小。

l /2

(a)(b)

6、单自由度体系如图，W =98

.kN ，欲使顶端产生水

平位移 ∆=001

.m ，需加水平力 P =16kN ，则体系的自

振频率 ω=-40s 1

。

∆

7、结构在动力荷载作用下，其动内力

与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。

8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。 9、桁架 ABC 在 C 结点处有重物 W ，杆重不计，

EA 为常数，在 C 点的竖向初位移干扰下，W 将作竖向自由振动。

10、不计阻尼时，图示体系的运动方程为：

m m X X h EI EI EI EI X X P t 00148242424012312⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭=⎧⎨⎩⎫⎬⎭

()

二、选择题

1、图示体系，质点的运动方程

为：

A ．()()()y l P s in m y EI =-77683θ t /；

B ．()()m y EI y l

结构动力学2

y1 y2

A1 1sin 1t 1 A2 1sin 1t 1
和

y1 y2

A1 2sin 2t 2 A2 2sin 2t 2
是方程的两个特解，方程的通解是两个特解的
线性组合，即

1 2
m1 21
m212
0
m2 22

1 2
刚度法
k11 2m1
k12
0
k21
k22 2m2
对应于 1
，有
y1 y2

A1 1sin 1t A2 1sin 1t
1 1
，
A2 A1
1 1

1,
第一振型向量 1
其中，和M 分别为体系的柔度矩阵和质量矩阵；P 是简谐荷载幅值引起的静位移向量，P＝1P 2P nP T 。
方程(1)是非齐次常微分方程组，通解由两部分构成： ①相应齐次方程通解—
自由振动，实际由于阻尼会衰减； ②非齐次方程特解—稳态纯强迫振动。
设稳态特解为 y Asint ，代入运动方程后，得振幅方程为

M

1
2
I
A

1
2
P
0
(2)
式中 I 为单位矩阵。解此线性方程组可得各自由度方向上的动位移幅值Ai。