江苏省苏锡常镇2018届高三5月调研(二模)数学(理)试题(含附加题)

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2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)

数 学 Ⅰ 试 题 2018.5

方差公式:2

222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=

-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦,其中121

()n x x x x n

=++⋅⋅⋅+. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案

直接填在答题卡相应位置上........

. 1. 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位),则z 的虚部为 ▲ .

2. 设集合{24}A =,,2{2}(B a =,其中0)a <,若A B =,则实数a = ▲ . 3. 在平面直角坐标系xOy 中,点(24)P -,

到抛物线28y x =-的准线的 距离为 ▲ .

4. 一次考试后,从高三(1)班抽取5人进行成绩统计,其茎叶

图如右图所示,则这五人成绩的方差为 ▲ .

5. 右图是一个算法流程图,若输入值[02]x ∈,

,则输出值S 的 取值范围是 ▲ .

6. 欧阳修在《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以

钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入, 而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若 铜钱直径4厘米,中间有边长为1厘米的 正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油 滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的 概率是 ▲ .

(第6题图)

7. 已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值,则ϕ= ▲ . 8. 已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若

10

5

4S S =,则14a d = ▲ .

9. 在棱长为2的正四面体P ABC -中,M ,N 分别为PA ,BC 的中点,点D 是线段PN

上一点,且2PD DN =,则三棱锥D MBC -的体积为 ▲ .

10. 设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a b c ,,,

且满足3

cos cos 5

a B

b A

c -=,则

tan tan A

B

= ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:(1)2C x y ++=,点(20)A ,

,若圆C 上存在点M ,满足2210MA MO +≤,则点M 的纵坐标的取值范围是 ▲ .

12. 如图,扇形AOB 的圆心角为90°,半径为1,点P 是圆弧AB 上的动点,作点P 关于

弦AB 的对称点Q ,则OP OQ ⋅的取值范围为 ▲ .

13. 已知函数1

(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩,,

, ,

若存在实数a b c <<,

满足()()()f a f b f c ==,则()()()af a bf b cf c ++的最大值 是 ▲ .

14. 已知a b ,为正实数,且()2

3

4()a b ab -=,则

11

a b

+的最小值为 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)

如图,在四棱锥P ABCD -中,90ADB ∠=,

CB CD =,点E 为棱PB 的中点.

(1)若PB PD =,求证:PC BD ⊥; (2)求证:CE //平面PAD .

▲ ▲ ▲

A

B

C

D

P E

(第15题图)

在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a b c ,,,设△ABC 的面积为S ,

且2224)S a c b =+-. (1)求B ∠的大小;

(2)设向量(sin 23cos )A A =,m ,(32cos )A =-,n ,求⋅m n 的取值范围.

▲ ▲ ▲

17.(本小题满分14分)

下图(I )是一斜拉桥的航拍图,为了分析大桥的承重情况,研究小组将其抽象成图(II )所示的数学模型.索塔AB ,CD 与桥面AC 均垂直,通过测量知两索塔的高度均为60m ,桥面AC 上一点P 到索塔AB ,CD 距离之比为21:4,且P 对两塔顶的视角为

135.

(1)求两索塔之间桥面AC 的长度;

(2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关,可简单抽象为:某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a ),且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b ).问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小?并求出最小值.

▲ ▲ ▲

18.(本小题满分16分)

如图,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>

焦点到相应准线的距离为1,点A ,

B ,

C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,过点C 的直线l 交椭圆于点

D ,交x 轴

于点1(0)M x ,,直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ,.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若2CM MD =,求直线l 的方程;

(3)求证:12x x ⋅为定值. ▲ ▲ ▲

(第17题图(Ⅰ))

(第17题图(Ⅱ))

已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈,,R . (1)若2

0a b +=,

① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示);

② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列?若存

在,试求出a 的值;若不存在,请说明理由;

(2)函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ,在点B 处的切线为2l ,直线12l l ,的斜率分别为12k k ,,且21=4k k ,求a b ,满足的关系式.

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20.(本小题满分16分)

已知等差数列

{}n a 的首项为

1,公差为d ,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且对任意的

*n ∈N ,692n n n S b a =--恒成立.

(1)如果数列{}n S 是等差数列,证明数列{}n b 也是等差数列; (2)如果数列12n b ⎧

+

⎨⎬⎩⎭

为等比数列,求d 的值; (3)如果3d =,数列{}n c 的首项为1,1(2)n n n c b b n -=-≥,证明数列{}n a 中存在

无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和.

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