五年级奥数题--教师版

五年级奥数综合卷教师版

1. 两个自然数，差是98，各自的各位数字之和都能被19整除，那么满足要求的最小的一对数之和是多

少?

答案 60096．

分析 要求出满足要求的最小的一对数之和，我们必须求出这两个数．设较小的那个数为a ，则另一个数为a+98．由于a 的各位数字之和是19的倍数，故a 的各位数字之和至少是19，由此知a 至少是一个三位数．

若a 的末位数字小于2，则a+8的各位数字之和比a 的各位数字之和增加8，于是a+98的各位数字之和要么比a 的各位数字之和增加9+8=17，要么比n 的各位数字之和减少9n －8．若为前者，由于a 的各位数字之和为19的倍数，再加上17则一定不是19的倍数，不合题意．若为后者，则9n －8必须是19的倍数，n 至少为3，此时9n －8=27－8=19，即a+98的各位数字之和比a 的各位数字之和小19．因此a 的各位数字之和至少为38．又因为我们假定了a 的末位数字小于2，而(38－1)÷9 >4，因此a 至少是一个六位数．为了使a 尽可能小，将a 的十位数字与个位数字取得尽可能大一些，于是a 最小为199991．至此我们讨论完了a 的末位数字小于2的情况． ‘

若a 的末位数字大于2，则a+98=a+100－2．我们先将a 减去2．则各位数字之和也减少2，然后再将a －2加上100，则各位数字之和或者再增加1，或者再减少9n －1．若为前者，则a+98的各位数字之和比a 的各位数字之和减少1，不合题意．若为后者，则a+98的各位数字之和比a 的各位数字之和减少9n －1+2=9n+1．由于题目要求a 和a+98的各位数字之和是19的倍数，故9n+l 必须是19的倍数，从而n 至少是2．此时9n+1=19，即a+98的各位数字之和比a 的各位数字之和小19，从而a 的各位数字之和至少是

38．又因为38÷9 >4，因此a 至少是五位数，设为ABCDE ．由以上的分析，我们知道E≥2、B=C=9，于是A+D+E=

38－9－9=20．为了使a 最小，我们要使D 、E 尽可能地大一些，取D=E=9，得A=2，于是a=29999． 综上所述，满足要求的最小的一对数为a=29999，a+98=30097，它们的和为60096．

2. 如图1６—4，设正方形ABCD 的面积为1，E 和F 分别为边AB 、AD 的中点，FC=3GC ．求阴影部分的

面积是多少．

答案 524

． 分析 所求的阴影部分是个三角形，并且作为底的EB 长度是已知的，但EB 边上的高GH 却需要求(见图1６—5)．但GH 与给出的CF 和CG 的长度比如何联系起来呢?如果将HG 延长交CD 于M 点，那么就可以利用三角形CGM 和三角形CFD 的相似关系来确定GM ，进而求出GH ．

详解1 如图16—5，过G 作GH 垂直于EB ，垂足为H ，延长HG 交CD 于M ．因为ABCD 是边长为1的正方形，E 和F 分别是AB 和AD 的中点，所以BE=

12，DF=12

，而且HM=1．由于FD 和GM 均与CD 垂直．所以它们相互平行，得比例关系

将已知CF=3CG 和DF=12代入，得GM ：12=13

，求出从而

所以三角形EBG 的面积为

就是说阴影部分的面积为524

．

详解2

连接AG 、FB ，取BC 的中点H ，连接HG ．

详解3 如图16—6，过G 作GH 垂直于BC ，延长HG 交AD

于 M ．由ABCD 是正方形易得HM 平行于CD ，从而得比例关系

根据CF=3CG 可得FG ：CF=2：3，代入上式得

因为AEG 和BEG 是等底等高的三角形，故阴影面积恰是三角形AGB 的一半，为512÷2=524

. 评注 正方形中的平行关系和我们添加的辅助线为本题提供了多种解法，由平行线得到的比例线段是

我们解题的重要工具． ．

3. 如图16—7，ABCG 是4×7的长方形，DEFG 是2×10的长方形．那么，三角形BCM 的面积与三角形

DEM 的面积之差是多少?

答案 3．

分析 画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC 和DE 均为已知的，所以关键问题在于求CM 和DM ．这两条线段之和CD 的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC 与DE 截成的比例线段求得．连接BD ．

详解 因为BC 和DE 均与CD 垂直，所以它们相互平行．截相交线段CD 和BE ，得比例式

CM ：DM=BC ：DE

将已知数代入，得CM=2DM ．另一方面，CM+DM=CD=10－7=3，因此CM=2，DM=1．所以，三角形BCM 面积为BC×CM÷2=4×2÷2=4，三角形DEM 的面积为DE×DM÷2=2×1÷2=1，二者之差为4－1=3即为所求． 评注 与图16—3类似，图16—8是另一个平行线截相交线段得比例的典型图，AB 平行于DE ，有比例式AB ：DE=AC ：CE=BC ：CD ，三角形ABC 与三角形DEC 也是相似三角形．图16—3和图16—8的形状要牢记并且要熟练掌握比例式．

4. 在图16—9中，AE ：EC=1:2，CD:DB=1:4，BF ：FA=1:3，三角形ABC 的面积等于1．那么四边形AFHG

的面积是多少?

答案 131468

． 分析 本题所求的四边形AFHG 是不规则四边形，因而

只能通过割补的方法求其面积．与之相关且面积易求的是三

角形ABE ，所以求出三角形AEG 和BFH 的面积成为解题的关

键．参见图16—10，三角形AEG 和BFH 已用阴影部分表示．题

目给出的条件大多是线段间的比例关系，想要利用这些条件求三角形

面积，最好构造平行关系，利用平行线截成的比例线段关系及相关的结

论求解． 详解 如图16—10，分别过E 、D 作CF 和BE 的平行线，交

AB 、AC 于N 、M 两点．利用已知的比例关系和三角形ABC 的面积为1的条

件，得